Развитие и применение метода сплайн-аппроксимаций в задачах численного расчета стержней и пластинок с разрывными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Катеринина, Светлана Юрьевна

• Катеринина, Светлана Юрьевна
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Катеринина, Светлана Юрьевна

1. Современное состояние вопроса и задачи исследования.

1.1 Метод конечных разностей (метод сеток).

1.2. Метод конечных элементов.

1.3 Метод последовательных аппроксимаций.

Выводы по главе.

2. Построение конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений изгиба стержней и пластинок с разрывными параметрами на основе метода сплайн - аппроксимаций.

2.1.Постановка задачи и обоснование принятых допущений.

2.2 Построение дискретного аналога дифференциального уравнения изгиба пластинки на регулярной прямоугольной сетке узлов.

2.3 Построение дискретного аналога уравнения (2.2а) для произвольного узла сеточной области.

2.4 Определение кривизны линии прогибов в узлах сеточной области.

Выводы по главе.

3. Построение дискретных аналогов уравнения (2.2а) для контурных узлов сеточной области и для одномерных задач.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Построение дискретных аналогов для контурных узлов сеточной области.

3.3 Дискретные аналоги дифференциального уравнения (2.2а) для одномерных задач.

3.3.1. Сжато - изогнутые балки.

3.3.2. Балки на упругом основании.

4. Практическое применение метода сплайн - аппроксимаций (МСА) в решении задач строительной механики.

4.1. Системы разрешающих уравнений для сжато-изогнутых балок переменной жесткости.

4.1.1 Балки с нагрузкой, распределенной по кусочно-линейному закону

4.1.2 Балки с шарнирным закреплением узлов "О", "2".

4.1.3 Балки с жестким закреплением левого узла "О".

4.1.4 Сжато изогнутые шарнирно опертые балки.

4.1.5 Тестовые примеры.

4.2.Системы разрешающих уравнений для балок на упругом основании с переменными коэффициентами жесткости.

4.2.1 Поперечный изгиб балок переменной жесткости.

4.2.2 Продольно - поперечный изгиб балок постоянной жесткости при двух коэффициентах постели.

4.2.3 Тестовые примеры.

4.3. Системы разрешающих уравнений для тонких упругих плит.

4.3.1 Плита шарнирно опертая по контуру.

4.3.2. Плита, загруженная равномерно распределенной нагрузкой.

4.3.3. Плита, загруженная полосовой нагрузкой.

4.3. Тестовые примеры.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие и применение метода сплайн-аппроксимаций в задачах численного расчета стержней и пластинок с разрывными параметрами»

Повышение эффективности капитальных вложений на основе использования достижений научно-технического прогресса, применение экономичных проектных решений, снижение стоимости проектирования и строительства сооружений являются важной народно - хозяйственной задачей.

Совершенствование проектных решений может быть достигнуто за счет разработки математических моделей, максимально приближенных к действительной работе конструкции.

Современный уровень развития строительной механики, вычислительной техники и компьютерно-информационных технологий обеспечивает принципиальную возможность расчета сооружений с учетом их реальных свойств и различных особенностей их работы на основе численных методов.

Однако необходимо отметить, что при разработке и реализации методов расчета конструкции проблемы математического характера, связанные с усложнением расчетных схем, ограниченным объемом памяти и быстродействием ЭВМ остаются актуальными и на сегодняшний день.

Одной из таких проблем является проблема расчета конструкций с разрывными параметрами. Разрывные параметры, имеющие следствием разрывный характер решений, можно условно разделить на несколько групп:

- разрывы нагрузок (кусочно - переменные, распределенные по длине балки или стержня, по поверхности пластинки или оболочки);

- разрывы (нарушения) сплошности конструкций (разрезы, щели, накладки, отверстия различных форм, шарниры и другие конструктивные включения);

- разрывы жесткости конструкции (кусочно - переменное или кусочно - постоянное изменение жесткости, наличие ребер постоянного или переменного сечения в одном или двух направлениях);

- разрывы в геометрии конструкции (изломы оси или срединной поверхности, специально предусмотренные проектом или возникшие при монтаже). 5

Аналитические методы расчета сооружений с разрывными параметрами, в особенности конструкций типа пластин и оболочек [72], сложны и очень трудоемки в реализации. Такие известные численные методы, как метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР), хотя и позволяют решать задачи с разрывными параметрами, требуют сильного сгущения расчетной сетки вблизи разрывов и приводят к осложнениям математического и вычислительного характера при составлении и решении систем алгебраических уравнений.

