Расчёт тонких упругих торсовых оболочек одинакового ската с эллипсом в основании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Алёшина Ольга Олеговна

• Алёшина Ольга Олеговна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Алёшина Ольга Олеговна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ, ПРОЧНОСТЬ И ПРИМЕНЕНИЕ ОБОЛОЧЕК ОДИНАКОВОГО СКАТА

1.1. Обзор истории развития теории расчета упругих оболочек в криволинейных неортогональных координатах и применения их для торсовых оболочек

1.2. Обзор геометрических исследований поверхностей одинакового ската

1.3. Основные геометрические характеристики торсовой поверхности одинакового ската с эллипсом в основании

1.4. Исследование особенностей геометрии и конструирования торса одинакового ската с эллипсом в основании

1.4.1. Способы построения эллипса в основании

1.4.2. Определение координат точек самопересечения поверхности

1.4.3. Определение закона задания кривой при самопересечении поверхности

1.5. Современные технологии для изучения оболочек

1.6. Применение торсовых оболочек

1.7. Выводы по главе

ГЛАВА 2. РАСЧЁТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ТОНКИХ ТОРСОВЫХ ОБОЛОЧЕК

2.1. Расчётные уравнения для неортогональных криволинейных координат

2.2. Расчётные уравнения для оболочек одинакового ската в линиях главных кривизн

2.2.1. Расчётные уравнения в линиях главных кривизн для оболочек одинакового ската с эллипсом в основании

2.3. Выводы по главе

62

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЁТА ОБОЛОЧЕК ОДИНАКОВОГО СКАТА С ЭЛЛИПСОМ В ОСНОВАНИИ

3.1. Система трёх дифференциальных уравнений в перемещениях

3.2. Расчет пологих оболочек одинакового ската с эллипсом в основании

3.3. Разрешающие уравнения безмоментной теории

3.3.1. Решение для безмоментной оболочки при действии нагрузки по касательной к поверхности на торце и=сопб1

3.3.2. Решение для безмоментной оболочки при действии равномерно-распределенной нагрузки по касательной вдоль прямолинейных образующих

3.3.3. Решение для безмоментной оболочки при действии равномерно-распределенной нагрузки по нормали к срединной поверхности

3.3.4. Решение для безмоментной оболочки при действии собственного веса

3.4. Определение перемещений торсовой оболочки по безмоментной теории методом А. Л. Гольденвейзера при действии линейной нагрузки на верхнем торце м=сопб1

3.5. Выводы по главе

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ТОРСОВЫХ ОБОЛОЧЕК

4.1. Исследование напряженного состояния торсов одинакового ската методом конечных элементов и вариационно-разностным методом

4.1.1. Определение напряженного состояния торса МКЭ и ВРМ при действии нагрузки по касательной к поверхности на торце м=сопб1

4.1.2. Определение напряженного состояния торса МКЭ и ВРМ при действии равномерно-распределенной нагрузки по касательной вдоль прямолинейных образующих

4.1.3. Определение напряженного состояния торса МКЭ и ВРМ при действии равномерно-распределенной нагрузки по нормали к срединной поверхности

4.2. Исследование НДС конструкции в форме торсовой оболочки одинакового

ската МКЭ

4.3. Выводы по главе

Заключение

Список сокращений

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Приложение Е

Приложение Ж

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчёт тонких упругих торсовых оболочек одинакового ската с эллипсом в основании»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Тонкостенные конструкции типа оболочек составляют обширный класс в архитектуре, в промышленном и гражданском строительстве, судостроении, авиастроении, ракетостроении, машиностроении и приборостроении и в других отраслях промышленности. Исследование оболочеч-ных структур начинается с изучения их срединных поверхностей. Каждый вид поверхности имеет определенные преимущества перед другими. Так торсы (развертывающиеся невырожденные поверхности) позволяют получить их развертки на плоскость без изменения целостности срединной поверхности, т.е. без образования складок (изгибов) и разрывов. Коэффициенты квадратичных форм торсов одинакового ската с плоской кривой в основании А = 1 и F = L = M = 0. Таким образом, уравнение поверхности задается в линиях кривизн, т.е. является наиболее простым. Одно семейство линий кривизны на торсовой поверхности - прямые линии, отсюда простота определения второго семейства линий кривизны ортогональных к семейству этих прямых. Следовательно, изготовление опалубки на кажущуюся сложность при возведении таких оболочек из монолитного железобетона не вызовет больших трудностей. Исследование напряженно-деформированного состояния (далее по тексту НДС) оболочки одинакового ската с направляющей плоской кривой в основании даже с учётом современного развития вычислительной техники и большого развития теории тонких оболочек представлено на сегодняшний день в малом объеме.

Об актуальности изучения геометрии и НДС торсов одинакового ската в своих работах писали А.В. Крутов, С.Н. Кривошапко, С.В. Бескопыльная, М.И.

