Развитие метода D-разбиения в задачах анализа и синтеза систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Грязина, Елена Николаевна

• Грязина, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грязина, Елена Николаевна

Обозначения

Введение

1 Классическая задача £>-разбиения

1.1 Введение.И

1.2 Один вещественный параметр.

1.3 Один комплексный параметр.

1.4 Два вещественных параметра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие метода D-разбиения в задачах анализа и синтеза систем управления»

Вопросы устойчивости систем являются центральными в теории автоматического управления. История становления и развития этой проблематики не оставила равнодушным пи одного исследователя в этой области, перечислим лишь некоторые очерки, посвященные истории вопроса [2,17,35].

Начало систематических исследований вопросов устойчивости было заложено в работах Максвелла и Вышнеградского [83], которые посвящены линейным системам, чьи характеристические уравнения имеют третью степень. В работе И.А. Вышнеградского [99] в завершенной форме сформулированы условия устойчивости таких полиномов, их называют условиями Вышнеградского. Естественным развитием этих работ стала задача о нахождении условий устойчивости полиномов произвольной степени, поставленная Максвеллом [83] в конце XIX столетия. Оказывается, эта задача была на тот момент фактически решена Ш. Эр-митом [71], однако, его результаты не были доведены до практически удобных алгоритмов или формул и остались неизвестными специалистам, работающим в прикладных областях. Удобный алгоритм, позволяющий для произвольного полинома определить за конечное число простых арифметических действий, является ли полином устойчивым, был предложен Е. Раусом [89]. Чуть позже, опираясь на работу Эр-мита, А. Гурвиц [75] дал независимое от Рауса второе решение этой задачи в виде некоторых неравенств. Это решение получило всеобщую известность, а условия, найденные Гурвицем, называют теперь условиями Рауса-Гурвица. Более того, полиномы с корнями в левой комплексной плоскости иногда называют гурвицевыми. Позднее А. Льенару и М. Шипару [81] удалось примерно вдвое уменьшить число неравенств в критерии Гурвица. В дальнейшем условия Гурвица в той или иной форме неоднократно исследовались и переоткрывались. Например, широко известный амплитудно-фазовый критерий А.В. Михайлова [20] является геометрическим представлением результатов Эрмита.

Нужно сказать, что уже Раус (и все последующие математики, занимавшиеся устойчивостью полиномов) решали на самом деле более общую задачу: найти критерии того, что полином имеет заданное число корней внутри замкнутого контура. Критерий Найквиста [85] возник совершенно на другой основе, в связи с исследованием устойчивости работы различных электрических контуров, содержащих электронные усилители с обратной связью.

Развитие идеи Вышнеградского описывать область устойчивости в пространстве параметров системы было предпринято в работах А.А. Андронова и А.Г. Майера [3], А.А. Соколова [38], Р.А. Фрейзера и В.Д. Дункана [64], Д. Митровича [84], Д. Шильяка [91-93], С. Лехника [80]. Фундаментальная серия работ Ю.И. Неймарка [21-23] с одной стороны, является геометрической трактовкой частотных критериев Найквиста-Михайлова, с другой стороны, метод D-разбиения пространства параметров линейных систем дает новую технику решения не только задачи устойчивости, но и многих других задач анализа и синтеза, в том числе в робастной постановке.

Неоднократно отмечалось [2], что D-разбиение представляет собой контурное отображение границы заданного контура в плоскости корней характеристического полинома в пространство параметров системы, линейно входящих в этот полином. Несмотря на то, что при формулировке метода D-разбиения размерность пространства параметров никак не оговаривается (единственными предположениями является линейная зависимость от параметров и связность контура в плоскости корней), широкое применение метод нашел лишь в случае одного или двух параметров. Принципиальной трудностью применения D-разбиения для систем из многих звеньев служит тот факт, что параметрами реальной системы, как правило, служат величины, характеризующие ее элементы (постоянные времени, коэффициенты усиления и т.д.), и коэффициенты характеристического полинома являются сложной нелинейной функцией этих параметров. Тот же эффект присутствует при рассмотрении систем с матричными передаточными функциями, поскольку детерминант является нелинейной функцией от элементов матрицы.

