Моделирование динамической реакции тонкостенных композитных конструкций в резонансных режимах нагружения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Левашов, Александр Павлович

• Левашов, Александр Павлович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Левашов, Александр Павлович

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ И ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ

МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

1.1. Основные характеристики демпфирования материалов

1.2. Построение матрицы обобщенных жесткостей для моделирования упругих свойств пакета однонаправленно армированных композитных слоев

1.3. Выбор физических уравнений для моделирования демпфирующих свойств упруго-гистерезисного материала

1.4. Построение гистерезисного оператора пакета однонаправленно армированных композитных слоев

1.5. Выводы по главе

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ ПРИ

РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ТОНКОСТЕННЫХ

КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

2.1. Построение системы разрешающих уравнений для моделирования стационарной динамической реакции конструкций с упруго-гистерезисным материалом схемы

2.2. Модифицирование структуры системы разрешающих уравнений

2.3. Выбор метода решения системы разрешающих уравнений

2.4. Построение итерационного алгоритма для учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале

2.5. Определение амплитуд напряжений в композитных конечных элементах

2.6. Выводы по главе

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ, ДЕМПФИРУЮЩИХ И

ИНЕРЦИОННЫХ СВОЙСТВ КОМПОЗИТНЫХ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

3.1. Выбор типов конечных элементов

3.2. Комплексная матрица жесткости композитного конечного элемента

3.3. Треугольный квадратичный элемент

3.4. Четырехугольный полуквадратичный элемент

3.5. Ферменный квадратичный элемент

3.6. Выводы по главе

4. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РЕАЛИЗАЦИИ

РАЗРАБОТАННЫХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ В РАСЧЕТАХ

ТОНКОСТЕННЫХ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

4.1. Выбор системы программирования

4.2. Тестовые примеры по оценке достоверности и точности используемых конечных элементов

4.3. Определение динамической реакции при резонансных колебаниях композитного крыла

4.4. Выводы по главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамической реакции тонкостенных композитных конструкций в резонансных режимах нагружения»

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Состояние решаемой проблемы. Обзор литературы

Современные тонкостенные конструкции имеют достаточно плотный спектр собственных частот, и могут работать в широкой полосе частот возмущающих сил, что затрудняет использование традиционных методов отстройки от резонанса и применение различного рода демпфирующих устройств. Особенно это относится к конструкциям летательных аппаратов, где применение таких методов и устройств практически исключено. Отсюда решающее значение приобретает способность самой конструкции демпфировать опасные резонансные колебания, препятствуя появлению значительных перемещений и перегрузок. К сожалению, большинство конструкционных материалов (металлов и их сплавов) имеют весьма низкую демпфирующую способность, и для многих конструкций основной причиной рассеяния энергии оказывается трение в узлах соединения их отдельных элементов (конструкционное демпфирование), которое является трудно прогнозируемым фактором.

В связи с этим возрастает интерес к структурно неоднородным высоко демпфированным материалам, позволяющим целенаправленно влиять на прочность, жесткость и демпфирующую способность конструкции. Наиболее перспективным представляется направление, связанное с использованием композитных материалов, сочетающих в себе высокие прочностные, жестко-стные и демпфирующие свойства. Среди широкого многообразия композитных материалов для изготовления силовых элементов конструкций наибольшее применение имеют многослойные материалы, армированные высокопрочными и высокомодульными однонаправленными волокнами [3, 16, 27, 28]. Именно из таких материалов методами непрерывной намотки или укладки создаются типичные элементы тонкостенных конструкций - многослойные пластины, оболочки и панели.

Однако следует заметить, что, несмотря на значительный интерес к многослойным композитным материалам, проблема учета их демпфирующих

свойств при моделировании резонансных колебаний реальных тонкостенных композитных конструкций до сих пор не имеет пригодного для практики инженерного решения [71]. Подавляющее большинство работ касается построения моделей частных элементов конструкций: композитных балок, гладких пластин и оболочек при определенных условиях нагружения и закрепления. В связи с этим уместно заметить, что оценка эффективности той или иной модели зависит от того, насколько пригодной является эта модель для расчета конструкции в целом. В настоящее время таким требованиям в полной мере удовлетворяют только конечно-элементные модели [73, 75].

Проблема определения динамической реакции при резонансных колебаниях тонкостенных композитных конструкций включает два основных вопроса: моделирование упругих и демпфирующих свойств многослойных композитов с целью построения матриц жесткости и матриц демпфирования материала, и построение разрешающих уравнений для определения резонансной реакции конструкции.

При моделировании упругих свойств многослойных композитов обычно исходят из эффективных характеристик жесткости отдельного композитного слоя. Если волокна слоя образуют в его поперечном сечении некоторую регулярную структуру, то для определения отмеченных характеристик возможен микроструктурный подход, состоящий в выделении представительного элемента данной структуры и последующем анализе его полей напряжений и деформаций [13, 19, 21, 91, 93]. При расположении волокон случайным образом возможен вариационный подход, позволяющий дать верхнюю и нижнюю границы эффективных механических характеристик композита [90, 91]. На практике для представления упругих свойств волокнистого слоя часто используются более простые (но менее точные) модели, основанные на замене структурно неоднородного слоя квазиоднородным ортотропным материалом [3, 16] и применении процедуры осреднения, приводящей к так называемым формулам смесей [6]. Таким образом, вопрос моделирования упругих свойств композитов на уровне отдельного слоя может считаться практически решенным. По-

этому основное внимание в диссертации уделено определению характеристик жесткости пакета произвольно уложенных композитных слоев, что позволяет варьировать данные характеристики, меняя схему укладки слоев.

