Разработка методов обеспечения требуемой динамики ротора аксиального насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных опорах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Богданова Юлия Владимировна

• Богданова Юлия Владимировна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Богданова Юлия Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ РАЗРАБОТКИ НАСОСОВ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ

1.1. Типы насосов вспомогательного кровообращения

1.2. Особенности проектирования насосов вспомогательного кровообращения

1.2.1. Проблема высокого показателя гемолиза и тромбообразования

1.2.2. Проблема недолговечности и ненадежности насосов вспомогательного кровообращения

1.2.3. Проблема питания и управления режимами работы насосов вспомогательного кровообращения

1.2.4. Проблема пульсаций кровотока на выходе из камеры насоса вспомогательного кровообращения

1.3. Магнитный подвес ротора насоса вспомогательного кровообращения

1.4. Исследование подходов к управлению положением ротора насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных подшипниках

1.5. Анализ методов управления нелинейными системами

1.6. Метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов

1.7. Предпосылки выбора подхода к управлению нелинейной динамикой ротора насоса вспомогательного кровообращения

1.8. Формулировка целей и задач исследования

Стр.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ РОТОРА АКСИАЛЬНОГО НАСОСА ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ НА АКТИВНЫХ МАГНИТНЫХ ОПОРАХ

2.1. Расчетная схема

2.2. Уравнения движения ротора

2.2.1. Моделирование радиальных магнитных подшипников

2.2.2. Учет влияния электродвигателя на подвес

2.2.3. Учет гидродинамического сопротивления

2.2.4. Внешние воздействия

2.3. Приведение уравнений движения ротора к безразмерному виду

2.4. Неустойчивость магнитного подвеса

2.5. Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ РОТОРА АКСИАЛЬНОГО НАСОСА ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ НА АКТИВНЫХ МАГНИТНЫХ ОПОРАХ

3.1. Суть метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов

3.2. Постановка задачи управления положением ротора насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных опорах

3.3. Режим пульсаций за счет угловых колебаний ротора

3.3.1. Модель синергетического синтеза

3.3.2. Синтез управления положением ротора в режиме пульсаций за счет угловых колебаний

3.3.3. Расчетные данные

Стр.

3.3.4. Динамика ротора с синергетическим управлением в режиме пульсаций за счет угловых колебаний ротора

3.4. Создание пульсаций за счет изменения скорости вращения ротора

3.4.1. Синтез управления положением ротора в режиме пульсаций за счет изменения скорости вращения

3.4.2. Динамика ротора с синергетическим управлением в режиме пульсаций за счет изменения скорости вращения ротора

3.4.3. Исследование параметрической робастности модели с синергетическим управлением

3.5. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПОДХОДОВ К СОЗДАНИЮ ПУЛЬСАЦИЙ КРОВОТОКА

4.1. Собственные частоты колебаний ротора

4.2. Дисбалансное поведение

4.3. Исследование влияния угловых колебаний ротора на перепад давления

4.4. Исследование влияния изменения скорости вращения ротора на перепад давления

4.5. Выводы по четвертой главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

АКАР - аналитическое конструирование агрегированных регуляторов

АКОР - аналитическое конструирование оптимальных регуляторов

АМП - активный магнитный подшипник

ИМ - инвариантное многообразие

ИТ - изображающая точка

НВК - насос вспомогательного кровообращения

ПИД - пропорционально-интегрально-дифференцирующий

РНХ - расходно-напорная характеристика

ССЗ - сердечно-сосудистые заболевания

СТАУ - современная теория автоматического управления

СТУ - синергетическая теория управления

ХСН - хроническая сердечная недостаточность

CFD - Computational Fluid Dynamics

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов обеспечения требуемой динамики ротора аксиального насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных опорах»

ВВЕДЕНИЕ

По данным Всемирной организации здравоохранения основная причина смертности во всём мире - сердечно-сосудистые заболевания (ССЗ). В 2015 году от ССЗ в общей сложности умерло 15 млн. человек, что составило около 30 % всех случаев смерти в мире [15]. Большая часть заболеваний сердечной недостаточностью приходится на страны с низким и средним уровнем дохода. Ежегодно в странах Европы и США выполняется около 3,5 тыс. трансплантаций, тогда как в России количество возможных пересадок в год лишь немного превосходит 150 (по данным седьмого Российского трансплантологического общества [19] количество пересадок донорского сердца в 2013 году - 164, в 2014 году - 162). Насосы вспомогательного кровообращения (НВК) являются, на сегодняшний день, основной альтернативой трансплантации донорского сердца для людей, страдающих острыми формами сердечной недостаточности.

К настоящему времени разработаны и внедрены в практику различные конструкции НВК, что позволяет пациенту дождаться донорского органа, если это остается необходимым, - иногда удается восстановить нормальную работу сердца, что связано с частичной его разгрузкой во время ношения НВК и дальнейшей реабилитацией [99, 120]. Часто пациенты продолжают жить с имплантированными насосами [52]. Поэтому основная задача разработки таких аппаратов заключается в повышении качества работы НВК.

В процессе многолетней технологической эволюции насосы изменялись по принципу действия, внешним характеристикам и габаритам. От мембранных насосов пульсирующего типа больших размеров и ненадежных направление разработок в данной области перешло к устройствам роторного типа постоянного кровотока, максимально точно копирующих естественное течение крови в сосудах. Вместе с тем, известные конструкции НВК имеют недостатки, связанные с ненадёжностью узлов конструкции, высоким показателем повреждаемости клеток крови - гемолиза, непрогнозируемым тромбообразованием, проводным

питанием и управлением, необходимостью обеспечения низкочастотных пульсаций потока для сохранения эластичности периферийных сосудов организма. По этим причинам в разных странах продолжаются многочисленные исследования в области создания новых более эффективных и надежных конструкций НВК.

Использование активных магнитных подшипников (АМП) в аппарате вспомогательного кровообращения позволяет снизить показатели гемолиза и тромбоза и увеличить срок службы устройства. Наличие бесконтактного подвеса ротора является основным критерием НВК третьего поколения [80, 136, 168]. Второй отличительной особенностью насосов нового поколения является возможность работы в режиме пульсаций. Исследования последних лет показали, что устоявшееся мнение по поводу безопасности аппаратов вспомогательного кровообращения постоянного типа, следует пересмотреть. Было установлено, что при длительном ношении подобных устройств у пациентов обнаруживаются осложнения, связанные с атрофией клапанов сердца, нарушением коронарного кровотока, охрупчиванием сосудов и, как следствие, внутренними кровотечениями [110, 142, 152, 162, 182, 184, 191, 195]. В этой связи задача создания пульсаций на выходе из камеры насоса становится одной из приоритетных при разработке НВК нового поколения.