В западной литературе метод D-разбиения, к сожалению, не получил в свое время широкого распространения. Случай одного параметра анализировался с помощью метода корневого годографа [61], идея отображения различных контуров (не только мнимой оси) в плоскости корней в пространство параметров получило развитие в работе [84], частный случай нелинейно входящих в характеристический полином параметров описан в методе параметрической плоскости [91-93]. Наиболее последовательно метод D-разбиения описан в работах Ю. Акер-мана [45,46], независимо от Неймарка значительно позже аналогичный метод был предложен Д. Атертоном [95,96]. Исследование многомерной области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома дискретных систем произвольного порядка приведено в работе [62], описание области устойчивости в многомерном пространстве для непрерывных и дискретных аффинных семейств полиномов специального вида принадлежит [59,60].

-разбиение дает наглядное представление области устойчивости в пространстве параметров, и уже для двух параметров структура разбиения плоскости имеет весьма причудливый вид. В монографии [37] при описании критерия Найквиста показано, что наличие самопересечений годографа Найквиста существенным образом влияет на суждение об асимптотической устойчивости замкнутой системы. В работе [45] впервые отмечено, что на плоскости двух параметров область устойчивости может быть несвязной, т.е. иметь несколько компонент. Позднее в работе Николаева [28] приводится пример, где число устойчивых компонент на плоскости двух коэффициентов полинома произвольной степени на один меньше степени полинома. Исследованию многомерной области устойчивости линейных систем управления посвящена серия работ [27,29,30]. Несмотря на описание особенностей области устойчивости [16], исследование картины областей с постоянным количеством устойчивых корней проводится в настоящей работе впервые. При анализе структуры D-разбиения затрагиваются топологические свойства алгебраических кривых, которые восходят к 16-ой проблеме Гильберта [5] о топологии алгебраических кривых и поверхностей.

В начале 90-х годов XX века с возникновением интереса к управлению в условиях неопределенности (робастному управлению) Ю.И. Ней-марк указал на связь ^-разбиения с робастностью [25]. Это направление оказалось весьма плодотворным. Впервые простейшая задача о робаст-ной устойчивости полинома при интервальной неопределенности коэффициентов рассмотрена С. Фаедо [63]. позднее B.JI. Харитонов сформулировал элегантный критерий решения этой задачи [40]. Это направление оказалось весьма плодотворным. Существенный вклад в исследование робастности линейных систем управления сделал Я.З. Цып-кин [42-44,97,98], методы анализа и синтеза систем управления при наличии неопределенности содержатся в монографиях [32,51,78].

В недавнее время наряду с новой техникой исследования робастно-сти, оказались весьма плодотворными классические идеи D-разбиения. Теперь в роли параметров выступают неопределенные параметры системы или матрица обратной связи по выходу. В ряде случаев приходится иметь дело не с одной системой, а с целым семейством. В случае, когда параметры трактуются как возмущения номинальной системы, норма возмущающей матрицы, содержащей параметры, несет информацию о радиусе устойчивости. Формула для комплексного радиуса устойчивости матриц получена в работе [72]; для вещественного радиуса устойчивости в течение долгого времени существовали лишь оценки снизу, эта проблема разрешена в знаменитой статье шести авторов [88]. Метод D-разбиения в этой задаче предоставляет гораздо больше информации, чем это нужно непосредственно для нахождения радиуса устойчивости, и дает возможность оптимизировать дополнительные критерии качества системы. Связи /i-анализа [101] с устойчивостью неопределенных полиномов посвящена статья [56].

При обобщении идеи D-разбиения на системы с матричными передаточными функциями оказалось, что рассматриваемая система предстает в виде так называемой М — Д-конфигурации — общей схемы анализа задач с неопределенностью, получившей широкое распространение в современных исследованиях. Согласно методологии /i-анализа [101], неопределенные параметры собраны в матрицу Д, по параметрам которой и производится D-разбиение. Для некоторых классов структуры этой матрицы D-разбиение будет описано в третьей главе диссертационной работы.

