Применение сплайнов в теории сингулярно возмущенных краевых задач с особенностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Глушакова, Татьяна Николаевна

• Глушакова, Татьяна Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Глушакова, Татьяна Николаевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ, НА

ВАЗЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ

§1. Постановка краевой задачи и формулировка основных результатов

1.1. Постановка краевой задачи

1.2. Оценка интегрального оператора Ое

1.3. Оценки производных решения х£ краевой задачи

(1.1)-(1.2) до 3-го порядка включительно

1.4. Разбиение отрезка [—1,1] и аппроксимадионные пространства

1.5. Постановка коллокационной задачи и формулировка основного результата

§2. Аппроксимадионные свойства тестовых пространств

2.1. Теоремы К. де Вора о сплайн-аппроксимациях

2.2. Вспомогательные леммы

§3. Преобразование задачи (1.1)-(1.2) к специальному виду.

Постановка соответствующей коллокационной задачи

3.1. Преобразование задачи (1.1)-(1.2) к специальному виду

3.2. Постановка коллокационной задачи

3.3. Обратимость оператора Ьщ и оценка обратного оператора

§4. Интерполяционный проектор

§5. Завершение доказательства теоремы 1.2

§6. В-базисы

6.1. Некоторые технические вопросы

6.2. Построение 5-базиса

§7. Изучение кол локационной задачи

7.1. Случай п = 1

7.2. Случай произвольного п

Глава II. МЕТОД СЛЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УСЛОВНО

УСТОЙЧИВОГО ТИПА С ОСОБЕННОСТЯМИ

§8. Постановка краевой задачи и формулировка основного

результата

8.1. Постановка краевой задачи

8.2. Постановка кол локационной задачи и формулировка основного результата

8.3. Аппроксимационные свойства тестовых пространств 75 §9. Преобразование задачи (8.1)- (8.4) к специальному виду.

Постановка соответствующей коллокационной задачи

9.1. Преобразование задачи (8.1)-(8.4) к специальному виду

9.2. Связь операторов Ь£ ш Ье

9.3. Обратимость оператора Ь, и оценка обратного оператора

9.4. Доказательство теоремы 8.1

9.5. Постановка коллокационной задачи

§10. Семейство интерполяционных проекторов. Завершение доказательства теорем 8.2 и 9.3

§11. Некоторые технические вопросы

§12. Построение В-базиса тестового пространства

12.1. Построение базисных функций первой группы Р^

У = -2т - 1,...,2то - 1; а =

-412.2. Построение базисных функций второй группы FjiS

(j = -2m - 2,

§13. Изучение коллокадионной матрицы

13.1. Структура кол локационной матрицы

13.2. Случай 1 = п = 1, Л(<) >0

13.3. Случай произвольных I и п

13.4. Корректировка коллокационной матрицы с учетом условия (10.5)

Глава Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

§14. Постановка краевой задачи. Основные результаты

14.1. Постановка краевой задачи

14.2. Основные результаты

§15. Построение сеточной функции

15.1. Построение разностной схемы

15.2. Исследование сходимости разностной схемы

(15.8)-(15.9)

§16. Построение комбинированного интерполяционного сплайна S(t) по значениям сеточной функции

§17. Пример численной реализации

17.1. Алгоритм численного решения системы (14.1) - (14.4)

с xeR,yeR2

17.2. Пример

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение сплайнов в теории сингулярно возмущенных краевых задач с особенностями»

ВВЕДЕНИЕ

1. Настоящая работа посвящена исследованию сингулярно возмущенных краевых задач с особенностями. Эти задачи принадлежат важному классу дифференциальных уравнений - уравнениям с малыми параметрами при производных, называемым сингулярно возмущенными. Начинал с основополагающих работ А.Н. Тихонова [61]-[63], такие уравнения привлекают внимание многих математиков, что объясняется их большой прикладной значимостью. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, биологии, технике (в теории ускорителей, теории автоматического регулирования, теории нелинейных колебаний, теории гироскопов, а также в квантовой хромодинамике, релятивистской квантовой механике, газодинамике и т.д.). Другими словами, сингулярные задачи возникают там, где имеются неравномерные переходы. Именно поэтому численно-аналитические методы решения сингулярно возмущенных задач имеют большое значение как для развития фундаментальных исследований, так и для решения конкретных практических задач.

В дальнейшем сингулярно возмущенные задачи мы будем именовать сокращенно СВЗ, сингулярно возмущенные краевые задачи - СВКЗ.

Первые попытки численного решения таких задач встретили серьезные трудности, так как в пограничном слое (зоне, где решение исходной возмущенной системы значительно отличается при сколь угодно малых £ от решения вырожденной системы) многие стандартные численные методы не работают. В связи с этим возникает необходимость разработки специальных методов изучения таких задач. Научная литература в основном посвящена линейным и квазилинейным СВЗ 2-го порядка и СВЗ для уравнений в частных производных. Численные методы для сильно нелинейных СВЗ развиты слабо.

2. Асимптотическим методам изучения СВЗ посвящены работы

A.Н. Тихонова [61]-[63], М.И.Вишика, Л.А. Люстерника [29], [30], А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, М.Г.Дмитриева, Л.В.Калачева [25]-[28], [108], [109], С.А.Ломова [51], В.Г.Сушко [60], Р.З.Казминского и Г.Яна [90],

B. Барсилона [82], А.Н. Чепурко [65] и др. На основе информации о качественных особенностях решения, которые дают асимптотические методы, разрабатываются специальные численные методы. Этой тематике посвящена обширная литература (см. обзор [23], библиографию в [18], [37], работу [2]).

Наиболее активно для СВЗ развиваются разностные методы.

Разностным схемам на равномерных сетках посвящены работы A.M. Ильина [43], Дж. Миллера, Э. Дулана, У. Шилдерса [37] и ряда других авторов (см. обзор [23], библиографию в [18]).

Разностным схемам на неравномерных и кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в погранслое, посвящены работы Г.И. Шишкина, Л. Г1. Шишкиной, И. В. Целищевой, П. В. Хемкера, П. А. Фаррелла, Дж. Дж. X. Миллера, Е.О'Риордана [66]-[75], [85]-[88], [92].