Среди коммерческих насосов аксиального типа к третьему поколению в том смысле, что использован магнитный подвес ротора, относится модель 1псог, компании БегНпНеаТ; постоянного кровотока. Пульсирующих аксиальных насосов вспомогательного кровообращения на мировом рынке пока нет. В отличие от огромного числа исследований, посвященных изучению потока крови в камере насоса, влиянию сдвиговых напряжений на эритроциты, проектированию геометрии проточной части, исследованию гидравлических показателей насоса -практически нет работ, связанных с изучением динамики ротора на активных магнитных опорах в условиях течения крови и режимов функционирования насоса. АМП широко применяются в станкостроении, в вакуумных системах, в высокоскоростном машиностроении [22, 24, 46, 47, 59, 66]. Как правило, объекты

имеют малый зазор, и в большинстве работ применяют линеаризованную у положения равновесия модель магнитного подвеса. В НВК применение магнитных подшипников обусловлено, в том числе, их способностью обеспечить больший по сравнению с другими видами опор зазор (0,2 мм), допускающий вращение ротора на больших скоростях с возникновением невысоких сдвиговых напряжений, что позволяет снизить травму эритроцитов. Магнитный подвес является примером нелинейной системы, а устойчивость положения ротора определяется выбором закона управления. Кроме того, подобные жизнеобеспечивающие системы отличаются большим разбросом физических параметров и параметров функционирования. В найденных работах отсутствуют математические модели нелинейной динамики ротора аксиального насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных подшипниках (АМП) в потоке крови, а в качестве управления положением ротора применяющиеся в медицинской практике НВК с магнитным подвесом используют пропорционально-интегрально-дифференцирующий (ПИД) закон регулирования. Однако опыт современной прикладной теории управления и нелинейной динамики показывает, что для нелинейных систем линейное управление не является эффективным.

На данный момент на российском рынке представлены только импортные образцы НВК. Как было сказано выше, аксиальных насосов вспомогательного кровообращения пульсирующего кровотока на мировом рынке пока нет. Задача разработки надежного, рассчитанного на длительное применение, отечественного НВК нового поколения представляется перспективной. Анализ работ позволяет констатировать, что до настоящего времени все еще отсутствуют научно обоснованные и экспериментально подтвержденные методики проектирования таких сложных биомеханических систем, как НВК. Особенно это касается методик проектирования роторно-магнитной части насоса. Поэтому создание пульсаций кровотока и обеспечение устойчивого контролируемого поведения ротора в пульсирующих режимах функционирования аксиального насоса

вспомогательного кровообращения на магнитных опорах представляется актуальным.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-29-01085 офи_м).

Объект исследования: ротор аксиального насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных опорах.

Цель диссертационной работы заключается в обеспечении: 1) устойчивой работы аксиального насоса вспомогательного кровообращения (НВК) на активных магнитных опорах в независимости от разброса параметров динамической системы, 2) физически обоснованных пульсаций давления кровотока за счет совершенствования конструкции и функционирования НВК.

Научная новизна:

1. Разработана математическая модель нелинейной динамики жесткого ротора аксиального НВК в двух радиальных активных магнитных опорах, учитывающая: гироскопические эффекты, нелинейности, сопряженные с зазором и электромагнитными силами подшипников, влияние потока крови, внешние кусочно-постоянные и гармонические воздействия инерционного характера, а также возмущения вследствие неуравновешенности ротора.

2. Выделены критерии подобия для класса роторов аксиальных насосов вспомогательного кровообращения, позволяющие проводить проектирование систем НВК для физически подобных конструкций.

3. Дан анализ эффективности двух подходов к созданию пульсаций кровотока: за счет угловых колебаний ротора и за счет изменения скорости вращения ротора по критерию перепада давления на выходе из камеры насоса. Эффективным признан второй подход к созданию пульсирующего кровотока - за счет изменения скорости вращения ротора.

4. Методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) разработано нелинейное управление положением ротора в магнитных опорах, обеспечивающее гарантированную динамику ротора, в частности, в режиме пульсаций за счет изменения скорости вращения.

Достоверность полученных результатов обеспечена строгостью использованных математических методов, проверкой разработанных алгоритмов и программ на модельных и тестовых задачах, сопоставлением полученных автором результатов с известными результатами аналитических, численных и экспериментальных исследований.

Внедрение. Результаты диссертационной работы и разработанный пакет прикладных программ использованы при разработке эффективного управления положением ротора аксиального насоса вспомогательного кровообращения в НПК «Швабе» (акт внедрения прилагается). Методика синтеза нелинейного управления многомерными, многосвязными объектами методом АКАР внедрена в учебный процесс кафедры прикладной механики в курсе «Нелинейная динамика».

Практическая значимость работы заключается в следующих результатах:

1. Разработана методика синтеза надежного и экономичного в смысле значений управляющих токов нелинейного управления положением ротора аксиального насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных опорах, гарантирующего обеспечение требуемой динамики ротора в условиях действия различного рода возмущений и изменения внутренних параметров модели, а также поддерживающего пульсирующий режим работы НВК, в том числе, за счет изменения скорости вращения ротора.

2. Разработан пакет прикладных программ для эффективного управления положением ротора аксиального насоса вспомогательного кровообращения.

Апробация. Результаты работы докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях «XIII Конгресс «Сердечная недостаточность» (Москва, 2013), «МИКМУС - 2015» (Москва, 2015), «Вибрационные технологии, мехатроника и управляемые машины» (Курск, 2016), «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2016), «Vibroengineering: Dynamics of Strong Nonlinear Systems» (Москва, 2016). Ежегодно на научных семинарах кафедры прикладной механики МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, включая 4 статьи в журналах, принадлежащих перечню ВАК РФ и 5 статей в журналах, входящих в перечень международной базы данных SCOPUS.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения. Изложена на 200 страницах машинописного текста, включая 53 иллюстрации, 11 таблиц и библиографический список, содержащий 207 наименований.

В первой главе выполнен обзор работ, посвященных теоретическим и экспериментальным исследованиям направления разработки насосов вспомогательного кровообращения. Представлено актуальное состояние направления, показаны проблемы, связанные с проектированием аппаратов, рассчитанных на длительное применение, выявлены тенденции усовершенствования существующих моделей насосов вспомогательного кровообращения. Сформулированы цели и задачи исследования.

Во второй главе, исходя из особенностей проектирования аксиального насоса вспомогательного кровообращения и условий его функционирования, предложена и обоснована расчетная схема и математическая модель нелинейной динамики ротора на активных магнитных опорах. Модель включает нелинейную схему магнитного подвеса, учитывает влияние потока крови, нежелательные внешние воздействия инерционного характера, а также возмущения вследствие неуравновешенности и гироскопические эффекты. Система дифференциальных уравнений 8-го порядка приведена к безразмерному виду. Выделены характерные критерии подобия.

