Разработка параллельных одношаговых методов и комплекса программ для решения задач химической кинетики и биологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ващенко, Геннадий Васильевич

• Ващенко, Геннадий Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ващенко, Геннадий Васильевич

Содержание

Введение

Глава 1. Контроль точности и устойчивости. Последовательный и параллельный алгоритмы

1.1 Основные определения

1.2 Контроль точности вычислений

1.3 Контроль устойчивости

1.4 Реализация методов с контролем точности и устойчивости

1.5 Параллельные вычислительные системы и параллельные вычисления

1.6 Оценки эффективности параллельных алгоритмов

1.7. Параллельный вариант явного метода с контролем точности

вычислений и устойчивости численной схемы

1.8 Заключение к главе 1

Глава 2. Параллельная реализация явных методов с контролем точности и устойчивости

2.1. Явные т-стадийные методы типа Рунге-Кутты

2.2. Одностадийный метод

2.3. Двухстадийный метод

2.4. Трехстадийный метод

2.5. Заключение к главе 2

Глава 3. Параллельная реализация ¿-устойчивого метода

3.1. Класс (т,к)-методов

3.2. Алгоритм постоянного шага на основе (2,1)-метода

3.3. Параллельный алгоритм переменного шага

3.4. Анализ эффективности

3.5. Заключение к главе 3

Глава 4. Комплекс параллельных программ и результаты численного моделирования

4.1. Комплекс параллельных программ

4.2. Численное моделирование генной сети

4.3. Численное моделирование проникновения антител в ткань живого организма

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка параллельных одношаговых методов и комплекса программ для решения задач химической кинетики и биологии»

Введение

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений вида

y' = f{t,y\ y(t0) = y0, tQ<t<tk, (1)

где у и/- вещественные TV-мерные вектор-функции, t - скалярная величина является одной из наиболее часто встречающихся задач научно-технических исследований в химической кинетики, биологии, радиоэлектроники и в других практических приложениях. Во многих случаях задача усложняется жесткостью и большой размерностью системы (1). В результате возможностей обычных последовательных вычислительных машин уже оказывается недостаточным. Поэтому актуальной проблемой является создание алгоритмов интегрирования на современных параллельных вычислительных машинах с распределенной памятью. Для этого необходимо разработать параллельный алгоритм разбиения данных на блоки, каждый из которых обрабатывается отдельным процессором, а так же организовать межпроцессорные взаимодействия с учетом архитектуры и программного обеспечения многопроцессорной вычислительной машины.

При численном решении систем дифференциальных уравнений одношаговыми методами на основе схем типа Рунге-Кутты и ¿-устойчивых методов возникает необходимость построения численных формул с автоматическим выбором величины шага интегрирования, обеспечивающего требуемую точность вычислений. Критерии выбора шага основываются на оценках локальной или глобальной погрешности, а для явных методов дополнительно требуется контролировать устойчивость численной схемы. Поэтому разработка параллельных явных методов переменного шага с выбором величины шага по точности и устойчивости является актуальной задачей. При построении параллельных алгоритмов и программ интегрирования требуется разрешить ряд вопросов, которым посвящена данная работа. Сначала нужно выбрать методы, которые соответствовали бы классу решаемых задач. Здесь в основу алгоритмов интегрирования

положены одношаговые безытерационные численные схемы вида

Уп+1=У« + ¥А*п>Уп>к)> (2)

которые обладают определенными преимуществами перед многошаговыми. В частности, многошаговые формулы приводят в некотором смысле к осреднению решения (срезание экстремумов), что при моделировании некоторых динамических объектов делает их неприемлемыми. Кроме того, если правая часть дифференциальной задачи разрывная, то применение многошаговых методов является малоэффективным. Достаточно полный обзор работ по многошаговым методам содержится в [1-5], и поэтому ниже на этом вопросе останавливаться не будем.