Рынковская, А.И. Карташев, а также иностранные исследователи Баджория Г.Ч., Тхома А., Кумудини Джаявардена М.К., Юханио М.А.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию геометрии и НДС торсовой оболочки одинакового ската с эллипсом в основании (далее по тексту торс ОС с эллипсом в основании). Впервые НДС торсов ОС с эллипсом в основании изучали С.Н. Кривошапко, М.А. Тимошин, Тхома А., однако исследования не были доведены до числовых результатов. Таким образом данная тематика весьма актуальна.

Степень разработанности темы исследования. Определение НДС любых оболочек, в том числе, торсов ОС с эллипсом в основании, аналитическими методами расчета является трудоемкой и сложной задачей. Внутренние силы и деформации срединной поверхности оболочек зависят от двух переменных, параметры НДС определяются с помощью решения дифференциальных уравнений (далее по тексту ДУ) в частных производных в перемещениях их, иу, иг.

В настоящее время в технической литературе, несмотря на обширные данные и результаты по изучению геометрии и параметров НДС торсов ОС с эллипсом в основании, нет данных и результатов аналитического решения системы трех разрешающих ДУ в перемещениях для данного класса торсовых оболочек. Также нет данных о возможности использования безмоментной теории расчета для приближенной оценки напряженного состояния оболочек рассматриваемого класса.

Целями диссертационной работы являются получение новых сведений по геометрии, конструированию и НДС торсов ОС с эллипсом в основании. Также нахождение решения системы ДУ для анализа НДС, в том числе безмоментного состояния исследуемого класса торсов, аналитическим методом и сравнение полученных аналитических результатов с решениями метода конечных элементов (далее по тексту МКЭ) и вариационно-разностным методом (далее по тексту ВРМ). Кроме того, установление возможности использования безмоментной теории расчета для приближенного определения параметров НДС торсов. Одним из главных

вопросов также является рассмотрение нового использования формы срединной поверхности торса ОС с эллипсом в основании для инженерных конструкций.

В соответствии с поставленными целями решаются задачи исследования:

1. Рассмотреть возможность составления унифицированные формулы для определения координат основных точек рассматриваемого класса оболочек;

2. Рассмотреть возможность определения закона задания пространственной плоской кривой самопересечения прямолинейных образующих торса;

3. Составить систему трёх ДУ в частных производных для определения параметров НДС аналитическим методом по общей теории тонких оболочек и рассмотреть возможность нахождения решения данной системы уравнений;

4. Составить систему трёх ДУ в частных производных для определения параметров НДС пологих торсов аналитическим методом и рассмотреть возможность нахождения решения данной системы уравнений;

5. Рассмотреть возможность использования безмоментной теории для нахождения приближенных параметров напряженного состояния торсов ОС с эллипсом в основании;

6. Предложить новую конструкцию со срединной поверхностью в виде торса ОС с эллипсом в основании.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

1. Впервые получены обобщенные формулы для определения координат основных точек торсов ОС с эллипсом в основании;

2. Впервые установлен закон задания плоской пространственной кривой, образующейся при самопересечении прямолинейных образующих и оболочки;

3. Впервые аналитическим способом составлены системы трёх ДУ в частных производных восьмого порядка в перемещениях их, иу, иг для определения параметров НДС торса ОС с эллипсом в основании и для такого же пологого торса, и установлена сложность нахождения решения данной системы;

4. Впервые по безмоментной теории оболочек получены решения для определения параметров напряженного состояния торсовой оболочки для четырех различных типов нагрузки, обусловленных возможностями безмоментной теории;

5. Впервые по безмоментной теории методом А. Л. Гольденвейзера определены числовые значения перемещений ии, щ, иг торса в криволинейной системе координат поверхности;

6. Получены результаты численных расчетов МКЭ и ВРМ для трёх различных нагрузок, выполнено сравнение числовых результатов трёх методов расчета; установлено, что в исследуемых торсах возникают изгибные напряжения, в связи с этим безмоментная теория не может быть использована для расчетов торсов ОС с эллипсом в основании;

7. Предложена конструкция навеса (козырька) в форме торса ОС с эллипсом в основании, получены числовые результаты НДС.

Теоретическая и практическая значимость работы:

1. Определены координаты основных точек торса и закон задания плоской пространственной кривой, образующейся при самопересечении прямолинейных образующих, что, в некоторых случаях является полезной, а иногда необходимой информацией, при раскройке листового материала или изготовлении опалубки;

2. Установлено, что аналитическими методами на сегодняшний день параметры НДС не могут быть определены из-за сложности нахождения решения системы ДУ в частных производных восьмого порядка;

3. Получены аналитические решения для четырех различных нагрузок по без-моментной теории оболочек для торсов ОС с эллипсом в основании, установлена взаимосвязь данных нагрузок;

4. В связи с тем, что чисто безмоментное состояние конструкций встречается крайне редко и их условия существования не всегда могут быть конструктивно реализованы, для установления возможности существования безмоментного состояния исследуемого торса определены параметры НДС для рассматриваемых типов

нагрузок по МКЭ и ВРМ при моделировании граничных условий, приближенных к задачам безмоментной теории; установлено, что торсы испытывают изгибные напряжения;

5. Впервые в практике на конкретном примере рассмотрен и применен метод А.Л. Гольденвейзера, позволяющий по безмоментной теории оболочек определять параметры НДС оболочки;

6. Предложен простой в проектировании, конструировании и монтаже навес (козырек) в форме торса ОС с эллипсом в основании.