Третья глава посвящена разработке эффективного нелинейного управления методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР), способного обеспечить требуемую динамику ротора в двух пульсирующих режимах работы НВК: за счет угловых колебаний ротора и за счет изменения скорости вращения ротора. Критерии управления в каждом случае сформулированы в виде совокупности технологических инвариантов - целей управления. Разработанные нелинейные законы управления обеспечивают

перевод изображающей точки роторно-магнитной системы из произвольного начального состояния в области допустимых значений фазовых координат сначала на пересечение введенных инвариантных многообразий, а затем на целевой аттрактор, где гарантированно выполняются требования динамики объекта управления. В случае пульсаций за счет угловых колебаний ротора поведение объекта управления на целевом аттракторе определяется эталонной моделью нелинейной автоколебательной системы с заданной амплитудой и частотой типа осциллятора Пуанкаре. Проведены расчеты динамики ротора с синтезированными для обоих пульсирующих режимов работы насоса вспомогательного кровообращения управлениями.

В четвертой главе проведен модальный анализ с определением собственных частот колебаний ротора, а также исследование вынужденных колебаний от действия неуравновешенных сил системы для двух режимов пульсаций, а также непульсирующего режима работы насоса вспомогательного кровообращения с синтезированными нелинейными управлениями. Проведена расчетная оценка эффективности предложенных подходов к созданию пульсаций кровотока. Установлено, что угловые колебания ротора изменяют перепад давления на выходе из камеры насоса на величину в 4 раза меньшую требуемой (5 мм рт. ст. (при угле наклона 3°) при необходимых 20 мм рт. ст.). В то же время изменение скорости вращения ротора приводит к соответствующим колебаниям перепада давления, который создает насос. Таким образом, подход к созданию пульсаций за счет изменения скорости вращения ротора принято считать эффективным.

В заключении подведены итоги работы.

В приложении подробно приведена процедура обезразмеривания уравнений движения ротора, представлены аналитические выражения синтезированных нелинейных законов управления, проанализировано влияние ускорений от переменной скорости вращения ротора в случае режима пульсаций за счет изменения скорости вращения ротора, дан расчет динамики ротора для двух режимов пульсаций с традиционным линейным ПИД регулятором.

ГЛАВА 1. АКТУАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ РАЗРАБОТКИ НАСОСОВ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ

Эпидемиологические исследования ЭПОХА-ХСН [69] (8 регионов Российской Федерации (РФ), 19500 респондентов) и ЭПОХА-О-ХСН [1, 69] (эпидемиологическое обследование больных в Европейской части России; субпроекты: Эпоха-ХСН, Эпоха-О-ХСН, Эпоха-АГ; одномоментное госпитальное исследование в 22 регионах РФ), проведённые в 2004 - 2005 годах, демонстрируют, что хроническая сердечная недостаточность (ХСН) в разной степени тяжести наблюдается у 7% (около 7,9 млн. человек) населения страны [68]. Клинически выраженная ХСН достигает 4,5% (около 5,1 млн. человек). В Национальных рекомендациях по диагностике и лечению хронической сердечной недостаточности (ХСН) [48] отмечено: в результате 10-летнего наблюдения за популяцией обнаружено, что распространенность ХСН в популяции растет в среднем на 1,2 человека на 1000 населения в год. Аппараты вспомогательного кровообращения являются, на сегодняшний день, основной альтернативой трансплантации донорского сердца для людей, страдающих острыми формами сердечной недостаточности [5, 28, 48, 75].

Принцип работы насоса вспомогательного кровообращения состоит в том, что, будучи присоединенным к левому желудочку одной канюлей и к восходящей аорте - другой, насос полностью или частично заменяет функцию инвалидизированного левого желудочка. Систему НВК условно можно разбить на три подсистемы: насосную часть, систему питания и систему управления (Рис. 1.1).

Рис. 1.1. Элементы системы НВК [172]

1.1. Типы насосов вспомогательного кровообращения

Насосами вспомогательного кровообращения (НВК) для поддержания функции сердца стали заниматься с середины XX в. Впервые заменить сердце собаки попытался советский учёный В. П. Демихов в 1937 г. В 60-х гг. в СССР была начата программа по созданию искусственного пневмогидравлического насоса, поддерживающего функцию кровообращения поражённого сердца. Уже в 70-х гг. принята первая совместная программа по созданию искусственного сердца между СССР и США. Первые законченные рабочие прототипы созданы в 80-х годах: модель «Герц» (1985 г., СССР), модель «1атк» (1982 г., США). Государственная программа по разработке полностью имплантируемых насосов вспомогательного кровообращения роторного типа есть в ряде государств: США, Китай, Япония, Евросоюз. Одну из наиболее активных программ по имплантации систем долгосрочной искусственной поддержки кровообращения осуществляет Немецкий кардиологический центр в Берлине (БН2Б) [52].

В зависимости от типа насоса различают мембранные (Рис. 1.2, а), центробежные (Рис. 1.2, б), и аксиальные (осевые) (Рис. 1.2, в) устройства НВК [115, 176]. Отдельно можно выделить диагональные насосы - гибрид центробежного и аксиального типа насосов (Рис. 1.2, г). Центробежные и аксиальные насосы являются роторными устройствами.

в) г)

Рис. 1.2. Типы устройств НВК: а - мембранный (модель Моуасог) [132]; б -центробежный (HeartWare) [132]; в - аксиальный (НеаЛЛ88180 [163]; г -

диагональный (СксиЬке) [108]

Работа мембранных насосов основана на попеременном заполнении рабочей камеры кровью и последующем ее вытеснении - это пульсирующий тип насосов. Недостатками такой конструкции являются большие габариты насоса,

недолговечность самой мембраны, использование клапанов, которые при загрязнении могут выйти из строя [3, 4, 51]. К мембранному типу относятся модели BCM, HeartSaver, Novacor, Excor (Рис. 1.3, а), Cora Pump, ALVAD (Model-7) и др.

Центробежные и аксиальные ИЖС являются насосами постоянного типа [120]. В центробежных насосах движение жидкости и необходимый напор создаются за счёт центробежной силы, возникающей при воздействии лопастей рабочего колеса на кровь. К центробежным относятся Biopump, Delphin, AB-180, HeartWare (Рис. 1.3, б), HeartMate III и др.

а) б)

Рис. 1.3. а - Ехеог [52]; б - Неа1^аге [133]

Осевые насосы состоят из корпуса и свободно вращающегося в нем лопастного колеса. Работа основана на силовом взаимодействии лопасти на обтекающий ее поток. В отличие от центробежных насосов аксиальные обеспечивают более естественные условия течению потока крови, поскольку имеют вытянутую трубчатую форму (Рис. 1.4).

Из сердца

а) б)

Рис. 1.4. Поток крови: а - в центробежном насосе [133]; б - в осевом насосе [172]

К аксиальным относятся модели HeartMate II (Рис. 1.5, а), Valvo Pump, Streamliner, Jarvik 2000, HeartAssist 5 (DeBackey) (Рис. 1.5, б), Incor (Рис. 1.5, в), Impella (Рис. 1.5, г) и др.

в) г)

Рис. 1.5. Осевые насосы: а - HeartMate II [172]; б - HeartAssist 5 (DeBackey) [172];

в - Incor [172]; г - Impelía [104]

Примерами насоса диагонального типа являются модели DeltaStream, HeartQuest, CircuLite, VentrAssist и др. Наиболее полный систематический обзор существующих систем НВК с описанием технических характеристик приведен в работе [175], а также [143, 176, 181, 193].

