Разработка математической модели, алгоритма и программного обеспечения для спектральной оценки временных рядов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Мухамбетжанов, Арман Сулейманович

• Мухамбетжанов, Арман Сулейманович
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мухамбетжанов, Арман Сулейманович

Введение

Глава 1 Состояние вопроса, постановка задачи спектрального оценивания, и оценивания параметров многочастотного сигнала

1.1 Постановка задачи, основные математические соотношения

1.2 Анализ методов интерполяции

1.3 Разрешающая способность ДПФ, дополнение нулями и дискретизация в частотной области.

Выводы к главе

Глава 2 Разработка математической модели и алгоритма определения параметров многочастотного сигнала

2.1 Критерии дискретизации выборки для оценивания параметров смеси гармонических сигналов

2.2 Спектральный анализ на ограниченном интервале времени

2.3 Математическая модель и метод определения параметров многочастотного сигнала

Выводы к главе

Глава 3 Линейная интерполяции дискретного преобразования Фурье

3.1 Решение уравнения математической модели алгоритма линейной интерполяции дискретного преобразования Фурье

3.2 Применение различных оконных функций для спектрального анализа конечного сигнала

3.3 Алгоритм линейной интерполяции дискретного преобразования Фурье.

Выводы к главе

Глава 4 Практическое применение алгоритма линейной интерполяции дискретного преобразования Фурье

4.1 Применение алгоритма ЛИДПФ в цифровом стандарте вещания DVB

4.2 Применение алгоритма ЛИДПФ в вибрационном анализе.

Выводы к главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математической модели, алгоритма и программного обеспечения для спектральной оценки временных рядов»

Состояние и перспективы развития информационных технологий на современном этапе характеризуются становлением и широким практическим использованием техники цифровой обработки сигналов — одной из самых динамичных и быстро развивающихся технологий в мире телекоммуникаций и информатизации общества. Цифровая обработка сигналов (ЦОС) — это информатика реального времени, призванная решать задачи приема, обработки, сокращения избыточности и передачи информации в реальном времени.

Методы и техника ЦОС вызывают повышенный интерес ученых и специалистов, работающих в различных областях, таких как связь и системы управления, радиотехника и электроника, акустика и сейсмология, радиовещание и телевидение, измерительная техника и приборостроение. Ежегодно во всем мире проводятся десятки международных научно-технических конференций и семинаров, посвященных решению актуальных проблем ЦОС. Издаются многочисленные книги и журналы, освещающие последние достижения в области теории и практики обработки цифровых сигналов. Постоянно растет число предприятий, организаций и научных Центров, использующих в своих разработках методы и технологии ЦОС.

Вся история развития теории и техники ЦОС, как и информатики в целом, напрямую связана с достижениями в области дискретной схемотехники и компьютерных технологий. Дискретизация непрерывной информации во времени и квантование по уровню являются основой ее эффективного кодирования, преобразования, передачи и архивации. Особое значение в замене проблем обработки непрерывной информации более простыми задачами преобразований ее дискретных значений сыграли работы выдающихся ученых в 30—50-х годах XX века [85-89]. С появлением в 40-х годах первых ЭВМ стало реальным возникновение нового фундаментального научного направления вычислительной математики, одним из разделов которой можно считать машинные алгоритмы цифровой обработки данных.

Однако ограниченные вычислительные ресурсы используемых в те годы ЭВМ не позволяли проводить обработку данных в реальном времени [90]. Речь могла идти лишь о моделировании реальных процессов.

Положение начало радикально изменяться с появлением в 60-х годах класса малых ЭВМ, ориентированных преимущественно на решение задач управления и обработки данных в реальном времени. Потенциальная возможность обработки, преобразования и передачи аналоговых по природе сигналов цифровыми методами с помощью малых ЭВМ привлекла внимание специалистов, работающих во многих областях, и прежде всего, в области связи, гидроакустики и обработки речевых сигналов. С этого времени формулируется круг проблем и задач теории ЦОС как самостоятельного научного направления, которому предстоит в дальнейшем свой многоэтапный путь становления и развития.

