Разработка методов автоматизированного формирования процедур расчета движения механических систем космических манипуляторов для полунатурного моделирования процессов управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Яскевич, Андрей Владимирович

• Яскевич, Андрей Владимирович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Яскевич, Андрей Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. ОБЗОР МЕТОДОВ АВТОМАТИЗАЦИИ ПОЛУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯТОРОВ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Значение автоматизации моделирования механических систем при отработке операций, выполняемых космическими манипуляторами

1.2. Обобщенные алгоритмы моделирования динамики механических систем со структурой дерева

1.2.1. Описание движения тел в обобщенных алгоритмах моделирования

1.2.2. Методы учета связей механической системы о структурой

дерева

1.2.3. Вычислительные свойства уравнений динамики в замкнутой

форме

1.2.4. Методы составления уравнений движения систем деформируемых тел

1.2.5. Рекуррентные алгоритмы определения движения механических систем со структурой дерева

1.2.6. Параллельные вычисления в динамике механических систем

1.3. Упрощение математических выражений при автоматизированном формировании уравнений движения механических систем

в символьном виде

1.3.1. Влияние методов получения и формы записи уравнений движения на возможность оптимизации вычислений при

расчете их коэффициентов

1.3.2. Прямые методы упрощения математических выражений

1.3.3. Структура данных для представления математических выражений в системах символьных преобразований

1.3.4. Обратные методы упрощения математических формул

1.4. Постановка задачи исследования

Глава 2. НАИБОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ

ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ МАНИПУЛЯТОРОВ И ИХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

2.1. Комбинированный метод упрощения математических выражений при формировании уравнений движения механических систем

2.2. Получение неизбыточной векторно-матричной записи рекуррентных уравнений движения механических систем

твердых тел со структурой дерева

2.2.1. Модифицированные блочно-матричные рекуррентные

уравнения динамики

2.2.2. Автономные векторно-матричные соотношения для поступательного и углового движений тел

2.3. Уравнения деформационного движения упругих звеньев

2.4. Вычислительные свойства скалярных выражений, определяющих элементы векторов и матриц

2.4.1. Особенности скалярных выражений, определяющих геометрические параметры кинематической цепи

2.4.2. Структура скалярных кинематических соотношений

2.4.3. Оптимизирующие формулы для обратного

рекуррентного процесса вычислений

2.4.4. Альтернативное определение выражений в матрице

нескомпенсированной инерции вращательного движения

2.4.5. Возможность упрощения скалярных выражений

для расчета ускорений переносного движения

2.4.6. Вычислительные свойства уравнений деформационного движения

2.5. Выводы по второй главе

Глава 3. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА СИМВОЛЬНЫХ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ-ПРОЦЕДУР РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1. Общая последовательность формирования и упрощения

процедур расчета движения механической системы

3.2. Реляционная модель данных для представления

символьных математических выражений

3.2.1. Кодирование бесскобочных сумм

3.2.2. Описание операндов скалярных математических выражений

3.2.3. Хранение векторов и матриц в системе символьных преобразований

3.3. Символьная реализация математических операций, используемых в уравнениях движения механических систем

3.3.1. Модель данных для выполнения скалярных и векторно-матричных символьных операций

3.3.2. Математические операции на множестве бесскобочных сумм

3.3.3. Реализация символьных векторно-матричных операций

3.4. Устранение избыточных математических операций

в процедурах расчёта движения механических систем

3.4.1. Определение состава используемых констант и переменных

3.4.2. Предварительная генерация альтернативных вариантов

записи совместно упрощаемых скалярных выражений

3.4.3. Процедура исключения повторяющихся произведений

3.5. Выводы по третьей главе

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯТОРА

ДЛЯ ПОЛУНАТУРНОЙ ОТРАБОТКИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ КОСМИЧЕСКИХ СБОРОЧНЫХ ОПЕРАЦИЙ

4.1. Достоинства метода полунатурной отработки

4.2. Кинематическая схема и структура системы управления 6-степенного дистанционно управляемого манипулятора

4.3. Интегрирование уравнений движения приводов

4.4. Вычислительные характеристики процедур расчета движения

4.5. Выводы по четвертой главе

Выводы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов автоматизированного формирования процедур расчета движения механических систем космических манипуляторов для полунатурного моделирования процессов управления»

ВВЕДЕНИЕ

Принципиальной проблемой наземной отработки операций, выполняемых с помощью космических манипуляторов, является невозможность самостоятельного функционирования их механических исполнительных систем в условиях действия поля силы тяжести. Вследствие этого возрастает роль программных и полунатурных комплексов моделирования. Из-за отсутствия точной привязки систем координат космических манипуляторов к рабочей среде и наличия погрешностей позиционирования одним из основных режимов их управления является полуавтоматический, с участием человека- оператора. Поэтому программное или полунатурное моделирование динамических операций необходимо осуществлять в реальном масштабе времени.