Одним из перспективных направлений в решении этой задачи явилось использование Р.Ф. Габбасовым [22 -25, 27] для построения сеточных уравнений матриц интегрирования и дифференцирования на основе кусочно-полиномиальных функций (сплайн-функций). Это позволило учесть наиболее просто конечные разрывы искомой функции и ее производных и избежать (по сравнению с МКР) сгущения расчетной сетки вблизи разрывов и особенностей не прибегая к законтурным точкам.

Сочетание преимуществ и достижений МКР, МКЭ и метода последовательных аппроксимаций (МПА) Р.Ф. Габбасова дает возможность разработать новый подход к расчету конструкций с разрывными параметрами и реализующих ее алгоритмов.

Поэтому дальнейшее развитие и усовершенствование методов расчета конструкций с разрывными параметрами является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка усовершенствованной методики численного расчета конструкций с разрывными параметрами на основе уточненных дискретных аналогов (конечно-разностных операторов) соответствующих дифференциальных уравнений.

Для достижения этой цели необходимо решить ряд задач: - Разработать методику построения конечно - разностных операторов на основе сплайн - интерполяции; 6

- Разработать методику построения граничных конечно - разностных уравнений;

- Осуществить компьютерную реализацию разработанных методик и алгоритмов;

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

- Разработана методика построения уточненных конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений для конструкций с разрывными параметрами;

- Получены уточненные конечно-разностные операторы для некоторых типов дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкций с разрывными параметрами;

- Получены уточненные конечно-разностные операторы для различных типов граничных условий;

- Разработана Excel - технология для автоматического формирования матриц коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений на основе полученных дискретных аналогов дифференциальных уравнений для сеточной области.

Достоверность полученных в диссертации результатов и выводов обеспечивается корректностью постановки задачи, использованием общепринятых допущений и гипотез строительной механики и подтверждается сравнением полученных численных результатов с известными решениями.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методики и алгоритмы, реализованные в программном комплексе, могут быть эффективно использованы при проектировании балочных, плитных и пластинчатых конструкций с разрывными параметрами. Анализ результатов расчетов подтверждает высокую эффективность предложенных методик и алгоритмов. 7

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на межвузовской конференции "Современные технологии в промышленности, строительстве и высшем образовании" (Камышин, 1996) и ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно - строительной академии в 1994 -1999 годах.

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 9 -ти статьях автора. Наименования статей приводятся в списке использованной литературы.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложена на 121 странице с иллюстрациями, имеет список используемой литературы из 126 наименований.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Катеринина, Светлана Юрьевна

Заключение и основные выводы

1. Проблема расчета конструкций с разрывными параметрами остается пока недостаточно разработанной, поэтому дальнейшее развитие и усовершенствование методов решения этой проблемы является актуальной задачей.

2. Предложен новый подход к построению конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений изгиба стержней и пластинок с разрывными параметрами на основе метода сплайн-аппроксимаций.

3. Применение сплайн- аппроксимации позволяет уменьшить число неизвестных в каждом узле сеточной области, а введение разрывов параметров в разрешающую систему дает возможность учесть их влияние на напряженно-деформированное состояние конструкции. Анализ результатов, проведенный на основе решения конкретных задач показал высокую точность предполагаемого подхода даже в случае минимального числа узлов разбивочной сетки.

4. Разработана унифицированная технология построения дискретных аналогов (конечно-разностных операторов) дифференциальных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние разнообразных стержневых и плоских конструкций.

5. На основе унифицированной технологии построены дискретные аналоги дифференциальных уравнений для граничных узлов сеточной области, позволяющие как и в МКР записывать сеточные уравнения для границ области без использования законтурных точек.