На этапе развития (1965—1975 гг.) основной предметной областью теории ЦОС были цифровая фильтрация и спектральный анализ, причем оба направления рассматривались с общей позиции частотных представлений. Общей основой развивающихся направлений был синтез цифровых фильтров частотной селекции. Базовые положения теории ЦОС закладывались и апробировались фактически на теории дискретных систем и теории цепей с использованием известного к тому времени набора машинных алгоритмов и, прежде всего, алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Первый крупный вклад в теорию ЦОС внесли американские ученые Б. Голд и Ч. Рэйдер. Их монография [91] стала первой настольной книгой специалистов по ЦОС. Фундаментальной работой, подводящей итоги первого этапа становления теории ЦОС как нового научного направления, безусловно, является книга Л. Рабинера, Б. Голда [92]. Несколько позже появляется одно из первых учебное пособие по ЦОС авторов: А. Оппенгейма и Р. Шафера [77]. Большая часть других известных работ была, как правило, связана с цифровой фильтрацией [93, 94] или с применением методов ЦОС в ряде приложений [95, 96]. Заметный вклад внесли отечественные ученые [97-104].

Было разработано множество методов для спектрального анализа дискретного стохастического процесса, основанных на стандартном дискретном преобразовании Фурье, известных как непараметрический подход (работы Кули, Тьюки, Блэкмана, Дженкинса, Ваттса, Блейхута и др.)- Быстрое преобразование Фурье (БПФ) — это до сих пор один из наиболее используемых методов в оценке спектральной плотности мощности (СПМ), так как он является эффективным, концептуально простым и дает результат с высоким вычислительным быстродействием. Применение БПФ — это получение приемлемых результатов для большого класса сигналов, особенно при их обработке в реальном времени. К сожалению, возникает проблема, заключающаяся в достижении нужного спектрального разрешения и зависимости результатов от шума. Шум увеличивает дисперсию оценки и делает оценку СПМ, основанную на БПФ, неудовлетворительной. Параметрические методы предпочтительнее, когда тип модели и порядок процесса известны, повышение точности по сравнению со стандартными методами преобразования Фурье может быть значительным, даже если вычислительные затраты очень высоки. Данные методы привлекли большое внимание, и было опубликовано большое число статей со статистическим анализом их работы, особенно в области обработки сигналов (Юл, Уолкер, Хинчин, Прони и др.). Однако как уже было сказано, эти методы эффективны, когда имеются сведения об исследуемом процессе.

Одна из основных задач, выполняемых в соответствии с цифровой обработкой, — анализ значений параметров (амплитуд, частот и фаз) составных колебаний в многочастотном сигнале. Для анализа такого рода существует, по крайней мере, две группы методов. Одна из них основана на применении окон данных, ДПФ и интерполяции локальных максимумов. Другая базируется на параметрическом методе Прони и методах корреляции, основанных на свойствах сигнальной матрицы автокорреляции. Во всех этих методах самая серьезная проблема, это нелинейность уравнений, использующихся для определения частот составных колебаний. В методах интерполяции это следует из нелинейности интерполирования применяемых функций, а в параметрических методах, из определения нулей высокого порядка многочлена комплексной переменной или определения максимума СПМ.

В связи с выше сказанным в представленной работе был разработан метод линейной интерполяции ДПФ (ЛИДПФ). Предложенный метод позволяет избегать решения нелинейных уравнений, используя некоторые допущения, объединяющие полезные свойства обеих групп рассмотренных выше методов:

1) Частотная характеристика применяемого окна данных аппроксимируется линейными функциями. Окно данных применяется согласно минимизации среднеквадратичной погрешности аппроксимации частотной характеристики окна линейными функциями.

2) Источник погрешностей анализа, в данном случае не непосредственно спектральное растекание, а погрешность ее аппроксимации линейными функциями. Эта погрешность зависит от некоторого параметра окна, применяемого в ЛИДПФ методе, соответствующий выбор которого очень важен для этого метода.

3) Введение окна данных линеаризации учитывает при применении метода наименьших квадратов аппроксимацию спектра многочастотного сигнала линейными функциями и получение линейного матричного уравнения, из которого оценивают амплитуды, частоты и фазы составных колебаний.

