Разработка микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Козлов Евгений Александрович

• Козлов Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Козлов Евгений Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПУТЕЙ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ МИКРОФОКУСНЫХ РЕНТГЕНОВСКИХ ТРУБОК

1.1 Современное состояние развития микрофокусных рентгеновских трубок прострельного типа

1.2 Обзор современных исследований совершенствования микрофокусных рентгеновских трубок прострельного типа

1.3 Обзор современных методов интенсификации процессов рассеивания тепловых потоков при локальном тепловом воздействии

1.4 Выводы по главе

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СОСТАВНОМ АНОДЕ МИКРОФОКУСНОЙ РЕНТГЕНОВСКОЙ ТРУБКИ ПРОСТРЕЛЬНОГО ТИПА

2.1 Предельные рабочие температуры материалов анода

2.2 Специфика образования локальной области тепловыделения в прострельной мишени

2.2.1 Определение параметров Я и

2.2.2 Определение функции тепловых потерь в области взаимодействия

2.2.3 Оценка мощности тепловыделения в области взаимодействия

2.3 Численное моделирование тепловых режимов в прострельной мишени с учетом рассеивания тепла в пространство

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Определение максимальной рассеиваемой мощности на аноде

2.3.3 Влияние конвективной теплоотдачи

2.3.4 Влияние геометрических параметров анода

2.3.5 Влияние на теплообмен свободной конвекции и излучения

2.4 Выводы по главе

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СОСТАВНЫХ АНОДАХ МИКРОФОКУСНЫХ РЕНТГЕНОВСКИХ ТРУБОК ПРОСТРЕЛЬНОГО ТИПА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПУТЕЙ ПОВЫШЕНИЯ МОЩНОСТИ МИКРОФОКУСНЫХ ТРУБОК

3.1 Постановка задачи

3.2 Модели механизмов теплопереноса в прострельной мишени

3.2.1 «Сферическая модель»

3.2.2 «Цилиндрическая модель»

3.3 Расчет максимальной температуры в прострельной '-Ве мишени

3.4 Расчет средней температуры поверхности анодного узла

3.5 Расчет максимальной рассеиваемой мощности в аноде с прострельной мишенью

3.6 Способы увеличения максимальной мощности в конструкции анодного узла МФРТ с прострельной мишенью

3.6.1 МФРТ с анодом «Тепловая труба»

3.6.2 Оценка максимальной мощности рассеиваемой анодом «Тепловая труба»

3.6.3 Модель конструкции анода «Тепловая труба»

3.7 Выводы по главе

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА КОНСТРУКЦИИ И ИЗГОТОВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОБРАЗЦА МИКРОФОКУСНОЙ РЕНТГЕНОВСКОЙ ТРУБКИ ПОВЫШЕННОЙ МОЩНОСТИ

4.1 Разработка конструкции электронно-оптической системы с магнитной фокусировкой электронного пучка

4.1.1 Разработка электронной пушки

4.1.1.1 Обоснование выбора параметров оптимизации КМУ

4.1.1.2 Оптимизация конструкции КМУ

4.1.1.3 Определение геометрических параметров модулятора КМУ

4.1.2 Разработка магнитной линзы

4.1.2.1 Расчет параметров магнитной линзы

4.1.2.2 Численное исследование фокусирующих свойств магнитной линзы

4.1.2.3 Экспериментальное исследование фокусирующих свойств магнитной

линзы

4.2 Разработка конструкции микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности

4.2.1 Конструкция электронной пушки

4.2.2 Конструкция анодного узла

4.2.3 Конструкция корпуса рентгеновской трубки

4.3 Изготовление экспериментального образца микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности

4.4 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. В современном мире нет отрасли, которая не нуждается в средствах диагностики для структурного и количественного анализа. Одним из самых распространенных методов неразрушающего контроля изделий и материалов является рентгенографический. Популярность данного метода связана с высокой проникающей способностью рентгеновского излучения и достаточным для большинства приложений пространственным разрешением. Рентгенографические методы диагностики применяется в медицине, биологии, физике, различных отраслях промышленности, таких как, электронная, нефтегазовая, пищевая и др. Особое место рентгеновских контроль занимает в поиске внутренних трещин и изломов деталей несущих конструкций, валов и осей, подверженных действию как постоянной, так и повторно-периодической нагрузке. В криминалистике, рентгеновские методы контроля используются для обнаружения взрывчатых и наркотических веществ, при исследовании деталей огнестрельного оружия на предмет изменения маркировки, при проведении судебно-медицинских заключений.

Любая установка для рентгеновского неразрушающего контроля включает в себя источник рентгеновского излучения, детектор рентгеновского излучения (как правило цифровой), систему позиционирования исследуемого объекта, программно-аппаратный комплекс для обработки и вывода информации о структуре или количественном составе исследуемого объекта.

Метод проекционной рентгенографии является мощным инструментом для получения информации о внутренней структуре исследуемого объекта. Достоинство указанного метода заключается в возможности получать увеличенные изображения исследуемого объекта за счет применения микрофокусных рентгеновских трубок прострельного типа. В проекционной рентгенографии микрофокусные трубки обеспечивают ряд преимуществ по сравнению с макрофокусными и острофокусными, которые заключаются в следующем: возможность локальных исследований объекта; снижение дозы облучения

областей смежных с исследуемой; более высокое качество изображений объекта при одинаковых дозах облучения; получение увеличенных изображения исследуемого объекта.

Микрофокусные рентгеновские трубки являются средствами получения уникальной информации о микро- и макроструктуре исследуемых объектов. Отчетливое проявление преимуществ микрофокусных рентгеновских трубок наблюдается при использовании анодов прострельного типа, по сравнению с отражательными. Кроме возможности получать увеличенные рентгеновские изображения в составе рентгенодиагностического оборудования такие трубки обеспечивают высокое пространственное разрешение, достигая значений порядка нескольких микрон.

Одним из методов неразрушающего контроля, где микрофокусные трубки зарекомендовали себя наилучшим образом, является рентгеновская томография, основанная на послойном сканировании исследуемого объекта с его последующей объемной визуализацией. Применение таких трубок позволяет производить объемную визуализацию внутренней структуры объектов с микронным разрешением. Данный метод диагностики выделился в отдельный раздел науки, являющийся «золотым стандартом» неразрушающего контроля и позиционируемый как рентгеновская компьютерная микротомография.

