Метод линейно-аппроксимирующей цифровой обработки сигналов в информационно-измерительных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Осипов, Лев Александрович

• Осипов, Лев Александрович
• доктор технических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор технических наук Осипов, Лев Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

1.1. Спектр периодического аналогового сигнала.

1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

1.3. Дискретная свертка функций.

Выводы по 1-й главе.

Глава 2. АЛГОРИТМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МИКРОПРОЦЕССОРНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ.

2.1. Одномерное двустороннее БПФ.

2.2. Двумерное БПФ.

2.3. Построение линейчатого спектра.

2.4. Дискретная фильтрация.

2.5. Эмуляция микропроцессоров ЦОС.

Выводы по 2-й главе.

Глава 3. МЕТОДОЛОГИЯ КОРРЕКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЙ ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Прямоугольная интерполяция входного сигнала.

3.3. Метод коррекции спектра суммой функционального ряда.

3.4. Методика оценки точности преобразования.

Выводы по 3-й главе.

Глава 4. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ РАВНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ.

4.1. Линейная с постоянным интервалом интерполяция сигнала.

4.2. Определение формул коррекции ограниченного спектра.

4.3. Оценка точности преобразования.

Выводы по 4-й главе. S

Глава 5. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ НЕРАВНОМЕРНЫХ ИНТЕРВАЛАХ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ.

5.1. Линейная с неравномерными интервалами интерполяция входного сигнала импульсного вида.

5.2. Коррекция ограниченного спектра

5.3. Оценка точности преобразования.

5.4. Правило отсчетов.

5.5. Аппроксимирующее преобразование периодических функций.

5.6. Аппроксимирующее преобразование четных функций.

5.7. Аппроксимирующее преобразование нечетных функций.

5.8. Сужение спектра с уменьшением явления Гиббса.

Выводы по 5-й главе.

Глава 6. ПРИМЕНЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ. 103 6.1 .Распечатка графиков с монитора.

6.2. Исследование переходных процессов.

6.3. Компрессия данных.

6.4. Восстановление и фильтрация сигналов

6.5. Применение метода к исследованию нелинейных систем.

6.6. Определение производных сигналов и идентификация систем.

6.7. Оптимизация программ аппроксимирующего преобразования.

6.8. Практическая реализация разработок.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод линейно-аппроксимирующей цифровой обработки сигналов в информационно-измерительных системах»

Диссертация является развитием исследований и результатов работ [17-23, 25, 26, 28-33], связанных с теоретическими вопросами обработки дискретных сигналов и их практической реализацией в конкретных системах. Работа над проблемой получения непрерывных выходных сигналов после дискретной обработки (цифровой фильтрации) входных сигналов велась в период с 1952 г. по 1999 г. Впервые проблему построения непрерывных траекторий по дискретных засечкам координат планет с помощью тригонометрических рядов поставил астроном Ф.Бессель (1838г.), им получены формулы дискретного преобразования Фурье, используемые и по сей день в системах цифровой обработки сигналов [1, 3, 6, 11, 13, 52, 54-57, 59-62].

Совершенствование методов цифровой обработки дискретных сигналов особенно важно для информационно-измерительных систем подвижных объектов (транспорта, аэро-космических комплексов, их измерителей бортовых данных, устройств автоматики и телемеханики), а также для робототехники [5]. Разработанный в диссертации новый (аппроксимирующий) метод цифровой обработки сигналов изложен в [3538,41-47].

Применение цифровой вычислительной техники для передачи, хранения и обработки аналоговых сигналов требует их представления в дискретных точках отсчета (дискретизация по времени) в виде числовых значений (квантование по уровню) [1]. Дискретное представление сигналов по сравнению с аналоговым обеспечивает более значительную помехоустойчивость, а их обработка на цифровых процессорах называемая цифровой обработкой сигналов - ЦОС) дает более высокую точность анализа сигналов и синтеза систем коррекции и фильтрации.

В сложных системах передачи и ЦОС отдельные звенья часто работают с различными частотами дискретизации и их сопряжение в едином функционирующем комплексе вызывает определенные трудности, связанные с получением после цифровой обработки значений выходного сигнала в промежутках между узлами. Разработка рациональных (по точности, требуемой памяти ЭВМ и времени реализации) численных методов ЦОС в таких сложных системах в [11] отнесена к разряду проблем. В данной работе рассматривается решение проблемы на основе преобразования Фурье, как наиболее удобном для реализации и распространенном в микропроцессорных системах ЦОС. Особенность такой реализации состоит в том, что требуется получить эффективное (в смысле наилучшее) решение в ограниченных технических возможностях конкретного микропроцессора (МП).

