Восстановление граничной функции в задаче распространения поверхностных волн в открытой акватории тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Дементьева, Екатерина Васильевна

• Дементьева, Екатерина Васильевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дементьева, Екатерина Васильевна

Оглавление

Введение

1 О корректно и некорректно поставленных задачах

1.1 О корректной постановке граничных условий для уравнений мелкой воды

1.2 Обзор методов решения некорректных и обратных задач

2 Обратная задача о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории

2.1 Дифференциальная постановка задачи

2.1.1 Начально-краевая задача для уравнений мелкой воды

2.1.2 О корректной постановке краевых условий для уравнений мелкой воды

2.1.3 Обратная задача о восстановлении граничной функции

для уравнений мелкой воды

2.2 Слабая постановка задачи. Теорема существования и единственности

2.2.1 Функциональные пространства и нормы

2.2.2 Доказательство разрешимости задачи

2.3 Задача оптимального управления с регуляризацией

2.3.1 Задача на минимизацию функционала

2.3.2 Поиск граничной функции из пространства ¿^(Гг)

2.3.3 Поиск граничной функции из пространства И^Гг)

"—1 /2

2.3.4 Поиск граничной функции из пространства Иу (Гг)

2.3.5 Сходимость решения регуляризированной задачи оптимального управления к решению обратной задачи

2.4 Итерационный численный алгоритм. Теорема о сходимости

3 Численные эксперименты

3.1 Численное решение прямой задачи

3.1.1 Дискретизация по пространству

3.1.2 Численное решение прямой задачи

3.2 Численные эксперименты по восстановлению граничной функции по модельным данным наблюдений

3.3 Параллельная реализация

3.3.1 Оценка потенциального ускорения параллельного алгоритма с использованием технологии MPI

3.3.2 Оценка потенциального ускорения параллельного алгоритма с использованием технологии ОрепМР

3.3.3 Исследование ускорения параллельной MPI-программы на высокопроизводительных кластерных системах

3.3.4 Сравнение двух реализаций MPI и стратегий управления памятью

3.3.5 Сравнение ускорений параллельных версий программы: ОрепМР, MPI и их совмещения МР1+ОрепМР

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление граничной функции в задаче распространения поверхностных волн в открытой акватории»

Введение

Диссертационная работа посвящена разработке, исследованию и реализации численного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории.

Актуальность темы исследования. Описание динамики распространения поверхностных волн в открытых акваториях, связанных с мировым океаном, является актуальной задачей численного моделирования. Широко распространены модели на основе уравнений мелкой воды [34-36, 46, 72, 96, 98, 103, 104, 110, 120, 122, 123, 125, 139, 149]. Введение в модель открытой границы по морю позволяет учитывать влияние океана на рассматриваемую область, которое обычно описывается граничной функцией в краевом условии [13, 133, 134, 136-138, 147, 167]. На практике граничная функция, как правило, неизвестна и ее следует найти вместе с другими неизвестными модели (скоростями и возвышением свободной поверхности). В связи с этим актуальна обратная задача о восстановлении граничной функции с использованием дополнительной информации, полученной в ходе наблюдений за поведением свободной поверхности на границе по морю. При разработке методик решения обратной задачи необходимо учитывать, что данные наблюдений могут быть известны только на части открытой границы или с некоторой погрешностью. Такие задачи в большинстве случаев некорректны, поэтому для их решения с приемлемой точностью необходимо использовать методы решения некорректных задач [1,2,4-8,14-16,20,22,29,30,45,62,67-71,85,86,105,113,116,117,127,130,145,152].

Численное решение обратной задачи о восстановлении граничной функции требует большого объема вычислений, что делает актуальным создание эффективного параллельного программного обеспечения [11,12,17,32,33,3740,64-66,82,83,92,94].

В диссертационной работе для дискретизированных по времени уравне-

ний мелкой воды исследуется и решается обратная задача о восстановлении граничной функции по данным наблюдений за возвышением свободной поверхности на открытой границе по морю. Задача впервые была поставлена в работе [133]. Там же предложен численный алгоритм решения для подобной обратной задачи для уравнений относительно неизвестных возвышения свободной поверхности и граничной функции, но отсутсвует его численная реализация и верификация. В работе [135] для рассматриваемой в диссертации обратной задачи предложен и численно реализован алгоритм ее решения для данных наблюдений, заданных на всей границе по морю. Однако в нем не учтено, что данные наблюдений о возвышении свободной поверхности могут быть известны с погрешностью или не во всех точках границы расчетной области. Поэтому при разработке и реализации численного метода решения обратной задачи о восстановлении граничной функции актуально наличие методик, позволяющих восстановить граничную функцию по данным наблюдений о возвышении свободной поверхности, заданным только на части границы по морю или с погрешностями.

Для разработки численного алгоритма решения обратной задачи применяется подход, основанный на методах оптимального управления и сопряженных уравнений, который был предложен в монографии В. И. Агошкова [1].

Цель исследования — разработка, исследование и реализация на БМР-узловом кластере итерационного численного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории.

Объектом исследования выступает обратная задача о граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории и численный алгоритм ее решения.

Предметом исследований являются свойства и особенности обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды; свойства и особенности численного алгоритма решения обратной задачи и его параллельной реализации.

Для достижения поставленной цели были решены следующие

основные задачи.

1. Доказаны существование и единственность решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды.

2. Некорректная обратная задача сведена к корректно поставленной задаче оптимального управления на минимизацию функционала, включающего стабилизирующий по А. Н. Тихонову функционал.

3. Предложены и обоснованы три вида стабилизирующего по А. Н. Тихонову функционала для задачи минимизации.

4. Построен итерационный численный метод восстановления граничной функции на границе по морю.

5. Доказана теорема о сходимости предложенного итерационного алгоритма к решению исходной обратной задачи в слабом смысле.

6. Разработано эффективное параллельное программное обеспечение для SMP-узлового кластера с использованием технологий MPI, ОрепМР и MPI+OpenMP для численного решения обратной задачи о восстановлении граничной функции.

7. Проведены вычислительные эксперименты для акватории Охотского моря по восстановлению граничной функции по данным наблюдений различного качества — гладким, с наложением белого шума, с пропусками.

Методы исследования. В диссертации используются фундаментальные результаты и методы теории некорректных и обратных задач, оптимального управления и сопряженных уравнений, теории функционального анализа и уравнений математической физики, теории итерационных методов, вычислительный эксперимент.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 — вычислительная математика.

1. Предложен и реализован итерационный численный алгоритм решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории по данным наблюдений о возвышении свободной поверхности на границе по морю.

2. Доказана теорема о сходимости предложенного итерационного алгоритма к решению обратной задачи о восстановлении граничной функции.

3. Создан эффективный параллельный программный комплекс для БМР-узлового кластера с использованием технологий МР1, ОрепМР и МР1+ОрепМР, предназначенный для решения обратной задачи о восстановлении граничной функции.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем.