Качество томографических изображений зависит от целого ряда факторов, к которым относятся физический процесс сбора данных, программно-аппаратное обеспечение, параметры сканирования объекта, свойства материалов исследуемого объекта, а также различные внешние факторы - температура окружающей среды, вибрации. Тем не менее, главными факторами, определяющие качество и объем извлекаемой информации остаются размер фокусного пятна и мощность излучения микрофокусной рентгеновской трубки.

Степень разработанности.

Для развития методов и расширения области применения проекционной рентгенографии микрофокусные рентгеновские трубки совершенствуются по двум основным направлениям, связанным с увеличением мощности рентгеновского

излучения и уменьшением размера фокусного пятна. Большая мощность излучения является основным фактором регистрации высококонтрастных изображений, что особенно важно в случае исследования объектов, смежные области которых имеют близкие коэффициенты поглощения рентгеновских лучей. Маленький размер области излучения является средством обеспечения высокой резкости изображений. Мощность рентгеновского излучения в рентгеновских трубках прямо пропорциональна мощности электронного луча. Однако попытки увеличения подводимой мощности или снижения размеров фокального пятна вызывают рост выделяемой на аноде тепловой мощности, что приводит к разогреву анода и может стать причиной выхода из строя рентгеновской трубки.

Неоценимый вклад в развитие и совершенствование микрофокусных рентгеновских трубок внесли известные отечественные ученные и специалисты -Быстров Ю.А., Блинов Н.Н. (ст), Блинов Н.Н. (мл), Иванов С.А., Бессонов В.Б., Щукин Г.А., Потрахов Н.Н., Потрахов Е.Н., Грязнов А.Ю., Новосельцева А.С., Куликов Н.А., Подымский А.А. и др. Однако, большинство их работ не затрагивают вопросы связанные с рассеянием энергии электронного пучка и образованием области тепловыделения в материале мишени, что для прострельных составных анодов является главным фактором ограничивающим мощность микрофокусной рентгеновской трубки.

Таким образом, при заданных размерах фокального пятна электронного луча на поверхности анода мощность трубки оказывается ограниченной по вполне очевидным причинам; поэтому решение проблемы повышения качества данных рентгенографических исследований напрямую связано с повышением предела рассеваемой на аноде мощности.

Цель диссертационной работы - разработка микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности с использованием новых численно-аналитических моделей рассеяния энергии электронного пучка в материале мишени.

Объект исследования - тепловой режим анодного узла микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа.

Предмет исследования - механизм образования области локального тепловыделения в мишени и влияние геометрических параметров, свойств материалов и режимов конвективного охлаждения анодного узла микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа.

Задачи исследования:

1 . Построение численной модели процессов рассеяния энергии электронного пучка в анодном узле микрофокусной рентгеновской трубки.

2. Численное исследование процессов рассеяния тепла в анодном узле и определение условий, обеспечивающих повышение мощности микрофокусных рентгеновских трубок.

3. Построение аналитической модели, устанавливающей взаимосвязь параметров конструкции анодного узла и диаметра фокусного пятна с мощностью микрофокусной рентгеновской трубки.

4. Разработка конструкторской документации и изготовление экспериментального образца микрофокусной рентгеновской трубки.

Научная новизна диссертационной работы:

1. Впервые получено аналитическое описание усеченной сферой границ области взаимодействия электронного луча с материалом мишени анода микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа и найдена функция распределения объемных тепловых источников в мишени, позволяющие численным моделированием определить предельные рассеиваемые мощности микрофокусных рентгеновских трубок прострельного типа.

2. Найдено значение коэффициента теплоотдачи, фиксирующее нижнюю границу области насыщения предельной мощности микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа.

3. Впервые обнаружен диапазон толщин подложки анода микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа, в границах которого наблюдается максимум мощности рентгеновского излучения.

4. Впервые установлена аналитическая зависимость предела рассеиваемой мощности от теплофизических свойств материала подложки, геометрических

размеров анодного узла и условий конвективного охлаждения в микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа.

5. Предложена конструкция анода «Тепловая труба» микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа как способ существенного повышения рассеиваемой тепловой мощности.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты работы, полученные в ходе аналитических и численных исследований процессов рассеяния мощности на аноде микрофокусной трубки, выделяемой при бомбардировке потоком электронов, являются теоретической базой разработки конструкций микрофокусных рентгеновских трубок прострельного типа в обеспечение максимальной мощности при заданных размерах области излучения. Как практически полезный инструмент проектирования микрофокусных трубок в диссертации представляется формула расчета максимальной мощности на мишени, функционально связывающая ее с характеристиками электронного луча, а также геометрическими параметрами мишени, условиями теплоотдачи на поверхности мишени и свойствами материалов мишени. Разработанная в диссертации микрофокусная трубка стала результатом развития принципов конструирования и изготовления такого рода устройств по металлокерамической технологии, уточнения процесса подготовки электровакуумного устройства к экспериментальным исследованиям и обновления методики экспериментальных исследований высоковольтных приборов с использованием цифровых технологий управления и регистрации данных. Результаты работы могут быть использованы при создании мощных микрофокусных трубок, в том числе, на предприятиях электровакуумного профиля г. Рязани.

Реализация и внедрение.

Результаты кандидатской диссертации «Разработка микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности» использованы в учебном процессе при подготовке бакалавров по направлению 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника» профиль «Промышленная электроника» в курсе лекций,

практических и лабораторных работ «Аналитические приборы и методы в электронике» в Рязанском государственном радиотехническом университете имени В.Ф. Уткина (Акт об использовании результатов кандидатской диссертации Козлова Е.А. «Разработка микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности» в учебном процессе).

Полученные результаты диссертационной работы использовались при выполнении научно-исследовательских работ НИР 16-18Г «Развитие средств и методов рентгеновской компьютерной микротомографии высокого качества» Грант РНФ №18-79-10168 и НИР 5-19Г «Рассеивание тепловых потоков свервысокой плотности» Грант РФФИ №19-38-90231/19 (Акт о реализации научных результатов диссертационной работы «Разработка микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности» Козлова Е.А.)

Результаты диссертации использовались в ООО «Импульсные технологии» при создании микрофокусных рентгеновских трубок с оптимизированной конструкцией анода (Акт использования результатов диссертационной работы на тему «Разработка микрофокусной рентгеновской трубки повышенной мощности» Козлова Е.А.)

Методология и методы исследования.

Для определения формы и размеров области тепловыделения в прострельной мишени микрофокусной рентгеновской трубки применялся численный метод Монте-Карло, реализованный в комплексе программ EISS и Win X-Ray. Вид функции распределения тепловых потерь в области взаимодействия определялся численно-аналитическим методом по результатам анализа распределения энергетических потерь электронов по глубине и уширению электронного пучка на поверхности мишени.