6. Построены шаблоны конечно-разностных уравнений для внутренних и граничных узлов сеточной области, позволяющие значительно упростить ввод информации при расчете на ЭВМ.

7. Разработана «Excel - технология» расчета стержней и плит, которая позволяет выполнять расчеты широкого класса задач с разрывными параметрами.

Ill

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Катеринина, Светлана Юрьевна, 2000 год

1. Абовский Н.П., Енджиевский J1.B. Некоторые аспекты развития численных методов расчета конструкций. Изв. ВУЗов. Стр-во и архитектура, 1981, № 6. с. 30-42.

2. Абовский Н.П. О непосредственном выводе уравнений метода сеток. В сб. Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, 1968.

3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. пер.с англ. Теория сплайнов и ее приложения.-М.: Мир, 1972, 310 с.

4. Александров A.B. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования. Тр. МИИТ, 1961, в. 131, -М., с.253 266.

5. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М., Стройиздат, 1976,ч I - 248 е., ч. II - 237 с.

6. Аргис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц, пер. с англ. М.: Стройиздат, 1968. 240 с.

7. Беляев Н.М. Сопротивление материалов М.: Наука, 1970, 606 с.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. т.П М., Физматгиз, 1962, 640 с.

9. Бовин В.А. Разностно вариационные методы строительной механики. - К., Гос. изд - во лит - ры по строительству и архитектуре УССР, 1963, 432 с.

10. Ю.Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. М.: Стройиздат, 1972,189 с.

11. П.Борисов М.В., Вахитов М. Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц. Казань: Тр. КАИ, 1974, в. 166, с. 32 -39.112

12. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин Киев: Бущвельник, 1970, 235с.

13. Вайнберг Д.В., Геращенко В.М., Райтфарб И.З., Синявский A.JI. Вывод сеточных уравнений изгиба пластин вариационным способом, в сб. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Бущвельник, 1965.

14. Варвак Ü.M., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М: Стройиздат, 1977, 154 с.

15. Варвак П.М., Варвак Л.П. Некоторые вопросы теории кубических сплайнов, изложенные с позиций строительной механики. Куйбышев: Расчет пространственных конструкций, в.4, 1974, с. 57 - 62.

16. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий A.C., Пискунов В.Г. и др. Метод конечных элементов. Киев: Вища школа, 1981, 176 с.

17. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимаций в численном анализе, пер. с англ. М.: Мир, 1974, 124 с.

18. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики. Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1966. № 3, с. 50-61.

19. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. К применению метода прямых для расчета пластин. Тр. КАИ, 1972, в.143, с. 59 67.

20. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств на прочность. Казань: ТКИ, 1975,212 с.

21. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: 1978, 184 с.

22. Габбасов Р.Ф. К расчету стержней и стержневых систем методом последовательных аппроксимаций. Изв. ВУЗов. Стр-во и архитектура, № 4, 1980, с. 30-35.

23. Габбасов Р.Ф. О разностных формах метода последовательных аппроксимаций. Сб. Численные методы решения задач строительной механики. К.: КИСИ,1978,с. 121 -126.113

24. Габбасов Р.Ф. О численно интегральном методе решения краевых задач строительной механики для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследования по теории сооружений. - М.: Стройиздат, в XXII, 1976, с.27-34.

25. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах метода последовательных аппроксимаций. Строительная механика и расчет сооружений, №3,1978, с. 26-30.

26. Габбасов Р.Ф. Применение теории сплайнов к задачам строительной механики. В кн.: Некоторые вопросы прочности строительных конструкций-М.: МИСИ, № 156, 1978, с. 65 76.

27. Габбасов Р.Ф. Сравнение методов конечных элементов и последовательных аппроксимаций. Доклады IX Международного конгреса по применению математики в инженерных науках, т.2 Веймар: 1981, с12 — 14.

28. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Дис. .д-ра техн. наук. -М.: 1989

29. Габбасов Р.Ф., Исматов М. X. К расчету изгибаемых плит методом последовательных аппроксимаций. М.: Изв.ВУЗов. Строительство и архитектура. 1984, №2, с 23 -34.

30. Габбасов Р.Ф., Кайдалов Б.П. Разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций в задачах устойчивости пластин. М.: Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура, № 11, 1981, с. 31 - 37.

31. Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Расчет плит на локальные нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций. Расчет пространственных конструкций.-М.: МИСИ, № 157,1981, с.39 -43.

32. Габбасов Р.Ф. Применение численно интегрального метода к расчету плит на упругом основании. Прикладная механика, 1976, 12, № 10, с. 21 - 26.

33. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей- М.: Гостехиздат,1952, 412с.

34. Годунов С.К., Рябенький. Разностные схемы. М.: Наука, 1973,400 с.114

35. Горбунов Посадов М.И., Маликова Т.А. Расчет конструкций на упругом основании. -М.: Стройиздат, 1973,628 с.

36. Гордеев В.Н., Динкевич С.З. Численные методы решения задач строительной механики. Киев: 1978, 367 с.

37. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1986, 606 с.

38. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.В. Численные методы анализа. -М.: Физматгиз, 1963, 664 с.

39. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. -К.: Наукова думка, 1964, 260 с.

40. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метода сеток к расчету пластин и оболочек . ЭЦВМ в строительной механике. М.: Стройиздат, 1966, с 550-560.

41. Добыш А.Д. Конструктивное представление гладких кривых и поверхностей. .- М.: МИСИ, № 83, 1979, с. 107 123.

42. Дукарт A.B., Олейник А.И. Динамический расчет балок и рам. М.: Изд - во Всесоюзного заочного политехнического института, 1990, 212 с.

43. Егупов В.К., Командрина Т.А., Голобородько В.Н. Пространственные расчеты зданий. Пособие по проектированию- Киев: Изд-во Буд1вельник, 1976, 264 с.

44. Жданов А.П. Тригонометрические полиномы по теории интерполирования и их применение к расчету регулярных статически неопределимых систем строительных конструкций. М.: Тр. МАДИ, 1972, вып. 36.

45. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн функций. -М.: Наука, 1980, 352 с.

46. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.(пер. с англ.). М.: Мир, 1975, 541 с.

47. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986,318 с.115

48. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979,423 с.

49. Игнатьев В.А. Расчет регулярных стержневых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973,433с.

50. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1992.141 с.

51. Игнатьев В.А., Соколов O.JI, Альтенбах И., Киссинг В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато стержневой структуры-М: Стройиздат, 1996, 556 с.

52. Игнатьев В.А. Игнатьева О.М. Устойчивость сооружений. Учебное пособие. -Волгоград: Изд. Волгоградского политехнического института, 1986, 111 с.

53. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1981, 428 с.

54. Каркаускас Р.П., Крутинис A.A. и др. Строительная механика программы и решения задач на ЭВМ. М.: Стройиздат, 1990, 360 с.

55. Катеринина С.Ю. К расчету стержневых систем на устойчивость с использованием сплайн аппроксимаций форм потери устойчивости. Сб. Надежность и долговечность строительных конструкций и материалов. - Волгоград: ВолгГАСА, 1998.

56. Катеринина С.Ю. Модифицированный метод сплайн аппроксимаций в расчете пластинок. - Деп в ВИНИТИ. 01.04.98, № 2021 - В99., Юс.

57. Керопян К.К., Карандаков Г.В., Музыченко Ю.Н. Электрическое моделирование и численные методы теории упругости. М: Стройиздат, 1973, 384 с.

58. Клейн Г.К., Леонтьев H.H. и др. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. М: Высшая школа, 1980, 384 с.

59. Колатц JI. Задачи на собственные значения, перев. с нем.- М.: Наука, 1968, 504 с.

60. Корнеев В.Г. Схемы методов конечных элементов высоких порядков точности. :Изд - во Ленинградского университета, 1977, 208 с.

61. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. М.: Стройиздат, 1949. 235 с.

62. Лащеников Б.Я. Применение метода интегральной матрицы при разрывных и обобщенных функциях. ТР.МИИТ, 1963, в174, с 123 - 128.

63. Лащеников Б .Я. Континуально-дискретный метод перемещений в строительной механике пространственных систем. Дисс. на соиск. уч. степени доктора техн. наук. - М., МИИТ, 1970.