Тенденции последних разработок в этой области связаны с развитием исключительно роторных моделей насосов [81, 89, 105, 106, 111, 115, 136, 144, 169]. Особенно перспективным направлением стала разработка насосов вспомогательного кровообращения аксиального типа [84, 85, 112, 119, 120, 122, 123, 129, 143, 160, 176].

1.2. Особенности проектирования насосов вспомогательного кровообращения

Известные конструкции НВК имеют следующие существенные недостатки:

- высокий гемолиз, т. е. процесс выделения гемоглобина в кровь сверх физиологической нормы вследствие воздействия высоких сдвиговых напряжений на мембраны эритроцитов, приводящий к фатальному исходу [86, 90, 94, 123, 128, 131, 203, 206];

- тромбообразование с последующим риском закупорки сосудов [82, 90, 93, 97, 120, 130, 204];

- недолговечность и ненадежность устройств, приводящие к необходимости повторного хирургического вмешательства с целью ремонта или замены имплантируемого насоса [80, 120, 136, 168];

- проводные системы питания и управления режимами работы насосов, предназначенных для долгосрочного применения, требующие принципиально нового перехода на беспроводные чрескожные способы передачи энергии и управления [102, 120, 146, 147, 187, 200];

- отсутствие пульсаций, ведущее к деградации периферических сосудов [110, 142, 152, 162, 182, 184, 191, 195].

1.2.1. Проблема высокого показателя гемолиза и тромбообразования

У более ранних моделей НВК в качестве опоры выступают гидродинамические, рубиновые, самоустанавливающиеся подшипники, погруженные в кровь [143, 176], что существенно сказывалось на повреждении клеток крови, а в ряде случае приводило к интенсивному тромбообразованию в области контакта [120]. Кроме того, опыт применения гидродинамических подшипников насчитывает большое количество выходов из строя [81]. Установлено, что обычные опоры скольжения или качения становятся

концентраторами осаждения форменных элементов крови, что ведет к возникновению тромбоза.

Магнитный подвес помимо прочих преимуществ [24] позволяет обеспечить больший, по сравнению с другими видами подшипников, зазор, что допускает вращение ротора на больших скоростях с возникновением невысоких сдвиговых напряжений. Использование магнитных подшипников в НВК позволяет снизить показатели гемолиза и тромбоза [81].

1.2.2. Проблема недолговечности и ненадежности насосов вспомогательного кровообращения

Стоит отметить, что при проектировании насосов длительного применения важным фактором риска поломки становится механический износ. В этой связи в новых поколениях таких устройств из-за необходимости борьбы с износом (в случае проектирования насосов для долгосрочного применения) стали активно применять магнитные подшипники [81, 84, 106, 120, 136, 158, 165, 170, 176, 177]. Магнитный подвес обладает преимуществами бесконтактной опоры: высокой износостойкостью и эксплуатационной надежностью ввиду отсутствия трения. Отсутствие контактных пар снижает риск возникновения застойных зон в протоке. Применение магнитных опор увеличивает срок службы НВК. Перспективность использования АМП подтверждает факт появления за последний год патентов на конструкции НВК с магнитными подшипниками [170].

1.2.3. Проблема питания и управления режимами работы насосов вспомогательного кровообращения

Стремление повысить качество жизни пациента с имплантируемым аппаратом вспомогательного кровообращения не позволяет обойти вниманием системы питания и управления режимами работы подобных жизненно-важных устройств.

Самый распространенный способ передачи энергии и управления работой НВК - по проводам, проходящим сквозь кожу пациента и соединяющим насосную часть устройства с блоком управления и сетью или батареями питания, находящимися снаружи.

Питание от сети не обеспечивает для пациента достаточного уровня мобильности для нормальной жизнедеятельности. В этом смысле намного удобнее применение переносных аккумуляторных батарей, которые размещаются либо в рюкзаке на спине пациента, либо на поясе. Но такой вариант энергоснабжения достаточно опасен, так как место входа проводов является источником инфекций, которые, почти в 100 процентах случаев, при попадании в организм человека, приводят к летальному исходу.

Существует второй вариант - беспроводная передача энергии. Помимо медицинских особенностей, связанных с исключением инфицирования, бесконтактный способ передачи энергии обеспечивает большую свободу передвижения. Причем допускает питание от имплантированной батареи или с помощью беспроводного канала передачи энергии на расстояние [101, 102, 120, 145 - 147, 151, 178, 187, 200].

Для передачи энергии на расстояние существуют две технологии: TETS (a transcutaneous energy transformer system) и FREE-D (free-range resonant electrical energy delivery) [200]. В обоих случаях используются катушки, намотанные литцендратом.

Технологии питания НВК от имплантированной батареи в настоящее время применяются только совместно с питанием по беспроводному каналу передачи энергии, как аккумуляторы, так как современные имплантируемые батареи не имеют достаточной емкости для долгосрочной работы без замены, а замена производится инвазивным путём. В настоящее время компанией Jarvik Heart был предложен ввод питающих и управляющих проводов через сосцевидный отросток черепа (Jarvik 2000) [143]. Данный метод достаточно эффективно решает проблему инфицирования, но следует отметить возможные проблемы приживаемости вводного узла, а также необходимости прокладки проводов

значительной длины от головы пациента к питающим элементам, расположенным на поясе.

Проблему передачи питания и управления устройств вспомогательного кровообращения необходимо решать глобально, так как, главным образом, именно она ставит вопрос нормальной активности и мобильности больного. Наличие беспроводного питания и управления также является критерием насосов третьего поколения.

1.2.4. Проблема пульсаций кровотока на выходе из камеры насоса вспомогательного кровообращения

Первые насосы вспомогательного кровообращения - мембранные -относятся к устройствам пульсирующего типа. Пульсирующие насосы имеют большие габариты и вес и зачастую, из-за своих размеров, располагаются снаружи пациента (Рис. 1.6).

