Разработка параметрических моделей и программного обеспечения распознавания образов по выборке фиксированного объема с учетом погрешностей признаков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Мальцев, Альберт Владимирович

• Мальцев, Альберт Владимирович
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мальцев, Альберт Владимирович

Введение.

Глава 1. Анализ традиционных методов в статистических задачах принятия решений и математическая постановка задачи исследования.

1.1. Основные понятия и определения.

1.2. Статистические задачи решения с наблюдениями.

1.3. Статистическая классификация при фиксированном объеме выборки.

1.4. Методы детерминистской классификации.

1.5. Математическая постановка задачи исследований.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Принятие решений по выборке фиксированного объема с учетом погрешности признаков в обобщенных условных плотностях вероятности.

2.1. Анализ методов оценки параметров функции известного вида с учетом погрешностей в значениях функций и аргументов.

2.2. Задача оценивания свободных параметров функций в пассивной схеме наблюдений.

2.3. О единственности оценок параметров. Состоятельность оценок и алгоритм их получения.

2.4. Статистические свойства свободных параметров функции Гаусса, определенных через параметры уравнения прямой линии и непосредственно.

2.5. Оценка параметров функции плотности вероятности с учетом погрешности измерения вектора признаков.

2.6. Классификация образов по измеренному с погрешностью вектору признаков.

2.7. Программа для многомерного конфлюентного анализа данных.

Выводы к главе 2.

Глава 3. Статистические задачи распознавания образов при неизвестном законе распределения измеренных значений признаков.

3.1. Оценка значений параметров классификаторов по выборке фиксированного объема.

3.2. Обобщенные линейные разделяющие функции.

3.3. Оценка разделяющего вектора с помощью процедур линейного и квадратичного программирования.

3.4. Разделяющие функции для случая многих классов (образов).

3.5. Учет погрешностей наблюдений при оценке значений параметров классификаторов по выборке.

3.6. Распознавание образов по измеренному с погрешностью вектору признаков.

3.7. Описание математического и программного обеспечения.

3.8. Анализ тестовых расчетов.

3.9. Идентификация землетрясений и искусственных взрывов по сейсмическим проявлениям.

Выводы к главе 3.

Основные результаты диссертации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка параметрических моделей и программного обеспечения распознавания образов по выборке фиксированного объема с учетом погрешностей признаков»

Теория принятия решений в последние годы приобретает все большее значение в различных областях знания: в технике, экономике, медицине и др. Она перешагнула свои границы в узком смысле и все шире проникает в область управления, исследования операций, сейсмологию и т.д. Число книг и статей, публикуемых в самых разных изданиях по этой проблеме, резко возросло.

Алгоритмы распознавания образов по совокупности признаков различаются этапностью принятия решений; степенью и характером учета статистики признаков, помех, сигналов.

По этапности различают алгоритмы одноэтапного и многоэтапного [8, 41, 42, 43] принятия решений. Одноэтапное принятие решений предусматривает обязательную выдачу оценки класса / известного алфавита с приемлемой достоверностью. К многоэтапности принятия решений могут вести следующие соображения: целесообразность отказа от выдачи решения на первом этапе (первых этапах) до дополнительного набора признаков (последовательные алгоритмы типа Вальда); целесообразность принятия загрубленного решения до дополнительного набора признаков; необходимость обобщения предварительных решений, полученных в различные моменты времени или от различных источников.

По степени учета статистических закономерностей различают лингвистические и статистические алгоритмы. По характеру учета статистических закономерностей из статистических алгоритмов выделяют параметрические (байесовские и небайесовские), непараметрические и нейрокомпьютерные алгоритмы.

Лингвистические алгоритмы [11, 40, 54, 57] не учитывают статистики признаков. Вводимые признаки описывают качественно, часто двоичными цифрами 0, 1. Описание признаков на языке алгебры логики (языковое, кодовое, синтаксическое) служит при этом основой распознавания.