Разработанный метод, дающий сглаженный выходной сигнал, в значительной степени устраняет многие недостатки, свойственные дискретному преобразованию Фурье и Z-преобразованию.

При ЦОС интегралы, определяющие коэффициенты разложения Фурье (частотный спектр), заменяются на ограниченные суммы дискретных значений [6, 12, 13, 54-57, 59-62]. Особая роль дискретному анализу отводится в микропроцессорных системах цифровой обработки изображений, работающих в реальном времени [4, 58]. Для таких систем важна разработка экономичных методов запоминания и обработки сигналов. Эффективные методы обработки дискретных сигналов актуальны и для систем связи, телеметрии, диагностики и цифрового управления [1, 3, 34, 48, 53]. Не последнюю роль здесь играют и экономические показатели проектируемых микропроцессорных систем ЦОС.

Традиционные методы ЦОС - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и Z - преобразование осуществляют обработку сигналов, взятых в фиксированных точках отсчета с постоянными интервалами. В этих же точках получают и выходные сигналы, а промежуточные значения определяют посредством интерполяции накопленных массивов точечных расчетов. Замена непрерывных входных сигналов дискретными отсчетами вносит методические ошибки. Например, при ДПФ получают спектр с полосой частот 1/2Т (где Т - интервал дискретности) в то время, как полоса непрерывного сигнала должна быть не менее 1/Т (спектр прямоугольного импульса, заполняющего пробел между дискретами). Из-за погрешностей спектра при цифровой фильтрации на непрерывный выходной сигнал накладывается значительная волнистость (явление Гиббса).

Таким образом, цифровая обработка аналоговых и импульсных сигналов имеет серьезные проблемы при решении задач фильтрации, коррекции, определения переходных процессов, производных. Использование в этих задачах Z-преобразования вносит дополнительные ошибки и ограничения.

Многие системы автоматического управления технологическими процессами и комплексы робототехники работают на принципе времяимпульсной модуляции управляющих сигналов [5]. В таких системах нет регулярности поступления дискретных сигналов. Кроме того, эти системы часто имеют нелинейные элементы. Все это усложняет исследование и проектирование систем автоматического управления, работающих в ответственных комплексах.

Основные цели данной диссертации состоят: - в разработке методов и алгоритмов цифрового спектрального анализа аналоговых и импульсных сигналов, дискретизированных с произвольными интервалами, с целью исключения недостатков обычного ДПФ и ускорения вычислительных процессов;

- в разработке алгоритмов синтеза временного сигнала в виде, удовлетворяющем требованиям его последующего использования (выходной сигнал системы ЦОС должен быть непрерывным, не иметь заметной волнистости, обеспечивать адекватное восприятие, допускать съём его значений в произвольные моменты времени);

- в разработке алгоритмов решения задач определения переходных процессов, фильтрации, дифференцирования и формирования управляющих сигналов с использованием частотных методов теории непрерывных автоматических систем;

- в разработке алгоритмов исследования нелинейных систем;

-в разработке рационального правила отсчетов для аналоговых входных сигналов и их компактного дискретного представления на носителях цифровой информации;

- в разработке комплекса программ для исследования и проектирования систем ЦОС.

В имеющихся работах рассматриваются задачи ЦОС в основном при равномерных интервалах дискретизации, приводятся расчеты по различным формулам обработки, но только в узловых точках и отсутствуют расчеты при непрерывных значениях аргументов [12, 6062]. Для подавления явления Гиббса применяют коррекцию импульсных характеристик [6]. Работы по аппроксимирующим спектрам с ограниченной полосой частот нам неизвестны.