К разностным схемам на неравномерных сетках относятся работы Н.С.Вахвалова [7], И.П.Боглаева [20]-[22], A.M.Дегтярева, В.В.Дроздова, Т.С. Ивановой [36], К. В. Емельянова [38], [39], Р. Вуляновича. [110],

C. Ю-ченга, Ш. Квана [111] и др.

К разностным схемам на неравномерных сетках можно отнести и цикл работ У.Ашера, Р.Вейса, Дж.Кристиансена, Р.Рассела, К.Рингхофера [78] - [81], [95], которые посвящены методу кол локации и формально относятся к проекционно-сеточным методам. Однако авторы этих работ рассматривают метод коллокации лишь как средство получения разностных схем. При этом используются сплайны высоких дефектов; число узлов сетки, хотя и медленно, но растет при £ —> 0, что существенно повышает размерность уравнений, получающихся при дискретизации задачи.

Оценки точности получаются в сеточных нормах.

Для широкого класса СВЗ построены разностные схемы невысокого порядка, сходящиеся равномерно по малому параметру. В последние годы появилась серия работ, посвященных повышению порядка уже известных схем (этот подход будет использовал в 3-ей главе диссертации) и построению схем более высокого порядка. Так, В.Б. Андреевым, Н.В. Коп-тевой, И.А. Савиным в работах [3], [56], [57] для ОДУ 2-го порядка рассматриваются классические разностные схемы, в [4], [5] - модифицированные монотонные схемы A.A. Самарского на кусочно-равномерной сетке Г.И. Шишкина, и устанавливаются оценки точности сеточного решения 0(N~2 In2 N), равномерные по малому параметру (в [57] получена точность О (т 4- N~2 In2 N), где N - число узлов сетки по пространству, т -шаг сетки по времени), а в работе Г. Сана, М. Стайнса [104] получена погрешность 0{N~4 In4 JV).

Среди разностных схем следует отметить схемы высокого порядка точности (см. [52], [94], [104]). В работе В.Л.Макарова, В.В.Гуминского [52] рассматриваются FD-схемы любого порядка точности (равномерного по е) для сингулярно возмущенных систем ОДУ 2-го порядка с кусочно-гладкими коэффициентами. Для того, чтобы воспользоваться этим методом, нужно знать собственные значения и собственные векторы матриц, что в n-мерном случае является достаточно сложной задачей.

Для линейных СВКЗ 2-го порядка Т. Тангом и М.Р. Траммером в [106] была предложена процедура, основанная на растяжении координат и псевдоспектральном методе Чебышева для решения в области погран-слоя, которая дает устойчивый и достаточно точный результат для очень тонких погранслоев с достаточно малым числом спектральных коллока-ционных точек.

Значительный класс методов приближенного решения СВЗ образуют проекционно-сеточные методы галеркинского типа. К этому направле-

нию относятся работы Б.М. Багаева [6], И.А. Блатова [8], [9], [12]-[14], [16]-[18], М. Стайнса, Е.О'Риордана [101]. Спектральный метод Галеркина для СКВЗ 2-го порядка рассмотрен В. Лиу и Т.Тангом в [91].

Методу конечных элементов для СВЗ посвящены работы М. Стоянови-ча [98], Е.О'Риордана, М.Стайнса, Д.Адама, А.Фелгенхауэра, Х.-Р.Руса, Г.Сана, Р.Сашш[76],[93], [97], [102], [103], С.Адьерида, М.Эйфа, Дж. Флаэрти [77], И.А. Блатова, В.В. Стрыгина [99].

3. Важное место среди проекционно-сеточных методов, удобных для приближенного решения краевых задач, занимает метод сплайн-коллока-ции. Достоинством этого метода является его относительная простота в численной реализации, для которой нужно знать только нижнюю оценку спектра на концах отрезка (см. [18, с. 190]).

Как показано в работах [10], [И], [15], [19], [31]-[35], [50], [55], [59], [89], [95], [100], [105], метод коллокации позволяет построить равномерные приближения высокого порядка точности.

Заметим, что большинство работ посвящено исследованию линейных и квазилинейных СВЗ 2-го порядка и СВЗ для уравнений в частных производных.

Линейные СВКЗ для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка рассматривались У. Ашером, Р.Вейсом, И.П. Боглаевым. В.В. Стрыгиным, И.А. Благовым, В.Н. Бобоновой, Е.В. Кузнецовой, И JO. Покорной.

В работах [80], [81], а также в работе К. Рингхофера [95] (для квазилинейных уравнений 1-го порядка) в методе коллокаций используются сплайны высокого дефекта и получаются оценки погрешности в сеточной норме, причем число узлов сетки зависит от £ и стремится к оо при £ —► 0.

В работе [10] рассматривается метод сплайн-коллокацжи для линей-

ных систем вида

еу1 = A{i)y + f(t), (0.1)

у\0) = ... = ук{0) = зЛЧ 1) = ... = у»(1) = О, (0.2)

гДеА(*),/(*) ec2[-i,i].

В [18, с. 240-297] задача (0.1)-(0.2) решается методом конечных элементов Галеркина, и получен 3-й порядок точности в С-норме. Построенная в рамках метода Галеркина схема значительно сложнее и более трудоемка в численной реализации, чем метод кол локации, построенный для этой же задачи в [10], но зато порядок сходимости на единицу выше. В работе [19] рассматриваются системы вида

х' = Ац(*,ф + А12(М)у + A(t), (0.3)

eyf = Ам (t, e)x + A»(t, e)y -f /*(«), (0.4)

Af*(-1) 4- Nz( 1) = ae. (0.5)

где ж = («•") € й', ;</ = (у*) € Rn, Ац(М), Ai2(M>, A2i(M), A22(M) -(£ x I), (I x , (n xl), (nx n) - матрицы класса C2{— 1,1] по ¿, представимые для j - 1,2 в виде

Ay = Е ek(Atj(t) 4- ЩАу(п) + ЯкА1}-(т2)), к=0

1

А21 = £ е*(А&(*) + ЩА21(п) + QäA21(T2)),

,ir=0

Лзл = ASa(i) + eA^t) + eniAaain) + £<?iA22(r2)

(n = (t + l)/e, r2 = (i - 1)/£), г = (ж,у)т, M и N - постоянные квадратные матрицы порядка (/ + ?г), вектор-функция f(t) = (/i(i), /г(*))т € С2[—1,1]. эе€ Rl+n, причем ||ге|| < С/ш2.

