Теоретические основы формирования моделей динамики механических систем с переменной кинематической структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Бячков, Андрей Борисович

• Бячков, Андрей Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бячков, Андрей Борисович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

1.1. Постановка задачи моделирования механических систем с переменной кинематической структурой

1.2. Обзор исследований по моде^Щованию Динамики систем с переменной кинематической структурой

1.3. Проблема преобразования моделей при изменении кинематической структуры

2. УРАВНЕНИЯ МАДЖИ В КВАЗИКООРДИНАТАХ

2.1. Проблема учета связей. Уравнения Маджи

2.2. Метод избыточных координат

2.3. Уравнения Маджи в квазикоординатах

2.4. Пример. Преобразование моделей движения диска по горизонтальной плоскости в зависимости от условий контакта

3. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАДЖИ В КВАЗИКООРДИНАТАХ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

3.1. Постановка задачи

3.2. Модели кинематики и динамики абсолютно твердого тела

3.3. Кинематика пары смежных тел с одним соединением

3.4. Построение системы независимых вариаций для пары тел

3.5. Кинематика систем твердых тел со структурой дерева

3.6. Агрегация моделей динамики подсистем

3.7. Пример. Агрегация моделей динамики трех тел

3.8. Преобразование моделей динамики при изменении моделей соединений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретические основы формирования моделей динамики механических систем с переменной кинематической структурой»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Создание современных технических комплексов с повышенными показателями качества функционирования связано с необходимостью проведения широкого круга экспериментальных и исследовательских работ. Усложнение и увеличение стоимости технических проектов выдвигает на первый план методы математического моделирования [6, 12, 68, 107, 115, 124], которые позволяют до создания реальной конструкции путем проведения серии численных экспериментов прогнозировать ее функциональные возможности, решать задачи выбора оптимальной структуры и стратегии управления проектируемого объекта. Широкое использование математического моделирования в качестве этапа проектных работ служит эффективным средством повышения качества новых изделий, сокращения временных и материальных затрат на разработку новых образцов техники.

Быстрое развитие вычислительной техники и программных средств позволило резко повысить уровень реализации методов математического моделирования, особенно в части, касающейся алгоритмизации построения математических моделей, планирования, обработки и представления результатов численных экспериментов. С развитием языков высокого уровня появилась также возможность применять ЭВМ непосредственно на этапе формирования моделей, ставить задачу автоматизации всех этапов математического моделирования [6, 7, 35, 107, 124].

Наиболее обоснованным подходом к вопросу построения математических моделей технических систем является использование объективных физических законов и согласованных с ними принципов общей механики. При этом моделируемый объект формализуется как механическая система с использованием "стандартных" моделей механики (система материальных точек, абсолютное твердое тело, деформируемое твердое тело,

сплошная среда и т.д.), а математическое моделирование осуществляется при этом с привлечением принципов и уравнений теоретической механики и заключается в построении основных соотношений кинематики, выводе уравнений движения систем твердых тел, подчиненных идеальным, голономным, неголономным, стационарным или нестационарным связям.

Современная методика математического моделирования, учитывая требования оптимизации затрат на разработку и использование математических моделей с одной стороны и необходимости учета многочисленных факторов функционирования исследуемой системы с другой стороны, предусматривает применение иерархического подхода при моделировании сложных технических систем [45, 62, 87, 88, 89, 107, 124].

Модели, построенные на принципах общей механики, в случае, когда расчетная схема объекта моделирования представима в виде связки твердых тел, занимает в таких иерархических структурах моделей важное место [30, 33, 62, 74]. В свою очередь, указанный уровень моделирования также может содержать целый комплекс моделей различного назначения. Особенно, при математическом моделировании систем с переменной структурой [39, 40, 55, 69, 70, 122, 123], когда в процессе функционирования происходит отделение от моделируемого объекта или присоединение к нему подсистем, изменение условий взаимодействия с внешней средой, изменение природы взаимосвязей между частями системы. В этом случае получаемые модели могут отличаться не только по количественным параметрам (число координат, число степеней свободы), но и качественно (типом координат и налагаемых связей, формализмом вывода уравнений, способами учета связей и т.д.). Это обстоятельство приводит к необходимости повторять каждый раз все этапы моделирования в условиях смены методики конструирования модели.

Известно [34, 62, 73], что получение полных уравнений движения с учетом даже сравнительно небольшого числа степеней свободы, простых схем взаимодействия между телами системы является сложной задачей.

В связи с этим, разработка машинно-ориентированных методов создания математических моделей систем тел, а также соответствующего алгоритмического и программного обеспечения, является одной из наиболее важных проблем, лежащей на стыке теории математического моделирования и общей механики.

Значительный вклад в разработку новых, ориентированных на применение ЭВМ методов формирования моделей механики систем твердых тел, исследования динамики систем с переменной кинематической структурой внесли: Е.А. Арайс, В.М. Дмитриев [6, 7], A.B. Банщиков, JI.A. Бурлакова, В .Д. Иртегов, М.В. Почтаренко [11, 13, 102, 103, 104], В.В. Величенко [27, 28], А.Ф. Верещагин, Б.П. Попов [29,101], Й. Виттен-бург [30], М.К. Вукобратович [32, 33, 34], A.C. Галиуллин, Р.Г. Мухарля-мов [36, 37], Ф.М. Диментберг, Е.И. Воробьев [31, 47, 48, 86], В.Ф. Журавлев [54, 55], В.В. Козлов [59], В.А. Коноплев [61] -[67], JI.K. Лилов [74, 75, 76], М.З. Литвин-Седой [78], А.И. Лурье [80], В.В. Маланин [137, 138, 139], А.П. Маркеев [82, 83], Д.Ю. Погорелов [51, 52, 53], H.H. Поля-хов, С.А. Зегжда, М.П. Юшков [99, 100], Ф.Л. Черноусько [1, 120, 121], H.A. Фуфаев [55, 93], П.В. Харламов [118], T.R. Kane, D.A. Levinson [136], R.L. Huston, F.M.L. Amirouche [2, 3, 133], E.J. Haug, P.E. Nikravesh [9, 81, 94, 119, 135, 146, 147], W.O. Schiehlen [143, 144], A.A. Shabana [69, 70, 122, 123, 125, 126, 127] и ряд других авторов.

На основании сказанного выше, можно сделать вывод, что исследования в области теоретических основ моделирования систем твердых тел и, в первую очередь, с переменной структурой, не утратили своей актуальности, а в связи с задачами автоматизации процесса формирования моделей круг проблем расширяется, затрагивая вопросы смежных разделов теории моделирования.

Цель работы заключается в разработке эффективных и универсальных методов создания математических моделей динамических объектов с расчетной схемой в виде систем твердых тел, позволяющих в

рамках единого формализма формировать различные модели сложных технических систем при изменении кинематической структуры, отличающиеся по составу координат и форме записи уравнений кинематики и динамики, ориентированных на применение ЭВМ в задачах конструирования математических моделей в виде, удобном для их качественного и численного исследования.

