Символьное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат физико-математических наук Рябенко, Анна Андреевна

• Рябенко, Анна Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рябенко, Анна Андреевна

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения о решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов

1.1. Решение уравнений в обыкновенных и в особых точках

1.2. Решение уравнений с полиномиальными коэффициентами

1.3. т-Разреженные решения и т-точки

1.4. Экспоненциально-логарифмические решения

Глава 2. Решение неоднородных уравнений с помощью рядов с гипергеометрическими коэффициентами

2.1. Решение неоднородных уравнений с помощью рядов

2.2. Решения в виде рядов с гипергеометрическими коэффициентами

2.3. Гипергеометрические точки неоднородных уравнений

2.4. Решения в виде рядов с коэффициентами других видов

Глава 3. Эффективное построение множества т-точек

3.1. Модулярный алгоритм построения для дифференциального оператора разреженного правого делителя с постоянными коэффициентами

3.2. Модулярно-вероятностный алгоритм построения конечного множества, содержащего все т-точки

Глава 4. Экспоненциально-логарифмические решения, содержащие ряды с т-гипергеометрическими коэффициентами . 58 4.1. т-Гипергеометрические решения однородных и неоднородных

рекуррентных соотношений

4.2. Построение общего экспоненциально-логарифмического решения дифференциального уравнения

4.3. ш-Гипергеометрические решения "треугольной" системы рекуррентных соотношений

4.4. Экспоненциально-логарифмические решения, содержащие ряды с га-даламберовыми коэффициентами

Глава 5. Пакет 31ос1е

5.1. Представление входных данных в 31ос1е

5.2. Представление выходных данных в 31ос1е

5.3. Процедуры построения решений в виде формального ряда

5.4. Процедура построения множества точек кандидатов

5.5. Процедура построения множества ш-кандидатов

5.6. Процедуры построения решений в виде ряда с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами

5.7. Процедура построения т-разреженных решений

5.8. Процедура построения т-разреженных т-гипергеометрических решений

5.9. Процедуры построения формальных решений

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Символьное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов»

Введение

Актуальность работы. Значительная часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений посвящена линейным уравнениям (см. [1-5]). Алгоритмы решения линейных уравнений с помощью рядов достаточно подробно разработаны и реализованы как численно, так и в системах компьютерной алгебры. С помощью этих алгоритмов для решения в виде ряда Х^о уп{% ~ а)п в заданной точке х = а можно найти любое заданное число начальных коэффициентов Уо,У\,.. .Ум- Численными методами их значения находятся приближенно, компьютерно-алгебраически — точно.

Частный случай линейного уравнения — уравнение с полиномиальными коэффициентами — изучается в компьютерной алгебре особо ([6, 7]). Последовательность К}~0 в этом случае удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами ([8, 9],[10]).

Использование алгоритмов С А. Абрамова, М. Петковшека построения полиномиальных, рациональных, гипергеометрических, даламберовых решений рекуррентного соотношения (см. [8, 11-15]) дает возможность поиска для дифференциального уравнения решения в виде ряда в заданной точке с коэффициентами, которые можно записать формулой от индекса (и тогда ряд полностью выписывается в явном виде).

С помощью алгоритма П.Е. Глотова (1998) поиска наибольшего общего делителя полиномов Оре, зависящих от параметра (см. [16]), осуществляется поиск разреженных правых делителей разностного оператора и, затем, построение для дифференциального уравнения решения в виде разреженного ряда.

В работах С.А. Абрамова, М. Петковшека (1996, 2000) было показано, как построить множества полиномиальных, рациональных, гипергеометрических точек однородного дифференциального уравнения, то есть таких то-

чек, в которых существует решение в виде ряда с полиномиальными, соответственно, рациональными и гипергеометрическими коэффициентами (см. [9], [10]). С.А. Абрамовым (1997, 2000) рассмотрен вопрос построения множества т-точек, то есть точек, в которых существуют решения в виде разреженных рядов (см. [17-19]). С.А. Абрамовым, М. Баркату (2009) — даламберовых точек (см. [20]).