Наиболее сложной подсистемой манипуляторов, с точки зрения объема необходимых при моделировании вычислений, являются их исполнительные механизмы. Для космических манипуляторов эта сложность значительно возрастает вследствие необходимости обязательного учета упругости конструкции их исполнительных механизмов, то есть введения в модель движения большого числа неуправляемых степеней свободы.

Автоматизация получения уравнений и процедур расчета движения манипуляторов позволяет сократить сроки разработки и, что особенно важно, увеличить надежность программного обеспечения. Но существующие методы решения этой задачи обладают значительной вычислительной избыточностью. Поэтому получаемые на их основе программы не могут обеспечить расчет динамических процессов в реальном масштабе времени без использования очень мощного компьютера. Поэтому актуальной является задача совмещения достоинств автоматизации получения и высокого быстродействия процедур расчета движения этого класса управляемых механических систем.

Целью настоящей работы является разработка методики автоматизированного формирования вычислительных процедур, гарантирующих расчет

сложных моделей исполнительных механизмов космических роботов - манипуляторов с помощью минимального числа математических операций, в реальном масштабе времени.

Задача решается

- выбором и модификацией наиболее эффективных формулировок уравнений движения механических систем, имеющих структуру дерева и состоящих из твердых и деформируемых тел;

- применением нового комбинированного метода исключения избыточных математических операций, основанного на анализе вычислительных свойств, лежащих в их основе скалярных динамических и кинематических соотношений, и на совместном использовании оптимизирующих формул и новой специализированной системы символьных преобразований;

- оптимизацией обмена данными между процессором и оперативной памятью компьютера с учетом свойств неизбыточных скалярных математических выражений.

Возможности разработанной методики демонстрируются на примере создания математической модели движения манипулятора многоразового космического корабля и полезного груза. Материалы диссертации используются в ракетно-космической корпорации "Энергия" им С.П. Королева для разработки алгоритмического и программного обеспечения системы управления 6-степенным динамическим стендом, предназначенным для полунатурной отработки космических роботизированных операций.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка цитируемой литературы. В первой главе анализируются источники вычислительной избыточности в двух основных подходах к автоматизации составления уравнений динамики механических систем, использующих обобщенные алгоритмы моделирования и программные системы для формирования соответствующих вычислительных процедур в символьном виде. Обосновыва-

ется малая эффективность параллельных алгоритмов расчета прямой задачи динамики. Излагается постановка задачи исследования.

Во второй главе излагается идея комбинированного метода упрощения математических выражений. Определяются ограничения, вытекающие из конструктивных особенностей космических манипуляторов и позволяющие локализовать разнообразие свойств математических соотношений, лежащих в основе предлагаемого метода. На основе наиболее экономичных матричных рекуррентных уравнений движения систем твердых тел и принципа разделения переносного и деформационного движений выводится новая формулировка уравнений, которая, при условии ее символьной реализации, требует выполнения минимального числа элементарных математических операций. Она ориентирована на использование линейных неявных методов интегрирования, обеспечивающих расчет процессов в реальном масштабе времени. Исследуются вычислительные свойства соотношений, определяющих коэффициенты уравнений и для векторно-матричных слагаемых, содержащих одинаковые сомножители, определяются оптимизирующие формулы, исключающие априорно избыточные операции.

В третьей главе описывается разработанная автором специализированная система символьных преобразований, в которой программируются стандартные векторно-матричные операции и оптимизирующие формулы. Она предназначенная для окончательного исключения всех избыточных вычислений. Лежащая в ее основе новая реляционная модель данных учитывает структуру выражений в неизбыточных уравнениях движения и позволяет реализовать простые и эффективные алгоритмы их автономного и совместного упрощения. Описывается основанная на этой модели реализация в символьном виде математических операций. Оптимизация вычислений выполняется в два этапа и начинается с формирования макета процедуры расчета движения, определения кратности использования промежуточных переменных. Далее для отдельных групп совместно упрощаемых математических выражений осуществляется оп-

тимальное исключение повторяющихся произведений. Глобальная минимизация объема вычислений обеспечивается непосредственным сравнением альтернативных вариантов символьной реализации математических формул.

