Математическое моделирование и анализ контактного взаимодействия в ортотропных средах на основе сглаживания коэффициентов жесткости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Некрасова, Наталия Николаевна

• Некрасова, Наталия Николаевна
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Некрасова, Наталия Николаевна

Перечень условных обозначений

Введение

Глава 1. Проблематика математического моделирования контактного взаимодействия ортотропных плит с грунтовыми основаниями.

1.1 Математические модели естественных грунтовых оснований.

1.2 Пространственные контактные модели для фундаментных плит на упругих неклассических основаниях.

1.3 Анализ взаимодействия плит переменной жесткости с упругими основаниями.

1.4 Постановка задачи.

1.5 Цели работы и задачи исследования.

Глава 2. Моделирование цилиндрического изгиба ортотропных плит переменной жесткости.

2.1 Математическая модель изгиба анизотропных плит переменной жесткости.

2.2 Формирование граничных условий.

2.3 Конечно-разностный метод реализации модели цилиндрического изгиба ортотропных плит.

2.3.1 Система конечно-разностных уравнений.

2.3.2 Аппроксимация функций жесткости в сеточных узлах.

2.3.3 Конечно-разностная форма граничных условий. 60 Выводы

Глава 3. Моделирование и анализ влияния механических свойств основания на изгиб ортотропных плит переменной жесткости.

3.1 Модель защемленной плиты переменной жесткости на упругом полупространстве.

3.2 Модель шарнирно опертой плиты переменной жесткости на упругом клине.

3.3 Модель ортотропной шарнирно опертой плиты переменной жесткости на упругом слое переменной толщины. 73 Выводы

Глава 4. Программная реализация и результаты апробации разработанных моделей и алгоритмов численного анализа.

4.1 Структура и состав программного комплекса моделирования и анализа прямоугольных плит.

4.2 Пользовательский интерфейс.

4.3 Анализ результатов вычислительных экспериментов.

4.4 Результаты численного анализа контактного взаимодействия плит с упругими основаниями. 85 4.5 Анализ адекватности математической модели изгиба плит на основе эталонной модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и анализ контактного взаимодействия в ортотропных средах на основе сглаживания коэффициентов жесткости»

Актуальность темы. Теория анализа ортотропных сред продолжает оставаться одной из актуальнейших проблем современной теории моделирования. Наибольшую актуальность данная проблема имеет место при проектировании новых фундаментных конструкций, для обеспечения снижения их материалоемкости, обеспечения высокой надежности, долговечности и экономичности.

В настоящее время предложено большое число методов анализа ортотропных сред, базирующихся на существующем упрощении условий решения данной задачи. Для достижения «точных» решений пространственной контактной задачи для ортотропных сред на базе методов теории упругости представляет значительные математические трудности. Для эффективного решения задач анализа сложных пространственных ортотропных конструкций альтернативой являются приближенные методы с использованием современных высокоресурсных средств вычислительной техники. Следует отметить, что разработанные к настоящему времени численные модели анализа в большинстве своем не учитывают существенные для ортотропных сред особенности, и в реальных условиях не позволяют получить результаты, обеспечивающие качество проектных решений в соответствующих объектных областях.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью дальнейшего развития средств математического моделирования и численного анализа ортотропных сред при сложных граничных условий, повышающих качество и оперативность принятия проектных решений.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из направлений ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" "Вычислительные системы и программно-аппаратные комплексы" (ГБ 2010.18).

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка комплексной математической модели анализа ортотропных сред применительно к фундаментным конструкциям, контактирующим с упругим грунтовым основанием, а также средств численной реализации, обеспечивающих высокую точность вычисления и качество проектных решений.

В соответствии с данной целью в работе поставлены и решены следующие задачи: анализ существующих подходов к численному моделированию пространственных конструкций на упругом основании; разработка модели и алгоритма численного анализа влияния неоднородности сжимаемой толщи основания на напряженное состояние плиты; разработка средств численного анализа модели влияния изменения ортотропных свойств материала плиты на результаты моделирования; разработка модели взаимодействия прямоугольных фундаментных плит с упругими основаниями при различном сочетании условий на контуре плиты и вида нагружения; разработка алгоритма численного анализа состояния плит переменной геометрии, взаимодействующих с упругими основаниями; разработка программного обеспечения модели анализа контактного взаимодействия плит с упругим основанием.

