Исследование новых моделей тензорных кинематических характеристик и течения структурно-неоднородных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Воронков, Артем Александрович

• Воронков, Артем Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронков, Артем Александрович

Введение.

Глава I. Построение математической модели движения структурно-неоднородной жидкости с учетом характерного масштаба представительного объема 1.1. Классическая модель движения сплошной среды как предельный случай модели, учитывающей размеры представительных элементов реального материала.

1.2. Определение кинематических характеристик течения материала с учетом его микроструктуры.

1.3. Построение замкнутой системы уравнений движения жидкости с учетом микроструктуры.

1.4. Формулировка граничных условий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование новых моделей тензорных кинематических характеристик и течения структурно-неоднородных сред»

В науке и технике сегодняшних дней широкое применение находят твердые, жидкие и пластические материалы с внутренней микроструктурой. К таким материалам относят как материалы с достаточно мелкой микроструктурой h по сравнению с характерным линейным размером L области изучаемого течения (магнитные жидкости, жидкие кристаллы, кровь и т.д.) так и материалы с малым Л, но конечным отношением (h/L<\) характерного размера h микроструктуры к характерному размеру L области течения. Из всех жидких материалов с микроструктурой можно выделить важный класс широко распространенных материалов - "суспензий" - жидкостей с недеформируемым наполнителем, "микроморфных" жидкостей, входящих в обширный класс структурно-неоднородных материалов. В качестве реальных прототипов таких материалов можно привести вязкие жидкости с наполнителем в виде твердых частиц различного характерного размера l«L. В рамках данной диссертации рассматриваются именно такие структурно-неоднородные материалы. Моделирование и исследование течения материалов с микроструктурой в рамках механики сплошных сред имеет давнюю историю. Расчет эффективных физических параметров (коэффициентов вязкости, сжимаемости и др.) жидкостей с наполнителями, суспензий имеет важное значение для расчета параметров течения. Пожалуй, впервые вопрос о теоретической модели и расчете коэффициента //* эффективной вязкости жидкости с твердыми наполнителями был поставлен и решен А. Эйнштейном в 1906 г. для случая малой относительной плотности наполнения твердыми сферическими частицами линейно вязкой жидкости [8485]. Подход использования модельных гидродинамических течений и понятия присоединенных масс для описания поведения двухкомпонентных сред был применен Я. Френкелем при расчете прохождения звуковых волн. С механической точки зрения концентрация частиц в суспензии существенно влияет на поведение отдельных частиц и среды в целом. Так при малых концентрациях твердых частиц их поведение - скорость перемещения и угловая скорость вращения мало отличаются от течения жидкости и совпадают со скоростью жидкости v и ее угловой скоростью вращения cJ={rot v)/2. При увеличении концентрации частиц следует учитывать отличие скорости перемещения частиц и их угловые скорости вращения от соответствующих параметров течения жидкости.

В монографии [44], посвященной проблемам тепломассопереноса в микроструктурных жидкостях приведен великолепный и полный обзор работ по моделям и задачам сред с микроструктурой, содержащий более трехсот наименований. Основы ориентированного континуума были заложены Коссера и Эриксеном [82,88]. Статистический подход [83,90] позволил построить локальные законы сохранения массы, импульса и момента импульса. Более широкое распространение получил континуальный подход, в соответствии с которым реальная жидкость или материал с микроструктурой моделируется континуумом (сплошной средой), наделенным кинематическими характеристиками - перемещением и вращением (скоростью перемещения и независимой скоростью микровращения) [86]. Общая теория микроморфных жидкостей представляет собой сложную математическую модель и ее использование связано с большими математическими трудностями. Наиболее доступной в плане решения задач прикладного характера является теория микрополярных жидкостей развитая в работах [1,87]. Сходные теории ассиметричной гидромеханики, использующие для описания движения жидкости механику направляющих элементов - "директоров", была предложена в [75]. Впоследствии теория простых деформируемых ориентированных жидкостей была модифицирована для описания реологического поведения суспензий и в [76,91]. В [38] сделано предположение о равенстве нулю работы моментных напряжений на микровращениях, но совершении работы моментными напряжениями на вращении общего поля скоростей отличного от нуля. Различные теории жидких материалов с микроструктурой, построенные независимо друг от друга разными способами имеют общее, а именно: введение, наряду с полем скоростей, нового поля микровращений <p*(rotv)/2. Отметим, что наибольшие достижения теории микрополярных жидкостей связаны с приложением к течению жидких кристаллов и, в общем, к течению взаимопроникающих электромагнитных структурных континуумов [65-68].

В последние годы теория структурно-неоднородной и в частности микрополярной жидкости находит широкое применение для описания движения крови в сосудах различного сечения [93,97] и движения биологической жидкости (смазки) в суставах человека. Типичные размеры микроканалов имеют порядок 1 мкм или менее с длиной канала порядка 100 мкм. В статье [93] представлен литературный обзор результатов расчетов течений микрополярных газов и жидкостей при структурных течениях в таких каналах, которые получены прямыми методами Монте-Карло и методами молекулярной динамики. Проведено сравнение результатов расчета этими методами и аналитическим решением для течения Пуазейля микрополярной жидкости в капилляре.

