Разработка математической модели и численная реализация оптимизационного прочностного расчета силовой схемы крыла самолета тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Пантелеев, Сергей Дмитриевич

• Пантелеев, Сергей Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пантелеев, Сергей Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

ОПТИМАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

ГЛАВА I. ПРОЧНОСТНОЙ РАСЧЕТ КРЫЛА САМОЛЕТА.

§1.1. Расчет призматической оболочки с учетом влияния граничных условий.

§ 1.2. Расчет сечения с использованием гипотезы плоских сечений для нормальных напряжений

§ 1.3. Исследование затухания краевого эффекта

§ 1.4. Исследование поведения решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений

§ 1.5. Методика прочностного расчета крыла самолета

§ 1.6. Примеры расчетов

ГЛАВА П. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КОНСТРУКЦИЯМИ МИНИМАЛЬНОЙ

МАССЫ И РАВНОПРОЧНЫМИ.

§ 2.1. Постановка задачи проектирования оптимальных и равнопрочных конструкций

§ 2.2. Критерий совпадения равнопрочной конструкции и конструкции минимальной массы.

ГЛАВА Ш. ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ ПРОЧНОСТНОЙ РАСЧЕТ КРЫЛА

САМОЛЕТА.

§ 3.1. Постановка задачи оптимизации.

§ 3.2. Описание метода оптимизации.

§ 3.3. Примеры оптимизационных расчетов.J

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математической модели и численная реализация оптимизационного прочностного расчета силовой схемы крыла самолета»

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

Проектирование оптимальных конструкций - пожалуй, самая молодая область приложения вычислительной математики в строительной механике, наиболее бурно развивавшаяся последние двадцать лет, хотя первые работы, выполненные в этом направлении, восходят к Галилею и Лагранжу Классические результаты, не потерявшие свою актуальность и в наше время, получены в конце прошлого, начале нашего века jQS , 89J. Статистический анализ показывает, что число публикаций в области оптимального проектирования конструкций удваивается каждые 4,5 года и на 1975 год составило не менее 4000 ^58у. Это объясняется актуальностью задач, которыми занимается данное направление вычислительной математики. Все более широким становится круг рассматриваемых вопросов, постановок задач и методов их решения.

До начала 1960-х годов и, в меньшей степени, даже до наших дней в исследованиях по конструированию внимание прежде всего уделялось развитию методов анализа конструкции. Обусловлено это тем, что зачастую при проектировании конструктор не имел в своем распоряжении даже надежных прямых методов расчета. В настоящее время все большее внимание привлекают к себе вопросы развития методов синтеза конструкции.

Методы оптимального проектирования стали разрабатываться в основном в нашем веке. В начале века были решены некоторые задачи об оптимальных арках ^88 , 89J. В тридцатые и сороковые годы наибольшее внимание привлекали упругие фермы ^54 , 55^. В пятидесятых годах появились работы по оптимизации балок, рам и первые исследования об оптимальных пластинах и оболочках.

С развитием техники расширился комплекс воздействий на конструкцию, усложнились ее геометрия, повысились требования, предъявляемые к ней, появилось большое количество новых конструктивных материалов. Все это усложнило задачу анализа конструкции, а тем более задачу синтеза.

Огромное влияние на оптимальное проектирование конструкций оказало создание и развитие теории математического программирования и появление быстродействующих ЭВМ. Это намного расширило круг конструкций и физических моделей доступных оптимизации.

В настоящее время важнейшей проблемой является создание алгоритмов и их систем обеспечивающих надежное решение задач оптимального проектирования, выдвигаемых требованиями практики.

Рассмотрим подробнее следующие вопросы: в чем же заключается задача оптимального проектирования (какие возможны постановки этой задачи), чем обусловлены трудности решения этих задач и какие возможны подходы при их решении.

Оптимальная конструкция - это конструкция наилучшая в некотором смысле по сравнению с остальными. Т.е. понятие оптимальной конструкции не может рассматриваться без указания класса конструкций, в котором ищется наилучшая, и критерия оптимальности, по которому она выбирается. Определив класс, в котором ищется оптимальная конструкция, мы тем самым определяем параметры, за счет вариации которых (в некоторых пределах) и отыскивается наилучшая. Таким образом, все многообразие задач оптимального проектирования порождается выбором критерия оптимальности конструкции, указанием параметров, за счет вариации которых отыскивается оптимальная, а также ограничений, которые накладываются на область изменения параметров. Ограничения обычно являются функциональным отражением требований, предъявляемых к конструкции.

По типу варьируемых параметров, в настоящее время, выделились, в основном, следующие направления поиска оптимальной конструкции:

1) за счет выбора размеров отдельных элементов конструкции (задача об оптимальном распределении материала);

2) за счет выбора параметров материала;

3) за счет выбора конфигурации конструкции;

4) за счет выбора типа конструкции.

В настоящей работе, в основном, рассматривается задача об оптимальном распределении материала. Для более детального ознакомления с другими направлениями следует обратиться к работам , 16 , 28 , 35 , 37 , 47, 53 , 57 , 58 , 63 , 68 , 70, Э7/7.

В качестве критерия оптимальности обычно выступают следующие функционалы: масса (объем) материала конструкции, стоимость конструкции, жесткость (податливость) конструкции, несущая способность, энергия деформации и т.д.

Ограничения на область изменения параметров обычно порождаются требованиями, предъявляемыми к функциям, описывающим напряженное и деформированное состояние конструкции, ее частотные и критические характеристики, а также живучесть, надежность, технологические качества и т.д. Причем в различных постановках задач функции выбранные в качестве критерия оптимальности и ограничений могут меняться местами.

Обычно инженеру, создающему конструкцию, приходится оптимизировать ее по сложному, зачастую неформализованному, критерию, учитывающему сразу несколько из названных характеристик. При этом необходимо удовлетворить сразу большой группе ограничений. Нет необходимости объяснять, насколько велика сложность такой задачи. Даже при использовании мощных современных вычислительных машин решить задачу оптимального проектирования в достаточно общем виде не представляется возможным.

Кроме того, необходимо отметить, что обычная практика, когда сначала изготавливается опытный образец с последующим его испытанием на работоспособность, в настоящее время дополнена этапом предварительного проектирования, на котором для испытания конструкции используются математические модели и численный анализ, до дорогостоящих этапов рабочего проектирования и воплощения в материале. На этом (предварительном) этапе происходит создание и сравнение конкурирующих вариантов конструкции (без детальной проработки каждого варианта) с целью получения прототипа лучшего инженерного решения. В вычислительном плане это приводит к необходимости решения не одной, а целой серии похожих задач.