Методы исследования. В работе использованы методы теории моделирования, методы математической физики, вычислительной математики, разделы теории сопротивления материалов, объекто-ориентированного программирования.

Результаты соответствуют следующим пунктам паспорта специальности: п. 3 ("Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий"); п. 4 ("Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента"); п. 5 ("Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента").

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: модель формализованного описания напряженно-деформированного состояния ортотропных плит, отличающаяся возможностью анализа объекта моделирования в условиях пространственно-неоднородных оснований; аналитическая модель процесса деформации ортотропных плит, отличающаяся учетом свойств материала плиты, вида внешнего нагружения и граничных условий; алгоритм численного анализа моделей процесса деформации ортотропных плит, позволяющий осуществлять расчет напряженно-деформированного состояния на основе сглаживания границ между областями с различными жесткостными характеристиками; аналитические контактные модели взаимодействия ортотропных плит переменной геометрии, обеспечивающие учет специфических особенностей упругих неклассических оснований; структура программного комплекса анализа напряженно-деформированных состояний ортотропных плит, отличающаяся реализацией средств интеграции в инструментальные системы принятия проектных решений.

Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса моделей, реализующих конечноразностный метод анализа напряженно-деформированного состояния фундаментных плит при использовании уточнённых контактных моделей.

Программная реализация предложенных моделей позволяет повысить качество и эффективность принятия проектных решений, устанавливать рациональные технологии при производстве плитных конструкций, оптимизировать и снижать их материалоемкость по бетону и арматуре, проводить конкретные конструктивные расчеты плит на упругих пространственно-неоднородных основаниях.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Автоматика и информатика в технических системах" ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" в рамках дисциплины "Моделирование систем".

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и совещаниях:. XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н:Новгород, 1994); 47-й научно-технической конференции по проблемам архитектуры и строительных наук (Воронеж, 1994); II Украинской научно-технической конференции по механике грунтов и фундаментостроению (Полтава, 1995); научных семинарах кафедры высшей математики ГОУ ВПО " Воронежский государственный архитектурно-строительный университет" (1996 — 2010); всероссийской конференции- "Новые технологи» в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве" (Воронеж, 2010); а также на научных семинарах кафедры "Автоматика и информатика в технических* системах" ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" (2005-2010).

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 15 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных, в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: формализованное описание напряженно-деформированного состояния ортотропных плит в условиях пространственно-неоднородных оснований [4,5,6,7,9,10]; аналитическая^ модель контактного взаимодействия ортотропных плит с упругим основанием, отличающаяся учетом свойств материала плиты и смешанных граничных условий [8], алгоритм численного анализа, позволяющий осуществлять расчет напряженно-деформированного состояния плит на основе сглаживания границ между областями с различными жесткостными характеристиками [1,2,3,13,14], структура программного комплекса анализа напряженно-деформированного состояния плит переменной и постоянной жесткости [11,15].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, списка литературы из 87 наименований, основных выводов и приложений. Основная часть работы изложена на 120 страницах, содержит 12 таблиц и 26 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Некрасова, Наталия Николаевна

Выводы

1. Механические свойства основания и различные виды граничных условий на контуре существенно влияют на изгиб ортотропных плит переменной жесткости.

2. Проведенный сравнительный анализ типов аппроксимации функции жесткости в сеточных узлах показал, что осреднение жесткостей при формировании конечно-разностных уравнений в полуцелых узлах наиболее эффективно.