Учет микроструктуры жидкостей с недеформируемым наполнителем привел к весьма интересному факту снижения вязкости суспензий и увеличения расхода суспензий через сечение, отмеченному в [104 и 107]. В [107] получено реологическое определяющее соотношение, связывающее тензоры напряжений и градиентов скоростей течения / для разбавленных суспензий жестких осесимметричных удлиненных частиц в жидкости с деформируемой микроструктурой. Предполагалось, что взвешенные частицы имеют нулевую плавучесть и такие размеры, что растворитель взаимодействует с ними как с гидродинамическими телами. Взвешенные частицы достаточно малы по размерам, так что можно пренебречь их вращательными инерциями. Реологическая модель растворителя не отличалась от модели биполярной жидкости Блейпггейна-Грина, а взвешенные частицы - трехосные гантели. Исследовалось влияние деформируемости дисперсионной среды на реологические свойства суспензий при простом сдвиговом течении. Установлено, что рост у приводил к снижению вязкости суспензий и повышению модулей, связанных с первыми и вторыми разностями нормальных напряжений.

В последние десятилетия вопрос осреднения параметров многокомпонентных материалов: грунтов, горных пород и т.д. с учетом собственного вращения частиц и наличия моментных напряжений глубоко исследован в работах Шемякина Е.И. [72,73], Николаевского В.Н. [50], Ревуженко В.Ф. [55], Вервейко Н.Д. [13,14]. Отметим, что в монографии [55] приведено более 300 ссылок на публикации. Широкое применение теория структурно-неоднородных и микрополярных сред находит в механике горных пород, зернистых и сыпучих материалов. Академик Е.И. Шемякин установил общую иерархию структурирования материи в окружающем мире [72]. Поэтому на определенном уровне математического моделирования в механике возникает необходимость учета не только поля перемещений, но и поля микровращений [55]. В работах [47,80,92,99,108] используются методы конечных элементов (МКЭ) для исследования течения и деформирования сред с учетом их микроструктуры и различного рода микроконтактных взаимодействий частиц. Для учета приобретенной анизотропии таких материалов конструируются модели из микроплоскостных элементов [100]. В [78,81,89] решаются задачи с учетом различного рода упаковок из частиц разного диаметра, при этом различаются связи между напряжениями и деформациями в случаях растяжения или сжатия. Особого внимания заслуживают исследования [79,106] в которых в микрополярной теории Коссера разделяются уровни взаимодействия в гранулированной среде на макроуровень и микроуровень с учетом на микроуровне градиентов тензоров напряжений и деформаций макроуровня. Авторы [79] развивают этот подход для описания поведения гранулированных материалов, рассматривая их как совокупность сферических частиц разных размеров. Локальный масштаб относится к среднему диаметру частиц, макромашстаб - к размеру статистически представительного объема, в котором рассматриваются обычные переменные, характерные для сплошной среды. Устанавливаются соотношения между локальными и обычными глобальными переменными, в частности - тензорами напряжений и деформаций. Приводятся примеры численного моделирования двухосных испытаний методом дискретных элементов.

Наряду с исследованием материалов с микроструктурой, имеющей характерный размер А~0,1-1лш и выше, в последнее время возрос интерес к неоднородным материалам, у которых величина параметра h на порядки меньше. В [11] указано, что усовершенствование структуры материалов на различных масштабных уровнях, которые осуществляются с помощью микро- и на-нотехнологии, предоставляет широкие возможности для повышения показателей физико-механических и прочностных характеристик материалов и параметров конструкций. Поэтому актуальна задача о построении моделей и соотношений механики сред с учетом иерархии их структуры для исследования взаимодействия между разномасштабными составляющими компонентами материалов. Попытки расширить область приложений теории упругости и учесть влияние неоднородного строения тел на их состояние в рамках классических концепций механики сплошных сред привели к созданию моментных, несимметричных, микрополярных и других теорий. Работа [11] посвящена созданию теории неоднородных сред с учетом нецентрального взаимодействия и созданию на ее основе уточненных методов исследования напряженного состояния элементов конструкций с учетом тонкой структуры материалов, а также решению задач о теоретическом синтезе, прогнозировании физико-механических характеристик и оптимизации строения и состава материалов, о распространении в них коротких волн, о построении теории разрушения тел с учетом их неоднородного строения, включая микротрещины, а также обобщению ее на родственные задачи.

К классическим работам по теории нелокальных сред следует отнести работы И.А. Кунина, собранные в монографии [36]. В его книге систематически излагается теория упругих сред с микроструктурой, учитывающая внутренние степени свободы, эффекты нелокальности, дискретности, пространственной и временной дисперсии. Исследуются существенные отличия нелокальной теории упругости от классической и связь между ними. Большое внимание уделено колебаниям и распространению волн в линейных и нелинейных диспергирующих средах. Рассматриваются локальные дефекты и дислокации в средах с микроструктурой. В монографии приведены ссылки на более чем 170 публикаций.

В целом ряде работ [94,101,102,109,110] последнего времени исследуются вопросы пространственной периодичности микроструктуры, что имеет непосредственное отношение к армированным материалам.

Влияние микроструктуры на распространение волн как гармонических, так и сильного и слабого разрывов обсуждается в [3-7] где авторы использовали микрополярные модели механики сплошных сред с учетом моментных напряжений и собственного вращения микрочастиц. В работе [3] рассматриваются некоторые свойства упругих монохроматических волн, распространяющихся в неограниченной среде Коссера в произвольном направлении. Полученная связанная система линейных однородных уравнений для векторов смещений и поворота приводит к характеристическому уравнению относительно фазовых скоростей возможных упругих волн. Анализ условий существования показал, что возможны три группы волн: а) чисто продольные волны; б) дисперсионные волны кручения; в) две различные поперечные волны, которые в отличие от классического упругого случая имеют также дисперсионный характер. Установлено, что для каждой группы волн существуют критические частоты, на которых наблюдаются изменения характера упругой волны. Так, на частоте, полностью определяемой упругими параметрами несимметричной части, «продольная» волна может носить смешанный характер, когда оказываются отличными от нуля одновременно компоненты вектора смещений и микровращения. Особые критические частоты наблюдаются для волн кручения и «поперечных» волн.

