Распределение корней и рост целых функций экспоненциального типа вдоль прямой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Салимова Анна Евгениевна

• Салимова Анна Евгениевна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Салимова Анна Евгениевна

Введение

Глава 1. Рост субгармонических функций вдоль прямой и распределение их мер Рисса

1.1. Постановка задачи. Обозначения и определения

1.2. Основной результат

1.3. Вариации оценки (1.2.3) теоремы (1)

1.4. Логарифмические меры и субмеры интервалов

Глава 2. Рост целых функций экспоненциального типа и характеристики распределений точек вдоль прямой на комплексной плоскости

2.1. Распределение нулей целых функций экспоненциального типа с ограничениями на рост вдоль прямой

2.2. Интегральные средние и максимизация функций

2.3. Одно новое распространение теоремы Мальявена-Рубела на распределения комплексных точек

Глава 3. Иные версии теоремы Мальявена —Рубела для целых функций экспоненциального типа

3.1. Условия Линделёфа рода

3.2. Варианты теорем 7, теоремы 5 и 8 без условия расположения распределения точек W в правой полуплоскости СгЬ

3.3. Основные импликации для распределений точек

без условий в углах, содержащих мнимую ось

3.4. Двустороннее условие Бляшке, плотность Редхеффера и случай

с распределениями точек вблизи и на мнимой оси

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распределение корней и рост целых функций экспоненциального типа вдоль прямой»

Актуальность темы исследования.

Основной объект исследования в настоящей диссертационной работе — целые функции экспоненциального типа и распределения нулей.

Предмет исследования — взаимосвязи между ростом целых функций экспоненциального типа вдоль прямой и распределением их нулей. Основное направление развития - перенос классической теоремы П. Мальявена и Л. А. Рубе-ла [26] о целых функциях экспоненциального типа наименьшего роста с заданными нулям на комплексные распределения нулей с выходом, где это удаётся на субгармонические функции конечного типа при порядке 1 и их меры Рисса как аналоги распределения нулей.

Планомерное исследование распределения нулей целых функций, прежде всего конечного порядка, было начато в конце XIX - начале XX вв. после работ Ж. Адамара и А. Пуанкаре в этом направлении. Интенсивно эти исследования продолжались весь XX в. динамично развиваются и поныне как исходя из внутренних потребностей теории целых функций экспоненциального типа (эти аспекты достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий многих авторов, в частности, у Н. Винера и Р. Пэли [37], Н. Левинсона [22], Р. Ф. Боаса [7], Б. Я. Левина [53], [21], Л. Шварца [32], М. М. Джрбашяна, [47] Р. М. Редхеф-фера [30], У. А. Дж. Люксембурга [23], Р. М. Янга [38], А. Ф. Леонтьева [54], Н. К. Никольского [58], П. Кусиса [18], [19], [20], А. М. Седлецкого, Е. И. Моисеева и А. П. Прудникова [56], К. Сейпа [33], Б. Н. Хабибуллина [100], Р. С. Юлму-хаметова [107], А. М. Гайсина [44], А. Полторацкого [28] и охватывают материал вплоть до последних десятилетий), так и в связи с многочисленными ее приложениями в теориях сигналов, связи, антенн (см. монографию Я. И. Хургина и В. П. Яковлева [105], обзоры Х. Бруны, Х. Массанеды и Х. Ортеги-Серды [9], Дж. Дж. Бенедетто и Х.-Ч. Ву [3], и, например, статью Л. Кнокерта и Д. Де Зуттера [17]), к управляемости систем с распределёнными параметрами (см. монографию С. А. Авдонина и С. А. Иванова [2]), в теории когерентных состояний из математической физики (см. монографию А. М. Переломова [59], А. Вурда-са [36]) и т.д.

В постановке именно для целых функций экспоненциального типа / и д

версия нашей основной задачи рассматривалась в совместной работе П. Ма-льявена и Л.А.Рубела, в которой в качестве прямой L выбиралась мнимая ось Ж. Такого выбора придерживаюсь и я в диссертации. В теореме Малья-вена-Рубела для произвольной целой функции экспоненциального типа д с нулями в правой полуплоскости исключительно на положительной полуоси было дано законченное описание всех положительных последовательностей точек Z, для каждой из которых найдётся целая функция экспоненциального типа f, обращающаяся в нуль на Z и удовлетворяющая ограничению ln |/(iy)l ^ ln lg(iy)l при всех у С R. Этой задаче посвящен один из основных разделов монографии Л. А. Рубела в сотрудничестве с Дж. Э. Коллиандром 1996 г [31]. В серии работ Б. Н. Хабибуллина в 1988-91 гг. [88], [87], [89], [91], [90] все эти результаты были перенесены на комплексные последовательности Z при некоторых ограничениях на расположение Z.

Детальный обзор по данной тематике,по состоянию вплоть до 2012 г., дан в монографии Б. Н. Хабибуллина [100].

Давно было известно, что целая функция экспоненциального типа, имеющая достаточно много положительных нулей, не может быть слишком малой на мнимой оси. Первый результат в этом направлении — это теорема Карлесона о том, что не существует функция, обращающаяся в нуль на всех натуральных числах и мажорируемая на мнимой оси синусом | sintzl, где t < п.

Этот результат является центральноым в теории выявления особенностей функций, определённых рядом Дирихле. В предыдущей работе по этому вопросу произведение Вейерштрасса на последовательности часто используется как функция сравнения. Мальявен и Рубел показывают что, на самом деле, в широком классе случаев произведения Вейерштрасса не минимизируют общий тип функции «в терминах последовательности нулей Z».

В работе Мальявена и Рубела предоставляется полное решение проблемы: «Если нули целой функции экспоненциального типа известны, включают в себя заданную последовательность положительных вещественных чисел, то что можно сказать о росте функции на мнимой оси?». Решение этой задачи, восходящей к работам Ф. Карлосона, Т. Карлемана, М. Картрайт, Л. Шварца, Ж.-П. Кахана и многих др., было дано ими в терминах так называемых логарифмических характеристик распределений точек, выражающихся через

обратные величины к точкам-числам из этих распределений точек. В диссертации были перенесены эти результаты на комплексные распределения точек, отделенные парой вертикальных углов сколь угодно малого раствора от мнимой оси, используя развитие логарифмических характеристик для комплексных распределений точек. При этом рассмотрены три типа возможных ограничений на рост вдоль мнимой оси: от очень жестких, как П. Мальявена и Л. А. Рубела, так и менее ограничительных, как в последующих работах Б. Н. Хабибулли-на, в которых впервые были рассмотрены не только положительные нули, но и комплексные. Основные полученные результаты Б. Н. Хабибуллина имеют завершенную форму и сформулированы как критерии. Но при этом, как правило, на распределение нулей всё же накладывалось условие отделённости их углами от мнимой оси или расположения его лишь в правой или левой полуплоскости, а часть результатов даже при таком ограничении не достигла уровня критерия. В нашей работе в определённой степени преодолеваются эти ограничения.