3. Проведенный сравнительный анализ результатов для плит с переменным коэффициентом жесткости и плит постоянной толщины того же объема свидетельствует о влияние на напряженно-деформированное состояние плиты упругого основания.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ АПРОБАЦИИ РАЗРАБОТАННЫХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ

ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА

4.1 Структура и состав программного комплекса моделирования и анализа прямоугольных плит

На базе разработанного алгоритма численного анализа разработан программный комплекс [82,83] "81МО!1Т". Данный комплекс предназначен для анализа напряженно-деформированного состояния ортотропных прямоугольных плит переменной и постоянной жесткости, контактирующих с упругими основаниями. А также реализует различные сочетания закрепления контура плиты, направление осей ортотропии материала, изменения механических свойств материала плиты и вида поперечной нагрузки. Многоуровневая структура программного комплекса представлена на рис. 4.1.

Рис 4.1 Структура программного комплекса численного анализа моделей ортотропных плит на упругом основании

75

В состав программного комплекса входят:

РИ-ОСТВ - основной модуль, в котором производится обращение ко всем обеспечивающим модулям. Он предназначен для вычисления прогибов прямоугольных плит, лежащих на упругих неклассических основаниях, при различном закреплении контура и вида нагрузки. К обеспечивающим модулям относятся:

- модуль - подпрограмма формирования равномерной сетки в прямоугольной области. Входными параметрами являются: размеры плиты, шаги и число точек по осям ОХ и ОУ, количество узлов сетки;

- модуль РОКМБУ - формирует квадратную матрицу системы конечноразностных уравнений;

- модуль КОШВ - формирует числовые коэффициенты матрицы в зависимости от номера узла, связанные с реакцией основания;

- модуль К01РВ1 - осуществляет расчет числовых коэффициентов матрицы, связанных с реакцией основания;

- модуль КОШВК — обеспечивает расчет коэффициентов жесткости и вторых коэффициентов постели основания в узлах сетки;

- модуль ВЬРЬ - формирует матрицу влияния, в' зависимости от выбранной модели основания;

- модуль РБОБ - формирует правую часть системы уравнений с учетом сосредоточенной нагрузки, действующей на плиту;

- модуль РЯА8 - формирует правую часть системы уравнений с учетом распределенной нагрузки, действующей на плиту (в процессе работы требует обращения к модулю РОК);

- модуль РОК - вычисляет коэффициенты для учета интенсивности равномерно распределенной нагрузки в предконтурных узлах. Кроме того, в программном комплексе используются стандартные подпрограммы:

81МС> - подпрограмма, решающая систему уравнений методом Гаусса; РАСТЯ, ЯЭЬМС - подпрограммы, итерационно уточняющее решение, полученное методом Гаусса; БЕСОМР - вычисляет число обусловленности матрицы системы конечноразностных уравнений. На рис. 4.2 представлена структурная схема алгоритма взаимодействия моделей программного комплекса в процессе анализа вариантов ортотропных конструкций.

Практика работы с данным программным комплексом показала, что такая его организация достаточно удобна для пользователя.

4.2 Пользовательский интерфейс

Пользовательский интерфейс позволяет осуществлять ввод следующих параметров:

М, N - количество узлов сетки по оси X и У соответственно; KYZ - общее количество узлов сетки; КУ - количество узлов расширенной сетки;

А, В, Н, Н1 - геометрические параметры плиты: длина, ширина, высота (в метрах );

Ж - параметр, указывающий, какой вид нагружения принят при расчете плиты: если 111=1, то производится расчет плит для сосредоточенной нагрузки, если т=3, то производится расчет для распределенной нагрузки; если 111=2, расчет ведется для сосредоточенной и распределенной нагрузки одновременно;

Рис. 4.2 Структурная схема алгоритма взаимодействия модулей программного комплекса

1Э - параметр, принимающий значения 1 и 2. При 18=1 силы и моменты не вычисляются, когда 18=2 силы и моменты вычисляются;

ЕР8 - относительная погрешность вычислений;

РР - сосредоточенная сила, действующая на плиту;

РЫ - распределенная по площади 8 сосредоточенная сила РК=РР/8;

РЫЛ. - равномерная нагрузка, действующая на плиту;

АМиО - коэффициент Пуассона материала основания;

АМШ, АМ112 - коэффициенты Пуассона материала плиты;

ЕО - модуль упругости основания;

Е1, Е2 - модули упругости материала плиты; в - модуль сдвига ортотропного материала плиты, характеризующий искажение углов между главными направлениями.