Предполагается, что задача (0.3)-(0.5) удовлетворяет условиям, гарантирующим существование и единственность решения (см. [40]).

Задачи (0.1) - (0.2) и (0.3) - (0.5) решаются методом коллокации на базе параболических сплайнов дефекта 1. Такой подход позволил уменьшить

размерность пространства решений, получить оценки погрешности порядка 0(1/т2) (где (4га + 1) - число узлов сетки) в С-норме и аппроксимацию производных порядка 0(1/(ет2)), причем используются оптимальные сетки бахваловского типа, число узлов которых не зависит от малого параметра е.

В [99] для приближенного решения задачи типа (0.3) - (0.5) с = Лг-у(#) и ге = 0, в окрестности погранслоя используется метод сплайн-коллокаций на базе параболических сплайнов дефекта 1 на строго неравномерной сетке, имеющий второй порядок погрешности, а в регулярной области - метод Ралеркина, имеющий третий порядок погрешности.

В работе [55] для задачи (0.1)- (0.2) на базе кубических сплайнов дефекта 1 построен метод коллокации 3-го порядка точности для линейных задач с непрерывными и разрывными коэффициентами (без погранслоев). В работах [15], [50] на базе комбинированных кубических сплайнов (склеенных кубических сплайнов дефектов 1 и 2) построен метод коллокации 4-го порядка точности для линейных СВЗ 1-го и 2-го порядков с достаточно гладкими коэффициентами без погранслоев.

Линейные СВКЗ 2-го порядка с коэффициентами, содержащими пограничные слои, рассматривались в работе И.А. Влатова [12].

Нелинейным СВКЗ условно устойчивого типа посвящены работы й. П. Воглаева [22], К. Рингхофера [95], И. А. Влатова, В.В. Влатовой, Ю.В. Рожека, В.В. Стрыгина [83].

И.П.Воглаевым в работах [20]-[22] построены разностные схемы для численного интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных начальной задачи 1-го порядка и краевых задач первого и второго порядков, обладающие равномерной по малому параметру оценкой погрешности первого порядка в сеточной норме. В частности, в [22] им была рас-

смотрена следующая нелинейная СВКЗ условно устойчивого типа

еу' = Р(у,1) (0<*<1), (0.6)

(удовлетворяющая условиям (см. [26, с.109,110,112,119]), гарантирующим существование и единственность решения), где е - малый положительный параметр, у = (у*) £ К*\ непрерывно дифференцируема, и собственные значения матрицы ¿^ = (дР(у^)/ду) удовлетворяют неравенствам Ее Л,(у, < 0, г = 1,..., к (к < п) и Ле > 0,

ъ —— а/ 1) • « * у 7ъ+

Для этой задачи был построен численный метод, основанный на выделении некоторой главной части дифференциального оператора и применении метода точных интегральных соотношений. Результаты и идеи этой работы были использованы в третьей главе диссертации.

И.А. Блатовым в [9] для задачи (0.6), (0.2) был построен метод Галер-кина с использованием гс-мерных сплайн-функций степени г дефекта 1 и получены оценки погрешности порядка 0{НТ) в ¿оо-норме.

В [82] эта же задача была решена методом Галеркина-Петрова на адаптивных сетках, предложенных Н.С. Бахваловым, и получен 2-ой порядок точности в ¿оо-норме.

4. В настоящей работе в первых двух главах рассматривается метод сплайн-коллокации приближенного решения линейных СВКЗ с коэффициентами, содержащими особенности типа пограничного слоя, на базе параболических сплайнов дефекта 1, доказывается существование кол локационного решения, и устанавливаются равномерные по £ оценки сходимости порядка 0(1/т2) в С-норме.

В третьей главе для приближенного решения нелинейной СВКЗ первого порядка предлагается численно-аналитический метод, обладающий равномерной по малому параметру оценкой погрешности порядка 0(1/тп2). Он основан на линеаризации нелинейной задачи на начальном приближении, которое строится с использованием значений сеточной

функции, найденной по методике И.П. Воглаева (см. [22]), и дальнейшем решении полученной линейной задачи методом сплайн-коллокации.

Прежде чем переходить к изложению результатов диссертации, введем некоторые необходимые обозначения и уточним терминологию.

5. Пусть Ш - <?-мерное пространство с нормой

||®||я* = max (0.7)

1 <i<q

где х1 - i-я координата вектора х — (я?1,..., xq)T (т - знак транспонирова-

я

ния). Через jjAjjco = max ¡а{, | будем обозначать норму квадратной мат-

!<*<«; в 1

рицы А = согласованную с нормой (0.7). Пусть Ср = Ср[—1,1] -

пространство р-раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в причем ||ж||еа» = шах sup \\$x(t)/dP\\.

¿=0,1 ,...j>_i<i<i

Пусть A : -1 = i_2m < t-2m+l < • • • < tQ = 0 < iX < . . . < t2m = 1 " некоторое разбиение отрезка [—1,1]. Через = [ii^s+i] обозначим г-тый частичный отрезок разбиения А, через hi = il+i - ti - его длину.

Зафиксируем некоторые постоянные К\ > К2 > 0.

Семейство разбиений А, обладающих свойством К\ < hi+i/hi < К2 (для всех г), будем называть локально равномерным семейством разбиений отрезка [-1,1].