Методология и методы исследования. Для исследования геометрии торса ОС с эллипсом в основании используются дифференциальная геометрия, система Mathcad и вычислительный комплекс SCAD Office на основе МКЭ, для оценки НДС торсов используются аналитические методы расчета и программы SCAD и «SHELLVRM» на базе ВРМ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Результаты изучения геометрии торсов одинакового ската с направляющим эллипсом;

2. Системы трех ДУ в перемещениях для торсов и пологих торсов, сложность нахождения решений данных систем;

3. Установление и обоснование факта, что торсы ОС с эллипсом в основании не могут быть отнесены к числу оболочек с чисто безмоментным напряженным состоянием;

4. Применение метода А.Л. Гольденвейзера для определения перемещений рассматриваемых торсов по безмоментной теории;

5. Новая конструкция в форме торса ОС с эллипсом в основании.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов обеспечивается корректным использованием обоснованных положений строительной механики и сопротивления материалов, путем сравнения аналитических

результатов с результатами двух вычислительных программ на базе МКЭ и ВРМ с учетом моделирования необходимых условий безмоментной теории.

Результаты диссертационной работы представлены на следующих семинарах и научно-технических конференциях:

1. Международная конференция «Инженерные системы - 2020». Москва, 1416 октября 2020;

2. International Conference on Engineering Systems 2021 (ICES 2021) (Международная конференция «Инженерные системы - 2021» на английском языке). 28 -30 April 2021 Moscow, Russia;

3. 51 Межвузовский научный семинар РУДН «Геометрия и расчет тонких оболочек неканонической формы». Москва, 26 октября 2021.

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 5 печатных работах, 3 из них в ведущих рецензируемых изданиях, входящих в перечень ВАК РФ, и 2 статьи в издании, представленном в базе данных Scopus.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 101 наименование, и семи приложений. Основной текст работы представлен на 130 страницах машинописного текста, включает 72 рисунка и 82 таблицы. Объем приложений составляет 54 страницы.

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ, ПРОЧНОСТЬ И ПРИМЕНЕНИЕ ОБОЛОЧЕК

ОДИНАКОВОГО СКАТА

1.1. Обзор истории развития теории расчета упругих оболочек в криволинейных неортогональных координатах и применения их

для торсовых оболочек

Современная теория оболочек - это фундаментально разработанные разделы механики деформируемого тела. Тем не менее, развитие теории тонких оболочек продолжается, поскольку появляются новые конструкции и их расчет в рамках существующих вариантов теорий невозможен.

Архитектура и строительство благодаря появлению оболочек обогатились неизвестными ранее архитектурно-конструктивными элементами. Но обычные методы расчета не применимы к оболочкам, поскольку распределение и действие усилий не подчиняется законам справедливым, например, для рамных несущих конструкций. Таким образом возникла необходимость в создании особой теории расчета оболочек.

Первые работы по теории расчета оболочек появились в Англии и Германии еще в XIX веке. Первая теория оболочек была разработана в 1884 г. Г. Ароном. В основу были положены гипотезы Кирхгофа, но как позднее оказалось, теория содержала ряд неточностей. Затем в 1888 г. А. Ляв устранил неточности и получил теорию тонких оболочек в окончательном виде, сформированную по аналогии с теорией пластин Кирхгоффа. Далее А. Бессет обратил внимание на более существенную погрешность гипотез Кирхгоффа в теории оболочек, чем в теории пластин. Переломным моментом можно считать 30 - е годы XX в., когда строители стали широко применять оболочки в качестве покрытий. Первые строители оболочек рассчитывали сначала эти оболочки по безмоментной теории, которая получена

из общей теории Лява, если считать в ней изгибающие и крутящие моменты равными нулю. Профессор А. А. Гвоздев, подмечая недостатки безмоментной теории, в 1930 г. поставил задачу о расчете тонкостенной оболочки по строгой моментной теории Лява. В том же 1930 г. профессором А. А. Гвоздевым и математиком А.Л. Гольденвейзером эта весьма сложная задача была разрешена.

В 1953 году А.Л. Гольденвейзер составляет расчетные уравнения (далее по тексту РУ) для тонких оболочек со срединной поверхностью в косоугольной системе криволинейных координат и, V [1].