В четвертой главе приведены результаты разработки математической модели движения космического робота-манипулятора, предназначенной для полунатурного моделирования сборочных операций на 6-степенном динамическом стенде. Описываются особенности расчетной схемы упругих звеньев и использование линейного неявного метода интегрирования для моделирования нелинейного привода. Определены характеристики сформированных автоматически вычислительных процедур, которые обеспечивают расчет движения манипулятора значительно быстрее протекания динамических процессов. В заключении работы приведены выводы.

На основании проведенного исследования на защиту выносятся:

1. Новая наиболее эффективная в вычислительном отношении формулировка уравнений движения механических систем манипуляторов.

2. Новый комбинированный метод упрощения математических выражений, позволяющий обеспечить глобальный минимум объема вычислений при расчете движения механических систем.

3. Модель данных, алгоритмы реализации математических операций и исключения избыточных вычислений в новой специализированной системы символьных преобразований.

4. Математическая модель движения космического манипулятора, предназначенная для расчета в реальном масштабе времени при отработке процессов управления.

Отдельные результаты работы докладывались на конференции "Опыт создания и внедрения методов и средств проектирования и расчета динамических систем и процессов с учетом показателей сложности" (Москва, 1985г.), на всесоюзной научно-технической конференции "Техническое и программное обеспечение комплексов полунатурного моделирования" (Гродно, 1988 г.), на

всесоюзном совещании "Методы компьютерного конструирования моделей классической и небесной механики-89" (Ленинград, 1989 г.); на XXXI и XXXIV научно-технических конференциях РУДН (Москва, 1995 г., 1998 г.); на международной конференции 'New Computer Technologies in Control Systems, NCTCS-95' (Pereslavl-Zalessky, Russia, 1995); на 2-м международном симпозиуме "Интеллектуальные системы", INTELS'96 (Санкт-Петербург, 1996 г.); на международной конференции "Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении" (Саратов, 1997 г.); на 3-й международной научно - практической конференции "Пилотируемые полеты в космос" (Звездный городок, 1997 г.).

По основным положениям диссертации опубликовано 16 печатных работ.

Полученные результаты актуальны также для математического моделирования, осуществляемого не в режиме реального времени, так как позволяют существенно сократить время анализа динамики проектируемых космических роботизированных технологических процессов. Они могут быть распостране-ны на управляемые механические системы более сложной структуры, например, имеющие кинематические контуры.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Яскевич, Андрей Владимирович

158 ВЫВОДЫ

1. На основе анализа вычислительной избыточности методов автоматизации получения уравнений движения механических систем определена последовательность формирования и оптимизации процедур расчета движения исполнительных систем манипуляторов. Предложен комбинированный метод исключения избыточных вычислений, объединяющий достоинства прямых и обратных методов упрощения математических выражений.

2. Среди наиболее экономичных рекуррентных формулировок уравнений движения систем твердых тел определена максимально эффективная. Получена ее модификация, наилучшим образом сочетающаяся с различными вариантами моделей упругих деформаций звеньев.

3. При записи неизбыточных автономных рекуррентных соотношений для поступательного и вращательного движений тел механической системы использованы прямые правила упрощения, основанные на исключении повторяющихся векторно-матричных операций и использовании ранее известных и вновь разработанных оптимизирующих формул

4. На основе гипотезы о разделении переносного и деформационного движений получены автономные уравнения упругих колебаний звеньев, ориентированные на неявные линейные методы интегрирования, обеспечивающие расчет жестких дифференциальных уравнений в реальном масштабе времени. Разреженность и постоянство матриц коэффициентов этих уравнений обеспечивает высокую вычислительную эффективность этих уравнений при условии их символьной реализации.

5. Определена свойства скалярных выражений уравнений движения и условия полного исключения избыточных математических операций в специализированной системе символьных преобразований.

6. Предложена новая реляционная модель данных для специализированной системы символьных преобразований, которая учитывает особенности

скалярных выражений в неизбыточных уравнениях движения, обеспечивает эффективное исключение избыточных вычислений и простоту реализации алгоритмов символьных преобразований. На основе этой модели разработаны алгоритмы символьной реализации скалярных и векторно-матричных математических операций по стандартным и оптимизирующим формулам.

7. Разработан алгоритм определения используемых переменных и соответствующих им скалярных выражений, определена последовательность исключения в них повторяющихся произведений. Реализация и сравнение результатов упрощения математически эквивалентных, но альтернативных по форме математических выражений позволяет определить глобально оптимальную последовательность вычислений.