Требование безытерационности (2) позволяет оценить затраты на шаг интегрирования до проведения расчетов и упрощает программную реализацию как последовательных, так и параллельных алгоритмов интегрирования. Важность указанных задач породила за последнее время огромное количество методов интегрирования жестких и не жестких систем. Однако для того, чтобы от идеи метода перейти к его алгоритмической реализации, необходимо решить проблему изменения величины шага интегрирования и оценки точности получаемых численных результатов, что и делает метод экономичным и надежным. Современные способы управления шагом основаны, как правило, на контроле точности численной схемы. Такой подход представляется наиболее естественным, поскольку основным критерием при проведении практических расчетов является точность нахождения решения. Многие алгоритмы интегрирования для выбора величины шага используют оценку локальной ошибки (погрешности аппроксимации). Это оправдано тем, что если на каждом шаге контролировать некоторый минимальный уровень локальной ошибки, то глобальная ошибка будет ограничена. В настоящее время можно выделить три практических способа оценки данной ошибки [1,с.59-65]. Классическим способом оценки локальной ошибки является экстраполяция Ричардсона [1011]. Его иногда еще называют правилом Рунге, и он заключается в

следующем. В каждой сеточной точке интервала интегрирования решение вычисляется с шагом /г и 0.5/г, а искомая оценка определяется через разность приближений к решению. Недостатком такого способа является необходимость дважды вычислять решение в каждой точке, что приводит к значительному увеличению вычислительных затрат. В последнее время все большую популярность получает способ оценки локальной ошибки с помощью вложенных методов. В этом случае приближение к решению в каждой точке вычисляется двумя методами вида (2) р-то и (р+1)-го порядка точности, а затем локальная ошибка метода р-то порядка оценивается через разность полученных приближений. Такой способ эффективен, если для вычисления по методу р-го порядка не требуется дополнительных вычислений правой части и матрицы Якоби задачи (1). Следует отметить оперативность и относительную дешевизну оценки локальной ошибки с помощью вложенных методов. По затратам на шаг она лежит между оценкой ошибки с помощью правила Рунге и многошаговой оценкой. В то же время, по отношению к многошаговой оценке, в ней при вычислении ошибки используется информация только с данного шага, что повышает ее надежность. Данный способ успешно применялся в работах [6-7, 9] и ниже будет использоваться здесь.

Использование оценки локальной ошибки при выборе величины шага интегрирования и для контроля точности вычислений в ряде случаев приводит к успеху. Однако с целью повышения надежности расчетов необходимо найти оценку глобальной ошибки. Наиболее известный способ определения данной ошибки основан на предположении о линейном характере накопления глобальной ошибки из локальных [8]. В результате для контроля точности предлагается применять неравенство

(3)

где дп - оценка локальной ошибки, ||-|| - некоторая норма в Як\ е - требуемая точность расчетов. В [12] используется другое неравенство

которое получено в предположении, что при интегрировании устойчивыми методами вклад начальных возмущений убывает по мере продвижения по сетке. Здесь через р обозначен порядок точности метода, а через ср -некоторая вычисляемая постоянная. Обоснование (4) для линейной скалярной задачи приведено в ([14], с. 43-45). Еще один способ оценки основан на интегрировании дополнительной линейной системы дифференциальных уравнений, описывающей поведение главного члена глобальной ошибки (см., например, [4], с. 40-45). Однако это связано с вычислением матрицы Якоби и дополнительными затратами на интегрирование. Поэтому такой способ применяется достаточно редко.

В последнее время при численном исследовании некоторых жестких задач все большее внимание привлекают явные методы (см. библ. [14]). При решении ряда задач А-устойчивыми методами возникает проблема с размещением элементов матрицы Якоби в оперативной памяти ЭВМ и, что более существенно, с ее обращением. Явные методы не нуждаются в вычислении матрицы Якоби и, если жесткость задачи не слишком велика, то они будут предпочтительнее. Более того, появление многопроцессорных вычислительных систем позволяет взглянуть иначе на явные методы. Здесь следует отметить, что для многопроцессорных вычислительных систем основным требованием к алгоритму является наличие внутреннего параллелизма - алгоритм должен состоят из частей, которые могут выполняться одновременно и независимо друг от друга. Следующий принципиальный факт во многом определяет возможность эффективной параллельной реализации алгоритмов - время обмена сообщениями между процессорами существенно превышает время доступа к своей локальной памяти и время выполнения арифметических операций. Отсюда возникает условие локальности алгоритма, т.е. на каждом процессоре обращение к локальной памяти и выполнение арифметических операций должны происходить значительно чаще, чем обмены данными с другими процессорами. Желательно требование масштабируемости, т.е способности

алгоритма работать на произвольном числе процессоров. На практике это обеспечивает высокую эффективность параллельной реализации и для конкретного набора процессорных элементов [13,15-17].