Полученные для целых функций экспоненциального типа и распределения их нулей результаты применятся к вопросам существования мультипликаторов для целых функций экспоненциального типа, «гасящих» их рост, к аналитическим функционалам и их сверткам на комплексной плоскости, а также к вопросам полноты экспоненциальных систем в пространствах локально аналитических функций на компактах в терминах ширины этих компактов.

Цели и задачи диссертационной работы.

• При условии определённого мажорирования субгармонической функции и конечного типа при порядке 1 другой субгармонической функцией М конечного типа при порядке 1 вдоль мнимой оси дать количественные характеристики мажорирования меры Рисса ии функции и мерой Рисса дм функции М в терминах специальных «логарифмических» характеристик или плотностей распределения мер и дм.

• Получить новую теорему единственности для целых функций экспоненциального типа, используя логарифмические блок-плотности распределения точек на комплексной плоскости.

• Рассмотреть взаимосвязь между логарифмическими (суб)мерами для рас-

пределения точек и различными вариантами условия Линделёфа рода 1 для распределения точек на комплексной плоскости.

• Заменой условия расположения распределения нулей мажорирующей целой функции экспоненциального типа в правой или левой полуплоскости, на достаточно общие условия расположения и в правой, и в левой полуплоскостях.

• Рассмотрение ситуаций, когда внутри любых углов, содержащих мнимую ось, может быть бесконечное число точек из распределений нулей, что в определённой степени снимает условия отделённости углами этих распределений нулей от мнимой оси.

• Полный перенос теоремы Мальявена-Рубела с положительных вещественных на комплексные распределения точек, асимптотически отделенные углами от мнимой оси и даже более общо, с конечной плотностью Редхеф-фера в малых углах, содержащих мнимую ось, допуская расположения даже на мнимой оси.

Научная новизна.

Все основные научные результаты являются новыми. Они существенно развивают исследования предшествующих авторов, работавших над этой тематикой, а также результаты научного руководителя как в части значительно более слабых посылок в теоремах, так и по охвату ранее не рассматривавшихся вариантов задач. Ключевые результаты диссертации имеют форму критерия. При исследовании потребовалось применить и новые подходы, связанные с привлечением новых характеристик распределений точек и мер, включая элементы теории Бёрлинга-Мальявена в интерпретации Р. Редхеффера.

Теоретическая и практическая значимость исследования.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты диссертации могут быть применены к вопросам полноты экспоненциальных систем в пространствах локально аналитических функций на компактах в терминах ширины этих компактов, к аналитическим функционалам и их сверткам на ком-

плексной плоскости, а также к существованию мультипликаторов для целых функций экспоненциального типа, что в определённой мере в диссертации и продемонстрировано.

Методология и методы исследования.

В диссертации использовались теория потенциала и субгармонических функций на комплексной плоскости, теория роста целых функций экспоненциального типа вместе с интегральными представлениями их через преобразование Фурье-Лапласа мер, а также методы этих теорий. В методическом плане следует отметить опосредованное применение метода выметания мер, восходящего к А. Пуанкаре, теоремы Хана-Банаха о сублинейных функционалах и теорема Рисса о представлении линейных функционалов мерами и зарядами и других классических фактов теории мер.

Положения, выносимые на защиту:

• При условии определённого мажорирования субгармонической функции и конечного типа при порядке 1 другой субгармонической функцией М конечного типа при порядке 1 вдоль мнимой оси даны количественные характеристики мажорирования меры Рисса ии функции мерой Рисса ^м функции М в терминах специальных «логарифмических» характеристик или плотностей распределения мер и ^м.

• Получена новая теорема единственности для целых функций экспоненциального типа, использующая логарифмические блок-плотности распределения точек на комплексной плоскости.

• Рассмотрена взаимосвязь между логарифмическими (суб)мерами для распределения точек и различными вариантами условия Линделёфа рода 1 для распределения точек на комплексной плоскости.

• Заменой условия расположения распределения нулей мажорирующей целой функции экспоненциального типа в правой или левой полуплоскости на достаточно общие условия расположения и в правой, и в левой полуплоскостях.

• Рассмотрены ситуации, когда внутри любых углов, содержащих мнимую ось, может быть бесконечное число точек из распределений нулей, что в определённой степени снимает условия отделённости углами этих распределений нулей от мнимой оси.

• Перенос теоремы Мальявена-Рубела с положительных вещественных на комплексные распределения точек, асимптотически отделенные углами от мнимой оси и даже более общо, с конечной плотностью Редхеффера в малых углах, содержащих мнимую ось, допуская расположения даже на мнимой оси.

Степень достоверности и апробация результатов.

Исходные версии основных результатов работы докладывались и обсуждались на заседаниях постоянно действующего семинара «Комплексный и гармонический анализ» института математики с вычислительным центром УФИЦ РАН; кафедрального семинара «Примеры и контрпримеры в алгебре, анализе и геометрии» кафедры высшей алгебры и геометрии факультета математики и информационных технологий Башкирского государственного университета под руководством профессора, заведующего этой кафедрой Б.Н. Хабибуллина. на следующих конференциях:

• Национальная очно-заочная научно-практическая конференция, «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук», г. Уфа, 21 - 22 мая 2018 г.

• XVII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2018», г. Казань, 23 - 28 ноября 2018 г.

• Международная молодежная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», г. Уфа, 16 -- 19 октября 2019 г.

• Международная молодежная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», XI Международной школы-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, г. Уфа, 11 -14 ноября 2020 г.

• Международная конференция «Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации», г. Уфа, 28 сентября — 1 октября 2020 г.

• Международная научная конференция «Комплексный анализ и его приложения», Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 24 — 28 августа 2020 г.

• Международная конференция, «Уфимская осенняя математическая школа-2021», г. Уфа, 6 — 9 октября 2021 г.