Методы исследования. Работа выполнена с использованием общих положений теории математического моделирования, принципов системного подхода. В качестве основного аппарата исследования использованы методы аналитической механики (кинематики и динамики твердого тела, динамики голономных и неголономных механических систем), матрично-геометрические методы в механике.

С учетом ориентации предлагаемых методик на применение ЭВМ (в том числе систем аналитических вычислений) основные соотношения представлены в матричной форме записи и их преобразования проведены на основе средств матричной алгебры. Практическая часть работы (примеры, иллюстрирующие особенности предлагаемых подходов) выполнена целиком в системе аналитических и численных вычислений ''Ма^етайса".

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и двух приложений. Диссертация содержит 162 листа машинописного текста, список литературы из 147 наименований, 13 рисунков.

Краткое содержание работы и основные результаты.

Во введении обоснована актуальность задачи развития теоретических основ математического моделирования механических систем, в том числе с переменной кинематической структурой, сформулированы цели диссертационной работы. Отмечена научная новизна разработанных методов, их практическая ценность.

В первом разделе рассмотрена постановка задачи моделирования

механических систем с переменной кинематической структурой. Вводится понятие кинематической структуры механической системы. В предположении, что сформированы необходимые модели динамики системы при фиксированной кинематической структуре, ставится задача формирования моделей системы при изменении параметров кинематической структуры: изменения числа подсистем, мгновенного наложения, снятия или изменения связей с элементами внешней среды или между подсистемами.

В разделе представлен обзор исследований по моделированию динамики механических систем с переменной кинематической структурой. Особое внимание уделяется моделированию систем с расчетной схемой в виде связки твердых тел. Рассмотрены основные этапы решения задачи моделирования систем твердых тел, в соответствии с выделенными этапами моделирования дан обзор методов построения моделей кинематики и динамики систем твердых тел.

На основании сравнительного анализа существующих методик сформулирована проблема преобразования моделей при изменении кинематической структуры объекта моделирования без использования множителей Лагранжа, излагается концепция подхода к решению задачи вывода уравнений движения систем твердых тел с переменной структурой, представленного в данной работе.

Во втором разделе рассматриваются теоретические основы решения задачи построения и преобразования моделей динамики систем с переменной кинематической структурой.

Показано, что в основе решения проблемы формирования моделей динамики механических систем и их преобразования при изменении кинематической структуры лежит задача учета дополнительно наложенных связей. Представлены основные способы учета связей в механике с использованием независимых и зависимых координат. Особое внимание уделяется классическим уравнениям Маджи и связанному с ними способу учета связей в вариациях.

Обсуждается идея использования при моделировании механических систем избыточных координат. Показано, что применение методов и уравнений неголономной динамики в задачах моделирования движения голономных систем приводит к уравнениям в избыточных координатах.

Обосновывается преимущество записи уравнений динамики ситемы тел в неголономных координатах.

Как результат применения указанных подходов записаны уравнения динамики, которые можно классифицировать как уравнения Маджи в квазикоординатах. Уравнения носят универсальный характер и применимы для решения задач моделирования широкого класса механических объектов.

Предложен практический способ построения системы независимых вариаций, который также представляет возможность вычисления обобщенных реакций наложенных связей.

Методика построения математических моделей систем с применением уравнений Маджи в квазикоординатах проиллюстрирована решением классической задачи механики "построение уравнений движения жесткого диска по горизонтальной плоскости". Исходя из базовой модели "Уравнения динамики свободного диска в однородном поле тяжести в квазискоростях", путем преобразования, на основе применения уравнений Маджи в квазикоординатах, получен ряд моделей движения однородного кругового диска по горизонтальной плоскости при различных предположениях относительно взаимодействия диска с плоскостью в точке контакта.

В третьем разделе диссертационной работы рассмотрены вопросы применения уравнений Маджи в квазикоординатах в задачах формирования и преобразования моделей динамики систем твердых тел.

Предложено обобщение уравнений Маджи в квазикоординатах для составных систем (систем состоящих из подсистем).

Поскольку в основе метода декомпозиции сложных механических

систем на подсистемы лежат классические модели абсолютно твердого тела, приведены основные уравнения кинематики и динамики абсолютно твердого тела в квазискоростях. Показано, что уравнения динамики твердого тела при наличии связей могут быть построены также путем применения уравнений Маджи в квазикоординатах.

Для решения задачи формирования моделей кинематики систем твердых тел и построения системы независимых вариаций введены основные кинематические соотношения для пары двух смежных тел, взаимное движение которых стеснено одним соединением. Рассмотрены варианты выбора независимых кинематических характеристик для пары тел в абсолютных координатах тел и относительных координатах соединения.

Полученные кинематические соотношения распространены на случай системы тел со структурой дерева и системы тел общего вида. В качестве основы для построения системы новых независимых кинематических характеристик приняты уравнения, связывающие квазискорости подсистем со скоростями относительных движений в соединениях. Указаны два способа задания новых кинематических характеристик: путем выделения в системе линейных алгебраических уравнений, связывающих квазискорости подсистем и скорости относительных движений, базисного минора, либо при помощи расширенния вектора новых кинематических характеристик функциями связей.

Показано, что в задаче моделирования процессов объединения подсистем, единая модель системы может быть получена путем агрегации моделей подсистем. В качестве основного инструмента такой процедуры агрегации используются уравнения Маджи для составных систем.

Рассмотрен пример формирования модели динамики системы трех абсолютно твердых тел, которые после фазы раздельного движения объединяются в единую систему "тело на двух опорах" с замкнутым кинематическим контуром. Модель динамики системы получена путем агрегации моделей подсистем в раздельном движении на основе применения

уравнений Маджи. Решена задача выбора независимых кинематических характеристик так, чтобы уравнения динамики не содержали особенностей в области рабочих значений координат тел системы. Показано, что уравнения динамики, записанные в избыточных квазискоростях имеют более простую структуру, попытка исключения избыточных квазискоростей, переход к новым квазискоростям, а тем более к обобщенным координатам приводит к существенному усложнению уравнений, упрощение которых затруднено на современном этапе развития вычислительной техники.

Рассмотрена задача о преобразовании моделей динамики при изменении кинематических условий соединений между подсистемами и с элементами внешней среды, которая решена также путем учета дополнительных связей в вариациях с применением уравнений Маджи. Для системы трех тел путем соответствующих преобразований построены уравнения движения при условии, что меняются условия контакта одного из тел с элементами внешней среды, при этом система становится неголономной.

В заключении приведены основные результаты работы, обсуждаются преимущества предложенных методов формирования моделей механических систем, особенности их практического применения.

В приложениях представлены выкладки по примерам рассмотренным в диссертационной работе, выполненные в системе символьных и численных вычислений " МаЛета^са".

Научная новизна. В диссертационной работе предложена методика формирования и преобразования моделей динамики механических систем при изменении кинематической структуры.

Принципиальное отличие предлагаемой методики от существующих заключается в том, что задача преобразования моделей при изменении кинематической структуры решается без использования множителей Ла-гранжа методами матричной алгебры путем умножения исходной модели

на матрицу перехода к новой системе независимых вариаций квазискоростей.