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Во введении дан краткий обзор научной литературы по теме работы, обоснована актуальность исследований, приведено краткое содержание диссертации по главам. Глава 1 посвящена вопросам нахождения приближенного решения одношаговыми методами, а также последовательной и параллельной реализации алгоритмов интегрирования. Приведены сведения о параллельных вычислительных системах, моделях параллельных вычислений и способах оценки эффективности на таких вычислительных системах. В главе 2 разработаны параллельные алгоритмы интегрирования переменного шага на основе явных т-стадийных методов типа Рунге-Кутта с применением схем с первого по третий порядок точности. Построены оценки ошибки и неравенства для контроля точности вычислений и устойчивости численной схемы. Получены оценки ускорения и эффективности. Глава 3 посвящена параллельной реализации численных схем с неограниченной областью устойчивости. На основе ¿-устойчивого (2,1)-метода решения жестких задач созданы параллельные алгоритмы интегрирования с постоянным и переменным шагом интегрирования. Особое внимание уделяется параллельной декомпозиции матрицы Якоби, потому что при большой размерности время декомпозиции фактически полностью определяет общие вычислительные затраты. Построены оценка ошибки и неравенство для контроля точности вычислений. Получены оценки ускорения и эффективности. В главе 4 описан комплекс параллельных программ численного решения задачи Коши для жестких и нежестких систем дифференциальных уравнений. Приведены результаты моделирования генной сети и численного решения задачи проникновения радиоактивных меток в ткань живого организма. В заключении сформулированы основные результаты исследований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ващенко, Геннадий Васильевич

Основные результаты получены автором и опубликованы в работах [75-92], 5 из которых входят в список ВАК. Во всех совместных работах соавтору принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов исследований.

Заключение

На основе явных методов типа Рунге-Кутты с контролем точности вычислений и устойчивости численной схемы, а также ¿-устойчивого (2,1)-метода разработаны и реализованы на языке С++ параллельные алгоритмы переменного шага для решения жестких и нежестких задач. Создан комплекс параллельных программ для многопроцессорных вычислительных систем кластерной архитектуры, которым проведено моделирование двух практических задач.

1. Построены параллельные явные численные методы с первого по третий порядок с неравенствами для контроля точности вычислений и устойчивости численной схемы, а также ¿-устойчивый метод второго порядка точности.

2. Разработаны и обоснованы параллельные алгоритмы переменного шага на основе построенных методов, получены теоретические оценки эффективности и масштабируемости для вычислительных систем кластерной архитектуры.

3. Создан комплекс параллельных программ, в состав которого включены программные реализации разработанных алгоритмов. Работоспособность и эффективность комплекса исследована на общепринятых тестовых задачах.

4. Проведено численное моделирование функционирования генной сети на основе модели многостадийного процесса синтеза вещества без ветвления и стоков, и найдено численное решение задачи проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ващенко, Геннадий Васильевич, 2012 год

Литература

[1] Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. - М.: Мир, 1979.-312 с.

[2] Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: Мир, 1990. - 512 с.

[3] Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.-685с.

[4] Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1978. - 462 с.

[5] Byrne G.D., Hindmarsh А.С. Stiff ODE solvers: a review of current and comming attractions // J. of Comput. Physics. - 1986. - №70. - P. 1-62.

[6] England R. Error estimates for Runge - Kutta type solutions to systems of ODE's // Comput. J. - 1969. - №12. - P. 166-169.

[7] Fehlberg E. Low order classical Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer problems. NASA T.R., 1969.

[8] Gear C.W. The automatic integration of stiff ordinary differential equations // Infor. Proc. - 1969. - P. 187-193.

[9] Merson R.H. An operational methods for integration processes // Proc. of Symp. on Data Processing. Weapons Research Establishmrnt. Salisbury, Australia. - 1957.-P. 329-330.

[10] Richardson L.F. The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stress in a massory dam // Philos. Trans. Roy. Soc., London. - 1910. - Ser. A. - №210. -P. 307-357.

[11] Richardson L.F. The differed approach to the limit. 1: Single lattice // Philos. Trans. Roy. Soc., London. - 1927. - Ser. A. - №226. - P. 299-349.

[12] Артемьев C.C., Демидов Г.В. Алгоритм переменного порядка и шага для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных

уравнений // ДАН СССР. - 1978. - Т. 238. - №3.- С. 517-520.