1. Впервые разработан, обоснован и численно реализован итерационный метод решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды, позволяющий восстановить граничную функцию по данным наблюдений о возвышении свободной поверхности, заданным с погрешностью или только на части границы по морю.

2. Создан оригинальный программный комплекс, предназначенный для эффективного решения обратной задачи о восстановлении граничной функции на высокопроизводительных системах с общей, распределенной памятью и на ЭМР-узловом кластере.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается применением строгих математических доказательств; верификацией построенных алгоритмов на задачах с известными решениями.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в обосновании предлагаемого алгоритма, а также в примененной методике на основе методов оптимального управления и сопряженных уравнений, позволившей восстанавить неизвестные данные на всей границе по дополнительной информации с части границы. Практическая ценность работы заключается в возможности применения разработанного программного комплекса при решении широкого класса задач моделирования поверхностных волн в больших открытых акваториях.

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре ИМФИ СФУ «Компьютерное решение многомерных задач», на расширенном семинаре ССКЦ, НГУ, Центра Ком-

петенции СО РАН — INTEL «Архитектура, системное и прикладное программное обеспечение кластерных суперЭВМ» и на 24 конференциях, включая 14 международных, 5 всероссийских и 4 сибирских. Основные из них: Пятая и Шестая международная конференция «Inverse Problems: Modeling and Simulation» (Турция, 2010, 2012); 5th International Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications (Болгария, 2010); Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011); Международная конференция «Математические и информационные технологии, MIT-2011» (Сербия, Черногория, 2011); 11th International Conference on Parallel Computing Technologies, PaCT-2011 (Казань, 2011); Международная конференция «Суперкомпьютерные технологии математического моделирования, СКТММ-2011» (Якутск, 2011); XII, XIII и XIV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 5th Conference on Numerical Analisis and Applications (Болгария, 2012); Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012); Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2012, 2013); First China-Russia conference on Numerical Algebra with Applications in Radiative Hydrodynamics (Китай, 2012); Международная конференция «European Numerical Mathematics and Advanced Applications, ENUMATH 2013» (Швейцария, 2013); Пятая Международная конференция «Системный анализ и информационные технологии, САЙТ-2013» (Красноярск, 2013).

Основные результаты диссертации опубликованы в 18 печатных работах, включая (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций в печатных листах, в знаменателе — объем принадлежащий лично автору) 4 статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК [55,56, 156,157] (3.4/2.2), 1 статью в международном рецензируемом журнале [159] (1.68/0.8), 10 статей в трудах конференций [48-50,52-54,75,76,78,158] (5.7/4.0)

и 3 публикации в тезисах конференций [51,142,155] (0.45/0.4).

Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Во всех совместных работах автор участвовал в формулировках постановок задач, совместно осуществлял теоретические исследования по ускорению вычислений, самостоятельно обосновывал итерационные алгоритмы, реализовывал параллельный программный комплекс, выполнял численные расчеты и осуществлял анализ результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 123 страницы, включая 26 рисунков, 3 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 168 наименований.

Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее цель и научные задачи исследования, обоснована актуальность, представлены результаты работы, выносимые на защиту, а также определена научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

Первая глава носит обзорный характер. В разделе 1.1 главы приведены основные сведения из теории корректной постановки граничных условий для уравнений мелкой воды. В ней описаны основные подходы к доказательству корректности задачи, в том числе классический энергетический метод, анализ нормальных колебаний Крейса и доказательство с помощью априорной оценки. В разделе 1.2 главы приведен обзор методов решения некорректных и обратных задач. Здесь введено определение корректно поставленной задачи по Адамару, и затем некорректные задачи разделены на нормально разрешимые и существенно некорректные; описаны возможные методы их решения, включая итерационные.

Вторая глава посвящена разработке и исследованию итерационного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды.

В разделе 2.1 сформулированы постановки прямой и обратной задач для уравнений мелкой воды.

В разделе 2.2 прямая задача записана в слабом смысле и показана корректность ее постановки. На основе слабой формулировки прямой задачи обратная задача сформулирована в операторной форме. Для обратной задачи доказаны теорема существования и единственности решения.

В разделе 2.3 обратная задача сформулирована в виде задачи оптимального управления с стабилизирующим по А.Н. Тихонову функционалом. Предложены три вида стабилизирующего функционала. Доказана теорема о сходимости решения задачи оптимального управления к решению исходной задачи в слабом смысле.

В разделе 2.4 разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения обратной задачи. С целью выбора более эффективной реализации алгоритма предложены и проверены два различных итерационных процесса на основе методов решения некорректных задач и три способа выбора основного итерационного параметра. Доказана теорема о сходимости предложенного итерационного алгоритма к решению исходной задачи в слабом смысле.

Третья глава посвящена численным экспериментам по восстановлению граничной функции и сравнению эффективности предложенных параллельных реализаций алгоритма.

В разделе 3.1 кратко описаны особенности численной реализации предложению алгоритма, диктуемые методом конечных элементов.

В разделе 3.2 представлены численные результаты по восстановлению граничной функции из трех пространств по данным наблюдений различного качества — гладким, зашумленным и с пропусками. Там же приведены результаты численного исследования скорости сходимости предложенного итерационного алгоритма для двух итерационных процессов при различном выборе основного итерационного параметра: методом подбора, методом минимальных невязок и по методу из теории экстремальных задач.

Раздел 3.3 посвящен исследованию эффективности разработанного программного обеспечения для решения обратной задачи о восстановления граничной функции с помощью метода конечных элементов (МКЭ) на согласованной неструктурированной триангуляции акватории. Созданы три версии

параллельного программного обеспечения для SMP-узлового кластера: MPI, OpenMP, MPI+OpenMP.

В разделах 3.3.1 - 3.3.3 описаны особенности реализации параллельного алгоритма для систем с распределенной и общей памятью с учетом возникающих при этом накладных расходов. Проведен теоретический анализ потенциального ускорения и эффективности MPI и ОрепМР-версий программ.

В разделе 3.3.4 исследовано влияние используемого программного обеспечения на эффективность MPI-реализации: сопоставлена эффективность двух широко распространенных реализаций стандарта MPI — MPICH2 v.l.2.1pl и OpenMPI v.1.4.1.

В разделе 3.3.5 проводится сравнение эффективности MPI-, ОрепМР-и МР1+ОрепМР-версий программ в зависимости от способа сборки невязки при реализации метода конечных элементов, которая может производиться, по крайней мере, по элементам и по узлам сетки. На основе теоретического и численного анализа сделаны выводы об эффективности разработанного программного обеспечения.

В заключении диссертационной работы сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность В. В. Шай-дурову и Е. Д. Кареповой за всестороннюю поддержку и постоянное внимание в ходе выполнения работы.

Глава 1

О корректно и некорректно поставленных задачах

1.1 О корректной постановке граничных условий для уравнений мелкой воды

Пусть дана квазилинейная система уравнений

Ьи = ¥ в [0,Т] х Г2, (1.1)

с гиперболическим дифференциальным оператором Ь и неизвестной вектор функцией и = х, ?/), глгС^, х, х, у)) и правой частью Б1 = ]?(£, х, у).