Общие уравнения равновесия (далее по тексту УР) имеют вид [1]: 1 д В* 1 д

. [5 № + cos XS$] -^rh sin XS¿- — — [A(S; -cos-sin xou A sin xov

AB (O* O*\

sln ^ -sn-Aw,-t) + mx + cos = 0'

lu lluv

д [в(Su + cosXNu)] -at}2sinxN* + —[a(n; -cosxs;)] +

a L v M SL msj ±z /t u. • ■ a

sin xdu sin xdv

" ab_ (o* q

lX 41 lv lluv

'n: n: s* -s:,\ д д

А л AB (Uv Uu\

+¥sin ^ - ¡¡¡¡i te ■- id+mY+cos jJ°=0'

(Nu ^v ¿v -Su\ д д

д В2

sinxd¿[BiKv + cos" ~A ünxM*~

д [лсм* - cosхм;и)] -вг?2 sinхм;и + abq; = о,

sin xdv

д [Я(М£ + cos/M¿v)] -АГ}2 sinX Mb +

sinxdu

+ [А(М;и ~cos^M^*)] + Y-Г?2 sin*Mv -ABQZ = 0,

■ m* ■ ^ ■ . m™ , m; -m*u 0

Ku Kv Kuv

физические уравнения (далее по тексту ФУ) [1]:

N* = c£u~ctgXM+ = c£v~ctgXM+ V£u

U sinj ' v sin/

с Í1 + cos2j 21 sin2/

= -SÏ = 2„ £uv -ctgx(eu + £v) -v[suv + Ctg/(£U + £v)] f'

/Сц УКл, Кл; H" V/C-7»

m* = -d(1-V) —--' m; = -D(I-v)—-- '

sinj sinj

Кил? cos y JCu Килг cos У /С?»

m¿v = -D(1-v)—-—' м;и = -d(1-v) —-—

sinj sinj

Eh Eh3 C=--D =

1-v2' 12(1-v2y (1.2)

Связь деформаций и перемещений [1]:

1 д Bsin¿x 2 uz

£и = + ™v) riltty _ —,

1 д Asin2x 1 = В dv + cos * --Гж^и - J7 '

sin xduv /sin 7 .

- —:—^--I „ Г112 + — —)uu +

u A du V В 12 A du) u

(Bsinx„2 , 1 / 1 cosj\

+cos X у~д2 Ги + ~Ä~dü)Uv + siñj +

sinxdUu Msinj x 1d/\

wv =-----l-cos X l-ñ— Г-Л, H——)ии —

v В dv л V В2 12 В dv) и

/sin X п 1дх\ 1(1 cosj\

-{—Г" + äüfe "+"лтЬ

_ _ 1

£uv + ' £ — 2 (k^ ~Ши)'

_ /1duz uu uv \ _ /1duz uv uu \

" 1л du Ri Ruv)' Yv~ \B dv я; Ruv)'

_ 19 (Yu ~cos XYv\ sinj^ | S

Ku~ Adu\ sin 7 ) В [l2Yv + Ruv '

Adu\ sinj

1 d /yv -cosXYu\ В dv\ sin у )

sinj 2

Kv = ~ I ■___ ) л Г12/и _

Bdv\ sin X ) A 1Z,U Ruv (1.3)

где Бы и Бу - относительные растяжения срединной поверхности по и - линии и V -линии; Быу - сдвиг (изменение угла между координатными линиями и и у); у и и у у -углы поворотов векторов г и и Гу в сторону вектора п; Ши и Юу - углы поворотов векторов Гы и Гу в касательной плоскости; Гл - символы Кристоффеля.

Таким образом, рассматриваются величины, которые зависят от двух переменных и и V/

Ы* Ы* О* О* Б* Б* М* М* М* М* — (1 4)

Щ-Ц'^Уъи' XV' иУ' 11и> 1АУ> 11иУ> 11Уи V1- V

внутренние силовые факторы («псевдоусилия», «псевдомоменты»), компоненты тангенциальной и изгибной деформаций:

£и> £у> ^иу> ^У> ^иу (1.5)

и компоненты перемещений:

ии, щ, иг. (1.6)

УР (1.1) включают выражения:

1 L 1 N 1 М

я; А2' я; в2' яиу АВ

~киу, (1.7)

где Я'и,Яу - радиусы кривизны вдоль соответствующих координатных линий, х -угол между координатными линиями и и у, который определяется по формуле:

С05Х=тт=-к- (18)

На рисунке 1.1 показаны положительные направления усилий и моментов в косоугольной системе координат и, V, предложенной А.Л. Гольденвейзером [1].

А. Л. Гольденвейзер получил 20 РУ для определения 19 двумерных параметров бесконечно малого элемента оболочки [1]:

- 6 УР (1.1) для связи параметров (1.4);

- 6 геометрических уравнений (далее по тексту ГУ) (1.3) для связи параметров (1.5) и (1.6);

- 8 ФУ (1.2) для связи параметров (1.4) и (1.5).

Рисунок 1.1 - Положительные направления усилий (а) и моментов (б)

В 1977 году С.Н. Кривошапко [2, 3] составил другую систему ДУ для расчета тонких оболочек в произвольных криволинейных координатах (х^ 0), включающую общепринятые усилия и моменты в инженерной практике. На рисунке 1.2 показаны положительные направления усилий и моментов в произвольной неортогональной криволинейной системе координат и и V, предложенной С.Н. Кривошапко.

6 УР в общем виде записываются следующим образом:

Ыи /дВ дА

дУ ¡Ш^ \ди дУ

ЗА

дБ.