В [53] в рамках нелокальной механики исследованы переходные процессы при динамическом нагружении. Показано, что в среде постоянной плотности ее напряженное состояние характеризуется касательным напряжением сдвига, первой и второй разностями нормальных напряжений и их переходом к равновесным значениям в результате колебательного процесса с затухающей амплитудой. При этом термодинамические переменные состояния (тензор давления, внутренняя энергия) зависят от скорости сдвига и времени. Установлено, что для микроструктурных сред приближения локально-равновесной термодинамики возможны в том случае, если их времена релаксации на порядок меньше характерного времени задачи.

В [54] проведен учет микроповоротов и связанных с этим моментных взаимодействий частиц, что приводит к появлению в такой среде волны микровращений, дисперсия которой аналогична дисперсии спиновой волны в маг-нитоупругой среде. В низкочастотном приближении волна микровращений исчезает, а в уравнении для поперечной волны появляется слагаемое с квадратичной нелинейностью. Эта нелинейность связана с блочной структурой среды и возникает из-за нарушения симметрии моментных взаимодействий блоков при поперечных смещениях и поворотах. Последнее позволяет объяснить наблюдающийся в реальных твердых телах эффект генерации второй сдвиговой гармоники, тогда как классическая нелинейная теория упругости запрещает существование подобных явлений.

В [96,77] дается новый метод континуализации, в котором жесткость высокого порядка сопровождается соответствующей инерцией. Результирующие модели считают динамически согласующимися. Введен новый параметр, учитывающий нелокальное взаимодействие между переменными дискретной модели и континуальной. Когда этот параметр принимает определенное значение, то в статике и динамике происходят физически реальные процессы. На основе принципа Гамильтона подчеркиваются аномалии динамического поведения и краевых условий. Рассмотрены модели второго и четвертого порядков. В [41] приводится расчет перехода энергии с макроуровня на микроуровень и обратно в условиях длинно-коротковолнового резонанса в гранулированных материалах.

В монографии [29] дается систематическое изложение современной теории распространения и взаимодействия упругих волн в твердых телах с микроструктурой. Выводятся математические модели твердых тел, учитывающие микроструктуру, геометрическую и физическую нелинейности, поврежден-ность, взаимодействие деформационных и магнитных полей. Изучаются различные волновые эффекты, характерные для тел с микроструктурой.

Работа [105] посвящена сравнению двухмерных упругих дискретных решеток с изотропной моделью континуума, предложенной Коссера. Это сделано с помощью анализа характеристик распространяющихся двухмерных плоских гармонических волн. Исследовались также дисперсионные соотношения, следующие из моделей решетки и континуума, для того, чтобы определить, какой длине волны поле деформаций в модели континуума соответствует дискретной микроструктуре. Показано, что длинноволновое приближение решеточной модели, когда длина волны в 6 раз превышает расстояние между микроячейками, приводит к точным соотношениям между макроскопическими параметрами континуума и микроскопическими параметрами решетки. Для более коротких волн наблюдалось значительное отклонение в параметрах моделей, связанное с возрастанием негомогенности и анизотропных эффектов, вызванных дискретной природой микроструктур.

В ряде работ последнего времени поднят вопрос о характере масштабного эффекта в средах с периодической и почти периодической микроструктурой [101]. Предлагается учитывать масштабный эффект, отражающий влияние соотношения между величиной рассматриваемого объема материала и размером единичной ячейки, в отличие от традиционных методов усреднения и гомогенизации, разработанных для прогнозирования макроскопических характеристик неоднородной среды, обычно игнорирующих связь между микроструктурой и размерами образцов. Рассмотрено поведение нелинейно упругой плоской решетчатой модели при любых макроскопических деформациях. Проанализированы масштабные эффекты, возникающие благодаря неоднордностям в поле макроскопических деформаций на всем протяжении образца или при наличии микроструктурных несовершенств, которые могут быть геометрическими или физическими по своей природе. Для всех рассмотренных случаев предложены различные аналитические аппроксимации с целью прогнозирования влияния масштабного фактора на макроскопические характеристики сред с почти периодической микроструктурой.

В [79] описывается многомасштабный подход, применяемый для описания напряженно-деформированного состояния гранулированных материалов рассматриваемых как совокупность сфер разного диаметра. Важным классическим методом моделирования суспензий вязкой жидкости является прием предположения нелинейности вязкой жидкости, так называемая "степенная модель" нелинейно вязкой жидкости r=Jiyn, где п может отличаться от 1 (дилатантные жидкости (и>1) и псевдопластики (и<1)) [104].

В идейном плане настоящая работа обращается к представлению о первичности математического представления экспериментальных зависимостей в конечно-разностной форме и переходе от сеточных функций, привязанных к центрам масс представительных, конечных элементов - к функциям непрерывного аргумента с учетом малых микроструктурных характерных размеров h порядка выше первого.

В [98] приводятся подходы механики континуума, основанные на концепции представительного объемного элемента, который достаточно определен только в двух ситуациях: один кристалл в периодической микроструктуре и статистически представительный объем, имеющий очень большой (математически бесконечный) набор микроструктурных элементов (зерен). Современные материалы часто требуют исследования объемов, свойства же конечных объемов материала имеют статистический разброс, а величина, характеризующая свойства, зависит от размера и граничных условий, так что необходима гомогенизации свойств материала. Заслуживающий внимания факт, состоящий в корреляции микроструктурных моделей и моделей второго порядка, отмечен в [95]. В этой работе рассматривается предложенная Жерменом модель материала с микроструктурой, в которой наряду с общепринятыми мерами напряженного и деформированного состояния содержатся напряжения (тензоры второго и третьего рангов) и мера деформации (тензор второго ранга), отвечающие за изменения микроструктуры. В случае, когда в качестве меры микродеформаций используется второй градиент места, приходим к модели для материалов второго порядка.