[13] Гергель В.П. Теория и практика параллельных вычислений. - М.: Бином. Лаборатория Базовых Знаний, 2007. - 423 с.

[14] Новиков В.А., Новиков Е.А. Одношаговые методы интегрирования задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Красноярск: КГУ.- 1989.- 4.1. -86 с.

[15] Немнюгин С.А., Стесик O.J1. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. - Спб., Изд-во БХВ-Петербург. - 2002. - 400 с.

[16] Эндрюс Т.П. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования. М.: Издательский дом "Вильяме". - 2003. - 512 с.

[17] Hendrickson В., Kolda Tamara G. Graph partitioning models for parallel Computing // Parallel Computing. - 2002. - Vol. 26. - № 12. - P. 181-197. третья подгр.(гл.1)

[18] Воеводин B.B. Параллельные структуры алгоритмов и программ. -М.: ОВМ АН СССР, 1987. - 148 с.

[19] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - Спб.: Изд-во БХВ - Петербург, 2002. - 806 с.

[20] Деккер К., Ваннер Г. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких систем. - М.: Мир, 1988. - 334 с.

[21] Новиков Е.А.Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997,- 197с.

[22] Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линей ных систем. - М.: Мир, 1991. - 367 с.

[23] Ракитский Е.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. - М.: Наука, 1979. - 210 с.

[24] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. - М.: Изд-во МФТИ, 1994.-526 с.

[25] Ceschino F., Kuntzman J. Numerical Solution of initial value problems. -Prentice-Hall, Englewood Cliffs, A-New Jersey. - 1966.

[26] Enright W.H., Hull Т.Е., Lindberg B. Comparing numerical methods for the solutions of stiff systems of ODE's // BIT. - 1975. - №15. - P. 10-48.

[27] Jeltsch R., Nevanlinna O. Stability of explicit time discretizations for solving initial value problems // Num. Math. - 1981. - №37. - P. 61-91.

[28] Grama A., Gupta A., Kumar V. Isoefficiency: Measuring the scalability of parallel algorithms and architectures // IEEE Parallel and Distributed technology. -2003.-P. 12-21.

[29] Kinnmark I.P.E., Gray W.G. One - step integration methods with maximum stability regions // Math. Comput. Simulation.- 1984,-№16,-P. 87-92.

[30] Kumar V., Gupta A. Analyzing scalability of parallel algorithms and architectures // Journal of Parallel and Distributed Computing. - 1994. - №22(3). -P. 379-391 (2nd ed., 2003).

[31] Демидов Г.В., Новиков E.A. Оценка ошибки одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Числ. мет. мех. сплошной среды. -1985. -Т. 16. №1. - С. 27-39.

[32] Демидов Г.В., Новиков Е.А. О контроле точности явных формул типа Рунге-Кутта второго и третьего порядков аппроксимации с помощью формул более низкого порядка // Числ. мет. мех. сплошной среды. - 1984 - Т. 15. -№6. - С. 59-74.

[33] Миллер Р., Боксер Л.Последовательные и параллельные алгоритмы: Общий подход. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2006. - 406 с.

[34] Новиков В.А., Новиков Е.А. Контроль устойчивости явных одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. - 1984. - Т. 277. - №5. - С. 1058 - 1062.

[35] Новиков В.А., Новиков Е.А. Повышение эффективности алгоритмов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений за счет контроля устойчивости // ЖВМ и МФ. - 1985.- Т. 25. №7. - С. 1023 - 1030.

[36] MPI: A Message-Passing Interface Standard (Version 1.1)

URL'.http://parallel.ru/docs/Parallel/mpil. 1/mpi-report.html (дата обращение:23.03.2011.).

[37] Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных

дифференциальных уравнений на Фортране. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 336 с.

[38] Burrage К. Order and stability properties of explicit multivalue methods // Appl. Numer. Math. - 1985. - №1. - P. 363-379.

[39] Butcher J.C. The numerical analysis of ordinary differential equations, Runge-Kutta and general linear methods. - New York: Wiley, 1987. - 479 p.

[40] Butcher J.C. On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equations // Math. Сотр. - 1966. - №20. - P. 1-10.

[41] Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. -М.: Мир, 1999.-548 с.

[42]Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. -М.: Мир, 2001.-429 с

[43] Новиков Е.А. Одношаговые безытерационные методы решения жестких систем: Автореф. дисс.... д-ра физ.-мат. наук. - Новосибирск. - 1991. - 32 с.