Для исследования тепловых режимов в анодном узле микрофокусной рентгеновской трубки использовались методы численного моделирования тепловых процессов, реализованные в пакете программного обеспечения COMSOL Multyphysics 5.4.

Исследование фокусирующих свойств магнитной линзы проводилось на экспериментальной установке рентгеновского неразрушающего контроля в составе рентгенозащитной камеры, микрофокусной рентгеновской трубки БС16 (ЗАО «Светлана-Рентген»), плоско-панельного детектора цифровых изображений МАРК1215 (ООО «ПРОДИС.ндт), лабораторного источника питания Mastech HY3010 и высоковольтного источника питания XRF160 фирмы SPELMAN.

Для измерения токов утечки использовался мультиметр Fluke 15B+ и встроенный микроамперметр в высоковольтный блок XRF160. Контроль уровня дозы рентгеновского излучения осуществлялся с использованием дозиметра ДКР-4М и дозиметр «Белла».

Научные положения, выносимые на защиту:

1. В микрофокусных рентгеновских трубках прострельного типа не менее 90% области взаимодействия ускоренных электронов с материалом мишени при диаметре электронного пучка от 1 до 100 мкм локализуется в пространстве, описываемом усеченной сферой, размеры которой ограничены глубиной пробега электронов и диаметром электронного пучка, а функция распределения тепловых потерь определяется соотношением

яЛ r'z)

2.892P

Ч , 5 max ^

.2 1.4 ,

exp

4.5r2

Ч +§тахЛ 1.4

w

1

+ — 2

3.5 z 1 2

V umax

у

где 5max - полный пробег электронов в твердом теле, определяемый по формуле Х.-И. Фиттинга, ^ - диаметр электронного пучка, Р - мощность электронного пучка.

2. Насыщение предельной рассеиваемой мощности на аноде микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа достигается при значении коэффициента теплоотдачи порядка 100 Вт/м2К.

3. Максимальная мощность рентгеновского излучения составного вольфрам-бериллиевого анода микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа достигается в диапазоне толщин бериллиевой подложки от 300 мкм до 500 мкм при ускоряющем напряжении порядка 100 кВ.

Достоверность результатов диссертационного исследования, полученных численно-аналитическими методами, подтверждается их совпадением с характеристиками серийно выпускаемых микрофокусных рентгеновских трубок отечественных и зарубежных производителей.

Апробация работы. Представление результатов проводилось на международных, всероссийских и региональных конференциях, съездах и научных форумах, в том числе, VII-VIII Всероссийская научно-практическая конференция производителей рентгеновской техники (Санкт-Петербург, 2020-2021), 9-10 TH MEDITERRANEAN CONFERENCE ON EMBEDDED COMPUTING, MECO 2020, 2021 (Budva, 2020-2021), 7TH INTERNATIONAL CONFERENCE ON MODERN NANOTECHNOLOGIES AND NANOPHOTONICS FOR SCIENCE AND INDUSTRY, MNNSI 2018 (Суздаль, 2018), и другие.

По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, включая статьи и тезисы докладов внутривузовских, всероссийских и международных конференций, из них 2 статьи в журнале из перечня ВАК, 3 статьи включены в реферативные базы данных Scopus и Web of Science, 6 работ в сборниках трудов конференций проиндексированы в Scopus, 1 патент на полезную модель, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка литературы и приложений. Основной текст работы содержит 176 страниц, 85 рисунков и 14 таблицы. Список литературы на 9 страницах включает 83 наименования. В приложении на 4 страницах приведены акты о внедрении результатов работы.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПУТЕЙ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ МИКРОФОКУСНЫХ РЕНТГЕНОВСКИХ ТРУБОК

1.1 Современное состояние развития микрофокусных рентгеновских

трубок прострельного типа

Рентгеновские трубки - это электровакуумные приборы, в которых процесс получения рентгеновского излучения осуществляется за счет бомбардировки высокоэнергетическим пучком электронов поверхности мишени, чаще всего выполненной из материала с высоким атомным номером. Основными элементами рентгеновской трубки являются катод - источник электронов, мишень - источник рентгеновских квантов, электронно-оптическая система (ЭОС) -электростатическая или комбинированная система формирования и транспортировки электронного пучка с катода на мишень. Комбинированная система состоит из электростатической системы формирования пучка и одной или нескольких магнитных линз. Типовая конструкция рентгеновской трубки с комбинированной ЭОС приведена на рисунке 1.1 [1].

Рисунок 1.1 - Конструкция рентгеновской трубки с комбинированной ЭОС: 1-катод; 2-фокусирующий электрод; 3-анод; 4-пролетная труба; 5-фокусирующая

магнитная линза; 6-мишень

В представленной конструкции катод 1 вместе с фокусирующим электродом 2 и анодом 3 образуют электронную пушку, которая формирует электронный пучок с требуемыми параметрами (ток, энергия). За анодом 3 располагается пролетная труба 4, на конце которой расположена мишень 6. Магнитная линза 5 обеспечивает фокусировку электронного пучка до требуемых размеров фокусного пятна на мишени. Такая конструкция является общепринятой и позволяет получать на мишени круглое пятно регулируемых размеров.

К микрофокусным рентгеновским трубкам (МФРТ) прострельного типа относятся трубки с размерами фокусного пятна не более 0.1 мм в соответствии с установленным стандартом ГОСТ 20337-74. Конструктивное исполнение таких трубок не отличается от конструкции рентгеновской трубки, представленной на рисунке 1.1. Основное требование к ЭОС МФРТ прострельного типа -формирование на мишени фокусного пятна размером не более 0.1 мм, что позволяет получать увеличенные рентгеновские изображения методом проекционной рентгенографии или рентгеновской компьютерной микротомографией (см. рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Структурная схема микрофокусной рентгеновской трубки прострельного типа для исследования объектов методом проекционной рентгенографии и компьютерной микротомографии

Первые МФРТ прострельного типа появились в 50-х годах прошлого столетия, а областью применения являлась рентгеновская микроскопия миниатюрных технических и биологических объектов. Рабочее напряжение трубок составляло 1-12 кВ, а мощность не превышала сотые доли ватта. При этом трубки имели большую массу и габариты, а также работали при постоянной откачке. Серийно выпускаемые промышленностью МФРТ, для целей медицинской диагностики, появились в 70-х годах и первым отечественным прибором стала трубка БС-1 с напряжением 50 кВ, мощностью 2.5 Вт и диаметром фокусного пятна 40 мкм [2].