Указанные выше причины приводят к необходимости постановки и решения частных задач оптимального проектирования, которые получаются в результате уменьшения числа параметров и числа учитываемых требований. Большинство подходов может вызвать скептическое отношение со стороны инженеров практиков, в связи с тем, что они не принимают во внимание ряд факторов, учитываемых в практике. Однако эти подходы полезны по следующим причинам: во-первых, они дают оценку критерию качества конструкции и могут 'служить основой для сравнения различных конструктивных решений; во-вторых, они могут подсказать проектировщику новое, не очевидное из предыдущего опыта решение; и в-третьих, аналитические решения, исследования частных задач и вытекающие из них рекомендации, безусловно, оказывают помощь при проектировании конструкции.

В настоящее время выделились в основном следующие подходы к решению задачи оптимального распределения материала:

1. проектирование равнопрочных (равнонапряженных) конструкций;

2. проектирование конструкций минимальной энергии деформации при постоянном объеме (массе) материала;

3. проектирование конструкций минимальной массы (объема) при ограничениях на некоторые функции состояния;

4. проектирование конструкций максимальной несущей способности при постоянной массе (объеме) материала.

Использовать в качестве критерия оптимальности постоянство максимальных напряжений во всех элементах конструкции - наиболее естественная и простая идея. Однако такой подход чреват определенными неприятностями. Подробному обсуждению этого вопроса посвящена вторая глава настоящей работы. В некоторых частных задачах идея отыскания равнопрочной конструкции оказывается чрезвычайно плодотворной и позволяет эффективно отыскивать проекты, оптимальные в смысле других критериев. Вопросы отыскания равнопрочных проектов и связь этого критерия оптимальности с другими исследовалась в работах ^20, 21, 25, 29, 39, 56, 69, 83, 94/.

В настоящей работе в основном рассматривается частная задача оптимального проектирования - проектирование тонкостенной пространственной конструкции (являющейся идеализацией силовой схемы крыла самолета) по критерию минимальной массы при условии выполнения некоторых прочностных и технологических требований, предъявляемых к конструкции.

Вопросы о наилучшем распределении материала в тонкостенных элементах конструкций, таких, как пластинки и оболочки, являются постоянными предметами исследований в теории оптимального проектирования. Это объясняется широким применением подобных конструкций в различных областях инженерной практики. В последнее время, в связи с расширением круга исследуемых объектов, получили развитие и стали более обоснованными как постановки задач, так и методы их решения. Переход к двумерным задачам повлек за собой выявление и исследование новых эффектов, что, в свою очередь, привело к некоторым изменениям в постановках задач, апробированных для стержней и стержневых систем.

Задача о наилучшем распределении материала в тонкостенных элементах конструкций обычно выглядит следующим образом: требуется найти описывающую распределение толщин функцию h - точка на срединной поверхности, Мб Р) доставляющую экстремальное значение критерию качества конструкции, при ограничениях (наложенных на некоторые функционалы, зависящие от к ) отражающих требования, предъявляемые к конструкции. Получение решения и анализ его зависимости от параметров задачи настолько сложны, что эта задача к настоящему времени практически не исследована. Для более частных задач и сравнительно простых конструкций выполнен ряд работ, на которых мы остановимся ниже.

Среди всех ограничений, особое место занимают ограничения, которые обычно называют конструктивными или технологическими: k - kmooc » где ktoin » hmasc - некоторые константы. Эти ограничения не всегда включались в постановку задач оптимизации балок, стержней и других одномерных элементов конструкций. Иногда это приводило к некоторым особенностям оптимального распределения материала по элементам конструкции, таким как появление нулевых и бесконечных толщин. Однако обычно задачи обладали свойствами существования и единственности решения, а функционалы критерия качества конструкции принимали конечные значения. При практической реализации полученного оптимального распределения выбиралось распределение близкое к оптимальному по критерию качества, но не имеющее особенностей в виде нулевых и бесконечных толщин.

При переходе к двумерным задачам оптимизации оказалось, что конструктивные ограничения играют существенную регуляризую-щую роль. Игнорирование этих ограничений может привести к тому, что при решении задач на ЭВМ в процессе оптимизации на поверхности двумерного элемента будет формироваться нерегулярная система ребер, которая определяется не единственным образом, а существенно зависит от начального приближения. Теоретические аспекты явлений такого типа исследовались в работах ^36, 59^. Факт существования решения одной частной задачи установлен в /зз/ для случая, когда на функцию А наложено еще одно дополнительное ограничение: ф (кх * hy ) с/Р £ S* , где SО - некоторая константа. р

В результате исследований, проведенных в работах ^3, 7, 33, 36, 59, 91J установлено, что наложение геометрических ограничений на поведение функции А , запрещающих значительное перераспределение материала, оказывается существенным для корректной постановки задачи. Кроме математической корректности следует также иметь в виду, что допущение больших вариаций толщин противоречит используемым уравнениям теории тонких пластин.

Кроме того, оказалось', что существенные трудности могут возникнуть даже при проектировании одномерных элементов конструкций.

Например, в работе ^в/проведено обсуждение вопросов существования, регулярности и единственности решения задач оптимизации конструкций. На примере простой задачи проектирования закреплённого по обоим концам стержня показано, что задача не всегда имеет решение, решение может быть не единственным и не регулярным. Указаны условия, которые надо наложить на искомое распределение площади сечения по длине, чтобы решение было единственным.

Интересный факт относительно области допустимых проектов приведён в [бв]. На простом примере проектирования трёхстержневой рамы показано, что задачи проектирования конструкций могут иметь несвязные множества допустимых проектов.

В последние годы выполнено большое количество работ, по исследованию задач оптимального распределения толщин в пластинах в различных частных постановках. Коротко остановимся на некоторых из них, в основном придерживаясь обзорной статьи J. В работах £8, 9J в качестве критерия оптимальности выбран максимальный прогиб пластинки в заранее неизвестной точке, а в качестве ограничений - вес пластинки и конструктивные ограничения на распределение толщины. Такая постановка приводит к минимаксной задаче. В [$] также получено численное решение соответствующей задачи минимизации максимального значения интенсивности напряжений в изгибаемых пластинах. Обсуждение некоторых результатов оптимального проектирования пластин из условий жесткости и прочности содержится в £34, 47, 73, 80, 90\]. Вопросы оптимизации критических сил потери устойчивости, жесткости и основной частоты колебаний прямоугольных пластинок за счет перераспределения материала в тонких поверхностных слоях рассматривалось в /15^. Отметим работы £е4, 53 , 60 , 72 , 74, 9bj , в которых обсуждаются подходы к задачам многоцелевой оптимизации и методы построения оптимальных и квазиоптимальных решений. Новые постановки задач оптимизации предварительно изогнутых пластин, лежащих на упругом основании, рассмотрены в jlQ, IIJ.