8. Получены вычислительные процедуры расчета в реальном масштабе времени движения 6-степенного упругого космического манипулятора для реализации в системе управления динамическим стендом, предназначенном для полунатурной отработки роботизированных сборочных операций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Яскевич, Андрей Владимирович, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Медведев И.С., Лесков А.Г., Ющенко A.C. Системы управления ма-нипуляционных роботов. - М.: Наука, 1978. - 416 с.

2. Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы: Динамика и алгоритм. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

3. Кулаков Ф.М. Супервизорное управление манипуляционными роботами. - М.: Наука, 1980. - 448 с.

4. Динамика управления роботами /Под ред. Е.И.Юревича. - М.: Наука, 1984.-336 с.

5. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: теория и приложения. - М.: Наука, 1985. - 384 с.

6. Дистанционно управляемые роботы и манипуляторы /В.С.Кулешов, Н.А.Лакота, В.В.Андрюнин и др.; под общ. ред. Е.П.Попова. - М.: Машиностроение, 1986. - 328 с.

7. Черноусько Ф.Л., Болотник H.H., Гродецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. - М.: Наука, 1989. - 368 с.

8. Вукобратович М., Стокич Д., Кирчански Н. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами. - М.: Мир, 1989. -376 с.

9. Фу Л., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. - М.: Мир, 1989. - 624 с.

10. Шахинпур М. Курс робототехники. - М.: Мир, 1990. - 527с.

11. Лакота H.A., Рахманов Е.В., Шведов В.Н. Управление упругим манипулятором на траектории //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1980. - №2. - С.122-127.

12. Акуленко Л.Д., Болотник H.H. Об управлении поворотом упругого звена манипулятора //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1984. - №1. С.167-173.

13. Бурдаков С.Ф., Смирнова Н.А. Управление с обучением для упругого манипулятора в поле силы тяжести //Теория и системы управления. - 1992. -№2.-С. 168-172.

14. Kirk Kolin L., Doengi Frank L. Closed loop control of flexible Space Shuttle manipulator//Acta Astronáutica. - 1994. - V.32, №9. - P.561-576.

15. Юдин В.И. Анализ колебаний стрелы манипулятора //Прикладная механика. - 1980. - Т. 16, №10. - С. 108-115.

16. Иткин Б.М., Слиеде П.Б. Расчет упругих колебаний манипулятора методом конечных элементов //Вопросы динамики и прочности. - 1983. -Вып.41. - С.74-83.

17. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. - М.: Наука, 1981. -

180 с.

18. Luh J.Y.S., Walker M.W. Paul R.P.C. On-line computational schemes for mechanical manipulators //Journal of Dynamic System, Measurement and Control. -1980.-№ 102.-P.69-76.

19. Крутько П.Д., Дакота Н.А. Метод обратных задач динамики в теории конструирования алгоимтмов управления манипуляционных роботов. Задача стабилизации //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1987. - №3. -С.82-91.

20. Balafoutis С.А. A servey of efficient computational methods for manipulator inverse dynamics //Journal of Intelligence and Robotic Systems. - 1994. - V.9, №1-2. - P.45-71.

21. Акуленко Л.Д., Михайлов C.A., Черноусько Ф.Л. Моделирование динамики манипулятора с упругими звеньями //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1981.- №3. - С.118-124.

22. Вукобратович М., Потконяк В. Численный метод моделирования динамики манипулятора с упругими свойствами //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1981. - №5. - С.131-141.

23. Рахманов Е.В., Стрелков А.Н., Шведов В.Н. Разработка математической модели упругого манипулятора на подвижном основании //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1981.-№4.-С.132-138.

24. Черноусько Ф.Л. Динамика управляемых движений упругого манипулятора //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1981.- №5. - С. 142-152.

25. Structural Flexibility of the Shuttle Remote Manipulator System Mechanical Arm / P.K. Nguen, R. Ravindran, R. Carr a. o. //AIAA Guidance and Control Conference: Paper 82-1536-CP. - San Diego, 1982. - P.246-256.

26. Костин Г.В. Моделирование управляемых движений упругого электромеханического манипуляционного робота с упругими звеньями //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1991. - №4. - С. 182-188.

27. Батурин В.В., Гладков В.П. Динамическая модель многозвенного манипулятора с вращательными сочленениями на подвижном основании //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1993. - №4. - С.183-188.

