Решение оптимизационных задач методом квантового отжига на системе спинов с S = 1 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Пичковский Иван Сергеевич

• Пичковский Иван Сергеевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Пичковский Иван Сергеевич

Введение

Глава 1. Квантовый отжиг и адиабатические квантовые вычисления

1.1 Кубиты и кутриты

1.2. Физическая реализация кутритов

1.2.1 Квадрупольные ядра

1.2.2 Трансмоны

1.2.3 NV-центры в алмазе

1.2.4 Ионы в ловушках

1.2.5 Ридберговские атомы

1.3 Квантовый отжиг и адиабатические квантовые вычисления

1.3.1 Задача факторизации чисел

1.3.2 Квантовое машинное обучение

Глава 2. Решение оптимизационных задач на кутритах

2.1. Факторизация чисел

2.1.1 Примитивный алгоритм факторизации на трёх кутритах

2.1.2 Поразрядный алгоритм факторизации на кутритах

2.2. Машинное обучение

2.2.1 Реализация алгоритма ассоциативной памяти

2.2.2 Реализация алгоритмов кластеризации

Выводы к главе

Глава 3. Создание эффективных гамильтонианов для АКВ на кутритах

посредством селективных операторов поворотов

3.1 Создание эффективных гамильтонианов для решения задачи факторизации числа

3.1.1 Создание односпиновых операторов

3.1.2 Создание операторов с двухспиновыми взаимодействиями

3.1.3 Создание трёхспиновых взаимодействий

3.1.4 Результаты вычисления

3.2. Создание эффективного гамильтониана для задачи кластеризации

3.2.1 Создание односпиновых операторов эволюции

3.2.2 Преобразование двухспиновых операторов эволюции

Выводы к главе

Глава 4. Управление системой из 5 спинов S = 1 с помощью радиочастотных импульсов

4.1. Реализация операторов селективных поворотов

4.2. Создание операторов неселективных поворотов

4.3. Операторы свободной эволюции

4.4 Результаты расчёта

Выводы к главе

Заключение

Приложение 1. Рассмотрение задачи ассоциативной памяти посредством теории

возмущения

П1.1 Система в отсутствии ввода

П1.2 Динамика системы при вводе -1,-1

П1.3 Динамика системы при вводе 0,1

П1.4 Сравнение результатов моделирования с результатом расчетов по теории возмущения

Приложение 2. Результаты оценки сходимости квантового метода к-средних. .. 123 Список цитируемой литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение оптимизационных задач методом квантового отжига на системе спинов с S = 1»

Актуальность

Ещё в прошлом веке Ричард Фейнман [1-3] и Юрий Манин [2, 4] предсказали, что развитие вычислительной техники приведет к использованию квантовых систем для реализации вычислений. На современном этапе развития вычислительной техники [4, 5], в результате миниатюризации, элементы электроники достигли атомарных размеров и в описании их работы существенную роль стала играть квантовая механика. В связи с чем объектами исследований стали квантовые компьютеры, квантовые вычисления, квантовые нейронные сети и квантовое машинное обучение [1-3,6-8]. Применительно к системам магнитных моментов (спинов) стала развиваться спинтроника [6] и магноника [8]. В свою очередь метод ядерного магнитного резонанса (ЯМР) стал применяться к управлению квантовыми системами ядерных спинов [9] с целью изучения закономерностей обработки квантовой информации.

Одним из применений квантовых компьютеров, предложенным еще в 1982 г. Р. Фейнманом, является моделирование одних квантовых систем на других [1017]. Тем самым получает развитие важное направление в физике магнитных явлений, в которой большую роль играют модели Изинга [14], Гейзенберга [15], Кита-ева [16] и т.д. При построении модели задаются координаты магнитных моментов (спинов) и вид взаимодействий между ними (Гамильтониан). Затем вычисляются аналитически или численно необходимые физические величины, основное состояние, фазовые диаграммы и т.п. Такие модели, с одной стороны, позволяют лучше понять результаты магнитных экспериментов в разных веществах. С другой стороны, позволяют прогнозировать новые магнитные свойства веществ и новые эксперименты. Поскольку приготовить вещество с заданными свойствами очень сложно [12], то предлагается [10 - 17] взять вещество с известным Гамильтонианом и затем получить из него новый эффективный (средний) гамильтониан с помощью сильных электромагнитных полей (РЧ, СВЧ, лазерных). В общем случае

[10-17] магнитные гамильтонианы могут быть получены на других квантовых системах: ионах в ловушке [14-16], холодных (ридберговских) атомах [17], сверхпроводниках [13]. Для получения эффективых гамильтонианов используют теории Магнуса, Флоке или Троттер-Сузуки [18-22]. Поскольку подразумевается моделирование свойств макроскопических систем, то предлагаются методы глобального управления, действующие на все спины системы одновременно. Тогда как для квантовых вычислений требуется индивидуальное управление спинами в квантовой системе [2].

Квантовые вычисления на квантовом компьютере можно осуществлять двумя способами: во-первых, с помощью сети из элементарных логических операторов (вентилей) [23, 24], во-вторых, посредством медленного (адиабатического) изменения во времени эффективного гамильтониана от начального вида, основное состояние которого легко приготовить, до конечного вида, в основном состоянии которого закодировано решение задачи [25-27]. Согласно теории вычислений, оба способа одинаково эффективны при решении сложных задач, однако второй способ более устойчив к помехам. Этот способ получил название адиабатического квантового вычисления (АКВ) [25] или, если эффективный гамильтониан представлен гамильтонианом Изинга в поперечном магнитном поле, квантового отжига (КО) [25-27], и уже хорошо себя зарекомендовали при решении комбинаторных оптимизационных задач [19-41].