Рис. 1.6. Мембранный НВК [166]

По сравнению с аксиальными, пульсирующие насосы громоздки и ненадежны. Насосы второго поколения - роторные, использующие шариковые,

гидродинамические, рубиновые подшипники, обеспечивают непрерывный кровоток и спроектированы для длительного применения [175]. Однако исследования последних лет показали, что устоявшееся мнение по поводу безопасности аппаратов вспомогательного кровообращения постоянного типа, следует пересмотреть. Было установлено, что при длительном ношении подобных устройств у пациентов обнаруживаются осложнения, связанные с атрофией клапанов сердца, нарушением коронарного кровотока, охрупчиванием сосудов и, как следствие, внутренними кровотечениями [110, 142, 152, 162, 182, 184, 191, 195]. В этой связи задача создания пульсаций на выходе из камеры насоса становится одной из приоритетных при разработке НВК нового поколения [80, 136, 168]. Согласно классификации [123, 136] насос роторного типа без механического контакта поверхностей с возможностью работы в пульсирующем режиме относится к НВК третьего поколения. Иногда насосами третьего поколения называют устройства роторного типа только на магнитном подвесе, без возможности работы в режиме пульсаций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Богданова Юлия Владимировна, 2017 год

Источники

ПД/ПИ/ПИД регулятор (линейное управление!) [106, 115, 129, 131, 150, 202 ]

Нелинейный ПИД регулятор

[29, 60]

Линейно-квадратичное гауссовское управление (LQG control = фильтр Калмана + линейно-квадратичный регулятор)

Нелинейно-квадратичное гауссовское управление (Non-LQG control = расширенный фильтр Калмана + линейно-квадратичный регулятор)

Скользящее управление (Sliding mode)

[140]

[140]

[103, 129, 183]

Оптимальное управление

[10, 192, 202]

Управление на основе нечеткой логики (Fuzzy state-feedback control)

Адаптивное управление

[7, 10, 53, 117, 121, 154]

[109, 138]

Backstepping [72, 76, 114, 155, 159, 167, 205]

Метод АКАР [8, 13, 14, 17, 18, 33, 34, 43 -

45, 50, 63, 64, 92, 98, 148, 149, 153, 183, 199]

Обзор подходов к управлению нелинейными системами дает основание предполагать, что применение метода АКАР, позволяющего вводить целевые аттракторы в фазовое пространство динамической системы, к которым неизбежно устремляются все фазовые траектории системы и на которых выполняются задачи управления, гарантированно обеспечит требуемую динамику ротора НВК на АМП при минимальных энергетических и трудозатратах на перенастройку.

1.8. Формулировка целей и задач исследования

Согласно проведенному анализу перспективным направлением на сегодняшний день в области создания систем НВК стала разработка насосов вспомогательного кровообращения аксиального типа на активных магнитных опорах пульсирующего кровотока, по классификации [123, 136] относящиеся к НВК третьего поколения.

Стоит подчеркнуть, что работ по исследованию динамики ротора НВК сравнительно мало, а в найденных не учитываются нелинейности, сопряженные с зазором и электромагнитными силами подшипников.

Следует отметить, что готового аппарата вспомогательного кровообращения третьего поколения, т. е. роторного насоса без механического контакта поверхностей, обеспечивающего пульсирующий поток крови во избежание тяжелейших последствий для сосудов, клапанов сердца и внутренних органов на сегодняшний день на мировом рынке пока нет. Демонстрирующий неплохие показатели продолжительности жизни пациентов (в среднем 2 года), коммерческий НВК аксиального типа 1псог, наиболее широко применяемый в медицинской практике, имеет активные магнитные опоры, но, как и все НВК роторного типа работает в режиме постоянного кровотока.

Исследование показало, что созданные и внедренные в практику различные конструкции НВК имеют достаточно много недостатков и требуют постоянного совершенствования. В частности, разработка НВК аксиального типа на АМП пульсирующего кровотока является наиболее перспективной. Подобные

жизнеобеспечивающие системы отличаются большим разбросом физических параметров и параметров работы. Открытой остается проблема отсутствия математических моделей нелинейной динамики ротора аксиального насоса вспомогательного кровообращения на магнитных опорах. Ключевым моментом является обеспечение устойчивого контролируемого поведения ротора в пульсирующих режимах функционирования НВК, что и определило цель данной работы.

Цель работы состоит в обеспечении: 1) устойчивой работы аксиального насоса вспомогательного кровообращения (НВК) на активных магнитных опорах в независимости от разброса параметров динамической системы, 2) физически обоснованных пульсаций давления кровотока за счет совершенствования конструкции и функционирования НВК.

Для достижения указанной цели требуется решить следующие задачи:

1. Построить математическую модель нелинейной динамики жесткого ротора в двух радиальных активных магнитных подшипниках с учетом гироскопических эффектов, включающую нелинейную модель магнитного подвеса, учитывающую влияние потока крови, внешние кусочно-постоянные и гармонические воздействия инерционного характера, а также возмущения вследствие неуравновешенности ротора.

2. Привести математическую модель ротора насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных подшипниках к безразмерному виду, выделив характерные для целого класса аппаратов вспомогательного кровообращения безразмерные комплексы (критерии подобия), позволяющие проводить проектирование систем НВК для физически подобных конструкций.

3. Оценить эффективность подходов к созданию пульсаций кровотока за счет контролируемых угловых колебаний ротора, а также за счет изменения скорости вращения ротора по критерию изменения перепада давления на выходе из камеры насоса.

4. Разработать нелинейное управление положением ротора насоса вспомогательного кровообращения на активных магнитных подшипниках

гарантирующее: а) точность позиционирования ротора в заданном положении -выше 4 мкм за счет компенсации внешних инерционных воздействий кусочно-постоянного и гармонического характера, а также нежелательных возмущений вследствие неуравновешенности ротора; б) асимптотическую устойчивость замкнутой системы «объект - регулятор» в области допустимых значений фазовых координат; в) параметрическую робастность системы; г) меньшие значения управляющих токов в сравнении с линейным управлением; д) поддержание режима пульсаций кровотока за счет специально создаваемых угловых колебаний ротора, а также за счет изменения скорости вращения ротора.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ РОТОРА АКСИАЛЬНОГО НАСОСА ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ НА АКТИВНЫХ

МАГНИТНЫХ ОПОРАХ

В главе приведены уравнения движения ротора, вращающегося в магнитном поле радиальных активных магнитных подшипников (АМП), в условиях течения крови, действия нежелательных внешних инерционных воздействий, возмущений вследствие неуравновешенности.

Схема конструкции разрабатываемого аксиального насоса вспомогательного кровообращения представлена на Рис. 2.1.

Рис. 2.1. Конструктивные элементы проточной части аксиального насоса вспомогательного кровообращения: 1 - диффузор, 2 - ротора, 3 - спрямитель

2.1. Расчетная схема

Симметричный жесткий ротор аксиального насоса вспомогательного кровообращения массой т, вращается с постоянной угловой скоростью П в двух радиальных активных магнитных подшипниках АМП А и АМП В, состоящих из четырех одинаковых контуров (Рис. 2.3), которые расположены симметрично напротив друг друга (Рис. 2.2). Движение ротора в продольном направлении, характеризующее продольные колебания ротора фиксируется постоянными магнитами и поэтому не рассматривается.

Рис. 2.2. Подвес жесткого ротора в двух радиальных подшипниках

Рис. 2.3. Геометрия радиального подшипника

2.2. Уравнения движения ротора

Система координат Ох0у0ъ0 связана с ротором так, что ось Оъ совпадает с

геометрической продольной осью ротора, а ось Ох0 проходит через центр масс ротора С (Рис. 2.4). Система Сх' у'ъ' является системой главных центральных осей инерции ротора. Моменты инерции относительно этих осей соответственно равны 1х, = 1у, = 1х и 1ъ, = 1ъ. Так как достичь полного совпадения

геометрической оси ротора с его главной осью инерции невозможно, в расчетной модели учитывают остаточный дисбаланс после балансировки. Максимальное значение дисбаланса и его распределение определяет стандарт ГОСТ ИСО 19401-2007 [12]. Имея межопорный ротор в соответствии со стандартом, для общности зададимся статическим и динамическим дисбалансами. Статическая неуравновешенность масс ротора характеризуется эксцентриситетом ОС = е. Динамическая неуравновешенность характеризуется угловым параметром ^ х = 1. Две одинаковые точечные массы расположены на концах ротора в плоскости у0 ъ0. Расчет допустимых значений остаточных дисбалансов приведен в Разделе 3.3.3. В начальный момент оси подвижной системы Ох0у0ъ0 совпадают с осями неподвижной системы координат 1ХУ1.