64. Левашов П.Д. Построение матриц жесткости тонкостенных систем на основе скользящей интерполяции. Изв. вузов. Авиационная техника, 1979, № 2, с. 37-43.

65. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами.-Л.: ЛГУ, 1987, 225 с.

66. Микеладзе Ш.Е. Некоторые задачи строительной механики. М.: Гостехиз-дат, 1948, 267 с.

67. Микеладзе Ш.Е. О численном решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона Изв. АН СССР,ОМЕН, серия матем. наук, 1938, № 2, с.271 -292.

68. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, перев. с англ. -М.: Мир, 1981,214 с.117

69. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами JL: Изд-воЛГУ, 1980, 196 с.

70. Моисеев H.H. Математика ставит эксперемент. М.: Наука, 1979, 224 с.

71. Мхеидзе О.Р. Исследования осесимметричных задач теории изгиба и оптимального расчета тонких плит и оболочек с учетом влияния некоторых физико геометрических факторов. Дисс.канд.техн.наук. - М.: 1980. 168 с.

72. Нгуен Ван Нго. Применение теории сплайнов в расчете прямых стержней. -Строит, механика и расчет сооружений, 1978, № 3, с. 57-61.

73. Низомов Д.Н. Численное решение динамических задач по расчету балок, плит, пологих оболочек. Дисс.канд. техн. наук. М.: 1983, 169с.

74. Положий Г.Н. Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента. Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1962. - Строит, механика и расчет сооружений, 1977, № 5, с. 24-34.

75. Рабинович И.М и др. Строительная механика в СССР (1917-1967), М.: Стройиздат, 1969.

76. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Стройиздат, 1960. 519 с.

77. Рабинович И.М. Применение теории конечных разностей к исследованиям неразрезных балок- М.: изд-во Высшего технического комитета НКПС, 1921.96 с.

78. Рабинович И.М. Рамы и фермы пространственные и плоские. М.: Гос-стройиздат, 1933, 390 с.

79. Рекач В.Г. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба плоского кривого бруса. Строит, механика и расчет сооружений, 1961, № 6, с. 11-16.

80. Рогалевич В.В. Решение нелинейных задач изгиба пластин с использованием сплайнов. Строит, механика и расчет сооружений, 1977, № 5, с. 29 - 34.

81. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: ЛГУ, 1978,212 с.118

82. Розин JI.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: 1976.

83. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A., Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979, 288 с.

84. Постнов В.А., Хархурин И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974, 341 с.

85. Пржеминицкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подконструкций. М.: Ракетная техника и космонавтика, 1963, №1, с.88-95.

86. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976, 350 с.

87. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982, 479 с.

88. Смирнов А.Ф. Применение интегральной матрицы к изучению колебаний круговой арки. -М.: Тр. МИИТ, 1961, в. 131, с. 15 16.

89. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебание сооружений. М.: Трансжалдор-издат, 1958, 572 с.

90. Смирнов В.А. Расчет пластинки сложного очертания. М: Стройиздат, 1978, 300 с.

91. Смирнов В.А. Численный метод краевых задач теории упругости для дифференциальных уравнений в частных производных. Исследования по теории сооружений-М.: Госстройиздат, 1969, в. XVII, с.111-123.

92. Смирнов В.А. Численный метод расчета ортотропной пластинки, лежащей на упругом основании с двумя коэффициентами постели. М.:Тр. МархИ 1970, в.2, с. 47-57.

93. Смирнов В.А. Численный метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных на примере устойчивости ортотропной пластинки. Тр. НИИЖТ, 1970, в.96, с 375 - 379.119

94. Смирнов В.А., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Стержневые системы. М.: Стройиздат, 1981,509 с.

95. Смирнов В.А., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений М.: Стройиздат, 1981, 509 с.

96. Смоляк С.А. Сплайны и их применение. Экономика и мат. методы, 1971, т.7, № 8,с. 419-431.

97. Соломин В.И. Расчет балок на упругом основании методом конечных разностей. М.: Высшая школа, 1978,480 с.