Дальнейшее развитие рентгеновских технологий привело к созданию серии отечественных МФРТ прострельного типа «БС», для целей медицинской и промышленной диагностики, выпускаемых на предприятии ЗАО «Светлана-Рентген» (г. Санкт-Петербург). Основные технические характеристики трубок приведены в таблице 1.1 [3, 4], а в качестве примера на рисунке 1.3 представлен внешний вид трубок БС6 и БС17.

Таблица 1.1 - Сравнение основных параметров МФРТ серии «БС»

Тип трубки БС4 БС5 БС6 БС11 БС16

Номинальное напряжение, кВ 60 30 100 50 150

Номинальная мощность, Вт 1.2 0.6 2.5 7.5 5

Размеры фокусного пятна, мкм 20 3 20 50 20

(а) (б)

Рисунок 1.3 - Внешний вид МФРТ прострельного типа БС6 (а) и БС17 (б)

Другая отечественная компания ЗАО «ЭЛТЕХ-Мед» выпускает микрофокусные источники рентгеновского излучения моноблочной конструкции РИ 30-РИ 200 и на их основе микрофокусные рентгеновские аппараты промышленного применения (РАП-200М). Основные технические характеристики приведены в таблице 1.2 [5].

Таблица 1.2 - Сравнение основных параметров микрофокусных источников рентгеновского излучения компании ЗАО «ЭЛТЕХ-Мед»

Тип источника Семейство «РИ» РАП-200М

Исполнение I Исполнение II

Номинальное напряжение, кВ 20-50 50-100 40-200

Номинальная мощность, Вт 7.5 10 20*

Размеры фокусного пятна, мкм 20 20 10x70

* - мощность определялась по анодному току

Среди зарубежных производителей микрофокусных трубок прострельного типа можно выделить такие компании как X-RAY WorX, Hamamatsu Photonics, Comet X-RAY [6]. Для сравнения, в таблице 1.3 приведены основные технические характеристики некоторых типов трубок перечисленных компаний, а на рисунке 1.4 их внешний вид [7-9].

Рисунок 1.4 - Внешний вид МФРТ прострельного типа XWT 160-TC (а),

FXE-160.50 (б) и L10321 (в)

Таблица 1.3 - Сравнение основных параметров МФРТ компаний X-RAY WorX, Hamamatsu Photonics и Comet X-RAY

Компания X-RAY WorX Hamamatsu Photonics Comet X-RAY

Тип трубки XWT 160-TC L10321 FXE-160.50

Номинальное напряжение, кВ 20 160 40 100 20 160

Номинальная мощность, Вт 4 10 4 20 — 15

Размеры фокусного пятна, мкм 5 20 5 30 4 —

Как видно из представленных таблиц отечественные трубки имеют показатели номинальной мощности в 2-3 раза ниже, чем у зарубежных при соизмеримых размерах фокусного пятна. Широкое применение методов компьютерной томографии в промышленности и медицине определяет вектор развития МФРТ прострельного типа [10-12]. В качестве демонстрационного примера преимуществ микрофокусной рентгенографии на рисунке 1.5 представлены изображения тест-объекта, полученные на острофокусной и микрофокусной рентгеновской трубке.

M

\

Л

Рисунок 1.5 - Сравнение рентгеновских изображений тест-объекта полученных с использованием острофокусной (а) и микрофокусной (б) рентгеновской трубки

Основные направления развития микрофокусных трубок прострельного типа связывают с увеличением рабочего напряжения и мощности на аноде при снижении размеров фокусного пятна. Улучшение указанных параметров позволит получать более резкие и контрастные рентгеновские изображения с высоким пространственным разрешением [13].

1.2 Обзор современных исследований совершенствования микрофокусных рентгеновских трубок прострельного типа

Одна из проблем возникающая при создании мощных микрофокусных трубок прострельного типа с микронными размерами фокусного пятна связана с физическими ограничениями рассеиваемой анодом тепловой мощности [14]. Традиционно прострельный анод состоит из подложки, на которую наносится тонкий слой материала мишени. Чаще всего в качестве мишени используют тугоплавкие металлы такие как вольфрам W, тантал Ta, рений Re или молибден Mo. Подложку выполняют из легких металлов, прозрачных для рентгеновского излучения. Самым распространённым вариантом является бериллий Be, алюминий Al и реже искусственный алмаз C [15, 16].

Среди зарубежных работ актуальные направления исследований посвящены применению алмаза в качестве подложек МФРТ прострельного типа. Несмотря на стоимость и сложность технологии получения алмаза, такая тенденция обусловлена возможностью эффективно рассеивать тепловую мощность, выделяемую в области фокусного пятна. Применение алмаза позволяет при исходной мощности электронного пучка уменьшить диаметр активной области излучения, тем самым повысить интенсивность излучения на 50% и как следствие яркость микрофокусной рентгеновской трубки [17].

Эффективное рассеивание тепловой мощности в первую очередь обусловлено высоким коэффициентом теплопроводности алмаза, который по литературным данным может составлять 900-2300 Вт/(м К) [18]. В работе [19] авторами рассматривается возможность использования поликристаллического

алмаза в качестве подложки для W мишени в микрофокусной рентгеновской трубки высокой яркости. Пленки поликристаллического алмаза, полученные методом химического осаждения из паровой фазы с горячей нитью (HFCVD-метод), по результатам экспериментальных исследований показали лучшие теплопроводящие свойства, по сравнению с металлами. Результаты численного моделирование тепловых процессов в W-C мишени показали, что величина максимальной подводимой мощности к мишени может достигать 5 Вт при диаметре фокусного пятна 5 мкм.

В работе [20] авторы предлагают модель композитного отражательного анода с толстопленочным алмазным слоем в качестве подложки-мишени для микрофокусного источника рентгеновского излучения. Методом конечных элементов проводилось сравнение тепловых режимов в композитном аноде с алмазной пленкой и в классическом аноде на основе меди. Сравнения осуществлялось по величине температуры в точках на границе соответствующих материалов анода. Ограничение максимальной подводимой к мишени мощности определялось по температуре плавления меди (1083 °0). Результаты моделирования показали, что при одинаковых размерах фокусного пятна и величине подводимой мощности температура композитного анода на 20% ниже, чем у классического анода. Так максимальная мощность в классическом аноде составляет 38 Вт, а в композитном 50 Вт. Полученные результаты свидетельствуют о эффективности использования алмаза для проектирования анодов микрофокусных источников рентгеновского излучения.