Таким образом, были созданы теоретические основы поиска для однородного линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами всех решений в виде рядов с полиномиальными и другими указанными выше коэффициентами. Возникла необходимость реализации разработанных алгоритмов для их тестирования и дальнейшего развития. В системе компьютерной алгебры МАРЬЕ имеется эффективная реализация необходимых для этого алгоритмов решения рекуррентных соотношений (см. в [21] пакет ЪРШИюок) и алгоритма поиска наибольшего общего делителя полиномов Оре, зависящих от параметра (пакет ОгеТооЬ).

В том случае, если возникает задача решения неоднородного дифференциального уравнения Ьу(х) = /(х) такого, что для правой части уравнения известен аннулирующий ее дифференциальный оператор М с полиномиальными коэффициентами: М/(х) = 0, то неоднородная задача обычно сводится к решению задачи однородной М о Ьу(х) = 0. Однако при этом возрастает порядок уравнения, степень коэффициентов, будут получены "лишние" решения. Все это сильно сказывается на эффективности упомянутых выше алгоритмов. Возникает необходимость в алгоритмах для неоднородного случая, подобных существующим для случая однородного. Алгоритмы С.А. Абрамова, М. Петковшека, Е.В. Зимы поиска решений неоднородного рекуррентного соотношения (см. [11, 12, 22, 23]) позволяют решить эту задачу в случае поиска решений с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими, даламберовыми коэффициентами в заданной точке для неоднородного диф-

ференциального уравнения, правая часть которого представляется в этой же точке рядом с полиномиальными и др. коэффициентами. Для поиска всех решений с гипергеометрическими, даламберовыми коэффициентами необходимо перенести на случай неоднородный алгоритмы из [9], [10], [20] поиска точек для однородных уравнений.

* * *

Если в обыкновенной точке уравнения любое его решение представимо в виде степенного ряда, то в особой точке решения можно представить в формальном экспоненциально-логарифмическом виде, который содержит конечное число степенных рядов ([6, 24, 25]). Для построения таких решений Э. Турнье (1987), Э. Пфлюгель (1996) использовали алгоритм многоугольников Ньютона и алгоритм Фробениуса. Последовательности коэффициентов рядов, входящих в формальные решения, удовлетворяют системе линейных рекуррентных соотношений с полиномиальными коэффициентами, которая позволяет, как и в случае решений в виде степенного ряда, вычислять любое заданное число начальных коэффициентов. В MAPLE выполнена реализация этого алгоритма в процедуре DEtools[formal_sol].

Аналогично, возникает вопрос о возможности поиска экспоненциально-логарифмических решений дифференциального уравнения, содержащих ряды, коэффициенты которых могут быть выписаны явно. Чтобы решить этот вопрос, необходимо изучить возникающую здесь систему рекуррентных соотношений. Она имеет специальный "треугольный" вид. Для поиска гипергеометрических решений такой системы можно использовать алгоритмы построения гипергеометрических решений однородных и неоднородных рекуррентных соотношений из [11, 13]. С помощью алгоритмов построения даламбе-ровых решений однородного ([14]) и неоднородного ([22, 23]) рекуррентного соотношения можно найти и даламберовы решения системы.

Цель диссертационной работы. Целью настоящей работы является разработка новых и реализация (как новых, так и известных) компьютерно-алгебраических алгоритмов решения с помощью формальных степенных рядов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, однородных и неоднородных.

Научная новизна. В диссертационной работе получен ряд результатов, обладающих научной новизной:

• Утверждение о множестве гипергеометрических точек однородного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами перенесено на случай неоднородного уравнения Ьу{х) = /(х) с такой правой частью, для которой известен аннулирующий ее дифференциальный оператор М с полиномиальными коэффициентами: М/(х) = 0. Обыкновенной точкой такого уравнения называется точка обыкновенная и для оператора Ь, и для оператора М. Показано, что если произвольная обыкновенная точка уравнения является гипергеометрической, то и все обыкновенные точки — гипергеометрические. Этот результат является новым для случая неоднородного уравнения. Разработан и реализован алгоритм построения решения в виде ряда с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами в заданной точке для неоднородного уравнения.