Обозначим через 5(А, г, 1) пространство полиномиальных сплайнов степени г дефекта 1 на сетке А, а через [¿'(А, г, I)]9 - декартово произведение таких пространств. Символ £ всюду означает малый положительный параметр. Через С и аа будем обозначать положительные константы, не зависящие от гит, величины которых не играют существенной роли в дальнейших рассуждениях.

Будем говорить, что /(£,&) = 0(g(syh)) при е 0, h 0, если для всех £ € (0,£о], h € (0, Ао] справедливо соотношение ||/(£,/ь)|| < C\\g(£,h)\\.

Функциями типа левого погранслоя назовем функции П(/,£), удовлетворяющие оценкам вида ||П(*,£)|| < Сехр(—ae(i + 1)/£).

Функциями типа правого погранслоя назовем функции £?(£,£), удовлетворяющие оценкам вида ||Q(t,£)|| < Cexp(ae(i - 1 )/е). Перейдем к краткому изложению результатов диссертации.

6. В главе I рассматривается метод сплайн-кол локации для построения приближенного решения линейной краевой задачи

Lx~exf - A(i,e)x =/(tye), (0.8)

х\~\,е) = ... = xk{~l,e) = a**1 (M) = ... = = 0- (0.9)

Здесь х = (х1) £ Rn, матрица A(tye) и вектор-функция f(t,s) имеют следующий вид

А(<, е) = Â(i) + ПА(п) 4- QA{t2\ f(t,s) = f(t) + П/(п) + Qf(r2)

(п = (i + 1)/е, r2 = (t - i)/e), где Â(2) (/(0) - гладкая матрица (вектор) класса С'2[—1,1], причем собственные значения Л¡(t) матрицы Â(i) действительны, различны и удовлетворяют неравенствам

\i(t) < ... < Xk(t) < 0 < Лk+i(t) < ... < \n(i); (0.10)

nA(ri) (n/(ri)) и QA(t2) (Qffa)) - матричные (векторные) функции типа погранслоя, определенные и непрерывные вместе со своими производными до 2-го порядка включительно при т\ > 0 и г2 < 0 соответственно, причем для г = 0,1,2 выполнены оценки

||n^A(ri)||oo < Сехр(—seri), (0.11)

IW(i)Afa)||oo < Cexp(aer2) (0.12)

(аналогично для П/(тз) и Qffa}).

Предполагается, что для задачи (0.8) - (0.9) выполнены условия (см. [26, с. 109,110,112,119]), обеспечивающие существование и единственность решения, причем решение имеет экспоненциальные погранслои в окрестностях точек t — +1.

Метод сплайн-коллокации состоит в следующем. Сначала по методике Н.С. Вахвалова (см. [22]) выбирается специальное неравномерное разбиение А отрезка [—1,1], число узлов в котором (4т + 1) не зависит от е. Приближенное решение задачи (0.8) - (0.9) ищется в пространстве

Е = {«(<) = (п\г),..., «»(*))* € [5(А, 2,1)]» :

«1(-1) = ... = ик(-1) = «*+1(1) = ... = ип( 1) = 0}.

Точки кол локации {£,} выбираются таким образом, чтобы коллокацион-ная матрица была хорошо обратима (т. е. имела равномерно ограниченную по I и. £ обратную матрицу). При этом используются точки полукол-локации £-|~(т+2) ~ это точки, в которых рассматриваются не все уравнения системы (0.8), а лишь их определенная часть.

Коллокационная задача для системы (0.8) - (0.9) состоит в нахождении такой вектор-функции и{1) Е Е, что

- = 0 0 = -2т ~ 1, • • • ,2т + 1; з ф ±(т + 2)), (0.13)

{1и((т+2) ~ Д£т+2,е)У = 0 = 1,... ,*), (0.14)

{Ьи(^т.2) - Ш-ш-ъе)}1 = 0 (I = к + 1,... ,п) (0.15)

(через {.}' обозначена 1-я координата вектора {.}), и решение задачи (0.13)-(0.15) обладает следующим свойством.

Теорема 1.2. Найдутся такие числа С, £о > 0, то > 0, 70 > 0, что для всех £ е (0,£о], т > т0 коллокационная задача (0.13) - (0.15) при е|1пе| < 70/т имеет единственное решение и(%) € Е, причем справедлива оценка

1М*) " ^№!1с[-1Д] + е||«'(*) - 4(011с[-1,1] < С/т2, где хе(£) - точное решение задачи (0.8) - (0.9).

Являясь продолжением исследований И.А. Блатова, В.В.Стрыгина [10], результаты первой главы, посвященные случаю коэффициентов, содержащих погранслойные функции, основаны на использовании пробных

пространств более сложной структуры, в связи с чем усложняется доказательство обратимости соответствующей коллокационной матрицы.

7. Глава II посвящена разработке метода сплайн-коллокации для линейной краевой задачи условно устойчивого типа

уЧ-М) = ... = у*(-М) = уш(Ье) = ... = у"(1,е) = 0. (0.19) Здесь ж - И еИ1,у = (у*) = (х,у)\ Ац(*,е)» А12(г9е),

Агг^^) - матрицы размеров (I х I), (I х п), (те х /), (гг. х ть) соответственно, представимые в виде

1) - матрицы класса С2[—1,1], причем матрица А22СО имеет различные действительные собственные значения (г = 1 удовлетворяющие неравенствам (0.10);

2) НАц (т\) и QA¿j(т2) - матричные функции типа левого и правого пограничных слоев, определенные и непрерывные вместе со своими производными до 2-го порядка включительно при ц > 0 и т2 < 0 соответственно, причем для р = 0,1,2 выполнены оценки

где ае - некоторая положительная константа;

3) ДА,-Дг) - матрицы класса С?^—1,1], причем ||ДА,7($)||оо < С/га для всех % е [-1,1], е £ (0,£0];

Ь^ = х- Аи&,е)х - Ах2{г,е)у = &(«,£)» Ь2ег = еу- А21&е)х - А22&е)у = *(-1,е)=0,

(0.16) (0.17) (0.18)

АгДМ) = + П .Ац(п) + дЛу(г2)+

(*) + ДПАгДг!) + ДОЛ-Дгг) 4- е)

(п = («+ 1)/е, г2 = (2 - 1)/е ; ¿Л = 1,2),

где

НПЛ^ЫНоо < Сехр(—зегх), |ЮЛ?ЫН«> < Сехр(»т*),

4) AiIÄj/(ri) и AQAijfa) - непрерывно дифференцируемые матричные функции типа левого и правого пограничных слоев, причем для р = 0,1

||АП4?)(п)||оо < Cexp(-»n)/m, HAQA^fa»!«, < Cexp(aer2)/m;

5) ||Äij(i,e)||oo < С для всех t е [-1,1], £ € (0,е0].