В работах [21, 22] приводятся результаты исследований тепловых процессов в отражательных анодах МФРТ с мишенями на основе алмазных пленок, а также описан процесс производства таких анодов. Результаты численного моделирования показали, что наличие пленки алмаза в структуре отражательного анода снижает тепловую нагрузку на мишень, увеличивая предел подводимой мощности в два раза по сравнению с классическим анодом.

Работа [23] посвящена проектированию и численному моделированию W-C мишени прострельного типа для распределенных источников рентгеновского

излучения, которые используются в современных системах рентгеновского контроля. Особенность таких систем - импульсный режим работы рентгеновской трубки, который характеризуется величиной подводимой к мишени мощности порядка десятков кВт. Использование рентгеновских трубок с отражательным или вращающимся анодом приводит к усложнению конструкции системы и искажению профиля диаграммы направленности излучения на выходе. Применение рентгеновских трубок с прострельным анодом позволяет решить эти проблемы, а использование в качестве подложки алмаза - повысить допустимую тепловую нагрузку. Численным моделированием процесса импульсного нагрева поверхности W-C мишени установлено, что предложенная структура анода может обеспечить 4-х кратное увеличение мощности и 8-ми кратное увеличение плотности мощности в фокусном пятне по сравнению с отражательной мишенью. Приведенные исследования позволяют рассматривать алмаз в качестве перспективного материла для подложек МФРТ прострельного типа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Козлов Евгений Александрович, 2023 год

источником тепла

Отметим, что в твердых телах основной механизм теплопередачи -теплопроводность. Поэтому максимальное значение температуры в объёме анода будет определяться величиной плотности теплового потока q, коэффициентом теплопроводности X, условиями теплоотдачи на границах мишени, а также размерами самой мишени.

Решим задачу теплопроводности в твердотельной '-Ве мишени сферической формы в объёме которой действует источник тепла с выделяемой плотностью мощности qu. Размеры источника тепла малы по сравнению с размерами мишени, и считаем его шаром радиуса Я1. Выделим вокруг источника

тепла шаровую область радиусом Я2, на границе которой значение температуры составляет Т0. Предполагаем, что выделенная область радиусом Я2 находиться в среде с бесконечно высоким коэффициентом теплопроводности X. Тогда можно считать что температура Т0 соответствует температуре данной среды. В рассматриваемой постановке задачи выделяемая мощность Q выражается через объёмную мощность тепловыделения

4и=77 =

й 30

V 4пя:

(3.6)

Для нахождения температурного поля будем решать систему уравнений Лапласа, в области Я1<г<Я2, и Пуассона, в области концентрического источника тепла г<Яь Температурное поле Т(г) будет зависеть только от одной координаты - радиуса г, тогда будем иметь следующую систему уравнений Лапласа и Пуассона

dг2 г dг

d2T 2&Г_

dг2 г dr

X

0 < г < Я,

W

(3.7)

= 0, ^ < г < Я2.

Дополняем систему (3.7) граничными условиями 1-го и 2-го рода, а именно:

- температура на границе Я2 равняется Т0;

- в центре сферы г=0 отсутствует тепловой поток (градиент температуры равен нулю);

- на границе Я1 плотность теплового потока при переходе из одной области в смежную не изменяется.

В итоге дополнительно к системе (3.7) получаем систему граничных условий 1-го и 2-го рода

Т (г) dT

= Т

г=Я, 10

dr

= 0

(3.8)

г=0

dTl

W

dr

г=Я

= Х dT2 dг

г=Я

<

Указанную систему (3.7) с граничными условиями (3.8) можно решать не стандартным способом. Решим каждое из уравнений в отдельности, используя граничные условия для соответствующего интервала от 0 до Я1 и от Я1 до Я2 принимая во внимания что на границе областей (г=Я1) плотность теплового потока q остаётся неизменной. Решение каждого из уравнений системы (3.7) основывается на утверждении: поскольку в правой части каждого из уравнений стоит некая константа (- д0/X и 0) то и в левой части должны быть константы.

1 _ ё2Т 2ёТ

1. Решение уравнения —- + -

dr r dr Xw

Определяем константы Zi и Z2 как

dT

dr

1) — = z„

2) = Z2.

r dr

Интегрируя данные уравнения находим общее решение для T(r)

Zi

1) T (r) = Z r2 + Cir + C0,

2) T (r) = Z2 r2 + Co.

В полученных выражениях величины С1 и Со являются константами интегрирования. Далее выражаем константы Z1 и Z2 и подставляем в 1-ое уравнение системы

2[T(r) - Cir - Co ] | 4 [T(r) - Co ] =

r2 2 *w '

и выражая T(r) получим общее решение 1-го уравнения системы (3.7)

T (r ) = r2 + C r + C '

6*W 3

Чтобы найти частное решение используем граничные условия:

1) если г = 0, то — = 0,

ёг

2) если г = Я, то Т = Тх,

где Тх - это неизвестная температура на границе области тепловыделения.

После всех преобразований получаем частное решение Т(г) в области действия источника тепла вида

Т (г) = 1 р2 - г2).

6Х

W

2. Решение уравнения

&2т 2 &т

+ ■

= 0.

6г г дт

Представленное уравнение является классическим уравнением теплопередачи в сферической стенке, решение которого имеет вид

С

Т (г) = -С + С2. г

Далее находим константы С1 и С2 используя граничные условия температуры Тх и Т0 на поверхностях радиусом Я1 и Я2 соответственно. Составляем систему уравнений вида

С

Т = -—+С2,

х я 2

С

Т = -С + С2.

0 я 2

В результате решения получаем значения констант С1 и С2

С =

С2 = Тх +

т -т х

1 1 ,

Я1 Я2

1 Т» - -Тх

Я1 Г1 1

Л •

Тогда частное решение для Т(г) примет вид

Т - Т

Т(г) = Тх 4 0 х

х ■ 1 Л

Я г

Я1 Я2 У

Для нахождения неизвестной температуры Тх используем граничное условие равенства тепловых потоков д на границе раздела области тепловыделения г=Я1.