Здесь — область в плоскости (х, у) с границей Г.

Для уравнения (1.1) запишем начальные и краевые условия в следующем виде:

и(0, х, у) = ио в К ' (1.2) и7 = 5и77 + g на [О, Т] х Г,

где и7 = и7 (и) и и77 = и77(и) — инварианты Римана для уходящей и приходящей характеристик соответсвующей (1.1) одномерной задачи [36,167]; 5 — вещественная матрица; g — заданная функция.

Дадим определение корректной постановки начально-краевой задачи (1.1), (1.2), следуя [137,138,161,162,167].

Предположим, что на интервале [О, Т] существует гладкое решение задачи (1.1), (1.2).

Определение. Будем говорить, что задача (1.1), (1.2) корректна, если для всех решений и задачи (1.1), (1.2) с заданными Г, ид и g выполняется

следующая априорная оценка в

IMIenxn + 1Н1[0,Т]хГ + ЫП\п < (1 3)

^^'(IlFlI^xn + llgll^Tixr + lluolln), где К > 0 — постоянная, не зависящая от Т, и 6 = 0 или 1.

Единственность и устойчивость к возмущениям в начальных данных следует из априорной оценки [161,162,164,166,167].

Для доказательства корректной постановки задачи (1.1), (1.2) может быть использован, например, классический энергетический метод [140,141, 143,144,146] или анализ нормальных колебаний Крейса [161,162,167].

Для исследования корректной постановки краевых условий обратимся к линеаризованной модели и воспользуемся теорией линейных симметричных положительных систем [84,148,163], а именно, энергетическим методом.

Рассмотрим в области [О, Т] х О симметричное линеаризованное гиперболическое уравнение, полученное из (1.1)

. д\х . du . ди _ j4

Аат+мэ-х+А*д-у + ¥ = 0' М

где матрицы Aq, Ai, А2 и вектор F = F(i, х, у, и), зависящий линейно от вектора и, известны.

Если матрица Aq положительно определена, то система (1.4) также положительна (см., например, [84,148,163]). Тогда можно описать так называемые диссипативные краевые условия в рамках теории Фридрихса, Лакса и Филлипса. Однородные краевые условия для (1.4) задаются в виде

u(t,x,y) Е P(t,x,y), (1.5)

тде P(t, х, у) — некоторое линейное подпространство трехмерного пространства, гладко зависящее от (t,x,y) Е [О, Г] х Г. Граничное условие (1.5) называется диссипативным [13,36,41,138] на некотором участке границы, если на этом участке

иАпи >0 Vu € P(t, х, у), (1.6)

где

Ап = п\А\ + п2А2, (1.7)

где п = (пх, П2) — внешняя нормаль к Г.

Число краевых условий в некоторой точке границы должно быть равно числу отрицательных собственных чисел матрицы Ап (см., например, [13,36, 41,167]).

Диссипативные условия считаются допустимыми и обеспечивают наличие некоторой энергетической оценки для решения системы (1.4) [167]. В ряде случаев доказана теорема единственности и существования обобщенного решения системы (1.4), если в каждой точке границы условия являются диссипативными и размерность линейного подпространства Р(£, х, у) является максимально возможной (см., например, [148,163]). В общем случае, если граничные условия диссипативны, то их корректная постановка может быть доказана.

Для квазилинейной задачи (1.1) - (1.2) условие (1.6) можно считать, по-видимому, подобным необходимому условию ее корректной постановки, в то время как для линейного уравнения (1.4) оно является и достаточным [36,41,167].

Если граничные условия не являются диссипативными, то для исследования их корректности может быть применен анализ нормальных колебаний Крейса [161,162]. В этом случае уравнение (1.1) записывается в новых переменных, которые являются гармоническими функциями, а затем исследуются его собственные значения и, далее, проверяются некоторые условия, при которых выполняется априорная оценка (1.3). В работе [161] Х.-О. Крей-сом для линейной начально-краевой задачи гиперболического типа выводятся необходимые и достаточные условия ее корректной постановки (выполнения оценки (1.3)).

При исследовании системы (1.1) анализом нормальных колебаний Крейса можно так же, как и в случае применения энергетического метода, рассмотреть ее линеаризованную модель и установить некоторые необходимые условия корректности для граничного условия. В работе [167] анализ Крейса применен для корректной постановки краевых условий для гидростатической системы уравнений, а также предложены краевые условия для уравне-

ний мелкой воды, корректность которых может быть доказана с помощью анализа нормальных колебаний Крейса.

В работах [137,138] на примере постановки граничных условий для линейных и нелинейных уравнений мелкой воды показано, что для некоторых не диссипативных граничных условий при рассмотрении слабой формы краевой задачи может быть напрямую доказана априорная оценка вида (1.3), т.е. корректность граничного условия. В работе [137] также приведены некоторые определения допустимых граничных условий, которые задают необходимые условия для доказательства априорной оценки.

Сложности выбора корректного граничного условия для уравнений мелкой воды обсуждаются также в работах [13, 36, 138, 167], где рассмотрены разные подходы к решению данной проблемы для некоторых приливных моделей. Ряд работ посвящен проблеме постановки граничного условия для линейного случая двух независимых переменных [36,41] и трех независимых переменных [41,147,168]. В некоторых краевых задачах можно вывести энергетическую оценку и определить корректное граничное условие (см., например, [137,138,161,167]).

При постановке краевых условий для уравнений мелкой воды в первую очередь необходимо определить их количество (см., например, [13,36]). При этом, как правило, необходимо учитывать, что реальная граница рассматриваемой области часто разделена на два подмножества: «твердая» (линия берега) и «открытая» (граница по морю). В этом случае знак собственного числа матрицы Ап, определяемой (1.7), может зависеть от рассматриваемой части границы (см., например, [13]).

Приведем следующий пример. Пусть уравнение (1.1) описывает модель мелкой воды. Обозначим через Un = щщ + щщ нормальную компоненту вектора скорости U = (ui,u2). Поскольку собственные числа матрицы Ап для нелинейных уравнений мелкой воды могут зависеть от Un, то их знак может меняться. Тогда при определении количества граничных условий на открытой части границы необходимо учитывать «приходит» ли возмущение в область, т.е. Un < 0 (например, приток реки), или же «уходит» из области,

т.е. U„ > 0. Из-за непостоянного знака собственных чисел на открытой части границы количество граничных условий может быть различным в зависимости от того, втекает жидкость в область или утекает из нее. В связи с этим в случаях, когда нам неизвестно втекает или вытекает жидкость через границу, невозможно априори задать корректно граничные условия на открытой части границы.

В работах [13,134,136-138,147,165,167] для некоторых моделей, описывающих распространение поверхностных волн, предлагаются различные допустимые краевые условия для твердых и открытых участков границы области.