Основная масса исследований в этой области выполняется на двухуровневых квантовых базовых элементах - кубитах (quantum bits) [1,3], например представленных спинами S = 1/2 . Однако в последнее время вырос интерес исследователей к квантовым вычислениям на квантовых элементах с большим числом уровней [42]: с тремя - кутриты или в общем случае d уровней - кудиты. Такие вычисления имеют ряд достоинств. Они обладают большей помехоустойчивостью [43-46]. За счет использования дополнительных уровней можно более эффективно реализовать вентили и алгоритмы на кубитах. Наконец, при использовании n ку-дитов вместо кубитов произойдет рост гильбертова пространства (вычислительного базиса) в (d/2)" раз. К сожалению, наличие большого числа уровней у куди-

5

тов усложняет селективное управление ими. Поэтому неким компромиссом является использование кутритов (d = 3), которые могут быть представлены спинами 5 = 1.

К настоящему времени выполнено несколько экспериментальных реализаций когерентного управления системами из кутритов: ионов в ловушке [47], холодных (ридберговских) атомов [48], квадрупольных ядер азота в кристалле [49], NV-центров в алмазе [50, 51], трансмонов в сверхпроводнике [52]. Все эти системы подчиняются близким по форме эффективным гамильтонианам, что позволяет надеяться, что методики управления системой спинов 5 = 1, которую мы выбрали базовой, будут полезными для управления другими вышеперечисленными системами. Для управления кутритами к системе прикладывают импульсы электромагнитного поля (РЧ, СВЧ или лазерные) резонансные к той или иной паре уровней кутрита, которые вызывают селективные преобразования этих состояний. Последовательности селективных операторов и способы построения эффективных Гамильтонианов для решения некоторых задач на кудитах были рассмотрены в нескольких работах: устранение диполь-дипольного взаимодействия (ДДВ) [18, 49, 53], АКВ факторизации на двух кудитах [22], моделирование распространения квантовой информации в системе из пяти трансмонов [52], XY-модель на трех спинах 5 = 1 [54], топологическая фаза с сохранением симметрии на 14 спинах 5 = 1 [18]. Как хорошо известно, в эффективных Гамильтонианах для систем спинов 5 = 1 встречаются взаимодействия, которых нет у спинов 5 = 12, такие как квадрупольное взаимодействие с кристаллическим полем (или односпиновая анизотропия), квадруполь-квадрупольное взаимодействие (или биквадратичный обмен) [18, 19, 53]. Поэтому магнитные свойства этих систем сильно различаются, а способы управления системой спинов 5 = 12 не могут быть непосредственно

применены к системе спинов 5 = 1. При этом основную массу работ составляют работы по глобальному управлению системой в целом [18, 54], которые нужны (и важны) для решения задач по изучению магнитных свойств веществ или получения веществ с новыми свойствами. Тогда как для решения задач наноэлектрони-ки, квантовых вычислений (комбинаторных оптимизационных задач [26, 38, 556

65], например) требуется теория индивидуального управления спинами в квантовой системе. Поскольку такая теория управления спинами £ = 1 (кутритами) разработана недостаточно, заявленная тема исследования является актуальной.

Цель диссертационной работы Целью диссертационной работы является развитие теории управления системой спинов £ = 1 для решения оптимизационных задач методом квантового отжига. Взята система спинов в магнитном и кристаллическом полях с не эквидистантным энергетическим спектром, который позволяет индивидуально управлять состоянием спинов системы с помощью селективных по переходам импульсов высокочастотных электромагнитных полей. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

1) Для комбинаторных оптимизационных задач разного типа: факторизации и машинного обучения (на примерах ассоциативной памяти и кластеризации) найти целевые гамильтонианы для спинов £ = 1, в основных состояниях которых можно закодировать решение задач.

2) Разработать способы создания зависящих от времени эффективных гамильтонианов, управляющих эволюцией системы спинов при выполнении квантового отжига.

3) Рассчитать управляющие последовательности импульсов и интервалов свободной эволюции, необходимых для реализации вышеперечисленных целевых гамильтонианов.

4) Написать программы и провести численное моделирование на ЭВМ.

5) Исследовать зависимость точности решения от физических параметров и определить их значения, оптимальные для реализации.

Научная новизна Научная новизна работы заключается в выполнении адиабатических квантовых алгоритмов (АКА) методом КО не на системе спинов £ = 1/2 (кубитах), а на системе спинов £ = 1 (кутритах).

1) Впервые проведена адаптация для троичной симметричной системы счисления двух АКА факторизации, предложенных в работах [55, 56]. На примере

7

задачи факторизации числа 15 было показано создание эффективных взаимодействий посредством селективных операторов поворотов, продемонстрирован оригинальный способ создания трёхспинового взаимодействия для кутри-тов и выполнено моделирование решения задачи.

2) Впервые рассмотрено создание с применением проекционных операторов эффективных гамильтонианов для выполнения на кутритах, представленных спинами с S = 1, АКА ассоциативной памяти и кластеризации. Проведено численное моделирование работы АКА ассоциативной памяти на двух и трех кутритах. Проведено численное моделирование работы АКА кластеризации на кутритах посредством алгоритмов «one-hot encoding» и k-средних для разделения множества данных на два, три и четыре подмножества.