28. Мухарлямов Р.Г. Численное моделирование в задачах механики //Вестник РУДН. Прикладная математика и информатика. - 1995. - №1. - С. 13 -28.

29. Охоцимский Д.Е., Платонов А.К., Смольянов Ю.П., Гримайло С.И., Камынин С.С., Кутушев Е.И. Исследование многооперационной сборки с помощью экспериментальной робототехнической системы //Роботизация сборочных процессов. - М.: Наука, 1985. - С.61-88.

30. Зенкевич С.Л., Назарова A.B., Надь Ш. Моделирование манипулятора в реальном масштабе времени //Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. -1991. - №2. - С.25-28.

31. Белоусов И.Р., Карташов В.А. Натурное моделирование движений манипулятора в реальном масштабе времени //Робототехника и автоматизированное пр-во. Программирование прикладных систем. - М.: Научный совет РАН, 1992. - С.214-218.

32. Robot like system for physical imitation of weightlessness on earth / F.M. Kulakov, V.B. Naumov, E.N. Smirnov a.o. //Proceedings of the International Conference Informatics and Control. - St. Petersburg, 1997. - V.3. - P. 1231-1236.

33. MDSF - A generic development and simulation facility for flexible, complex robotoc systems / О. Ma, K. Buhariwala, N. Roger a.o. //Robotica. - 1997. -V.15.-P. 49-62.

34. Space Station Robotics Task Validation and Training / D. Woods., M. Kearney, D. Crosse, M. Massimino. //Progress in Astronautics and Aeronautics. Teleoperation abd Robotics on Space . - Washington, AIAA Inc., 1994. - V.161. -P.475-489.

35. Yang Y.K., Kuo Y.M. A real-time simulator for the Shuttle manipulator system in the system engineering laboratory //Simulation. - 1991. - V.57, №1. - P.48-55.

36. Vesrasamy S. Berthing simulator for space statin and orbiter //Fourth Annual Workshop on Space Operations Applications and Research. - Houston: NASA Publication, 1991. - V.l. - P. 120-125.

37. Djurovic N., Vukobratovic M. Approximate Dynamic Models of Manipulation Robots //Robotica. - 1991. - V.9. - P.341-347.

38. ADAMS - The world's first choice for mechanical system simulation. -Ann Arbor: Mechanical Dynamics Inc., 1994. - 46 p.

39. DADS User's Manual. - Coralville: CADSi, 1994. - 314 p.

40. MECHANICA: Applied Motion. - San Jose: Rasna Corporation, 1993. -

35 p.

41. Pro/MECHANICA MOTION/EQUATIONS Guide for Release 18.0. -Waltham: Parametric Technology Corporation, 1997. - 244 p.

42. Аузинып Я.П., Слиеде П.В. Эффективный алгоритм автоматизации моделирования динамики механизмов на ЭЦВМ //Вопросы динамики и прочности. - 1980. - Вып.37. - С.5-12.

43. Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. - М.: Мир, 1980. -295с.

44. Елисеев С.В., Бутырин С.А., Свинин М.М. Исследование сложных манипуляционных систем средствами пакета прикладных программ ПАМИР //Пакеты прикладных программ.Функциональное наполнение. - Новосибирск: Наука, 1985.-С.51-61.

45. Величенко В.В. Матрично - геометрические методы в механике с приложениями к задачам робототехники. - М.: Наука, 1988. - 280 с.

46. Коноплев В.А. Конструирование агрегативных моделей механики носителя систем твердых тел //Прикладная математика и механика. - 1989. -Т.53, вып.1. - С.24-31.

47. Wicker J. Dynamic behavior of spatial linkages: Exact equation of motion //Transaction of the ASME. Ser. B. - 1969. - V.9, №1. - P.251-258.

48. Механика промышленных роботов: В 3 кн. /Под ред. К.В.Фролова, Е.И.Воробьева. - М.: Высшая школа, 1988. - Кн.1: Кинематика и динамика. -304 с.

49. Schwertassek R., Roberson R.E. A state - space dynamical representation for multibody mecanical system. Part I: system with tree configuration //Acta Mechanics - 1984. - V.50. - P.141-161.

50. Denavit J., Hartenberg R.S. A kinematic notation for lower - pair mechanisms based on matrices //ASME Journal of Applied Mechanics. - 1955. -June.-P.215-221.

51. Бутенин H.B., Фуфаев H.A. Введение в аналитическую механику. -М.: Наука, 1991.-256 с.