Байесовские параметрические алгоритмы, в отличие от параметрических небайесовских, учитывают не только статистику параметров помех, флуктуаций сигналов и признаков, но и определенные гипотезы об априорных вероятностях Р1 различных элементов алфавита классов [20, 53, 58]. Структура алгоритмов и работающих по ним устройств обработки сигналов определяется из математических расчетов. Статистика признаков сигналов, негауссовская в общем случае, устанавливается путем натурного эксперимента, математического или физического моделирования. Введение этой статистики можно трактовать как обучение распознаванию, адаптацию к конкретным условиям распознавания.

Непараметрические алгоритмы синтезируются эвристически без явного принятия предположений о конкретных статистических распределениях [20, 23, 34, 38, 40, 53, 58]. Их можно рассматривать в ряде случаев как эвристическое упрощение параметрических байесовских алгоритмов.

Нейрокомпьютерные алгоритмы отличаются своей заранее заданной универсальной структурой с большим числом неизвестных параметров, уточняемых в процессе адаптации (обучения) [70, 76]. Возрастание вычислительных затрат как издержку универсализации компенсируют ростом производительности вычислительных средств.

К решению задач распознавания привлекают также ряд математических теорий и методов, развитие которых связано с появлением экспертных систем [25, 52, 59]: теорию нечетких множеств и теорию возможностей [49, 55], теорию игр и другие математические методы [4, 5, 21].

В задачах распознавания образов и принятия решений важную роль играет то, как учтены (насколько строго) неопределенности исходных данных. Использование усредненных величин ведет к смещенным оценкам основных показателей, определяющих решение, и, как следствие, к неверным практическим выводам. Поэтому в диссертации особое внимание уделено строгому учету погрешностей измерений вектора признака объектов.

Традиционные статистические методы распознавания образов часто не учитывают погрешности в наблюдаемых значениях признаков, что приводит к следующему:

1) оценки функций условных плотностей вероятности признаков образов (если даже вид плотностей известен априори), которые получают по результатам наблюдений, будут смещенными, а их интервальные оценки -неверными;

2) в процессе идентификации образов, имеющих близкие значения координат векторов признаков, из-за влияния погрешностей на результаты наблюдений может быть принято неверное решение;

3) в традиционных методах функции условных плотностей вероятности признаков выступают в процедурах идентификации образов как детерминированные (не учитываются их интервальные оценки) и по этой причине в принятии решений не рассматриваются имеющие место зоны неопределенности (нулевые зоны).

В отличие от традиционных статистических методов распознавания образов в диссертации разработаны и используются методы, которые позволяют учесть погрешности наблюдаемых значений координат векторов признаков объектов, получить несмещенные точечные и интервальные оценки функций условных плотностей вероятности признаков, оценить "истинные" координаты вектора признаков, по которому ведется идентификация объектов, и включить эти данные в процедуру принятия решений.

Таким образом, решаемая задача представляет интерес для различных областей знаний и практических приложений и является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка теоретических и практических методов распознавания образов по выборке фиксированного объема с учетом погрешностей результатов наблюдений признаков, когда алгоритм распознавания включает в себя стохастические параметрические модели (априори известны вид функций условных плотностей вероятности признаков или разделяющих функций). Разрабатываемые методы предназначены для получения точечных и интервальных оценок искомых параметров моделей и оценок "истинных" значений векторов признаков и учета этих оценок в процедурах распознавания образов.