Ситуация с моделированием демпфирующих свойств многослойных композитных материалов волокнистой структуры является менее ясной. Прежде всего, необходимо решить вопрос выбора физических уравнений, определяющих демпфирующие свойства волокнистого слоя. Эти уравнения обычно разделяют на уравнения вязкоупругих тел и уравнения гистерезисного типа [55, 60, 64, 70]. В первом случае утверждается, что нелинейная часть напряжений зависит от скорости (частоты) деформирования материала, во втором - от амплитуды деформации. Многочисленные опыты с металлами и их сплавами [2, 9, 60, 61] показали, что в области напряжений, представляющих интерес при расчете конструкций, наиболее существенна амплитудная зависимость. Работ по исследованию рассеяния энергии в волокнистых композиционных материалах существенно меньше [46, 87, 88], но в них так же утверждается отмеченная амплитудная зависимость.

Подавляющее число работ по моделированию демпфирующих свойств многослойных материалов, относятся к материалам, составленным из чередующихся жестких и мягких слоев, причем материал слоев считается изотропным [1, 25, 26, 27, 28, 31, 70 и др.]. Работ, посвященных моделированию дис-сипативных свойств армированных и в частности волокнистых материалов существенно меньше. По-видимому, это пока один из немногих разделов механики композитных материалов, где можно перечислить все имеющиеся работы. Достаточно полный обзор таких работ дан в монографии [28]. Перспективны модели, построенные на микроструктурном подходе, основанном на выделении представительного элемента объема структурно неоднородного материала, как это делается, например, при определении характеристик жесткости армированных композитов [13, 21, 91]. Но изучение этого вопроса еще далеко от завершения [71]. Поэтому на практике часто используют более простые модели, построенные на уже упомянутых выше формулах смесей для

определения осредненных характеристик демпфирования волокнистого слоя, как это сделано, например, в работах Яковлева А.П. [87, 88]. Однако автор данных работ делает не вполне корректное допущение о том, что контакт любого волокна с матрицей является идеальным, т.е. отсутствует их относительное проскальзывание. Между тем известно, рассеяние энергии при циклическом деформировании волокнистых композитов обусловлено в основном конструкционным трением на границе составляющих фаз [36, 37, 66]. А поскольку области границы, где имеется относительное проскальзывание волокна и матрицы, распределены случайным образом, то модель рассеяния энергии в волокнистом композите необходимо строить в вероятностной постановке. Однако этот вопрос требует отдельной серьезной проработки, поскольку в литературе пока не рассматривается.

Наиболее реальным и удобным для практического применения является предлагаемый в диссертации теоретико-экспериментальный подход, основанный на данных измерения демпфирующей способности композитного слоя и использовании их для построения физических уравнений несовершенно упругого слоя и пакета слоев в целом [42, 77, 82]. Для измерения демпфирующей способности слоя можно использовать известные методики и установки [38, 60, 61], применяемые в экспериментальных исследованиях рассеяния энергии традиционных материалов.

Перейдем ко второму вопросу - построению разрешающих уравнений для моделирования резонансной реакции тонкостенных композитных конструкций. В немногочисленных работах, где рассматривается данный вопрос, для построения данных уравнений традиционно используются аналитические методы [27, 28, 70], возможности которых ограничиваются рамками простейших конструктивных элементов (стержнями, балками, пластинами и оболочками простой формы). Основным методом решения разрешающих уравнений остается асимптотический метод Крылова-Боголюбова-Митропольского [10]. Причем, как правило, ограничиваются только первым приближением данного метода.

Метод конечных элементов в моделировании резонансных колебаний тонкостенных композитных конструкций (несмотря на его перспективность) пока еще не находит должного практического применения. Причина этого кроется в отсутствии необходимых компонент для реализации данного метода - подходящих физических уравнений, методов получения матриц гистерезисно-го демпфирования конечных элементов из многослойных волокнистых композитов, корректных методов учета амплитудной зависимости демпфирующей способности материала при решении систем разрешающих уравнений.

Наиболее реальный путь выхода из данной ситуации состоит в использовании концепции комплексного модуля упругости [14, 65, 73, 75]. Это позволяет, как показано в диссертации, построить комплексную матрицу жесткости композитного конечного элемента: вещественная часть данной матрицы определяет жесткость элемента, мнимая - его демпфирующие свойства. Отсюда появляется возможность перейти от дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции к системе квазилинейных алгебраических уравнений относительно синфазных с вектором нагрузки и отстающих от него на угол я-/2 (ортофазных) компонент узловых перемещений, полностью определяющих динамическую реакцию данной модели [81, 83, 86].