и

'---со*,]+-5и + Вди

С08 X +

+В-

дК

и

ди

АВ

¡т x--—Qu+ABXs1nx=0, к

и

д Ьи + Бу /дБ дА

ОУ ¡Ш^

/дВ дА \ дА дБи

дЫи АВ Юу Qu ч

1ТС05 -г- ¡пг (я: ■- т,С05 х)+АВ¥ 51П * = 0

и

+

-в

+

Дия1п* АВ

д глш, Л ■ Миу + Муи,дВ дА — (АМу) +-:-

ду ¡т^

ди -

¿¡т* = 0, дМ,.

/дВ дА \ дА дМи

(---— С08 Х)+ Ми + В—-С08 х +

\ди ду ) ду и ди

дМиу

sinх + АВОу sin7 = 0,

ди

д Му-Ми /дВ ЗА \ ЗА дМи

ду

+В—^^х+АВ№и + QV cosХ) ди

= 0

sin ^ + (Ыу -Ыи) cos ^ +

М.,

иу

М-

уи

И^тх ^ятх

= 0.

(1.9)

Рисунок 1.2 - Положительные направления усилий (а) и моментов (б)

8 ФУ в произвольной системе координат и, V:

Ыу = с(£у -£иуадх + У£ц), Ыи = с(£и -£иуадх + У£у),

1-у 1-у

= ^Т" С&иу + -£и)адх), ^ = —— с(£иу + (£и -£у)сьдх),

Ми = -Э

ЯШ*

(1-у)(км ятх + КууСЬдх)

Mvu = D (kvu -ки cos x), Muv = D(kvu -kv cos j). (1.10)

ГУ взяты как у А. А. Гольденвейзера.

Таким образом, С.Н. Кривошапко составил также 20 РУ для определения 19 двумерных параметров. УР С.Н. Кривошапко (1.9) отличны от УР А.Л. Гольденвейзера (1.1).

Вопросам изучения геометрии и прочности торсовых оболочек начиная с XVIII века посвящено большое число научных работ. В монографии [2] и обзорной статье [4] представлен наиболее полный перечень работ, посвященных исследованию тонких торсовых оболочек.

На кафедре сопротивления материалов и расчета на прочность (на сегодняшний день Департамент строительства) Российского университета дружбы народов начиная с 1963 г. проводятся постоянные исследования в области теории расчета торсовых оболочек. Под руководством доктора технических наук, профессора В.Г. Рекача в 1970 - 1980-х гг. разработаны и защищены несколько кандидатских диссертаций, посвященных данной теме [5-10]. В работе [10] впервые предложена аппроксимация поверхности торса-геликоида складчатой поверхностью и построена ее развертка. Под руководством доктора технических наук, профессора М.И. Ер-хова разработана и защищена кандидатская диссертация [11]. В данной работе впервые получены численные результаты расчетов на прочность длинных непологих торсов-геликоидов с произвольным коэффициентом Пуассона и проанализировано влияние учета коэффициента Пуассона.

Неоспоримый вклад в разработку современной теории упругих тонких торсовых оболочек внес д-р техн. наук, проф. С.Н. Кривошапко (Департамент строительства, Российский университет дружбы народов). В своей кандидатской диссертации С.Н. Кривошапко, взяв за основу изучения геометрии метод Г. Монжа, получил уравнения ребер возврата ряда торсовых поверхностей с плоскими направляющими кривыми, также представил новую запись уравнения Гаусса из теории поверхностей, вывел физические уравнения для усилий и моментов, выполнил ряд

расчетов некоторых торсовых оболочек по безмоментной теории. В дальнейшем благодаря применению неортогональной криволинейной системы координат им получены формулы для определения усилий и перемещений для всего класса торсовых оболочек. Большая работа проведена в области расчета торсов-геликоидов, которые также можно назвать оболочками одинакового ската, система 18 уравнений (УР, ГУ и ФУ) для расчета упругого тонкого торса-геликоида в криволинейных неортогональных сопряженных координатах преобразована в систему трех уравнений с тремя неизвестными параметрами перемещений в частных производных 8-го порядка. Получено решение данной системы трех ДУ в перемещениях аналитическим методом малого параметра, за который принят тангенс угла наклона прямолинейных образующих торса-геликоида. С.Н. Кривошапко является автором и соавтором нескольких монографий и справочников, посвященных геометрии и теории расчета тонкостенных оболочек, например, [2, 12]. В докторской диссертации С.Н. Кривошапко расширил круг решаемых задач для торсовых оболочек. На сегодняшний день профессор С.Н. Кривошапко продолжает изучение геометрии и НДС тонкостенных торсовых оболочек [13, 14].

Если по изучению геометрии торсов достигнуты большие результаты, то числовые результаты по изучению НДС получены только в работах Баджории Г.Ч., Кумудини Джаявардена М.К., С.Н. Кривошапко, С.Б. Косицына, М.И. Рынковской и все они получены на примере длинных торсов-геликоидов. Есть только несколько примеров расчета торсов, построенных на двух направляющих кривых по безмо-ментной теории, но это как известно, приближенная теория и она не может быть развита в точную теорию [2, 12, 15]. В зарубежной литературе примеров расчета торсовых оболочек по моментной теории не обнаружено.