Предполагается, что для вектор-функции g{t,e) — G7i(i,e),02(f»£))T справедливо представление вида

= т + + Я9(Ъ) + AflrW + ATlgin) + AQgfo) + еД,(М)>

где первые шесть слагаемых имеют соответственно ту же гладкость и оценки, что и в п. 1)-4),

Rg(t9e) = Rg(t) + Шд{п) + QR9{t2},

Rg(t) - векторная функция класса 1,1], IlÄ^(ri) и QUgfo) - непрерывно дифференцируемые векторные функции типа левого и правого пограничных слоев, причем

НШг^МИл^ < Cexpf-aen), (Юй^ЫНя^ < С7ехр(®г2) (р = 0,1).

Предполагается, что для задачи (0.16)-(0.19) выполнены условия (см. [26, с. 109,110,112,119]), обеспечивающие существование и единственность решения. Положим

E -={w = (uyv)T G [5(А,2,1)]/+Я : u(-l) = 0,

= ... = vk(-l) = i>Ä+1(l) = •.. = v%(l) = 0}.

Метод кол локации решения системы (0.16)- (0.19) состоит в нахождении такой вектор-функции w(t) = (u(t)^v(t))r £ Е. что

L]w{ti) - gi(ti,e) = 0 (i = -2m,... ,2га), (0.20)

¿Мб)=0 Ü' = -2m-l,...,2ra + l;i^+(^ + 2)), (0.21) {L2£w{tm+2) - й(е«и-2, e)}1 = 0 (* = 1, • • •, *), (0.22)

- = 0 0 = к + 1,. . • ,n), (0.23)

причем решение задачи (0.20) - (0.23) обладает следующим свойством.

Теорема 8.2. Найдутся такие числа С, £q > 0, mo > 0, 70 > G? что для всех £ € (0,£о]> т > то коллокационная задача (0.20) - (0.23) при sjlnej < 70¡т имеет единственное решение w(i) = (u{t),v(t))T. причем справедливы оценки

IM«) - «Wlk-1,1] + Ш) - ^'Wliq-мз < С/т\

||y,(i) - v(t)\\chlil] +eM(t) - w'WIIcr-i.ii < C/™2> где xs(t), ye{t) ~ точное решение задачи (0.16) - (0.19).

8. Глава III является центральной. Она посвящена исследованию нелинейной краевой задачи условно устойчивого типа

%f = G(x,y,t)y (0.24)

£y' = F(x,y,t) (0.25)

с краевыми условиями (0.18) - (0.19), где х Е R1, у € Rn. Предполагается, что для задачи (0.24)-(0.25), (0.18)-(0.19) выполнены условия, перечисленные в [26, с. 109,110,112,119], гарантирующие существование и единственность решения. Считаем, что функции G(a>,y,i) и F{xyy,t) имеют непрерывные производные до 4-го порядка включительно в некоторой ¿-трубке кривой Ьо» являющейся окрестностью нулевого приближения (см. [26, с. 119]). Кроме того, потребуем, чтобы матрица A(yyt) = = Fy(x<)>yit) (где xo(t), yo(t) - решение вырожденной задачи) удовлетворяла дополнительным условиям, перечисленным в [22, с. 190]. Нелинейная задача (0.24) - (0.25) сводится к задаче вида

etf = F0(ytt) + &F(ytt) (0.26)

с краевыми условиями (0.19), где Fo(y,i) = F(£o>sM)} ||AF(y,i)|| < Се

S б

для всех t € [-1,1], у из --трубки кривой L0 (е < -) (см. постанов-

2 2

ку задачи).

Используя для задачи (0.26), (0.19) рассуждения, изложенные Й.П. Боглаевым в [22], для данной сетки Д и задачи (0.26), (0.19) получаем сеточную функцию ув, по значениям которой строится комбинированный интерполяционный сплайн S(t). Затем нелинейная задача (0.24) -(0.25), (0.18) - (0.19) линеаризуется на начальном приближении zö — (¿'o(i), S(t))Ti а линейная задача решается в главе II.

Соответствующая коллокационная задача состоит в нахождении элемента w(t) = (u(t),v(t))T (см. п. 7), удовлетворяющего уравнениям типа (0.20) - (0.23) с коэффициентами системы и с правой частью, отличающимися от рассмотренных в п. 7 на величины порядка ö(l/m2).

Для решения w£(i) = (uE(t)>ve(t))T коллокационной задачи (0.20) -(0.23) с учетом сделанных уточнений справедлива основная

Теорема 14,2. Найдутся тате числа С, £о > 0, то > 0, 70 > 0, что для всех е £ (0,£о], т > то таких, что е\ ln£j < 70/т, приближенное решение w£ (t) коллокационной задачи (0,20) - (0.23) существует и справедлива оценка

||w£(i) ~ ^Wliq-м] < С/т1, где z£(i) - точное решение задачи (0.24) - (0.25), (0.18) - (0.19).

8. Основные результаты работы изложены в публикациях [31] - [35] и докладывались на семинарах профессоров Г.А. Куриной и В.Г. Задорож-него, на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского госуниверситета, на Воронежских зимних математических школах (1993, 1997 гг.), на весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения-VIII" (1997 г.).

Содержание диссертации разбито на три главы, завершаясь списком цитированной литературы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.В. Стрыгину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также И.А. Блатову за ряд ценных советов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Глушакова, Татьяна Николаевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алберг Дж., Нильеон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее применения. - М.: Мир, 1972. - 316 с.