Нелинейность данных уравнений обусловлена тем, что матрицы гистере-зисного демпфирования конечных элементов формируются с учетом характеристик демпфирования композитных слоев, а последние зависят от амплитуд деформаций данных слоев, определяемых после решения системы разрешающих уравнений. Поэтому решение данной системы необходимо итерировать. При решении физически нелинейных задач типичен подход, состоящий в использовании данных конца текущей итерации для начала следующей итерации [29, 44]. Однако при учете гистерезисных потерь данный алгоритм не обеспечивает сходимости итерационного процесса [81, 83, 86]. В связи с этим в главе 2 диссертации предложена рекуррентная формула, сдвигающая назад узловые

перемещения конца текущей итерации с использованием назначаемого параметра сдвига, что обеспечивает достаточно быструю сходимость итераций.

0.2. Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы состоит в моделировании напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций из многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами, при колебаниях в резонансной зоне. Достижение этой цели предполагает:

• построение матрицы обобщенных жесткостей пакета однонаправленно армированных композитных слоев для моделирования упругих свойств материала;

• построение гистерезисного оператора пакета несовершенно упругих композитных слоев для моделирования его демпфирующих свойств;

• формирование системы разрешающих уравнений метода конечных элементов для определения динамической реакции тонкостенных композитных конструкций;

• разработку итерационного алгоритма решения полученной системы уравнений;

• построение матриц жесткости, матриц масс и матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов, выбранных для моделирования тонкостенных композитных конструкций;

• проведение численных экспериментов по оценке достоверности разработанных моделей.

0.3. Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения и четырех глав, в которых рассмотрены вопросы моделирования упругих и демпфирующих свойств многослойных композитных материалов, армированных однонаправленными волокнами, и определения динамической реакции при резонансных колебаниях тонкостенных конструкций, изготовленных из данных материалов.

В главе 1 рассмотрены основные характеристики демпфирования материалов и взаимосвязь между ними, построены матрица обобщенных жестко-стей и комплексный гистерезисный оператор пакета произвольно уложенных композитных слоев. Проведена линеаризация данного оператора относительно логарифмических декрементов колебаний композитного слоя при деформировании его вдоль волокон, поперек волокон и при сдвиге в плоскости слоя. Приведен численный пример, подтверждающий возможность данной линеаризации.

В главе 2 построена система разрешающих уравнений для моделирования динамической реакции конструкций с упруго-гистерезисным материалом в резонансных режимах нагружения. Для построения отмеченной системы выбраны принцип Даламбера-Лагранжа и метод конечных элементов. Предложен способ формирования полной матрицы системы разрешающих уравнений в виде прямоугольного массива на основе структурного объединения матрицы жесткости, матрицы масс и матрицы гистерезисного демпфирования конечного элемента в одну гибридную матрицу. Разработан итерационный алгоритм решения системы разрешающих уравнений в связи с зависимостью логарифмических декрементов колебаний композитного слоя от амплитуд соответствующих деформаций. Проведены численные эксперименты по оценке скорости сходимости разработанного алгоритма.

В главе 3 выбраны конечные элементы для моделирования тонкостенных композитных конструкций. Введена комплексная матрица жесткости конечного элемента из многослойного композитного материала. Получены матрицы жесткости, матрицы гистерезисного демпфирования и матрицы масс выбранных конечных элементов. Разработаны подпрограммы формирования отмеченных матриц.

В главе 4 проведена серия численных экспериментов по оценки достоверности разработанных моделей деформирования материала и конструкций. Достоверность подтверждается сравнением полученных результатов с имеющимися численными решениями, а так же с решениями, полученными на

основе моделей, для которых можно получить надежные, проверенные практикой, численные результаты. Определена динамическая реакция при резонансных колебаниях близкой к реальной тонкостенной композитной конструкции - треугольного крыла из материала КМУ-8. Полученные результаты качественно соответствуют представлениям о напряженно-деформированном состоянии элементов рассматриваемого крыла. Проверено условие выполнения энергетического баланса, как интегральной количественной оценки достоверности полученных результатов.

0.4. Вопросы, выносимые на защиту

1. Моделирование упругих и демпфирующих свойств многослойного композитного материала, армированного однонаправленными волокнами.

2. Построение системы разрешающих уравнений метода конечных элементов для моделирования динамической реакции при резонансных колебаниях тонкостенных композитных конструкций.

3. Формирование матриц жесткости, матриц гистерезисного демпфирования и матриц масс многослойных композитных элементов для моделирования тонкостенных композитных конструкций.