1.2. Обзор геометрических исследований поверхностей одинакового ската

«Торсовой называется поверхность, которая может быть развернута на плоскость всеми ее точками без разрывов и складок, при этом длины кривых и углы между любыми кривыми, принадлежащими поверхности, не изменяются» [2]. «Цилиндрические и конические поверхности являются простейшими примерами торсов. Установлено для того, чтобы поверхность была торсовой необходимо и достаточно, чтобы у нее гауссова кривизна всюду была равна нулю (К = к±к2 = 0)» [16].

Торсовая поверхность «в общем случае представляет собой геометрическое место касательных к своему ребру возврата. Любую пространственную кривую можно принять за ребро возврата, касательные к которому будут образовывать торсовую поверхность. У цилиндрической поверхности ребро возврата вырождается в несобственную точку (точка удаляется на бесконечность), у конических поверхностей ребро возврата вырождается в точку. Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими.» [2].

Торс может задаваться в векторной форме [2]:

г = г(и, у) = а(у) + и1(у), (111)

где а(у) - радиус-вектор ребра возврата, 1(у) - единичный касательный вектор.

Уравнение ребра возврата торса [2]:

а(у) = х1 + уу + гк = х(у)Ь + у(у)] + г(у)к . (112)

В 1805 г. Г. Монж определил, что «можно построить по крайней мере одну развертывающуюся поверхность движением прямой линии по двум произвольным кривым» [2].

Общие выражения для определения коэффициентов основных квадратичных форм торсов [17]:

А = 1, F = 4 х'2 +У'2 + г'2,

В2 =р2 +-Ь-^-У-

20 г"2) - (х'х" + у'у

р4

х'" У'" г'"

и2 х' У' г'

х" У" г"

^3^2 _ р2

(1.13)

1 = м = 0, М =

Е

с

л г(и,Я) = г1(и) + Я[г2(ъО — Г! (и)] = г1(и) + Ат(и), (114)

вде 0 < X < 1, при этом угол между координатными линиями и и V не зависит от параметра X.

а Торсовая поверхность может быть задана в явном г = г(х,у) или неявном вн

ы = (1.15)

н В работе [18] впервые предложена классификация линейчатых поверхностей. В класс развертывающихся поверхностей входят цилиндрические, конические и ворсовые поверхности. На сегодняшний день известны и описаны в технической Литературе 24 торса общего вида и 10 торс ОС.

Торраштричероофороиинакового ската - это линейчатые поверхности, имеющие постоянный угол а между своими прямолинейными образующими и соответствующими главными нормалями плоской направляющей кривой. Касательные к ребру Нозврата совпадают с прямолинейными образующими поверхности одинакового б&ата» [2].

Если считать, что плоская направляющая кривая х = х(у),у = у(у) лежит в горизонтальной плоскости, то прямолинейные образующие поверхности одинакового еката будут расположены в вертикальных плоскостях, проходящих через главные нормали направляющей кривой, и будут составлять постоянный угол а с горизон-¥альной плоскостью. В этом случае векторное уравнение поверхности одинакового Поката записывается в виде» [2, 17]: и в ы

r = r(u, v) = cos a

= x(v)i + y(v)j + 7/ —[y/(v)/ — r/(v)y] —usin ak.

Jx'2(v) + y'2(v) (1.16)

Если есть векторное уравнение торса ОС, можно задать эту поверхность в параметрической форме [2]:

у'(у) cos а

X = X(u,v) = х(у) + и Y = Y(u,v) = y(v) — u

^x'2(y) + y'2(y)' x'(v) cos a

Vx'2(v)+y'2(v)' Z = Z(u) = usin a. (1.17)

Общие формулы для коэффициентов квадратичных форм и главных кривизн торсов ОС [2, 17]:

А = 1, F = 0,

В = ^ 1 + ucosa-з-+У (У) —

[x'2(v)+y'2(v)]2

= {1 + u cos a t(v)}^x'2(v) + y'2(v) ,

sin a

ки = к± = 0, ку = к2 = х,2(у) + у'2(^) . (118)

Торсовая поверхность получается в линиях кривизны и, V и координатная линия и=0 совпадает с направляющей кривой.

Рассмотрим известные и описанные в настоящее время торсы ОС [17]:

1. Торс ОС с направляющей параболой

Образующие торса пересекают параболу у = ах2 (рисунок 1.3), коэффициент а определен, а - угол наклона образующих прямых к плоскости г = 0. Поверхность задана в линиях кривизны и, V, координатная линия и = 0 совпадает с заданной направляющей параболой.