Рис. 2.4. Связь систем координат

При анализе поперечных колебаний ротора движение вокруг оси Z не рассматривается и принимается О = const. Вращение ротора характеризуется углом Оt. Перемещения осей Oxoyozo в направлениях X и Y определяются величинами xo и yo, а повороты вокруг этих осей - малыми величинами а и в соответственно. Тогда положение ротора будет определяться обобщенными координатами полюса ротора

q = {Xo, yo, а, Р|Г. (2.1)

Для вывода дифференциальных уравнений движения ротора используются уравнения Лагранжа второго рода [24, 73, 184]

d_

dt

'дТ^

dqti

дТ = Q, i = 1,...,4, (2.2)

\ -«■» /

%

где Т- кинетическая энергия, qi - обобщенные координаты, ( - обобщенные силы.

Выражение для кинетической энергии твердого тела имеет вид [74]

т=1

2

m vo • vo + 2m (vo x Q)- rc + Q • Io • Q

(2.3)

где \0 - скорость полюса О, П - угловая скорость тела, гс - радиус-вектор ОС

/v —> л —>

центра масс, 10 - тензор инерции тела в точке О, а слагаемое П-10 • П в матричной записи в выбранном базисе имеет вид ПТ10П.

В предположении малости параметров неуравновешенности и перемещений ротора проекции угловой скорости на оси Ох0 у0 г0 определяются известными соотношениями [24, 73]

О 0

х

П = О 0 =

у

О0 ъ

а С08(О?) + в 8т (О?) -а 8Ш (О? ) + в С08(О? )

О — ав

(2.4)

Матрица тензора инерции ротора 10 в точке О при данных параметрах неуравновешенности в базисе Ох0у0ъ0 имеет вид

1х 0

0 I 0 —I

0 0 ъ у

0 —I

у I

х -"-0 0

х у ъ

(2.5)

где I 0 0 = 1 0 0 = I — I) - центробежный момент инерции ротора [24].

у ъ ъ у |\х ъ /

Согласно [74] в выбранном базисе

(?0 х П )• гс = (У02° 3 — ^03° 2 ) хс + (у03°1 — ^01° 3 ) у°с + (^01° 2 — ^02°1) ъс ,

(2.6)

где у01, у02, у03 - проекции скорости полюса О на связанные с телом оси Ох°у°ъ° (квазискорости), О1? О2, О3 - проекции угловой скорости на эти же оси [74, С. 22],

х°0 = е, у0 = ъ°0 = 0 - координаты центра масс.

Выражения для указанных квазискоростей имеют вид

% = х0 а11 + у0 а12 + 4 ^

У02 = х0 а21 + у0 а22 + ъ0 а23, % = хх0 а31 + у0 а32 + ъ0 ^

(2.7)

где ак - косинусы углов осей Ох0у0ъ0 с неподвижными осями, выражающиеся через эйлеровы углы по формулам таблицы косинусов [74, С. 45]. Исходя из этого, получим

(У0 х П)• гс = Ое(—хд 8т(О?)+ у 0 С08(О?)).

(2.8)

I

и

Выражение для кинетической энергии, учитывая выше приведенные соотношения в выбранном базисе, примет вид

T = 1 m(x2 + Й) + mtte(-xo sin (nt) + yo cos(nt)) + 2 ПтIоП. (2.9)

Подставляя полученное соотношение (2.9) в уравнение Лагранжа второго рода (2.2) и совершая необходимые преобразования, получим известные дифференциальные уравнения движения ротора в координатах

q = {xo, Уо, a, Р|т

mxo = F1 + Fextl + тП2е cos(nt); myo = F2 + Fext 2 + m£l2e sin (Ш); + Izne = F3 + Fext3 + ü2y(Ix - Iz )cos(fit);

Ixíi - I^a = F4 + Fext4 + Q2y(Ix - Iz)sin(fit),

(2.10)

Первые два уравнения в (2.10) описывают поступательные движения ротора, последние два - угловые движения, причем вторые слагаемые левых частей характеризуют влияние гироскопического эффекта. Как видно из уравнений (2.10) параметры неуравновешенности играют роль внешней периодической нагрузки.

В матричной записи уравнения движения примут вид

М( + 00с( = Е + Еех1 +О20У (т), (2.11)

где М = diag (т, т, 1Х, 1Х) - инерционная матрица, О - кососимметричная матрица с двумя ненулевыми элементами (О) = -(0 )43 = 1Х,

Е = {^,..., ^}Т, Еех4 = №хЛ,..., ^4} - акторы обобщенных

электромагнитных реакций подвеса, внешних сил соответственно, Qv ^) - вектор обобщенных возмущающих сил

Оу (?)

те С08 (О?) те 8ш (О?) ч(Iх — Iъ )С08 (О?) ч( Ь — I, )81п (О?)

Обобщенные электромагнитные реакции подвеса создаются управляющими магнитными силами подшипников

ГАМБ = |^Ах, ^Ау, ^Бх, ^Бу } ,

(2.12)

которые приложены к ротору в точках управления АМП А и АМП В на расстоянии а1 и а2 от точки О . Датчики имеют те же продольные координаты, что и центры опорных участков ротора, т. е. точки управления совпадают с точками измерения.

Векторы Г и ГАМБ связаны соотношением

г? _ т* Т г?

г — ТЬ ГАМБ,

(2.13)

где Ть - матрица преобразований,

1 0 0 —а1

0 1 а1 0

1 0 0 а2

0 1 —а2 0

(2.14)

Тогда с учетом выражения (2.13) уравнения движения (2.11) примут вид

Мс( + ООс = ТЬТ Гамб + Гех1 + О2Оу (?).

(2.15)

2.2.1. Моделирование радиальных магнитных подшипников

Принцип действия магнитных подшипников основывается на эффекте левитации в магнитном поле, т. е. вывешивании и/или центрировании ротора без механического воздействия только силами притяжения или отталкивания со стороны магнитного поля статора, благодаря чему ротор вращается без механического контакта со статором [24, 74]. Система датчиков постоянно отслеживает положение вала, и подает сигналы на позиционные магниты статора, корректируя силу притяжения с той или иной стороны.

Схема электромагнитных цепей подшипников представлена на Рис. 2.5.