3) Впервые сделаны расчеты управляющих последовательностей операторов поворотов и радиочастотных (РЧ) импульсов, селективных по переходам между соседними уровнями, для реализации АКА кластеризации 6 точек на три группы на 5 спинах S = 1. Проведено численное моделирование решения этой задачи на модельном квантовом процессоре из пяти квадрупольных ядер в магнитном и кристаллических полях. Получена зависимость ошибки от физических параметров.

Теоретическая и практическая значимость Теоретическая и практическая значимость работы заключается в демонстрации возможности индивидуального управления спином (кутритом) в системе спинов с S = 1 и выполнения комбинаторных оптимизационных АКА на кутритах. Проработаны все этапы теории управления: выведены эффективные гамильтонианы, найдены последовательности селективных операторов поворота, рассчитаны последовательности РЧ импульсов и интервалов свободной эволюции, выполнено численное моделирование. Полученные управляющие последовательности, а также результаты по зависимости точности решения, полученного при моделировании, от физических параметров необходимы при переходе к экспериментальной реализации АКА на кутритах, представленных спинами с S = 1. Результаты работы могут быть полезными не только при индивидуальном управлении квадру-

польными ядрами, но и другими многоуровневыми системами, в том числе при создании квантовых сопроцессоров и других устройств нано электроники.

Методы исследования

Работа была выполнена посредством чисденного моделирования в рамках теории Троттер-Сузуки. Эта теория позволяет разделить экспоненциальный опе-

:(А + В)

ратор вида ехр

на произведение двух некомутирующих экспоненци-

альных операторов ехр

хА

и ехр

хВ

, что позволяет рассматривать каждый из

этих операторов по отдельности. Далее следуя предложениям предшественников [22, 79] получаем последовательность селективных операторов поворота. Затем каждому оператора взаимодействия ставится радиочастотный импульс [78]. Затем исследуются зависимости вероятности получения искомого состояния от физических параметров.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Предложенные эффективные Гамильтонианы позволяют решать методом квантового отжига на системе спинов £ = 1 разные оптимизационные задачи такие как: факторизация чисел, ассоциативная память и кластеризация данных.

2) Найденные последовательности селективных операторов поворотов, разделенных интервалами свободной эволюции, позволяют создать необходимые для квантового отжига эффективные гамильтонианы, содержащие односпино-вые, двухспиновые и трехспиновые взаимодействия, как линейные, так и квадратичные по спиновым операторам.

3) Система из спинов £ = 1 в магнитных и кристаллических полях, управляемая селективными РЧ импульсами магнитного поля, резонансными к выбранным переходам между соседними энергетическими уровнями, предложена в качестве модельного квантового процессора. Найденная последовательность РЧ импульсов, разделенных интервалами свободной эволюции, позволяет смоде-

лировать кластеризацию методом квантового отжига множества из шести точек на три группы и исследовать зависимость ошибки от физических параметров.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью результатов численного моделирования с аналитическими оценками. Применяемые для численного моделирования модели соответствуют природе исследуемых объектов.

Апробация работы и публикации

Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены на конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (СФУ, Красноярск, 2018), конкурс-конференциях ФИЦ КНЦ СО РАН для молодых ученых, аспирантов и студентов (Красноярск, 2019, 2022, 2023), международных конференциях «MODERN DEVELOPMENT OF MAGNETIC RESONANCE» (Казань, 2019, 2022), Всероссийском семинаре «Нейроинформатика, ее применение и анализ данных» (ИВМ ФИЦ КНЦ СО РАН, Красноярск 2020), конференции «Quantum Informatics» (МГУ, Москва 2021), международных конференциях «Micro-and Nano-Electronics» (Москва - Звенигород 2018, 2021, 2023)

По теме диссертации опубликовано 16 работ: 6 статей [126, 127, 132, 137 144, 145] в периодических изданиях в списке ВАК, 10 работ в сборниках материалов и тезисов научных конференций.

Личный вклад автора

Постановка задач и интерпретация полученных результатов выполнена совместно с научным руководителем д.ф-м.н. Зобовым В. Е. Все представленные в диссертации оригинальные результаты получены лично автором либо при его непосредственном участии. Создание и отладка компьютерных программ выполнено лично автором.

Структура и объём диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения, изложенных на 144 страницах, содержит 30 рисунков, 6 таблиц, 147 библиографических ссылок.

Глава 1. Квантовый отжиг и адиабатические квантовые

вычисления

1.1 Кубиты и кутриты

В этом параграфе будут приведены представления кубитов и кутритов. Хотя данная работа посвящена кутритам, но, как говорилось выше во введении, большинство работ рассматривают алгоритмы на кубитах. Кубит или квантовый бит -квантовый логический элемент с двумя выделенными энергетическими уровнями, которые соответствуют состояниям Ц и |-1). Если кубиты представлены спина-

ми 5 = 2, то состояние Ц

с=^

2/

спин вверх и |-1)

с 1\

5 = —> - спин вниз. 2

Помимо этого кубит может находиться в суперпозиционном состоянии -|^) = + с21-1), где с1 и с2 произвольные комплексные числа, подчиняющиеся

следующему соотношению с2 + с2 = 1. Для реализации вычислений система из п

кубитов помещается в состояние когерентной суперпозиции из 2п двоичных состояний. В вычислениях кубиты представлены матрицами Паули [66]:

а

1 0" 0 -1

а

01 10

— I

а

0

VI 0 у

(1.1)

Этих матриц недостаточно для описания суперпозиции из 2п состояний. Вследствие чего для описания индивидуальных спинов системы производится прямое произведение матриц Паули на единичные матрицы I ранга 2:

сг2 = I ® I ®...® а2 ® I...® I,

ах = I ® I ®... ®ах ® I... ® I, (1.2)

ау = I ® I ®... ®ау ® I... ® I,

где - номер спина, матрица Паули которого стоит на - м месте в произведении п операторов. В итоге получаем представление для оператора проекции каждого из п спинов в виде матрицы размером 2п х 2п.