Рисунок 1.3 - Торс ОС с направляющей параболой

б

Р а

з

У

ю щ

Параметрическая форма задания торсовой поверхности на рисунке 1.3:

2av

х = х(и, v) =v + и cos а у = y(u,v) = av2 — и

Vl + 4a2v2 ' ucos а

Vl + 4a2v2 '

z = z(u) = —usina . (1.19)

Коэффициенты основных квадратичных форм и главные кривизны:

I-i 2aucosa

А = 1, F = 0, B = jl + 4a2v2\l+-

l [1 + 4a2v2]^

2asina i 2aucosa L = M = 0, N = ---ji +-3

Vl + 4a2vM [1 + 4a2v2]2,

2asin a

^u — — 0, kv — /с 2 —

[1 + 4a2v2]2 + 2au cos a

2. Торс ОС с направляющей цепной линией

О

(1.20)

Параметрическая форма задания торсовой поверхности на рисунке 1.4:

х = х(и, v) = v + и cos a th(p ,

cos а

у = y(u,v) = ach(p — и—— ,

ch^

z = z(u) = — и sin a, (121)

где параметр ф = v / a.

Коэффициенты основных квадратичных форм и главные кривизны:

ucos а

A = l, F = 0, В = ch(p +

р

а в н е н и е

L = M = 0, N =

achq>

sin a(ach2<p + ucos a)

^u — — 0, kv — /с 2 —

a2ch2^ sin a

ach2^ + ucos a (122)

3. Торс ОС с ребром возврата на однополостном гиперболоиде вращения У

Рисунок 1.5 - Торс ОС с ребром возврата на гиперболоиде вращения

Векторная форма задания поверхности на рисунке 1.5:

aVl + m2(cosuí + sinuy) + тк

r = r(u,v) = x(u)i + y(u)j + z(u)k + v---

Va2(1 + rn2) + m2 (1.23)

u v

™ ' , пара-

метр m = a / (tg2^ - a2)1/2.

Параметрическая форма задания торса на рисунке 1.6:

Т аи sin v

х = x(u,v) = acosv —

о Р

у = y(u,v) = asinv +

m

аи cos v

m

с bu

z = z(u,v) = bvH--,

- m

д л

и

к о-

и

(1.24)

Коэффициенты основных квадратичных форм и главные кривизны:

и2a2 uab

A = l, F = m, В2=т2+——,L = M = 0, N = —=-,

m¿ m¿

_ _ _ N _ b

ku-k1-0, . (1.25)

Координатные линии u совпадают с прямолинейными образующими торса, а линии v - винтовые линии.

Резная линейчатая поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью (рисунок 1.7) образуется при движении прямой линии плоскости Р по направляющему цилиндру. Прямолинейные образующие называются меридианами, ортогональные траектории точек образующей - параллелями. Меридианы и параллели являются линиями кривизны.

Параметрическая форма задания торсовой поверхности (рисунок 1.7): х = х(и, v) = r cos и — t sin и, у = у(и, v) = r sin и + t cos и,

z = z(y) = v, (1.26)

г

д

е

r - радиус цилиндра, u - угол наклона; t, v - прямоугольные координаты.

Рисунок - 1.7 Резная линейчатая поверхность Монжа с цилиндрической

направляющей поверхностью

Коэффициенты основных квадратичных форм и главные кривизны:

д

А = су + Ь-ги, F = 0, В2 = 1 + с2, М = Ы = 0,

_ _ 1 _ _

к-и _ , ку — к2 — 0. (1 27)

5. Конический геликоид одинакового ската: - Развертывающийся конический геликоид (рисунок 1.8)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алёшина Ольга Олеговна, 2021 год

Список литературы

1. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: ГТТИ, 195Э. -

544 с.

2. Кривошапко С.Н. Геометрия линейчатых поверхностей с ребром возврата и линейная теория расчета торсовых оболочек: Монография. - М.: Изд-во РУДН, 2009. - Э57 с.

3. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. К вопросу расчета упругих тонких оболочек в неортогональных криволинейных координатах// Расчет оболочек строительных конструкций: Сб. статей. - М.: УДН, 1977. - С. 3-14.

4. Кривошапко С.Н. Применение, геометрические и прочностные исследования торсовых оболочек. Обзор работ, опубликованных после 2008 г. Строительная механика и расчет сооружений, 2018, 2. С. 19-24.

5. Бхаттачария Б. Расчет оболочек в виде торсовых поверхностей с двумя произвольными плоскими направляющими кривыми: Дис. ... канд. техн. наук. М.: УДН, 1970. - 177 с.

6. Юханио Маруланда Арбелаис. Расчет оболочек в форме резных поверхностей Монжа: Дис. ... канд. техн. наук. М.: УДН, 1970. - 154 с.

7. Фарес Милад Жорж. Безмоментная теория расчета резных поверхностей Монжа двойной кривизны: Дис. ... канд. техн. наук. М.: УДН, 1974. - 152 с.

8. Кривошапко С.Н. Расчет торсовых (невырожденных) оболочек в криволинейных неортогональных координатах: Дис. ... канд. техн. наук. М.: УДН, 1980. -206 с.

9. Баджория Г. Ч. Задачи расчета торсовых оболочек по безмоментной и мо-ментной теориям и развертывание их срединных поверхностей на плоскость: Дис. ... канд. техн. наук. М.: УДН, 1985. - 200 с.

10. Сальман Абдалла Аль Духейсат. Решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме прямого и эвольвентного геликоидов аналитическими и численными методами: Дис. ... канд. техн. наук. М.: УДН, 1989. - 109 с.