Центральным моментом методики является предложенная автором новая форма уравнений Маджи - уравнения Маджи в квазикоординатах. Представленные уравнения являются обобщением классических уравнений Маджи на случай применения квазикоординат и позволяют получать модели динамики механических систем в виде расширенной системы дифференциально-алгебраических уравнений в избыточных координатах и квазискоростях, учитывающих изменение или наложение связей между телами.

В отличие от традиционных подходов получаемые уравнения содержат координаты и кинематические характеристики разного типа (го-лономные и неголономные), носят избыточный характер и, в частных случаях, преобразуются к целому ряду известных уравнений динамики систем тел, что позволяет формировать математические модели как в обобщенных координатах, так и в квазикоординатах, без повторения всех этапов моделирования.

Разработанная методика применена в задачах построения и преобразования моделей динамики систем твердых тел с переменной кинематической структурой. Для этого уравнения Маджи в квазикоординатах обобщены на случай моделирования составных систем (систем состоящих из подсистем). Указаны способы построения систем независимых кинематических характеристик для систем твердых тел. Предложены варианты решения задачи агрегации моделей подсистем в единую модель при моделировании процессов объединения механических систем и задачи об учете изменения кинематических условий соединений между подсистемами.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при разработке методик, алгоритмов и средств программного обеспечения компьютерного моделирования сложных механических

систем, в том числе с переменной кинематической структурой.

Разработанные в диссертационной работе алгоритмы формирования моделей систем твердых тел были использованы при создании дополнительных процедур построения уравнений кинематики и динамики систем твердых тел со структурой дерева в символьном виде в системах "Reduce" и "Mathematics.

Предложенные методики построения и преобразования моделей внедрены в практику работ ряда научно-исследовательских, конструкторских и промышленных предприятий.

Рассмотренные в диссертационной работе примеры также используются в учебном процессе для иллюстрации общих методов построения моделей механики, способов учета голономных и неголономных связей, проблем моделирования в условиях изменения кинематической структуры объектов.

Основные положения и результаты исследований автора по теме диссертации опубликованы в работах [15]—[26], [110], [111], [129], [134], [145].

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

В настоящем разделе приведена постановка задачи формирования моделей динамики механических систем с переменной кинематической структурой.

Дан обзор работ, в которых поставлена проблема построения математических моделей систем с изменяемой кинематической структурой и расчетной схемой в виде связки твердых тел.

Сформулирована проблема преобразования (трансформации) моделей механических систем при изменении кинематической структуры. Поставлена задача формирования моделей динамики систем при изменении кинематической структуры путем преобразования без использования множителей Лагранжа.

1.1. Постановка задачи моделирования механических систем с переменной кинематической структурой

Принимая в качестве методической основы аппарат системного анализа [45, 62, 87, 88, 89, 107, 124], рассмотрим произвольную механическую систему как совокупность взаимосвязанных подсистем механической природы (рис. 1.1).

Такой подход подразумевает наличие во всякой механической системе двух составляющих: механических подсистем и соединений между ними, реализованными в той или иной физической форме.

Понятие подсистемы будем понимать в широком смысле. В качестве моделей подсистем могут быть использованы все классические мо-

дели механики: материальная точка, система точек, абсолютное твердое тело, система тел.

Две подсистемы будем называть смежными, если между ними имеет место непосредственное силовое взаимодействие. Будем говорить, что в данном случае имеет место соединение между подсистемами. Взаимодействие подсистем в соединении может совершаться, как при кинематических ограничениях на их взаимное положение и скорости, так и без кинематических ограничений ( посредством силовых элементов и полей). Ограничения, возникающие в первом случае, в соответствии с терминологией принятой в теоретической механике, будем называть связями.

Построение моделей соединений само по себе является самостоятельной задачей, синтезирующей физические, механические, технические аспекты явлений взаимодействия твердых тел. Отметим лишь ряд работ в этом направлении [7, 46, 51, 67, 128, 132].

Остановимся на тех соединениях, функционирование которых с до-

Рис. 1.1.

статочной степенью адекватности описывается посредством моделей теоретической механики.

Каждой механической связи может соответствовать набор условий связи, представленных в виде алгебраических или дифференциальных уравнений относительно параметров состояния (координат и скоростей) двух подсистем, геометрических и кинематических характеристик относительного движения в сочленениях. Наложение связей между подсистемами приводит к уменьшению числа степеней свободы.

Наряду с внутренними связями между подсистемами будем выделять внешние связи между подсистемами и элементами внешней среды.

Совокупность двух основных компонент - подсистем и соединений между ними - позволяет строить единую модель, адекватно отражающую механические свойства всей системы.

Пусть положение системы с учетом всех внутренних и внешних связей определено однозначно (в некоторой области конфигурационного многообразия) описывается набором п обобщенных координат д1,... Положим, что все связи системы представимы в виде аналитических выражений относительно обобщенных координат и их производных.

Поскольку моделируемая система интерпретируется как механическая, для описания ее полного состояния вектор обобщенных координат необходимо дополнить величинами, характеризующими распределение скоростей системы. Это могут быть как обобщенные скорости д1,. так и некоторые кинематические характеристики, имеющие

размерность скоростей. Причем, если движение системы стеснено не-голономными связями и число степеней свободы т (число независимых вариаций обобщенных координат) меньше числа обобщенных координат, для описания поля скоростей системы достаточно только т таких характеристик.

Важным для системного подхода является определение структуры системы - совокупности связей между элементами системы, отражаю-

щих их взаимодействие [107]. Конкретизируем это определение. Будем понимать под кинематической структурой число подсистем, порядок и способ их взаимодействия, отраженные в моделях связей.

Пусть сформированы необходимые модели кинематики и динамики системы при фиксированной кинематической структуре.

Для многих реальных механических систем характерно изменение кинематической структуры в процессе их функционирования.

Выделим две основные задачи математического моделирования динамики механических систем, в которых объекты моделирования следует рассматривать как системы с переменной кинематической структурой:

- моделирование технических устройств, в которых происходит объединение отдельных механических систем в единую систему в результате возникновения связей между ними или разделение объекта моделирования на подсистемы;

- решение задач динамики при условии мгновенного наложения, снятия или изменения связей с элементами внешней среды или между компонентами самого объекта моделирования.

К задачам первого типа можно отнести: моделирование процессов захвата или освобождения одного или нескольких тел манипуляционны-ми системами, стыковки и разделения технических систем исследования космоса и т.д. В качестве примеров постановки задач второго типа можно привести: моделирование контактных взаимодействий роботов-манипуляторов, задачу учета зазоров в соединениях при моделировании механических систем, моделирование систем с прерывистым движением, моделирование систем с качением при изменении условий контакта колеса с дорогой и т.д.

Полагается, что мгновенно наложенные связи сохраняются на некотором конечном интервале времени.

Общий подход моделирования систем с переменной структурой пред-

полагает разбиение временного интервала моделирования на ряд связанных подынтервалов, внутри которых структура объекта моделирования постоянна.