• XII Международная школа-конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», посвященной 100-летию профессора БашГУ Ф. М. Минигалие-вича, г. Уфа, 6-9 октября 2021 г.

• XX Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения--2021», г. Казань 1 — 4 декабря 2021 г.

• Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна -2022», Воронеж, 22 — 26 января 2022 г.

• Международная научная конференция. «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения», озеро Банное, 14 — 18 марта 2022 г.

• I Всероссийская молодежная школа-конференция «Современная физика, математика, цифровые и нанотехнологии в науке и образовании», посвященной 100-летию со дня рождения А.Д.Сахарова, г. Уфа, 25 - 27 апреля 2022 г.

• Международная школа-конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», г. Уфа, 28 сентября - 1 октября 2022 г.

• Всероссийская школа-конференция «Лобачевские чтения-2022»,г. Казань, 28 ноября — 1 декабря 2022 г.

• Международная научная конференция. «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения», озеро Банное, 13 — 17 марта 2023 г.

Публикации.

Содержание диссертации опубликовано в печатных работах [80],[72], [71], [73] в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК РФ, или приравненных к ним, а также в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, более десяти работ опубликовано в виде тезисов докладов или материалов конференций в сборниках трудов конференций [64]-[84].

Личный вклад автора.

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованных работах. Все основные результаты из диссертации доказаны лично автором. Соавтор трёх из четырёх основных статей, вошедших в диссертацию, — научный руководитель Б.Н. Ха-бибуллин. Его вклад в совместных публикациях состоит только в постановках задач и предложенных методах исследования.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 98 страниц. Библиография включает 107 наименования.

Содержание работы

Во введении описана кратко история исследований распределения корней и роста целых функций экспоненциального типа вдоль прямой, обоснована актуальность диссертационной темы, поставлены основные цели и задачи диссертации, обоснованы научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы выносимые на защиту положения, описаны методология и структура диссертации.

В первой главе в разделе 1.1 диссертации содержится постановка одной из задач, также напоминание о некоторых основных понятиях и результатах,

которые будут использованы в тексте диссертации, а также даны необходимые определения.

Пусть и ф —œ и M ф —œ — субгармонические на комплексной плоскости C функции конечного типа (при порядке 1), что означает конечность как типа type[w] := limsupz^œ ^(р, так и типа type[M] < +œ, с мерами Рисса соответственно ии := -1 Д и и ^м := Д M, где Д — оператор Лапласа, действующий в смысле теории обобщённых функция [104], [29].

Через sbh обозначим множество всех субгармонические функции на C, а sbh* := {и G sbh: и ф —œ}. Одним и тем же символом 0 обозначаем, по контексту, число нуль, нулевую функцию, нулевую меру и т.п.; 0 — пустое множество. Положительность всюду понимается как ^ 0, а отрицательность — это ^ 0.

Meas+ — класс всех положительных борелевских мер на C, mes — линейная мера Лебега на R. С(X) — класс всех непрерывных функций f : X ^ R. L^oc(X) для mes-измеримого подмножества X С R — класс всех локально mes-интегрируемых функций со значениями в R±œ := {—œ} U R U {+œ}, где расширенная вещественная ось R±œ наделяется естественным порядком —œ ^ х ^ +œ, х G R±œ, и порядковой топологией, или топологией конечной копактификации R с двумя концами ±œ. Аналогично определяется L^oc(Y) для Y С Ж.

Определение 1 (логарифмический интеграл). Для функции v G L1oc(R), полагаем

„ ч 1 Г v(x)+ v(—x) ,

r,R; v):=— —^-L dx, 0 <r<R< +œ,

2n .L x2

а для функции v G L^oc(iR)

r,R;v) := — I ———2—— dy, 0 <r<R< +œ.

^ fR v(—iy) + v(iy)

2n Jr y

Определение 2 (логарифмические меры интервалов).

Г;(Г,Я):=/ Re-d^(z), 0 <r<R< +œ,

^ Jr<\z\^R Z

Re z>0

% (r,R) := [<mR Re (—1 ) ), 0 <r<R< +œ,

Re z<0

— правая и левая логарифмические меры интервалов (г, R] С R+ для меры д соответственно. Они порождают логарифмическую субмеру интервалов

£fi(r,R) := maxjl^R),^(r,R)}, 0 <r <R< +œ.

В разделе 1.2 диссертации получена теорема 1 дающая количественные характеристики мажорирования меры vu мерой дм в терминах специальных «логарифмических» характеристик/плотностей распределения мер vu и дм.

Теорема 1. Пусть для функций

M G sbh*, type[M] < д := дм := △ M G Meas+,

и G sbh*, type[u] < v := vu := 2- △ и G Meas+,

qo : R ^ R+ U qQ G L11oc(R),

q: R ^ R+, qGC (R), lim supbK+TO ^ < 1,

и некоторого mes-измеримого подмножества E С R+ с

Er := E П [0,r], qE(r) := mes(Er) ln-r— =: qE(—),

L J v 7 v 7 mes(Er) v 7

имеют место неравенства

u(iy)+u(-iy) < См(гУ, ^Ы) + См (-iУ, q(-y^ + qo(y) + /)

для каждого числа y G R+ \ E.

Тогда для любых чисел r0 > 0 и N G R+ найдётся число C G R+, для которого

max{4(r, R), Mr, R; u)} ^ min{i;(r, R),^(r, R), Mr, R; M)}

+CJr(t, R; qo + qE) + CIN(r, R; q) + C при всех r0 ^ r < R < где

In (r,R;q) := Г tN sup^+N-^ dt.

Jr s>t S

Для доказательства Теоремы 1, были рассмотрены и доказаны следующие леммы:

Лемма 1. Пусть г0 > 0. Для любой функции

и Е sbh*, type[w] < и := vu := -1 Ди Е Meas+,

существует такое число cu Е R+, что для любого mes-измеримого подмножества Е С R+ в обозначениях

Е* := ЕR \ЕГ = Е П (г, R] и

Ег := Е П [0,г], qE(г) := mes^) ln-—— =: qE(-г),

L J v 7 v 7 mes(Еr) v 7

имеет место неравенство

f |и|(х) . fR qE(t) .

—z— dx ^ cu —at + cu для всех r0 ^ r < R <

Jer x Jr t2

где функция qE возрастающая и qE(г) ^ г при г Е R+.