Другой классической областью применения D-разбиения является синтез регуляторов низкого порядка. Особенно эффективно его применение для задачи синтеза регуляторов заданной структуры, т.е. когда порядок регулятора фиксирован, свобода остается лишь в выборе параметров регулятора. Для наглядного представления результатов обычно предполагается, что имеется лишь два настраиваемых параметра регулятора, что позволяет широко использовать графические методы. Таким образом, задача синтеза сводится к нахождению области в пространстве параметров такой, что соответствующие регуляторы стабилизируют заданную систему. Недавний всплеск интереса к простым по своей структуре регуляторам, работа которых основана на понятных физических принципах, отражен в работах [13,47, 53,55, 57, 65, 73, 76,

77,86,90,94]. Поскольку техника D-разбиения позволяет выделить всю область устойчивости, это дает возможность проводить прямую оптимизацию по параметрам регулятора, что успешно продемонстрировано в работе [13].

Построение и анализ области устойчивости продолжает оставаться одним из эффективных методов проектирования систем управления, так как обеспечивает разработчика наиболее полной и наглядной информацией о допустимой зоне изменения параметров регулятора в условиях, когда требования к системе могут существенно изменяться в процессе разработки. Неисследованный потенциал метода D-разбиения для решения широкого спектра прикладных задач теории управления обосновывает актуальность диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является исследование структуры области устойчивости в пространстве параметров линейных непрерывных и дискретных систем управления. В рамках такого исследования получены оценки количества областей D-разбиения для ряда широкораспространенных случаев, рассмотрены полиномиальные семейства, для которых можно явно построить область устойчивости в многомерном пространстве, и получено выражение для радиуса устойчивости. Кроме того, техника .D-разбиения распространена на специальные классы систем с матричными передаточными функциями.

Диссертация состоит из трех глав, каждая из которых посвящена самостоятельной научной проблематике, главы связаны одинаковой методологией. Первая глава развивает классический метод D-разбиения для характеристических полиномов с линейно входящими параметрами, рассмотрены случаи, когда число параметров не превышает двух, и области с различным количеством устойчивых корней характеристического полинома можно изобразить графически. Во второй главе исследуются системы с аффинной неопределенностью специального вида, для которых предлагается простой способ выделения области устойчивости и нахождения радиуса устойчивости для различной нормы неопределенности для непрерывных и дискретных систем. Третья глава посвящена обобщению метода D-разбиеиия на случай систем с матричными передаточными функциями. В заключительной части диссертации кратко представлены основные полученные результаты, выносимые на защиту, и список литературы, который дает довольно полное представление о текущем состоянии проблемы.

Все полученные и представленные здесь результаты опубликованы в ряде ведущих отечественных [6,11] и западных [68,69] научных журналах, а также в трудах международных конференций [7-10,33,34,66,67, 87], обсуждались на различных научных семинарах как у нас в стране, так и за рубежом.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Грязина, Елена Николаевна

Выводы

Данная диссертационная работа посвящена вопросам построения областей в пространстве параметров с заданным количеством устойчивых собственных значений передаточной матрицы (для одномерных систем — корней характеристического полинома) непрерывных и дискретных линейных систем управления. Основным инструментом анализа является техника D-разбиения. Интерес к области устойчивости в пространстве параметров тесно связан с проблемой робастной устойчивости и представляются естественными во многих практических задачах.

Представленные в диссертационной работе результаты позволяют распространить широко известную технику D-разбиения на случай многомерных систем специального вида и модифицировать ее для систем с матричными передаточными функциями. Для этих случаев, как и для классического D-разбиения для полиномов, приводятся оценки количества областей с постоянным количеством устойчивых корней.

В контексте задачи классического D-разбиения и новых областей его применения сформулируем основные новые результаты, полученные автором и описанные в трех главах настоящей работы и выносимые на защиту.

• Подробно изучены геометрические свойства D-разбиения для полиномов, число параметров которых не превосходит двух. При этом области с различным количеством устойчивых корней характеристического полинома можно изобразить графически.

• Предложен эффективный алгоритм выделения интервалов устойчивости по одному параметру.