В результате работы программного комплекса осуществляется анализ распределения прогибов, моментов и поперечных сил в плите при заданной внешней нагрузке и определенных граничных условий.

4.3 Анализ результатов вычислительных экспериментов

Точных решений для рассматриваемой пространственной контактной задачи ни для одной неклассической модели упругого основания нам не известны. Поэтому для оценки сходимости численных решений и иллюстрации возможностей предложенных моделей в работе проведем анализ напряженноI деформированного состояния плит в упругой стадии деформирования, расположенных на простых моделях основания.

Пример 1. Изгиб изотропных шарнирно опертой и защемленной плит.

В работе [80] В.А. Киселевым методом конечных разностей проведен численный расчет изотропной плиты, под действием равномерной нагрузки, без учета влияния упругого основания. В табл. 4.1 приведены результаты расчета перемещений в центре плиты при различной густоте конечно разностной сетки для случаев, когда плита шарнирно оперта по всем четырем сторонам и для плиты с жестким защемлением. Там же для сравнения приведены результаты, полученные В.А. Киселевым на сетке 5x5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в рамках диссертационной работы исследования в области моделирования процессов контактного взаимодействия в системе «фундаментная плита-основание», под действием внешней нагрузки, позволили получить следующие основные результаты:

- с позиции системной методологии осуществлен анализ существующих подходов к численному моделированию пространственных конструкций на упругом основании.

- разработана комплексная математическая модель анализа контактного взаимодействия в ортотропных средах, применительно к условиям фундаментных плит прямоугольной формы на упругом основании.

- разработана модель и алгоритм численного анализа влияния неоднородности сжимаемой толщи основания на напряженное состояние плиты.

- осуществлен анализ влияния различных граничных условий, вида нагружения, свойств материала плиты и функции влияния, определяющей контактную модель упругого основания на изгиб ортотропных плит.

- предложен алгоритм численного анализа моделей процесса деформации ортотропных плит, позволяющий осуществлять расчет, на основе сглаживания коэффициентов жесткости соответствующих областей.

- разработан алгоритм численного анализа состояния плит переменной геометрии, взаимодействующих с упругими основаниями.

- разработаны средства программного обеспечения модели анализа контактного взаимодействия плит с упругим основанием и осуществлена его апробация в условиях ортотропных фундаментных конструкций, широко применяемых при строительстве промышленных зданий и сооружений, покрытий автомобильных дорог и аэропортов, перекрытий мостовых конструкций и т.д.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Некрасова, Наталия Николаевна, 2011 год

1. Горбунов-Посадов М.И. Расчет конструкций на упругом основании/ М.И. Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова, В.И. Соломин М.: Стройиздат, 1984. 679 с.

2. Черкасов И.И. Механические свойства грунтовых оснований/ И.И. Черкасов М.: Автотрансиздат, 1958. 238 с.

3. Основания зданий и сооружений: СниП 2.02.01.-83. М.: Стройиздат, 1985.40 с.

4. Пособие по проектированию оснований зданий и сооружений. НИИОСП им. Н.М. Герсеванова. М.:1986. 415 с.

5. Инструкция по проектированию дорожных одежд нежесткого типа. ВСН 46-83. Министерство транспортного строительства СССР. М.:Транспорт, 1985. 157 с.

6. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости/ Л.А. Галин М.: Наука, 1980. 304 с.

7. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости/ А.И. Лурье М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

8. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно — деформируемого основания/ Г.Я. Попов. Киев: Вища школа, 1982. 168 с.

9. Руководство по проектированию плитных фундаментов каркасных зданий и сооружений башенного типа / НИИОСП им.Н.М. Герсеванова. М.: Стройиздат, 1984. 263 с.

10. Соломин В.И Методы расчета и оптимальное проектирование железобетонных фундаментных конструкций/ В.И. Соломин, С.Б. Шматков М.: Стройиздат, 1986. 208 с.

11. Егоров К.Е. К вопросу о деформации основания конечной толщины/ К.Е. Егоров // Тр. НИИОСПа, 1958. Вып. 34. С. 5-33.