Лемма 2. [103, предложение 4.1, (4.19)] Пусть г0 > 0. Для любой функции

и Е sbh*, type[u] < и := vu := -1 Ди Е Meas+,

существует cu Е R+, для которого при всех r0 ^ г < R <

max j | JM(r, R; и) - C(r, R) \, \ Хж(г, R; и) - C(r, R) |} <

Лемма 3. Пусть г о > 0 и д0 Е Meas+ — мера с носителем supp д0 в замыкании D := Dq, где функция q из

q: R ^ R+, qЕC (R), limsup^p < 1,

с функцией д0: R+ ^ R+ из Дг0(у) := M0(stry), где д0(у) ^ Су при всех у Е R+. Тогда для некоторого числа Со Е R+

fR O(v)

th (г, R) < / dn0(y) + Со при всех r0 ^r < R<

Jr Г

где Q(y):=q(y)+q(-y), УЕ R+.

Лемма 4. Пусть возрастающая функция т: R+ ^ R+ удовлетворяет условиям

m(t) ^ Ct, при всех t £ R+, m(t) = 0 при i £ [0, 6) = 0, а непрерывная функция

Q: R+ ^ R+ такова, что Q(t) = O(i) при t ^

Тогда для любого числа N £ R+ найдётся число £ R+, для которого

Г Ш dm(t) ^ С2 Г tN sup %N di + С2

J г % Jr s^t S

при всех b ^ г < R <

Лемма 5. Пусть г0 > 0. Для любой функции

и £ sbh*, type[w] < v := vu := — Ди £ Meas+,

существует Cu £ R+, для которого при всех т0 ^ г < R < имеем неравенство

max{4(г, R), JiR(r, R; и)} ^ min{C(г, R),£*(r, R), J«(r, R; и)} + Си.

Раздел 1.3 диссертации посвящен модифицированию условий Теоремы 1. Нами доказаны следующие предложения и следствие:

Предложение 1. Пусть выполнено одно из следующих двух условий:

(i) функция Qn из

Qn(s) := , где Q(s) := q(s) + q(—s), s £ R+, s

убывающая на некотором интервале (А, = 0;

(ii) функция Q из Q(y) := q(y) + q(—у),у £ R+. непрерывно дифференцируемая на некотором интервале (А, = 0 со свойством

у yQ'(y) < +

limsup <

у^+ж Q(y)

Тогда найдутся числа г0 > 0, N £ R+ и С £ R+, для которых

IN(r,R; q):= i tN sup ^ ci ^d = CJR(r,R; q).

Jr s^t Jr Ъ

В частности, последний интеграл в

max{4(г, R), JiR(r, R; и)} ^ min{^h(г, R),£%(г, R), JiR(r, R; М)}

+CJR(r, R; qo + qE) + CIN(г, R; q) + С

можно заменить на JR(r, R; q), а заключительную оценку в теореме 1 можно записать как

max{4(г, R), JiR(r, R; и)} ^ min{^h(г, R),£^(r, R), JiR(r, R; М)}

+ CJR(r, R; q0 + qE + q) + С при всех r0 ^ r < R < +<,

Из предложения 1 сразу получаем следующее очевидное

Следствие 1. Если в условиях предложения 1 для некоторого числа г0 > 0 имеет место соотношение

sup Jr(v,R; qo + qE + q) < +<,

<R<+<

то заключительную оценку в теореме 1 можно записать как

max{tv(r, R), JM(r, R; u)} ^ min{t*(r, R),i;(r, R), JM(r, R; M)} + С

при всех r0 ^ r<R<

При известной асимптотике функций q0, qE, q при приближении к также можно упростить заключительную оценку теоремы 1. Вариант — Предложение 2. Пусть для функции Р: R+ ^ R+, ограниченной и интегрируемой по Риману на каждом ограниченном интервале I С R+,

Р (t)

lim sup-= 0.

t t

Тогда для любого числа г0 > 0 найдётся убывающая функция d: R+ ^ R+, для которой

fR Р(t) R

lim d(R) = 0, —dt ^ d(R)ln— при всех r0 ^ r<R< +oo.

Jr t2 Г

В частности, если для функций q0,q, qE из теоремы 1 выполнены условия

v qo{y) + q{y) + яе Ы п ,

lim sup-—.-= 0, sup q0 < +то для любого К Е R+,

ЬИ+то \у\ [-RR]

а также функция q0 локально интегрируема по Риману, то заключительную оценку в теореме 1 можно записать как

max{£„(г, К), Ыг, К; и)} ^ min{££(r, К),£;(г, К), JiR(r, К; М)}

К

+ d( К) ln--+ С при всех r0 ^ г < К < +то,

где d — убывающая функция, для которой d(R) = о(1) при К ^ +то.

В следующем разделе 1.4 диссертации рассматриваются логарифмические меры интервалов и логарифмические субмеры интервалов в иной форме, что позваляет получить следуюющие предложения и доказать теорему единственности для целых функций экспоненциального типа. Для этого необходимо ввести следующие определения:

Определение 3. Пусть ц Е Meas+. Введем в рассмотрение считающую функцию меры ц с 2п-периодической борелевской функцией-весом k: R ^ R+:

ß(r;k):= k(argz) dß(z),

JD(r)

При k = 1, очевидно, ß(r; 1) = ßiad(r) для г Е R+. Определение 4. Пусть 0 < г0 Е R+, I — функция интервалов (г, К] С Го + R+ со значениями в R±TO, £(г, К) := l[(r, К]), для которой определим четыре логарифмические блок-плотности:

1

ln-dens(l) := lim sup -— lim sup £(r, ar);

а^+то ln a г^+то

ln-dens(l) := lim inf lim sup £(r, ar);

а^+то ln a г^+то

ln-densinf (£) := inf -^limsup £(r,ar);

a>1 ln a г^+то

ln-densb(£) := inf J b Е R+: sup U(r, К) - bln ^ < +то 1 .

Функцию интервалов £ ^ 0 называем логарифмической субмерой интервалов (вблизи +то), если для некоторого числа г0 > 0 выполнены два условия:

[l 1] supr^ro £(r, 2r) < +то (логарифмический рост);

[12] £(r1,r3) ^ £(r1,r2) + £(r2,r3) для всех r0 ^ г1 < г2 < г3 (субаддитивность).