Учитывая эти обстоятельства, в диссертацию включены две главы, цель которых проанализировать возможности алгоритмов ДПФ для получения непрерывных выходных сигналов. В 1-й и 2-й главах введены обозначения, получены различные варианты формул ДПФ и выполнены расчеты для типовых процессов, что позволило оценить их 7 точность и в последующих главах сравнить с ними результаты расчетов по новым аппроксимирующим формулам. Учитывая, что в различных источниках формулы преобразования Фурье могут отличаться в множителях или в знаках отдельных элементов, в этих главах определяется единая для данной работы форма записи математических зависимостей. Такой подход позволил избежать ссылки на внешние источники (с соответствующими им пояснениями) и этим сократить объём работы.

В эти главы включены также разработанные инструменты для исследования и проектирования ЦОС: программы построения и распечатки графиков и линейчатых спектров, а также программный эмулятор сигнального микропроцессора типа ADSP-21xx. Рассматриваются алгоритмы и программы быстрого преобразования Фурье (БПФ) векторов и матриц, что важно для микропроцессорных систем ЦОС. Дается анализ методов повышения быстродействия ДПФ за счет табличного ввода некоторых функций и исключения в программах операций деления.

Назначение этого материала состояло в определении эффективных путей совершенствования ДПФ на основе анализа его возможностей по получению непрерывных выходных сигналов. Выводы по главам 1 и 2 конкретизировали направление исследований по диссертации.

Разработка и исследование нового метода ДПФ приводятся в главах 3-6. В главе 3 формируются методики построения аппроксимирующих преобразований Фурье, сжатия бесконечных спектров и оценки точности разработанных формул и алгоритмов.

В главе 4 разрабатывается и исследуется метод линейно-аппроксимирующего преобразования при равных интервалах дискретизации, а в главе 5 - при неравных интервалах. 8

Аппроксимирующие свойства процесса цифровой обработки (определение выходного сигнала при произвольном времени) обеспечиваются новым подходом к построению частотных спектров. Для получения коррекций и сжатия спектров, разработан способ достаточно точного определения сумм бесконечных функциональных рядов.

Вычислительным экспериментом определено, что разработанный аппроксимирующий метод обеспечивает высокую точность двойного (прямого и обратного) преобразования Фурье, а применение полученной коррекции по существу не расширяет по сравнению с обычным ДПФ спектр практически непрерывного сигнала. В 5-й главе сформулировано также правило взятия отсчетов с аналоговых сигналов по уровню второй центральной разности. Показано существенное снижение волнистости воспроизводимых процессов между узлами. Сглаженные и практически непрерывные процессы позволяют применением экстраполяции или увеличением частоты съёма сигналов рассогласования повысить устойчивость цифровых систем управления.

В главе 6 даны методики применения аппроксимирующего преобразования в различных типовых задачах ЦОС. Программно реализованы алгоритмы применения разработанного метода для исследования переходных процессов, фильтрации и коррекции сигналов в автоматических системах, в том числе и в системах, содержащих нелинейные элементы и дифференциаторы. Определен алгоритм компрессии данных, сохраняемых на носителях информации.

Весь теоретический материал подтвержден расчетами и графиками, полученными на ЭВМ с использованием разработанных формул и программ. Материал может читаться без анализа программ.

Программы и контрольные расчеты по ним вынесены в Приложение и обозначены как рисунки с номерами, начинающимися с буквы П. К ним 9 можно обращаться для сверки формул и контроля решений, полученных другими методами. Приведенный в Приложении комплекс из 36 программ имеет и самостоятельное практическое значение как инструмент для исследования различных процессов в системах ЦОС. Программы комплекса используются в учебном процессе и в научных исследованиях. Этому способствовало включение разработанных программ в изданное учебное пособие [43] и в монографию [46].

Список литературы содержит работы, наиболее близко связанные с темой диссертации. Из 100 печатных работ автора в список включено 35. Сделаны выводы о работоспособности, обеспечиваемой точности и областях применения разработанного метода линейно-аппроксимрующей цифровой обработки сигналов.

По выполненным исследованиям приведен перечень их практической реализации (наиболее важным из них является разработка программного обеспечения 1-го в стране авиационного комплекса с бортовой ЭВМ, принятого на вооружение и отмеченного Государственной премией [22,23]).

Области применения разработанного метода ЦОС:

- системы радиосвязи, радиолокации, радионавигации, телевидения;

- системы обработки информации от бортовых устройств и приборов;

- комплексы цифровой обработки телеметрической информации;

- системы автоматического и автоматизированного управления;

- цифровые комплексы технической диагностики;

- цифровые системы медицинской диагностики (томографии);

- комплексы автоматизации производственных процессов и робототехники.