Проектирование оптимальных упругих оболочек по сравнению с оптимизацией пластин приводит к более сложным задачам. Работы, выполненные по этой теме, немногочислен!! и в основном относятся к проектированию пологих оболочек и оболочек вращения.

Однако ввиду их актуальности объем исследований по оптимизации оболочек в настоящее время увеличивается. Оптимальному проектированию цилиндрических оболочек посвящена статья [2,J, Алгоритм оптимизации оболочек вращения переменной толщины, основанный на совместном решении прямых и сопряженных краевых задач и вычислениях градиентов функционалов, предложен в £б1, 62\J. Найдены распределения толщины и кривизны срединной поверхности оболочек вра< щения заданного объема оптимальных по устойчивости. Исследование спектральных особенностей задач оптимизации устойчивости оболо

Процесс решения поставленной задачи оптимального проектирования конструкции, как правило, представляет собой последовательность этапов, на каждом из которых необходимо анализировать имеющуюся конструкцию и на основе этого анализа изменять ее так, чтобы улучшался критерий качества конструкции и выполнялись требования, предъявляемые к ней. Таким образом процесс оптимизации состоит из многократного проведения прямого расчета конструкции (определения напряженного или деформированного состояния, или каких-то других характеристик конструкции продиктованных постановкой задачи) и некоторого правила изменения конструкции.

Чрезвычайно важной и ответственной частью является метод прямого расчета. При рассмотрении каждой новой задачи представляется желательным получить ее наиболее подробное, наилучшее описание (построить точную математическую модель) и затем решить возникшую задачу наилучшим образом. Однако, построение и использование подробной математической модели, учитывающей многие детали задачи чревато рядом неприятностей.

Первые трудности возникают при описании модели. Стремление учесть слишком многое увеличивает возможность упустить из внимания или принизить значение каких-то существенных факторов чек переменной толщины выполнено ж тем самым ухудшить модель. Анализ задачи на основе сложных моделей, как правило, чрезвычайно трудоемок. При оптимизации по большому числу параметров возникает задача минимизации функции большого числа переменных, численное решение которых встречает иногда непреодолимые трудности. Таким образом, желание построить точную математическую модель может привести к тому, что возможность проведения оптимизационного расчёта будет пресечена в корне.

Если же остановиться на очень простой модели, позволяющей построить быстродействующий прямой расчет, то может оказаться, что спроектировать оптимальную конструкцию также невозможно, поскольку исходная задача описывается настолько грубо, что оптимизационный процесс приводит к неверному результату. Таким образом, одним из важнейших вопросов, о которым приходится сталкиваться при решении задачи оптимального проектирования конструкции, является вопрос выбора математической модели, на основе которой можно было бы построить прямой расчет, с одной стороны обладающий достаточной точностью, а с другой стороны тлеющий быстродействие, позволяющее проводить оптимизационный процесс в приемлемое время.

Причем, при решении вопроса выбора математической модели следует ясно представлять на каком этапе проектирования она будет использоваться и какие цели при этом преследуются. Строгих рекомендаций тут, видимо, быть не может. Однако можно сказать, что на этапе эскизного (предварительного) проектирования, когда отыскивается прототип лучшего варианта среди множества конкурирующих инженерных решений предпочтение следует отдавать простым быстродействующим методикам, учитывающим лишь основные, определяющие эффекты, а на этапе рабочего проектирования, когда происходит детальная проработка выбранного варианта - более . точным.

Кроме того следует иметь ввиду, что если различные области конструкции работают в разных условиях и реализуемые в них напряженно-деформированные состояния различны по сложности, то использовать для всей конструкции единую модель неразумно, поскольку пользуясь простой моделью мы не сможем хорошо описать зоны со сложным напряженно-деформированным состоянием, а применяя точную модель мы потратим много усилий напрасно для зон с простым напряженно-деформированным состоянием. Естественно, пользоваться в каждой из областей максимально простой моделью, но описывающей с необходимой точностью реализуемое в ней напряженно-деформированное состояние. В первой главе настоящей работы предлагается методика прочностного расчета силовой схемы крыла самолета, которая реализует такой подход. Выполненная работа направлена на создание программного комплекса, позволяющего на этапе предварительного проектирования сравнивать различные конструктивные решения по их оптимальным проектам. Поэтому при выборе моделей особое внимание уделялось вопросам быстродействия разрабатываемой методики. Предлагается методика, согласно которой крыло разбивается на три зоны: первая - зона заделки, вторая - зона затухания влияния граничных условий и третья - зона,в которой распределение нормальных усилий подчиняется гипотезе плоских сечений (на нормальные перемещения такое условие не накладывается). Для каждой зоны применяется своя модель. Для третьей зоны используется простейшая модель, в которой определение нормальных напряжений проводится как и в классической балочной теории, но приведено к виду, удобному для алгоритмизации. Для определения касательных напряжений предложен новый подход, позволяющий получать кусочно-параболическое распределение по всему контуру. Для второй зоны используется модель, приводящая к краевой задаче с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, совпадающих с вариационными уравнениями Власова £гт/» если в последних пренебречь моментными членами. Однако используемые дифференциальные уравнения получены в других предположениях, что позволяет провести исследование, конкретизирующее общий принцип Сен-Венана для рассматриваемой конструкции и на основании этого исследования обоснованно пользоваться простейшей моделью на максимально возможной части крыла. Для первой зоны предложена модель, основное назначение которой - правильно "ухватить" качественную картину граничных условий и перенести их к началу второй области. Кроме того, проведено исследование, позволяющее при решении краевой задачи (возникающей в области затухания краевого эффекта) заранее сказать, можно ли обойтись без специальных прогоночных методов, требующих дополнительных затрат. Выбор используемых моделей продиктован теми задачами, на решение которых направлена выполненная работа, однако могут быть привлечены и другие методы анализа силовых конструкций летательных аппаратов, обсуждение и систематизацию которых можно найти в работах ^14, 23, 26, 28, 43-46, 64, 65J. Мы же приведем лишь краткое обсуждение основных подходов, которыми пользуются при анализе авиационных силовых конструкций, придерживаясь в основном работы /43/.

Летательные аппараты являются одной из наиболее важных и широких областей технического использования теории пластин и оболочек. Применяемые здесь тонкостенные конструкции весьма многообразны и специфичны. Часто конструктору приходится сталкиваться с геометрически сложными тонкостенными пространственными системами, подкрепленными дискретным набором ребер (стрингеров и лонжеронов) и поперечных связей (нервюр и шпангоутов), - с конструкциями, которые в отличие от традиционных регулярных континуальных объектов теории пластин и оболочек, являются дискретно-континуальными, т.е. сочетают дискретные элементы и непрерывные.

