Разработка информационной системы по специальным функциям математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Пирожников, Алексей Борисович

• Пирожников, Алексей Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пирожников, Алексей Борисович

Введение

Цель диссертации и ее актуальность

Новизна математических и программных подходов.

Практическая значимость работы

Структура диссертации.

Благодарности.

Основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1 Способы реализации представления специальных функций на компьютере

1.1 Обзор представления специальных функций в некоторых математических пакетах.

1.2 Основные моменты предлагаемого подхода.

Глава 2 Математические основы классификационной системы

2.1 Способы классификации специальных функций.

2.2 Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами

2.3 Особые точки дифференциальных уравнений

2.4 Понятие Б-ранга особых точек.

2.5 Формы дифференциальных уравнений

2.6 Конфлюенция и редукция дифференциальных уравнений

2.7 Обобщенная схема Римана.

2.8 Классы уравнений. Гипергеометрический класс. Класс Гой

2.9 Уравнения Пенлеве.

2.10 Ортогональные полиномы. Схема Аски-Вильсона.

2.11 Классификационная схема спецфункций

Глава 3 Система SFTools

3.1 Основные принципы.

3.2 Реализация "SFTools", как приложения Microsoft Windows

3.3 Организация интерфейса "SFTools".

3.4 Организация баз данных "SFTools".

3.5 Использование "SFTools", как системы дистанционного обучения

3.6 Классификация уравнений, задаваемых пользователем

3.7 Дополнительные возможности.

3.8 Краткий анализ реализации системы.

Глава 4 Математические аспекты системы SFTools

4.1 Разложение Яффе-Лая.

4.2 Модификация алгоритма Яффе-Лая для редуцированного биконфлюентного уравнения Гойна.

4.3 Программная реализация метода Яффе-Лая.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка информационной системы по специальным функциям математической физики»

Цель диссертации и ее актуальность

Целью диссертационной работы является создание программной системы, предоставляющей аналитическую информацию и средства для численной обработки специальных функций математической физики следующих классов: гипергеометрического класса, класса Гойна, класса Пен-леве и класса ортогональных полиномов.

Современная физика, как теоретическая, так и экспериментальная, широко использует математический аппарат специальных функций. Существует множество справочников и учебно-методической литературы, посвященных этой тематике [1], [2], [4], [18], [37], [40], [49], [62]. Однако, большинство из них написано в духе математики прошлого века и, соответственно, содержат информацию лишь о специальных функциях гипергеометрического класса. Исследования в разных областях физики последних лет требуют использования более сложных "линейных" и "нелинейных" спецфункций. Аналитические формулы для таких спецфункций довольно громоздки. Кроме того, восприятие отдельно взятых формул без информации об их "местоположении" в структуре специальных функций и возможных связях с другими формулами, довольно затруднено и является недостаточным для решения широкого круга задач. Возможным подспорьем в этой области могут послужить информационно-справочные компьютерные системы, использующие достижения современных информационных технологий. Представление данных в удобном виде, связанность информации, адаптируемость системы для потребностей пользователя - все это обеспечивает перспективность подобных систем в качестве "персонального помощника" в исследовательской и учебно-методической деятельности.

Именно эти соображения определяют актуальность выполненной работы и ее дальнейшее практическое применение в качестве основы создания баз знаний и экспертных систем по специальным функциям.

Новизна математических и программных подходов

На основании анализа представления специальных функций в наиболее распространенных на настоящий момент системах компьютерной алгебры и инженерных расчетов, проведенного автором (см. глава 1), сделаны выводы об отсутствии единого структурированного подхода в организации информации и о недостаточной полноте предоставляемой аналитической информации: практически полное отсутствие информации о специальных функциях класса Гойна.

Разрабатываемая в рамках данной диссертационной работы информационно-справочная система "ЗЕТооЬ" призвана устранить указанные недостатки. Система воплощает единый структурированный подход к специальным функциям математической физики, основанный на классификационной теории, предложенной проф. Славяновым С.Ю. [33]. Краткое изложение этой теории (в применении к разрабатываемой системе) приведено в главе 2 данной работы. Использование четкого, структурированного подхода к классификации предоставляемой пользователю информации обуславливает научную новизну предлагаемой работы. Кроме того новизна подхода обусловлена рядом факторов, а именно:

1) В системе " ЭРТоок" представление информации о спецфункциях организовано в виде иерархической структуры - "дерева", которая, во-первых, наглядно отражает используемый классификационный подход и, во-вторых, позволяет осуществлять быстрый поиск необходимых сведений.

2) В системе не требуется консольного ввода команд - работа осутцествляется через графический интерфейс.

3) В систему включены спецфункции класса Гойна, отсутствующие в универсальных системах компьютерной алгебры.

4) В систему включены "нелинейные" спецфункции - трансценденты Пен леве, отсутствующие в универсальных системах компьютерной алгебры.