4. Результаты численных экспериментов по оценке достоверности моделей деформирования материала и методики определения динамической реакции при резонансных колебаниях тонкостенных композитных конструкций.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГИХ И ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ

МАТЕРИАЛОВ

1.1. Основные характеристики демпфирования материалов

Механическое поведение всех материалов в той или иной степени отличается от предписываемого им законом Гука. Это имеет место при любом уровне напряжений, в том числе и при напряжениях ниже предела пропорциональности материала. При статическом нагружении материала до указанного предела этим фактом, обычно, пренебрегают. Но в динамике влияние несовершенной упругости материала на поведение конструкции может быть таким, что во многих случаях предопределяет ее реакцию на внешние силовые

воздействия. Особенно это относится к резонансным колебаниям, где происходит интенсивное рассеяние энергии в материале, за счет неоднозначности кривых нагрузки и разгрузки при циклическом деформировании материала, что приводит к образованию динамической петли гистерезиса на диаграмме напряжение сг - деформация е (рис. 1.1). Форма кривых, описы-

Рис. 1.1. Динамическая ва1°Щих петлю, существенно зависит от механизмов, петля гистерезиса определяющих рассеяние энергии в материале. Одна-

ко во многих случаях можно не интересоваться формой петли, а достаточно ограничиться определением ее площади [53], так как именно площадь петли гистерезиса характеризует энергию, рассеянную в единице объема материала за один цикл колебаний.

Таким образом, наиболее объективной характеристикой энергетических потерь в материале следует считать удельную энергию, рассеянную за один цикл колебаний, которая может быть определена как площадь петли гистерезиса в координатах <у — £.

AW= ¡ads, (1.1.1)

где £0 - амплитуда деформации. Соответственно полное рассеяние энергии в конструкции находится интегрированием А Ж по ее объему V:

(1.1.2)

к

В связи с тем, что для сравнительной оценки демпфирующей способности элементов конструкции величины А И7 и А ]¥у использовать трудно, применяется ряд относительных характеристик, основной из которых является относительное рассеяние энергии в единице объема материала за один цикл колебаний [59], или иначе коэффициент поглощения [64], или демпфирующая способность [76]

у/ = ДЖ/Ж, (1.1.3)

где Ж - Ево /2 - максимальное значение удельной потенциальной энергии деформации в течение цикла (Е - модуль упругости материала). Иногда используется величина

Х%у = у/12л, (1-1.4)

где у- сдвиг фазы между напряжением и деформацией, называемая коэффициентом затухания или коэффициентом внутреннего трения [61]. Величина обратная к цг/2ж называется добротностью системы [38, 60].

В теории колебаний широко применяется логарифмический декремент колебаний 8, связанный с величиной у/ простой зависимостью [55, 60, 70]:

8 — ц//2. С учетом этого выражение (1.1.4) можно представить в виде

tg у = 81 п. (1.1.5)

Следует отметить, что, определяя логарифмический декремент колебаний как половину относительного рассеяния энергии, можно использовать его не только при затухающих, но и при установившихся колебаниях.

В диссертации в качестве меры относительного рассеяния энергии при циклическом деформировании материала выбран логарифмический декремент колебаний 8, поскольку именно он чаще всего используется в физических уравнениях упруго-гистерезисного материала.

1.2. Построение матрицы обобщенных жесткостей для моделирования упругих свойств пакета однонаправлено армированных композитных слоев

Рассматривается пакет композитных слоев (рис. 1.2а). Произвольный слой с номером к имеет толщину кк и армирован однонаправленными непрерывными волокнами под углом <рк коси Ох пакета (рис. 1.26). Композитный слой моделируется системой однонаправленных волокон, уложенных в матрицу (рис. 1.3). Обычно волокна располагаются в поперечной плоскости случайным образом и при достаточно частом их расположении композитный слой может считаться трансверсально-изотропным (ортотропным) материалом. Обобщенный закон Гука для такого материала записывается следующим образом [3, 16]:

Рис. 1.2. Пакет композитных слоев (а) и произвольный слой с номером к (б)

¿?3

Гп

Г23 (/13

\/Е1 /¿12 ! Е>2 -/¿и!Е2 0 0 0

-ц21/ Ех 1 /Е2 - /¿23 1Е2 0 0 0

~ЫЕ\ - /¿32 ! Е2 1 /Е2 0 0 0

0 0 0 \юи 0 0

0 0 0 0 1/^23 0

0 0 0 0 0 \юп

СГ,

12 Г23 13

"г

(1.2.1)

Здесь е2, £"з, /12? /23' ^13 ~~ относительные осевые деформации и углы сдвига; сг15 ст2, (Т3, т12, т23, т13 - нормальные и касательные напряжения; Ех, Е2 - модули Юнга;(-г23 - модули сдвига; //12, /л21, ¡л2Ъ — ¡л32 - коэффициенты Пуассона (¿/12 ^ Е2~ /¿2\ /Е\)- Далее будем считать, что все слои

У

пакета находятся в плоском напряженном состоянии ( сг3 -т2Ъ = т13 = 0). В этом случае

\/Е1 0

< > = -М2\/Е\ 1 /Е2 0

/12. 0 0 1 юп

Я"!

СГ0

'12 J

(1.2.2)

Обратные зависимости имеют вид:

Ех1{1-/л12/л2х) М12Е1К1~МпМ2\) 0 "

> = Е2/(1-МПМ21) 0 (1.2.3)

У12, 0 0 <^12 _ /12.