Если неравенстве £(r1,r3) ^ £(r1,r2) + £(г2,г3) для любых r0 ^ г1 < г2 < г3 (аддитивность), то I — логарифмическая мера интервалов (вблизи +то). Предложение 3. Пусть д £ Meas+ — мера конечной верхней плотности, или конечного типа type[^j < +то, число г0 > 0. Тогда

I It(r,R) - It(r,R) | = 0(1)

| fyr, R) - £^(r, R)1 = 0(1) для всех Г0 < r <R< +то. | £t(r,R) - £t(r,R) | = 0(1)

X 1 1

Кроме того, для любых фиксированных чисел а £ (0,1], b £ [1, +то) | It (r,R) - It (ar,bR) | = 0(1)

| £1 (r, R) - £lt(ar, bR) | = 0(1) для всех Г0 < г < R< +то. J £t(r,R) - £t(ar,bR) | = 0(1)

Из определения 4 легко следуют

Предложение 4. Если £\ и 12 — логарифмические субмеры интервалов, то £\ +12 и max{li,l2} — логарифмические субмеры интервалов. Предложение 5. Для функций q0 при условии

1 • Q0 Ы ^ , lim sup < +то,

|уН+го \у \

а также функций q и qE интегралы JR(г, R; q0), JR(r, R; q), JR(r, R; qE) — логарифмические меры интервалов (r,R] С R+. Если д £ Meas+ — мера конечной верхней плотности, то It и а также It и It — логарифмические меры интервалов, а и £t — логарифмические субмеры интервалов.

Предложение 6 ([50, теорема 1]). Для логарифмической субмеры интервалов £ ^ 0 все четыре логарифмические блок-плотности из Определения 4 конечны и совпадают, а lim sup и lim inf можно заменить на предел lim . Далее для

а.а^+то а^+то

логарифмической субмеры интервалов £ ^ 0 все четыре логарифмические блок-плотности из Определения 4 обозначаем единообразно как ln-dens(l).

В терминах логарифмической блок-плотности ln-dens имеет место Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и условие

lim sup < для функции Q(y) := q(y) + q(—y).

\у\

Кроме того выполнено одно из условий предложения 1, а также

ln-dens( Jr (•, •, q0 + q + qE)) = 0 Тогда ln-dens^) ^ min{ln-dens(lh), ln-dens(ljh)} ^ ln-dens(lM).

Далее доказывается теорема единственности для целой функции экспоненциального типа (далее ц.ф.э.т.), следующая из теоремы 1:

Теорема 3. Пусть Z = {zk}k=i,2,... С C — последовательность комплексных точек конечной верхней плотности в смысли

ßTad(r)

typeM := lim sup < ßiad(r) := ß(D(0, r)), type[z/j <

т. е. nrZad(r) := nZ(D(r)) = O(r) при г ^ с логарифмической субмерой интервалов

£Z(r, R) := max <

^ ReZ1, ^ Re (-ZL) К = £nz(r,R). zz

z k z

r<\zk |<R k r<\zk|<R k

v Re zfc>0 Re zk <0

Пусть выполнены условия Теоремы 1 и Предложения 5 , а ц.ф.э.т. f обращается в нуль на Z в том смысле, что nZeiQf ^ nz, и для всех у Е R+ \ Е

In | f(W) f(-W) | < Cм{iy, q{y)) + См{-iy, q(-y)) + qo{y) + qo(-y)

Если выполнено

r qo Ы ^ . lim sup <

\y\

и при этом ln-dens(lz) > ln-dens( JiR(^, •; M)), то f = 0.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию распределения нулей и росту целых функций экспоненциального типа, а также обобщению совместного результата П. Мальявена и Л. А. Рубела 1960-х гг.

В разделе 2.1 диссертации приводятся некоторые основные понятия и результаты, которые будут использованы далее.

Последовательность Z = {z^} С C отделена от мнимой оси Ж, если

( 1 Re Zk1 \ ( 1 Im z к1 \

lim Inf ———1 > 0 ^^ lim sup ———1 < 1 .

у \zk\ J или у \zk\ J

Распределение точек Z = {zj} называется отделённым (углами) от Ж,

если

\Re zj\ ^ d\zj \ при всех j для некоторого числа d > 0.

Для S С C через Hol(S) обозначаем векторное пространство над C всех голоморфных функций в какой-либо своей открытой окрестности множества S.

Распределение точек Z = {zj} С C порождает идеал

I(Z) := {f Е Hol(C): /(Z) =0} С Hol(C)

в кольце Hol(C), а также идеал в кольце всех целых функций экспоненциального типа

Il(Z) := I(Z) П {f Е Hol(C): type;< + ж}, для которых при удалении нулевой функции используем ещё и обозначение

i*(Z) := I(Z) П Hol*(C), /*(Z) := l\Z) П Hol*(C).

В разделе 2.2 исследуются максимизация функций и их связь с некоторыми интегральными средними.

Пусть X С R±TO. Функция f: X ^ возрастающая (соответственно

строго возрастающая) на X, если для любых х\,х2 Е X из Х\ < х2 следует f(xi) ^ Дх2) (соответственно f(x\) < /(х2)). Функция f убывающая (соответственно строго убывающая) на X, если противоположная функция —f возрастающая (соответственно строго возрастающая) на X. В данном подразделе X := [а, Ь) С R, а < Ь.

Пусть т: [а, b) ^ R — строго возрастающая функция. Интегральное среднее Am(r,R;f) функции f по функции т на интервале [г, R] С [а, Ь), г < R, определяем через интеграл Стилтьеса по правилу

1 fR

km(r, R; f) := ---— fdт, а <г <R<b,

т( R) — т( )

если, конечно, интегралы Стилтьеса корректно определены. Предложение 7. Пусть в принятых выше соглашениях f: [a,b) ^ R — убывающая функция. Тогда интегральное среднее убывает по переменной г на [a, R) и по переменной R на [г, Ь). При этом

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Салимова Анна Евгениевна, 2024 год

Список литературы

1. V. S. Azarin Growth Theory of Subharmonic Functions // Birkhaser. Basel • Boston • Berlin, 2009.

2. Avdonin S. A. , Ivanov S. A. Families of exponentials. The method of moments in controllability problems for distributed parameter systems. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

3. Benedetto J. J., Wu H.-Ch. Nonuniform sampling and spiral MRI reconstruction // Proc. SPIE. Wavelet Applications in Signal and Image Processing VIII (A. Aldroubi, A.F. Laine, M.A. Unser; Eds.). 2000. V. 4119. P. 130-141.