Кутриты имеют три состояния. Для спина £ = 1 в вычислительном базисе собственных функций операторов проекций спинов 82 на ось Z это будут состояния Ц, |0) и |-1). Вследствие чего каждый кутрит описывается следующими матрицами операторов проекций спинов на оси X, У, Z [66]:

Бх =

1

12

Г 0 1 01 Г 0 -1 0 1 Г10 0 1

1 0 1 , Бу =72 1 0 -1 , Б2 = 0 0 0

,0 1 0 0 1 0 0 0 -1,

(1.3)

Размер этих матриц так же недостаточен для описания системы из нескольких кутритов. Поэтому с ними проводим манипуляции, аналогичные соотношениям (1.2), но при этом единичные матрицы имеют ранг 3.

Управление кутритами описывается Би (3) алгеброй, образующими которой являются матрицы Гел-Мана [67]:

Л1

л.

л.

0 1 0' 1 0 0 000 0 0 1

0 0 0

1 0

0 0 0

0 0 -

0 i 0

л

л

Г 0 01 Г

0 0 , Лз =

V0 0 0. V

Г0 0 Г

0 0 0 , л 6 =

0 0

—

1 0 0 0

000 000

0 1

0

0

01

1 ,

0,

(1.4)

1

л=73

10 01

0 0

0 0 -2

Унитарные операторы, изменяющие состояния спиновой системы называют операторы поворота, которые в представлении Би(3) алгебры примут следующий вид:

ил, = ехр[2Л,] = I -(1к~")2+ еов|(1Г"Г+ 2'1?", (1.5)

где верхний индекс k о п обозначает переход между уровнями k и п, I - единичная матрица, 2 - угол поворота, а 1ка оп - оператор произведения, элементы которого соответствуют подпространству уровней k о п :

2

/

I

1о2

2о3

1 л / у°2=- л 2, /2

2 у 2 2

-

1о2

2 лз, ^

2о3

2

л7, /г

2о3

2 (>/3л8

Лз ), /я

1о3

2

1 л6

2 6

л,

(1.6)

/

1о3

= | л5, / -о3 = | (^ + лз).

22

В практической части данной работы управление системой для решения оптимизационных задач будет рассматриваться на примере квадрупольных ядер, для которых матрицы операторов селективных поворотов (1.5) - (1.6), примут следующий вид [18, 22, 68, 69]:

М

1о2

2

ехр

в I—

2

0

0 0

ехр

в 2

0 0

0

2о3

2

1

0 ехр 0

0

— I

в 2

0 0

0

ехр

в I— 2

(1.7)

Н°2=

в в 0

cos— - sin—

2 2

в в 0

sin — cos—

2 2

0

0

1

2о3

У

1 0 0 cos

0 sin

0

в в

- sin—

2 2

в в

—

2 2 )

где в — угол поворота вокруг оси ае| х, у, 2}, к и п — номера уровней. Матрицы X - поворотов отличаются от матриц У - поворотов коэффициентами (—) перед синусом.

1

1

1.2. Физическая реализация кутритов

К настоящему времени предложено множество вариантов реализации квантовых логических элементов [42]. В области физики магнитных явлений - это молекулярные магнетики:[42] (спин £ > 1), скирмионы [70], доменные стенки [71], ядерные и электронные магнитные моменты в парамагнетиках, управляемые методами магнитного резонанса [9], а также магноны [8]. Для создания кутритов из

этого списка подходят только, ядерные и электронные магнитные моменты, но данные системы плохо масштабируются. Вследствие чего эти системы используются только для изучения управления квантовой системой. Молекулярные магнетики не подходят для реализации кутритов, так как обладают спинами Б > 1. На скирмионах рассматривались только реализация кубитов [70], а при исследовании доменных стенок не были достигнуты значительные результаты. Более значительные результаты были достигнуты на магнонах: Бозе конденсация при комнатной температуре [72], что позволяет инициализировать квантовую систему [2, 3], иными словами привести систему в начальное состояние. Помимо этого, продемонстрировано управления одиночным магноном [73].

В других областях физики существуют другие варианты реализации кутри-тов: например, трансмоны - макроскопический искусственный сверхпроводящий атом со спином Б = 1 [52]. Помимо трансмонов как кутриты могут быть использованы NV-центры алмаза [74, 75], ионы в ловушках [47] и холодные атомы [48]. Но рассмотрение управления данными системами может быть полезно для моделирования различных магнитных систем [10, 11], что было продемонстрировано на ионах в ловушках [76] и ридберговских атомах [77]. Все эти системы не имеют магнитную природу, но развитая теория селективного управления, позволяющая индивидуально управлять ионами и атомами, создавая необходимые исследователю взаимодействия и настраивать их величину для исследования моделей из различных областей физики, в том числе и физики магнитных явлений [14-16].

1.2.1 Квадрупольные ядра

Самый первый объект, который будет рассмотрен как кутрит - квадруполь-ные ядра. Данные ядра не имеют сферическую симметрию [78]. Для них существует электростатическая энергия, зависящая от ориентации ядра, что проиллюстрировано на рисунке 1.1 на примере сигарообразного ядра в поле четырёх зарядов. Очевидно, что энергия ядра на рисунке 1.1 б меньше, чем на рисунке 1.1 а.