В соответствии с указанной целью в работе поставлены следующие задачи:

1) разработать метод идентификации объектов по выборке фиксированного объема, который позволяет оценивать и учитывать "истинные" значения вектора признаков объектов и точечные и интервальные оценки параметров заданных функций плотностей вероятности признаков, участвующих в процессе идентификации объектов, т.е. разработать общий подход и единый алгоритм для задачи обучения системы распознавания и задачи идентификации объектов при априори известном виде функций условных плотностей вероятности признаков;

2) разработать метод распознавания образов, позволяющий учесть погрешности результатов наблюдений векторов признаков объектов при фиксированном объеме выборки и неизвестных условных плотностях вероятности признаков, но известных с точностью до значений параметров разделяющих функциях;

3) разработать программное обеспечение, реализующее алгоритмы распознавания объектов по наблюдаемым с погрешностью признакам объектов как в случае заданных с точностью до параметров функций условных плотностей вероятности признаков, так и без учета условных плотностей вероятности признаков при известном виде разделяющих функций;

4) исследовать аналитически и в модельных экспериментах особенности предлагаемых алгоритмов и влияние погрешности в наблюдаемых значениях признаков на сходимость алгоритмов, на статистические свойства решений;

5) исследовать предлагаемые методы на реальных примерах распознавания химических взрывов и слабых землетрясений по сейсмическим наблюдениям, указать отличие в результатах, полученных традиционным и предлагаемым методами.

В качестве объекта исследования выступают классы распознаваемых образов методами, опирающимися на параметрические модели в виде обобщенных условных плотностей вероятности признаков или (и) разделяющих функций, в которых отсутствуют детерминированные исходные данные. В качестве конкретных примеров рассмотрены задачи распознавания химических взрывов и слабых землетрясений по признакам, измеренным в присутствии помех.

В основу исследования положен разработанный в диссертации метод распознавания образов, позволяющий учесть погрешность результатов наблюдений и точечные и интервальные оценки всех величин и функций, участвующих в процедуре распознавания. Метод базируется на конфлюентном анализе.

Разработанный метод основан на работах Р.Дуды, П.Харта, К.Фу, А.Л.Горелика, В.Г.Небабина и других - по теории распознавания образов, работах А.А.Грешилова, В.В.Федорова, W.Fuller, L.Gleser, D.Sehafer, M.Kendall и других - по теории вероятностей и математической статистике, работах российских и зарубежных авторов по вычислительной математике и программированию на ЭВМ. При сравнительном анализе использовались результаты других исследователей.

В первой главе диссертации дается анализ традиционных методов статистических задач решения; рассматриваются как стохастический, так и детерминистский подходы, а также задачи решения с фиксированным объемом выборки и последовательная решающая модель.

Во второй главе описываются способы учета погрешностей вектора признаков в статистических задачах решения с фиксированным объемом выборки, когда вид функций обобщенных условных плотностей вероятности известен априори, но неизвестны оценки их параметров, приводятся алгоритмы 9 получения несмещенных точечной и интервальных оценок разделяющей функции, а также оценок "истинных" значений измеренного вектора признаков, по которым принимается решение. Здесь же приводятся сведения из конфлюентного анализа - совокупности алгоритмов, позволяющих учитывать одновременно погрешности, как в значениях функции, так и в значениях аргументов. Показаны отличия в решениях, принимаемых согласно традиционным и предлагаемым в диссертации методам.

В третьей главе рассмотрена задача распознавания образов, когда обобщенные условные плотности вероятности не заданы, но предполагается вид разделяющих функций, параметры которых подлежат определению с учетом погрешности наблюдаемых значений признаков. Исследуется задача распознавания взрывов по сейсмическим наблюдениям с получением линейных и квадратичных разделяющих функций в процессе обработки экспериментальных данных для химических взрывов и слабых землетрясений по пяти признакам.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мальцев, Альберт Владимирович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработан метод распознавания образов по выборке фиксированного объема при заданных параметрических моделях условных плотностей вероятности признаков или разделяющих функций, позволяющий учитывать погрешности наблюдений значений признаков, точечные и интервальные оценки функций условных плотностей вероятности признаков или разделяющих функций, а так же точечные и интервальные оценки наблюдаемого вектора признаков, по которому ведется идентификация объектов. Метод объединяет процедуру обучения системы распознавания и процедуру идентификации образов.