АМП А 7

То - 1Лу

Рис. 2.5. Электромагнитные цепи радиальных подшипников

На обмотки подается ток смещения 10, который суммируется с управляющими токами. Управление осуществляется по дифференциальной схеме, согласно которой управляющие токи в противоположных электромагнитах равны по значению и противоположны по знаку. Токи 1/х и (Вх создают магнитные силы и FBx в направлении оси X, а токи ¡Ау и IВу - силы FAy и FBy в направлении

оси У. Для магнитных сил подшипников имеем [24, 79, 119, 125, 135, 141, 144, 171, 180]

РЛх = РЛх1 РЛх 2 = кА

^у = ^у1 РАу2 = kA

РВх = FBx1 РВх 2 = кВ

РВу = FBy1 РВу 2 = кВ

( 2 (

10 + lAx 10 — lAx

ч 5 — ХЬА , ч 5 + ХЬА ,

( • + • ^2 (

10 + lAy

5 - УbA

( • • \2 10 + 1Вх

10 lAy

5 + УbA

5 — х

/ .

ьв

2

•0 + 1в

2

10 1Вх

5 + х

ЬВ

Ву

5 — Уьв

10 1Ву

5 + Уьв

2

(2.16)

где кА = кв =

2

^ 0п A 2

008

(х)

конструктивный параметр (

магнитная

постоянная, п - число витков обмотки, A - площадь, занимаемая обмоткой, х -угол отклонения магнитной силы от вертикали/горизонтали равный 22,5° (Рис. 2.6)), 5 - радиальный зазор, вектор обобщенных координат центров опорных участков ротора

Чь

XbA Х\ <<1 вх

Уьа У: + а1а1

хьв Х1 ~~I- а2в1

Уьв. У1 — <2а1^

(2.17)

2

2

1Ах, 1вх, 1Ау, 1ву - управляющие токи подшипников в соответствующих направлениях.

Рис. 2.6. Электромагнитные цепи радиальных подшипников

Векторы q и qb связаны соотношением

Чь =

(2.18)

При управлении по току предполагается, что требуемое значение тока управления будет обеспечиваться точно в любой момент времени. При подвесе легких роторов и наличии достаточного ресурса напряжения такой подход вполне оправдан и широко используется на практике [24].

В случае подвеса одностороннего действия ток смещения /0 вызывает постоянную магнитную силу, которая компенсирует силу тяжести. Для подвеса двустороннего действия, как отмечают в [24] существует определенный произвол в выборе значений токов смещения. Обычно на практике принимается значение

1о =

тах 2

(2.19)

Магнитное смещение, создаваемое токами /0, вызывает в подвесе предварительный силовой натяг. Управление силой происходит за счет увеличения натяга в одном направлении при одновременном его уменьшении в противоположном направлении.

2.2.2. Учет влияния электродвигателя на подвес

При включенном электродвигателе в правую часть уравнений движения (2.15) войдет матрица позиционных сил Ст

МЧ + ПОЧ = Тьг Еамв + СтЧ + рех1 + п2Оу (г).

(2.20)

Для электродвигателя длиной 1т расположенного в симметричном подвесе ротора согласно [24] матрица, учитывающая его влияние на подвес, имеет вид

С =

1 + кт 0 1 - кт 0 '

с ^т 0 1 + кт 0 1-кт

4 1-кт 0 1 + кт 0 ''

0 1-кт 0 1 + кт.

(2.21)

где ст - жесткость электродвигателя, кт

12

постоянная величина

3(а1 + а2)

(конструктивный параметр электродвигателя). Матрицы С и Ст связаны соотношением

С = Т1СТ

Ст ТЬ Сть-

(2.22)

С учетом (2.22) система уравнений движения (2.20) перепишется в виде

МЧ + ПОЧ + (-Ть1 СТь = Ть1 Еамв + Ре* + П20У (г). (2.23)

2.2.3. Учет гидродинамического сопротивления

Ротор, взаимодействующий с потоком жидкости, в данном случае крови, подвержен влиянию циркуляционных сил, обусловленных трением в жидкостном слое [6, 20, 42, 126, 161, 184].

Для тела, имеющего форму цилиндра коэффициент сопротивления (viscous drag coefficient) зависит от числа Рейнольдса Re [184], которое определяется выражением

Re = (2.24)

v

где r2 - радиус проточной части насоса, v - кинематическая вязкость жидкости, зависящая от среды и температуры. Значение коэффициента сопротивления в зависимости от числа Рейнольдса приведены в [184].

Выражение для гидродинамического момента имеет вид

MH = — cwnnr 2Ïa i — cwnnr 2Ï[3 j — cwnnr 2ÏQ e, (2.25)

где cw - коэффициент сопротивления среды, П - динамическая вязкость крови,

e = k —aj + |3i.

Кровь является неньютоновской многофазной суспензией, состоящей из плазмы, белых (лейкоцитов) и красных (эритроцитов) кровяных телец и тромбоцитов [137]. Часто моделирование движения крови в крупных сосудах основывают на допущении, что кровь является гомогенной несжимаемой ньютоновской жидкостью с постоянной вязкостью. Такому допущению имеется ряд обоснований. Кровь считают гомогенной, если она протекает по сосудам, диаметр которых на два порядка больше диаметра эритроцитов, что полностью соответствует условиям НВК (диаметр эритроцита человека ~ 7 - 8 мкм [179]; диаметр отводящих канюль ~ 25 мм). Речь идет об эритроцитах, поскольку их количество в обычных условиях на три порядка превосходит количество лейкоцитов и более чем на порядок - тромбоцитов. Именно содержание эритроцитов определяет реологические свойства крови. Из гемореологии известно, что при скоростях сдвига больше 100 1/с кровь ведет себя как ньютоновская жидкость (точнее, как псевдоньютоновская) [30, 137]. На Рис. 2.7

представлена зависимость динамическом вязкости крови п от линеинои скорости потока.

0-01 I ни)

Скорость сдщгга, 1Ус

Рис. 2.7. Зависимость динамической вязкости крови от скорости сдвига в модели

Карро-Яшида

Максимальное значение вязкости составляет 0,056 Па-с. Однако скорости сдвига в камере НВК, как правило, на несколько порядков превышают 100 1/с. В этой связи моделирование динамики ротора проведено при постоянной вязкости П = 0,003 Па- с. Поскольку имеет место диапазон значений, отдельно проведено исследование динамики ротора при п = 0,056 Па- с.

После преобразования вектор гидродинамического момента сопротивления имеет вид

1 1 Нх —а — Ов

1 Ну = сн,цпг 21 -в + Оа

/т. —О

(2.26)

Перепишем соотношения (2.26) в виде

Н

Б

0 0 0 0 00

0 0 0

^ = Нв4 + ПН8ч,

0 0 —с^г|пг I

0

2?

—с^Ппг I 0 0

Н

00

0

2

—с^ппг I

0 0 см,цкг21 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(2.27)

В уравнения движения (2.23) гидродинамическое сопротивление Ен войдет в правую часть

МЧ + ПОЧ + (—V СТь = Тьт Еамв + Ен + гех1 + О2 (г). (2.28) После чего с учетом (2.27) уравнения (2.28) примут вид

МЧ + (по — нс + (—Тьт СТь — ПН8 =...