В работе /43У высказано мнение, что "необходимо обосновать и ввести в практику расчетов новые расчетные модели, которые отражали бы в достаточной мере специфику рассматриваемых конструкций и в то же время были бы достаточно эффективны в смысле возможности построения решения". Это высказывание перекликается с приведенными выше соображениями о необходимости использования для различных областей конструкции соответствующих моделей, выбор которых обуславливается конкретной задачей и целями, которые преследуются при её решении.

Разумеется, крыло может быть описано с позиций классических гипотез Кирхгофа-Лява, однако достичь таким образом численных результатов даже при наличии самой мощной вычислительной техники в настоящее время абсолютно не представляется возможным. Это приводит к необходимости перехода к другим, более простым, но результативным моделям.

Традиционной расчетной моделью крыла является тонкостенная балка. Эта модель при всей ее простоте и по сей день играет значительную роль при расчете крыльев большого удлинения. Развитием и уточнением этой модели является модель тонкостенного стержня, сохранявшая характерные для балок понятия о главных осях инерции и оси жесткости, но в то же время учитывающая деформацию и деплана цию поперечного сечения. Не умаляя достоинств этого подхода, заключающегося в простоте и компактности применяемого аппарата, необходимо отметить, что область применения подобных методов весьма ограничена.

Второе направление - это работы, базирующиеся на схематизации тонкостенной конструкции крыла в виде конструктивно-анизотропной косоугольной пластины. Такая схематизация весьма условна прежде всего потому, что восприятие внешней нагрузки пространственной системой и пластиной принципиально различно. Поэтому возможности использования пластины как расчетной модели крыла тонкостенного типа весьма ограничены. Такая модель может быть использована только для расчета крыльев, подкрепленных регулярным набором лонжеронов, стенки которых воспринимают поперечную нагрузку подобно тому, как это имеет место в пластинах. При этом достоверность результатов в значительной степени зависит от удачного выбора численных значений приведенных упругих постоянных анизотропной пластины. Расчет же крыла, как анизотропной пластины на воздействие больших крутящих моментов и сосредоточенных сил, когда касательные напряжения могут даже превосходить нормальные, а также исследование на основе такой модели сложных вопросов термоупругости и несущей способности вообще не представляется возможным.

Третье направление составляют методы, в основу которых положена дискретная расчетная модель упругого тела, т.е. идея конечного элемента. Эти методы, несмотря на весьма условный характер схематизации конструкции, представляют значительный интерес. Их важнейшим достоинством является возможность проводить расчет сложных нерегулярных конструкций на основе простых матричных алгоритмов, вследствие чего эти методы получают все более широкое распространение.

Растущая популярность метода конечных элементов, однако, таит в себе опасность чрезмерного увлечения ими в ущерб другим методам. Не будет преувеличением сказать, что в настоящее время многие склонны видеть в дискретных методах некую панацею от всех бед, между тем, отдавая должное сильное стороне этих методов нельзя забывать и о присущих им недостатках.

- in

Прежде всего следует сказать, что дискретные методы, как и любые другие численные методы, затрудняют возможность качественных исследований работы конструкции, столь необходимых при проектировании. С алгоритмической стороны дискретные методы довольно просты. Однако нельзя забывать, что их применение всегда связано с проблемами устойчивости численной процедуры.

Вообще говоря, противопоставление дискретных методов аналитическим не оправдано. Те и другие методы, взаимно дополняя друг друга, должны развиваться в равной мере. Аналитические методы, описывающие работу конструкции в целом, без излишней детализации, являются основой качественных исследований. Эти методы следует применять при выборе и оптимизации силовой схемы и основных силовых элементов конструкции на ранних этапах проектирования. На этапе же детализации силовых элементов и при проверочных расчетах, когда конструкция рассматривается как сложная статически неопределимая система, важную роль играют дискретные методы.

Кроме того, практика проектирования авиационных конструкций требует создания методов расчета каркасированных тонкостенных конструкций, строго учитывающих дискретность подкрепляющего набора при любом соотношении жесткостей ребер и собственно оболочки, при регулярном и произвольном наборе как постоянной, так и переменной жесткости, при наборе однонаправленном и перекрестном, а также при любом расположении ребер относительно срединной поверхности. Разработке моделей такого типа (обычно называ

Способ модификации конструкции, на основе информации полученной из прямого расчета, обладает сам по себе значительно меньшей трудоемкостью, чем прямой расчет, но является не менее емых дискретно-континуальными) посвящены работы ответственной частью процесса проектирования оптимальной конструкции, т.к. именно он определяет количество перерасчетов конструкции. За время развития теории нелинейного программирования разработано много различных методов решения задач из этой области [22, 42, 67 , 71. Однако, среди этого множества методов невозможно выделить ни одного, который решал бы лучше всех остальных не только любую задачу нелинейного программирования, но даже задачи достаточно широкого класса. На основе разработанных методов создано большое количество стандартных программ. Однако при использовании стандартных программ для решения сложных оптимизационных задач обычно оказывается, что программа эффективно решает задачи оптимизации из класса, с которым автор программы обычно имеет дело или программа, формально говоря, может решить любую задачу оптимизации, но требуемое время решения в подавляющем большинстве случаев выходит за всякие разумные пределы.

Каждый из методов обладает своими характерными свойствами, которые дают ему преимущество, по сравнению с другими, в одних задачах (или на отдельных этапах решения задачи) и делают его неэффективным в других задачах (или на других этапах). Каждая частная задача обладает своими характерными особенностями и именно путем учета этих особенностей можно построить процесс, достаточно быстро приводящий к оптимальной конструкции. К аналогичным выводам приходят и авторы работ £l8, 92J. Отмечается, что если задача рассматривается как "чёрный ящик", то эффективность методов нелинейного программирования обычно невысока, однако её можно существенно повысить путём учёта специфики конкретной задачи, использованием рационального начального приближения, декомпозицией и предложить проектировщику множество различных вариантов проекта.

Именно поэтому в последнее время находит широкую реализацию идея применения разных методов на разных этапах решения задачи. Создаются комплексы программ, которые могут работать как в автоматическом, так и в диалоговом режимах /~22j.

В третьей главе настоящей работы представлен оптимизационный процесс, унитывавдий особенности исходного прямого расчета и использующий на разных этапах решения оптимизационной задачи разные стратегии поиска оптимального проекта.

Представленная работа направлена на создание программного комплекса, позволяющего на этапе предварительного проектирования сравнивать различные конструктивные решения по их оптимальным проектам. Она заключает в себе разработку математической модели для эффективного прочностного расчета; исследование вопроса о соотношении между конструкциями минимального веса и равнопрочными; построение оптимизационного процесса, отыскивающего оптимальный проект для данного конструктивного решения по критерию минимума объема материала конструкции при условии.выполнения некоторых прочностных и технологических ограничений.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении обсуждаются: задача оптимального проектирования, возможные ее постановки, различные подходы и трудности, возникающие при ее решении, а также дан краткий обзор публикаций по исследуемому вопросу. Вырабатываются и обосновываются основные положения работы, продиктованные требованиями поставленной задачи.