Механические характеристики Еи Е2, 0]2 монослоя можно определить экспериментально или на основе имеющихся в литературе расчетных моделей микронеоднородного материала, что представляет одну из задач структурной механики композитов и теории армирования [11, 12, 63]. Если волокна монослоя образуют некоторую регулярную структуру, то возможна модель, основанная на выделении представительного элемента (ячейки) данной струк-

Матрица

тш/т/шж

Рис. 1.3. Модель композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами

туры и определении полей напряжений и деформаций данного элемента [13, 19, 21, 91, 93]. При нерегулярной структуре возможен вариационный подход, позволяющий дать верхнюю и нижнюю границы изменения эффективных механических характеристик композита с использованием известных оценок типа Рейса и Фойгта [90, 91].

На практике чаще используют более простые (но менее точные) расчетные модели, основанные на процедуре осреднения или так называемых формулах смесей [6]:

Е\=Е/У/+Ет*т> Е~] = Е-/уг + Е-{ут,

>

(1.2.4)

Здесь /¿у - соответственно модуль Юнга, модуль сдвига и коэффици-

ент Пуассона материала волокон; Ет, Ст, /лт - то же для материала матрицы; Vу, Ут - концентрация (относительное объемное содержание) соответственно материала волокон и матрицы.

Таким образом, механические характеристики Е1, Е2, Сг12, /лп каждого слоя можно считать известными. По технологическим соображениям материал слоев обычно берут одинаковым. Поэтому Е}, Е2, (?12, //12 можно отнести ко всем слоям пакета. Задача состоит в определении обобщенных жесткостей А) (}'■> У = 2; 3) пакета слоев в связанной с ним системе координат 0х>> по

значениям Ех, Е2, Ои, Ми> ^к и Фк-

ортотропии) 0кхк, Окук данного слоя и осям пакета Ох, Оу (рис. 1.4). Данные векторы можно связать статической зависимостью [80]

1'ис. 1.4. Напряжения в слое к пакета

Введем для слоя к векторы напряжений {сг^} = {сг^ <7^ г^} и {сг^ } = {с^ аук) т<ху }' относящиеся соответственно к локальным осям (осям

и

(1.2.5)

Матрица [Т^к)] имеет вид

СОБ2 <рк эт2 (рк -8Ш2 <рк

[2Ч*)]= 81П2 <рк СОБ2 (рк ът2(рк (1.2.6)

§,5ж\2(рк - 0,5 бш 2срк СОБ 2 (рк

Напряжения {<тсобранные по всем слоям, статически эквивалентны нормальным и касательным погонным силам (потокам):

N.

N

ху

к=1

(1.2.7)

С учетом (1.2.5) выражение (1.2.7) принимает вид.

{Щ=Ък[т?)]{сг(£)}.

к=1

(1.2.8)

Введем в рассмотрение перемещения {и у} произвольной точки М слоя к по осям пакета и перемещения {ик Ук] по осям данного слоя (рис. 1.5). От-

меченные перемещения можно связать соотношением

= К]

и

к

v»

(1.2.9)

и х

Рис. 1.5. Перемещения произвольной точки М. слоя к

Матрица [Тк ] имеет вид

со Б<рк -Ыйфк

™<рк со Я(рк

(1.2.10)

Аналогично записывается выражение, связывающее координаты {х у) и {** У к) точки М:

X -, X 7,

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Левашов, Александр Павлович

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Построены математическая модель упругих свойств пакета однона-правлено армированных произвольно уложенных композитных слоев и комплексный гистерезисный оператор для моделирования его демпфирующих свойств.

2. Получена система разрешающих уравнений метода конечных элементов для моделирования стационарных колебаний тонкостенных композитных конструкций с учетом демпфирующих свойств материала. Разработан итерационный алгоритм решения полученной системы уравнений. Приведен численный пример, иллюстрирующий быструю сходимость алгоритма.

3. Получены соотношения для вычисления синфазных и несинфазных компонент (по отношению к вектору нагрузки) амплитуд напряжений композитных элементов с возможностью вычисления их для всего пакета композитного слоев и отдельно для каждого его слоя.

4. Обоснован выбор конечных элементов для моделирования безмо-ментного напряженно-деформированного состояния тонкостенных композитных конструкций типа крыла самолета: обшивка представляется треугольными квадратичными элементами; стенки лонжеронов и нервюр -четырехугольными полу квадратичными элементами; полки лонжеронов и нервюр и стрингеры - ферменными квадратичными элементами.

5. Получены матрицы жесткости, матрицы гистерезисного демпфирования и матрицы масс отмеченных конечных элементов. Отмечено, что четырехугольный полуквадратичный элемент в расчетах тонкостенных конструкций ранее не применялся. Особенность элемента состоит в неизотропной аппроксимации его перемещений: линейной аппроксимации по высоте и квадратичной в другом направлении, что позволяет существенно сократить общее число узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции по сравнению с известным квадратичным элементом.

6. Обоснован выбор математического пакета MATLAB 6.5 для численной реализации разработанных моделей и алгоритмов.

7. Проведены численные эксперименты по апробации и оценке достоверности разработанных конечных элементов. Достоверность подтверждается сравнением полученных результатов с имеющимися численными решениями, а так же с решениями, полученными на основе моделей, для которых можно получить надежные, проверенные практикой численные результаты.