1.2 Обзор методов решения некорректных и

обратных задач

Во многих задачах математической физики для однозначного определения решения должны быть заданы значения ряда входных параметров (вытекающих из свойств среды), начальных и граничных функций. Однако на практике часто возникают ситуации, когда часть параметров или функций неизвестны [9] и их необходимо определить, используя некоторую дополнительную информацию о решении, т.е. решить обратную задачу [1,2,8,57,67, 85]. Такие задачи в ряде случаев некорректны. Поэтому для их решения необходимо использовать методы решения некорректных задач.

Пусть X, Y — банаховы пространства, А : X —> Y — линейный оператор. Рассмотрим следующую задачу: найти решение и операторного уравнения

Au = f (1.8)

с заданной правой частью /.

Если искомые физические характеристики и не могут быть непосредственно измерены, а в результате эксперимента могут быть получены только данные /, связанные с и с помощью оператора А [127], то уравнение (1.8) яв-

ляется типичной математической моделью для многих физических обратных задач.

Задача (1.8) называется поставленной корректно (по Адамару) [3], если выполняются следующие условия:

1) решение задачи существует: V/ Е Y Зи £ X : Аи = /;

2) решение задачи единственно;

3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи: V/n —> / в Y =>• ип —» и в X.

Если же нарушается любое из перечисленных трех условий, то задача (1.8) называется некорректно поставленной.

Основы теории и методов решения некорректных задач заложены в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и др. [59,61,85,111, 113,118]. Общая теория некорректных задач и ее приложения рассматриваются в [62,113,118].

Доказано (см., например, [100, с.507]), что задача (1.8) поставлена корректно, если оператор имеет непрерывный обратный А~г : Y —> X, и некорректно поставлена в противном случае. Автор [100] отметил, что задача может оказаться корректной в одной паре пространств и некорректной в другой.

В приложениях типичны задачи (1.8), в которых X — бесконечномерное пространство, а оператор А вполне непрерывен.

Вполне непрерывный инъективный оператор при действии из бесконечномерного пространства обладает обратным оператором, который не является непрерывным (ограниченным) (см., например, [1,62,63,119]). Более того, при действии в бесконечномерных банаховых пространствах множество значений вполне непрерывного оператора не является замкнутым. В последнем случае нарушаются условия 1 и 3 в определении корректности и задача называется существенно некорректно поставленной [20].

Задача (1.8) с замкнутой областью значений R{A) называется нормально разрешимой [20,62,67]. Нормально разрешимые задачи более близки по ряду свойств к корректным задачам, нежели к задачам с нарушением условия 3 в определении корректности.

Некорректность постановки математической задачи может быть связана также с ошибкой в задании оператора, возникающей из-за неточностей математических моделей описываемых явлений и в результате погрешности дискретизации [20,127].

Рассмотрим методы решения некорректных задач.

Для решения задачи (1.8) может быть применен так называемый метод подбора решения некорректно поставленных задач [45,86,113], который базируется на априорной количественной информации. В работах [45,86,112,113] показано, что если компакт М метрического пространства X взаимно однозначно и непрерывно отображается на множество .Р метрического пространства У, то обратное отображение Р на М также непрерывно. Соответственно предположение о принадлежности решения (1.8) компакту М позволяет считать оператор А~1 на множестве Р = АМ непрерывным.

Практическая реализация метода подбора сводится к аппроксимации М рядом с параметрами, изменяющимися в ограниченных пределах (так, чтобы М представляло замкнутое множество конечномерного пространства) [42,45,86,113], которые находятся из условия минимизации невязки уравнения (1.8). Пример алгоритма решения вырожденной системы линейных алгебраических уравнений, порожденной уравнением (1.8), базирующийся на методе наименьших квадратов, изложен, например, в монографии А.Н. Малышева [93].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дементьева, Екатерина Васильевна, 2013 год

Список литературы

[1] Агошков, В. И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики / В. И. Агошков. — М.: ИВМ РАН, 2003. - 256 с.

[2] Агошков, В. И. Теория и методы решения задач вариационной ассимиляции образов / В. И. Агошков. - М.: ИВМ РАН, 2012. — 148 с.

[3] Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. — М.: Наука, 1978. — 351 с.

[4] Алексеев, Г. В. Задачи управления для стационарной модели магнитной гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости / Г. В. Алексеев // Успехи механики. - 2006. - № 2. - С. 66-116.

[5] Алексеев, Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции / Г. В. Алексеев // Вестник Новосибирского ун-та. Сер. матем. механ. информ. — 2006. — Т. 6, № 2. — С. 6-32.

[6] Алексеев, Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса / Г. В. Алексеев // Журн. вычислит, математики и математ. физики. — 2002. — Т. 42, № 3. — С. 380-394.

[7] Алексеев, Г. В. Задачи оптимального управления для некоторых моделей распространения загрязнений / Г. В. Алексеев, С. В. Прокопенко, О. В. Соболева, Д. А. Терешко // Вычислит, технологии. — 2003. — Т. 8, часть 4. - С. 65-71.

[8] Алексеев, Г. В. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости / Г. В. Алексеев, Д. А. Терешко. — Владивосток: Дальнаука, 2008. - 365 с.

[9] Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена / О. М. Алифанов, Е.А. Артюхин, C.B. Румянцев. — М.: Наука, 1988. — 286 с.

[10] Антипин, А. С. Методы регуляризации в задачах выпуклого программирования / A.C. Антипин //Экономика и мат. методы. — 1975. — Т. 11, № 2. - С. 336-342.

[11] Антонов, A.C. Введение в параллельные вычисления: методическое пособие / А. С. Антонов. — М.: Изд-во Физфака МГУ, 2002. — 70 с.

[12] Антонов, А. С. Параллельное программирование с использованием технологии ОрепМР: учебное пособие. — М.: Изд-во МГУ, 2009. — 77 с.

[13] Баклановская, В. Ф. О краевых задачах для системы уравнений Сен-Венана на плоскости / В.Ф. Баклановская, Б. В. Пальцев, И. И Чечель // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1979. - Т. 19, № 3. - С. 708-725.

[14] Бакушинский, А. Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский. — М.: Наука, 1989.

[15] Бакушинский, А. Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 199 с.

[16] Бакушинский, A.B. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами / А. Б. Бакушинский, М.Ю. Кокурин. - М.: УРСС, 2002.

[17] Богачев, К. Ю. Основы параллельного программирования / К. Ю. Бо-гачев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 342 с.

[18] Будак, Б.М. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления / Б.М. Будак, Ф.П. Васильев. — М.: Изд-во Московского ун-та, 1975.

[19] Будак, Б. М. Об одном способе регуляризации для непрерывного выпуклого функционала / Б.М. Будак, А. Виньоли, Ю.Л. Гапоненко // Журн. вычислит, математ. и математ. физики. — 1969. — Т. 9, № 5. — С. 1046-1056.

[20] Вайникко, Г. М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г. М. Вайникко, А. Ю. Веретенников. — М.: Наука, 1986.

[21] Васильев, Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — М.: Изд-во Московского университета, 1974. — 374 с.

[22] Васильев, Ф. П. Методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — М.: Наука, 1981. - 400 с.