2. Амирханов И.В., Жидков Е.П., Жидкова И.Е. Исследование сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с использованием численно-аналитических методов // Сообщение Объединенного инстшута ядерных исследований. - Дубна, 1993. - С. 1-9.

3. Андреев В.Б., Коптева Н.В. Об исследований разностных схем с аппроксимацией первой производной центральным разностным отнощением // Ж!, вычисл. матем. и матем. физики. - 1996. - Т. 36, N 8. - С. 101-117.

4. Андреев В.Б., Савин И.А. О равномерной по малому параметру сходимости монотонной схемы Самарского ж ее модификации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1995. - Т. 35, N 5. - С. 739-752.

5. Андреев В.Б., Савин И.А. К вычислению граничного потока с равномерной по малому параметру точностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1996. - Т. 36, N 12. - С. 57-63.

6. Вагаев В.М. Метод Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Численные методы мех. сплош. среды. - 1979. - Г. 10, N 1. - С. 5-16.

7. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии погранслоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1969. -Т. 9, N 4. - С. 841-859.

8. Влатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода Галеркина для нелинейной двухточечной сингулярно возмущенной краевой задачи в пространстве С[а,Ь] // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1985. - Т. 25, N 7. - С. 1001-1008.

9. Блатов И.А. Сходимость в равномерной норме метода Галеркина для нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи // Ж. вычисл. ма-

тем. и матем. физики. - 1986. - Т. 26, N 8. - С. 1175-1188.

10. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода сплайн-коллокации на оптимальных сетках для сингулярно возмущенных краевых задач // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24, N И. - С. 1977-1987.

11. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода сплайн-коллокации для сингулярно возмущенных краевых задач на локально равномерных сетках // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, N 7. - С. 11911197.

12. Блатов И.А. О проекционном методе для сингулярно возмущенных краевых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1990. - Т. 30, N 7. ~ С. 1031-1044.

13. Блатов И.А. О методе конечных элементов Галеркина для эллиптических квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач. I // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т. 28, N 7. - С. 1168-1177.

14. Блатов И.А. О методе конечных элементов Галеркина для эллиптических квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач. II // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т. 28, N 10. - С. 1799-1810.

15. Блатов Й.А., Стрыгин В.В. Метод коллокации четвертого порядка точности для сингулярно возмущенных краевых задач // Сиб. мат. журнал. - 1993. - Т. 34, N 1. - С. 16-31.

16. Блатов И . А. О методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных параболических начально-краевых задач. I // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, N 5. - С. 661-669.

17. Блатов И.А. С) методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных параболических начально-краевых задач. II // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, N 7. - С. 912-922.

18. Блатов И.А.. Стрыгин В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем. - Воронеж: ВГУ, 1997. -406 с.

-14519. Бобонова E.H., Стрыгин B.B. Метод коллокации для линейных сингулярно возмущенных краевых задач на неравномерных сетках // Дифференциальные уравнения. - 1993. - Т. 29, N 7. - С. 1144-1155.

20. Боглаев И.П. О численном интегрировании сингулярно-возмущенной задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1985. - Т. 25, N 7. - С. 1009-1022.

21. Боглаев И.П. Численное интегрирование начальных задач для систем с малым параметром при производной // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1987. - Т. 27, N 1. - С. 63-75.

22. Боглаев И.II. Численные методы решения краевых задач для систем с малым параметром при производной //Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1987. - Т. 27, N 2. - С. 188-201.

23. Боглаев ЮЛ. О численных методах решения сингулярно возмущенных задач // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. 21, N 10. - С. 1804-1806.

24. Вор К. де. Практическое руководство по сплайнам. - М.: Радио и связь, 1985. - 303 с.

25. Бутузов В.Ф. Сингулярные возмущения //Новое в жизни, науке, технике, Сер. Математика, кибернетика. - М.: Знание, 1988. - N 1. - 48 с.

26. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. - М.: Наука, 1973. - 272 с.

27. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. - М.: Высшая школа, 1990. - 207 с.

28. Васильева A.B., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления ff Итоги науки и техники. - Т. 20. - М.: ВИНИТИ, 1982. - С. 3-77.

29. Вишик М.И., Люстерник JI.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. - 1957. - Т. 12, N 5. - С. 3-122.

30. Витик М.И., Люстерник Л.А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // ДАН. -1960. - Т. 132, N 6. - С. 1242-1245.

31. Глушакова Т.Н. Метод сн л айн-кол локаций для сингулярно возмущенных линейных краевых задач с коэффициентами, содержащими пограничные слои, на базе параболических сплайнов. - Воронеж, 1992. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.08.92, N 2636-В92.

32. Глушакова Т.Н. Метод сплайн-кол локации для сингулярно возмущенных линейных краевых задач с коэффициентами, содержащими пограничные слои, на базе параболических сплайнов // Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании: Тез. докл. шк. - Воронеж,: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1993. - С. 41.

33. Глушакова Т.Н. О численном методе решения нелинейной краевой задачи для систем с малым параметром при производной // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. шк. -Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1997. - С. 53.

34. Глушакова Т.Н. О методе второго порядка точности для одной сильно нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи // Вестник факультета прикладной математики и механики. ~ Вып. 1. - Воронеж: ВГУ, 1998. - С. 39-47.

35. Глушакова Т.Н. Исследование нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи с использованием численно-аналитических методов // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства: Тез. конф. - Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1998. - С. 32.

36. Дегтярев A.M., Дроздов В.В., Иванова. Т.С. Метод адаптивных к решению сеток в сингулярно-возмущенных одномерных краевых задачах // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23, N 7. - С. 1160-1169.

37. }. 1у лан Э., Миллер Дж... Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. - М.: Мир. 1983. - 199 с.

38. Емельянов К.В. Применение оптимальных разностных сеток к решению задач с сингулярным возмущением // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1994, - Т. 34, N 6. - С. 936-943.