52. Kane T.R., Levinson D.L. Formulation of equation of motion for complex spacecraft //Journal of Guidance and Control. - 1980. - V.3, №2. - P.99-112.

53. Kane T.R., Levinson D.A. The use of Kane's dynamical equation in robotics //The International Journal of robotics research. - 1983. - V.2, №3. - P.3-21.

54. Walker M.W., Orin D.E. Efficient dynamic computer simulation of robotic mechanisms //Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. -1982.-V.104.-P.205-211.

55. Лурье А.И. Аналитическая механика. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

56. Ахо Ф., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. - М: Мир, 1979. - 536 с.

57. Аузинып Я.П. Неявный алгоритм моделирования на ЭЦВМ динамики пространственных механизмов с переменной структурой //Вопросы динамики и прочности. - 1983. - №43. - С.60-69.

58. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

59. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. - М.: Мир, 1988.-352 с.

60. Но J.Y.L. Direct path method for flexible multibody spacecraft dynamics //Journal of Spacecraft and Rockets. - 1977. - V.12. - P. 102-110.

61. Hughes P.C. Dynamics of a Chain of Flexible Bodies //Journal of Astronautical Sciences. - 1979. - V.27, №4. - P.359-380.

62. Hughes P.C., Sincarsin G.B. Dynamics of an Elastic Multibody Chain. Part B: Global Dynamics //Dynamics and Stability of Systems. - 1989. - V.3-4. -P.227-244.

63. Sincarsin G.B., Hughes P.C. Dynamics of an Elastic Multibody Chain. Part A: Body Motion Equation //Dynamics and Stability of Systems. - 1989. - V.4, №3-4. - P.206-226.

64. Krishnamurthy K., Yang L. Dynamic modelling and simulation of two cooperating structurally-flexible robotic manipulators //Robotica. - 1995. - V.13, №4. - P.375-384.

65. Болграбская И.П. Обоснование исследования динамических свойств упругого стержня на основе модели системы связанных тел //Прикладная математика и механика. - 1996. - Вып.2. - С.346-350.

66. Banergjee А.К. Dynamics and Control of the WISP Shuttle-Antennae System //The Journal of the Astronautical Sciences. - 1993. - V.41, №1. - P.73-90.

67. Леонтьев В.А. Оптимальная дискретизация распределенной упругости в расчетных моделях звеньев манипулятора //Роботы и манипуляторы в экстремальных условиях: Материалы 1-й всероссийской научно-технической конф. - СПб., 1992.- С.100-106.

68. Malanchuk J., Otis J., Bourer H. Efficient algorithms for solving systems of ordinary differential equations for ecosystem modelling. - Athens, 1980. - 148p.

69. Haier E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems //Springer Series in Computer Mathematics. - 1996. - V.14. -P.55-65.

70. Бате Л., Вилсон E. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

71. Леонтьев В.А. Многослойный линейный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений втрого порядка для жестко-осциллирующих динамических задач. - СПб., 1997. - 75с. (Деп. в ВИНИТИ 6 янв. 1997, №25-В97).

72. Sliede Р.В. Simulation of Dynamics of Robots with Flexible Actuating Mechanisms - Information control problems in manufacturing technology //IFAC Processing Series. - 1987. - №1. - P.233-237.

73. Чжан Л-У., Гамильтон Д.Ф. Моделирование манипуляторов с гибкими звеньями с помощью метода последовательного интегрирования //Современное машиностроение. Сер. Б. - 1991. - №9. - С.43-47.

74. Ellenbroek М.Н., Van Lent М. Efficient simulation of a flexible space manipulator arm //Integration Theory and Application in Applied Mechanics. -Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990. - P. 167-192.

75. D'Eleutario G.M.T., Damoren C.J. The relationship between recursive multibody dynamics and discrete-time optimal control //IEEE Trans. Rob. and Autom. -1991. - V.7, №6. - P.743-749.

76. Rodriguez G. Recursive forward dynamics for multiple robot arms moving a common task object //IEEE Trans. Rob. and Autom. - 1989. - V.5, №4. -P.510-521.

77. Brandl H., Johanni R., Otter M. An algorithm for the simulation of multibody systems with kinematical loops //The Theory of Machines and Mechanisms: Proceedings of the 7th World Congress. - Sevilla, 1987. - P.407-411.

78. Nasser M.G. Recursive Newton-Euler formulation of manipulator dynamics //Proc. of the Nasa Conference on Space Telerobotics. - 1989. - V.4. - P.309-319.