• Приведены оценки сверху общего количества областей, на которые разбивается плоскость параметров для полиномов с одним и двумя линейно входящими параметрами. При получении оценок использован аппарат алгебраической геометрии (формулы Эйлера и теоремы Везу).

• Описаны семейства полиномов, для которых удается построить явно область устойчивости в многомерном (а не только двумерном) пространстве параметров. В непрерывном случае параметры должны входить в аффинное семейство с полиномами содержащими только четные или нечетные степени. В дискретном случае параметры должны присутствовать при симметричных или антисимметричных полиномах одной и той же степени.

• Для семейств полиномов специального вида дано описание области устойчивости с помощью систем линейных относительно параметров неравенств и приведено явное выражение для радиуса робастной устойчивости при различной норме неопределенности.

• В случае несвязной области устойчивости предлагается аналитический способ выбора компоненты, содержащей заданный устойчивый номинальный полином.

• Приведены оценки количества систем неравенств, описывающих в случае разрешимости компоненты области устойчивости.

• Предложено обобщение метода D-разбиения на случай систем с матричными передаточными функциями. Условие изменения числа устойчивых собственных значений матрицы, зависящей от параметров, формулируется через вырождение некоторой новой матрицы.

• Выделено несколько классов матриц, содержащих параметры, для которых уравнение D-разбиение допускает аналитическое решение. При этом если число параметров не превосходит двух, результат может быть представлен графически.

• Проведен анализ получившейся картины D-разбиения и сделаны некоторые оценки числа областей с заданным количеством устойчивых собственных значений. Результаты справедливы как для непрерывных так и для дискретных систем.

Проведенное исследование показывает, что потенциальные возможности идеи D-разбиения не ограничиваются исходной областью применения этой техники для полиномов, а простираются далеко за ее пределы. Полученные результаты представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения.

3.8 Заключение

В третьей главе приведено обобщение метода D-разбиения на случай систем с матричными передаточными функциями. Для этого условие изменения числа устойчивых собственных значений матрицы, зависящей от параметров, формулируется через вырождение некоторой новой матрицы. Этот результат созвучен основной теореме о D-разбиении, показывающей, когда происходит смена числа устойчивых корней полинома. Рассматриваемая система должна быть представлена в виде так называемой М — А-конфигурации — общей схемы анализа задач с неопределенностью, получившей широкое распространение в современных исследованиях. Такое представление подразумевает, что все параметры содержатся в отдельной матрице, через которую номинальная матрица замыкается в цепи обратной связи.

В данной главе выделено несколько классов матриц, содержащих параметры, для которых уравнение D-разбиение допускает аналитическое решение. При этом, если число параметров не превосходит двух, результат может быть представлен графически. Проведен анализ получившейся картины D-разбиения, и сделаны некоторые оценки числа областей с заданным количеством устойчивых собственных значений. D-разбиение несет в себе много дополнительной информации, использование которой ведет к более эффективному решению задач синтеза регуляторов и исследованию робастных свойств систем. Результаты справедливы как для непрерывных так и для дискретных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грязина, Елена Николаевна, 2007 год

1. Айзерман М.А. Лекции по теории автоматического регулирования. М.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1958.

2. Айзерман М.А. Краткий очерк становления и развития классической теории регулирования в управлении // Автоматика и телемеханика, 1993, JY5 7, С. 6-18.

3. Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и Телемеханика, 1946, № 7, С. 95106.

4. Воронов А.А. Элементы теории автоматического регулирования. М.: Изд-во министерства обороны СССР, 1954.

5. Гильберт Д. Избранные труды. Т.1,2. М.: "Факториал", 1998.

6. Грязина Е.Н. К теории D-разбиения. //Автоматика и Телемеханика, 2004, № 12, С. 15-28.

7. Грязина Е.Н. D-разбиение для матриц. Труды XLVII научной конференции МФТИ, часть III, 2004, С. 139-141.

8. Грязина Е.Н. О структуре области устойчивости линейных систем, сборник материалов VI конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, 2005, С. 208-214.

9. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т., Развитие метода D-разбиения, Труды VII всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 19-22 сентября, 2005, С. 279281.