8. Определена динамическая реакция при резонансных колебаниях композитного треугольного крыла из материала КМУ-8. Результаты получены с использованием зарегистрированной авторской программы, составленной на языке программирования математического пакета MATLAB 6.5. Полученные результаты качественно соответствуют представлениям о напряженно-деформированном состоянии элементов рассматриваемого крыла и в совокупности удовлетворяют условию энергетического баланса в течение цикла колебаний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Левашов, Александр Павлович, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Александрова Т. А., Кришневский Б. А., Никитина И. В. Демпфирующие полимерные материалы // Сб. материалов VII Российской науч.-технич. конф. "Демпфирующие материалы". Киров, 1994. С. 20-21.

2. Альтшуль Б. А. Колебания упругих систем с учетом внутреннего трения, зависящего от уровня напряжения // Труды Моск. ин-та инженеров же-лезнодор. трансп. 1966. Вып. 225. С. 28-34.

3. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 446 с.

4. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Стройиздат, 1968. 241 с.

5. БалабухЛ. И. Расчет на прочность конических кессонов // Труды ЦАГИ. 1947. Вып. 640. 55 с.

6. Баничук Н. В., Кобелев В. В., Рикардс Р. Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 224 с.

7. Басов К. А. АЫ8У8 в примерах и задачах. М.: Компьютер Пресс, 2002.

224 с.

8. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

9. Блитштейн Ю. М., Мешков С. И. Об амплитудной зависимости рассеиваемой энергии при колебаниях // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1974. С. 24—34.

10. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. К. Асимтотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

11. Болотин В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов. - В кн. Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, вып. 72, 1966. С. 48-63.

12. Ван Фо Фы Г. А. Теория армированных материалов. Киев: Наукова думка, 1971. 232 с.

13. Ван Фо Фы Г. А. Упругие постоянные и тепловое расширение некоторых тел с неоднородной регулярной структурой // Докл. АН СССР. 1966. Т. 166, №4, С. 817-820.

14. Василенко Н. В. Учет несовершенной упругости материала при механических колебаниях методом комплексных модулей // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1974. С. 5-12.

15. Василенко Н. В. Способы получения матриц демпфирования в методе конечных элементов // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1980. С. 25-36.

16. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 270 с.

17. Вахитов М. Б., Левашов П. Д. Применение гибридных схем к расчету тонкостенных конструкций методом перемещений // Изв. вузов. Авиационная техника. 1980. № 2. С. 30-34.

18. Вахитов М. Б., Сафариев М. С., Сафонов А. С. К вопросу применимости гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения в расчетах прочности тонкостенных авиационных конструкций // Изв. вузов. Авиационная техника. 1974. № 4. С. 32-37.

19. Голотина Л. А., Кожевникова Л. Л. Численные алгоритмы перехода от исследования структурных механизмов деформирования композита к континуальным описаниям его механического поведения // Материалы XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 2007. С. 167— 168.

20. Горбачев К. П. Метод конечных элементов в задачах прочности. Л.: Судостроение, 1985. 156 с.

21. Григолюк Э. И., Фильштинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556 с.

22. Гурьев Н. И., Поздышев В. А., Старокадомская 3. М. Матричные методы расчета на прочность крыльев малого удлинения. М.: Машиностроение, 1972. 260 с.

23. Давиденков Н. Н. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал технической физики. 1938. Т. 8. Вып. 6. С. 483-499.

24. Джорж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

25. Дубенец В. Г. Рассеяние энергии при колебаниях многослойных пластин // Проблемы прочности. 1970. № 2 С. 58-62.

26. Дубенец В. Г. Колебания многослойных пологих оболочек из неидеально упругих материалов // Проблемы прочности. 1980. № 7 С. 108-111.

27. Дубенец В. Г. Рассеяние энергии в слоистых композиционных материалах // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1982. С. 40-46.

28. Дубенец В. Г., Хильчевский В. В. Колебания демпфированных композитных конструкций. Киев: Вища школа, 1995. 210 с.

29. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

541 с.

30. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318 с.

31. Ионов А. В., Богинич О. В. Исследование демпфирующей способности слоистых материалов, содержащих неметаллические прослойки // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1985. С. 226-238.

32. Кан С. Н., Свердлов И. А. Расчет самолета на прочность. М.: Машиностроение, 1966. 519 с.

33. Каплун А. Б., Морозов Е. М., Олферьева М. A. ANSYS в руках инженера. Практическое руководство. М.: Едиториал УРСС, 2003. 272 с.

34. Кетков Ю. Д., Кетков А. Ю., Шульц М. М. MATLAB 6.x: Программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 672 с.

35. Клаф Р., Пензен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.

36. Колесников Б. Я. Рассеяние энергии в однонаправленном композиционном материале с непрерывным волокном и полимерной матрицей // Динамика, выносливость и надежность авиационных конструкций и систем: Тр. МИИГА. 1978. Вып. 2. С. 125-128.

37. Колесников Б. Я., Страхов Г. И. Проектирование деталей из полимерных волокнистых композитных материалов с заданными нелинейными и диссипативными свойствами // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев.: Наукова думка, 1980. С. 126-131.

38. Криштал М. А., Головин С. А. Внутренне трение и структура металлов. М.: Металлургия, 1976. 376 с.