С точки зрения теоретической механики в результате изменения кинематической структуры меняются не только массово-геометрические характеристики системы (например, в первом случае), но и множество достижимых конфигураций, что приводит к необходимости изменения базиса в конфигурационном пространстве (определения новой системы обобщенных координат). Спецификой неголономных систем является проблема изменения не только числа координат, но и изменения числа степеней свободы (количества независимых вариаций обобщенных координат). Поэтому, каждый подынтервал определяется своим конфигурационным пространством, новой системой связей, на нем справедлива новая система уравнений кинематики и динамики. Каждое изменение кинематической структуры требует построения новой математической модели.

Кроме того, необходимо иметь ввиду, что модели, соответствующие разным кинематическим условиям, могут отличаться не только количественными характеристиками (массово-геометрическими параметрами, размерностью системы), но и качественно (отличаться типом координат, формализмом вывода уравнений, способом учета связей и т.д.). Например, если в результате изменения кинематической структуры система становится неголономной (при изменении моделей связей), то процесс формирования модели целесообразно проводить в терминах квазикоординат с использованием соответствующих уравнений динамики в квазикоординатах.

Таким образом, для эффективного решения задач автоматизации математического моделирования механических систем с переменной структурой необходимо разработать методику построения моделей одного и того же объекта для разных кинематических условий, отличаю-

щихся типом координат, формой основных соотношений кинематики и динамики для каждого временного интервала постоянства кинематической структуры.

1.2. Обзор исследований по моделированию динамики систем с переменной кинематической структурой

Проблемам моделирования динамики механических систем с переменной кинематической структурой посвящен ряд работ.

Исторически, на наш взгляд, следует выделить две основные группы задач: прежде всего - это классические задачи механики, в которых поставлена проблема изменения кинематической структуры; и, задачи, возникшие в связи с проблемой моделирования систем твердых тел.

По сути, любая задача формирования модели механической системы представляет собой решение проблемы учета изменения кинематической структуры, поскольку одним из основных методов построения уравнений механики является процедура учета связей, которые выступают как вновь наложенные по отношению к объекту, совершающему свободное от этих связей движение.

Поэтому основные методы учета связей в механике, сущность которых будет рассмотрена подробнее в разделе 2.1 настоящей работы, сформировались уже в рамках классической теории: метод обобщенных координат, метод множителей Лагранжа, метод системы независимых вариаций.

Именно различие в подходах к решению проблемы учета связей породило многообразие форм моделей динамики механических систем. Здесь необходимо отметить прежде всего уравнения Лагранжа (первого и второго рода), Ньютона-Эйлера (общие уравнения механики), Аппе-ля, Больцмана-Гамеля (Эйлера-Лагранжа), Маджи, Чаплыгина, Воронца, Ценова, Нильсена, Манжерона-Делану, Шульгина [5, 14, 37, 49, 71, 80, 82,

93, 98, 99, 108, 130].

Существенным толчком к увеличению этого ряда явилось оформление (с 1894 г.) механики неголономных систем в самостоятельный раздел аналитической механики. Развитие теории неголономных систем привело к обобщению основных принципов механики, формированию способов построения моделей для связей все более общего вида, разработке тензорно-геометрической интерпретации процессов динамики [49, 93]. Идеи и методы, разработанные в рамках неголономной динамики, нашли применение в других разделах механики. В ряде работ [49, 130] метод неголономных координат был применен к исследованию голономных систем.

По мере развития методов формирования моделей в классической постановке возникают задачи, которые можно отнести к задачам преобразования моделей при изменении кинематической структуры. К таким задачам следует отнести:

- задачу об учете дополнительных связей;

- моделирование систем с неудерживающими (односторонними) связями.

Чаще задача об учете дополнительных связей рассматривалась в связи с моделированием неголономных систем, когда уравнения движения системы уже составлены с учетом голономных связей в обобщенных координатах [49, 80, 82, 93, 130] и при этом необходимо учесть неголо-номные связи.

Иногда задача рассматривалась в отдельной постановке, как проблема учета связей, которые наложены дополнительно при построенных уравнениях движения [14, 80]. В качестве основного способа преобразования модели был использован метод множителей Лагранжа.

Задачи моделирования систем с неудерживающими связями следует разделить на две группы: кинематические и динамические. Задачи первого типа составляют раздел теоретической механики, называемый

теорией удара [30, 97, 108]. Предметом таких исследований является задача определения послеударного кинематического состояния механической системы по известному доударному состоянию. В динамических задачах представляет интерес не только пересчет начальных условий, но и динамика системы после взаимодействия со связью.

При решении задачи моделирования механических систем с неудер-живающими связями в классической постановке [5, 14, 108, 112] большее внимание уделялось проблеме установления условий перехода от одного режима движения к другому, возникающие связи учитывались в уравнениях движения также с помощью множителей Лагранжа.

Монография [55] посвящена изложению аналитической механики го-лономных и неголономных систем с неудерживающими связями. Для систем с голономными связями предложен метод исключения односторонних связей. С использованием недифференцируемой замены переменных получены дифференциальные уравнения таких систем не содержащие сингулярностей.

В этой же монографии, а также ряде других работ [14, 93], рассмотрена задача моделирования систем с качением при изменении режимов движения (качение без скольжения - качение с проскальзыванием). Такие системы классифицируются авторами как неголономные системы с неудерживающими кинематическими связями. Дифференциальные уравнения динамики составляются в такой форме, которая пригодна для описания движения системы как при качении без скольжения, так и со скольжением. При этом модели формируются с использованием уравнений в квазикоординатах. Для отыскания условий перехода от одного режима движения к другому исследована структура фазового пространства моделируемых систем.

Необходимо отметить, что в классических задачах рассматривались проблемы, связанные, как правило, с изменением внешних связей; структура самой моделируемой системы не изменялась.

Второй этап исследования проблемы связан с интенсивным развитием механики систем твердых тел. Развитие классической теории механизмов и машин, обусловленное проектированием новой техники [31, 47, 48, 115], проблемы моделирования измерительных и управляющих приборов, исследования движения спутниковых систем, задачи механики манипуляторов и промышленных роботов [1, 29, 32, 33, 34, 59, 86, 101, 120], привели к работам по формированию моделей кинематики и динамики систем твердых тел в общей постановке [30, 33, 81, 62, 74, 78, 80, 51, 118, 136].

Здесь, как и в классических задачах, задачу построения моделей систем твердых тел можно интерпретировать, как задачу учета изменения кинематической структуры.

Действительно, в представленных работах построение моделей рассматриваемых систем выполняется в несколько этапов. На первом этапе формирования моделей производится декомпозиция исследуемой системы на простые подобные подсистемы (абсолютно твердые тела, упругие твердые тела, простые цепочки тел, подсистемы со структурой дерева).

Второй этап заключается в процедуре агрегирования моделей подсистем посредством наложения (учета) связей между подсистемами в единую модель [30, 53, 62, 74].

Достоинство указанного метода заключается в том, что модели структур высших уровней формируются из моделей элементов низших уровней по определенным правилам (чаще посредством простых алгебраических операций). Однако, проблема декомпозиции и агрегации элементов систем твердых тел содержит целый ряд достаточно специфических задач, связанных с понятием кинематической структуры моделируемого объекта.