Рисунок 1.1 Сигарообразное ядро в поле 4 зарядов.

В качестве кутритов используются ядра изотопов 2Н , 6Li и 14N, обладающие спином I = 1. Один такой кутрит описывается следующим гамильтонианом [69]:

н = 4 +

е2 qQ

41 (21

-1у( 312 -12) Б = -©4 + Л( 3/2 -12)

(1.8)

где (о0 = уБ0 - Ларморовская частота, у - гиромагнитное отношение, Б0 - приложенное сильное магнитное поле, 1г - проекция спина на ось Z (1.3), Б - параметр порядка, зависящий от положения ядра, е2 qQ - константа квадрупольной связи, а

Л

е2 qQ

Б - её эффективное значение. В данном гамильтониане за описан-

41 (21 -1)

ную выше зависимость от ориентации ядра (рис. 1.2) отвечает слагаемое

л( 312 -12).

Управление квадрупольными ядрами осуществляется посредством приложения радиочастотных импульсов, которые подчиняются следующему гамильтониану [22] во вращающейся с частотой © системе координат:

н(t) = - (©0 - С)+ л(312 -12)+их (t) 1Х + иу ^) 1у,

(1.9)

где © - частота приложенного импульса, 1а - проекция спинового оператора на ось ае{ х, у, 2}, иа( t) - частота равная произведению гиромагнитного отношения у на проекцию БгГ на ось ае{х,у}, а Бг/ - амплитуда приложенного импульса. Время продольной Т1 и поперечной Т2 релаксации при температуре 277 K

для дейтерия в жидком кристалле оценивается в 170 и 50 мс соответственно [79].

16

Для ядра 14N в поликристалле время продольной релаксации Т1 оценивается в

3 • 104 мс [69]. Из-за того что квадрупольные ядра могут находиться только в соединениях: кристаллах и жидких кристаллах, что накладывает ограничения на возможность масштабировать эту систему. В связи, с чем квадрупольные ядра являются плохим кандидатом на роль кутритов.

1.2.2 Трансмоны

Название трансмон (йаштоп) - линия передачи, параллельно подключенная к кубиту, осциллирующему в плазменной моде [80]. Трансмон состоит из двух сверхпроводящих островков, соединённых через два джозефсоновских контакта, но изолированных от остальной цепи. Этот СКВИД постоянного тока может управляться посредством внешнего магнитного потока Ф, который влияет на

джозефсоновскую энергию Е1 = Е

I I ,тах

cos

п

V Ф0 J

. Схематичное изображение

трансмона и его эффективная электрическая схема представлена на рисунке 1.2. Трансмон описывается следующим гамильтонианом [80]:

Н = 4Ес (п - п& )2 - Е1 cos (р + а + 2реУГЦг(а + $), (1.10)

е2

где Ес = —— энергия зарядов, Съ = С1 + Св + С§ - электрическая ёмкость трансмона, п - число куперовских пар, прошедших через островки, пё = 1 - эффективная поправка заряда, Е1 - джозефсоновская энергия, (р - калибровочная инвариантная фаза, сог = . 1 - частота резонатора, Lr - эффективное значение индуктивности резонатора, Сг - эффективное значение емкости резонатора, а^и а -операторы рождения и уничтожения для фотонов в проводящей линии,

У°

тшя

V

а С&

г - среднеквадратичное напряжение резонатора и р= &

2СГ С

Рисунок 1.2. а) эффективная электрическая схема трансмона. Два джозефсонов-ских контакта (с электрической ёмкостью С3 и джозефсоновской энергией ),

соединённые параллельно с большой ёмкостью Св, сочетающейся с относительно большой управляющей ёмкостью С Ь) Упрощенная схема трансмона, представленная не в масштабе, который состоит из двух сверхпроводящих кубитов, соеди-

нённые параллельно с короткой

L

А 20

двухпроводной проводящей линией,

формирующей протяжённые сверхпроводящие островки кубитов. Эта короткая проводящая линия может быть хорошо приближено, рассмотрена, как ёмкость с сосредоточенными параметрами, ведущий к увеличению ёмкости С§1, С§2 и Св,

и, следовательно, эффективных емкостей Св и С. Опубликованный в [80].

Более практично использовать гамильтониан (1.10) в базисе несвязанных состояний трансмона | /) - гамильтониан Джэймса - Каминга:

Н = |У>(У| + Ьа^а + gl.+1+1|$ + Э.С

V 1,]

2^1/.м л

где glJ = ь \1\п\ 7/ - энергия связи.

Кодировка информации в вычислениях на трансмонах осуществляется в состояниях Фока: N - вектор состояния системы, q - состояние сверхпроводника (кубита) и N - состояние осциллятора (число фотонов в резонаторе). В 2012 году было продемонстрировано управление трансмоном на примере системы, описываемой следующим гамильтонианом [81]:

H = cqa+a_ + cra !a + g (aa+ + a ),

(1.12)

где с и сг частоты переходов для кубита и фотона соответственно, а а+ = Ц(0|. а+ = [82]. Этот гамильтониан может быть диагонализирован в базисе состоя-

ний:

|n,_) = cos6n |0,П _ sin 6n |0,n _ 1, |n, + = sin6n |0,n) + cosdn |0,n _

(1.13)

2 Jñ

где tan (26n) = —-, A = cq _cr. А собственные энергии этих состояний:

А

ЕпЛ = псг +1 (А±^А2 + 4ng2). Частоты переходов определяются следующими соотношениями: ч,± = с ± 2 (^2 + 4 (п +1) g2 -^А2 + 4ng2), = с + 2(^А2 + 4(п +1)g2 2 + 4ng2), 1 (^АЧ^Т!)^ + у/а2 + 4ng2).