12. Филоненко-Бородич М.М. Некоторые приближенные теории упругого основания/ М.М. Филоненко-Бородич //Ученые записки. Москва: МГУ, 1940. Вып. 46. С. 46-54.

13. Филоненко-Бородич М.М. Простейшая модель упругого основания, способная распределить нагрузку/ М.М. Филоненко-Бородич // Сб. тр. МЭМИИТ, 1945. Вып. 53. С. 21-27.

14. Власов В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании/ В.З. Власов, H.H. Леонтьев М.: Стройиздат, 1960. 305 с.

15. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели/ П.Л. Пастернак М.: Стройиздат, 1954. 54 с.

16. Клейн Г.К. Учет неоднородности, разрывности деформаций и другие механические свойства грунта при расчете сооружений на сплошном основании/ Г.К. Клейн // Сб. тр. МИСИ, 1956. Вып.14. С. 13-17.

17. Коробов В.М. Об использовании модели упругого основания с двумя коэффициентами постели при расчете плит/ В.М. Коробов // Строит. Механика и расчет сооружений. 1976. №4. С. 47-48.

18. Бородачев Н.М. О возможности замены сложных моделей упругого основания более простыми/ Н.М. Бородачев // Строит. Механика и расчет сооружений. 1975. №4. С. 37-38.

19. Бирман С.Е. Об осадке жесткого штампа на упругом слое, расположенном на несжимаемом основании/ С.Е. Бирман Доклады АН СССР, 1953. Т.93. №5. С. 791-794.

20. Алейников С.М. Пространственная деформация поверхности упругого слоя переменной толщины/ С.М. Алейников, C.B. Иконин // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1990. №5. С. 21-23.

21. Рекомендации по расчету осадок и кренов прямоугольных фундаментов на клиновидном основании // М.: НИИОСП Госстроя СССР, 1985. 29 с.

22. Раппопорт P.M. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства/ P.M. Раппопорт //Тр. Ленинградского политехнического института. 1948. Вып.5. С.3-18.

23. Дураев А.Е. Расчет конструкций на грунтовом основании с возрастающим по глубине модулем деформации/ А.Е. Дураев Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 1991. 192 с.

24. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задач для упругих пространственно неоднородных оснований/ С.М. Алейников М.: Изд-во «АСВ», 2000. 754 с.

25. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании/ Б.Г. Коренев М.: Госстройиздат, 1954. 245 с.

26. Горлов A.M. Автоматизированный расчет прямоугольных плит на упругом основании/ A.M. Горлов, Р.В. Серебряный М.: Стройиздат, 1968. 208 с.

27. Варвак А.П. Балки на упругом основании и сваях/ А.П. Варвак // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1963. №8. С. 12-14.

28. Варвак П.М. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций/ П.М. Варвак, Л.П. Варвак М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

29. Коренев Б.Г. Расчет плит на упругом основании/ Б.Г. Коренев, Е.И. Черниговская М.: Стройиздат, 1962. 355 с.

30. Травуш В.И. Об изгибе прямоугольной плиты со свободным контуром на упругом основании/ В.И. Травуш, В.К. Сангаджиев // Строительная механика и расчет сооружений. 1984. №6. С. 37-40.

31. Слизенгер И.Н. К расчету произвольно ортотропных прямоугольных пластин/ И.Н. Слизенгер, Х.Р. Мурсал // Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений. 1986. №49. С. 74-77.

32. Смирнов В.А. Расчет ортотропных пластинок, лежащих на упругом основании с переменным в плане коэффициентом постели/ В.А. Смирнов // Прикладная теория упругости. Межвуз. науч. сб. Саратовск. политех, ин-та. 1983.С. 12-21.

33. Корунский B.C. Расчет плит на грунтовом основании/ B.C. Корунский //Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: «Буд1вельник», 1972. Вып. XVII. С. 56-62.

34. Киселев В.А. Расчет пластин/ В.А. Киселев М.: Стройиздат, 1973.151 с.