На схеме (рис. 1.2) представлены основные этапы построения моделей движения систем твердых тел. Здесь наряду с традиционными задачами кинематики и динамики обозначены проблемы, связанные с мо-

делированием и учетом структуры системы.

Остановимся кратко на каждом из этапов решения задач, представленных на схеме.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Бячков, Андрей Борисович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании результатов, изложенных в диссертационной работе можно сделать следующие выводы.

1. Предложенный в диссертационной работе метод формирования и преобразования моделей динамики механических систем может служить теоретической основой для решения широкого круга задач моделирования. Прежде всего, он может быть использован на этапе построения моделей составных систем, особенно в случае, когда модели подсистем уже сформированы, или выбираются из ряда классических, хорошо известных моделей механики. Кроме того, метод применим в задаче построения моделей систем с переменной кинематической структурой на разных интервалах постоянства кинематической структуры путем преобразования моделей, без повторения всех этапов моделирования.

2. Новая форма уравнений Маджи, предложенная в диссертации, ориентирована на применение квазикоординат. Поскольку квазикоординаты (неголономные координаты) носят более общий характер, чем обобщенные координаты, использование при моделировании уравнений в квазикоординатах позволяет объединить в одной форме как известные уравнения в обобщенных координатах, так и классические уравнения движения твердых тел. Использование квазикоординат и указанного метода учета дополнительных связей позволяет применять методику при моделировании как голономных, так и неголономных механических систем.

3. Способы построения системы независимых вариаций для систем твердых тел, введения новых кинематических характеристик, предложенные в работе, позволяют выбирать в качестве новых кинематических характеристик как абсолютные скорости тел, так и скорости относительных движений в соединениях. Это позволяет формировать модели динамики в абсолютных и(или) относительных координатах, принимать в качестве кинематических характеристик величины, необходимые с точки зрения дальнейшего применения результатов моделирования (например, в задачах управления и оптимизации механических систем, когда цели управления и критерии оптимальности формируются в абсолютной системе координат, а на исполнительском уровне необходимо вычислять относительное положение и скорости тел).

4. Применение уравнений Маджи и способа учета связей в вариациях приводит к построению моделей динамики в избыточных квазискоростях и координатах. В работе показано, что получаемые уравнения преобразуются к ряду известных уравнений динамики механических систем, при этом избыточный характер переменных модели доставляет определенную свободу выбора для пользователя. Проблема выбора формы записи уравнений динамики на конкретном интервале функционирования, типа применяемых координат, решается пользователем, в соответствии с его представлениями об оптимальной структуре математической модели и необходимом составе переменных состояния.

5. Предложенная методика формирования моделей применима при решении задач моделирования систем твердых тел, в том числе с переменной кинематической структурой. На основе созданного подхода предложен вариант решения задачи моделирования процессов объединения механических подсистем в единую систему в результате установления соответствующих связей. Единая динамическая модель системы строится путем агрегации моделей подсистем на основе уравнений Маджи в квазикоординатах. Задача об учете изменения кинематических условий соединений также решена на основе метода учета связей в вариациях, путем построения уравнений Маджи.

6. Приведенные в диссертации примеры построения моделей, выполненные в системе аналитических вычислений Ма^ета^са, демонстрируют универсальность предложенной методики, возможность алгоритмизации основных этапов формирования моделей динамики в избыточных координатах. Векторно-матричная форма записи основных соотношений позволяет проводить операции по построению моделей с использованием соответствующих возможностей современных систем символьно-аналитических вычислений. Построение моделей в символьной форме, в свою очередь, предоставляет возможность для качественного исследования получаемых моделей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бячков, Андрей Борисович, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Акуленко Л.Д., Михайлов С.А., Черноусько Ф.Л. Моделирование динамики манипулятора с упругими звеньями // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №3. С. 118-125.

2. Амируш (F.M.L. Amirouche). Оценка влияния деформирования на динамические характеристики крупногабаритной древовидной конструкции // Конструирование и технология машиностроения. 1988. №2, С. 297-306.

3. Амируш (F.M.L. Amirouche), Хастон (R.L. Huston). Уравнения движения со связями для моделирования крупногабаритных упругих конструкций // Конструирование и технология машиностроения. 1988. т. с. 304-313.

4. Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ / Тезисы докладов всес. конференции. Вильнюс, 1990. 94 с.

5. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз. Т. 1. 1960. 515 е.; Т.2. 1960, 487 с.

6. Арайс Е.А., Дмитриев В.М. Моделирование неоднородных цепей и систем на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1982. 160 с.

7. Арайс Е.А., Дмитриев В.М. Автоматизация моделирования многосвязных механических систем. М.: Машиностроение, 1987. 240 с.

8. Аугустайтис В.В, Гульбинас A.C. Составление уравнений движения сложных динамических систем (алгоритмы и программы). Вильнюс, 1981. 92 с. Деп. в ЛитНИИНТИ 26.03.81. №699-81.

9. Бае (Dae-Sung Вае), Хуан (Ruoh-Shih Hwang), Хауг (E.J. Haug). Рекурсивные формулы для моделирования динамики механических систем в реальном времени // Современное машиностроение. Сер.Б. 1991. т. С. 47-56.

10. Бакр (Е.М. В акт), Шабана (A.A. Shabana). Применение балочной модели Тимошенко к анализу динамики движения упругодеформируе-мого шагающего устройства // Конструирование и технология машиностроения. 1988. Ш. С. 326-337.

11. Банщиков A.B., Бурлакова JI.A., Иванова Г.И., Симонов С.А. Пакет символьных вычислений "Механик". Задачи и структура// Пакеты прикладных программ. Итоги и применения. Новосибирск: Наука, 1986. С. 96-105.

12. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1990. 328 с.

13. Бурлакова Л.А., Почтаренко М.В. Новые возможности в пакете символьных вычислений для решения задач общей механики // Пакеты прикладных программ. Итоги и применения. Новосибирск: Наука, 1986. С. 105-112.

14. Бутенин Н.В., Фуфаев H.A. Введение в аналитическую механику. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 256 с.

15. Бячков А.Б. Автоматизация вывода уравнений Лагранжа второго рода для механических систем со структурой дерева // 4-ая Всесоюзная научная конференция "Автоматизация поискового конструирования и подготовка инженерных кадров". Тезисы докладов. Волгоград, 1987. Т.1. С. 57.

16. Бячков А.Б., Иванов В.Н., Суслонов В.М. Методы компьютерного конструирования уравнений динамики систем твердых тел со структурой дерева // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1989. С. 21-25.

17. Бячков А.Б., Иванов В.Н., Пигилев O.A., Суслонов В.М. Автоматизация моделирования механических систем со структурой дерева // Методы компьютерного конструирования моделей механики систем твердых тел. Материалы Всес. рабочего совещания. Л., 1989. С. 14. (Пре-

принт Ленингр. филиал ин-та машиноведения АН СССР: №16).