39. Левашов А. П. / Формирование матрицы жесткости треугольного квадратичного элемента из волокнистого композиционного материала [Электронный ресурс] / А. П. Левашов // Общество, наука, инновации (НТК-2011): ежегод. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 18-29 апр. 2011.: сб. материалов/ Вят. гос. ун-т; отв. ред. С. Г. Литвинец. - Киров, 2011. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). (Факультет строительства и архитектуры. Секция «Механика деформируемого твердого тела». Статья № 3).

40. Левашов П. Д., Иномистов В. Ю. Определение динамической реакции составных конструкций на основе конечно-элементных аппроксимаций с учетом рассеяния энергии в материале с помощью комплексных модулей. М.: 1995. Деп. в ВИНИТИ: № 3238-В95. 20 с.

41. Левашов П. Д., Иномистов В. Ю. К определению числа собственных форм разложения при определении динамической реакции конст-

рукций с учетом внутреннего трения материала. М.: 1996. Деп. в ВИНИТИ: № 1578-В96. 20 с.

42. Левашов А. П., Шишкин В. М. Моделирование рассеяния энергии в волокнистом композиционном материале при резонансных колебаниях конструкций // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. № 1. С. 130-139.

43. Макаров Е. Г. Инженерные расчеты в Ма^Исаё: учебный курс. М.: Питер, 2003. 448 с.

44. Малинин М. М. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.

45. Методика расчета на прочность конструкций из композитных материалов / Барабанов И. Ю., Барабанов В. Ю., Кирсанов Ю. А., Кузнецова Н. Н. 305-Р-948. Москва, НПО "Молния", 1988. 44 с.

46. Механика композиционных материалов / Под ред. Дж. Седецки. М.: Мир, 1978. 563 с.

47. Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. 254 с.

48. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. 304 с.

49. Образцов И. Ф., Савельев Л. М., Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. 392 с.

50. Одиноков Ю. Г. Расчет самолета на прочность. М.: Машиностроение, 1973.392 с.

51. Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976.

328 с.

52. Пановко Я. Г. Об учете гистерезисных потерь в задачах прикладной теории упругих колебаний // Журнал технической физики. Т. 23. Вып. 3. 1953. С. 486-497.

53. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960. 193 с.

54. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. 384 с.

55. Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. Киев.: Наукова думка, 1970. 377 с.

56. Писаренко Г. С. О новом подходе к описанию петли механического гистерезиса в теории механических колебаний // Проблемы прочности, 1971, №6. С. 21-22.

57. Писаренко Г. С., Богинич О. Е. Сопоставление результатов расчета колебаний системы с одной степенью свободы с учетом рассеяния энергии в материале, исходя из разных уравнений, описывающих контур петли гистерезиса // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1974. С. 12-24.

58. Писаренко Г. С., Вознесенский Г. П. О колебаниях ортотропных пластин с учетом рассеяния энергии в материале // Сборник "Рассеяние энергии при колебаниях упругих систем" под ред. Г. С. Писаренко. Киев.: Наукова думка, 1966. 304 с.

59. Писаренко Г. С., Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. Расчет свободных и вынужденных колебаний круглых пластин с учетом рассеяния энергии в материале // Проблемы прочности. 1972. № 11. С. 3-10.

60. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: Справочник. Киев: Наукова думка, 1971.375 с.

61. Постников B.C. Внутреннее трение в металлах. М.: Металлургия, 1969. 330 с.

62. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

63. Скудра А. М., Булаве Ф. Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978. 192 с.

64. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, 1960. 129 с.

65. Сорокин Е. С. Уравнения динамической теории упругости с учетом внутреннего трения // Вопросы механики в приложении к транспорту и строительству / Труды. Моск. ин-та инженеров железнодор. трансп. М., 1971. С. 3-14.

66. Уманский Э.С. К оценке конструкционных демпфирующих свойств композиционных материалов, армированных однонаправленными волокнами // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев.: Наукова думка, 1970. С. 110-127.

67. Фавстов Ю. К., Шульга Ю. Н. Сплавы с высокими демпфирующими свойствами. М.: Металлургия, 1973. 256 с.

68. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979. 560 с.

69. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 736 с.

70. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. Рассеяние энергии при колебаниях тонкостенных элементов конструкций. Киев: Вища школа, 1977. 252 с.

71. Хильчевский В. В., Дубенец В. Г. Колебания вибродемпфиро-ванных структурно-неоднородных конструкций // Сб. материалов VIII Российской научно-техн. конф. "Демпфирующие материалы". Киров, 1999. С. 80-84.

72. Чигарев А. В., Кравчук А. С., Смалюк А. Ф. ANSYS для инженеров. Справочное пособие. М.: Машиностроение-1, 2004. 512 с.

73. Шишкин В. М. Конечно-элементные модели в колебаниях неидеально упругих конструкций // Монография. Киров: изд-во ВятГУ, 2004. 72 с.

74. Шишкин В. М. Процедура глобального сглаживания напряжений в конечно-элементных моделях конструкций // Сб. материалов Всероссий-

ской науч.-технич. конф. "Наука-производство-технология-экология". Т. 3. Киров, 2005. С. 245-247.