79. D'Eleutario G.M.T. Dynamics Of an Elastic Multibody Chain. Part C: Recursive Dynamics //Dynamics and Stability of Systems. - 1992. - V.7, №2. - P.61-89.

80. Armstrong W.W. Recursive solution to the equations of motion an N-link

th _____

manipulators //Proc. 5 World Congress Theor. Mech. and Mach. - Montreal, 1979. -V.2. - P.1343-1346.

81. Featherstone R. The calculation of robot dynamics using articulated-body inertias //International Journal of Robotics Research. - 1983. - V.2. - P.13-30.

82. Шабана А.А. Описание динамики гибких тел с использованием обобщенных уравнений Ньютона - Эйлера //Современное машиностроение. Сер.Б. -1991. - №2. - С.53-61.

83. Бае Д-С., Хуан Р-Ш., Хауг Е.Д. Рекурсивные формулы для моделирования динамики механических систем в реальном времени //Современное машиностроение. Сер. Б. - 1991. - №9. - С.47-56.

84. Binder Е.Е., Herzog J.H. Distributed computer and fast parallel algorithms in real-time robot control //IEEE Trans. System, Man and Cybernertics. -1986. - V.16, №4. - P.543-549.

85. Nigam R., Lee C.S.G. A multiprocessr-based controller for the control of mechanical manipulators //IEEE Journal Robotics and Automation. - 1985. - V.l, №4.-P. 173-182.

86. Khosla P.K., Ramos S. A comparative analysis of the hardware requirements for the Lagrange-Euler and Newton-Euler dynamics formulation //Proc. IEEE Int. Conference on Robotics and Automation. - Whashigton, 1988. - VI. - P.291-296.

87. Geffin S., Furth B. A dataflow multiprocessr for arm control //Int. Journal of Robotics Research. - 1990. - V.9, №3. - P.93-103.

88. Kircanski N., Petrovic Т., Vukobratovic M. Parallel computational of symbolic robot models of pipeline processor apchitectures //Robotica. - 1993. -V.l 1, №1. - P.37-47.

89. McKeever J.D.M., Holton D.R.W., McKeag R.M. Using transputers in a robot programming and control systems //Microprocess and Microprogramm. - 1992. - V.34, №1-5. -P.l 17-120.

90. Пупков K.A., Карпенко А.П. Моделирование динамических систем на транспьютерных сетях. - М.: Биоинформ, 1995. - 76 с.

91. Brat V., Bila J., Valasek M. The automatic derivation of equation of mition of a mechanical system //ACTA Technica CSAV. - 1981. - №6. - P.643-655.

92. Арайс E.A., Дмитриев B.M. Автоматизация моделирования многосвязных механических систем. - М.: Машиностроение, 1987. - 240 с.

93. Kircanski N., Vukobratovic М., Timcenko A. A new programm package for the generation of efficient manipulator kinematic and dynamic equations in symbolic form //Robotica. - 1988. - V.6, №4. - P.311-318.

94. Pogorelov D. On computer aided modelling of multibody systems with many degrees of freedom // Proceedings of new computer technologies in control systems international workshop. - Pereslavl-Zalessky, 1995. - P.57.

95. Берзтисс A.T. Структуры данных.- M.: Статистика, 1974. - 408 с.

96. Маурер У. Введение в программирование на языке ЛИСП. - М.: Мир, 1976. - 104 с.

97. Турчин В.Ф., Сердобольский В.И. Язык РЕФАЛ и его использование для преобразования алгебраических выражений //Кибернетика. - 1969. - №3. -С.58-63.

98. Программирование компонент системаналитических выкладок на РЕФАЛЕ / О.М. Городецкий, Д.М. Климов, А.В. Корлюков, Л.В. Проворов. -М., 1987. - 24 с. (Препринт ИПМ АН СССР, № 295).

99. АНАЛИТИК: алгоритмический язык для описания вычислительных процессов с использованием аналитических преобразований / В.М. Глушков, В.Г. Бондарчук, Т.А. Гринченко и др. //Кибернетика. - 1971. - №3. - С. 102-134.

100. АНАЛИТИК -74 / В.М. Глушков, Т.А. Гринченко, А.А. Дородницина и др. //Кибернетика. - 1978. - №5. - С.114-136.

101.Горовой В.Д., Клименко В.П., Фишман Ю.С. Основные средства преобразования в системе программирования АНАЛИТИК-93 //Кибернетика и системный анализ. - 1995. - №1. - С. 162-169.