Дифференцируя по r полученные решения для T(r) и приравнивая q и q2 при r=Ri получаем

. dT(r) _

x w л x w

d r

0

q»

6 х

-( 0 - 2r )

-х

dT2(r) _

Be

dr

-X

Be

T - T r 0 + T T

1 -± v R1 R2

w

0 + V

r y

qR

_ X Be (To -Tx )

R1 R2 У

Ri2

Tx _ To +

q» Ri3

3X

Be

1___1

R1 R2 У

Подставляем выражение для Тх в решение системы (3.7) и (3.8) на участках от 0 до Я\ и от Я\ до Я2 получаем распределение температуры в сферической мишени в виде кусочно-непрерывной функции Т(г) вида

T (r ) _

T + qR

T0 ^ о

T+q» Ri2

Be

1

X

Be

1-R

R

+

1

2X

W

.2 Л

1

V

3X

R1 R1

V R2 y л

R1 < r < R2.

R

1 У

o<r<R

1

(3.9)

R

2 y

Из полученного решения (3.9) может быть определена максимальная

d Т

температура в объёме мишени 7тах и плотность теплового потока q = -X

dr

3.2.2 «Цилиндрическая модель»

Рассмотрим температурное поля в анодном узле с '-Ве прострельной мишенью и Си телом анода. На рисунке 3.3 показаны картины распределения изотерм в Ве подложке за пределами условной изотермы То. Для более наглядного представления данных о температуре изотермические уровни показаны в диапазоне от 320 до 412 К. Картина распределения уровней температуры за пределами условной изотермы идентична температурному полю цилиндра бесконечной длины с коаксиальным источником тепла.

<

Рисунок 3.3 - Линии уровня изотерм в Ве подложке за пределами условной изотермы: а) теплоотдача при естественной и вынужденной конвекции; б) теплоотдача при естественной конвекции

Аналогия механизмов теплопередачи в '-Ве прострельной мишени и цилиндрическом теле с объемным источником тепловыделения, позволяет перейти к цилиндрической модели мишени для поиска решения уравнений Лапласа и Пуассона. В этом случае, изотермами являются цилиндрические поверхности, а линии тока тепла распространяются радиально.

При радиальном направлении переноса тепла в цилиндре отсутствует теплоотдача с торцевых поверхностей, на которых градиент температуры равен нулю. Тогда, подложку прострельной мишени можно заменить цилиндрической стенкой, внутренний радиус которой равен (И+Н), а внешний Б/2. Такое допущение позволяет не учитывать изменение температурного поля по координате 2, что позволяет перейти от двухмерной задачи теплопередачи к одномерной.

Рассмотрим модель мишени цилиндрической формы с внутренним источником тепла расположенном коаксиально (см. рисунок 3.4). Постановка задачи теплопроводности сводится к следующему. Дана мишень произвольной формы, в объёме которой действует источник тепла с выделяемой плотностью

мощности д^. Пусть размеры и форма источника тепла позволяют с высокой точностью представить его в виде цилиндра радиусом Я1 и высотой Н.

г

¿Т/ (к = 0

Рисунок 3.4 - Модель мишени цилиндрической формы с коаксиальным

источником тепла

Выделим вокруг источника тепла цилиндрическую область радиусом Я2, на границе которой значение температуры составляет Т0. Далее предполагаем, что выделенная область радиусом Я2 находиться в среде с бесконечно высоким коэффициентом теплопроводности X. В таком случае можно считать, что температура Т0 будет соответствовать температуре данной среды. Плотность выделяемой мощности в цилиндре высотой Н и радиусом Я1 может быть представлена как

4и= - = ——". (3 .10)

Для вычисления температурного поля решаем систему уравнений Лапласа и Пуассона с граничными условиями 1-го и 2-го рода в цилиндрической системе координат. При решении указанной системы полагаем, что в предположении значительной осевой протяженности источника тепла можно не учитывать составляющую вектора плотности теплового потока вдоль оси 2 йТ/й г = 0. Температура на границе Я2 будет иметь некоторое фиксированное значение Т0.

Предложенная модель выделения и распространения тепла будет описываться следующей системой уравнений Лапласа и Пуассона в цилиндрических координатах

d2T 1dT

dr2 r dr

d2T 1 dT

_q»

х

0 < r < R,

W

(3.11)

+--_ 0, R < r < R2.

dr2 r dr

Граничные условия для системы (3.11) полностью соответствуют условиям (3.8), а сам ход решения системы аналогичен решению системы (3.7). Тогда само решение также будет представлять собой кусочно-непрерывную функцию T(r) вид

T(r) _

T +

q» R

1

2X

W

.2 Л

1 -

R

1

X

ln

Be

T + ^In

2X

Be

v r y

1 y R < r < R2.

V R 2 y

o < r < R,

(3.12)

Из полученного решения (3.12) может быть определена максимальная

dT

температура в мишени Ттах и плотность теплового потока q = -Х-

dr

Найденная аналогия механизмов теплопередачи в прострельной мишени и в простых геометрических телах (сфера, цилиндр) позволяет получить решение уравнений Лапласа и Пуассона в одномерной постановке задачи. Картина распределение температурного поля в прострельной мишени показывает наличие двух областей, граница которых определяется по условной изотерме. В пределах условной изотермы прострельную мишень можно рассматривать в виде сферы с концентричным источником тепла, а за пределами как цилиндрическую стенку бесконечной длины, через которую происходит отвод подводимой мощности. Предлагаемая аналогия механизмов теплопередачи позволит упростить решение уравнений, описывающих стационарное температурное поле в прострельной '-Ве мишени, и установить функциональную зависимость (3.1).

<

<

3.3 Расчет максимальной температуры в прострельной W-Be мишени

Ранее полученное решение задачи теплопроводности в сферической мишени (3.9) позволяет определить максимальные температуры материалов ¥ и Ве соответственно

7-w _ т Ri

T max T0 + -

1 1

+ ■

2 ^W ^ Be

'i -

V R2 У

T Be = T + R1

max 0 гч a

Be

'i -

, R2 У

(3.13)

(3.14)

Вернёмся к рассмотрению классической прострельной W-Be мишени. Соотношения (3.13) и (3.14) справедливы для сферической модели мишени, в которой область тепловыделения является сферой, а подложка - сферическая стенка. Следовательно, для применения полученных соотношений в практических расчетах необходимо перейти от рассмотрения области взаимодействия по модели усеченной сферы к полусфере.

В выражениях (3.13) и (3.14) представим параметр qv через отношение подводимой мощности P к объему VIR, в котором происходит рассеивание энергии пучка - область взаимодействия. Размеры усеченной сферы зависят от диаметра фокусного пятна de и глубины пробега электронов Rmax. Ранее установлено (см. раздел 2.2), что для получения максимальной интенсивности рентгеновского излучения толщина мишени h должна соответствовать глубине пробега электронов 5e, где параметр 5e определяется в соответствии с моделью Косслета-Томаса (2.21), а доля подводимой мощности, рассеивающаяся в мишени, составляет порядка 90%. Тогда объем усеченной сферы может быть найден как

Vr = П- {Ч + h2), (3.15)

где параметр ar « h + 0.5de.