18. Бячков A.B., Иванов В.Н., Суслонов В.М. Методы компьютерного конструирования уравнений динамики систем связанных жестких и упругих тел // Всес. совещание "Методы компьютерного конструирования моделей классической и небесной механики" Л., 1989. С. 59 (Препринт Ленингр. филиал ин-та машиноведения АН СССР: №32).

19. Бячков А.Б.,Иванов В.Н., Суслонов В.М. Символьное построение уравнений динамики систем связанных твердых тел средствами языка аналитических вычислений REDUCE // Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ. Тезисы докладов Всес. конференции. Вильнюс, 1990. С. 8-9.

20. Бячков А.Б., Иванов В.Н., Суслонов В.М. Явные формы записи уравнений динамики систем упругих тел со структурой дерева // Применение ЭВМ для решения задач механики. Тезисы докладов научно-технической конференции. Севастополь, 1991. С. 10.

21. Бячков А.Б. Построение линеаризованных уравнений динамики систем твердых тел в задачах управления техническими объектами в реальном времени // Применение ЭВМ для решения задач механики. Тезисы докладов научно-технической конференции. Севастополь, 1991. С. 10.

22. Бячков А.Б. Явные матричные формы записи уравнений динамики систем упругих тел со структурой дерева // Моделирование сложных механических систем. Тезисы докладов научной конференции. Ташкент, 1991. С. 56.

23. Бячков А.Б., Иванов В.Н., Суслонов В.М. Символьное построение уравнений динамики систем твердых тел средствами языка аналитических вычислений REDUCE // Пакеты прикладных программ: Программное обеспечение математического моделирования. М.'.Наука, 1992. С. 77-84.

24. Бячков А.Б., Суслонов В.М., Иванов В.Н. Уравнения динамики

систем твердых тел в избыточных координатах // Вестник Пермского университета. Математика. Вып.1. 1994. С. 185-192.

25. Бячков A.B. Уравнения Маджи в квазикоординатах и их применение в задаче моделирования динамики систем твердых тел // VII Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем". Моделирование систем. Тезисы докладов. К: КГУ, 1996. С. 25.

26. Бячков А.Б. Уравнения Маджи в квазикоординатах и их применение в задаче построения уравнений динамики систем твердых тел // Второй международный симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докладов. Москва - Великие Луки: Академия космонавтики, 1996. С. 16-17.

27. Величенко В.В. Матричные уравнения движения голономных систем // Докл. АН СССР, 1985. Т.285. №6. С. 1340-1343.

28. Величенко В.В. Матрично-геометрические методы в механике с приложением к задачам робототехники. М.: Наука, 1988. 280 с.

29. Верещагин А.Ф. Принцип наименьшего принуждения Гаусса для моделирования на ЭВМ динамики роботов-манипуляторов // Докл. АН СССР, 1975. Т. 220. №1. С. 51-53.

о

30. Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. 294 с.

31. Воробьев Е.И., Диментберг Ф.М. Пространственные шарнирные механизмы. Замкнутые и открытые кинематические цепи. М.: Наука, 1991. 264 с.

32. Вукобратович М. Шагающие роботы и антропоморфные механизмы. М.: Мир, 1976. 541 с.

33. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами. М.: Наука, 1985. 384 с.

34. Вукобратович М., Стокич Д., Кирчански Н. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами М.: Мир, 1989. 376 с.

35. Вязгин В.А., Федоров В.В. Математические методы автоматизированного моделирование. М.: Высш. шк., 1989. 184 с.

36. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. 231 с.

37. Галиуллин A.C. Аналитическая динамика. М.: Высш. шк., 1989. 264 с.

38. Гердт В.П., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике // УФН. 1980. Т. 30, вып. 1. С. 113-147.

39. Гилмор (B.J. Gilmore), Кипра (R.J. Cipra). Моделирование плоских динамических механических систем с переменной структурой. Часть 1. Описание и прогнозирование изменений кинематических связей // Современное машиностроение. Серия Б. 1991. №9. С. 70-78.

40. Гилмор (B.J. Gilmore), Кипра (R.J. Cipra). Моделирование плоских динамических механических систем с переменной структурой. Часть 2. Реализация стратегий моделирования и результаты ее применения для конкретных динамических систем // Современное машиностроение. Серия Б. 1991. №9. С. 78-85.

41. Голев Р.В., Гусев В.Ф. Математическое моделирование динамики механических систем с неудерживающими связями. Ижевск: Ижевский механический институт, 1984. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 04.12.84, №7699-84.

42. Голев Р.В., Попов В.М Математическое моделирование динамики механических систем. Ижевск: Ижевский механический институт, 1987. 97 с. Деп. в ВИНИТИ 02.06.87, №8113-В87.

43. Грошева М.В., Ефимов Г.Б. О системах аналитических вычислений на ЭВМ // Пакеты прикладных программ: Аналитические преобразования. М.:Наука, 1988. С. 5-30.

44. Грошева М.В. Прикладные и эксплуатационные возможности систем аналитических вычислений // Пакеты прикладных программ: Ана-

литические преобразования. М.:Наука, 1988. С. 30-38.

45. Гуд Г.Х., Макол Р.Э. Системотехника. Введение в проектирование больших систем. М.: Сов. радио, 1962. 382 с.

46. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510 с.

47. Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: Наука, 1982. 336 с.

48. Диментберг Ф.М., Саркисян Ю.Л., Усков М.К. Пространственные механизмы. Обзор современных исследований. М.: Наука, 1983. 93 с.

49. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. М.:Высшая школа, 1970. 272 с.

50. Дубовски (S. Dubowsky), Дек (J.F. Deck), Костелло (Н. Costello). Динамическое моделирование гибких пространственных механических систем с зазорами в шарнирах // Конструирование и технология машиностроения. 1987. №1. С. 259-272.

51. Ефимов Г.Б., Погорелов Д.Ю. Некоторые алгоритмы автоматизированного синтеза уравнений движения системы твердых тел. Препринт Ин. прикл. матем. РАН, 1993, №84. 30 с.

52. Ефимов Г.Б., Погорелов Д.Ю. О численных методах моделирования движения системы твердых тел. Препринт Ин. прикл. матем. РАН, 1994, №12. 30 с.

53. Ефимов Г.Б., Погорелов Д.Ю. "Универсальный механизм" - комплекс программ моделирования динамики систем твердых тел. Препринт Ин. прикл. матем. РАН, 1993, №77. 28 с.

54. Журавлев В.Ф. Механика систем с односторонними связями // Успехи механики. 1989. №2. С. 37-69.

55. Журавлев В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудерживаю-щими связями. М.: Наука, 1993. 240 с.

56. Иванов В.Н., Пигилев O.A., Суслонов В.М. Пакет прикладных программ для автоматизированного моделирования движения сложных

механических систем. Пермь: Перм. ун-т, 1986. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 03.04.86, №2331-86.

57. Иванов В.Н. Уравнения движения и алгоритмизация моделирования систем связанных твердых тел. Дис. ... кандидата физ.-мат. наук. Пермь. 1987. 190 с.

58. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. 215 с.

59. Козлов В.В., Макарычев В.П., Тимофеев A.B., Юревич Е.И. Динамика управления роботами. М.: Наука, 1984. 336 с.

60. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления / Пер. с англ. под ред. H.H. Говоруна. М.: Мир, 1986. 392 с.

61. Коноплев В.А. Матричные формы уравнений движения свободного твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №6. С. 42-46.

62. Коноплев В.А. Агрегативные методы конструирования матричных моделей механики многозвенных технических систем. Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Ленинград, 1988. - 357 с.

63. Коноплев В.А. Конструирование агрегативных моделей механики носителя систем твердых тел // ПММ. 1989. Т. 53, №1. С. 24-31.

64. Коноплев В.А. Агрегативные модели механики систем твердых тел со структурой дерева // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. №6. С. 46-53.

65. Коноплев В.А. Агрегативные модели механики систем твердых тел // ДАН СССР. 1990. Т.314. №4. С. 809-813.

66. Коноплев В.А., Фишков А.Л. Агрегативные методы конструирования моделей механики систем из упругих элементов // Прикл. механика. 1991. Т.27. №1. С. 104-109.

67. Коноплев В.А. Новая форма дифференциальных уравнений связей системы тел с телами внешней среды // Изв. РАН. МТТ. 1993. №1. С. 3-9.

68. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1983. 264 с.

69. Кулиев (Y.A. Khulief), Шабана (A.A. Shabana). Динамический анализ систем связанных жестких и упругих тел с прерывистым движением // Конструирование и технология машиностроения. 1986. №1. С. 88-100.

70. Кулиев (Y.A. Khulief), Шабана (A.A. Shabana). Динамика многомассовых систем переменной кинематической структуры // Конструирование и технология машиностроения. 1986. №2. С. 249-282.

71. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. М.; Л. ГОНТИ. Т.1. 1938. 348 с.

72. Ларин В.Б. Алгоритмизация процедуры выбора обобщенных координат // Изв.РАН. МТТ. 1993. №1. С. 37-42.

73. Ли (Chang-Jin Li). Новая форма описания динамики манипуля-ционных роботов на основе представления Лагранжа. // Современное машиностроение, Серия Б. 1990. №8, С. 97-61.

74. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных тел. М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1993. 272 с.

75. Лилов Л.К. Структура, кинематика и динамика // Успехи механики. 1983. №1-2. С. 53-90.

76. Лилов Л., Чириков В. Об уравнениях динамики систем взаимосвязанных тел // ПММ. 1981. Т. 45, вып. 3. С. 525-534.

77. Литвин, Тан. Определение реакций в кинематических соединениях пространственной цепочки звеньев и манипуляторов. Современное машиностроение. Серия Б. 1991. №2. С. 90-97.

78. Литвин-Седой М.З. Механика систем связанных твердых тел // Итоги науки и техники. Общая механика. Т.5. М.: ВИНИТИ, 1982. С. 361.

79. Лоу, Видиасагар. Лагранжева форма уравнений движения ма-нипуляционных робототехнических систем с упругими звеньями // Современное машиностроение. Серия Б. 1989. №3, С. 98-61.

80. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.

824 с.

81. Мани (N.K. Mani), Хауг (E.J. Haug), Аткинсон (К.Е. Atkinson). Применение разложения по особым значениям в анализе динамики механических систем // Конструирование и технология машиностроения. 1985. т. С. 237-243.

82. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 416 с.

83. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. 336 с.

84. Методы компьютерного конструирования моделей классической и небесной механики. Тезисы докл. Всесоюзного совещания. Препринт ЛФ ИМАШ АН СССР, 1989. №32. 83 с.

85. Моделирование сложных механических систем. Тезисы докладов научной конференции. Ташкент: РДЭНТП общества "Знание", 1991. 92 с.

86. Механика промышленных роботов / Под ред. К.В. Фролова, Е.И. Воробьева. Кн. 1: Кинематика и динамика. М.:Высш.шк., 1988. 303 с.

87. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. 342 с.

88. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем. Математические основы. М.: Мир, 1979. 327 с.

89. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 488 с.

90. Морошкин Г.Ф. Уравнения динамики простых систем с интегрируемыми соединениями. М.Наука, 1981. 116 с.

91. Нагараджан (S.Nagarajan), Турчич (A. Turcic). Лагранжевы уравнения движения упругих механизмов взаимозависимости между номинальным и упругим движениями. Часть I. Уравнения на элементарном уровне // Современное машиностроение. Серия Б. 1990. №12, С. 20-31.

92. Нагараджан (S.Nagarajan), Турчич (А. Turcic). Лагранжевы уравнения движения упругих механизмов взаимозависимости между номинальным и упругим движениями. Часть II. Уравнения системы // Современное машиностроение. Серия Б. 1990. №12, С. 32-40.

93. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.

94. Никравеш (P.E. Nikravesh), Хауг (E.J. Haug). Разбиение обобщенных координат для анализа механических систем с неголономными связями // Конструирование и технология машиностроения. 1983. №3. С. 196-296.

95. Пакеты прикладных программ: Аналитические преобразования. М.:Наука, 1988. 160 с.

96. Пакеты прикладных программ: Программное обеспечение математического моделирования. М.:Наука, 1992. 152 с.

97. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. М.: Наука, 1977. 223 с.

98. Парс Л. Аналитическая механика. М.: Наука, 1971. 635 с.

99. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 536 с.

100. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Специальная форма уравнений динамики системы твердых тел. // ДАН СССР. 1989. Т.309. №4. С. 805-807// ДАН СССР. 1990. Т.314. №4. С. 809-813. .

101. Попов Е.П.,Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. М.: Мир, 1978. 400 с.

102. Почтаренко М.В. Комплекс программ по анализу стационарных движений механических систем // Пакеты прикладных программ. Методы и разработки. Новосибирск: Наука, 1981. С. 82-92.

103. Почтаренко М.В. Пакет программ для исследования устойчивости стационарных движений механических систем // Разработка пакетов прикладных программ. Новосибирск: Наука, 1982. С. 75-84.

104. Иочтаренко M.B. Применение систем аналитических вычислений в задачах механики // Пакеты прикладных программ. Функциональное наполнение. Новосибирск: Наука, 1985. С. 3-11.

105. Применение ЭВМ для решения задач механики/ Тезисы докл. научно-техн. конф., 27-28 мая 1991 г. Севастополь. Киев: Знание, 1991. 56 с.

106. Раус Р.Дж. Динамика системы твердых тел. М.: Наука. Т.1. 1983. 464 е.; Т.2. 1983. 544 с.

107. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М.: Высш. шк., 1985. 271 с.

108. Суслов Г.К. Теоретическая механика. M.; JL: Гостехиздат, 1946. 655 с.

109. Суслонов В.М., Иванов В.Н. Уравнения движения механических систем со структурой дерева // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1984. С. 154-158.

110. Суслонов В.М., Иванов В.Н., Бячков А.Б. Метод избыточных координат в задаче моделирования динамики систем твердых тел // VII Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем". Исследование систем. Тезисы докладов. К: КГУ, 1996. С. 130.