[23] Васильев, Ф. П. О регуляризации некорректных задач минимизации на множествах, заданных приближенно / Ф.П. Васильев // Журн. вычислит. матем. и матем. физ. — 1980. — Т. 20 (1). — С. 38-50.

[24] Васильев, Ф. П. О регуляризации некорректных экстремальных задач / Ф.П. Васильев // Доклады АН СССР. - 1978. - Т. 241, № 5. -С. 1001-1004.

[25] Васильев, Ф. П. О регуляризации некорректных экстремальных задач с использованием штрафных и барьерных функций / Ф.П. Васильев, М. Ковач // Вестник Московск.ун-та. Сер.вычислит.матем. и киберн. — 1980. - Ш. - С. 29-35.

[26] Васильев, Ф. П. Об итеративной регуляризации метода условного градиента и метода Ньютона при неточно заданных исходных данных / Ф.П. Васильев, М. Д. Ячимович // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 250, № 32. - С. 265-269.

[27] Васильев, Ф. П. Об итеративной регуляризации метода Ньютона / Ф.П. Васильев, М.Д. Ячимович // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. - 1981. - Т. 21, № 3. - С. 775-778.

[28] Васин, В. В. Устойчивая аппроксимация бесконечномерных задач линейного и выпуклого программирования / В. В. Васин // Известия вузов. Сер. математика. - 1978. - №11 (198). - С. 23-33.

[29] Васин, В. В. Некорректные задачи с априорной информацией / В. В. Васин, А. Л. Агеев. — Екатеринбург: Наука, 1993.

[30] Васин, В. В. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа. Теория и приложения / В. В. Васин, И. И. Еремин. — Екатеринбург: УрО РАН, 2005.

[31] Верлань, А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: справочное пособие / А. Ф. Верлань. — Киев: Наукова думка, 1986.

- 544 с.

[32] Воеводин, В. В. Вычислительная математика и структура алгоритмов / В. В. Воеводин. - М.: Изд-во МГУ, 2006. - 112 с.

[33] Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. - СПб: БХВ — Петербург, 2002. - 608 с.

[34] Вольцингер, Н. Е. Длинные волны на мелкой воде / Н. Е. Вольцингер.

— Л.: Гидрометеоиздат, 1985. — 160 с.

[35] Вольцингер, Н.Е. Длинноволновая динамика прибрежной зоны / Н.Е. Вольцингер, К.А.Клеванный, E.H. Пелиновский. — Л.: Гидрометеоиздат, 1989. — 271 с.

[36] Вольцингер, Н. Е. Теория мелкой воды / Н. Е. Вольцингер, Р. В. Пяс-ковский. — Ленинград: Гидрометеоиздат, 1977. — 207 с.

[37] Высокопроизводительные вычисления на кластерах: учебн. пособие / Под ред. A.B. Старченко. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2008. — 198 с.

[38] Гергель, В. П. Высокопроизводительные вычисления для многоядерных многопроцессорных систем: учебное пособие / В. П. Гергель. — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И.Лобачевского, 2010.

[39] Гергель, В. П. Теория и практика параллельных вычислений / В. П. Гергель. — Бином. Лаборатория знаний, 2007. — 424 с.

[40] Гергель, В. П. Основы параллельных вычислений для многопроцессорных вычислительных систем: учебное пособие / В. П. Гергель, Р. Г. Стронгин. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 2003.

[41] Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1979.

[42] Гапоненко, Ю. Л. Принцип стягивающего компакта для решения некорректных задач / Ю. Л. Гапоненко // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 263, № 6. - С. 1293-1296.

[43] Гончарский, А. В. Обобщенный принцип невязки / А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г. Ягола // Журн. вычислительной математики и математической физики. - 1973. - Т. 13, № 2. - С. 294-302.

[44] Гончарский, А. В. О принципе невязки при решении нелинейных некорректных задач / А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г. Ягола // Доклады АН СССР. - 1974. - Т. 241, № 3. - С. 499-500.

[45] Гончаровский, A.B. Численные методы решения обратных задач астрофизики / A.B. Гончаровский, A.M. Черепащук, А.Г. Ягола. — М.: Наука, 1978. - 336 с.

[46] Гилл, А. Динамика атмосферы и океана: В 2-х т / А. Гилл. — М.: Мир, 1986. - 1 т. - 396 с.

[47] Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. — М.: Изд-во иностран. литер., 1962.

[48] Дементьева, Е. В. Параллельные реализации метода конечных элементов для уравнений мелкой воды / Е.В. Дементьева // Труды XLIII краевой научной студенческой конференции по математике и компьютерным наукам. — Красноярск: ИПК СФУ, 2010. — С. 33-37.

[49] Дементьева, Е. В. Анализ параллельных реализаций МКЭ для моделей мелкой воды / Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова // Труды пятой Сибирской конф. по параллельным и высокопроизводительным вычислениям. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. - С. 87-91.

[50] Дементьева, Е. В. Обратная задача с неизвестной граничной функцией для уравнений мелкой воды / Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова // Труды пятой междунар. конф. «Системн. анализ и информац. технологии», САИТ-2013. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2013. - Т. 1. - С. 56-65.

[51] Дементьева, Е. В. Параллельная реализация задачи о граничной функции для уравнений мелкой воды / Е.В. Дементьева, Е.Д. Карепова // Тез. междунар. конф. «Обратные и некорректные задачи математ. физики». — Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2012. — С. 191.

[52] Дементьева, Е.В. Параллельные реализации МКЭ для начально-краевой задачи для уравнений мелкой воды / Е. В. Дементье-

ва, Е.Д. Карепова // Труды VI Всесибирского конгресса женщин-математиков. — Красноярск, 2010. — С. 100-104.

[53] Дементьева, Е. В. Численное моделирование распространения длинных волн в больших акваториях с помощью SMP-узловых кластеров [Электронный ресурс] / Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова // Труды междунар. конф. «Математ. и информац. технологии, MIT-2011». - № гос. регистрации 0321102644, НТЦ «Информре-гистр». — 2011. — Режим доступа: http://conf.nsc.ru/files/conferences /М1Т-2011/fulltext/42116/56787/Dementyeva.pdf.

[54] Дементьева, Е. В. Сравнение реализаций MPI: управление памятью, обмены данными в SMP-узловых кластерах / Е.В. Дементьева, Е.Д. Карепова, A.B. Малышев // Материалы междунар. научно-техн. конф. «Суперкомпьютер, технологии: разраб., программирование, применение (СКТ-2010)». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - Т. 1. - С.68-72.

[55] Дементьева, Е. В. Эффективность численного моделирования на кластерных системах распространения поверхностных волн / Е. В. Дементьева, Е.Д. Карепова, A.B. Малышев // Вестник НГУ. Серия «Информационные технологии». — 2011. — Т. 9, Вып. 1. — С. 11-20.

[56] Дементьева, Е. В. Восстановление граничной функции по данным наблюдений для задачи распространения поверхностных волн в акватории с открытой границей / Е.В. Дементьева, Е.Д. Карепова, В.В. Шайду-ров // Сиб. журн. индустр. математики. — 2013. — XVI, №1. — С. 10-20.