= Тьт еамв + Еех1 + °20у(г )•

(2.29)

2.2.4. Внешние воздействия

В повседневной жизни и при профессиональной деятельности человек подвергается действию разнообразных ускорений. Мы испытываем воздействие ускорений при ходьбе, в транспорте, в лифте, при занятиях спортом, на аттракционах при посещении парков и во многих других случаях [61]. В этой связи ротор насоса вспомогательного кровообращения помимо циркуляционных сил, возникающих вследствие взаимодействия с потоком крови, подвергается воздействию внешних инерционных нагрузок, которые могут носить как кусочно-постоянный, так и гармонический характер.

На основании сказанного вектор внешних сил будет иметь вид

ех1

Рх + 4 ^п (Рг)

Ру + Ау 81п (рг)

Мх + вх 81п (рг) Му + в у 81п (рг)

(2.30)

где Рх, ¥у, Мх, Му - проекции внешнего кусочно-постоянного воздействия, Ах, Ау, Вх, Ву - амплитуды внешнего гармонического воздействия, р - частота внешнего гармонического воздействия.

2.3. Приведение уравнений движения ротора к безразмерному виду

Уравнения движения ротора аксиального насоса вспомогательного кровообращения с учетом гироскопического эффекта, нелинейной модели активного магнитного подвеса, циркуляционных сил вследствие вращения ротора в жидкостном слое, внешних воздействий кусочно-постоянного и гармонического характера и влияния неуравновешенности имеет вид

МЧ + (по — НБ )Ч + (—Тьт СТь — пн8 =...

= Тьт^амВ + Те* +П20У (г).

(2.31)

После замены переменных

х1 = хо'

х2 - ;

У1 = Уо' а1 = а в1 = в У2 = Л; а2=а1; в2=в1

(2.32)

и в развернутом виде для дальнейшего наглядного обезразмеривания будем иметь

ХС^ — ;

ШХ2 — -с„

цкг 2/а 2 + стх1 + (-а1 + а2 )в1 - с^пг + ¥Лх + ¥Вх + •••

+^х + Ах8т (рг) + тП2е С08(Пг); у1— У2;

ту2 — -С^ППГ2/^2 + СтУ1 + С2(«1 - «2)а1 + С^ПГ2/П^ + ^Ау + ^ + •••

2т 2

+ А^ш (рг) + тП2е Бт (Пг);

у 1 у а 1 — а 2;

/х<а2 — + ^(« -«2)У1 + СТ((«12 + «22)(1 + кт) - 2^(1 - кт))а + .

+«1^4; -«2^ + Мх + Б^ш(рг) + П21х - /*)с08(Пг);

в 1 — в2;

/хв2 — /гПа2 + ^ (-«1 + «2 ) Х1 + ^ ((«12 + «22 )(1 + кт )- 2^(1-кт ^

-я^ + «2^ + Му + Бу81п(рг) + П2ч( 1х - 4>1п(Пг),

(233)

где

^Ах — кА

^Ау — кА

( . \ 2 ( ■ \ 2

10 + 4 10 - 1Ах

5 \ - хЬА , 5 + хЬА ,

(• 2 ( • ■ \2

10 + 1Ау 10 1Ау

5 V - уЬА ) ,5 + уЬА

^Бх — кБ

^Бу — кБ

( . 10 + Б 2 ^ • 10 - 1Бх

5 \ - хЬБ ч 5 + хЬБ

(• , • \ + Б 2 г0 - Б

5- V - Уьб , ,5 + Уьб

^2

Приведем систему (233) к безразмерному виду [54, 88, 127] Для этого перейдем к безразмерным величинам по формулам, приведенным в Таблице 2^ С чертой обозначены безразмерные значения переменных - числовые меры, умноженные на соответствующий масштаб^

2

Таблица 2.

Формулы перехода к безразмерным величинам

г = гБ(

х1 = х1Бх

У1 = у13х

а1 = а13р

в = |ЗЛ 0^1 — о^Б ^

°2 — °23Ь

г0 = % Зг

^Ах = ^Ах31

^Ау = ^Ау 31

IВх = ^Вх31

IВх = ^Вх31

6=6Б,

Рх = Рх3Р

Ру - РуБР

Мх = М х3М

Му = М уБМ

г = 3

/ = Б

е = еБ^

Ах = А^х3 Р ,

Ау = Ау3Р

Вх = Вх3 М

Ву= Ву3М

п = пзО

Р = р3п

1 =

Процедура обезразмеривания системы (2.33) подробно приведена в П.1. Укажем, что в качестве независимых единиц размерности были выбраны следующие масштабы

Зх = 6,

Бг = I,

3 =

т

с

б -J1 >

г

(2.34)

где I - длина ротора, Р - электрическая мощность, ^ - сопротивление, соответствующие единицам измерения: м, с, А. Два масштаба - метр - введены ввиду наличия анизотропии в продольном и поперечном размерах исследуемого

объекта и связаны между собой отношением — = 6 = е. Остальные, указанные в

Таблице 2 масштабы, являются зависимыми по размерности и выражаются через выбранные (2.34). В процессе приведения модели ротора к безразмерному виду были выделены безразмерные комплексы - критерии подобия

п=f •

x

п2=mil, 2 h

з-2-i--(2.35)

п _ cwnnl r l^m / cm п h _ r '

" CmRb3'

После процедуры обезразмеривания (П.1) система уравнений (2.33) примет вид (с чертой обозначены безразмерные значения переменных)

Xi — Х2;

_ / _ _ (—а + а) — — — —

X2 _ пна2 + x + V 12 2 в -пHПв1 + fax + FBx +... +Fx + Axsin(pt) + Q2ecos (Qt);

У! _ y2;

_ / — _ (a — a) — — —

У2 _ —пнв + У1 + V 2 2Jai + пнQai + FAy + FBy +... +Fy + Ay sin (pt ) + Q2e sin (Qf);

- a 2 ;

a2 ' _ —ЩЩ, + п(«1 — «2 ) y1 + íb- ((a2 + a2 )(1 + km ) — 2«1«2 (1 — km ))»1 + ... +5^ FAy — ап 2 FBy + Mx + Bx sin (pt) + Q2Y(1 — ^cos^ 7); Й ' _e2; (2.36)

^ _ п1^а2 + f (—a1 + a2)x1 + ^ ((a12 + a2 )(1 + km) — 2a1a2(1 — km ' ' " —^п 2 Fax + а2п2 Fbx + My + Bysin ( pt) + — Щ )sin (Q 7),

где

x

Р = П

РАх 11К

Р = П

Р = П

РАу ~ ±±К

Р = П

РВу ~ 11К

( — —

\2

<0 + 1

Ах

(

2

<0 1Ах

5 — (х1 — а1в1) 5 + (х _ _ ^2 (

1 а1в1

<0 + *

Вх

5 — (х1 + а2Н1

<0 1Вх