Известно, что при оценке погрешности решения какой-либо модельной задачи по отношению к измеряемым, наблюдаемым явлениям всю погрешность г можно представить в виде суммы погрешности самой модели гм, погрешности метода решения математической задачи г^ и его численной реализации гч, г-гм +гмр +гч. Как правило, при исследовании модельных задач забывают о погрешности самой модели, а увеличение точности математического решения не увеличивает точности самого модельного представления. Поэтому важным остается момент идентификации математической модели с реальным объектом или явлением, а также вопрос измерения кинематических и силовых параметров явления особенно в случае исследования двухкомпонентных, двухфазных материалов, т.е. суспензий или микроморфных жидкостей. Так само понятие "скорости" течения суспензии, и ее измерение требуют разработки методов локального ее измерения или осреднения с целью использования методов механики сплошных сред. Очевидно, что в одной точке геометрического эйлерового пространства могут находиться разные частицы двухком-понентной среды и встает вопрос либо о равенстве скоростей разных фракций, либо об их отличии. Особенно противоречивым остается вопрос об определении кинематических характеристик течения - деформации и скорости деформации для суспензий. С точки зрения механики сплошных сред вопрос решен давно - это малые деформации и скорости деформации сколь угодно малого материального элемента ЬУ, вычисляемые по формулам Коши: 1 е' = 2 ди. ди.} —- + —ди, ди. \ J ' а для случая больших деформаций они представимы в форме

Альманси и др. При исследовании суспензий формальное применение механики сплошных сред сразу дает погрешность математической модели в виде величины 1-го или более высокого порядка по й, т.к. в уравнениях движения и в соотношениях Коши величины такого порядка малости отброшены, а использование мер конечных деформаций не устраняет противоречия двухкомпо-нентный материал - "сплошная среда". Поэтому представляет интерес учета в кинематике и уравнениях движения характерных размеров микроструктуры до более высоких порядков, чем Л1.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Технологии сегодняшнего дня - нефтехимические, аэрокосмические, машиностроительные, строительные и др. - требуют использования адекватного математического обеспечения и как следствие - хороших математических моделей, работающих в широком диапазоне определяющих их параметров. Классические математические модели жидкости и газа были разработаны еще в 18 в. и показали свою исключительную работоспособность при использовании аппарата теории бесконечно малых - таких операций над непрерывными функциями многих переменных как производная, интеграл, предел и т.д. Это было обусловлено следующей причиной. Измерительная техника для регистрации перемещений, скоростей, давления и других параметров движения и силового состояния материалов обладает характерными размерами д/ измеряемой области Дг пространства, гораздо, большими, чем линейный размер 2 и представительного элемента AV. Так для однородной жидкости или газа характерный представительный элемент av должен содержать лг~103-И06 молекул, что занимает объем av=i\ где /=ю2ю^лш т.е. дг~Ю"12 -Н(Г10лш3, что позволяет для характерных размеров L явления при l~\m считать av малой величиной порядка io~*mm и исследовать предельные случаи при av —> о. Под представительным элементом реальной среды будем понимать такой объем av, феноменологические свойства которого совпадают со свойствами среды в целом для конечных объемов v. Этот факт малости представительных элементов позволяет с малой погрешностью применять аналитические вычисления производных и интегралов для определения параметров реальных материалов и, вообще, использовать весь аппарат математического анализа. В такой ситуации с вычислительной точки зрения погрешность математической модели по отношению к реальным процессам будет меньше погрешности вычислений.

Используемые в современных технологиях материалы с наполнителями (штукатурные, бетонные растворы, специальный раствор с наполнителем (пропантом) из частиц </~о,1*1лш, применяемый для гидроразрыва нефтяных пластов) и такие биологические материалы как кровь, содержащая эритроциты и др., требуют учета в математических моделях характерных параметров структурных частиц.

В работах известных отечественных и зарубежных ученых: Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Баскаков В.А, Ванин Г.А., Кондауров В.И., Кувшинский Е.В., Кукуджанов В.Н., Кунин И.А., Мигун Н.П., Никитин JI.B., Николаевский В.Н., Ревуженко А.Ф., Регирер С.А., Суязов В.М., Шемякин Е.И., Cosserat Е., Enshtain A., Ericksen J.L., Eringen А.С., Matsushima Т., Pedli Т. и др. исследовались многие проблемы моделирования структурно-неоднородных и микрополярных материалов и материалов с учетом сил дальнодействия, а также решались статические и динамические задачи с учетом микроструктуры. В сложившихся подходах к модельному описанию таких материалов главное внимание уделялось уточнению реологических параметров и соотношений - связей между силами (напряжениями) и изменением формы тел (деформацией, скоростью деформации) в рамках механики сплошных сред. При этом, противоречие, состоящее в непрерывном гладком, независимом от носителя (жидкость или включение) области определения функции описании течения и деформирования материала (перемещении, скорости, давлении, напряжении и т.д.) и конечности малого представительного объема av имеет место быть и, тем самым, сохраняется погрешность математической модели по отношению к реальному явлению или объекту. В связи с этим представляет научный и практический интерес разработка математических тензорных моделей характеристик кинематики материалов с учетом их структурных составляющих и конечных размеров представительного объема.

Диссертационная работа выполнена в Воронежском гос. университете по г/б теме "Разработка фундаментальных математических моделей и эффективных численных методов решения статических и динамических задач механики течения и деформирования сред сложной структуры" ВКГОП № госрегистрации 01.9.70006096. Код темы по ГРНТИ 30.19.23, 30.19.29. Тема соответствует Постановлению правительства Российской Федерации от 9.09.1996 № 1062 и решению министерства общего и профессионального образования Российской Федерации от 30.01.1997 №164/2 "О федеральной целевой программе "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки" на 1997-2000 гг.".

Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы является разработка модели тензорных кинематических характеристик течения, учитывающей структурные свойства материалов, уточнение классической модели движения вязкой жидкости с учетом микровключений наполнителя и исследование в рамках данной модели одномерных стационарных и нестационарных задач течения.

Поставленная в диссертации цель достигнута путем решения следующих задач:

1) уточнение выражений для тензорных характеристик скоростей деформаций с учетом параметра А, определяющего характерный масштаб представительного элемента объема материала;

2) формулировка общей математической модели движения структурно-неоднородной вязкой жидкости;

3) исследование одномерных стационарных задач течения вязкой несжимаемой жидкости с учетом наполнителя;

4) исследование одномерной нестационарной задачи течения структурно-неоднородной вязкой сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой трубе.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы механики сплошных сред и математического моделирования, состоящие в анализе известных экспериментальных фактов, выделении главного элемента и его учете при моделировании. В качестве математического аппарата использовались элементы математического анализа, дифференциальных уравнений, вычислительной математики и информатики с расчетом конкретных примеров на ЭВМ.

Научная новизна результатов работы.

1. В работе в систематизированном виде представлено математическое моделирование тензорных характеристик кинематики структурно-неоднородного материала.

2. Предложен метод уточнения классической модели течения среды с учетом микроструктурного масштаба материала.

3. Выявлены закономерности влияния микроструктуры на скорость и расход вязкой жидкости в ряде одномерных стационарных течений.

4. Исследовано распространение волн давления и массового расхода в случае нестационарного течения жидкости с наполнителем в упруго-деформируемой трубе.

Достоверность научных результатов обеспечена корректностью постановки самой темы, правильностью решаемых с помощью апробированного математического аппарата задач и соответствием полученных результатов общим физическим закономерностям и представлениям.

Теоретическая ценность работы состоит в модификации классических уравнений течения материала с учетом параметра, характеризующего линейный размер представительного материального объема, а также в постановке и решении в рамках данной математической модели стационарных и нестационарных задач о движении вязкой жидкости с наполнителем.

Практическую значимость работы определяют качественные выводы о характере влияния микроструктуры на распределение скорости вязкой жидкости, сделанные в ходе исследования ряда прикладных течений. Кроме того, полученные с учетом наполнителя формулы для расхода жидкого материала в напорных течениях соответствуют инженерным экспериментальным данным, и могут быть использованы в дальнейшем при расчете трубопроводов.

На защиту выносятся:

1. выражения для компонент тензора скоростей деформаций, уточненные с учетом масштаба представительного элемента И;

2. математическая модель движения структурно-неоднородной вязкой жидкости;

3. выражения для скорости и расхода вязкой жидкости с наполнителем в ряде одномерных стационарных течений;

4. результаты исследования нестационарных решений задачи о течении вязкой жидкости с наполнителем в упруго-деформируемой трубе.

Апробация работы. Материалы диссертации в разное время докладывались на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского Госуниверситета 2002-2006 гг., на научных сессиях факультета прикладной математики и механики Воронежского госуниверситета 2002-2004 гг., на городском научном семинаре по теоретической и прикладной механике в Воронежском государственном техническом университете 2005 г., на международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж, 2002-2005 гг., а также на четвертой Российской, пятой и шестой международных научно-технических конференциях «Авиакосмические технологии», Воронеж, 2003-2005 гг.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы по теме исследования, четырех глав, основных выводов и списка литературы из 110 наименований, содержит 21 рисунок и 3 таблицы. Материал изложен на 108 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Воронков, Артем Александрович

Основные выводы и результаты диссертации

1. Анализ математических моделей тензорных кинематических характеристик течения структурно-неоднородных материалов привел к уточнению классических моделей величинами 2-го порядка по характерному линейному размеру И представительного материального объема

2. В рамках предложенной математической модели течение вязкой жидкости с наполнителем описывается дифференциальными уравнениями в скоростях 4-го порядка, что требует постановки граничного условия качения микроэлемента, дополнительно к условию прилипания

3. Применение построенной математической модели к решению одномерных стационарных задач течения линейной вязкой жидкости с учетом микроструктуры выявило следующие особенности:

3.1. для напорных течений в плоском канале и цилиндрической трубе отмечается наличие поочередно сменяющих друг друга слоев увеличения и уменьшения скорости жидкости за счет микроструктуры

3.2. учет микроструктуры ведет к уточнению формулы для расхода в плоском канале и цилиндрической трубе

4. При исследовании в рамках построенной модели, нестационарного движения жидкости в упруго-деформируемой трубе было отмечено:

4.1. в нулевом приближении по малым параметрам влияние микроструктуры на скорость жидкости аналогично случаю стационарного течения

4.2. в первом приближении по малым параметрам течение жидкости описывается уравнениями распространения продольных волн для давления и расхода. При этом влияние микроструктуры уменьшает затухание волн

99

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воронков, Артем Александрович, 2006 год

1. Аэро Э. Л. Ассиметричная гидромеханика / Э. Л. Аэро, А. Н. Булыгин, Е. В. Кувшинский // Прикл. мат. и мех., Т. 29, № 2, 1965. - С. 297-308.

2. Бабенко К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. М.: Наука, 1986.-745 с.

3. Баскаков В. А. Особые частоты плоских волн в несимметрично упругой среде / В. А. Баскаков, Н. П. Бестужева, Н. А. Кончакова // Регион, межвуз. семин. "Процессы теплообмена в энергомашиностр.", Воронеж, 1996: Тез. докл., 1996.-С. 51.