5) Расширено представление ортогональных полиномов. Помимо классических ортогональных полиномов включены ортогональные полиномы, представленные в схеме Аски-Вильсона.

6) В систему включены средства для классификации и поиска информации о специальных функциях гипергеометрического класса и класса Гойна, задаваемых пользователем.

7) Численный поиск собственных значений для спецфункций класса Гойна реализован на основе разложения Яффе-Лая, что позволяет избежать некоторых недостатков, присущих традиционным методам.

Практическая значимость работы

Основные моменты, которые, по мнению автора, обуславливают практическую значимость разрабатываемой информационной системы и данной диссертационной работы состоят в следующем:

1) Система " ЭРТоок" позволяет специалистам: математику, физику, инженеру - в автономном режиме быстро находить необходимые аналитические выражения из теории спецфункций.

2) Система предполагается к выпуску в виде отдельного СБ-диска, являющегося приложением к книге Славянова С.Ю. и Лая В. "Специальные функции. Единая теория, основанная на сингулярностях." книга выходит в издательстве " Oxford University Press" в 2000 году и планируется к публикации издательством "Невский диалект" в 2001 году).

3) Система "SFTools", взаимодействуя с "Системой дистанционного обучения и проверки знаний REXAM" (СПбГТУ) позволяет проводить занятия по специальным функциям математической физики для студентов старших курсов с использованием сети Интернет.

4) Возможность вывода содержащихся в системе аналитических выражений в формате ETgK предоставляет пользователю удобное средство для включения в публикации необходимых математических формул.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Пирожников, Алексей Борисович

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту

1) Разработана информационно-справочная система по специальным функциям математической физики. Система использует единый структурированный классификационный подход, что существенно облегчает аналитический анализ взаимосвязей функций.

2) Система предоставляет средства для классификации специальных функций, задаваемых пользователем (для специальных функций гипергеометрического класса и класса Гойна).

3) Реализован клиент "Системы дистанционного обучения и проверки знаний REXAM" (СПбГТУ), что позволяет использовать информационную систему в учебном процессе с использованием сети Интернет.

В систему включена систематизированная информация о специальных функциях класса Гойна, практически отсутствующая в других информационных и математических пакетах.

Реализован обобщенный алгоритм Яффе-Лая для численного изыскания собственных значений уравнений класса Гойна.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пирожников, Алексей Борисович, 2000 год

1. Бейтсмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. тт. 1- 3, М.: Наука, 1967

2. Березин Б.И., Березин С.Б. Начальный курс С и С++. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996 - 288 с.

3. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. т. 5 М.: "Издательство УРСС", 1998 - 384 с.

4. Васильев H.H., Еднерал В.Ф. Компьютерная алгебра в физических и математических приложениях, 1994 N 1. с. 70 - 82

5. Воробьев Е.М. Введение в систему "Математика": Учеб. пособие. -М.: Финансы и статистика, 1998. 262 с.

6. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. - 208 с.

7. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная информатика. Основание информатики: Пер. с англ. М.: Мир, 1998. - 703 с.

8. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: CK пресс, 1998. - 328 с.

9. Дьяконов В.П. Справочник по применению PC MatLAB. М. Физ-матлит, 1993. - 112 с.

10. Дэн Оузьер, и др. Delphi 3. Освой самостоятельно / Пер. с англ. -М.: "Издательство БИНОМ", 1998 560 с.

11. Зеегер А., Лай В., Славянов С.Ю. Вырождение фуксовых уравнений второго порядка. ТМФ, т. 104, N 2, с. 233-247, 1995.

12. Казаков А.Я., Славянов С.Ю. Интегральные представления для специальных функций класса Гойна. ТМФ, т. 105. N 6. 1996.

13. Казаков А.Я., Лай В., Славянов С.Ю. Задачи на собственные значения для уравнений класса Гойна, Алгебра и анализ, т. 8 N2, с. 129-141, 1996.

14. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978 - 512 с.

15. Кнут Д.Е. Все про TßX/ Пер. с англ. М.В. Лисиной. Протвино: АО RDTeX, 1993 - 592 с.

16. Компьютерная алгебра. Под ред. П. Лооса и Б. Бухбергера. Перевод В. Гердта, Д. Григорьева, В. Ростовцева, С. Славянова, 1986, М., Мир.

17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978. - 832 с.

18. Львовский С.М. Набор и верстка в пакете ВД?еХ. М.: Мир, 1997. -208 с.

19. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Информационно-издательский дои "Филинъ", 1998 - 240 с.

20. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980 - 536 с.

21. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений: Учеб. пособие. -2-е изд., испр. и доп. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1998 - 472 с.

22. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965 -384 с.

23. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. с англ.; Под. ред. A.A. Абрамова. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986 288 с.

24. Основы математического моделирования с примерами на языке MATLAB. Изд. 2-е дор.: Учебное пособие/ Д.Л. Егоренков, А.Л. Фрадков, В.Ю. Харламов; Под ред. д-ра техн. наук А.Л. Фрадко-ва; СПб.: БГТУ, 1996 192 с.

25. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x: В 2-х т. - М.:ДИАЛОГ-МИФИ, 1999

26. Потемкин В.Г. Система MATLAB 5 для студентов. М. ДИАЛОГ-МИФИ, 1998. - 314 с.

27. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М. ДИАЛОГ-МИФИ, 1997. - 350 с.

28. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие: Для вузов. М.: Физматлит, 1994 - 336 с.

29. Самарский A.A. Введение в численные методы. 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 1997 - 239 с.

30. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1993. - 352 с.

31. Славянов С.Ю. Изомонодромные деформации уравнений класса Гойна и уравнения Пенлеве, ТМФ, т. 123. N 3., 2000.

32. Славянов С.Ю. Структурная теория специальных функций, ТМФ, т. 119. N 1. с. 3-19, 1999.

33. Славянов С.Ю. Специальные функции математической физики: учебно-методическое пособие. СПб.: Изд-во НИИХ СПбГУ, 1999.- 54 с.

34. Славянов С.Ю., Золотарев В.И. Принципы организации базы знаний по специальным функциям, Вестник СПбГУ, сер. мат., 1993.

35. Смирнов В.И. Курс высшей математики. 9-е изд., т.З ч.2. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 672 с.

36. Соболев C.JT. Уравнения математической физики: Учеб. пособие: Для вузов / Под ред. A.M. Ильина. 5-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. - 432 с.

37. Страуструп Б. Язык программирования С++, 3-е изд./Пер. с англ.- СПб.; М.: "Невский Диалект" "Издательство БИНОМ", 1999 -991 с.

38. Сурков К.А., Сурков Д.А., Вальвачев А.Н. Программирование в среде DELPHI 2.0 Мн.: ООО "Попурри", 1997 - 640 с.

39. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. 3-е изд. - М.: Наука. Физматлит, 1998. - 232 с.

40. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие.- М.: "Нолидж", 1997. 616 с.

41. Федоров А.Г. Delphi 3.0 для всех М.: КомпьютерПресс, 1998 - 544 с.

42. Шумаков П.В. Delphi 3 и разработка приложений баз данных М.: "НОЛИДЖ", 1998-704 с.

43. Askey, R., Ismail, M. Amer. Math. Soc., 5, p. 108 116, 1984.

44. Bay, K., Lay, W., Akopyan, A., Journal of Physics A 30, 1997, 3057 -3067.

45. Elaydi, S.N., An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg, 1991.

46. Erdelyi, A., Asymptotic Expansions. Dover Publications Inc., 1956.48. "Heun's Differential equation", под ред. A. Ronveaux. Oxford University Press, 1995

47. Hille, E. Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. Dover Publications, New York, 1997.

48. Ince, E.L., Ordinary Differential Equations. Dover Publications, New York, 1956.

49. Jaffe, G., Zeitschrift für Physik, 87, 1933, 535 544.

50. Forsyth, A.R., Theory of Differential Equations, Dover Publications, New York 1959.

51. Kazakov A. Ya., Slavyanov S.Yu. Integral equations for special functions of Heun class, Meth. and Applic. of Anal., 3, N 4, 447-456, 1996.

52. Lay W., Bay K.-H., Slavyanov S.Yu., Asymptotic and numeric study of eigenvalues of the double-confluent Heun equation, J. Phys. A: Math. Gen., 31, 4249-4261, 1998.

53. Lay W., Slavyanov S.Yu., The central two-point connection problem for the Heun class of ODE, J. Phys. A: Math. Gen., 31, 8521-8531, 1998.

54. Lay W., Slavyanov S.Yu., The Heun equation with nearby singularities, Proc. R. Soc. Lond. A. 455, p. 4347-4361, 1999

55. Slavyanov S.Yu. A "differential" derivation of the recurrence relations for classical orthogonal polynomials, Journ. Сотр. and Appl. Math., 49, pp. 251-254, 1993.

56. Slavyanov S Yu. Painleve equations as classical analogues of Heun equations, J. Phys. A.: Math. Gen., 29, 7329-7335, 1996.

57. Slavyanov S. Yu, Lay W., Seeger A. A generalization of the Riemann scheme for equations of hypergeometric class, Int J. Math. Educ. Sci. Technol, 28, N 5, 641-660, 1997.

58. Slavyanov S.Yu., Lay W., Akopyan A.M., Pirozhnikov А.В., Dmitriev V.Yu., Yazik A.B., Zhegunov V. Knowledge Base on Special Functions. Записки научных семинаров ЛОМИ. т. 258, 1999 с. 345 - 354

59. Koekoek, R., Swarttouw, R. The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue. Delft Univ. of Technology. Netherlands. 1994

60. Whittaker E.T., Watson, G.N. A Course of Modern Analysis, University Press, Cambridge 1963.