• Реализация первого алгоритма поиска т-точек линейного обыкновенного дифференциального уравнения, который требует вычисления наибольшего общего правого делителя линейных операторов, зависящих от параметра, показала, что этот алгоритм сильно затратен по времени. Разработан и реализован новый, более эффективный, алгоритм поиска т-точек, использующий модулярно-вероятностный подход.

• Поставлена новая задача поиска решений для системы рекуррентных со-

отношений специального вида, возникающей при построении формальных экспоненциально-логарифмических решений дифференциального уравнения Ьу{х) = 0. Разработан и реализован алгоритм построения гипергеометрических и даламберовых решений такой системы. Разработан и реализован алгоритм поиска формальных экспоненциально-логарифмических решений Ьу{х) = 0, содержащих ряды с гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами.

• В системе компьютерной алгебры МАРЬЕ реализован пакет 81ос1е, предоставляющий пользователю

— процедуры построения для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами решений в виде формальных рядов и формальных экспоненциально-логарифмических решений, содержащих ряды с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими, даламберовыми коэффициентами, а также содержащих разреженные ряды;

— процедуры построения множества кандидатов в полиномиальные, рациональные, гипергеометрические, даламберовые точки, а также множества кандидатов в т-точки.

Интерфейс пакета, спецификация и справочная система удовлетворяют современным требованиям, предъявляемым к системам компьютерной алгебры.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанные здесь алгоритмы и их реализация будут полезны при решении любой задачи — теоретической, либо из прикладной области, — требующей поиска решений линейного дифференциального уравнения.

Реализация алгоритмов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, оформленная в виде пакета Slode, включена в систему компьютерной алгебры MAPLE. Первый вариант пакета — в 1999 в MAPLE 6; его расширения включены в последующие версии этой системы. В качестве примеров использования Slode приведем два случая.

С помощью этого пакета была решена задача разложения алгебраической функции в дробно-степенной ряд с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами и определения точек, где такие разложения возможны ([26]). Эта задача реализована в MAPLE в процедуре algcurves[algfun_series_sol].

Также Slode был использован в [27], [28], [29], где была рассмотрена одна из возможностей систем компьютерной алгебры — проведение серии компьютерно-алгебраических экспериментов, приводящей к выдвижению гипотезы и ее доказательству. В результате такого эксперимента была выведена еще одна формула интегрирования функции Бесселя Jn{pc) для нечетных натуральных п. Показано, что для четных п аналогичной формулы не существует.

Структура пакета Slode позволяет программистам в MAPLE расширять его возможности несложными правками. Если будет реализован алгоритм поиска решений нового вида для линейных рекуррентных соотношений, например, лиувиллевых решений ([30]), то в пакет нетрудно будет добавить процедуру построения решения в виде ряда в заданной точке с такими новыми, например, лиувиллевыми, коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации были представлены в докладах на

• международной конференции «Computational Modeling and Computing in Physics», 1996, г. Дубна;

• международной конференции «Modern Trends in Computational Physics», 1998, г. Дубна;

• объединенном семинаре «Компьютерная алгебра» МГУ и ЛИТ ОИЯИ, 1998, 2003, 2005, 2007, г. Дубна;

• семинаре МГУ «Компьютерная алгебра», 1999, 2012, г. Москва;

• международной конференции «Formal Power Series and Algebraic Combinatorics», 2000, г. Москва;

• международной конференции «Computer Algebra and its Application to Physics», 2001, г. Дубна;

• международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 106-летию со дня рождения И.Г. Петровского, 2007, г. Москва.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 7 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК [10, 26, 28, 31-34] и 3 статьи в сборниках трудов конференций [27, 35, 36].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы. Общий объем работы составляет 121 страницу. Список литературы содержит 39 наименований.