Первая глава посвящена разработке математической модели прочностного расчета силовой схемы крыда самолета. В § I.I рассматривается модель для расчета призматической оболочки, учитывающая влияние торцевых граничных условий и приводящая к краевой задаче, с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, совних пренебречь моментными членами. Однако используемые уравнения получены в других предположениях, что позволяет провести в § 1.3 исследование затухания краевого эффекта, которое является конкретизацией общего принципа Сен-Венана для рассматриваемой конструкции. В § 1.2 предложена быстродействующая методика определения напряженно-деформированного состояния сечения призматической оболочки с произвольным многосвязным контуром поперечного сечения. Нормальные напряжения определяются фактически так же, как и в классической балочной теории, только выбрана другая, более удобная для алгоритмизации форма. Для определения касательных усилий предложен новый подход, позволяющий получать кусочно-параболический закон распределения по всему контуру. В § 1.3 проведено исследование, позволившее выделить ядро и получить оценки минимального и максимального положительных собственных значений матрицы дифференциальных уравнений краевой задачи, полученной в § I.I. Дана физическая интерпретация полученных в этом параграфе результатов, которая является основой для определения области, в которой правомерно использование модели, рассмотренной в § 1.2. В § 1.4 проведено исследование поведения решений однородной системы дифференциальных уравнений, на основании которого может быть сделан вывод о целесообразности применения, специальных прогоночных методов для решения краевой задачи. В § 1.5 предложена методика прочностного расчета силовой схемы крыла самолета, являющаяся итогом исследований, проведенных в предыдущих параграфах. Методика реализует предложенный принцип использования для различных областей конструкции разных моделей в следующем виде. Крыло разбивается на три зоны. В первой зоне используется модель, основное назначение которой - правильно "ухватить" качественную картину граничных падающих с вариационными уравнениями Власова если в последусловий и перенести ее к началу второй зоны. Для второй зоны применена модель, рассмотренная в § I.I. Длина второй зоны и метод решения полученной краевой задачи определяется на основе исследований, проведенных в §§ 1.3, 1.4. Оставшаяся часть крыла образует третью зону, в которой используется модель, предложенная в § 1.2. В § 1.6 даны некоторые примеры расчетов, демонстрирующие возможности методики и влияние различных параметров конструкции на напряженно-деформированное состояние.

Вторая глава посвящена анализу соотношения между двумя подходами к решению задачи проектирования: отысканием равнопрочных конструкций и конструкций минимальной массы при условии выполнения прочностных и некоторых технологических ограничений. В § 2.1 обсуждаются постановки задач, обусловленные этими подходами, методы их решения и трудности, возникающие при этом. Вводится понятие характеристического напряжения. В конце параграфа сформулиро-ванны основные выводы относительно сложностей, с которыми может столкнуться проектировщик при отыскании равнопрочного проекта. В § 2.2 введено понятие матрицы влияния и в терминах матрицы влияния и характеристического напряжения дан критерий совпадения равнопрочной конструкции с локально-оптимальной по критерию минимума массы. Пожалуй, впервые результат аналогичный теореме I получен в [94] для стержневых систем и случая, когда в качестве характеристического напряжения выбрано нормальное напряжение в стержне. Позже уделялось много внимания вопросам получения критериев оптимальности для задач в различных постановках, различных конструкций и разного вида функций характеристических напряжений, а также для случая привлечения других ограничений (см. например /*31 , 39, 56, 68, 77, 78, 81^). В теореме I критерий оптимальности сформулирован в форме, удобной для дальнейших разработок для конструкции и функции характеристического напряжения, удовлетворяющих оговоренным перед теоремой условиям. Доказана теорема 2, выделяющая класс "обобщенных" статически определимых систем, для которых оба критерия оптимальности приводят к одинаковому проекту. Приведены два следствия, обосновывающих сделанное в § 2.1 утверждение о том, что равнопрочный проект будет иметь минимальную массу, если конструкция не обладает хотя бы одним из двух свойств: I) взаимным влиянием элементов и 2) неравноценностью элементов (по эффективности работы и вкладу в массу). Это дает некоторое предварительное представление о том, для каких конструкций можно надеяться отыскать проект легче равнопрочного .

Третья глава посвящена построению оптимизационного процесса, позволяющего эффективно отыскивать проект, доставляющий минимальное значение функции массы (объема) материала конструкции и удовлетворяющий некоторым прочностным и технологическим ограничениям. В § 3.1 обсуждается постановка задачи, проводится декомпозиция параметров (на основе учета особенностей прямого расчета), анализируется целесообразность включения в число варьируемых параметров характеристик матриала и размеров продольных элементов. В § 3.2 дается описание стратегии поиска оптимальной конструкции. Оптимизационный процесс реализует идею применения различных правил изменения конструкции на разных этапах решения задачи. В начале делается несколько итераций по правилу усиления перегруженных и ослабления недогруженных элементов. Далее применяется одна из двух стратегий. Если ограничения не нарушены, то производится спуск по направлению антиградиента функции массы до нарушения ограничений. Если ограничения нарушены, то в плоскости постоянной массы решается задача безусловной минимизации функции суммы квадратов величин нарушений прочностных ограничений по всем элементам конструкции. При решении этой задачи используется стратегия, имеющая общие черты с методами Хука-Дживса, Розенброка и методами первого порядка. Методы первого порядка в явном виде не применимы в силу недифференцируемости минимизируемой функции. В этом случае информация о приращении целевой функции при выполнении пробных шагов по ft, независимым направлениям (/2^ - размерность задачи) является недостаточной для выбора хорошего направления улучшения проекта. Предложен эффективный прием для исследования окрестности опорной точки на основе линеаризации исходной задачи определения напряженно-деформированного состояния. В § 3.3 приведены примеры оптимизационных прочностных расчетов, демонстрирующих различие между оптимальными и равнопрочными проектами, влияние различных параметров задачи на ее решение и различие между оптимальными проектами, если для описания конструкции пользоваться разными моделями. В заключении подводится итог представленной работы и выделяются основные результаты.

Работа является составной частью исследований по созданию САПР проводимых совместно ВЦ АН СССР и м.з. им.Сухого и выполнена в рамках плановой темы ВЦ АН СССР "Разработка теории и методов автоматизации проектирования сложных технических объектов" (HI? 0182.9033909).

Программная реализация методики внедрена в практику проектирования и используется в отраслевых КБ.