35. Даревская Е.В. Изгиб защемленной по краям прямоугольной пластинки, лежащей на упругом основании с двумя характеристиками/ Е.В. Даревская //Строительная механика и расчет сооружений. 1980. №5. С. 25-30.

36. Зайденберг А.И. Расчет жестких пластин на упругом двухпараметрическом основании методом начальных параметров/ А.И. Зайденберг, Ю.И. Канышев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1987. №8. С. 35-41.

37. Соломин В.И. Расчет прямоугольных пластин на упругом полупространстве методом сеток / В.И. Соломин // Строительная механика и расчет сооружений. 1960. №6. С. 12-17.

38. Соломин В.И. К расчету фундаментных плит на нагрузки, приложенные вблизи угла/ В.И. Соломин // Строительная механика и расчет сооружений. 1963. №2. С. 6-11.

39. Новотны Б. Прямоугольная плита на упругом полупространстве/ Б. Новотны, А. Ганушка // Stavebn. Cas., 1987, с. 5, р. 359-376.

40. Некрасова H.H. Численный метод расчета плит на упругом полупространстве/ H.H. Некрасова // Материалы 47-й науч.-тех. конф. Воронеж: ВИСИ. 1994. С. 18-21.

41. Aleynikov S.M. Contact problem for ortotropic faundation stabs with consideration on deformation peculiarities of spatial and nonhvomogeneous bases/ Aleynikov S.M., Nekrasova N.N. //Studia Geotehnica et Mechanica, V.20, №1-2, p.63-104, 1998.

42. Соломин В.И. Расчет прямоугольных плит, опирающихся на упругий слой конечной мощности/ В.И. Соломин, В.Н. Широков, Э.А. Комаров // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1968. №4. С. 34-36.

43. Алейников С.М. Пространственная контактная задача изгиба пластин на упругом неклассическом основании/ С.М. Алейников, М.Д. Гончаров, H.H. Некрасова//Труды XVI межд. конф. по теории оболочек и пластин. Н-Новгород. Нижегор. ун-т, 1994. Т.З. С. 8-13.

44. Алейников С.М. Изгиб ортотропных фундаментных плит, расположенных на упругих неклассических основаниях/ С.М. Алейников, H.H. Некрасова//Известия ВУЗов: Строительство, 1996. №9. С.55-60.

45. Клепиков С.Н. Расчет балок на нелинейно-деформируемом винклеровском основании/ С.Н. Клепиков // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1972. №1. С. 8-10.

46. Коваленко А.Д. Круглые пластины переменном толщины/ А.Д. Коваленко М.: Физматгиз, 1959. 235 с.

47. Гришин В.А. Расчет круглой пластинки переменной толщины, лежащей на неоднородном упругом основании/ В.А. Гришин // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1969. № 12. С. 44-48.

48. Лебедев Д.Ф. Круглая плита переменной толщины на упругом полупространстве/ Д.Ф. Лебедев, Б.М. Нуллер // Механика твердого тела. 1976. № 5. С. 39-44.

49. Коренева Е.Б. Применение метода начальных параметров к задаче об антисимметричном изгибе круглой пластины с жесткостью, изменяющейся по квадратичному закону/ Е.Б. Коренева // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1978. № 9. С. 41 46.

50. Коренева Е.Б. Об одном приближенном методе расчета круглых ортотропных пластин линейно-переменной толщины/ Е.Б. Коренева // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 8. С. 26 29.

51. Жил яков Я.Г. Изгиб пластинки переменной жесткости/ Я.Г. Жиляков // Исследование механического сопротивления материалов и конструкций. Белгородский технл. ин-т строительных материалов. М. 1978. В. 28. С. 12- 16.

52. Литвинов В.Г. Задача изгиба пластин переменной толщины/ В.Г. Литвинов // Прикл. мех. Киев, 1975. Т. XI. Вып. 5. С. 54 61.

53. Смирнов В.А. Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных для пластин переменной жесткости/ В.А. Смирнов // Исследования по теории сооружений. 1977. Вып. 23. С. 133 139.