[57] Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач / A.M. Денисов. — М.: Изд-во МГУ, 1994.

[58] Денисов, Д. В. Метод итеративной регуляризации в задачах условной минимизации / Д. В. Денисов // Журн. вычислит, матем. и матем. физ. - 1978. - Т. 18 (6). - 1405-1415.

[59] Иванов, В. К. О линейных некорректных задачах / В. К. Иванов // Докл. АН СССР. - 1962. - Т. 145, № 2. - С. 270-272.

[60] Иванов, В. К. О некорректно поставленных задачах / В. К. Иванов // Матем. сборник. — 1963. — Т. 61, №2.

[61] Иванов, В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода / В. К. Иванов // Журн. вычислит, матем. и матем. физ. — 1966. - Т. 6, № 16. - С. 1089-1094.

[62] Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения /

B. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. - М.: Наука, 1978. — 206 с.

[63] Илларионов, А. А. Введение в функциональный анализ: учебное пособие / A.A. Илларионов. - 2008. — 141 с.

[64] Ильин, В. П. О стратегиях распараллеливания в математическом моделировании / В. П. Ильин // Программирование. — 1999. - № 1. -

C. 41-46.

[65] Ильин, В. П. Параллельные алгоритмы для больших прикладных задач: проблемы и технологии / В. П. Ильин // Автометрия. — 2007. — Т. 43, № 2. - С. 3-21.

[66] Ильин, В. П. Проблемы высокопроизводительных технологий решения больших разреженных СЛАУ / В. П. Ильин // Вычислительные методы и программирование. - 2009. - Т. 10, № 1. — С. 130-136.

[67] Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи. Учебник для студентов высших учебных заведений / С. И. Кабанихин. — Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2009. — 457 с.

[68] Кабанихин, С. И. Итерационные методы решения обратных и некорректных задач / С. И. Кабанихин, М. А. Бектемесов, А. Т. Аяпбергенова. — Алматы: Наука, 2004. — 425 с.

[69] Кабанихин, С. И. Методы решения некорректных задач линейной алгебры. Учебное пособие / С. И. Кабанихин, М. А Бектемесов., М. А. Шиш-ленин. — Алматы-Новосибирск: КазНПУ имени Абая, 2011. — 130 с.

[70] Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи для гиперболических уравнений / С. И. Кабанихин, К. Т. Искаков. — Алматы: КазНПУ, 2007. - 330 с.

[71] Кабанихин, С. И. Оптимизационные методы решения обратных гиперболических задач / С. И. Кабанихин, К. Т. Искаков. — Новосибирский государственный университет, 2002. — 315 с.

[72] Каган, Б. А. Взаимодействие океана и атмосферы Б.А. Каган. — JL: Гидрометеоиздат, 1992. — 333 с.

[73] Калашников, A. JI. Порядковая регуляризация некорректной задачи оптимального управления / A. JI. Калашников // Дифференциальные и интегральные уравнения. — Вып. 2. — Горький: Изд-во Горьковск. ун-та, 1978. - С. 124-129.

[74] Kamenshchikov, L. P. Simulation of surface waves in basins by the finite element method / L. P. Kamenshchikov, E. D. Karepova, V. V. Shaidurov // Russian J. On Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2006.

- V. 21, m 4. - P. 305-320.

[75] Карепова, E. Д. Решение задачи на ассимиляцию данных наблюдений для уравнений мелкой воды на SMP-узловых кластерах [Электронный ресурс] / Е.Д. Карепова, Е. В. Дементьева // Труды между-нар. конф. «Соврем, проблемы приклад, математики и механики: теория, эксперимент и практика». — № гос. регистрации 0321101160, НТЦ «Информрегистр». — 2011, — Режим доступа: http://conf.nsc.ru/niknik-90/reportview/38086.

[76] Карепова, Е.Д. Решение задачи на ассимиляцию данных наблюдений для уравнений мелкой воды на SMP-узловом кластере / Е. Д. Карепова, Е. В. Дементьева // Труды междунар. конф. по математ. моделированию. — Якутск: Изд-во «Сфера», 2012. — С. 314-320.

[77] Карепова, Е. Д. Параллельная реализация МКЭ для начально-краевой задачи мелкой воды / Е.Д. Карепова, В.В. Шайдуров // Вычислительные технологии. - 2009. - Т. 14, № 6. - С. 45-57.

[78] Карепова, Е. Д. Численное решение задачи на ассимиляцию данных наблюдений для уравнений мелкой воды / Е. Д. Карепова, В. В. Шайдуров, Е. В. Дементьева // Zbornik radova Konferencije MIT [Matematicke i informacione tehnologije] — Beograd: Alfa univerzitet, 2011. — C. 179-184.

[79] Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов.

— М.: Наука, 1975.

[80] Киреев, И. В. Пикселная технология дискретизации акватории Мирового океана / И. В. Киреев, С. Ф. Пятаев // Вычислительные технологии.

- 2009. - Т. 14, № 5. - С. 30-39.

[81] Ковач, М. Непрерывный аналог итеративной регуляризации градиентного типа / М. Ковач // Вестник Московского ун-та. Сер. вычислит, математ. и киберн. — 1979. — № 3. — С. 36-42.

[82] Корнеев, В. Д. Параллельное программирование в MPI / В. Д. Корнеев.

- Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2002. - 215 с.

[83] Крюков, В. А. Разработка параллельных программ для вычислительных кластеров и сетей / В. А. Крюков // Информационные технологии и вычислительные системы. — 2003. — № 1, 2. — С. 42-61.

[84] Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — М.: Изд-во «Мир», 1964.

[85] Лаврентьев, M. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / M. М. Лаврентьев. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

[86] Лаврентьев, M. М. Некорректные задачи математической физики и анализа // M. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский. — М.: Наука, 1980.

[87] Лаврентьев, M. М. Линейные операторы и некорректные задачи / M. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. — М.: Наука, 1991. — 331 с.

[88] Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж.-Л. Лионе. - М.: Мир, 1970. — 336 с.

[89] Леонов, A.C. О связи метода обобщенной невязки и обобщенного принципа невязки для нелинейных некорректных задач / А. С. Леонов // ЖВМиМФ. - 1979. - Т. 22, № 4. - С. 783-790.

[90] Лисковец, О. А. Дискретные схемы в методе регуляризации для некорректных экстремальных задач / О. А. Лисковец // Докл. АН СССР. — 1979. - Т. 248, № 6. - С. 1299-1303.

[91] Лисковец, О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач / O.A. Лисковец. — Минск: Наука и техника, 1981. — 344 с.

[92] Лупин, С. А. Технологии параллельного программирования / С. А. Лу-пин, М. А. Посыпкин. — М.: ИД «Форум»: ИНФРА-М, 2008. - 208 с.

[93] Малышев, А. Н. Введение в вычислительную линейную алгебру / А. Н. Малышев. — Новосибирск: Наука, 1991. — 228 с.