10. Грязина Е.Н. Многомерная область устойчивости для полиномов специального вида, Труды 37 региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 20 января 3 февраля, 2006, С. 181-185.

11. И. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида // Автоматика и Телемеханика. 2007, № 12, С. 38-52.

12. Джури Э.И. Робастность дискретных систем. // Автоматика и Телемеханика, 1990, № 5, С. 3-28.

13. Киселев О. Н., Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию #оо и по критерию максимальной робастности // Автоматика и телемеханика, 1999, № 3, С. 119-130.

14. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

16. Левантовский Л.В. Особенности границы области устойчивости // Функциональный анализ и его прилоэюения, 1982, Т. 16, № 1, С. 44-48.

17. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования (Линеаризованные задачи)/ Ред. и ком-мент. А.А. Андронова, И.Н. Вознесенского. М.: Изд-во АН СССР, 1949. 430 с.

18. Мееров М.В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управления. М.: Наука, 1986.

19. Михайлов А.В. Гармонический метод в теории регулирования // Автоматика и телемеханика, 1938, № 3, С. 27-38.

20. Неймарк Ю.И. К задаче распределения корней полиномов // Доклады АН СССР, 1947, LVIII, № 3, С. 357-360.

21. Неймарк Ю.И. Структура D-разбиения пространства квазиполиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста // Доклады АН СССР, 1948, L, № 9, С. 1503-1506.

22. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. ЛКВВИА, 1949.

23. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

24. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость и D-разбиение // Автоматика и Телемеханика, 1992, № 7, С. 10-18.

25. Несенчук А.А. Анализ и синтез робастпых динамических систем на основе корневого подхода. Минск: ОИПИ НАН Беларуси, 2005. 234 с.

26. Николаев Ю.П. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика, 2001, № 11, С. 109-120.

27. Николаев Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика, 2002, № 7, С. 44-54.

28. Николаев Ю.П. Анализ геометрии D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // Автоматика и телемеханика, 2004, № 12, С. 49-61.

29. Николаев Ю.П. Построение и стратификация областей устойчивости линейных динамических систем с ПИД-регулятором // Автоматика и телемеханика, 2007, № 8, С. 180-190.

30. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастиой устойчивости и апериодичности линейных систем. // Автоматика и Телемеханика, 1990, К0- 9, С. 45-54.

31. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002, 304 с.

32. Поляк Б.Т., Грязина Е.Н. Геометрия D-разбиения, VIII Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» памяти Е.С. Пятницкого, Москва, 2004, С. 150-151.

33. Поляк Б.Т., Грязина Е.Н. Новые аспекты D-разбиения, Труды IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Иркутск, 12-16 июня, 2007, Т. 1: Пленарные доклады, С. 141-158.

34. Постников М.М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981; УР-СС, 2004.

35. Римский Г.В. Основы общей теории корневых траекторий систем автоматического управления. Минск: Наука и техника, 1972. 328 с.

36. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1978, 552 с.

37. Соколов А.А. Критерий устойчивости линейных систем регулирования с распределенными параметрами и его приложения // Инженерный сборник под ред. Н.А. Талицких — Москва-Ленинград: Изд-во Академии наук СССР, 1946. Т. II, вып. 2, С. 3-26.

38. Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. М.: Наука, 1972. 448 с.

39. Харитонов B.JI. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1978, Т.1, вып.11, С. 2086-2088.

40. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

41. Цыпкин Я.З. Робастность в системах управления и обработки данных // Автоматика и телемеханика, 1990, № 1, С. 165-169.

42. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастпая устойчивость линейных дискретных систем // Доклады АН СССР, 1991, Т. 316, № 4, С. 842846.

43. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивости линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Техническая кибернетика, Т. 32, М.: ВИНИТИ, 1991, С. 3-31.

44. Ackermann J. Parameter space design of robust control systems // IEEE Transactions on Automatic Control, V. AC-25, No. 6, 1980, C. 1058-1072.

45. Ackermann J. Robust Control: the Parameter Space Approach. London: Springer, 2002.

46. Ackermann J., Kaesbauer D. Stable polyhedra in parameter space.// Automatica, 2003, 39, C. 937-943.

47. Arnold's problems (под редакцией В.И. Арнольда.) Springer, 2004.

48. Bartlett А.С., Hollot C.V., Lin Н. Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges. // Mat. Contr. Sig. Syst., 1988, 1, C. 61-71.