[44] Новиков Е.А., Шитов Ю.А. Исследование (тиД)-методов решения жестких систем с одним и двумя вычислениями правой части // Препринт №15. - Красноярск: ВЦ СО АН СССР. - 1987. - 37 с.

[45] Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Физматгиз, 1963. - 734 с.

[46] Rosenbrock Н.Н. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations // Computer. - 1963. - №5. - P. 329-330.

[47] Shampine L.F. Implementation of Rosenbrock methods // ACM Transaction on Math. Software. - 1982.-Vol.8.-№2.-P. 93-113.

[48] Исаев C.B., Малышев A.B. Шайдуров B.B. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. -№11.-С. 28-33.

[49] Колчанов Н. А., Ананько Е. А., Колпаков Ф. А., Подколодная О. А., Игнатьева Е. В., Горячковская Т. Н, Степаненко JL И. Генные сети // Мол. биология. - 2000. - №34. - С. 449^160.

[50] Лихошвай В.А., Фадеев С.И., Демиденко Г.В., Матушкин Ю.Г. Моделирование уравнением с запаздывающим аргументом многостадийного синтеза без ветвления // Сиб. журн. индустр. математики. - 2004. - Т.7. -

№1(17).-С. 73-94.

[51] Лихошвай В. А., Матушкин Ю. Г., Фадеев С. И. Задачи теории функционирования генных сетей // Сиб. журн. индустр. математики. - 2003. -Т. 6. - №2(14). - С. 64-80.

[52] Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. - М.: Мир, 1983. - 399 с.

[53] Рис Э., Стернберг М. Введение в молекулярную биологию. От клеток к атомам. - М., Мир, 2002. - 142 с.

[54] Mazzia F., Magherini С. Test Set for Initial Value Problem Solvers // Department of Mathematics, University of Bari and INdAM. - Research Unit of Bari. - Release 2.4. - 2008.

[55] Бахвалов H.B., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 632 с.

[56] Бобков В.В. Новые явные //-устойчивые методы численного решения дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1978. -№12-С. 2249-2252.

[57]Динамика химических и биологических систем: Сб.науч.тр./Под ред. Быкова В.И. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние,1989. -269 с.

[58]Калиткин Н.И. Численные методы. -М.: Наука, 1978. - 512 с.

[59] Лебедев В.И. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени для решения жестких систем уравнений // Препринт № 177. -М.ЮВМ АН СССР. - 1987.

[60] Новиков Е.А. Некоторые эффективные алгоритмы численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореф. дисс.... канд.физ.-мат.наук. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. -1983.-21с.

[61] Новиков Е.А. Построение алгоритма интегрирования жестких систем дифференциальных уравнений на неоднородных схемах // ДАН СССР. -1984. -Т. 278. №2.-С. 272-275.

[62] Новиков В.А., Новиков Е.А., Шокин Ю.И. Численное решение

обыкновенных дифференциальных уравнений с небольшой точностью // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. -Новосибирск: Наука. - 1988. - С. 29 - 35.

[63] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1970. - 272 с.

[64] Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

[65] Широбоков Н.В. К определению жестких дифференциальных задач // ЖВМ и МФ. - 1984. - Т. 24. - №4. - С. 599 - 601.

[66] Dekker К. Generalized Runge-Kutta methods for coupled systems of hyperbolic differential equations // J. Сотр. Appl. Math-1977 - №3.- P.221-233.

[67] Jackson K., Norsett S. The potential for parallelism in Runge-Kutta methods. Part I: RK formulas in standart form // SIAM J. Numer. Anal. - 1996. - V. 32. - p. 49-82

[68] Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations. New York-London: John Wiley & Sons. Inc., 1962. - 407 p.

[69] Kinnmark I.P.E., Gray W.G. One-step integration methods of thirdfourth order accuracy with large hyperbolic stability limits // Math. Comput. Simulation. -1984.-№16.-P. 181-184.

[70] Lapidus L., Seinfeld J. H. Numerical solution of ordinary differential equations. Academic Press, New York, 1971. - 299 p.

[71] Miranker W. L., Liniger W. Parallel methods for the numerical integration of ordinary differential equations // Mathematics of Computation. - 1967. -№21(99). -P. 303-320.

[72] Novikov V.A., Novikov E.A. On the accuracy and stability control of one-step methods of integration of ordinary differential equations // In.: Proc. BAIL-III Conf. - Bool Press. - 1984. - P. 81-93.