4) Возможность получить линейное матричное уравнение, при условии, что модель сигнала подобна полиному функции комплексной переменной. Это означает что, частоты определяются как комплексные величины. Однако когда учтены начальные условия ЛИДПФ алгоритма, мнимые части этих частот незначительны. Поэтому учет комплексных значений частот, полученных в вычислениях ЛИДПФ, позволяет оценить корректность выбора начальных условий, примененных в данном методе.

Также в представленной работе был проведен анализ классических методов интерполяции (интерполяция дополнением нулями, интерполяция с помощью децимации, алгоритм прерывистого z-преобразования, метод частотного искажения).

Данная работа посвящена разработке метода линейной интерполяции дискретного преобразования Фурье, применяемого для анализа амплитуд, частот и фаз составных колебаний в многочастотном сигнале, который позволяет избежать решения сложных нелинейных уравнений.

Целью работы является повышение точности спектральной оценки многочастотного сигнала с учетом априорного знания числа гармонических составляющих, использования предложенного алгоритма линейной интерполяции дискретного преобразования Фурье (ЛИДПФ), и с вычислительными затратами на уровне классических методов. Поставленная цель достигается решением следующих задач: 1) Разработка математической модели ЛИДПФ и реализация на её основе алгоритма оценивания параметров многочастотных сигналов с проведением систематического метрологического анализа последнего; 2) Выбор параметра формы применяемого сглаживающего окна для измерения характеристик сигнала в присутствии шума с целью минимизации погрешности оценивания; 3) Проведение моделирования и сравнительного анализа разработанного алгоритма с классическими методами интерполяции с точки зрения достигаемой точности оценивания параметров исследуемого сигнала; 4) Иллюстрация эффективности предлагаемого метода ЛИДПФ на примере определения параметров поднесущих частот в цифровом стандарте вещания телевидения DVB.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы: элементы векторного анализа; линейная алгебра и геометрия; методы экспериментального исследования, быстрого преобразования Фурье и наименьших квадратов.

Целью научных исследований является: - разработка на основе классических методов интерполяции алгоритма линейной интерполяции ДПФ, позволяющая оценить параметры составных колебаний многочастотного сигнала без применения нелинейных уравнений; проведение численного анализа алгоритма линейной интерполяции ДПФ, позволяющее оценить полную погрешность определения параметров сигнала для случая единственного комплексного колебания с шумом и случая многочастотного сигнала.

На защиту выносятся:

1. Разработанные на основе классических методов интерполяции математическая модель ЛИДПФ, алгоритм и программный комплекс, реализующий эффективный метод спектральной оценки. Принципиальное отличие предлагаемого алгоритма заключается в том, что он позволяет оценить параметры составных колебаний многочастотного сигнала путем решения простого линейного матричного уравнения.

2. Проведенный численный анализ алгоритма ЛИДПФ, позволивший оценить полную погрешность определения параметров сигнала на фоне шума.

3. Полученная методика оптимального выбора параметра формы сглаживающего окна, применяемого в алгоритме ЛИДПФ в случае зашумленного сигнала, частотная характеристика которого аппроксимируется линейными функциями, в результате чего достигаются значения погрешности оценивания меньше чем в классических методах.

4. Применение алгоритма линейной интерполяции ДПФ в цифровом стандарте вещания телевидения DVB, что позволило улучшить оценивание параметров поднесущих частот с использованием 4-позиционной квадратурной фазовой манипуляции или 16- и 64-позиционной квадратурной амплитудной модуляции. А также в вибрационном анализе в области контроля вращающихся машин и оперативной диагностики, в случае выявления дефектов подшипников качения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Построена математическая модель отличающаяся применением линейной интерполяции ДПФ, использование которой позволило разработать более простой в вычислительном отношении и более точный метод оценивания параметров многочастотного сигнала.

2) Разработан численный алгоритм спектральной оценки многочастотного сигнала, основанный на методе ЛИДПФ, и реализующий его программный комплекс, позволяющие получить искомые оценки путём решения простого линейного матричного уравнения.

3) Проведен численный анализ алгоритма ЛИДПФ, позволивший оценить полную погрешность определения параметров сигнала на фоне шума и подтвердить более высокую точность их оценивания по сравнению с ранее известными методами.