Показано, что метод работоспособен как при известном виде функций условных плотностей вероятности признаков, так и в случае, когда закон распределения результатов наблюдений и вид функций условных плотностей вероятности признаков не заданы, а заданы только средние квадратические погрешности наблюдений и общий вид разделяющих функций.

2. Исследованы основные особенности предложенного алгоритма распознавания образов и форма получаемых функционалов, показана несмещенность и единственность получаемых оценок, определен выбор нулевого приближения в процедурах оценивания параметров моделей и исследованы статистические свойства полученных оценок.

3. Разработано программное обеспечение, реализующее на ПК предложений метод распознавания образов и обеспечившее проведение статистических испытаний получаемых результатов.

4. Предложенный метод исследовался на примерах распознавания химических взрывов и слабых землетрясений по сейсмическим измерениям, когда в качестве признаков выступали пять признаков. Результаты исследовались в предположении, что вид функций условных плотностей вероятности признаков неизвестен, но при известных значениях точечных оценок признаков и их средних квадратических отклонений для линейных и

139 квадратических разделяющих функций. Показано, что результаты идентификации могут отличаться от получаемых традиционными методами.

5. Результаты, полученные в диссертации, апробировались в хоздоговорных работах по теме "Образ-8" (1995-96 гг.), в госбюджетной тематике, проводимой НИИПММ МГТУ им. Н.Э. Баумана, и в учебных курсах "Принятие решений и распознавание образов" и "Математические методы прогнозирования", читаемых студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана и слушателям МИПК при МГТУ им. Н.Э. Баумана по экономическим и управленческим специальностям; теоретическая часть работы поддерживалась SAIC Global Technology Corporation (SAIC GT), USA, субконтракт №29-990026-142.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мальцев, Альберт Владимирович, 2000 год

1. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения: Пер. с англ. / Под ред. С.Б. Стечкина. -М.: Мир, 1972. 316 с.

2. Бард И. Нелинейное оценивание параметров. -М.: Статистика, 1979. 349 с.

3. Бартон Д., Вард Г. Справочник по радиолокационным измерениям. -М.: Советское радио, 1976. 392 с.

4. Борисов А.И., Алексеев A.B. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. -124 с.

5. Борисов А.И., Крумберг O.A., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. -Рига: Зинатне, 1990. 184 с.

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Изд. 4-е. М.: Наука, 1969. - 576 с.

7. Вопросы статистической теории распознавания. /Под ред. Б.В. Барского. -М.: Сов. Радио, 1967. 400 с.

8. Гельман Л.М. Распознавание радиолокационных образов // Современная радиолокация: Докл. Междунар. конф. Киев, 1994. - Вып. 1. - С.74

9. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой // ДАН СССР. -1972. Т. 203, N6.-С. 1238-1239.

10. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1977.-222 с.

11. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1989.-232 с.

12. Селекция и распознавание на основе локационной информации /А.Л. Горелик, Ю.Л. Барабаш, О.В. Кривошеев и др.; Под ред. А.Л. Горелика М.: Радио и связь, 1990. - 240 с.

13. Грешилов A.A. Анализ и синтез стохастических систем. Параметрические модели и конфлюентный анализ. -М.: Радио и связь, 1990. 320 с.

14. Грешилов A.A. Метод наименьших квадратов и элементы конфлюентного анализа. М.: Издательство МГТУ, 1980. - 67 с.

15. Грешилов A.A. Некорректные задачи цифровой обработки информации и сигналов. -М.: Радио и связь, 1984. 161 с.

16. Грешилов A.A., Стакун В.А., Стакун A.A. Математические методы построения прогнозов. М.: Радио и связь, 1997. - 112 с.

17. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения: Пер. с англ. -М.: Мир, 1974.-491 с.

18. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. -М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.

19. Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия. М.: Наука, 1989. - 292 с.

20. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен: Пер. с англ. -М.: Мир, 1976.-511 с.

21. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. М., 1990. - 286 с.