Основные положения работы опубликованы в /48, 49, 50/. Некоторые результаты работы доложены на X Гагаринских чтениях (Пантелеев С.Д. О соответствии конструкций минимального веса и равнопрочных. - в сб. "Научные чтения по авиации и космонавтике. 1980". Тезисы доклада, М., Наука, 1981, с.219).

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Пантелеев, Сергей Дмитриевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Подведём итог представленной работы и выделим основные результаты. Цель работы - создание программного комплекса, позволяющего на этапе предварительного проектирования получать оптимальные проекты для различных коснтруктивных решений и на основе их сравнения выбирать наиболее удачное. Поскольку работа ориентирована на этап предварительного проектирования, особое внимание уделялось вопросам быстродействия методики.

Во введении обсуждаются: задача оптимального проектирования, возможные её постановки, различные подходы к её решению, а также трудности, возникающие при этом. Даётся краткий обзор публикаций по исследуемому вопросу.

Вырабатывается подход к выбору модели для построения прямого расчёта, основные тезисы которого заключаются в следующем. В разных областях конструкции реализуются различные по сложности напряжённо-деформированные состояния (НДС), поэтому рационально для каждой области пользоваться своей моделью, максимально простой, но описывающей с необходимой точностью соответствующее НДС. Выбор модели определяется степенью сложности реализуемого НДС, этапом проектирования, предполагаемым количеством расчитываемых вариантов, а также целями, которые преследуются в результате расчёта .

Вырабатывается подход к построению правила изменения параметров проекта в процессе оптимизации, основные тезисы которого заключаются в следующем. Среди множества методов решения задач нелинейного программирования невозможно выбрать такой, который решал бы лучше всех остальных, достаточно широкий класс задач. Каждый метод обладает некоторыми качествами, которые дают ему преимущество в одних задачах (на одних этапах решения задачи) и делают его неэффективным в других задачах (на других этапах). Для построения эффективного оптимизационного процесса необходимо использовать на разных этапах решения задачи разные правила изменения параметров проекта, учитывающие специфику задачи и особенности методики прямого расчёта.

Первая глава посвящена разработке математической модели прочностного расчета силовой схемы крыла самолета. В § I.I рассматривается модель для расчета призматической оболочки, учитывающая влияние торцевых граничных условий и приводящая к краевой задаче с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, совпадающих с вариационными уравнениями Власова [17], если в последних пренебречь моментными членами. Однако используемые уравнения получены в других предположениях, что позволяет провести в § 1.3. исследование затухания краевого эффекта, которое является конкретизацией общего принципа Сен-Венана для рассматриваемой конструкции. В § 1.2 предложена быстродействующая методика определения напряженно-деформированного состояния сечения призматической оболочки с произвольным многосвязным контуром поперечного сечения. Нормальные напряжения определяются фактически так же, как и в классической балочной теории, только выбрана другая, более удобная для алгоритмизации форма. Для определения касательных усилий предложен новый подход, позволяющий получать кусочно-параболический закон распределения по всему контуру. В § 1.3 проведено исследование, позволивщее выделить ядро и получить оценки минимального и максимального положительных собственных значений матрицы дифференциальных уравнений краевой задачи, полученной в § I.I. Дана физическая интерпретация полученных в этом параграфе результатов, которая является основой для определения области, в которой правомерно использование модели, рассмотренной в § 1.2. В § 1.4 проведено исследование поведения решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений, на основании которого может быть сделан вывод о целесообразности применения специальных прогоночных методов для решения краевой задачи. В § 1.5 предложена методика прочностного расчета силовой схемы крыла самолета, являющаяся итогом исследований, проведенных в предыдущих параграфах. Методика реализует предложенный принцип использования для различных областей конструкции разных моделей в следующем виде. Крыло разбивается на три зоны. В первой зоне используется модель, основное назначение которой - правильно "ухватить" качественную картину граничных условий и перенести ее к началу второй зоны. Для второй зоны применена модель рассмотренная в § I.I. Длина второй зоны и метод решения полученной краевой задачи определяется на основе исследований, проведенных в § 1.3, 1.4. Оставшаяся часть крыла образует третью зону, в которой используется модель, предложенная в § 1.2. В § 1.6 даны некоторые примеры расчетов, демонстрирующие возможности методики и влияние различных параметров конструкции на напряженно-деформированное состояние.

Вторая глава посвящена анализу соотношения между двумя подходами к решению задачи проектирования: отысканием равнопрочных конструкций и конструкций минимальной массы при условии выполнения прочностных и некоторых технологических ограничений. В § 2.1 обсуждаются постановки задач, обусловленные этими подходами, методы их решения и трудности, возникающие при этом. Вводится понятие характеристического напряжения. В конце параграфа сформулированы основные выводы относительно сложностей, с которыми может столкнуться проектировщик при отыскании равнопрочного проекта. В § 2.2 введено понятие матрицы влияния и в терминах матрицы влияния и характеристического напряжения дан критерий совпадения равнопрочной конструкции с локально-оптимальной по критерию минимума массы. Пожалуй, впервые результат, аналогичный теореме I, получен в [ы] для стержневых систем и случая, когда в качестве характеристического напряжения выбрано нормальное напряжение в стержне. Позже уделялось много внимания вопросам получения критериев оптимальности для задач в различных постановках, различных конструкций и разного вида функций характеристических напряжений, а также для случая привлечения других ограничений (см. например, [31, 39 , 56 , 68 , 77, 78 , 81/). В теореме I критерий оптимальности сформулирован в форме удобной для дальнейших разработок для конструкций и функции характеристического напряжения, удовлетворяющих оговоренным перед теоремой условиям. Доказана теорема 2, выделяющая класс "обобщённых" статически определимых систем, для которых оба критерия оптимальности приводят к одинаковому проекту. Приведены два следствия, обосновывающих сделанное в § 2.1 утверждение о том, что равнопрочный проект будет иметь минимальную массу, если конструкция не обладает хотя бы одним из двух свойств: I) взаимным влиянием элементов и 2) неравноценностью элементов (по эффективности работы и вкладу в массу). Это дает некоторое предварительное представление о том, для каких конструкций можно надеяться отыскать проект легче равнопрочного.