75. Шишкин В. М. Разработка эффективных методов расчета тонкостенных конструкций с учетом пластических и демпфирующих свойств материала // Автореф. дис. ... д-ра. техн. наук. Казань, 2008. 36 с.

76. Шишкин В. М. Численные алгоритмы проектирования и оптимизации демпфирующего сплава // Сб. материалов межвузовской науч. -технич. конф., посвященной 75-летию президента ВятГУ Кондратова

B.М., "Демпфирующие и акустические материалы". Киров, 2010. С. 1522.

77. Шишкин В. М. / Построение гистерезисного оператора для учета демпфирующих свойств многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными непрерывными волокнами [Электронный ресурс] / В. М. Шишкин, А. П. Левашов // Общество, наука, инновации (НТК-2011): ежегод. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 18-29 апр. 2011.: сб. материалов / Вят. гос. ун-т; отв. ред. С. Г. Литвинец. - Киров, 2011. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). (Факультет строительства и архитектуры. Секция «Механика деформируемого твердого тела». Статья № 2).

78. Шишкин В. М., Левашов А. П. Алгоритм пересчета перемещений при изменении матрицы жесткости конструкции. В кн.: Наука и технологии. Т. 1. Труды XXVIII Российской школы. Специальный выпуск, посвященный 65-летию Южно-Уральского государственного университета. М.: РАН, 2008.

C. 211-215.

79. Шишкин В. М., Левашов А. П. Формирование матрицы жесткости треугольного безмоментного элемента из многослойного композиционного материала // Сб. материалов Всероссийской науч.-технич. конф. "Общество-наука-инновации". Т. 3. Киров, 2010. С. 324-327.

80. Шишкин В. М., Левашов А. П. Определение обобщенных жестко-стей композиционного материала с произвольной схемой укладки слоев //

Сб. материалов Всероссийской иауч.-технич. коиф. "Общество-наука-инновации". Т. 3. Киров, 2010. С. 328-331.

81. Шишкин В. М., Левашов А. П. Моделирование демпфирующих свойств тонкостенных конструкций из многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами // Сб. материалов XVII Международной конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 25-31 мая 2011. С. 437-439.

82. Шишкин В. М., Левашов А. П. Моделирование демпфирующих свойств многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами // Наука и технологии. Материалы XXXI Всероссийской конференции. М.: РАН, 2011. С. 13-22.

83. Шишкин В. М., Левашов А. П. Моделирование демпфирующих свойств материала при анализе динамической реакции тонкостенных композитных конструкций в резонансных режимах нагружения // Перспективы науки. 2011. №8. С. 112-120.

84. Шишкин В. М., Левашов А. П. Четырехугольный полу квадратичный элемент для моделирования стенок лонжеронов и нервюр // Материалы VI Международной науч.-технич. конф. "Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики". Т. 1. КГТУ-КАИ, 12-14 октября 2011. С. 77-82.

85. Шишкин В. М., Левашов А. П. Программа определения динамической реакции тонкостенной подкрепленной конструкции однонаправленной структуры из многослойного волокнистого композиционного материала при колебаниях в резонансной зоне. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 23.09.2011 г. Свидетельство № 2011617436.

86. Шишкин В. М., Левашов А. П. Формирование определяющих уравнений для моделирования резонансных колебаний тонкостенных композитных конструкций // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2012. 2012. № 1. С. 8288.

87. Яковлев А. П. О демпфирующих свойствах композиционного материала с однонаправленными непрерывными волокнами // Проблемы прочности, 1973, № 2. С. 60-64.

88. Яковлев А. П. Диссипативные свойства неоднородных материалов и систем. Киев: Наукова думка, 1985. 248 с.

89. Barlow J. Optimal stress locations in finite element models // Intern. Journal Numer. Meth. Eng. 1976. Vol. 10. № 2. P. 243-251.

90. Hashin Z., Rosen B. W. The elastic moduli of fibre-reinforced materials // ASME Journ. of Appl. Mech. 1964. Vol. 31. P. 223-232.

91. Hill R. Theory of mechanical properties of fiber-strength end thend materials. 1. Elastic behaviour. Journ. of Mech. Of Solids. 1964. 12. No 4. P. 199-212.

92. Hinton E., Campbell J. S. Local and global smoothing of discontini-ous finite element functions using a least squares method // Intern. Journal Numer. Meth. Eng. 1974. Vol. 8. № 3. P. 461-480.

93. Lurie S., Belov P., Volkov-Bogorodsky D., Tuchkova N. Interfase layer theory and application in the mechanics of composite materials // Journal of Materials Scienc. Advances in Multi-Scale Modelling of Composite Material Systems and Components.-2006.-V.41, № 20.-P. 6693-6707.

94. Oden J., Reddy J. N. Nate on an approximate method for computing consistent conjugate stresses in elastic finite elements // Intern. Journal Numer. Meth. Eng. 1973. Vol. 6. № 1. P. 55-61.

95. Patterson C. Sufficient conditions for convergence in the finite element method for any solution of finite energy, in The Mathematics of Finite Elements and Applications (Whiteman J. R., ed.), pp. 213-224, Academic Press, 1973.