Рациональное решение этих задач актуально для научных исследований и практического применения во многих отраслях народного хозяйства.

Диссертация ориентирована на техническое и прикладное назначение и ее математическая часть изложена в стиле, рекомендованном в книге [9]. Микропроцессорная реализация алгоритмов потребовала приведения полученных формул к экономичной вычислительной схеме. В частности, для исключения в алгоритмах операций деления или вычисления стандартных и специальных функций (в МП это требует соответственно в 16 и в 25 раз больше времени вычислений, чем сложение или умножение [14]) все выведенные в работе формулы приводятся, по-возможности, с помощью метода наименьших квадратов к степенным полиномам, вычисляемым по схеме Горнера.

Для оценки точности и времени микропроцессорной реализации алгоритмов потребовалось разработать программный эмулятор МП, как это делалось в работах [22, 23, 25] при проектировании специализированных систем ЦОС.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Осипов, Лев Александрович

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В работе рассмотрены алгоритмы и программы ЦОС, основанные на методах современного спектрального анализа, а также разработаны и программно проверены новые методы решения таких задач. По проведенным анализу и исследованиям можно сделать следующие выводы.

1.Обычное ДПФ при использовании решетчатых функций с равными интервалами дискретности во многих практических задачах не обеспечивает эффективной и рациональной цифровой обработки аналоговых сигналов.

2.Актуальной проблемой является разработка методов цифровой обработки аналоговых сигналов, обеспечивающих восстановление функций времени вне точек отсчета, интервалы между которыми могут быть неравномерными, без применения интерполяции на конечном этапе.

3.Наиболее рациональным методом для решения поставленной задачи является гипотеза о кусочно-линейной интерполяции исходного дискретного сигнала и применение к ней преобразования Фурье. Прямоугольная интерполяция такого сигнала между точками отсчета или интерполяция полиномами 2-й и более высоких степеней являются нерациональными: 1-й - по причине невысокой точности, а 2-й - из-за сложности вычислительного алгоритма и увеличения инструментальных погрешностей.

4.Доказана теорема, что линейно-аппроксимирующее преобразование обеспечивает в среднем более высокую точность обработки сигналов по сравнению с обычным дискретным преобразованием Фурье. Вычислительным экспериментом определено, что точность фильтрации и восстановления непрерывных сигналов увеличивается в 2-4 раза. При простом восстановлении сигналов по спектру ошибки в узловых точках не выходили за сотые доли %.

5.При равномерных интервалах дискретизации для получения аппроксимирующего спектра выведены зависимости для множителей, корректирующих составляющие спектра простого ДПФ (БПФ). Показано, что при такой коррекции для кусочно-линейного (по существу непрерывного) входного сигнала не требуется расширение спектра сверх частоты fM=l/T, где Т - интервал дискретизации. Восстанавливаемый сигнал в точках отсчета воспроизводится практически точно, а между ними близок к линейной интерполяции, имея небольшие закругления в окрестности угловых точек.

6.Для определения корректирующих множителей получены простые аппроксимации на основе разработанного способа вычисления сумм бесконечных медленно сходящихся функциональных рядов.

7.Для неравномерных интервалов дискретизации определены формулы составляющих линейно-аппроксимирующего спектра. Показано, что формулы обеспечивают высокую точность восстановления исходного сигнала при количестве составляющих M=tN/Tmin и обеспечении целыми всех отношений Tn/Tmin, где tN - отрезок наблюдения; Tmin - минимальный из интервалов дискретизации Tn , n=l.N - номера отсчетов.

ЪЪ

8.При равных интервалах дискретности метод аппроксимирующего преобразования для неравных интервалов, приводит к форме преобразования Фурье, в котором дискретные отсчеты функции заменяются ее 2-ми центральными разностями.

9.Показано, что линейно-аппроксимирующее преобразование существенно (в 3-5 раз) подавляет всплески и волнистость (явление Гиббса), присущие преобразованию Фурье при ограниченном количестве членов ряда, когда имеются разрывы исходной функции или ее производных. В разработанном методе существенно ослабленно влияние разрывов производных на вид восстанавливаемых функций.