102. Hearn А.С. REDUCE User's Manual: Version 3.2. - Santa Monica: Ren Corporation, 1985. -188 p.

103. Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А .Я. Язык аналитических вычислений REDUCE. - М.:Изд. МГУ, 1986.

104. Руденко В.М. Символьные вычисления на языке REDUCE для задач механики. - М., 1987. - 26 с. (Препринт ИПМ АН СССР, № 297).

105. Tobey R. Experience with FORMAC algorithm design //Comm. of the ACM. - 1966. - V.9, №8. - P.589-597.

106. Martin W.A. Fateman R.J. The MACSYMA system //Proc. of the 2nd Symp. on Symbolic and Algebraic Manipulation. - Los Angeles, 1971. - P. 59-75.

107. Moses J. MACSYMA - the fifth year //ACM SIGSAM Bull. - 1976. -V.8, №3. - P.105-110.

108. Nicosia S., Tornambe A. Dynamics modelling of flexible robot manipulator //Proc. IEEE Int. Conf. Rob. and Autom. - Washington, 1986. - V.l. -P.365-372.

109. Берман B.C., Климов Д.М. Система mu-MATH-muSIMP для символьных вычислений на персональном компьютере.- М., 1987. - 32 с. (Препринт ИПМ АН СССР, №298).

110. Roman E. Programming in MATHEMATICA. - Addison-Wesley: Publishing Company, 1990. - 267 p.

111. Журов A.M., Карпов И.И., Шингарева И.К. Основы MAPLE. Применение в механике. - М., 1994. - С.32. (Препринт ИПМ РАН, №536).

112. Добрынина И.С., Карпов И.И., Черноусько Ф.Л. Компьютерное моделирование управления движением системы связанных твердых тел //Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1994. - №1. - С.167-180.

113. Kouchakpur P., Zomaya A. Y. Symbolic computation of robot dynamics parameters //Cybern. and Systems. - 1994. - V.25. - P.697-727.

114. Добрынина И.С. Моделирование динамики манипуляционных роботов с применением метода декомпозиции управления //Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1995. - №4. - С.246-256.

115. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO. - М.: СК Пресс, 1998.-352 с.

116. Почтаренко М.В. Комплекс программ по анализу стационарных движений механических систем //Пакеты прикладных программ: Методы и разработки. - Новосибирск: Наука, 1981. - С. 82-92.

117. Пакет символьных вычислений "МЕХАНИК": Задачи и структура / А.В. Банщиков, Л.А. Бурлакова, Г.И. Иванова, С.А. Симонов. //Пакеты прикладных программ. Итоги и применения. - Новосибирск: Наука, 1986. - С. 96105.

118. Бурлакова Л.А., Почтаренко М.В. Новые возможности в пакете символьных вычислений для решения задач общей механики //Пакеты прикладных программ. Итоги и применения. - Новосибирск: Наука, 1986. - С. 105-112.

119. Murray J.J., Neuman J.L. Organiszng customired robot dynamics algorithms for efficient numerical evaluation //IEEE Trans. System, Man and Cybernetics. - 1988. - V.18, №1. - P.60-68.

120. Проворов Л.В., Штаркман B.C. АЛЬКОР - система аналитических вычислений: Часть 2. - М., 1982. - 38с. (Препринт ИПМ АН СССР, № 166).

121. Городецкий О.М. Специализированная система MMANG для проведения аналитических выкладок в механике сложных систем твердых тел //Пакеты прикладных программ: Аналитические преобразования. - М.: Наука, 1988. -С.115-128.

122. Кульветене Р.В., Кульветис Г.П. Аналитические вычисления с использованием системы ВИБРАН. - Вильнюс: ИПК Лит. ССР, 1984. - 68с.

123. Вукобратович М., Кирчански Н. Пакет программ для построения аналитической модели промышленного робота //Машиноведение. - 1986. - №2. - С.26-30.

124. Kircanski N., Vukobratovic М., Kircanski М. General-purpose software system for computer-aided generation of real-time robot dynamics //The Theory of machines and mechanisms: Proc. of the 7th World Congress. - Sevilla, 1987. - V.2. -P. 1249-1252.

125. Вукобратович M. Общая структура новой системы разработки программного обеспечения //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1987. -№3. - С.135-146.

126. Toogod R.W., El-Rayyes L., Mackay D.J. Symbolic Generation of Dynamics Equation for Manipulators Mounted on Moving Bases //Proceedings of the Third Conference on Militaty Roboric Applications. - Alberta: Medicine Hat, 1991. -p.157-164.