4. Baranov A. D. Completeness and Riesz bases of reproducing kernels in model subspaces // International Mathematics Research Notices, Article ID 81530. 2006, 34 pages.

5. Beurling A., Malliavin P. On the closure of characters and the zeros of entire functions // Acta Math. 1967. V. 118. P. 79-93.

6. Blanchet P. On removable singularities of subharmonic and plurisubharmonic functions // Complex Variables. 1995. V. 26. P. 311-322.

7. Boas R.P.Jr. Entire Functions. New York: Academic Press. 1954.

8. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and Polinomial Inequalities. Graduate Texts in Mathematics. V. 161. N. Y.: Springer-Verlag, 1995.

9. Bruna J., Massaneda X., Ortega-Cerd'a J. Connections between signal processing and complex analysis // Contributions to Science, Institut d'Estudis Catalans, Barselona. 2003. V. 2(3). P. 345-357.

10. Cole B. J., Ransford T. J. Jensen measures and harmonic measures //J. reine angew. Math. 2001. V. 541. P. 29-53.

11. Gamelin T. W. Uniform Algebras and Jensen Measures. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.

12. Havin V. P., Joricke B. The uncertainly principle in harmonic analysis. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1994.

13. L. Hormander Notions of Convexity, Progress in Mathematics, Birkhauser, Boston, 1994.

14. Khrushchev S. V., Nikol'skii N. K., Pavlov V. S. Unconditional bases of

exponentials and of reproducing kernels // Complex Analysis and Spectral Theory (Sem., Leningrad, 1979/80). Lecture Notes in Math. V. 864. SpringerVerlag. Berlin. 1981. P. 214-335.

15. King F. W. Hilbert transforms. Vol. I. Cambridge University Press, New York; University of Wisconsin-Eau Claire (encyclopedia of mathematics and its applications), 2009.

16. King F. W Hilbert transforms. Vol. II, Cambridge University Press, New York; University of Wisconsin-Eau Claire (encyclopedia of mathematics and its applications), 2009.

17. Knockaert L., De Zutter D. On the completeness of eigenmodes in a parallel plate waveguide with a perfectly matched layer termination // IEEE Trans. Antennas Propag. 2002. V. 50. No. 11. P. 1650-1653.

18. Koosis P. The logarithmic integral. V. I. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1988.

19. Koosis P. The logarithmic integral. V. II. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1992.

20. Koosis P. Lecons sur le theoreme de Beurling et Malliavin. Les Publications CRM. Montreal, 1996.

21. Levin B. Ya. Lectures on entire functions. Transl. Math. Monographs, V. 150. Amer. Math. Soc., Providence RI, 1996.

22. Levinson N. Gap and Density Theorem. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. V. 26. N. Y.: AMS, 1940.

23. Luxemburg W. A. J. Muntz-Szasz type approximation results and the Paley-Wiener theorem // In: Approximation Theory II, G.G. Lorentz etc. (eds.). N.Y.: Academic Press, 1976. P. 437-448.

24. Makarov N., Poltoratski A. Meromorphic inner functions, Toeplitz kernels and the uncertainty principle. Perespectives in analysis, Math. Phys. Stud., Springer, Berlin, 27 (2005), 185-252.

25. Matsaev V. I., Ostrovskii I. F., Sodin M. L. Variation on the theme of Marcinkevicz' inequality // J. d' Analyse Math. 2002. V.86. P. 289- 317.

26. P. Malliavin, L. A. Rubel On small entire functions of exponential type with given zeros // Bull. Soc. Math. France, 89:2, 175-201(1961).

27. Pandey J.N. The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications,

Wiley-Interscience, 1996.

28. Poltoratski A. Toeplitz Approach to Problems of the Uncertainty Principle. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. 2015

29. Th. Ransford Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

30. Redheffer R.M. Completeness of sets of complex exponentials // Adv. in Math. 24, 1-62 (1977).

31. Rubel L.A. (with Colliander J.E.) Entire and Meromorphic Functions, New York: Springer-Verlag. 1996.

32. Schwartz L. Etude des sommes d'exponentielles// Actualites. scient. et industr. No. 959. Paris: Hermann, 1943 (2e ed. 1959).

33. Seip K. Interpolation and sampling in spaces of analytic functions. Providence, R.I. : American Mathematical Society, 2004.

34. Sedletskii A. M. Fourier transforms and approximation. An Internat. Ser. Monogr. Math. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publisher, 2000.

35. Sedletskii A. M. Nonharmomc Analysis //J. Math. Sci. 2003. V. 116. No. 5. P. 3551-3619.

36. Vourdas A. The growth of Bargmann functions and the completeness of sequences of coherent states //J. Phys. A: Math. Gen. 1997. V. 30. 4867-4876.

37. Wiener N., Paley R. Fourier transforms in the complex domain. AMS. N. Y. 1934; Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

38. Young R. M. An introduction to nonharmonic Fourier series. N. Y.: Academic Press, 1980.

39. Абанин А.В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М.: Наука, 2007.

40. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

41. Баранов А. Д. Модельные подпространства пространств Харди (неравенства Бернштейна, системы воспроизводящих ядер, теоремы типа Берлинга-Мальявена). Дисс. ... доктора физ.-мат. наук, Санкт-Петербург, 2011.

42. Байгускаров Т. Ю., Талипова Г. Р., Хабибуллин Б. Н. Подпоследовательности нулей для классов целых функций экспоненциального типа, выде-

ляемых ограничениями на их рост вдоль вещественной оси // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, No 2. С. 1-33.

43. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964. [Gar84] Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

44. Гайсин А. М. Целые функции: основы классической теории с приложениями к исследованиям по комплексному анализу Монография, РИЦ БашГУ, Уфа, 2016 , 160 с.

45. Григорян С. А. Обобщенные аналитические функции// УМН. 1994. Т. 49, No 2. С. 3-42.

46. А. Ф. Гришин, Т. И. Малютина Новые формулы для индикаторов субгармонических функций // Матем. физ., анал., геом., 12:1, 25-72 (2005).

47. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М: Наука, 1966.

48. Жозе Себаштьян-и-Силва О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика. 1:1, 60-77 (1957).

49. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов Функциональный анализ в нормированных пространствах // Физматлит. М., 1959.