4) Предложена методика оптимального выбора параметра формы сглаживающего окна, применяемого в алгоритме ЛИДПФ для зашумленного сигнала, что даёт меньшие значения погрешности оценивания, чем в классических методах

Практическая ценность. Предлагаемый алгоритм и построенный комплекс программ позволяют оценить параметры составных колебаний многочастотного сигнала с небольшими вычислительными затратами. В отличие от других методов нелинейной интерполяции спектра предложенный метод обеспечивает оценивание всех компонентов сигнала решением одного матричного уравнения. Алгоритм ЛИДПФ даёт более точные оценки параметров многочастотного сигнала и может обеспечить относительные погрешности определения значений данных параметров на уровне приблизительно 10"4.

Эффективность предлагаемого алгоритма подтверждена при решении конкретных практических задач, в при определении параметров поднесущих частот в цифровом стандарте вещания телевидения DVB (имеется акт внедрения), а также при решении конкретной практической задачи вибрационного анализа и контроля за работой вращающихся машин и их оперативной диагностики, в частности для выявления дефектов подшипников качения, с помощью вибрационного анализа.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мухамбетжанов, Арман Сулейманович

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Проведен критический анализ четырех классических методов интерполяции сигнала, определивший актуальность разработки алгоритма линейной интерполяции ДПФ. Исследованы возможности восстановления первоначальной последовательности от интерполированного дискретного спектра исследуемых методов. Показана вычислительная эффективность непараметрических вычислительных методов интерполяции спектра. Также определено отношение сигнал-шум в спектре для отдельного метода интерполяции.

2. Разработаны и исследованы алгоритм линейной интерполяции ДПФ и его программная реализация, основанные на полученной математической модели ЛИДПФ, для оценки параметров многочастотного сигнала. Данный алгоритм исключает потребность решения сложных нелинейных уравнений, как правило, используемых в других подобных методах оценивания, что позволило существенно повысить точность спектральной оценки с небольшими вычислительными затратами.

3. Проведен численный, анализ алгоритма линейной интерполяции ДПФ. Рассмотрен случай единственного и многочастотного колебания в присутствии шума.

4. Показана эффективность применения алгоритма линейной интерполяции ДПФ при определении параметров поднесущих частот в цифровом стандарте вещания телевидения DVB, что позволяет значительно повысить помехоустойчивость телевизионного приёма. А также в вибрационном анализе в области контроля вращающихся машин и оперативной диагностики, в случае выявления дефектов подшипников качения. i «г **

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведена разработка математической модели и алгоритма линейной интерполяции ДПФ для оценки параметров многочастотного сигнала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мухамбетжанов, Арман Сулейманович, 2011 год

1. Ст. Andria, М. Savino, and A. Trotta, "Windows and interpolation algorithms to improve electrical measurement accuracy," 1.EE Trans. Instrum Meas., vol. 38, pp. 856-863, 1989.

2. T. Grandke, "Interpolation algorithms for discrete Fourier transform of weighted signals," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-32, pp. 350-355, 1983.

3. F. J. Harris, "On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform," Proc. IEEE, vol. 66, pp. 51—83, 1978.

4. P. Лайонс, Цифровая обработка сигналов. — М.: ООО «Бином-Пресс», 2006.

5. А.И. Солонина, Д.А. Улахович, Л.А. Яковлев, Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

6. V. Н. Jain, W. L. Collins, and D. С. Davis, "High accuracy analog measurement via interpolated FFT," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-28, pp. 113-122, 1979.

7. G. N. Kamm, "Computer Fourier-transform techniques for precise spectrum measurement of oscillatory data with application to the de Haasvan Alphen effect," J. Appl. Phys., vol. 49, 1978.

8. S. M. Kay, Modern Spectrum Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1987.

9. L. Marple, Digital Spectrum Analysis with Applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1987.

10. S. K. Mitra and J. F. Kaiser, Eds., Handbook for Digital Signal Processing. New York: Wiley, 1993.

11. C. Offelli and D. Petri, "Interpolation techniques for real-time multifrequency waveform analysis," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 39, pp. 106-111, 1990.