Аппроксимируем область взаимодействия полусферой, объем которой равен объему Vir. Из условия равенства объемов VIR = V0 радиус полусферы будет определяться как

R « o.63^h(3a2 + h2). (3.16)

Для модели усеченной сферы область действия источника тепловыделения в мишени ограничена параметрами ôe « h и a « h + o.5 по координате z и r соответственно. Значение параметра R0, в зависимости от de, может в несколько раз превышать величину h. В следствии этого, для математического обоснования

~ TW rriBe

корректности получаемых значений температур Утах и Утах выполним следующие преобразования. Представим область тепловыделения в мишени полусферой, радиус которой равен h. В этом случае, действие источника тепла наблюдается только в пределах самой мишени. Поскольку R > h, то при подводимой мощности

P температуры и TBx будут отличаться для сфер различного радиуса. Условием перехода R ^ h является равенство максимальных температур W и Be в рассматриваемых сферах. По распределению T(r) в области действия источника тепла, получим соотношение для Tmax

q R2

T _ T + , (3.17)

max o ^^ ' V /

где R - это радиус сферического источника тепловыделения, T0 - это температура на внешней поверхности.

Выражение для Tmax в случае сферы радиусом h и Ro

P*

Tmax _To ^ (ЗЛ8)

P

Tmax _ To + , (3.19)

где P* - это мощность эквивалентная P, при которой выполняется условие равенства максимальных температур.

Приравнивая левые части (3.18) и (3.19) определяем связь величин P* и P

* h

P _ P—. (3.20)

Ro

Вернемся к рассмотрению (3.13) и (3.14). С учетом принятых обозначений и аппроксимации области тепловыделения, заменяем параметры R1 на радиус

источника тепла - И, а Я2 на толщину ¥ и Ве - (И+И). Объемную плотность мощности выражаем через Р* и И с учетом (3.20), а значение То - температура условной изотермы. Следует учесть, что формулы (3.13) и (3.14) справедливы для полной сферы, а поскольку в решении задачи теплопередачи ¥-Ве мишень заменяется полусферой, то параметр Р необходимо умножить на 2. После всех подстановок и преобразований формулы (3.13) и (3.14) могут быть представлены как

TrW _ rp |

7max _ 70 +

P

2лЯ0

1

+ ■

1

W ^Be V

1

h

H + h

rpBe _ rp t

7 max ~ 70 +

P

\ - h ^

(3.21)

(3.22)

2жЯ01 Ве V Н + к у Выполним анализ соотношений (3.21) и (3.22) с целью определения влияния входящих в них геометрических параметров мишени на величину Ттах. К геометрическим параметрам прострельной мишени относятся толщина подложки И и толщина мишени И. В практике конструирования МФРТ прострельного типа значение И, в зависимости от рабочего напряжения, составляет от 1 до 10 мкм. Толщина подложки И значительно превосходит значение И и может составлять от

к

100 до 500 мкм. В таком случае можно считать множитель

1

H + h

1 и при

оценочных расчетах максимальных температур им можно пренебречь.

На рисунке 3.5 представлены зависимости Т^х (Н) и Т^ (Н), полученные с

учетом влияния множителя

1

h

H + h

показывает, что в диапазоне типовых значений H при

и без него. Анализ зависимостей h

1-

H + h

1 отклонение

температуры TW составляет 0.8-3.8%, а для 1.3-6.4%. Из этого можно сделать

г

вывод, что при расчетах T W и T Be множителем

± ± max max

h

л

1 -

V H + h у

в (3.21) и (3.22) можно

пренебречь, поскольку на практике конструирования микрофокусных трубок прострельного типа толщина подложки должна составлять 300-500 мкм.

Рисунок 3.5 - Зависимости Ттах(Н) для W (а) и Ве (б) с учетом влияния множителя

'__^

Н + к

(кривая - 1) и без (кривая - 2)

Выразим из формул (3.21) и (3.22) параметр Р с учетом максимальных рабочих температур ' и Ве. Значения и соответствуют предельным

рабочим температурам в '-Ве мишени с Си телом анода (см. раздел 2.1, 2.3). Соотношения для мощности Ртах имеют вид

(т! - 7)

р№ =.

тах

1

1

2Х№ X Ве

1 -

к

Н + к

(3.23)

Р

Ве

2-^0 (ТтВаХ - 7 )

к

(3.24)

X

Ве

Н + к

Для проверки влияния Н на Ртах в формулы (3.23) и (3.24) введен множитель

1 -

к

г

. Результаты проверки показали, что влияние

к

\

1 -

V Н + к

возможно в

Н + к у

случае когда величина Н<100 мкм как и в случае с Ттах. В диапазоне Н от 100 до

1

500 мкм отклонение мощности по (3.23) составляет 0.8-3.9%, а по (3.24) соответственно 1.3-6.7%.

3.4 Расчет средней температуры поверхности анодного узла

Полученные соотношения (3.23) и (3.24) устанавливают связь величины мощности с параметрами анодного узла вида рах = / (Т0, X, к, й). Влияние

параметров Д И и Ь в полученном решении задачи теплопередачи не выявлено. Однако, результаты численных экспериментов исследования теплового режима в конструкции анодного узла с прострельной мишенью говорят об обратном.

Аналогичная ситуация обстоит с температурой условной изотермы То, которая в (3.23) и (3.24) фигурирует как известная величина. Формально Т0 может быть измерена в процессе работы рентгеновской трубки, что также позволяет экспериментально подтвердить полученные соотношения. Однако такой подход не позволит использовать формулы (3.23) и (3.24) для оценки величины Ртах, поскольку Т0 зависит от мощности и коэффициента теплоотдачи а на границе анода с окружающей средой. Коэффициент а определяет режим конвективного теплообмена, где величина тепловой мощности, рассеиваемая в окружающую среду, определяется формулой Ньютона-Рихмана

где а - средний коэффициент теплоотдачи на поверхности анода, 5 - площадь теплообмена на поверхности анода, Т - средняя температура поверхности теплообмена, Тех - температура окружающей среды.