[94] Малышкин, В. Э. Введение в параллельное программирование мульти-компьютеров / В.Э. Малышкин. — М.: Новосибирск, 2003. — 268 с.

[95] Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. — М.: Наука, 1986.

[96] Марчук, Г. И. Динамика океанских приливов / Г. И. Марчук, Б. А. Каган. — Л.: Гидрометиздат, 1983. — 471 с.

[97] Марчук, Г. И. Численные методы в теории переноса нейтронов / Г. И. Марчук, В. И. Лебедев. — М.: Атомиздат, 1981.

[98] Марчук, А. Г. Численное моделирование волн цунами / А. Г. Марчук, Л. Б. Чубаров. — Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1983. — 175 с.

[99] Марчук, Г. И. Повышение точности решений разностных схем / Г. И. Марчук, В. В. Шайдуров. - М.: Наука, 1979.

100] Михлин, С. Г. Курс математической физики / С. Г. Михлин. — М.: Наука, 1968. — 575 с.

101] Морозов, В. А. О псевдорешениях / В. А. Морозов // Журн. вычислит, матем. и матем. физ. - 1969. - Т. 9, № 6. - С. 1387-1391.

102] Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов. — М.: Изд-во МГУ, 1987.

103] Пелиновский, Е. Н. Нелинейная динамика волн цунами / Е. Н. Пелинов-ский. - Горький: ИПФ АН СССР, 1982.

104] Пелиновский, Е. Н. Гидродинамика волн цунами / Е. Н. Пелиновский. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1996.

105] Романов, В. Г. Обратные задачи распространения волн / В. Г. Романов, С. И. Кабанихин // Математическое моделирование в геофизике. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1987. — С. 151-167.

106] Садовничий, В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. — 5-е изд., стереотип. — М: Дрофа, 2004. — 384 с.

107] Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. — М.: Наука, 1978.

108] Cea, Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы / Ж. Cea. — М.: Мир, 1973.

109] Старостенко, В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии / В. И. Старостенко. — Киев: Наукова думка, 1978.

110] Стокер, Дж. Дж. Волны на воде / Дж. Дж. Стокер. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. — 620 с.

111] Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. — 1963. — Т. 151, 3. - С.501-504.

112] Тихонов, А. Н. Об устойчивости обратных задач / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. - 1943. - Т. 39, № 5. - С. 195-198.

113] Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М.: Наука, 1979.

114] Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных экстремальных задач / А. Н. Тихонов, Ф. П. Васильев // Banach Center Publications. — 1978. — V. 3, № 1. - P. 297-342.

115] Тихонов, A.H. О регуляризации задач минимизации на множествах, заданных приближенно / А. Н. Тихонов, Ф. П. Васильев, М. М. Потапов // Вестник МГУ. Серия вычислит, математики и кибернетики. — 1977. - № 1. - С. 4-19.

116] Тихонов, А. Н. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация / А. Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, 1983. - 200 с.

117] Тихонов, А. Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, A.B. Гончарский, В.В. Степанов, А. Г. Ягола. — М.: Наука, 1990. - 232 с.

[118] Тихонов, А. Н. Некорректно поставленные задачи / А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, М.М. Лаврентьев // Труды симпозиума «Дифференциальные уравнения с частными производными». — М.: Наука, 1970. — С. 224-239.

[119] Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М.: Наука, 1980. - 495 с.

[120] Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны: монография / Дж. Уизем.

- М. : Мир, 1977. - 622 с.

[121] Федоров, В. В. Численные методы максимина / В. В. Федоров. — М.: Наука, 1979.

[122] Федотова, 3. И. Нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды на вращающейся сфере / 3. И. Федотова, Г. С. Хакимзянов // Вычисл. технологии. - 2010. - Т. 15, № 3. - С. 135-145.

[123] Федотова, 3. И. Нелинейно-дисперсионные модели волновой гидродинамики в задачах о генерации волн цунами оползнем / 3. И. Федотова, Л. Б. Чубаров, Г. С. Хакимзянов// Фундаментальная и прикладная гидрофизика. - СПб.: Наука. - 2009. - № 2 (4). - С. 59-66.

[124] Фридман, В.М. О сходимости методов типа наискорейшего спуска / В.М. Фридман // Успехи математических наук. — 1962. — Т. 17, № 3.

- С. 201-208.

[125] Хакимзянов, Г. С. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами / Г. С. Хакимзянов, Ю. И. Шокин, В. Б. Барах-нин, Н.Ю. Шокина. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.

[126] Хейгеман, Л. Прикладные итерационные методы / Л. Хейгеман, Д. Янг.

- М.: Мир, 1986. - 446 с.

[127] Ягола А. Г. Некорректные задачи и численные методы их решения / А. Г. Ягола //В «Энциклопедическая серия «Энциклопедия низкотемпературной плазмы». Серия Б. Справочные приложения, базы и банки данных. Тематический том VII-I. Математическое моделирование в низкотемпературной плазме», Часть 1, Раздел II, Глава 9. — М.: Янус-К, 2008. - С. 172-181.

[128] Ягола, А. Г. О выборе параметра регуляризации по обобщенному принципу невязки / А. Г. Ягола // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 245, №. - С. 37-39

[129] Ягола, А. Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач в рефлексивных пространствах / А. Г. Ягола // ЖВМиМФ. - 1980. - Т. 20, № 3. - С. 586-596.

[130] Ягола, А. Г. О решении нелинейных некорректных задач с помощью обобщенного метода невязки / А. Г. Ягола // ДАН СССР. — 1980. — Т. 252, № 4. - С. 810-813.

[131] Ягола, А. Г. Обобщенный принцип невязки в рефлексивных пространствах / А. Г. Ягола // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 249, № 1. -С. 71-73.

[132] Arioli, М. Discrete interpolation norms with applications / M. Ariol, D. Loghin // SIAM J. Numer. Anal. - 2009. - V. 47 (4). - P. 2924-2951.

[133] Agoshkov, V. I. Inverse problems of the mathematical theory of tides: boundary-function problem / V. I. Agoshkov // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 2005. - V. 20, № 1. - P. 1-18.

[134] Agoshkov, V. Mathematical and numerical modelling of shallow water flow / V. Agoshkov, D. Ambrosi, V. Pennati, A. Quarteroni, F. Saleri // Computational Mechanics. — 1993. - V. 11. - P. 280-299.

[135] Agoshkov, V. I. Numerical Solution of Some Direct and Inverse Mathematical Problems for Tidal Flows / V. I. Agoshkov, L. P. Kamenschikov, E.D. Karepova, V.V. Shaidurov // Computational Science and High Performance Computing. — Springer Berlin Heidelberg, 2008. — V. 101. - P. 31-43.

[136] Agoshkov, V. I. Recent developments in the numerical approximation of shallow water equations. II Temporal discretization / V. I. Agoshkov, E. Ovchinnikov, A. Quarteroni, F. Saleri // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. — 1994. - V. 4. - P. 533-556.