4. Баскаков В. А. Сильные разрывы и ударные волны в нелинейной термоупругой среде / В. А. Баскаков, Н. А. Кончакова // Теплоэнергетика. Воронеж, 1997. - С. 22-30.

5. Баскаков В.А. О свойствах упругих волн в микроструктурных анизотропных средах / В.А. Баскаков, Н.П. Бестужева, Н.А. Кончакова // Теплоэнергетика. Воронеж, 1997. - С. 27-31.

6. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. М.: Наука, 1973. - 631 с.

7. Быковцев Г. И. Теория пластичности / Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.

8. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М.: Мир, 1973. -757 с.

9. Ванин Г. А. Упругость неоднородных сред с иерархией структуры / Г. А. Ванин // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, № 5,2000. С. 85-106.

10. Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. М.: Наука, 1973.

11. Вервейко Н. Д. Нестационарное течение сжимаемой вязкой жидкости в деформируемых трубах / Н. Д. Вервейко, П. П. Сумец. Воронеж: ВГУ, 2004.-207 с.

12. Вервейко Н. Д. Влияние однородной микроструктуры материала на его деформирование и течение / Н. Д. Вервейко, А. А. Воронков, М. И. Быкова //

13. Вервейко Н. Д. Математическая модель пульсового движения крови в сосудах / Н. Д. Вервейко, П. П. Сумец, А. А. Воронков // Вестник ВГУ, сер.: физика и математика, №. 2,2003. С. 125-131.

14. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М.: Наука, 1967.

15. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости / А. С. Вольмир. М.: Наука, 1979. - 320 с.

16. Воронков А. А. Течение нелинейно-вязкой жидкости с учетом микроструктуры / А. А. Воронков, Н. Д. Вервейко // Материалы международной школы-семинара "Современные проблемы механики и прикладной математики", Ч. 2, Воронеж: ВГУ, 2004. С. 195-200.

17. Воронков А. А. Особенности течения нелинейных вязких жидкостей с микроструктурой в круглых трубах / А. А. Воронков // Вестник факультета ПММ, Вып. 4, Воронеж: ВГУ, 2003. С. 3-11.

18. Воронков А. А. Особенности течения линейно-вязких жидкостей с учетом наполнителя из твердых частиц / А. А. Воронков // Математические модели и операторные уравнения, Т. 2, Воронеж: ВГУ, 2003. С. 24-34.

19. Воронков А. А. Стационарное движение вязкопластического материала с микроструктурой в плоском канале и круглой трубе / А. А. Воронков, Н. Д. Вервейко // Вестник факультета ПММ, Вып. 5, Воронеж: ВГУ, 2004. С. 44-51.

20. Воронков А. А. Влияние параметров микрочастиц суспензии на характеристики ее течения в круглых трубах / А. А. Воронков // Труды 4-ой Российской науч.-технич. Конференции "Авиакосмические технологии", Ч. 2., Воронеж: ВГТУ, 2003. С. 103-104.

21. Воронков А. А. Математическое моделирование течения микроструктурных жидкостей / А. А. Воронков // Труды 5-ой Междунар. науч.-технич. Конференции "Авиакосмические технологии", Ч. 2., Воронеж: ВГТУ, 2004. С. 269-276.

22. Гадияк Г. В. Механика неоднородных систем / Г. В. Гадияк // Сб. науч. трудов, Новосибирск, 1985. 307 с.

23. Ерофеев В. И. Волновые процессы в нелинейно упругих средах с микроструктурой / В. И. Ерофеев // М.: Волновые динамические машины, АН СССР Институт машиноведения, Горьковский филиал, 1991. С. 140-152.

24. Ерофеев В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Прикл. механика, 29, № 4, Киев, 1993.-С. 18-22.

25. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. Т. 1, 2 / Д. Д. Ивлев. М.: Физ-матлит., 2002.

26. Ким А. X. Некоторые вопросы реологии вязко-пластичных дисперсных систем / А. X. Ким. Минск, 1960. - 81 с.

27. Кондауров В. И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями / В. И. Кондауров // Прикл. механика и техн. Физика, №4,1982.-С. 133-139.

28. Кондауров В. И. Теоретические основы реологии геоматериалов / В. И. Кондауров, JI. В. Никитин. М.: Наука, 1990. - 205 с.

29. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике / Дж. Коул. М.: Мир, 1972.-274 с.

30. Крылов В. И. Вычислительные методы. Т. 1,2 / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский. М.: Наука, 1976.

31. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой / И. А. Кунин. М.: Мир, 1975.-415 с.

32. Ландау Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -Гос. изд-во технико-теоретической литературы. Москва, 1954. - 795 с.

33. Листров А. Т. О модели вязкой жидкости с нессиметричным тензором напряжений / А. Т. Листров // Прикл. мат. и мех., Т. 31, № 1, 1967. С. 112115.

34. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. М.: Наука, 1970.-904 с.

35. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов. М.: Наука, 1981. - 400 с.

36. Мазур Н. Г. Энергетический обмен между сейсмическими и ультразвуковыми колебаниями в упругой среде с микроструктурой / Н. Г. Мазур, В. Н. Николаевский, Г. А. Эль // Прикл. мат. и мех. 2, Т. 61,1997. С. 336-340.

37. Мак-Коннел. А. Дж. Введение в тензорный анализ / А. Дж. Мак-Коннел. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963.-406 с.

38. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. М.: Наука, 1980.-456 с.

39. Мигун Н. П. Гидродинамика и теплообмен градиентных течений микроструктурной жидкости / Н. П. Мигун, П. П. Прохоренко. Мн.: Наука и техника, 1984. - 264 с.

40. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1981. - 400 с.