22. Жилинская Е.И., Товмаченко H.H., Федоров В.В. Методы регрессионного анализа при наличии ошибки в предикторных переменных. -М.: АН СССР, 1978.-34 с.

23. Журавлев Ю.И., Никифоров В.В. Проблемы реализации алгоритма обобщенной невязки // Кибернетика. -1971. -N 3. С 19-21.

24. Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии. -М.: Статистика, 1980. -438 с.

25. Искусственный интеллект: Справочник, В 2-х кн. / Под ред. Д.А.Поспелова. М.: Радио и связь, 1990. - Кн. 2. - 248 с.

26. Кендалл М., Стъюарт А. Статистические выводы и связи: Пер. с англ. / Под ред. А.Н.Колмогорова. М.: Наука, 1973. - 590 с.

27. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Наука, 1970. - 720 с.

28. Планирование эксперимента в задачах нелинейного оценивания и распознавания образов / Г.К. Круг, В.А. Кабанов, Г.А. Фомин и др. -М.: Наука, 1981,- 172 с.

29. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. - 208 с.

30. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Изд. 2-е. -М.: Высшая школа, 1988. Т. 2.- 575 с.

31. Леонов A.C. Некоторые аспекты реализации регуляризующего алгоритма обобщенной невязки // Обработка и интерпретация физических экспериментов (М). 1976. - Вып. 4. - С. 69-81.

32. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки информации. М.: Физматгиз, 1958. -333 с.

33. Митрофанов Д.Г., Ермоленко В.П. Распознавание воздушных целей за счет измерения их пространственной протяженности // Зарубежная радиоэлектроника. 1996. -N 1. - С. 53-56.

34. Модели. Алгоритмы. Принятие решений: Сб. статей. -М.: Наука, 1989. -250 с.

35. Небабин В.Г., Белоус О.И. Методы и техника противодействия радиолокационному распознаванию // Зарубежная радиоэлектроника. -1987.-N 2.-С. 142-144.

36. Небабин В.Г., Гришин В.К. Методы и техника радиолокационного распознавания: Современное состояние, тенденции развития, перспективы //Зарубежная радиоэлектроника. 1992. -N 10. - С. 46-49.

37. Небабин В.Г., Сергеев В.В. Методы и техника радиолокационного распознавания. М.: Радио и связь, 1984. - 152 с.

38. Патрик Э. Основы теории распознавания образов: Пер. с англ. М.: Советское радио, 1980. - 408 с.

39. Персептрон система распознавания образов / Под ред. А.Г. Ивахненко. -Киев: Наукова думка, 1975. - 278 с.

40. Распознавание образов. Состояние и перспективы: Пер. с англ. / Под ред. И.Б.Гуревича. М.: Радио и связь, 1985. - 103 с.

41. Репин В.Г., Тартаковекий Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио, 1977.-432 с.

42. Селекция и распознавание на основе локационной информации / Под ред. А.Л.Горелика. М.: Радио и связь, 1990. - 239 с.

43. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Теория последовательных решений и ее применения. М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.

44. Стайнберг Б.Д. Формирование радиолокационного изображения самолета в диапазоне СВЧ // ТИИЭР. 1988. - Т. 76, N 12. - С. 26-А6.

45. Статистические методы в экспериментальной физике: Пер. с англ. / Под ред. А.П.Тяпкина. М.: Атомиздат, 1976. - 335 с.

46. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука, 1978.-239 с.

47. Трубицын Е.Г., Ермоленко В.П. Алгоритм распознавания сложных воздушных целей // Зарубежная радиоэлектроника. -1992. N 10. - С.82-84.

48. Уилкс С. Математическая статистика: Пер. с англ. -М.: Наука, 1967. 632 с.

49. Уотермен Д. Руководство по экспертным системам. -М.: Мир, 1989. 388 с.

50. Успенский А.Б., Федоров В.В. Вычислительные аспекты МНК при анализе и планировании регрессионных экспериментов. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1975.- 168 с.

51. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. -М.: Наука, 1971. -312 с.

52. Финкелыитейн М.И., Мендельсон В.А., Кутев В.Л. Радиолокация слоистых земных покровов. М.: Сов. радио, 1977. - 174 с.

53. Фомин Я.А., Тарловский Г.Р. Статистическая теория распознавания образов. М.: Радио и связь, 1986. - 263 с.

54. Фор А. Восприятие и распознавание образов: Пер. с франц. М.: Машиностроение, 1989. -271 с.

55. Франклин Д., Кармоди У. Проблемы обработки нечеткой информации //ТИИЭР. 1988. - Т. 78, N 10. - С. 32-36.

56. Фу К. Последовательные методы в распознавании образов и обучении машин: Пер. с англ. М.: Наука, 1971. - 255 с.

57. Фу К. Структурные методы в распознавании образов: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.-319 с.

58. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания: Пер. с англ. -М.: Наука, 1979.-367 с.

59. Хармут Х.Ф. Несинусоидальные волны в радиолокации и радиосвязи. М.: Радио и связь, 1985. - 376 с.

60. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами: Пер. с англ. -М.: Мир, 1973.957 с.

61. Худсон Д. Статистика для физиков: Пер. с англ. / Под ред. Е.М.Лейкина. -М.: Мир, 1970.-296 с.

62. Шишов С.А. Классификаторы на основе нейронных структур // Зарубежная радиоэлектроника. 1992. -N 8. - С. 78-83.

63. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. М.: Физматгиз, 1963. - 775 с.

64. Яноши Л. Теория и практика обработки результатов измерений: Пер. с англ. / Под ред. Н.П.Клепикова. М.: Мир, 1968. - 462 с.

65. Frisch R. Statistical confluence anakysis by means of complete regression sistems. Oslo, 1934. - 192 p.

66. Fuller W.A. Measurement error models. New York: Wiley, 1987. - 440 p.

67. Jefferys W.H. Robust estimation when more then one variable per equation of condition has error // Biometrika. 1990. -V. 77. - P. 597-607.

68. Lyons louis. On estimating systematic errors from repeated measurements // J. Phys. A. 1992. -V. 25. - P. 1967-1979.

69. Parallel Distributed Processing / Ed. by D. Rummelhart, J. Mc. Clelland, -Cambridge MA: MJT Press, 1988. -V. 1. 354 p.

70. Spiegelman CI. H. Plotting techniques for error-in-variables problems // Statistic Analysis Measurable Error Models and Application: Proc. AMS-IMS-SIAM: It Summer Res. Conf., Areata (CA), June 10-16, 1989. Providence, 1990. - P. 167-168.

71. Schneeweiß H. H-J. Mittag. Lineare Modelle mit fehler behafteten Daten //Physica.- Heidelberg-Wien, 1986. S. 504.

72. Yohai V.J., Zamar R.H. Bounded influece estimation in the error-in-variables model // Statistic Analysis Measurable Error Models and Application: Proc. AMS-IMS-SIAM: It Summer Res. Conf., Areata (CA), June 10-16, 1989. -Providence, 1990. P. 243-248.

73. Werbos P. Backpropagation through time: what it does and how to do it // Proc. IEEE. 1990. -V. 78, N. 10. - P. 1258-1276.

74. Widrow B. and Lehr M.A. 30 Years of Adaptive Neural Networks: Perceptron, Madaline, and Backpropagation//Proc. IEEE. -1990.-V.78, N.9. -P.1415-1442.

75. Williamson J.H. Least-squares fitting of straight line // Canad. J. Phys. 1968. -V. 46, N. 16.-P. 1845.

76. Whittemore A.S. Error-variables regression problems in epidemiology // Statistic Analysis Measurable Error Models and Application: Proc. AMS-IMS-SIAM: It Summer Res. Conf., Areata (CA), June 10-16, 1989. Providence, 1990. - P. 17-31.