49. Barinish В., Polyak B.T. The volumetric singular value and robustness of feedback control systems, Proceedings of the 32nd CDC, 1993, San Antonio, TX, C. 521-523.

50. Barmish B.R. New tools for robustness of linear systems. New York: MacMillan, 1995.

51. Bhattacharyya S.P., Chapellat H., Keel L. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

52. Bhattacharyya S.P., Tantaris R.N., Keel L.H. Stabilization of discrete-time systems by first-order controllers, //IEEE Transactions on Automatic Control, 2003, 48, No. 5, C. 858-861.

53. Bistritz Y. Zero location with respect to the unit circle of discrete time linear system polynomials // Proceedings IEEE, V. 72, C. 1131-1142, 1984.

54. Bozorg M. Robust performance of control systems containing parameter uncertainty / / Proceedings of European Control Conference, 2007, C. 2748-2754.

55. Chen J., Fan M.K.H., Nett, C.N. Structural singular value and stability of uncertain polynomials, II: a missing link. // System and Control Letters, 1994, 23, No.2, C. 97-109.

56. Datta A., Ho M.-T., Bhattacharyya S.P. Structure and Synthesis of PID Controllers. Springer, New York, 2000.

57. Dabbene F., Polyak В., Tempo R. On the Complete Instability of Interval Polynomials // System and Control Letters, 2007. C. 431438.

58. Delansky, J.F., Bose, N.K. Real and complex polynomial stability and stability domain construction via network realizability theory. // International Journal of Control, 1988, T. 48, № 3, C. 1343-1349.

59. Delansky, J.F., Bose, N.K. Schur stability and stability domain construction. // International Journal of Control, 1989, T. 49, № 4, C. 1175-1183.

60. Evans W.R. Control System Dynamics, McGraw-Hill, 1954.

61. Fam А.Т., Medich J.S. A canonical parameter space for linear system design // IEEE Transactions on Automatic Control, 1978, V. AC-23, № 3, C. 454-458.

62. Faedo S. Un nuova problerna di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. Scuola Norm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat., 1953, V. 7, No. 1-2, C. 53-63.

63. Frazer R.A., Duncan W.J. On the criteria for stability for small motions, // Proceedings Royal Society Ser. A, 1929, 124, C. 642-654.

64. Fujisaki Y., Oishi Y., Tempo R. A mixed probabilistic/deterministic approach to fixed order H^ controller design. Proceedings of the 45th CDC, 2006. C. 3554-3559.

65. Gryazina E.N. On the root invariant regions structure for linear systems. Proceedings of the 10th Baltic Olympiad on Automatic Control, Saint-Petersburg, 2004, C. 216-220.

66. Gryazina E.N., Polyak B.T. On the root invariant regions structure for linear systems. Proceedings of the 16th IFAC World Congress, 2005, Prague, Czech Republic.

67. Gryazina E.N., Polyak B.T. Stability regions in the parameter space: ^-decomposition revisited. // Automatica, 2006, T. 42, No. 1, C. 1326.

68. Gryazina E.N., The geometry and number of the root invariant regions for linear systems. // European Journal of Operational Research, 2007, T. 181, No. 3, C. 1166-1173.

69. Hamann J.C., Barmish B.R. Convexity of frequency response arcs associated with a stable polynomial, // IEEE Transactions on Automatic Control, 1993, 38, No.6, C. 904-915.

70. Hermite С. Sur la nombre des racines d'une equation algebrique comprise entre des limites donnees // Journal Reine Angevandte Mathematik, 1852, V. 52, C. 39-51.

71. Hinrichsen D., Pritchard A. Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation, // System and Control Letters, 1986, 8, C. 105-113.

72. Ho M.-T., Datta A., Bhattacharyya S.P. A new approach to feedback stabilization. Proceedings of the 35th CDC, 1996, C. 4643-4648.