41. Найфэ А. введение в методы возмущений / А. Найфэ. М.: Мир, 1984. -535 с.

42. Негрескул С. И. Моделирование зернистых сред методом элементной динамики / С. И. Негрескул, С. Г. Псахье, С. Ю. Коростелев, В. Е. Панин // АН СССР. СО. Том. науч. центр., № 39, 1989. С. 1-27.

43. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. М.: Наука, 1987.-359 с.

44. Никитин JI. В. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением / JI. В. Никитин. М.: "Московский лицей", 1998. - 272 с.

45. Николаевский В. Н. Современные проблемы механики грунтов / В. Н. Николаевский. -М.: Мир, 1975. С. 210-229.

46. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

47. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов / Т. Педли. М.: Мир, 1983.-400 с.

48. Попов В. И. Роль эффектов нелокальности и запаздывания в процессах переноса в средах с микроструктурой / В. И. Попов // Прикл. мех. и техн. физ., Т. 43, № 6,2002. С. 151-155.

49. Потапов А. И. Нелинейный волны и микроструктура материалов / А. И. Потапов // 6-ая науч. конф. "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 16-19 сент., 2002. С. 125.

50. Ревуженко А. Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандартный анализ / А. Ф. Ревуженко. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2000. -428 с.

51. Регирер С. А. Гидродинамика кровообращения / С. А. Регирер. М.: Мир, 1971.-267 с.

52. Рейнер М. Деформация и течение / М. Рейнер. М.: Гостоптехиздат, 1963. -381 с.

53. Рейнер М. Реология / М. Рейнер. М.: Наука, 1965. - 223 с.

54. Савицкий Н. Н. Биофизические основы кровообращения и клинические методы их изучения / Н. Н. Савицкий. JL: Медицина, 1974. - 404 с.

55. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М.: Наука, 1977.-645 с.

56. Самарский А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. М.: Наука, 1980. - 360 с.

57. Седов JI. И. Механика сплошной среды. Т. 1 / JI. И. Седов. М.: Наука, 1970.-492 с.

58. Степанов Б. С. Механика селей / Б. С. Степанов, Т. С. Степанова. М.: Гидрометеоиздат, 1991.-380 с.

59. Сумец П. П. Математическое моделирование лучевым методом распространения волн в трубопроводах с учетом их особенностей / П. П. Сумец // Диссерт. канд-та физ.-мат. наук. Воронеж, 2003. - 146 с.

60. Суязов В. М. О несимметричной модели вязкой электромагнитной жидкости / В. М. Суязов // Журн. прикл. и техн. физ., Вып. 2, 1970. С. 12-20.

61. Суязов В. М. К магнитной гидродинамике микрострукгурных сред. Рео-электрический эффект / В. М. Суязов // Магнит, гидродинамика, № 4, 1973. С. 59-65.

62. Суязов В. М. Движение ферросуспензии во вращающихся однородных магнитных полях / В. М. Суязов // Магнит, гидродинамика, № 4, 1976. С. 3-10.

63. Суязов В. М. К теории взаимопроникающих электромагнитных структур-ныхконтинуумов / В. М. Суязов // Магнит, гидродинамика, № 1, 1977. С. 3-14;2, С. 15-27.

64. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. М.: Мир, 1975. - 592 с.

65. Файзуллаев Д. Ф. Гидродинамика пульсирующих потоков / Д. Ф. Файзул-лаев, К. Наврузов. Ташкент: Фан., 1986. - 190 с.

66. Чарный И. А. Неустановившееся течение реальной жидкости в трубах / И. А. Чарный. М.: Недра, 1975. - 295 с.

67. Шемякин Е. И. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок / Е. И. Шемякин, М. В. Курленя, В. Н. Опарин // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, Ч. 1, № 3, 1986.

68. Шемякин Е. И. Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок / Е. И. Шемякин, М. В. Курленя, В. Н. Опарин // ДАН СССР, Т. 289, № 5,1986.

69. Эринген А. К. Теория микрополярной упругости / А. К. Эринген // Разрушение. Т. 2.: Математические основы теории разрушения. М.: Мир, 1975. - С. 646-752.

70. Allen S. J. A Theory of Transversely Isotropic Fluids / S. J. Allen, C. N. De Silva // J. Fluid Mech., № 24, 1966. P. 801-821.

71. Allen S. J. Rectilinear shear flow of fluid with interacting deformable substructure / S. J. Allen, K. A. Kline // ZAMP, V. 19, № 3,1968. P. 425-433.

72. Askes H. One-dimensional dynamically consistent gradient elasticity models derived from a discrete microstructure. Pt. 2. Static and dynamic response / H. Askes, A. V. Metrikine // Eur. J. Mech. A., V. 21, № 4,2002. P. 573-588.

73. Brzakata W. Kandaurov's stress solutions for granular media in elasticity theory context / W. Brzakata // Bull. Pol. Acad. Sci. Techn. Sci. 36, № 7-9, 1988. P. 397-406.

74. Cambou В. Change of scale in granular materials / B. Cambou, M. Chaze, F. Dedecker // Eur. J. Mech. V. 19, № 6,2000. P. 999-1014.

75. Casaverde L. Distinct element analysis for rock avalanche / L. Casaverde, K. Iwashita, Y. Tarumi, M. Hakuno // Proc. JSCE 55, № 515,1989. P. 153-162.

76. Chang Ching S. Incremental stress-strain relationships for regular packings made of multi-sized partticles / S. Chang Ching, A. Misra, H. Xue Jia // Int. J. Solids and Struct. 25, № 6,1989. -P. 655-681.

77. Cosserat E. Theorie des corps deformables / E. Cosserat and F. Paris, Hermann, 1909. - 226 p.

78. Dahler J. S. Transport Phenomena in a Fluid Composed of Diatomic Molecules / J. S. Dahler // J. Chem. Phys., V. 30, № 6,1959. P. 1447-1475.