111. Суслонов В.М., Иванов В.Н., Бячков А.Б. Метод избыточных координат в задаче построения уравнений динамики систем твердых тел // Второй международный симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докладов. Москва - Великие Луки: Академия космонавтики, 1996. С. 82-83.

112. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ. Под ред. В.Г. Веретенникова. М.: Высш.шк., 1990. 174 с.

113. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

114. Фриберг (О. Friberg). Вычисление параметров Эйлера по трем неколлинеарным точкам // Современное машиностроение. Серия Б.

1989. №3. С. 9-14.

115. Фролов K.B. Проблемы механики в современном машиностроении // Механика и научно-технический прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1978. С. 7-71.

116. Ханукаев Ю.И. О канонических уравнениях механики. М.: МФТИ, 1982. 29 с. Деп. в ВИНИТИ 05.08.82, №4336-82.

117. Ханукаев Ю.И. Алгоритмы моделирования механических систем. М.: МФТИ, 1983. 35 с. Деп. в ВИНИТИ 24.02.83, №1027-83.

118. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // МТТ. 1972. №4. С. 52-73.

119. Хог (E.J. Haug), Маккаллаф (M.K. McCullough). Вариационно-векторный подход к динамике машин // Конструирование и технология машиностроения. 1986. №1. С. 77-87.

120. Черноусько Ф.Л. Динамика управляемых движений упругого манипулятора // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1981. №5. С. 142-152.

121. Черноусько Ф.Л. Динамика систем с упругими элементами большой жесткости // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №4. С. 101-118.

122. Чжан (C.W.Chang), Шабана (A.A. Shabana). Пространственная динамика деформируемых многосвязных систем с переменной кинематической структурой. Часть 1. Динамическая модель // Современное машиностроение. Серия Б. 1991. №2. С. 75-82.

123. Чжан (C.W.Chang), Шабана (A.A. Shabana). Пространственная динамика деформируемых многосвязных систем с переменной кинематической структурой. Часть 2. Преобразование скоростей // Современное машиностроение. Серия Б. 1991. №2. С. 83-90.

124. Чуян Р.К. Методы математического моделирования двигателей летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1988. 288 с.

125. Шабана (A.A. Shabana), Уихэйдж (R.A. Wehage). Анализ упругих механических систем с переменными инерционными характеристи-

ками путем синтеза решения из переменного числа собственных форм подконструкций // Конструирование и технология машиностроения. 1983. №3. С. 188-296.

126. Шабана (A.A. Shabana), Патель (R.D. Patel), Дебчоудхури (А. DebChaudhury), Иланкамбан (R. Ilankamban). Борьба с вибрациями, возникающими от ударов при посадке самолета, рассматриваемого как упругая система многих тел // Конструирование и технология машиностроения. 1988. №2. С. 285-296.

127. Шабана (A.A. Shabana). Описание динамики гибких тел с использованием обобщенных уравнений Ньютона-Эйлера // Современное машиностроение. Серия Б. 1991. №2. С. 53-61.

128. Шет (P.N. Shet), Ходжес (Т.М. Hodges), Уикер мл (J.J. Uicker, Jr.). Матричный метод расчета многозвенных систем с непосредственным и множественным контактом // Современное машиностроение. Серия Б. 1990. №11. С. 108-115.

129. Шимановский В.А., Бячков А.Б. Построение уравнений движения систем твердых тел в символьном виде в пакете " Mathematica" // Второй международный симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докладов. Москва - Великие Луки: Академия космонавтики, 1996. С. 95-96.

130. Шульгин М.Ф. О некоторых дифференциальных уравнениях аналитической динамики и их интегрировании // Тр. САГУ. Вып. 144, 1958. Ташкент: Изд-во САГУ, 1958. 184 с.

131. Шульгин A.M., Супрягина И.И. К исследованию движений связки симметричных твердых тел // Докл. АН УзССР. 1987. №4. С. 2023.

132. Экбил (Е. Akbil), Ли (T.W. Lee). Анализ кинематики и функционирования соединений валов, содержащих пазово-шариковые шарниры // Конструирование и технология машиностроения. 1983. №4. С. 192201.

133. Amirouche F.M.L., Tongyi J., Sitki K.I. A Recursive Householder Transformation for Complex Dynamical Systems With Constraints // ASME Journal of Applied Mechanics. Vol.55. Pp. 729-734.

134. Byachkov A.B., Suslonov V.M., Ivanov V.N. Software for the Computer Simulations of the Multibody Systems Dynamics // International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics. Abstracts. St.Petersburg, 1993. Pp. 136-137.

135. Haug E.J., Wu S.C., Yang S.M. Dynamics of Mechanical Systems with Coulomb Friction, Stiction, Impact and Constraind Addition-Deletion. Theory // Mechanism and Machine Theory, Vol.21, 1986, Pp. 401-406.

136. Kane T.R., Levinson D.A. Multibody Dynamics // ASME Journal of Applied Mechanics, Vol.50, 1983, Pp. 1071-1078.

137. Malanin V.V., Poloskov I.E. On CA application in solving some statistical dynamical problems //IV Intern. Conf. On Com- puter Algebra in Physical Research. Singapore e.a.: World Seien- tific, 1991. Pp. 335-339.

138. Malanin V.V., Poloskov I.E. On some software developments for computer aided analysis of complex objects // VII Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем". Исследование систем. Тезисы докладов. К: КГУ, 1996. С. 89.

139. Malanin V.V., Poloskov I.E. Random effects analysis with computer algebra systems // The ISSAC'96 Poster Session Abstracts. Zürich, Switzerland, July 24-26, 1996 / W.W.Küchlin (editor). Zürich: ЕТНД996. Pp. 55-58.

140. Multibody System Handbook/ W.Schielen (editor). Berlin: Springer, 1991.

141. Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics. Proc. NATO Adv. Study Inst. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 554 p.

142. Singh R.P., Likins P.W. Singular Value Decomposition for Constrained Dynamical Systems // ASME Journal of Applied Mechanics. Vol.52.

Pp. 943-948.

143. Schiehlen W. Nichtlineare Bewegungsgleichungen glober Mehrkorpersysteme // Z. angew. Math, und Mech. 1981. N 9. Ss. 413-419.

144. Schiehlen W. Computer Generation of Equation of Motion // Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics. Proc. NATO Adv. Study Inst. Berlin: Springer-Verlag, 1984. Pp. 183-215.

145. Suslonov V.M., Ivanov V.N., Byachkov A.B. Software for the Multi-body Dynamics Simulations in Studing of the Theoretical Mechanics. // International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics. Abstracts. St.Petersburg, 1993. Pp. 245-246.

146. Wu S.C., Yang S.M., Haug E.J. Dynamics of Mechanical Systems with Coulomb Friction, Stiction, Impact and Constraind Addition-Deletion. Planar Systems // Mechanism and Machine Theory, Vol.21, 1986, Pp. 407416.

147. Wu S.C., Yang S.M., Haug E.J. Dynamics of Mechanical Systems with Coulomb Friction, Stiction, Impact and Constraind Addition-Deletion. Spatial Systems // Mechanism and Machine Theory, Vol.21, 1986, Pp. 417425.