73. Но M.T., Datta A., Bhattacharyya S.P. An elementary derivation of the Routh-Hurwits Criterion. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. T. 43, № 3, C. 405-409.

74. Hurwitz A. Uber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt // Mathematische Annalen, 1895, V. XLVI. C. 273-284.

75. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. PID controller synthesis free of analytical models. Proceedings of the 16th IFAC World Congress, 2005, Prague, Czech Republic.

76. Kiani F., Bozorg M. Design of digital PID controllers using the parameter space approach, // International Journal of Control, 2006, T. 79, № 6, C. 624-629.

77. Kogan J. Robust stability and convexity. London: Springer, 1995.

78. Kraus F.J., Anderson B.D.O., Mansour M. Robust Schur polynomial stability and Kharitonov's theorem // International Journal of Control, 1988, V. 45, No. 5, C. 1213-1225.

79. Lehnigk S. H. Stability Theorems for Linear Motions with an Introduction to Liapunov's Direct Method. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.

80. Lienard A., Chipart M. Sur la signe de la partie reelle des racines d'une equation algebrique // Journal Math. Pures Appl, 1914, V. 10, C. 291-346.

81. Lin, H., Hollot, C.V. Results on positive pairs of polynomials and their application to the construction of the stability domains. // International Journal of Control, 1987, T. 45, № 3, C. 153.

82. Maxwell J.С. On governors // Proceedings of Royal Society, 1868, № 100, C. 270-283.

83. Mitrovic D. Graphical analysis and synthesis of feedback control systems. I Theory and analysis, II - Synthesis, III - Sampled-data feedback control systems, // AIEE Transactions (Application and Industry), 1958-59, 77, C. 476-496.

84. Nyquist H. Regeneration theory. // Bell. System Techn. Journal, 1932, V. 11, C. 126-127.

85. Ozguler А. В., Kocan, A.A. An analytic determination of stabilizing feedback gains, Report, Institut fur Dynamische Systeme, Universitat Bremen, 1994.

86. Polyak B.T., Gryazina E.N Geometry of the stability domain in the parameter space: D-decomposition technique, Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference ECC, Seville, Spain, 2005, C. 6510-6515.

87. Qiu L., Bernhardsson В., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C. A formula for computation of the real stability radius, // Automatica, 1995, 31, No.6, C. 879-890.

88. Routh E. Advanced part of the dynamics of the system of rigid bodies. London, 1877.

89. Saadaoui K., Ozguler A.B. A new method for the computation of all stabilizing controllers of a given order, // International Journal of Control, 2005, 78, No.l, C. 14-28.

90. Siljak D. Analysis and synthesis of feedback control systems in the parameter plane. I Linear continuous systems, II - Sampled-data systems, // AIEE Transactions (Application and Industry), 1964, 83, C. 449-466.

91. Siljak D. Generalization of the parameter plane method, // IEEE Transactions on Automatic Control, 1966, AC-11, No. 1, C. 63-70.

92. Siljak D. Nonlinear systems: the parameter analysis and design. New York: Wiley, 1969.

93. Soylemez M.T., Munro N., Baki H. Fast calculation of stabilizing PID controllers. // Automatica, 39, 2003, C. 121-126.

94. Tan N., Kaya I., Yeroglu C., Atherton D. Computation of stabilizing PI and PID controllers using the stability boundary locus. // Energy conversion and management, 2006, V. 47, № 18-19, C. 3045-3058.

95. Tan N., Kaya I., Atherton D. A graphical method for computation of all stabilizing PI controllers. Proceedings of the 16th IFAC World Congress, 2005, Prague, Czech Republic.

96. Tsypkin Ya.Z., Polyak B.T. Frequency domain criteria for /p-robust stability of continuous linear systems, // IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, 36, No. 12, C. 1464-1469.

97. Tsypkin Ya.Z., Polyak B.T. High-gain robust control // European Journal of Control, 1999, V. 5, No. 1, C. 3-9.

98. Vishnegradsky I. Sur la theorie generale des regulateurs, // Compt. Rend. Acad. Sci, 1876, 83, C. 318-321.

99. Walker R.J. Algebraic curves. Princeton, New Jersey, 1950.

100. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.