12. H. Renders, J. Schoukens, and G. Vilain, "High-accuracy spectrum analysis of sampled discrete frequency signals by analytical leakage compensation," IEEE

13. Trans. Instrum. Meas., vol. IM-33, pp. 287-292, 1984.

14. D. С. Rife and G. A. Vincent, "Use of the discrete Fourier transform in the measurement of frequencies and levels of tones," Bell Syst. Tech. J., vol. 49, pp. 197-228, 1970.

15. L. L. Scharf Statistical Signal Processing. Reading, MA: Addison- Wesley, 1991.

16. J. Schoukens, R. Pintelon, and H. V. Hamme, "The interpolated fast Fourier transform: A comparative study," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 41, pp. 226-232, 1992.

17. Браун, Датнер. Анализ вибраций роликовых и шариковых подшипников: Пер. с англ.- Конструирование и технология машиностроения.- М.: Мир, 1979.-т. 101, №1.-с.65-82.

18. Рогачев В.М. Вибродиагностика подшипников скольжения/ В.М. Рогачев //Изв. вузов,- М.: Машиностроение, 1980, №6.-с.23-26.

19. Биргер И. А., Шорр Б.Ф. Динамика авиационных газотурбинных двигателей//М.: Машиностороение, 1981.-232с.

20. Мухамбетжанов А. С. Применение цифровых фильтров при анализе стационарных случайных процессов // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения: труды 2-й Междунар. науч. конф. Саратов: СГТУ, 2005. С. 167-169.

21. Мухамбетжанов А. С. Наплывающие преобразования // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения: труды 2-й Международной науч. конф. Саратов: СГТУ, 2005. С. 169-171.

22. Мухамбетжанов А.С. Влияние ширины полосы частот на сглаживание // Математические методы в технике и технологиях: XIX Междунар. науч. конф. Воронеж: ВГТА, 2006. Т. 8. С. 177-180.

23. Мухамбетжанов А.С. Уменьшение частоты дискретизации цифрового сигнала // Вестник СГТУ 2006. № 4. Вып. 2. С. 12-17.

24. Мухамбетжанов А.С. Оценка спектральной плотности путем наложения нелинейного усреднения // Радиотехника и связь: материалы Междунар. науч.-техн. конф. Саратов: СГТУ, 2004. С. 94-101.

25. Мухамбетжанов A.C. Оценивание спектральной плотности мощности на основе скользящего среднего // Математические методы в технике и технологиях: XVIII Между нар. науч. конф. Казань: КГТУ, 2005. Т. 10. С. 137-139.

26. Мухамбетжанов A.C. Цифровая фильтрация при полиномиальной интерполяции // Радиотехника и связь: материалы третьей Междунар. науч.-техн. конф. Саратов: СГТУ, 2006. С. 84-89.

27. Мухамбетжанов A.C. Перенос и инверсия спектра // Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы конф. Саратов: СГТУ, 2006. С. 521-526.

28. Мухамбетжанов A.C. Интерполяция сигнала с помощью простейших восходящих дискретных систем // Математические методы в технике и технологиях: XIX Междунар. науч. конф. Воронеж: ВГТА, 2006. Т. 8. С. 175-176.

29. Мухамбетэ/санов A.C. Формирование сигнала с одной боковой полосой // Человеческий фактор в управлении социальными и экономическими системами: сб. статей Всерос. науч.-практ. конф. Пенза: ПГСА, 2006. С. 100-103.

30. Мухамбетжанов A.C. Мониторинг каналов в системах с OFDM/QAM сигналами/ В.В. Кисилев, A.A. Львов, А.Е. Руденко, М.С. Светлов, A.C. Мухамбетжанов // Вестник Саратовского государственного технического университета.-2010,-№4.-Вып. 50. С. 13-17.

31. Мухам б етэ/cai юв A.C. II Увеличение масштаба БПФ по частоте/ A.C. Мухамбетжанов // Математические методы в технике и технологияхтехнологиях — ММТТ-23: сб. тр. XXIII Междунар. науч. конф.: в Ют./ Сарат. гос. техн. ун-т. — Саратов, 2010.