(114)

c

c

(1.15)

cn,\ = Cr

Схема переходов между уровнями, вызванная воздействием импульсами с данными частотами, показано на рисунке 1.3. Соотношения вида соп± являются возбуждением резонатора, в то время как сп ^ являются поворотами кубита.

Сначала рассмотрим кубит, отключённый от резонатора (дисперсионный

(2п +1)^

режим) А » g, член сп± = сг ±

A

А3

сдвиг Керра для резонатора и

со , = сп +

n,i/ п

(2и +1) g2

А

сдвиг Штарка для кубита. Управление кубитом описыва-

ется следующим гамильтонианом:

Hdrive = f (t)Cx ,

где cx - матрица проекции спина (1.1), f (t) - управляющая функция:

f (t) = Z[ Аи (t) C0S(C/) + Bn (t) sm (C)],

и—1

An (t) = Qn и Bn (t) — 0, набор амплитуд Qn:

' V2Ñ для n = 1,

2^1 n (Ñ +1 - n) для 1 < n < Ñ,

(1.16)

(1.17)

П n = Ц>

(1.18)

а частота

Cn } =

с0-,...,©Ñ-1^ для четных Ñ

со0^ для нечетных N

Выбор частот переходов соответствует зигзагу, отображенный на рисунке 1.3

(119)

Рисунок 1.3 Схема переходов между уровнями, вызванная воздействием импульсами с частотами (1.15) [82].

А в случае, если кубит присоединён к резонатору, управление трансмоном описывается следующими операторами [82]:

(в) = ехр

о т+1 т)

7 (*) = ехр |"_1| о М _1*><*1 )

(1.20)

Для реализации данных операторов поворота к физической системе прикладывается СВЧ импульс с частотой, равной частоте перехода между уровнями трансмо-на и и к, а угол поворота определяется следующим соотношением - в = Лgt,

где t - длительность импульса, А = 2.

Теперь же рассмотрим декогерентизацию, которая может быть вызвана различными факторами. Первый из них - релаксация посредством спонтанной эмиссии, время декогерентизации которой оценивается как 0,3 миллисекунды. Второй вид декогерентизации вызван эффектом Пурцела - сокращение времени релаксации при помещении в резонатор [82]. Время релаксации, вызванное данным эффектом, оценивается как 16 микросекунд. Третий фактор релаксации - туннели-рование квазичастиц. Время релаксации, вызванное данной причиной, оценивается в 1 секунду. Четвертая причина релаксации - взаимодействие с магнитным потоком, для которой время декогеренции 70 миллисекунд. Пятая причина релаксации - зарядовые шумы, время декогеренции для которых оценивается как 1 микросекунда. Шестая причина - шумы магнитного потока, для которых время декогерентизации оценивается как 3,6 микросекунды. Седьмая причина - ошибка, вызванная критическими токами, время декогерентизации для которой оценивается в 35 микросекунд.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пичковский Иван Сергеевич, 2024 год

- ехр

_ 32 Д:-(83 )2 3 ^ ъ'

2о3

г ,2

X

х ехр

64 I

_1-

^ (83 )

9 N

С )1°2

{_Ж}г 2 ехР

64 I

_1-

Д:т8 (83 у

9 N

, 1о2 г 2о3

1,2 Мг,2

После чего повторно воспользуемся формулой (3.11), но теперь относительно спина 3. Затем применим формулы (3.4) и (3.6) к односпиновым операторам

ехр

_ 32 д4 ()

3 N ехр

Вследствие чего соотношение (3.14) примет вид:

16 (82 )2 ( 81)

641 д: г /_ 641д

2о3

х ехр

64 Л I ' I—Д:—I 9 N

м

->2о3

V ,3

9 N 641

2,2 ' л 1о2

9 N

х

г ,2

Д:

641

2о3

( )2о3

Х{_^} V ,2 ехр

I—Д:—822832 9 N 23

9 N ]2,2 [ 9 N {_*}.2 ехр

Д: У х

} 2 ,2

1— Д:—82832 9 N 23

х

(3.15)

х

{я} V ,2 М V ,2 {_*} V

х ехр

V ,2 V ^ ,2

16 . I

Ь ,3

641

9 N

Д:

, 1о2

' 2,3

641

9 N

2о3

Д:У {_я-}

' 2,3

2о3

V ,2

х

/—Д:—8,2 832

9 N 23

г )1°2

Г*},,2 ехр

г16 Д:—82832 9 N

23

м

1о2

V ,2

х

х-

с ">2о3 г "»1о2 г -)2о3

V ,2 М V ,3 М V ,3 •

Для получения из (3.15) окончательного выражения используем формулу (3.9) для выделения из ДДВ взаимодействия спинов 2 и 3 аналогично предыдущему случаю.