10.В разработанном методе существенная часть составляющих спектра определяется суммой, элементы которой пропорциональны вторым разностям исходной функции. Отсюда сформулировано правило отсчетов, согласно которому внутри участков, где первые производные меняются незначительно (вторые разности малы), отсчеты можно не делать, чем обеспечить сокращение количества данных, сохраняемых на носителях информации (компрессию данных).

11.Аппроксимирующий линейчатый спектр соответствует непрерывному сигналу и в работе показано, как полученные формулы непосредственно используются в алгоритмах аналоговых систем при исследовании переходных процессов или фильтрации. Приведены примеры прямого получения производных высоких порядков для дискретных сигналов.

12.Из различных видов аппроксимирующих формул, приведенных в работе, наиболее предпочтительным является косинус-преобразование. Во-первых, для него требуется в 2 раза меньше коэффициентов разложения, во-вторых, такое преобразование не имеет проблемы граничных точек (значения исходной функции в нулевой и в последней точках могут не совпадать, кроме того, упрощается сочленение соседних отрезков функции, обрабатываемой по частям). Такое преобразование особенно удобно для аппроксимации табличных функций, заданных с неравномерными интервалами аргумента.

13.Разработан алгоритм и показано применение линейно-аппроксимирующего преобразования при неравномерных интервалах дискретности для исследования автоматических систем с нелинейными элементами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Существо разработанного метода состоит в том, что по взятым с аналогового сигнала дискретным отсчетам строится и корректируется спектр с ограниченной полосой, позволяющий восстановить линейно-аппроксимированный выходный сигнал в любой момент времени без процедур интерполяции. Использование метода снимает ряд проблем цифровой обработки сигналов. Кратко перечислим основные элементы и возможности метода:

- формулы и программы определения аппроксимирующего спектра непосредственно по отсчетам входного сигнала с равномерными или неравномерными интервалами дискретизации;

- коррекция частотного спектра, ограничивающая его полосу;

- метод определения сумм бесконечных функциональных рядов;

-восстановление с достаточно высокой точностью линейноаппроксимированного сигнала при непрерывных значениях аргумента;

- алгоритм аппроксимирующего преобразования по вычислительной сложности аналогичен алгоритму простого ДПФ;

- простое сопряжение нескольких систем, работающих с некратными частотами дискретизации;

- снижение явления Гиббса;

- возможность съёма сигналов управления в произвольные моменты времени, чем может быть обеспечено расширение области устойчивости автоматических систем;

- возможность непосредственного использования скорректированного линейчатого спектра в алгоритмах исследования непрерывных систем;

- простой алгоритм исследования нелинейных систем;

- возможность непрерывного вычисления производных входных дискретных сигналов;

- правило отсчетов по уровню второй производной входного сигнала, сокращающее количество суммируемых амплитуд сигнала;

- обеспечение компрессии данных, сохраняемых на носителях информации;

- возможность адекватной замены в исследованиях аналоговых машин и устройств цифровыми ЭВМ (с распечаткой непрерывных графиков).

В рамках данной работы разрешена проблема определения дискретного спектра ограниченной ширины, обеспечивающего восстановление в произвольные моменты времени (практически непрерывного) линейно-аппроксимированного сигнала. С помощью разработанных программ показана работоспособность и высокая точность аппроксимирующего метода на типовых задачах в основных процессах время-частотных преобразований сигналов. Для этого в течение четырех лет было составлено и отлажено более 200 программ ЦОС, 36 из которых приведены в Приложении.

В процессе работы были получены представления функций л sinTtx/rcx и (sin7cx/rcx) в виде бесконечных функциональных рядов.

Автор благодарен всем, принявшим участие в обсуждении представленного здесь материала, за конструктивную критику и предложения по его совершенствованию, а также по конкретным задачам для решения разработанным методом.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Осипов, Лев Александрович, 2002 год

1.Баранов J1.A. Квантование по уровню и временная дискретизация в цифровых системах управления.-М.: Энергоатомиздат, 1990.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Электронный учебник для вузов. М.: МГУ, 2001.

3. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы.-М.: Радио и связь, 1986.

4. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. С-Пб, Военный университет связи, 1999.5 .Времяимпульсные системы автоматического управления / Под ред. И.М.Макарова.-М.: Наука.Физматлит,1997.

5. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ.-М.: Сов. радио, 1973.