32. Evans A.G., Fischl R. Optimal Least-Squares Time-Domain Sinthesis of Recursive Digital Filters. IEEE Trans. Audio. Electroacoust., vol. AU-21, pp. 61-65, February 1973.

33. McDonough R.N. Representation and analysis of signals. Part XV, Matched exponents for the representation of signals. Ph. D. dissertation, Department of electrical engineering, John Hopkins University, Baltimore, Md., April 1963.

34. McDonough R.N., Higgins W.H. Best least-squares representation of signals by exponentials. IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-13, pp. 408-412, August 1968.

35. Van Blaricum M. L., Mittra R. A technique for extracting the poles and residues of system directly from its transient response. IEEE Trans. Antennas Propag., vol. AP-23, pp. 777-781, November 1975.

36. Van Blaricum M. L., Mittra R. Problems and solutions associated with Prony's method for processing transient response. IEEE Trans. Antennas propag., vol AP-26, pp. 174-182, January 1978.

37. Poggio A.J., Van Blaricum M. L., Miller E. K., Mittra R. Evaluation for a processing technique for transient data. IEEE Trans. Antennas propag., vol. AP-26, pp. 165-173, January 1978.

38. Korn G. А., Кот Т. M. Mathematical handbook for scientists and engineers. McGraw-Hill Book company, New York, 1961, pp. 660.

39. Marple S. L., Jr. Spectral line analisys by Pisarenko and Prony methods. Proceedings of the 1979 IEEE International conference on acoustics, Speech, and signals processing. Washington, D. C., pp. 159-161.

40. Marple S. L., Jr. Exponential energy spectral density estimation . Proceedings of the 1980 IEEE International conference on acoustics, Speech, and signals processing. Denver, Colo., pp. 588-591.

41. Trivett D. H., Robinson A. Z. Modified Prony method approach to echo-reduction measurements. J. Acoust. Soc. Am., vol. 70, pp. 1166-1175, October 1981.

42. Kumaresan R., Tufts D. W. Estimating the parameters of exponentially damped sinusoids and pole-zero modeling in noise. IEEE Trans. Acoust. Speech signal process., vol. ASSP-30, pp. 833-840, December 1982.

43. Kumaresan R. On the zeros of the linear prediction-error filter for deterministic signals. IEEE Trans. Acoust. Speech signal process., vol. ASSP-31, pp. 217220, February 1983.

44. Holt J. N. Antill R. J. Determining the number of terms in Prony algorithm exponential fit. Math. Biosci., vol. 36, pp. 319-332, 1977.

45. Kumaresan R., Tufts D. W. Estimating the parameters of exponentially damped sinusoids and pole-zero modeling in noise. IEEE Trans. Acoust. Speech signal process., vol. ASSP-30, pp. 833-840, December 1982.

46. Tufts D. W., Kumaresan R. Estimation of frequencies of multiple sinusoids: Making linear prediction perform like maximum likelihood. Proc. IEEE, vol. 70, pp. 975-989, September 1982.

47. Rahman M. A., Kai-Bor Yu. Improved frequency estimation using total least squares approach. Proceedings of the 1986 IEEE International conference on acoustics, Speech, and signal processing, Tokyo, Japan, pp. 1397-1400, April 1986.

48. L. R. Rabiner, R. W. Schafer, and C. M. Rader, "The chirp-z transform algorithm," IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. 17, pp. 86-92, June 1969.

49. A. V. Oppenheim and D. H. Johnson, "Discrete representation of signals," Proc. IEEE, vol. 60, pp. 681-691, June 1972.

50. C. Braccini and A. V. Oppenheim, "Unequal bandwidth spectral analysis using digital frequency warping," IEEE Trans. Acoust., Speech Process., vol. ASSP-22, pp. 236-244, Aug. 1974.

51. J. Markel, "FFT pruning," IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-19, pp. 305-311, Dec. 1971.

52. Т. V. Sreenivas and P. V. S. Rao, "FFT algorithm for both input and output pruning," IEEE Trans. Acoust., Speech Signal Process., vol. ASSP-27, pp. 291-292, June 1979.