Параметр 5 определяется геометрическими размерами поверхности теплообмена анодного узла, а именно Д НиЬ. Связь температур Т0 ~ определяет влияние параметров Д Н, Ь и а на величину максимальной мощности Ртах, подводимой к мишени. Таким образом, дополнив соотношения (3.23) и (3.24), можно установить функциональную зависимость (3.1), которая определяет влияние

(3.25)

свойств материалов анодного узла, геометрических размеров и конвективного режима теплоотдачи.

Картина распределения температурного поля, представленная на рисунке 3.3, показывает, что основная часть площади поверхности теплообмена имеет близкое к Т0 значение температуры. Приравняем средние температуры поверхности выходного окна и тела анода к значению 7, которое фигурирует в соотношении для расчета Р по (3.25). Результаты численных экспериментов (см. раздел 2.3) показывают, что значение Т0 может на несколько сотен К превышать среднюю температуру 7, в частности при больших В и малых Н. При таких отклонениях не корректно считать, что основная часть площади поверхности теплообмена имеет близкое к Т0 значение температуры Т8. Следовательно, необходимо установить, чем определяется отклонение Т0 от 7, а также их взаимосвязь, которая будет учитываться в соотношениях (3.23) и (3.24).

Для определения Т0 рассмотрим механизм распространения тепла в аноде с '-Ве прострельной мишенью за пределами условной изотермы радиусом. Ранее было установлено, что в пределах условной изотермы температурное поле и, соответственно, процесс теплопередачи описывается уравнением Пуассона в сферической системе координат (3.7).

На рисунке 3.6 представлена картина распределения уровней температуры и линий тока теплового потока в конструкции анодного узла с прострельной '-Ве мишенью за пределами условной изотермы. Из рисунка видно, что распространение теплового потока в подложке происходит в радиальном направлении, как и для цилиндрической стенки. Далее тепловой поток распространяется в тело анода, где рассеивается за счет вынужденной конвекции. Следует отметить, что при естественной конвекции картина распределения линий теплового потока и уровней температуры принципиально не изменяется.

63.4 °С 54.1 °С 44.8 °С 35.4 °С

___—1- - »1 --

—--

Ве \4-

\ 58.7 °С 49.4 °С 40.1 °С \ \ч \

Ртах \ \ \

\ Си \ \

Рисунок 3.6 - Картина распределения уровней температуры и линий тока теплового потока в аноде с прострельной '-Бе мишенью за пределами условной

изотермы Т0

Представленные данные позволяют полагать, что основная часть подводимой к мишени мощности рассеивается с поверхности тела анода. В таком случае, задача по определению Т0 может быть решена следующим образом.

Через заданный коэффициент а на поверхности теплообмена вычислим среднюю температуру Т. Поверхность теплообмена в конструкции анодного узла с прострельной мишенью образуется поверхностями подложки и тела анода. Соответственно, на каждой поверхности будут заданы ах и а2, а также средние

температуры Т81 и Г82. Результаты численного моделирования (см. раздел 2.3) показывают, что температуры Г81 и Г82 имеют близкие значения, а разница составляет 10-20 °С. Поэтому, в целях упрощения расчетов Т0 приравниваем температуры Т81 и Г82 к значению Т.

В виду того что разность температур на концах тела анода составляет порядка 10-15 °С, то при расчетах также не учитываем эту разность и считаем, что вся поверхность теплообмена тела анода имеет одинаковую температуру равную Т. Подложку представим цилиндрической стенкой, внешний и внутренний радиусы которой равны В/2 и (И+Н). Высота стенки соответствует толщине мишени и

подложки (H+h), а тепловой поток учитываем только со стороны выхода рентгеновских лучей. Температуру на внутренней стенке принимаем равной температуре условной изотермы T0. В таком случае, значение T0 может быть найдено из решения уравнения Лапласа для цилиндрической стенки, радиусы которой равны (H+h) и D/2.

Найденное значение 7S будет являться граничным условием 1-го рода на внешнем радиусе стенки D/2, для поиска частного решения распределения T(r). Также для нахождения To необходимо задать граничное условие 2-го рода на внутренней стенке радиусом (H+h), которое будет соответствовать плотности теплового потока на границе условной изотермы радиусом (H+h). Такой подход в решении возможен с учетом допущения, что весь тепловой поток с поверхности условной изотермы переходит в тепловой поток на поверхность внутренней стенки, не вызывая значительной разности температур, а в идеальном случае близкой к нулю. Математическая модель постановки задачи поиска температуры T0 в конструкции анодного узла с прострельной W-Be мишенью схематично представлена на рисунке 3.7.

На первом этапе вычислений температуры T0 необходимо определить температуру 7S, которая может быть найдена из соотношения (3.25) для всей поверхности теплообмена в конструкции анодного узла. Вся подводимая к мишени мощность P рассеиваться в окружающую среду.

Учитывая только конвективных теплообмен на поверхности анода, связь P с плотностью теплового потока q1 и q2 имеет вид

P = qA + 3^2. (3.26)

Величина S1 и S2 соответствует площади боковой поверхности Cu тела анода и поверхности Be подложки, которые могут быть найдены, с учетом

7lD2

+ и ('Н + h)<^.L, как S1^tiDL и S2 ~ ^ . Плотность теплового

потока q1 и q2 выражается через a, 7S и Text и определяется по формулам

q =a1 (7S - 7ext ) и Ч =а2 (7S - 7ext ) .

Рисунок 3.7 - Модель переноса тепла в конструкции анодного узла с W-Be

прострельной мишенью

После всех подстановок в выражение (3.26) получаем соотношение для Т8 следующего вида

Р

T = T +

TS Text +

(3.27)

а{кОЬ + 0.25а2к02

В некоторых случаях, когда поверхности теплообмена контактируют с разными внешними средами (воздух, вода), необходимо учитывать различие их температур Т^. В таком случае, соотношение (3.27) может быть представлено как

- _P_ + alnDLTextl + 0.25а2nD2T^

T с

(3.27 а)

а{кЭЬ + 0.25а2п02

На втором этапе, после определения Т, переходим, непосредственно, к вычислению температуры Т0. Найденная в соответствии с (3.27) или (3.27 а) величина Т будет являться граничным условием 1-го рода на внешней поверхности цилиндрической стенки (Бе подложка) радиусом В/2.

Плотность теплового потока q0 на внутренней стенке радиусом (H + h)

P

определяет граничное условие 2-го рода q0 = — ■

P

. Рассмотрим общее

S 2я( H + h )2

решение уравнения Лапласа из системы (3.11) на интервале R < r < R, с учетом заданных граничных условий 1-го и 2-го рода. Общее решение может быть представлено как

T(r) = C ln(r) + С2, (3.28)