39. Емельянов К.В. Применение одномерных оптимальных сеток к решению двумерных задач с сингулярным возмущением // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1998. - Т. 38, N 3. - С. 425-432.

40. Есипова В.А. Асимптотика решения общей краевой задачи для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений условно устойчивого типа // Дифференциальные уравнения. - 1975. -Т. 11, N 11. - С. 1956-1966.

41. Завьялов Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

42. Зматраков H.JI. Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов // Труды МИ АН СССР. - 1975. -Т. 138. - С. 71-93.

43. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. -1969. - Т. 6, N 2. - С. 237-248.

44. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

45. Канторович Д.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука., 1984. - 752 с.

46. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука., 1989. - 623 с.

47. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

48. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 769 с.

49. Красносельский М.А., Рутицкий Я.В. О некоторых методах при-

ближепного решения нелинейных операторных уравнений // Проблемы математического анализа сложных систем, - Воронеж, 1968. - Вып. 3. -С. 48-57. - (Тр. семинара по функциональному анализу. Вып. 11).

50. Кузнецова Б.В. Метод коллокации четвертого порядка точности для сингулярно возмущенных краевых задач на адаптивных сетках. Авто-реф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 1995. - 18 с.

51. Ломов С .А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981. - 398 с.

52. Макаров В.Л., Гуминский В.В. FD-схемы любого порядка точности (равномерного по в) для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. ~ 1994. - Т. 30, N 3. -С. 292-301.

53. Марчук Г.М., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. - М.: Наука, 1981. - 416 с.

54. Певдюхова Н.В. Расщепление дифференциальных систем с малыми параметрами при производных. Автореф. дисс. ... канд. физ - мат. наук. - Куйбышев, 1989. - 18 с.

55. Покорная И.К). Метод коллокации решения сингулярно возмущенных краевых задач с помощью кубических сплайнов минимального дефекта. Автореф. дисс. ...канд. физ-мат. наук. - Воронеж, 1996. - 16 с.

56. Савин И.А. О скорости равномерной по малому параметру сходимости разностной схемы для обыкновенного дифференциального уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1995. - Т. 35, N 11. - С. 1758-1765.

57. Савин И.А. О скорости сходимости на кусочно-равномерной сетке разностной схемы для параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1996. - Т. 36, N И. - С. 108-114.

58. Стечкин C.B., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной матема-

тике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.

59. Стрыгин В.В., Блатов И.А. Элементы теории сплайнов и метод сплайн коллокадий // Учебное пособие. - Воронеж: Изд-во Воронежского университета, 1989. - 233 с.

60. Сушко В.Г. Асимптотические решения некоторых сингулярно возмущенных уравнений смешанного типа // Фундаментальная и прикладная математика. - Мм 1997. - Т. 3, вып. 2. - С. 579-586.

61. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. - 1948. - Т. 22 (64), вып. 2. - С. 193-204.

62. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. - 1950. - Т. 27 (69), вып. 3. - С. 147-324.

63. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных // Матем. сб. - 1952. - Т. 31 (73), вып. 3. - С. 575-586.

64. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения: Пер. с англ. ~ М.: Мир, 1988. - 346 с.

65. Чепурко А.Н. Асимптотика решения сингулярно возмущенного нестационарного уравнения переноса нейтронов // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1998. - Т. 38, N 2.-0. 289-297.

66. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. - Екатеринбург: УрО РАН, 1992. - 280 с.

67. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений, вырождающихся на. границе. Случай коэффициентов, резко изменяющихся в окрестности пограничного слоя // Мат. моделир. -1994. - Т. 6, N 5. - С. 105-121.

68. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных краевых задач для систем эллиптических и параболических уравнений

// Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1995. - Т.35, N 4. - С. 542-564.

69. Шишкин Г.И. Локально-одномерные разностные схемы для сингулярно возмущенных параболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1996. - Т. 36, N 2. - С. 42-61.

70. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация параболических уравнений с сингулярными начальными условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1996. - Т. 36, N 3. - С. 73-92.

71. Шишкин Г.И., Целшцева Й.В. Параллельные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач для эллиптических уравнений // Мат. моделир. - 1996. - Т. 8, N 3. - С. 111-127.

72. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений с конвективными членами в случае смешанных краевых условий // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, N 5. - С. 689-701.

73. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных квазилинейных эллиптических уравнений в случае кратных решений предельного уравнения // Мат. моделир. - 1996. - Т. 8, N 7. - С. 109-127.

74. Шишкин Г.И. Аппроксимация решений и диффузионных потоков в случае сингулярно возмущенных краевых задач с разрывными начальными условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1996. - Т.

36, N 9. - С. 83-104.

75. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенной задачи Неймана для параболических уравнений в случае разрывной граничной функции // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1997. - Т.

37, N 3. - С. 378-381.

76. Adam 1)., Pelgenhauer A., Roos H.-G. and Stynes. A nonconforming finite element method for a singularly perturbed boundary value problem // Computing. - 1995. - V. 54. - P. 1-25.

77. Adjerid S., Aiffa M. and Flaherty J.B. High-Order Finite Element Methods for Singularly Perturbed Elliptic and Parabolic Problems // SI AM J. on

Appiied Mathematics. - 1995. - V. 55, N 2. - P. 520-543.

78. Ascher U. On some difference schemes for singularly perturbed boundary value problems // Number. Math. - 1985. - V. 46. - P. 1-30.

79. Ascher U., Christiansen J., Russe! E.D. A collocation solver for mixed order systems of boundary value problems // Math. Comp. - 1979. - V. 33, N 146. - P. 659-679.

80. Ascher U., Weiss ft. Collocation for singular perturbation problems 1: first order systems with constant coefficients // SI AM J. Numer. Anal. - 1984. -V. 20, N 3. - P. 537-557.

81. Ascher U., Weiss ft. Collocation for singular perturbation problems II: linear first order systems without turning points // Math. Comp. - 1984. -V. 43, N 167. - P. 157-187.