53. J. G. Proakis and D. G. Manolakis, Digital Signal Processing, Principles, Algorithms and Applications. London, U.K.: Prentice-Hall, 1998.

54. Мухамбетжанов А. С. Оценка параметров смеси гармонических сигналов/ А.А. Львов, Ю.А. Морозов, А.С. Мухамбетжанов// Радиотехника и связь: материалы Междунар. науч.-техн. конф. посвященной 15-летию кафедры радиотехники. Саратов: СГТУ, 2004. С. 103-110.

55. L. R. Rabiner and В. Gold, Theory and Applicarion of Digiral Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.

56. F. J. Harris, "On the use of windows for harmonic analysis with the discrete fourier transform," Proc. IEEE, vol. 66, pp. 51-83, 1978.

57. T . I. Abatzoglou, "A fast maximum likelihood algorithm for frequency estimation of a sinusoid based on Newton's method," IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, vol. ASSP-33, pp. 77- 89, 1985.

58. D. C. Rife, and R. R. Boorstyn, "Single tone parameter estimation from discrete-time observations," IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-20, pp. 591598, 1974.

59. E. O. Brigham, The Fast Fourier Transform. Englewood Cliffs. NJ: Prentice-Hall, 1974.

60. C. Narduzzi and C. OffeJli. "Real-time high-accuracy measurement of multifrequency waveforms," IEEE Trans. Instrurn. Meas., vol. IM-36, pp. 964970, Dec. 1987.

61. L. C. Palmer. "Coarse frequency estimation using the discrete Fourier transform," IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-20. pp. 104-109, Jan. 1974.

62. A . V. Oppenheim and R. W. Schafer, Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.

63. A . H. Nuttall, "Some windows with very good sidelobe behavior," IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, vol. ASP-29, pp. 84-91, Feb. 1981.

64. Т. Н . Ortrneyer er al., "The effects of power system harmonics on power system equipments and loads," IEEE Trans. Power App. Sysr., vol. PAS-104. pp. 2555-2563, Sept. 1985.

65. J. Arrillaga, D. A. Bradley, and P. S. Bordger, Power Sysrem Harmonies. New York: Wiley, 1985.

66. G. Andria, P. Di Lecce, G. Noviello, and M. Savino, "Interpola- zione della FFT per la misura delle componenti non-armoniche nelle reti di potenza," L'Energia Elettrica, vol. LXIII, pp. 331-342, Sept. 1986, (in Italian).

67. W. D. Stanley, G. R. Dougherty, and R. Dougherty, Digital Signal Processing. Reston, VA: Prentice-Hall, 1984.

68. L. Benetazzo, C. Narduzzi, and C. Offelli, "Leakage noise reduction in digital signal processing," in Proc. 1st Symp. IMEKO TC4, Como, Italy, pp. 131-136, June 1986.

69. Лебедев A.H., Недосекин Д.Д., Стеклова Г.А., Чернявский Е.А. Методы цифрового моделирования и идентификации стационарных случайных процессов в информационно-измерительных системах — JL: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988.

70. Хуанг Т.С., Эклунд Дж.-О., Нуссбаумер Г. Дж. и др. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. — М.: Радио и связь, 1984.

71. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1989.

72. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. М.: Мир, 1990.

73. Оппенгейм Э. Применение цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1980.

74. Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения. — М.: Мир, 1971.

75. Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения. — М.: Мир, 1971.

76. Голъденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1985.

77. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.

78. Зстманзон II.A. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управление, связи и других областях. М.: Наука, 1989.

79. Варакин JI.E. Системы связи с шумоподобными сигналами — М.: Радио и связь, 1985.

80. Уыдроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. — М.: Радио и связь, 1989.

81. Робинсон Э. История развития теории спектрального оценивания // ТИИЭР, т.70, №9, 1982.

82. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003.

83. О. Solomon, "The use of DFT windows in signal-to-noise ratio and harmonic distortion computations," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 41, Dec. 1992.

84. A. Ferrero and R. Ottoboni, "High-accuracy Fourier analysis based on synchronous sampling techniques," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 41, pp. 780-785, Dec. 1992.