54. Мельников Ю.А. Анализ изгиба пластин переменной толщины методом функций Грина /Ю.А. Мельников, В.В. Шубенко// Гидроаэродинамика и теория упругости. Математические методы в теории упругости и гидроаэромеханики. Днепропетровск, 1988. С. 96 101.

55. Юрьев А.Г. Изгиб пластинок переменной жесткости на упругом основании/ А.Г. Юрьев, H.A. Смоляго //Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1978. № 10. С. 44 47.

56. Юрьев А.Г. Расчет пластинок переменной жесткости на упругом основании/ А.Г. Юрьев, H.A. Смоляго // Исследование механического сопротивления материалов и конструкций / Белгородский технл. ин-т строительных материалов. 1978. Вып. 28. С. 17 32.

57. Юрьев А.Г. Изгиб прямоугольной пластинки при нелинейном физическом законе/ А.Г. Юрьев // Исследование механического сопротивления материалов и конструкций. Белгородский технл. ин-т строительных материалов. М. 1977. Вып. 24. С. 9-26.

58. Деркач В.Ф. Расчет тонких плит ступенчато-переменной толщины на упругом полупространстве/ В.Ф. Деркач // Расчет конструкций подземных сооружений. Киев. Буд1вельник, 1976. С. 47-55.

59. Клепиков С.Н. Изгиб ортотропной плиты переменной жесткости на нелинейно-деформируемом смещающемся основании/ С.Н. Клепиков, Т.А. Маликова // Тр. НИИ оснований и подземных сооружений. 1982. Вып. 73. С. 15 19.

60. Ээк Р.Н. Расчет ортотропных пластинок переменной толщины методом сеток/ Р.Н. Ээк, Р.К. Ряямет // Труды Таллинского политех, ин-та. Талин, 1984. №575. С. 13-21.

61. Алейников С.М. Изгиб ортотропных плит переменной жесткости на упругих неклассических основаниях/ С.М. Алейников, H.H. Некрасова// Тезисы доклада 61-й научно—техн. конференции. Новосибирск, 2004. С. 10.

62. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа/ Л.В. Канторович, В.И. Крылов. М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. 696 с.

63. Мекиладзе Ш.Э. Некоторые задачи строительной механики/ Ш.Э. Мекиладзе. М. -Л.: ОГИЗ, 1948. 291 с.

64. Самарский A.A. Теория разностных систем/ A.A. Самарский М.: Наука, 1977. 656с.

65. Самарский A.A. Теория разностных схем/ A.A. Самарский М.: Наука, 1977. 656 с.

66. Ляв А.Е. Математическая теория упругости/ А.Е. Ляв М.: ОНТИ, 1935. 674 с.

67. Огибалов П.М. Оболочки и пластины/ П.М. Огибалов, М.А. Колтунов М.: Изд-во Москов. ун-та, 1969. 696 с.

68. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки/ С.П. Тимошенко, С.М. Войновский-Кригер: Наука, 1966. 635 с.

69. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки/ С.Г. Лехницкий М.Л.: Гостехиздат, 1947. 355 с.

70. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий М.: Наука, 1977. 408 с.

71. Киселев В.А. Расчет пластин/ В.А. Киселев М.: Стройиздат, 1973.151 с.

72. Кончковский 3. Плиты. Статические расчеты/ 3. М. Кончковский: Стройиздат, 1984. 480 с.

73. Алейников С.М. Программа "ORTOPLIT" расчёта ортотропных фундаментных плит переменной жесткости на упругих неклассических основаниях/ С.М. Алейников, H.H. Некрасова // Компьютерные учебные программы и информации. М., 2002.

74. Бурковский В.Л., Некрасова H.H. Программный модуль «SIMORT» расчета ортотропных плит с переменным коэффициентом жесткости на упругих основаниях. ГОСФАП, № 5020110087 от 10.01. 2011 г.

75. Справочник проектировщика (расчетно теоретический). М.: Стройиздат, 1960.

76. Справочник по теории упругости/ Под ред. Варвака П.В. и Рябова А.Ф.Киев: «Буд1вельник», 1971. 420 с.

77. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами/ Н.И. Карпенко М.: Стройиздат, 1976. 204с.