Третья глава посвящена построению оптимизационного процесса, позволяющего эффективно отыскивать проект, доставляющий минимальное значение функции массы (объема) материала конструкции и удовлетворяющий некоторым прочностным и технологическим ограничениям. В § 3.1 обсуждается постановка задачи, проводится декомпозиция параметров (на основе учета особенностей прямого расчета), анализируется целесообразность включения в число варьируемых параметров характеристик материала и размеров продольных элементов. В § 3.2 дается описание стратегии поиска оптимальной конструкции. Оптимизационный процесс реализует идею применения различных правил изменения конструкции на разных этапах решения задачи.Вначале делается несколько итераций по правилу усиления перегруженных и ослабления недогруженных элементов. Далее применяется одна из двух стратегий. Если ограничения не нарушены, то производится спуск по направлению антиградиента функции массы до нарушения ограничений. Если ограничения нарушены, то в плоскости постоянной массы решается задача безусловной минимизации функции суммы квадратов величин нарушений прочностных ограничений по всем элементам конструкции. При решении этой задачи используется стратегия, имеющая общие черты с методами Хука-Дживса, Розенброка и методами первого порядка. Методы первого порядка в явном виде не применимы в силу недифференцируемости минимизируемой функции. В этом случае информация о приращении целевой функции по 17 независимым направлениям ( П - размерность задачи) является недостаточной для выбора хорошего направления улучшения проекта. Предложен эффективный прием для исследования окрестности опорной точки на основе линеаризации исходной задачи определения напряженно-деформированного состояния. В § 3.3 приведены примеры оптимизационных прочностных расчетов, демонстрирующих различие между оптимальными и равнопрочными проектами, влияние различных параметров задачи на ее решение и различие между оптимальными проектами, если для описания конструкции пользоваться разными моделями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пантелеев, Сергей Дмитриевич, 1984 год

1. Абрамов А.А. Вариант метода прогонки. - Ж. вычисл. матем. и матем.физ. 1. В 2t (1961), 349-351.

2. Андреев М.В., Моссаковский В.И., Ободан Н.й. Об оптимальной толщине цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением. ИММ, 1972, т.36, вып.4, 717-725.

3. Баничук Н.В. Об оптимальных формах упругих пластин в задачах изгиба. Изв.АН СССР. МТТ, 1975, № 5, 180-188.

4. Баничук Н.В. Об одной игровой задаче оптимизации упругих тел. Докл.АН СССР, 1976, т.226, В 3, 497-499.

5. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М., Наука, 1980, 255 с.

6. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций. -Изв.АН СССР. МТТ, № 2, 1982, II0-I25.

7. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Миронов А.А. Численное решение двумерных задач оптимизации упругих пластин. Изв.АН СССР. МТТ, 1977, № I, 68-78.

8. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Миронов А.А. Задачи оптимизации с локальными критериями качества в теории изгиба пластин. Изв.АН СССР. МТТ, 1978, № I, I24-I3I.

9. Баничук Н.В., Ларичев А.Д. Оптимизация предварительно изогнутых пластинок. Тр. ХП/Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1980, т.1, 126130.

10. Баничук Н.В., Ларичев А.Д. Предварительно изогнутые пластинки максимальной жёсткости. Изв.АН СССР. МТТ, 1981, № 4, 134-139.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1, М., Наука, 1975, 632 с.

12. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования рациональных конструкций современных летательных аппаратов.-Труды ЦАГИ, вып.1776, 1976.

13. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолётов. М., Машиностроение, 1977.

14. Братусь А.С., Картвелишвили В.М. Приближённые аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих тонкостенных конструкций. Изв.АН СССР. МТТ, 1981, № 6, II9-I39.

15. Виноградов А.И. Проблема оптимального проектирования в строительной механике. Харьков, "Ввда школа", 1970.

16. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М., Госстройиздат, 1958.

17. Герасимов Е.Н. Системный анализ и задачи оптимального проектирования конструкций. Строит, мех. и расчёт, сооруж., 1983, & 4, 7-II.

18. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН 16, вып.З (1961), I7I-I74.

19. Горячев О.А. Об одном методе оптимального распределения материала в тонкой упругой оболочке. Тр. Куйбыш. авиац. ин-та 1971, вып.48.

20. Громницкий B.C., Калинин И.Н. Численное сравнение эффективности критериев оптимальности в задачах строительной механики. Изв.АН СССР* МТТ, 1978, № 4.

21. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М., Наука, 1982, 432 с.

22. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

23. Каганов В.А., Пристер А.А. К решению задач оптимального проектирования. "Строительная механика и расчёт сооружений", № 2, 1978, 8-13.

24. Калинин Й.Н. Определение оптимальных толщин двухслойной комбинированной оболочки. Изв.АН СССР. МТТ, 1977, № 5.

25. Кан С.Н., Свердлов И.А. Расчёт самолёта на прочность. Обо-ронгиз, 1958.

26. Кашин Г.М., Пшеничнов Г.И., Флёров Ю.А. Методы автоматизированного проектирования самолётов. М., Машиностроение, 1979.

27. Комаров А.А. Основы проектирования силовых конструкций. -Куйбышевский авиац. ин-т, 1965,

28. Комаров В.А. Равнопрочные конструкции из композитных материалов. В сб.: "Проектирование оптимальных конструкций", вып.1, КАИ, Куйбышев, 1973.

29. Ланкастер П. Теория матриц. М., Наука, 1978, 280 с.

30. Липин Е.К. Необходимые и достаточные условия локальной оптимальности тонкостенных конструкций максимальной жёсткости. -Уч. записки ЦАГИ, 1980, т.II, & 4, 102*114.I

31. Липин Е.К., Грошев Г.П. Проектирование конструкций минимального объема при ограничениях на обобщённую жёсткость и минимальную толщину. Уч.зап.ЦАГИ, 1979, т.10, № 2, 143-148.1

32. Литвинов В.Г. Оптимальное управление коэффициентами в эллиптических системах. Препринт Ин-та математики АН УССР. Киев, 1979, $ 794, 51 с.

33. Литвинов В.Г., Пантелеев А.Д. Задача оптимизации пластин переменной толщины. Изв.АН СССР. МТТ, 1980, № 2, I74-I8I.

34. Лурье К.А. Задачи оптимального управления математической физики. М., Наука, 1975.

35. Лурье К.А., Черкаев А.В. О применении теоремы Прагера к задаче оптимального проектирования тонких пластин. Изв.АН СССР. МТТ, 1976, В 6, 157-159.

36. Мажид К.И. Оптимальное проектирование конструкций. М., Высшая школа, 1979, 237 с.

37. Малков В.П., Стронгин Р.Г. Оптимизация конструкций по весу из условий прочности. В сб.: "Методы решения задач упругости и пластичности", вып.2, уч.зап.ГГУ, серия - механика, вып.134, Горький, 1971.

38. Малков В.П., Тарасов В.Л. Дискретно равнонапряжённая тонкостенная конструкция и конструкция минимального веса. Изв. АН СССР, МТТ, 1974, Ш 5.

39. Малков В.П., Торопов В.В., Филатов А.А. Имитационный подход к оптимизации деформируемых систем. Прикл.пробл.прочн. и пластичн., Горький, 1982, № 21, 62-69.

40. Медведев ШГ. Некоторые спектральные особенности оптимальных задач устойчивости оболочек переменной толщины. Докл.АН УССР. Сер.А, 1980, № 9, 59-63.

41. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. - М., Наука, 1978, 352 с.

42. Образцов И.Ф. Развитие теории пластин и оболочек при создании конструкций современных летательных аппаратов. В сб. "Теория и практика проектирования пассажирских самолётов". М., Наука, 1976, 61-73.

43. Образцов И.Ф. Методы расчёта на прочность кессонных конструкций типа крыла. Оборонгиз, I960.к

44. Образцов И.Ф., Ананов Г.Г. Строительная механика окошенных тонкостенных систем. М., Машиностроение, 1973, 693 с.

45. Одиноков Ю.Г. Расчёт тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и оперения самолёта. Труды Казанского авиационного института, выпДВ, 1947.

46. Ольхов Н. Оптимальное проектирование конструкций. М., Мир, 1981, 275 с.

47. Пантелеев С.Д. Оптимизационный прочностный расчёт крыла самолёта. "Вопр.мех. деформируем.сред. 4.2". М., 1981, 123139, ил. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 4 марта 1982 г., № 919-82 Деп.)

48. Пантелеев С.Д. О соответствии конструкций минимального веса и равнопрочных. В сб. "Числ. методы в мех. твёрд, деформ. тела". М., 1984, I54-I6I.

49. Пантелеев С.Д. Простая методика определения напряжённого состояния сечения призматической оболочки. В сб. "Числ.методы в мех. твёрд, деформ. тела". М., 1984, I62f-I69.

50. Почтман Ю.М., Харитон I.E. Оптимальное проектирование конструкций с учётом надёжности. "Строительная механика и расчёт сооружений", 1976, № 6, 8-15.

51. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М., Мир, 1977, 109 с.

52. Рабинович И.М. Теория вантовнх ферм. Техника и экономика путей сообщения. Вып.1-4, 1924.

53. Рабинович И.М. К теории статически неопределимых ферм. -М., Трансжелдориздат, 1933.

54. Рабинович И.М. Стержневые системы минимального веса. Труды П Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, вып.З, М., Наука, 1966.

55. Рейтман М.И. Постановка задач оптимального проектирования строительных конструкций, "Строительная механика и расчёт сооружений", 1978, № 4, 6-14.

56. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М., Наука, 1976.

57. Сейранян А.П. Исследование экстремума в оптимальной задаче о колебаниях круглой пластинки. Изв.АН СССР. МТТ, 1978, № 6, II3-II8.

58. Сейранян А.П. Квазиоптимальные решения задачи оптимального проектирования с различными ограничениями. Прикл.механика. 1977, т.13, Jfc 6, 18-26.

59. Солодовников В.Н. К методам оптимизации оболочек по устойчивости и напряжённому состоянию. Динамика сплошной среды: Сб.статей. Новосибирск* Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1976, вып.27, 135-143.

60. Солодовников В.Н. Оптимизация упругих оболочек вращения. -ПММ, 1978, т.42, вып.З, с.511-520.

61. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. -М., Наука, 1982.

62. Украинцев Г.В. Инженерный метод расчёта на прочность тонкостенных конструкций. Труды ЦАШ, вып.882, 1963.

63. Украинцев Г.В., Фролов В.М. О некоторых случаях оптимизации формы крыла в плане по условиям прочности. "Уч.зап.ЦАГИ",1983, 14, № I, 57-65.

64. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., Наука, 1975.

65. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., Мир, 1975, 534 с.

66. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. -М., Мир, 1983, 478 с.

67. Чирас А.А. Теория и методы оптимизации упруго-пластических систем. Л., Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1974.

68. Чирас А.А. Математические модели анализа и оптимизации упруго-пластических систем. Вильнюс, "Можелас", 1982.

69. Эрроу К., ^Гурвиц Дж., Удзава Ж. Исследования по линейному и нелинейному программированию. ИЛ, 1962.

70. Banichuk N.V., Karihaloo B.L. Minimum-weight design of multipurpose cilindrical bars. Internat. J. Solids and Struct., 1976, V.12, N p.267-273.

71. Haug E.J. A review of distributed parameter structural optimization literature. Optimization of Distributed Parameter Structures. Jowa, 1980 (eds. E.J.Haug and J.Cea), Netherlands, Apphen Ann de Rijn: Sijthoff-Noordhoff, 1981, pp.371.

72. Haug Edward J. A unified theory of optimization of structures with displacemt and compliance constaints. "J. Struct. Mech.", 1981, 9, №4, 415-437.

73. Khot U.S. Algorithms based on optimality criteria to design minimum weight structures. "Eng. Optim.", 1981, 5, №2, 73-90.

74. Kicher T. Optimum Design. Minimum weight versus Pully Stressed. "Proceed of the American Society of Sivil Engineers", 1966, v.92, №ST6.

75. Koyama Ken, Chou Takashi. Efficiency in obtaining optimum design. "Trans. Jap. Soc. Civ. Eng.", 1981, 12, 30-36.

76. Lagrange J.-L. Sur la figure des oolones. Mescellanea Tau-rinsia, 1770-1773.

77. Levy R. Stress constaints in optimality criteria design. -"AIAA/ASME/ASCE/AHS 23-rd Struct., Struct, Dyn. and Conf.,

78. New Orleans, La, May 10-12, 1982. Collect. Techn. Pap.Pt.2" New York e.a., 368-376.87* Levy R. Stress constraints and screening of optimality criteria design. "AIAA Journal", 1983, 21, №7, 1028-1038.

79. Maxwell J.C. On recipracal figures, frames and diagrams of force. Scientific Papers, vol.2 Univ. Press, Cambridge, England, 1890.

80. Michell A.G.M. The limit of economy of material in frame structures. Philos. Mag., v.8, №47 (London, 1904).

81. Niordson F., Olhoff N. Variational methods in optimization of structures. Proc. Sympos & Trends in Solid Mechanicseds. J.F.Besseling and A.M. van der Heijden) Delft: Univ. Press, Sijthoff and Noordhoff, 1979, 177-194.

82. Olhoff N., Cheng K.-T. Optimal design of solid elastic plates. Proc. Advanced Study Institute Optimization of Distributed Parameter Structures. Jowa, 1980 (eds. E.J. Houg and J.Cea), Netherlands, Sijthoff-Noordhoff, Alphen Ann de Rijns 1981, 278-303.

83. Pedersen Pauli. The integrated approach of FEM-SLP for solving problems of optimal design. -"Optimizat. Distrib. Parameter Struct, vol.1", Alphen Ann den Rijn, Rockville, Md, 1981, 757-780.

84. Rajaraman A., Schmit L.A. Basis reduction concepts in large scale structural synthesis. "Eng. Optim", 1981, 5» №2, 91-104.