85. Nyquist H. Phys., Rev. 32, 110, 1928.

86. Котельников B.A. О пропускной способности эфира и проволоки в радиосвязи. — М.: Изд.во Всесоюзного Энергетического Комитета, МГУ, 1933.

87. Котельников В.А. Теории потенциальной помехоустойчивости. — М.: Госэнергоиздат, 1956.

88. Железное Н.А. Принцип дискретизации стохастических сигналов с неограниченным спектром и некоторые результаты теории импульсной передачи сообщений//Радиотехника и электроника. — 1958.

89. Игнатьев Н.К. Оптимальная дискретизация двумерных сообщений., Изв. Вузов СССР, Радиотехника, 36, 1957.

90. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. — М.: Радио и связь, 1993.

91. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Под ред. М. Трахтмана.1. М.: Сов. радио, 1973.

92. Рабиниер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.1. М.: Мир, 1978.

93. Введение в цифровую фильтрацию / Под ред. Р. Вогнера, А. Константинидиса. —М.: Мир, 1976.

94. Цифровые фильтры и их применение/В. Каппелини, А.Дж. Константинидис, П. Эмилини. —М.: Энергоатомиздат, 1983

95. Применение цифровой обработки сигналов/Под ред. Э. Оппенгейма. — М.: Мир, 1980.

96. Рабинер Л., Шафер Р. Цифровая обработка речевых сигналов. — М.: Радио и связь, 1981.

97. Коршунов Ю.М., Бобиков А.И. Цифровые сглаживающие и преобразующие системы. — М.: Энергия, 1969.

98. Кузълшн С.З. Цифровая обработка радиолокационной информации. — М.: Сов. радио, 1974.

99. Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. — М.: Сов. радио,1973.

100. Верешкин А.Е., Катковник В.Я. Линейные цифровые фильтры и методы их реализации. — М.: Сов. радио, 1973.

101. Голъденберг Л.М., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. — М.: Связь, 1974.

102. Трахтмаи A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. — М.: Сов. радио, 1975.

103. Мизиы H.A., Матвеев A.A. Цифровые фильтры (анализ, синтез, реализация с использованием ЭВМ). —М.: Связь, 1979.

104. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / Под ред. Л.М. Гольденберга. — М.: Радио и связь, 1982.

105. X. Dai, Т. Tang, and R. Gretsch, "Quasisynchronous sampling algorithm and its application—Part 2: High accurate spectrum analysis of periodic signal," in Proc. IEEE IMTC/93, Irvine, CA, May 1993, pp. 94-98.

106. C. OffeUi and D. Petri, "The influence of windowing on the accuracy of multifrequency signal parameter estimation," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 41, pp. 256-261, Apr. 1992.

107. I. Santamaria, C. Pantaleon, J. Ibanez, and E. Gomez, "Improved procedures for estimating amplitudes and phases of harmonics with applications to vibration analysis," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 47, pp. 209-214, Feb. 1998.

108. X. Dai and R. Gretsch, "Quasisynchronous sampling algorithm and its applications," IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 43, pp. 204-209, Apr. 1994.

109. J. A. de la О and P. Konya. Using a new window on harmonic analysis, presented atICSPAT'99 Proceedings, Orlando, FL, 1999.

110. B.M. Вишневский и др. Широкополсные беспроводные сети передачи информации. М.: Техносфера, 2005.

111. В. Варгузин, А.Артамонов Сравнительные характеристики европейского и американского стандартов цифрового наземного телевидения. // Телеспутник. 1999. №11.

112. А.Д. Витерби, Д.К. Омура, Принципы цифровой связи и кодирования. -М.: Радио и связь, 1982.

113. В.Кухарев, Перспективы развития и преимущества DVB-T в России и странах ближнего зарубежья// www.nat.ru

114. Л.М. Финк, Теория передачи дискретных сообщений. М.: Советское радио, 1970.

115. К. Фукунаг, Введение в статистическую теорию распознавания образов. — М.: Наука, 1979.

116. Л. Френке, Теория сигналов. — М.: Сов. Радио, 1974.

117. А.А. Харкевич, Борьба с помехами. — М.: Наука, 1965.