50. М. Р. Каримов, Б. Н. Хабибуллин Совпадение некоторых плотностей распределения множеств и полнота систем целых функций // Труды международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы». III. Анализ и дифференциальные уравнения, III, С. Г. Мерзляков, Институт математики с вц УНЦ РАН, Уфа, 29-34 (2000).

51. И. Ф. Красичков-Терновский Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 88(130) : 1(5), 3-30, (1972).

52. Н.С. Ландкоф Основы современной теории потенциала // Наука. М., 1966.

53. Б. Я. Левин Распределение корней целых функций, ГИТТЛ, М., 1956.

54. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

55. Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу, СПб.: БХВ-Петербург, 2011.

56. Моисеев Е. И., Прудников А. П., Седлецкий А. М. Базисность и полнота некоторых систем элементарных функций. М.: Вычисли- тельный центр РАН, 2004.

57. В. В. Напалков Уравнения свёртки в многомерных пространствах, Наука, Москва, 1982.

58. Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.

59. Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987.

60. Седлецкий А. М. Негармонический анализ// В книге: Итоги науки и техники, Серия "Современная математика". Тематические обзоры. 2001. Т. 96. Функциональный анализ.

61. Седлецкий А. М. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации. I. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 5. М.: МАИ, 2003.

62. Седлецкий А. М. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации. II. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 6. М.: МАИ, 2003.

63. Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит, 2005.

64. А. Е. Салимова(Егорова), Б. Н. Хабибуллин, «О росте целых функций экспоненциального типа на мнимой оси, Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» Материалы Национальной очно-заочной научно-практической конференции (г. Уфа, 21-22 мая 2018 г.), ред. В.П. Захаров и др., РИЦ БашГУ, 2018.

65. А. Е. Салимова(Егорова), «Критерий совместимости комплексной последовательности и ограниченной выпуклой области», XVII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2018», Материалы школы-конференции (г. Казань, 23-28 ноября 2018 г.), Казань, 2018.

66. А. Е. Салимова(Егорова), Б. Н. Хабибуллин, «О росте целых функций экспоненциального типа без отделения мер на мнимой оси», Международная молодежная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Сборник тезисов (г. Уфа, 16 октября - 19 октября 2019 г.), ред. З.Ю. Фазуллин З.Ю (ответственный редактор), Юма-

гулов М.Г., Хабибуллин Б.Н., Нугаева И.Г., Белова А.С., БашГУ, Уфа,

2019.

67. А. Е. Салимова, Б. Н. Хабибуллин, «Распространение теоремы Мальявена-Рубеля на комплексные последовательности», Международная молодежная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Тезисы докладов XI Международной школы-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 11 ноября - 14 ноября 2020 г.), ред. Е.Г. Екомасов, Л.А. Габдрахманова., Научно-издательский центр «Аэтерна», 2020.

68. А. Е. Салимова, Б. Н. Хабибуллин, «Рост субгармонических функций вдоль прямой», Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации, Сборник тезисов Международной конференции (г. Уфа, 28 сентября - 1 октября 2020 г.), ред. И.Х. Мусин (отв. редактор), З.Ю. Фа-зуллин; Р.Н. Гарифуллин, Научно-издательский центр «Аэтерна», Уфа,

2020.

69. А. Е. Салимова, Б. Н. Хабибуллин, «Теорема Мальявена-Рубела о малости роста целых функций экспоненциального типа с заданными нулями: 60 лет спустя», Международная научная конференция «Комплексный анализ и его приложения», Сборник материалов, 36 стр. (Казань, 24-28 августа 2020 г., Казанский (Приволжский) федеральный университет.), Казань, 2020.

70. А. Е. Салимова, Б. Н. Хабибуллин, «Рост субгармонических или целых функций экспоненциального типа вдоль прямой и распределение их мер Рисса или нулей», Международная научная конференция «Комплексный анализ и его приложения», Сборник материалов, 36 стр. (Казань, 24-28 августа 2020 г., Казанский (Приволжский) федеральный университет.), Казань, 2020.

71. Салимова А.Е., Хабибуллин Б.Н. Рост субгармонических функций вдоль прямой и распределение их мер Рисса// Уфимск. матем. журн. 12:2, 35-48 (2020).

72. Салимова А.Е., Хабибуллин Б.Н. Распределение нулей целых функций экспоненциального типа с ограничениями на рост вдоль прямой // Матем. заметки. 108:4, 588-600 (2020).

73. Салимова А.Е., Хабибуллин Б.Н. Рост целых функций экспоненциального

типа и характеристики распределений точек вдоль прямой на комплексной плоскости// Уфимск. матем. журн. 13:3, 116-128 (2021).

74. А. Е. Салимова, Б. Н. Хабибуллин, «Распространение теоремы Мальявена-Рубела с распределений положительных нулей на комплексные», Уфимская осенняя математическая школа-2021, Материалы международной конференции (г. Уфа, 6-9 октября 2021 г.), ред. З. Ю. Фазуллин, М. Г. Юмагулов, Р. С. Юлмухаметов, О. А. Кривошеева, А. С. Белова, Аэтерна, г. Уфа, 2021.

75. А. Е. Салимова, «Распространение теоремы Мальявена-Рубеля на комплексные последовательности с Ж-условием Линделефа», XII Международной школы-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании»: спутник Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа-2021», посвященной 100-летию профессора БашГУ Фарзтди-нова Миркашира Минигалиевича (г. Уфа, 6-9 октября 2021 г.), БашГУ, 2021.

76. А. Е. Салимова, «Обобщение теоремы Рубеля - Мальявена о положительных нулях на комплексный случай», XX Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2021» (г. Казань 1-4 декабря 2021 г.), 2021.

77. А. Е. Салимова, Б. Н. Хабибуллин, «Распределение корней и рост целых функций экспоненциального типа», Материалы работы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2022» (Воронеж, 22-26 января 2022 г.), ред. В. А. Костин, Воронежский государственный университет, Воронеж, 2022.

78. А. Е. Салимова, «Полнота системы экспонент с последовательностью комплексных показателей, отделённой от мнимой оси», Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения. Сборник материалов, Международной научной конференции (озеро Банное, 14 - 18 марта 2022 г.), научно-издательский центр «Аэтерна», Уфа, 2022.