3.1.3 Создание трёхспиновых взаимодействий

Теперь рассмотрим создание трёхспиновых взаимодействий для задачи факторизации. В гамильтониан Нр (3.2) входят два слагаемых с трёхспиновыми вза-

имодействиями ехр

Ш—96828282 N 123

и ехр

Ш-^ 9682 82 (83)

. Для создания в

операторе эволюции с трёхспиновыми взаимодействиями из ДДВ (3.6) будем следовать идеям теории когерентного усреднения [142, 143] и воспользуемся формулой Троттер - Сузуки:

2

2

ехр\bbSlSlSl ]« ехр Г/Ь12 S1xS2z 1 ехр Г/Ь13 S1zSзZ 1 х

> п г п (316)

х ехр [-'Ь12 S1xS2z ] ехр [-'АД^ ],

где Ьу = у ^ 1. В формуле (3.16) сохранены члены второго порядка малости и

отброшены члены третьего порядка малости. Входящие в (3.16) сомножители с

± S1XSZ в показателе экспоненты получим из ДДВ с помощью неселективных по-

ж

воротов первого спина на угол ± — вокруг оси У. Рассмотрение получения неселективных поворотов приведено в 4.2. Наконец, выполнив в выражении (3.16) по-

ж V

ворот первого спина на угол — вокруг оси V , находим:

2 1

ехр['Ь^^^^] « ехр

ехр [ z'Ь13S1zS3z ] ехр ехр [-' Ь13S1zS3z ] ехр

ехр

-Ж' 21

х ехр

21

х ехр

Ж' 21

Ж' 21

21

ехр [ 'Ь12 S¡Sl ] ехр [- 'Ь12S1 S2 ]х

х

(3.17)

На основании этой формулы получаем:

ехр

-96lAt—S2Sz?S3: N 123

= ехр

2 1

х ехр _ 2 1 ] ехр

х ехр _ 2 1 ] ехр

N

/96—AtS1zS3z

1_

N

-и /96—AtS1zS3z

ехр

ехр

ехр

21

21

ехр

ехр

-и /96 N AtS1zS2z

х

N

и 96—AtS1zS2z

х (3.18)

21

Для получения из (3.18) окончательного выражения используем формулу (3.9) для выделения из ДДВ (3.3) взаимодействия спинов 2 и 3 аналогично предыдущему случаю. Нужную величину коэффициента перед операторами S1zS2 и в показателях экспонент получаем с помощью выбора длины интервалов эволюции.

2

Для создания оператора эволюции ехр няем формулу (3.11):

сначала приме-

ехр х ехр

()

N 123

= ехр

( )1о2 {-Ж}Л3 ехр

N 1 2

2о3

У ,3

х

I

N 123

с ->1о2 г -)2о3

М У,3 МУ

У,3

Затем поступаем аналогично предыдущему случаю.

Наконец, отметим, что для уменьшения ошибки получения трехспинового взаимодействия при моделировании отжига мы будем разбивать временной интервал дополнительно на семь частей:

ехр [-/А£/1233^^ ] = <! ехр

1 At Т SZ SZ SZ

I — Т123З1 З2

(3.20)

7

3.1.4 Результаты вычисления

Для решения задачи факторизации по описанным в предыдущем разделе правилам была найдена полная последовательность селективных операторов поворотов и интервалов эволюции с гамильтонианом ДДВ, необходимая для моделирования факторизации числа 15 посредством квантового отжига. Результат вычисления получается в виде суперпозиции 27 состояний вычислительного базиса:

(^1= X Кт2,щ\. (3.21)

Точным решением нашей задачи является состояние |1, -1,1, следовательно, а = 3S1Z + = 3-1 = 2 и Ь = = 1, а множители 2а +1 = 5 и 2Ь +1 = 3. Поэтому достигнутую точность нашего вычисления будем характеризовать величиной:

I |2

R = |(¥|1,-1,1)| , (3.22)

равной вероятности получения точного состояния из суперпозиционного. Результаты, полученные при разных значениях параметров, приведены на рисунке 3.1.

На рисунке 3.1 (а) показаны зависимости точности Я от времени выполнения алгоритма Т = NAt. Для сравнения крестами показаны результаты расчета при замене симметричного представления (1.46) на несимметричное представление:

Рис. 3.1. Зависимости точности факторизации от времени выполнения алгоритма Т = NAt (а), от величины магнитного поля (б) и от длительности шага дискретного времени (в) при разных значениях других параметров

N

U = П exp

l=0

—i

i—L ^

N

AtH

initial

exp

—iAt—H N

(3.23)

Отличия небольшие, поскольку основной вклад в ошибку образуется при получении трехспинового взаимодействия. Видно, что при малых At и больших N мы достигаем точного решения, что свидетельствует, с одной стороны, о правильности найденной последовательности операторов, а с другой - о выполнении условия адиабатичности. Если взять большее значение At, то при увеличении Т посредством увеличения N рост точности Я останавливается на некотором предельном остаточном значении, обусловленном ошибкой при замене непрерывного изменения гамильтониана на дискретное (1.41), (1.44) и применении формул Троттер - Сузуки. Это остаточное значение зависит от величины поля к, как это показано на рисунке (б). При малых значениях поля наблюдается рост точности при увеличении поля. Скорость такого роста возрастает при увеличении At, поскольку в дискретном представлении (1.41) действие поля сводится к повороту на

ж

угол Ath. Если при увеличении At и h угол возрастает до —, то точность падает.

Наконец, на рисунке (в) показано изменение точности при изменении At. Спад точности при малых At обусловлен нарушением адиабатичности. Спад точности при больших At происходит вследствие замены непрерывного изменения гамильтониана на дискретное.