6. Гольдман С. Гармонический анализ, модуляция и шумы. Пер. с англ.-М.: 1951.

7. Горелов Г.В. Нерегулярная дискретизация сигналов.-М.: Радио и связь, 1982.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы: Электронный учебник. М: МГУ, ИПМ РАН, 2001.

9. Ю.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ.-М.: Наука, 1974.

10. П.Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа.-М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1974.

11. Кузин JI.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Машгиз, 1962.

12. З.Логинов В.А. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов. М.: МЭИ, 2000.

13. Н.Марков С. Цифровые сигнальные процессоры. Кн.1.-М.: МИКРОАРТ, 1996.

14. Осипов Л.А. О помехоустойчивости автоматическогоимпульсного радиодальномера: Монография. Труды ВЦ-3 МО, 1957, вып. 2. 36 с.

15. Осипов Л.А. Параметрическая оптимизация нелинейной импульсной автоматической системы// Теория и системы управления,-М.: Изв. РАН, 1995, №6, с.71-82.

16. Осипов Л.А. (отв. исп.) . Разработка методов теоретического определения технических требований к бортовым ЦВМ: Отчет по1. НИР. ВЦ-3 МО, 1958.

17. Осипов JI.A. Алгоритм быстрого преобразования Фурье//

18. Научно-мет. сб./ Под ред. И.Е.Казакова.-М.: ВВИА, 1978.

19. Осипов JI.A., Огурцов В.К. Процедура двумерного быстрого преобразования Фурье// Научно-метод. материалы.-М.: ВВИА, 1979.

20. Осипов JI.A. Язык аналитик и его сравнение с языками алгол и фортран: Библиотека программиста. -М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.- 160 с.1. МА

21. Осипов JI. А. Процедуры быстрого преобразования Фурье//Учебное пособие "Алгоритмический язык ПЛ/Г'.-М.: ВВИА, 1983.32.0сипов Л.А. Программирование боевых задач на алгоритмических языках: Учебник для вузов.-М.: ВВИА, 1984.- 190с.

22. Осипов Л.А. Процедуры аппроксимирующего преобразования функции времени в дискретный спектр// "Актуальные проблемы и перспективы развития железножорожного транспорта". Тез. докл. 3-й межвуз. научно-мет. конф.-М.: РГОТУПС, 1998.

23. Осипов Л.А. Аппроксимирующее преобразование Фурье дискретных функций и его приложение// Сб. научных трудов по материалам международной конференции.-М.: РГОТУПС, 2001, с.489-490.

24. Осипов Л.А. Обработка сигналов на цифровых процессорах. Линейно-аппроксимирующий метод: Монография.-М.: Горячая линия -Телеком, 2001. 114 с.

25. Поляков Д.В., Круглов И.Ю. Программирование в среде Турбо-Паскаль (версия 5.5). -М.: МАИ, 1992.

26. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ.-М.: Мир, 1978.

27. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа.-М.: Физматгиз, 1980.

28. Романюк Ю.А. Основы обработки сигналов: Учебное пособие. -М.: МФТИ, 1989.

29. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов.-С-Пб, Питер, 2002.

30. Солодовников В.В. Введение в статистическую динамику систем автоматического управления.-М.: ГИТТЛ, 1952.

31. Фролов А.В., Фролов Г.В. Мультимедиа для Windows.-M.: Диалог МИФИ, 1996.

32. Харкевич А.А. Спектры и анализ. -М.: ГИФМЛ, 1962.

33. Цифровая обработка сигналов: Справочник / Л.М.Гольден-берг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк.-М.: Радио и связь, 1985.

34. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов/ Л.М.Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк.-М.: Радио и связь, 1990.

35. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. -М.: Наука, ГРФМЛ, 1977.

36. Atzeni С., Masotti L. A new sampling procedure for the synthesis of linear trasversal filters. IEEE Trans., 1971, July, AES-7, №4, pp. 662-670.

37. Vaidyanathan P.P., Phoong S-M. Discrete time signals which can be recovered from samples. Proc. IEEE Int. Conf. Acoust. Speech, and Signal Proc., Detroit, pp. 1448-1451, May 1995.

38. Unser M. Sampling 50 years after Shannon. Proc. of the IEEE, vol. 88, no. 4, pp. 569-587, April 2000.