79. А. Е. Салимова, «Версия теоремы Мальявена-Рубля распространенная на комплексные последовательности», I Всероссийской молодежной школы-конференции «Современные физика, математика, цифровые и нанотехно-

логии в науке и образовании (ФМЦН-22)», посвященной 100-летию со дня рождения А.Д.Сахарова (г. Уфа, 25-27 апреля 2022 г.), БГПУ, 2022, 23.

80. А. Е. Салимова Версия теоремы Мальявена-Рубела для целых функций экспоненциального типа с корнями около мнимой оси. // Изв. вузов. Ма-тем. (8), 46-55, (2022)

81. А. Е. Салимова «Теорема единственности для целых функций экспоненциального типа», Международной школы-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании»: спутник Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа-2022» (г. Уфа, 28 сентября - 1 октября 2022 г.), БашГУ, 2022, 168-170.

82. А. Е. Салимова, «Распределение теоремы Мальявена-Рубела на комплексные последовательности с использованием R-условия Линделефа», « Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», посвященную 50-летнему юбилею образования математического и физического факультетов в БашГУ: спутник Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа-2022» (Уфа, с 19-22 октября 2022 г), ред. д-р физ.-мат. наук, профессор Б.Н. Хабибуллин (научный редактор по направлению «Математика»); д-р физ.-мат. наук, профессор Е.Г. Екомасов (научный редактор по направлению «Физика»); канд. физ.-мат. наук, доцент Л.А. Габдрахманова (отв. редактор); канд. физ.-мат. наук, доцент Ф.К. Закирьянов; канд. физ.-мат. наук, доцент Д.С. Юнусова, БашГУ, 2022, 4.

83. А. Е. Салимова, «Рост субгармонических функций», Всероссийская школа-конференция «Лобачевские чтения-2022» (28 ноября - 1 декабря 2022 г.), 65.ред. : А.Н. Абызов, Ю.Р. Агачев, А.А. Агафонов, Д.В. Бережной, И.Р. Каюмов, С.Р. Насыров, А.А. Попов, К.А. Поташев, О.А. Саченков, Е.А. Турилова, Л.Р. Шакирова, Казань, Казань, 2022, 60-62.

84. А. Е. Салимова, Б. Н. Хабибуллин, "Оценки мер Рисса субгармонических функций", Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения, Сборник материалов Международной научной конференции (Южный Урал, Якты-Куль (озеро Банное), 13 - 17 марта 2023 г.), ISBN 978-5-00177-608-6, 130 стр., ред. Р.Н. Гарифуллин (отв. редактор); И.Х.

Мусин; В.Ю. Новокшенов; Р.А. Башмаков, Аэтерна, Уфа, 2023, 98-100.

85. Талипова Г. Р., Хабибуллин Б. Н. Последовательности единственности для классов целых функций экспоненциального типа, ограниченных на вещественной оси // Вестник Башкирского университета. 2015. Т. 20, No 1. С. 5-9.

86. Фаворов С. Ю. Множества нулей целых функций экспоненциального типа с дополнительными условиями на вещественной прямой // Алгебра и Анализ. 2008. Т. 20, No 1. С. 154-161; see also Proceedings of the Conference "Computational Methods and Function Theory" (CMFT 2005). Finland. Joensuu.

87. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси // Докл. Акад. Наук СССР, 302:2, 270-273 (1988).

88. Б. Н. Хабибуллин О малости роста на мнимой оси целых функций экспоненциального типа с заданными нулями // Матем. заметки. 43:5, 644-650, (1988).

89. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси // Матем. сб. 180:5, 706-719 (1989).

90. Б. Н. Хабибуллин О росте вдоль прямой целых функций экспоненциального типа с заданными нулями // Analysis Math., 17:3, 239-256 (1991).

91. Хабибуллин Б. Н. Множества единственности в пространствах целых функций одной переменной // Изв. АН СССР, серия матем. 1991. Т. 55. No 5. С. 1401-1423.

92. Б. Н. Хабибуллин Распределение нулей целых функций и выметание // Дисс. .. .доктора физ.-матем. наук (Украина, Харьков, ФТИНТ, 1993; РФ, Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, 1994)

93. Хабибуллин Б. Н. Распределение нулей целых функций и выметание. Дисс. . . . доктора физ.-мат. наук. Харьков, 1993.

94. Хабибуллин Б. Н. Неконструктивные доказательства теоремы Берлин-га-Мальявена о радиусе полноты и теоремы неединственности для целых функций// Изв. РАН. Серия матем. 1994. Т. 58. No 4. С. 125-148.

95. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем целых функций в пространствах голоморфных функций // Матем. заметки. 1999. Т. 66. Вып. 4. С. 603-616.

96. Хабибуллин Б. Н. Двойственное представление суперлинейных функци-

оналов и его применения в теории функций. II // Изв. АН СССР, сер. матем. 2001. Т. 65, No 5. С. 1017-1039.

97. Хабибуллин Б. Н. Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44. No 4 . С. 905-925.

98. Хабибуллин Б.Н., Хабибуллин Ф.Б., Чередникова Л.Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. I // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, No 1. С. 146-189.

99. Хабибуллин Б. Н. Применения в комплексном анализе двойственного представления функционалов на векторных решетках // Математический форум (Итоги науки. Юг России), Т. 4, Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям, Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. 2010. С. 102-118.

100. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности, изд. 4-ое доп. Уфа: РИЦ БашГУ. 2012.

101. Хабибуллин Б. Н., Талипова Г. Р., Хабибуллин Ф. Б. Подпоследовательности нулей для пространств Бернштейна и полнота систем экспонент в пространствах функций на интервале // Алгебра и ана- лиз. 2014. Т. 26, No 2. С. 193-223.

102. Хабибуллин Б.Н., Шмелёва А.В. Выметание мер и субгармонических функций на систему лучей. I. Классический случай // Алгебра и анализ. 31:1, 156-210 (2019).

103. Б.Н. Хабибуллин, А.В. Шмелёва, З.Ф. Абдуллина Выметание мер и субгармонических функций на систему лучей. II. Выметания конечного рода и регулярность роста на одном луче // Алгебра и анализ, 32:1, 208-243 (2020).

104. У. Хейман, П. Кеннеди Субгармонические функции, Мир, М., 1980.

105. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М: Физматгиз, 1962.

106. Шварц Л. Анализ, Т. 1. М.: Мир, 1972.

107. Юлмухаметов Р. С. Расщепление целых функций с нулями в полосе, Матем. сб., 186:7 (1995), 147-160