[73] Novikov E.A. Application of explicit Runge -Kutta methods to solve stiff ODE's // Advances in Modeling & Analysis, A, AMSE Press. - 1992. - Vol.16. -№1. - P. 23-35.

[74] Van der Houwen P.J. Construction of integration formulas for initial-value problems. North - Holl and Amsterdam, 1977. - 280 p.

[75] Ващенко Г.В., Новиков E.A. Последовательный (2,1)-метод и его параллельный аналог // Системы управления и информационные технологии. -2009.-№4(38).-С. 8-11.

[76] Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельная реализация явных методов типа Рунге-Кутты // Вестник КрасГАУ. - 2010. - вып. №2. - С. 14-18.

[77] Ващенко Г.В., Новиков Е.А.Параллельная реализация явного метода Эйлера с контролем точности вычислений // Журнал СФУ. - Серия Математика & Физика. - 2011. - Т.4. - №1. - С. 70-76.

[78] Новиков Е.А., Ващенко Г.В. Параллельный алгоритм (2,1)-метод решения жестких задач // Естественные и технические науки. - 2009. - №6. -С. 550-554.

[79] Новиков Е.А., Ващенко Г.В. Параллельная столбцовая схема и алгоритм (2,1)-метода для решения жестких задач // Вестник ИжГТУ. - 2010. - Выпуск 1(45).-С. 150-153.

[80] Ващенко Г.В. Параллельная строчноориентированная схема (2,1)-метода решения жестких задач //Альманах современной науки и образования. -2009.-№12(31).-Ч. 1.-С. 13-16.

[81] Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельные алгоритмы явных методов Рунге-Кутты: Сборник, научных трудов IX Всероссийской конф. "Проблемы информатизации региона". - Красноярск. - 2009. - С. 334-336.

[82] Ващенко Г.В. О параллельных алгоритмах явных методов типа Рунге-Кутты: Сборник статей XI Междунар. конф. "Информационно-вычислительные технологии и их приложения ". - Пенза, РИО ПГСХА. -2009. - С. 73-77.

[83] Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельный алгоритм L-устойчивого метода второго порядка для решения жестких задач // Вестник КрасГАУ: Ресурсосберегающие технологии механизации с/х. - 2010. - Выпуск 6. - С. 151-156.

[84] Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельный алгоритм явного метода Эйлера с контролем точности вычислений // Вестник КрасГАУ: Ресурсосберегающие технологии механизации с/х. - 2010. - Выпуск 6. - С. 156-160.

[85] Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельный алгоритм L-устойчивого метода второго порядка для численного решения жестких задач: Сборник статей XV Всероссийской конф. "Информационные и математические технологии в науке и управлении ". - 2010. - Т.З. - Иркутск. - С. 233-237.

[86] Ващенко Г.В. Параллельный явный метод первого порядка с контролем точности: Сборник статей V Междунар. конф. "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем".- Пенза: Приволжский Дом знаний. - 2010. - С. 61-63.

[87] Ващенко Г.В. Параллельные явные одношаговые методы для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи современного естествознания. -2011.-№1.-С. 75-76.

[88] Ващенко Г.В. Параллельный алгоритм явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутты для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Международный журн. прикладных и фундамент, исследований. - 2011. - №3. - С. 96-97.

[89] Новиков Е.А., Ващенко Г.В. Параллельные алгоритмы (2,1)- метода решения жестких задач: Сборник научных трудов IV Международная конф. "Параллельные вычислительные технологии ПаВТ-2010". - Уфа. - 2010. -С. 679.

[90] Novikov Е.А., Vashchenko G.V. Parallel Algorithm for Explicit Runge-Kutta Method 2nd Order on Accuracy and Stability Control // In.: Proc. I Conf.: Computer Technology and Applications. - Vladivostok. - 2010. - P. 202-204.

[91] Novikov E.A.,Vashchenko G.V. Parallel explicit Runge-Kutta method 2nd order: implementation of accuracy and stability control: Сборник научных трудов VII Межрегионой школы-семинара "Распределенные и кластерные вычисления»". - Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2010. - С. 40-43.

[92] Novikov E.A, Vashchenko G.V. Parallel explicit Runge-Kutta method 2nd order: accuracy and stability control // J. of Appl. and Fundamental research. -2011.-№1.-P. 101-102.