[137] Agoshkov, V. I. Recent developments in the numerical simulation of shallow water equations. I-boundary conditions / V. I. Agoshkov, A. Quarteroni, F. Saleri // Applied Numerical Mathematics. — 1994. — V. 15. - P. 175-200.

[138] Agoshkov, V. I. Recent developments in the numerical simulation of shallow water equations. Ill-boundary conditions and finite element approximations in the river flow calculations / V. I. Agoshkov, F. Saleri // Матемаическое моделирование. — 1996. — Т. 8, № 9. - С. 3-24.

[139] Chubarov, L.B., Khakimzyanov G.S., Shokina N.Y. Numerical modelling of surface water waves arising due to movement of underwater landslide on irregular bottom slope / L. B. Chubarov, G. S. Khakimzyanov, N. Y. Shokina // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design. — Springer, 2011. - V. 115. - P. 75-91.

[140] Davies, H. On the lateral boundary conditions for the primitive equations / H. Davies // J. Atmospheric Sci. - 1973. - V. 30. - P. 147-150.

[141] Davies, H. «Reply» to «Comments "On the lateral boundary conditions for the primitive equations"» / H. Davies //J. Atmospheric Sci. — 1974. — V. 31. - P. 596-597.

[142] Dementyeva, E. The Inverse Problem of a Boundary Function Recovery by Observation Data for the Shallow Water Model / E. Dementyeva // Book of abstracts: ENUMATH 2013. - EPFL, 2013. - P. 96-97.

[143] de Rivas, E. «Comments "On the lateral boundary conditions for the primitive equations"» / E. de Rivas //J. Atmospheric Sci. — 1974. — V. 31. - P. 596.

[144] Dutton, J. The nonlinear quasi-geostrophic equation: existence and uniqueness of solutions on a bounded domain / J. Dutton //J. Atmospheric Sci. - 1974. - V. 31. - P. 422-433.

[145] Engl, H.W. Regularization of Inverse Problems / H.W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996.

[146] Elvius, T. Computationally efficient schemes and boundary conditions for a fine-mesh barotropic model based on the shallow-water equations / T. Elvius, A. Sundstrom // Tellus. - 1973. - V. 25. - P. 132-156.

[147] Erritsen, H. Accurate boundary treatment in shallow water flow computations / H. Erritsen. — Rotterdam, Netherlands, 1982.

[148] Fhidrichs, K. 0. Symmetric positive linear differential equations / K. 0. Fhidrichs // Communs Pure and Appl. Math. — 1958. — V. 11, 3. — P. 333-418.

[149] Gusyakov, V. K. Some approaches to local modelling of tsunami wave runup on a coast / V. K. Gusyakov, Z. I. Fedotova, G. S. Khakimzyanov, L. B. Chubarov, Y. I. Shokin // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2008. - № 6. - P. 551-565.

[150] Higham, N. J. Computing Matrix Functions / N. J. Higham, A. H. Al-Mohy.

— E-Print: Manchester Institute for Mathematical Sciences, 2010.

[151] Isakov, V. Inverse problems for partial differential equations / Victor Isakov // Applied mathematical sciences. — Second edition. — Springer, 2006. — V. 127. - 358 p.

[152] Kabanikhin, S. I. Inverse and ill-posed problems: theory and applications / S.I. Kabanikhin. — Berlin: De Gruyter, 2011. - 475 p.

[153] Kamenshchikov, L. P. Simulation of surface waves in basins by the finite element method / L. P. Kamenshchikov, E. D. Karepova, V. V. Shaidurov // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 2006. - V. 21 (4). — P. 305-320.

[154] Kammerer, W.J. Iterative methods for best approximate solutions of linear integral equations of the first and second kinds /W.J. Kammerer, M.Z. Nashed // J. Math. Anal, and Appl. - 1972. - V. 40, № 3. -P. 547-573.

[155] Karepova, E. D. Recovery of boundary function by observation data in shallow water model / E. D. Karepova, E. V. Dementyeva // Abstracts of the 6th International Conference «Inverse Problems: Modeling and Simulation».

- Turkey, Izmir: Izmir University Publ., 2012. - P. 294-295.

[156] Karepova, E. Solution of Assimilation Observation Data Problem for Shallow Water Equations for SMP-Nodes Cluster / E. Karepova,

E. Dementyeva // Lecture Notes in Computer Science. — Springer Berlin Heidelberg, 2011. - V. 6873. - P. 444-451.

[157] Karepova, E. The Numerical Solution of the Boundary Function Inverse Problem for the Tidal Models / E. Karepova, E. Dementyeva // Lecture Notes in Computer Science. — Springer Berlin Heidelberg, 2013. — V. 8236.

- P. 345-354.

[158] Karepova, E. Comparison of MPI implementations memory management and data exchange for SMP-nodes clusters / E. Karepova, E. Dementyeva, A. Malyshev // Proceedings of the Fifth International Conference Finite Difference Method: Theory and Applications. — Bulgaria: University of Rousse «Angel Kanchev», 2011. — P. 88-96.

[159] Karepova, E. The numerical solution of data assimilation problem for shallow water equations / E. Karepova, V. Shaidurov, E. Dementyeva // Int. J. of Num. Analysis and Modeling, Series B. — 2011. — V. 2, № 2-3.

- P. 167-182.

[160] Kowalik, Z. Tides in the Sea of Okhotsk / Z. Kowalik, I. Polyakov //J. Phys. Oceanogr. - 1998. - V. 28 (7). - P. 1389-1409.

[161] Kreiss, H. O. Initial boundary value problems for hyperbolic equations / H.O. Kreiss // Comm. Pure Appl. Math. - 1970. - V. 23. - P. 277-298.

[162] Kreiss, H. O. Initial boundary value problems for hyperbolic equations / H.O. Kreiss // Lecture Notes in Mathematics. — Berlin: Springer-Verlag, 1974. - V. 363.

[163] Lax, P. D. Local boundary conditions for dissipative simmetric linear differential operators / P. D. Lax, B. S. Phillips // Communs Pure and Appl. Math. - 1960. - V. 13, № 3. - P. 427-456.

[164] Majda, A. Initial boundary value problems for hyperbolic equations with uniformly characteristic boundaries / A. Majda, S. Osher // Comm. Pure Appl. Math. - 1975. - V. 28. - P. 607-675.

[165] Romate, J. E. Absorbing boundary conditions for free surface waves / J. E. Romate // Journal of Computational Physics. — 1992. — V. 99. — P. 135-145.

[166] Strikwerda, J. Initial boundary value problems for incompletely parabolic systems: Ph. D. thesis / J. Strikwerda. — CA, Stanford, Stanford Univ., Dept. of Math., 1976.

[167] Oliger, J. Theoretical and practical aspects of some initial boundary value problems in fluid dynamics / J. Oliger, A. Sundstrom // SIAM Jour. Appl. Math. - 1978. - V. 35. - P. 418-446.

[168] Thomee, V. Stability theory for partial difference operators / V. Thomee // SIAM Review. - 1969. - V. 11, № 2. - P. 152-195.