82. Barcilon V. Singular Perturbation Analysis of the Fokker-Planck Equation: Kramer's Underdamped Problem // SI AM J. on Applied Mathematics. - 1996. - V. 56, N 2. - P. 446-479.

83. Blatov i.A., Blatova V.V., Rozhec Y.B., Strygin V.V. Galerkin-Petrov method for strongly nonlinear singularly perturbed boundary value problems on special meshes // Applied Numerical Mathematics. - 1997. - V. 25. - P.

84. De Jager E.M., Porti J. The Theory of Smqular Perturbations (North Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics, v. 42). - North-Holland, 1996. - 242 p.

85. Parrel! P.A., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. A Uniformly Convergent Finite Difference Scheme for a Singularly Perturbed Semilinear Equation // SI AM J. Numer. Anal. - 1996. - V. 33, N 3. - P. 1135-1149.

86. Farrell P.A., Hemker P.W., Shishkin G.I. Discrete Approximations for Singularly Perturbed Boundary Problems with Parabolic Layers, I // J. of Computational Mathematics. - 1996. - V. 14, N 1. - P. 71-97.

87. Farrell P.A., Hemker P,W„, Shishkin G.L Discrete Approximations for

Singularly Perturbed Boundary Problems with Parabolic Layers, II // J. of Computational Mathematics. - 1996. - V. 14, N 2. - P. 183-194.

88. Farreii P.A., Hemker P.W., Shishkin G.I. Discrete Approximations for Singularly Perturbed Boundary Problems with Parabolic Layers, III // J. of Computational Mathematics. - 1996. - V. 14, N 3. - P. 273 290.

89. Flaherty J.E., Mathon W. Collocation methods for singular^ perturbed boundary value problems // Boundary and litder. Layers Comput. and Asyinp. Metii.: Proc. BASIC. I. Conf., Dublin. - 1980. - P. 77-92.

90. Khasminskii R.Z. and Yin G. Asimptotic series for Singularly Perturbed Kolmogorov-Fokker-Planck Equations // SI AM J. on Applied Mathematics. - 1996. - V. 56, N. 6. - P. 1766-1793.

91. Liu W. and Tang T. Spectral Methods for Singular Perturbation Problems // Symposia in Applied Mathematics. - 1994. - V. 48. - P. 323-326.

92. Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems, Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions. - Singapore: World Scientific, 1996. - 252 p.

93. O'Riordan E., Stynes M. A globally uniformly convergent finite element method for a singularly perturbed elliptic problem in two dimensions // Math. Comp. - 1991. - V. 57. • P. 47-62.

94. Qi-quang W., Xiao-di S. A uniform high-order method for a singular perturbation problem in conservative form // Appl. Math, and Mech. ~ 1992. -V. 13, N 10. - P. 909-916.

95. Ringhofer C. On collocation schemes for quasilinear singularly perturbed boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal. - 1984. - V. 21, N 5. -P. 864-882.

96. Roos H.~Gm Stynes M. and Tobiska L. Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations - Convection-Diffusion and Flow Problems (Springer Series in Computational Mathematics, v. 24). - Berlin; Springer-

Verlag, 1996. - 264 p.

97. Sacco R., Stynes M. Finite element methods for convection-diffusion problems using exponential splines on triangles // Computers Math. Applic. -1998. - V. 35. - P. 35-45.

98. Stojanovic' M. Uniform finite elements method for singular perturbation problem // Math, balkan. - 1992. - V.6, N 1. - P. 3-12.

99. Strygin V.V., Blatov I.A. The finite element method of numerical solving of linear optimal control problems // Singular solutions and perturbations in Contr. Syst.: Proc. Int. Workshop. - Pereslavi-Zalessky, 1993. - P. 43-44.

100. Strygin V.V., Kusnetzova E.N. Fourth order collocation method on adap-tiv meshes for singularly perturbed boundary value problems // Proc. of Neural, Parallel and Scientific Computations. - 1995. - V. 1. - P. 438-440.

101. Stynes M., O'Riordan E. A uniformly convergent Galerkin method on a Shishkin mesh for a convection-diffusion problem // J. Math. Anal. Appl. -1997. - V. 214, - P. 36-54.

102. Sim G., Stynes M. Finite element methods for singularly perturbed higher order elliptic two-point boundary value problems 1: reaction-diffusion type // IMA J. Numer. Anal. - 1995.- V. 15. - P. 117-139.

103. Sun G., Stynes M. Finite element methods for singularly perturbed higher order elliptic two-point boundary value problems II: convection-diffusion type // IMA J. Numer. Anal. - 1995.- V. 15. - P. 197-219.

104. Sun G., Stynes M. An almost fourth order uniformly convergent difference scheme for a semilinear singularly perturbed reaction-diffusion problem // Numer. Math. - 1995.- V. 70. - P. 487-500.

105. Surla K. Uniformly convergent spline collocation method for a differential equation with a small parameter // Num. Methods and Approx. Theory. - 1987. - V. 3, 3rd Conf. - Nis. - 1988. - P. 399-406.

106. Tang T. and Trummer M.R. Boundary Layer Resolving Pseudospectral Methods for Singular Perturbation Problems // SI AM J. Sci. Comput. - 1996.

- V. 17, N 2. - P. 430-438.// 107. Uzelac Z., Surla K. Families of quadratic and cubic spline difference scheme // Math. Res. - 1989. - V. 52. - P. 189-197.

108. Vasilieva A.B. On the development of singular perturbation theory at Moscow State University and elsewhere // SI AM Rev. - 1994. - V. 36, N 3. -P. 440-452.

109. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. and Kalachev L.V. The Boundary Function Method for Sinqular Perturbation Problems (Series: Studies in Applied Mathematics, v. 14). - SIAM, 1995. - 246 p.

110. Vulanovich R. A second order uniform method for singular perturbation problems without turning points //Conf. Appl. Math., Ljubljana. - 1986. -P. 183-194,

111. Yu-cheng S., Quan Sh. The numerical solution of a singularly perturbed problem for quasilinear parabolic differential equation // Appl. Math, and Mech. - 1992. - V. 13, N 6. - P. 497-500.