Используемые обозначения

М, Z, Q, С — множество натуральных, целых, рациональных, комплексных чисел;

К [ж] — кольцо полиномов над К;

~К(х) — поле рациональных функций над К;

К.-^ — пространство векторов длины N над К;

Г 1 оо

|^п}п=о — последовательность элементов Уо,У\,...; УП1..п2 — вектор (уП1, Уп1+1, ..., УП2)\ в — последовательность из нулей;

Б — оператор дифференцирования: Ику(х) = у^к\х) для к ^ 0;

Е — оператор сдвига: Екуп = уп+к для к €

gcd(р, д) — наибольший общий делитель полиномов;

ССГШ^, М) — наибольший общий правый делитель операторов;

М о Ь — произведение операторов;

^еёхР(х) ~~ степень полинома;

огс11/ — порядок оператора;

ОХ0(Ь) — пространство решений в виде ряда в точке хо для Ьу(х) — 0; С(К)^По — пространство последовательностей {г;Г1}^=0 таких, что Иуп = О

для п ^ По, считая, что уп — 0 при п < 0; С(Д) = С(Л)> о;

Пеэи^ап^Д В) — результант операторов;

с^ М — определитель матрицы М;

/(х)\х=х0 — значение выражения /(х) при х = хо;

0 — пустое множество;

А- = Л(Л — 1) • • • (Л — /с + 1);

(п\ _ п!

\к) ~ Щп-к)\>

Н — множество всех гипергеометрических последовательностей;

С(Х) — линейная оболочка множества Х\ □ — конец доказательства, конец примера.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Рябенко, Анна Андреевна

Основные результаты диссертационной работы:

1. Алгоритмы построения решений в виде рядов у(х) — уп{х ~ а)п с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами и алгоритмы поиска точек а, где такие решения существуют, для случая однородного дифференциального уравнения Ьу(х) = 0 перенесены на случай неоднородного уравнения Ьу(х) = /(х) с правой частью, для которой известен аннулирующий дифференциальный оператор М с полиномиальными коэффициентами.

2. Разработан модулярно-вероятностный алгоритм построения множества т-точек для Ьу(х) = 0, т.е. таких точек а, что, начиная с некоторого места, в последовательности {г^}^^ ненулевым может быть только каждый ш-й элемент.

3. Разработан алгоритм поиска гипергеометрических и даламберовых решений системы рекуррентных соотношений, возникающей в задаче построения в особой точке дифференциального уравнения формальных экспоненциально-логарифмических решений.

4. В системе компьютерной алгебры МАРЬЕ реализован пакет 81ос1е, предоставляющий

- процедуры поиска решений в виде формальных рядов и формальных экспоненциально-логарифмических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами;

- процедуры построения множества кандидатов в полиномиальные, рациональные, гипергеометрические, даламберовы точки дифференциального уравнения, а также множества кандидатов в то-точ-ки.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рябенко, Анна Андреевна, 2013 год

Литература

1. Коддингтон А. Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. ИЛ, 1958.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва, 1961.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва: Наука, 1973.

4. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГН-ТИ, 1939.

5. Уиттекер Е. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анализа, т. 1. 1933.

6. Singer М. F. Formal Solutions of Differential Equations // Journal of Symbolic Computation. 1990. Vol. 10. Pp. 59-94.

7. Bronstein M. Computer Algebra Algorithms for Linear Ordinary Differential and Difference equations // Proc. of the third European Congress of Mathematics. 2000. Vol. II. Pp. 105-119.

8. Abramov S. A., Bronstein M., Petkovsek M. On polynomial solutions of linear operator equations /'/ Proc. of ISSAC'95. 1995. Pp. 290-2969. Abramov S. A., Petkovsek M. Special power series solutions of linear differential equations // Proc. of FPSAC'96. 1996. Pp. 1-8.

10. Abramov S. A., Petkovsek M., Ryabenko A. A. Special formal series solutions of linear operator equations // Discrete Mathematics. 2000. Vol. 210. Pp. 3-25.

11. Petkovsek M. Hypergeometric solutions of linear recurrences with polynomial coefficients // Journal of Symbolic Computation. 1992. Vol. 14. Pp. 243-264.

12. Абрамов С. А. Рациональные решения линейных разностных ид-разност-ных уравнений с полиномиальными коэффициентами // Программирование. 1995. № 6. С. 3-11.

13. Petkovsek M., Salvy В. Finding All Hypergeometric Solutions of Linear Differential Equations // Proc. of ISSAC'93. 1993. Pp. 27-33.

14. Abramov S. A., Petkovsek M. D'Alembertian solutions of linear differential and difference equations // Proc. of ISSAC'94. 1994. Pp. 169-174.