3.2. Создание эффективного гамильтониана для задачи

кластеризации

В данном параграфе рассмотрим управление системой из пяти спинов на рассмотренном выше примере кластеризации методом «one-hot encoding» на три группы шести точек из набора (2.36). Гамильтонианы (2.32) и (2.34) после подстановки соотношений (2.16) примут следующий вид [144]:

Hi = R

SS+3( )2 (Sz )2 -2 ()2-2 (S; )Ч1

ir,(2|к17-i) = ip, s;+(s;)2-1

(3.24)

(3.25)

]*1 ]*1 Данные операторы должны быть получены из следующего гамильтониана:

Нс1й = J12 $1 $2 + J 13$1 $3 + J14 $1 $4 + J 15$1 $5 + J16^1 $6 + J 23^2 $3 +

+J24$2$4 + J25$2$5 + J26$2$6 + J34$3 $4 + J35^3 $5 + J36$3 $6 + J45^4$5 (3.26)

+.46 $4 $6 + J56 $5 $6

посредством селективных операторов поворотов. Аналогично предыдущему случаю будем рассматривать множители оператора эволюции

exp

-i-

At

г

2

l

л

1 -

V N у

H

initial

и exp

iAt—H

N p

по отдельности.

Начнём с того, что подставим гамильтонианы (3.24) и (3.25) в оператор эво-

люции exp

-iAt—H Np

и разобьём его на произведение экспоненциальных опера-

торов. Так как отдельные слагаемые в Н коммутируют между собой, то каждый множитель оператора эволюции может быть рассмотрен по отдельности.

3.2.1 Создание односпиновых операторов эволюции

В данном параграфе рассмотрим создание множителей оператора эволюции

ехр

ехр

-1-^ AtЯ1, Д

N

. I

и ехр

I 2

AtЯ.■■ (^)

Начнём с множителей вида

-1—AtЯ1, 5;

N

в операторе эволюции с гамильтонианом (3.25). Данные мно-

жители оператора эволюции получены посредством формулы (3.4) [146]:

ехр

-/ —AtЯ1lSZ

N 1; 7

Г 21 I102 Г 21 !2°3 = \ — AtЯ1Л \ — AtR

N

ч;

N

ч;

(3.27)

z,] ^ ■> z,7

Следующие односпиновые взаимодействия в (3.24) и в (3.25), квадратич-

2

ные по спиновым операторам: ехр

I 2

^ (%)

, могут быть получены по

формуле (3.6):

ехр

I

2lAt—RJS;SZ N

203

4 At—Я; 1 {4 At—Rj 1 ехр 3 N 4к, 13 N '

z ,7

Z,J

/-At—RI

3 N 1;

. (3.28)

3.2.2 Преобразование двухспиновых операторов эволюции

Для решения задачи кластеризации рассмотрим получение множителей

операторов эволюции

ехр

I 2

(^) (^)

из

множителей

ехр

N 1 1 7

которое выполняется в несколько шагов. На первом этапе

проведём следующее преобразование, посредством соотношения (3.11):

ехр х ехр

I 2 2 I

-Ш-^Я (5) (Я; ) = ехр (5)

2о3

* > У, 7

х

()2 з

( )1о2

{-К}у,, ехр

ш^я ()2 5

( ">1о2 г 2о3 ■ \Ж\

(3.29)

Затем повторим его для получившихся множителей ехр

- ^'ыЯ ()2 5

z

2

1 2 2 1

) (^) = ехР -^й^)

N

2 1

- - кг—я^

3 N 7

ехр х ехр х ехр

( 1203

{Ж V ,1 еХР

203

Г^ еХР

N

-11 М—Я^Б2, 3 N 17 1 7

М

{-ж}

203

х

1о2

х

-1 At—RS2S2

3 N у 1 7

х

-11 At—ЯlS2S2 3 N

{ио^ 120^ -»102

Ж V,. ^1,1 Г^/ еХР 102

{-ж} V,. еХР

2 1 -1-А1—Я.Б2

3 N 17 7

х

(3.30)

-11 ал—Я&Б*

3 N

х

х{

102 203 102 203

:\ж\ . {ж} . {ж} . \ж\ .

I .»V ,1 }У ,1 }У, 7 1 ,7

На втором этапе воспользуемся формулой (3.6) для преобразования первого сомножителя правой части посредством селективных операторов поворота вокруг

оси 2 :

ехр

х ехр

х ехр

31а^я (^ )2 ( б; )2

\4 А I I102 Г 4 А / I203 -Аг—Я, !> {—Аг—Я, >

х

3 N

, ,1

3 N

1-А/—Я

3 N 1

203

{-Ж}у 7 х ехр

2 1

1-Аг—ЯБ

3 N 17 7

203 {-ж}> х

-11 Аг—ЯБ2Б2 3 N

( )102 {-ж}^,1 ехр

-11 Аг—ЯБ2Б2 3 N

102 {ж} ,

х

(3.31)

203 102

х{ж} V ,1 {-Ж} V, 7 ехр

2 1

3 N 17 7

203

{-ж}^,1 ехр

1-Аг—ЯББ] 3 N

х

х

102

{-Ж1,1 ехр

-11 At—ЯS2S2 3 N

{->102 г -»102 (

Ж} V ,1 {ж} V ,1 {ж} V, 7 {ж}

203

'У 4

102

V ,7

203 ^7

На третьем этапе проведём преобразование посредством формулы (3.4) другого получившегося множителя оператора эволюции ехр

2 1 - ¡—кг—Я^2

3 N 1 7

ехр

2 I

1-кг—ЯД

3 N 17 7

= { 4 а^яН 4

1 3 N 17 [21 1 3 N 17