98. Соломин В.И., Сытник Ф.С. Красчету фундаментных плит сложной конфигурации и переменной жесткости. Основания, фундаменты и механика грунтов, №5, 1874, с. 16 19.

99. Справочник проектировщика, расчетно теоретический. Под редакцией A.A. Уманского, книга 1. - М.: Стройиздат, 1973, 416 с.

100. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976, 248 с.

101. Стрелецкий Н.С. К расчету сложных статически неопределимых систем-М.: изд-во Высшего технического комитета НКПС, 1921.

102. Тимошенко С.П., Войновский Кригер. Пластинки и оболочки, пер. с англ. - М.: Наука, 1966, 635 с.

103. Томпсон, Хант Потеря устойчивости и выпучивание конструкций. М.: Наука, 1991,423 с.

104. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Использование табличного процессора SC- 5 в суперэлементном расчете пластинок и пластинчатых конструкций. Межвузовский научный сборник. Проблемы теории пластин и оболочек и стержневых систем. Саратов: 1995, с.71-72.

105. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Матричные преобразования в среде табличных процессоров. Тезисы докладов научно технической конференции,- ВолгГАСА, 1996 г.120

106. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Метод блочной прогонки при решении систем линейных уравнений. Тезисы докладов научно технической конференции. - ВолгГАСА, 1996 г.

107. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Новый подход к решению задач методом конечных элементов. Деп в ВИНИТИ. 01.04.98, № 1066 - В98, 8с.

108. Усков Ю.И., Катеринина С.Ю. Решение систем линейных уравнений ленточной структуры в среде табличного процессора SC 5. Деп в ВИНИТИ. 21.02.97, № 570-В97,Юс.

109. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем и некоторые элементы использования ЭВМ. М.: Стройиздат, 1966, 440 с.

110. Филин А.П. Матричная форма методов строительной механики. Л.: вып. 1. Некоторые элементы строительной алгебры. 1965, 73 с.

111. Филин А.П., Гребень Е.С. Исследования по теории сооружений М.: Госстройиздат, 1959, вып. 8.

112. Филоменко Бородич М.М. и др. Курс сопротивления материалов, ч.П, Гостехстройиздат, 1956, с 82 - 87.

113. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости стержневых систем Киев: изд-во АН УССР, 1952, 146 с.

114. Antes H.G. Fundamental spline functionen bei einem variatiousverfahren zur Balken - bereehnung. - Wiss. Zeitsen. der Hoehsch. fïir Arch, und Bauw. Weimar, 1972,Heft 2, 131-134.

115. Cai C.W., Cheung Y.K., Chan C.H. Uncoupling of dynamic equation for periodic structures. Journal of sound and vibration, 1990. 253-263.

116. Fricker A.J.A simple method for uncluding hear deformations in thin plate elements. Internetional journalfor numerical methods in engineering, 1986. 13351366.

117. Harrison H. "Spase structures".- Oxford and Edinburg, 1967, p. 231 -243.

118. Yang T.Y., Sunil Saigal. A simple element for static and dynamic response of121beams with material and geometric non lineriatis. Internetional journal for numerical methods in engineering, 1984. 851-867.

119. Zeng Z., Huang T., Hamilton J.F. An effective approach to determine frequencies and mode shapes of constrained beamsusing lagrange multiplieres. The international journal of analitical and experimental modal analysis, 1990.- p. 109 — 114.

120. Pian Theodore.H. H. Variotional and finite element method in structural analyses. Isr. I. of technology. Vol. 16,1978.41 86.

121. Sadowsky M.A. Zweidimentionale Problem der Elastizitatsthevie. Zeitsch. fur Ang. Math.und Mech., 1928, № 8,107 - 121.

122. Severn R. Numerical methods for calculation of stress and strain. Phil. Frans. roy.svc, 1979, 274, № 1239, 339 - 350.

123. Siemes A.J.M.,Vrouwenvelder A.C.W.M.,van den Benkel A. Dirability of Buildungs: a reliability analysis.// Heron, 3985.- Vol. II.-№3.-p. 2-47.

124. Stanners 1. F. Use of Environmental Date in Atmospheric Corrosion Studies // British Corrosion Journal, 1'970, v. 5. №3, p. 117-121.