15. Петковшек M. Символьные вычисления над последовательностями // Программирование. 2006. № 2. С. 8-15.

16. Глотов П. Е. Алгоритм поиска наибольшего общего делителя полиномов Ope с полиномиальными коэффициентами, зависящими от параметра // Программирование. 1998. № 6. С. 14-21.

17. Abramov S. A. Solutions of linear differential equations in the class of sparse power series // Proc. of FPSAC'97. 1997. Pp. 1-10.

18. Abramov S. A. m-Sparse Solutions of Linear Ordinary Differential Equations with Polynomial Coefficients // Discrete Mathematics 2000. Vol. 217. Pp. 3-15.

19. Abramov S. A. Power Series Solutions with "Eventually Nice" Coefficients of Linear Ordinary Differential Equations // Proc. of FPSAC'98. 1998. Pp. 3-12.

20. Abramov S. A., Barkatou M. A. D'Alembertian series solutions at ordinary points of LODE with polynomial coefficients // Journal of Symbolic Computation. 2009. Vol. 44. Pp. 48-59.

21. Maple online help. URL: http://www.maplesoft.com/support/help/.

22. Абрамов С. A. Символьные алгоритмы поиска частных даламберовых решений линейных уравнений // Программирование. 1996. № 1. С. 39-50.

23. Abramov S. A., Zima Е. V. D'Alembertian Solutions of Inhomogeneous Linear Equations (differential, différence, and some other) // Proc. of ISSAC'96. 1996. Pp. 232-240.

24. Tournier E. Solutions formelles d'équations différentielles. Le logiciel de calcul formel DESIR // Étude théorique et réalisation. Thèse d'État. Université I de Grenoble, 1987.

25. Pflugel E. DESIR-II. RT 154, IMAG Grenoble, 1996.

26. Митичкина A. M., Рябенко A. A. Представление алгебраических функций в виде степенных и дробно-степенных рядов специального вида // Программирование. 2001. № 1. С. 10-17.

27. Абрамов С. А., Рябенко А. А. Формулы интегрирования функций Бесселя J2k+i(z), Y2k+i{z), полученные с помощью системы компьютерной алгебры // Сборник тезисов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 106-летию со дня рождения И.Г.Петровского. 2007. С. 261-262.

28. Абрамов С. А., Рябенко А. А. Об одной компьютерно-алгебраической технологии // Программирование. 2008. № 2. С. 9-13.

29. Абрамов С. А. Элементы компьютерной алгебры линейных обыкновенных дифференциальных, разностных и q-разностных операторов. Москва: Издательство МЦНМО, 2011. С. 107-113.

30. Хмельнов Д. Поиск лиувиллевых решений линейных рекуррентных уравнений в системе компьютерной алгебры Maple // Программирование. 2008. № 4. С. 25-31.

31. Рябенко А. А. Мар1е-пакет символьного построения решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде степенных рядов // Программирование. 1999. № 5. С. 71-80.

32. Рябенко А. А. Формальные решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащие m-гипергеометрические ряды // Программирование. 2002. № 2. С. 49-60.

33. Абрамов С. А., Рябенко А. А. Разреженные степенные ряды и параметризованные линейные операторы // Программирование. 2004. № 2. С. 36-41.

34. Рябенко А. А. Символьное решение неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов // Программирование. 2006. № 2. С. 78-80.

35. Ryabenko A. A. Special formal series solutions of linear ordinary equations // Proc. FPSAC'00. 2000. Pp. 356-366.

36. Ryabenko A. A. Some formal solutions of LODE // Сборник тезисов международной конференции «Computer Algebra and its Application to Physics». 2001. P. 260.

37. Chardin M. Differential Resultants and Subresultants // Fundamental of Computation Theory // Lecture Notes in Computer Science. 1991. Vol. 529. Pp. 180-189.

38. Abramov S. A., Petkovsek M. Canonical Representations of Hypergeometric Terms // Proc. of FPSAC'01. 2001. Pp. 1-10.

39. Gosper R. W. Decision procedure for indefinite hypergeometric summation // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1977. Vol. 75. Pp. 40-42.