79. Einstein A. //Ann. Phys., 34,1911.-591 p.

80. Einstein A. // Ann. Phys., 19,1906. 289 p.

81. Eringen A. C. Simple Microfluids // A. C. Eringen // Int. J. Eng. Sci., V. 2, № 2, 1964.-P. 205-217.

82. Eringen A. C. Theory of micropolar fluid / A. C. Eringen // J. Math. Mech., V. 16, №1,1966.-P. 1-16.

83. Ericksen J. L. Exact Theory of Stress and Strain in Rods and Shells / J. L. Erick-sen, C. Truesdell // Arch. Ration. Mech. Anal., № 1, 1958. P. 295-323.

84. Grad H. Statistical mechanics, thermodynamics and fluid dynamics of systems with arbitrary number of integrals / H. Grad // Comm. Pure Appl. Math., V. 5, № 4, 1952.- P. 455-494.

85. Kline K. A. Thermodinamical Theory of Fluid suspensions / K. A. Kline, S. J. Allen // Phys. Fluids, V. 14, № 9,1971. P. 1863-1869.

86. Krause G. Erfassung mikrostruktureller Deformationsvorgange bei FE-analysen / G. Krause // Freiberg. Forschungsh. V. 279, 1996. P. 79-84.

87. Kucaba-PiEetal A. Flows in microchannels / A. Kucaba-PiEetal, Z. Walenta, Z. Peradzynski // TASK Quart., V. 5, № 2,2001. C. 179-189.

88. Le К. C. Kontinuums mechanisches Modellieren von Medien mit veranderlicher Mikrostruktur / К. C. Le // Mitt. Inst. Mech. 106,1996. P. 1-193.

89. Matsushima T. Second gradient models as a particular case of microstructured models: a large strain finite elements analysis / T. Matsushima, R. Chambon, D. Caillerie // C. r. Acad. sci. Ser. 2. Fasc. b 2, V. 328,2000. P. 179-186.

90. Metrikine A. V. One-dimensional dynamically consistent gradient elasticity models derived from a discrete microstructure. Pt. 1. Generic formulation / A. V. Metrikine, H. Askes // Eur. J. Mech. A., V. 21, № 4,2002. P. 555-572.

91. Misra J. C. A mathematical model for the study of blood flow through a channel with permeable walls / J. C. Misra, S. K. Ghosh // Acta mech. 1-4, V. 122,1997. -P. 137-153.

92. Ostoja-Starzewski M. Microstructural randomness versus representative volume element in thermomechanics / M. Ostoja-Starzewski // Trans. ASME. J. Appl. Mech., V. 69,№ i, 2002. -P. 25-35.

93. Pearson J. R. A. Key questions in rock mechanics / J. R. A. Pearson // Key Quest. Rock Mech.: Proc. 29th U.S. Symp., Minneapolis, 13-15 June, 1988. -Rotterdam; Brookfield, 1988. P. 7-16.

94. Prat Pere C. Microplane model for triaxial deformation of soils / C. Prat Pere, P. Bazant Zdenek, //Num. Models Geomech. NUMOG Ш: Proc. 3rd Int. Symp., Niagara Falls, 8-11 May, 1989. London; New York, 1989. - P. 139-146.

95. Schraad M. W. Scale effects in media with periodic and nearly periodic mi-crostructures. Part I. Macroscopic properties / M. W. Schraad, N. Trintafyllidis // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 4, V. 64, 1997. P. 751-762.

96. Schraad M. W. On the macroscopic properties of discrete media with nearly periodic microstructures / M. W. Schraad // Int. J. Solids and Struct., V. 38, № 42-43, 2001.-P. 7381-7407.

97. Shizawa К. Continuum mechanics for higher stage micropolar materials. 2nd report. Mechanical balance laws and extended concept of bimoment / K. Shizawa, K. Takahashi // Jap. Soc. Mech. Eng. A. 55, № 519,1989. P. 2363-2368.

98. Singh A. Normal stresses and microstructure in bounded sheared suspensions via Stokesian Dynamics simulations / A. Singh, R. Nott Prabhu // J. Fluid Mech., V. 412, 2000.-P. 279-301.

99. Suiker A. S. J. Comparison of wave propagation characteristics of the Cosserat continuum model and corresponding discrete lattice models / A. S. J. Suiker, A. V. Metrikine, R. De Borst // Int. J. Solids and Struct., V. 38, № 9, 2001.-P. 1563-1583.

100. Takahashi K. Continuum mechanics for higher stage micropolar materials. 1st report. Kinematics / K. Takahashi, K. Shizawa // Jap. Soc. Mech. Eng. A. 55, № 519, 1989.-P. 2356-2361.

101. Taran D. E. Rheology of suspensions of rigid particles in fluid with deform-able microstructure / D. E. Taran //18 Симп. по реол., Карачарово, 29 сент.-4 окт., 1996: Тез. докл., 1996. С. 102.

102. Trent Bruce С. Microstructural effects in static and dynamic numerical experiments / C. Trent Bruce // Key Quest. Rock Mech.: Proc. 29th U.S. Symp., Minneapolis, 13-15 June, 1988. Rotterdam; Brookfield, 1988. - P. 395-402.

103. Warren William E. Micropolar and nonlocal effects in spatially periodic, two-dimensional structures / E. Warren William, E. Byskov // Rept. R 37, 1997. P. 1-49.

104. Wozniak C. A generalization of the internal variable model for dynamics of solids with periodic microstucture / C. Wozniak, M. Wozniak // Mech. teor. i sto-sow 1, V. 35,1997. P. 109-122.