11. Кумудини Джаявардена М.К. Решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме развертывающихся геликоидов: Дис. ... канд. техн. наук. М.: УДН, 1992. - 183 с.

12. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces, Springer International Publishing Switzerland, 2015, 752 p.

13. Кривошапко С.Н. Два вида расчетных уравнений для оболочек в произвольных криволинейных координатах// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2017. - № 1. - С. 15-22.

14. Кривошапко С.Н., Тимошин М.А. Статический расчет эллиптической оболочки одинакового ската, двух конических оболочек с направляющим эллипсом и торса с двумя эллипсами, лежащими в параллельных плоскостях на общую устойчивость. V Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы - 2012». Труды конференции. - М.: РУДН, 16-18 апреля 2012. С. 40-46.

15. BhattacharyaB. Theory of a new class of shells// Symposium on Industrialized Spatial and Shell Structures. - Poland, 1973. - P.115-124.

16. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М.: Наука, 1974. - 176 с.

17. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек. - М.: Наука, 2006. - 544 с.

18. Кривошапко С.Н. Классификация линейчатых поверхностей// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2006. - № 1. - С. 10-20.

19. Филипова Е.Р. Сравнительный анализ результатов расчета тонкой оболочки в форме резной поверхности Монжа по безмоментной теории и методом конечных элементов// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2016. - № 3. - С. 8-13.

20. Кривошапко С.Н., Тимошин М.А. Статический расчет торсовой оболочки одинакового ската с направляющим эллипсом// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2008. - № 1. - С. 3-10.

21. Кривошапко С.Н., Тимошин М.А. Статический расчет эллиптической оболочки одинакового ската, двух конических оболочек с направляющим эллипсом и торса с двумя эллипсами, лежащими в параллельных плоскостях на общую устойчивость// V Международная научно-практическая конференция: Труды Межд. научно-практической конференции «Инженерные системы - 2012», 16-18 апреля 2012 г. - М.: Изд-во РУДН, 2012. - С. 40-46.

22. Тимошин М.А. Численные результаты статического расчета на прочность и устойчивость трех оболочек нулевой гауссовой кривизны с направляющим эллипсом// Труды Всероссийской научно-практической конференция «Инженерные системы - 2008», 7-11 апреля 2008 г. - М.: Изд-во РУДН, 2008. - С. 209-212.

23. Рынковская М.И. Изгибание и задачи расчета тонких упругих оболочек в форме прямого и развертывающегося геликоидов на распределенную нагрузку и осадку одной из криволинейных опор: Дис. ... канд. техн. наук. М.: РУДН, 2013. -217 с.

24. Рынковская М.И. Применение метода Рунге-Кутта и метода прогонки к расчету длинного пологого торса-геликоида// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2014. - № 3. - С. 77-80.

25. Рынковская М.И. Влияние угла наклона образующих на НДС торса-геликоида, рассчитанного по аналитическому методу малого параметра с учетом первых трех членов ряда// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2012. - № 4. - С. 15-17.

26. Кривошапко С.Н. Применение асимптотического метода малого параметра для аналитического расчета тонких упругих торсов-геликоидов// Пространственные конструкции зданий и сооружений: Сб. статей МОО «Пространственные конструкции». - Вып.9. - Москва: ООО «Девятка Принт», 2004. - С. 36-44.

27. Mamieva I.A., Gbaguidi-Aisse G.L. Influence of the geometrical researches of rare type surfaces on design of new and unique structures// Строительство и реконструкция. - 2019. - № 5 (85). С. 23-34.

28. Кривошапко С.Н. Полная классификация линейчатых поверхностей// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2020. - № 2. -С. 131-138.

29. Мамиева И.А., Разин А.Д. Знаковые пространственные сооружения в форме конических поверхностей// Промышленное и гражданское строительство. -2017. - № 10. - С. 5-11.

30. V. Jean Paul. A Review of Geometry Investigations of Helicoids// IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 371 (2018) 012029 doi:10.1088/1757-899X/371/1/012029.

31. Кривошапко С.Н., Крутов А.В. Ребра возврата, линии раздела и самопересечения некоторых технологических поверхностей// Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования». - 2001. - № 1. - С. 98-104.

32. Крутов А.В. Стрикционные линии некоторых поверхностей откоса в связи с пластическим деформированием// Информационные технологии и системы. Вып. 4. - Воронеж. Гос. Технол. Акад. - Воронеж, 2001. 216с. (С. 167-171).

33. Обухова В.С., Пилипака С.Ф. Конструирование поверхности одинакового ската как огибающей однопараметрического семейства круговых конусов// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1988. - Вып. 46. - С.13-18.

34. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Аналитические методы расчета оболочек неканонической формы: Монография. - М.: РУДН, 2010. - 542 с.: ил.

35. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. Под. редакцией Уманского А.А.// Государственное издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам. - М.: 1960.

36. SCAD Office. Версия 21. Вычислительный комплекс SCAD++ / В.С. Кар-пиловский, Э.З. Криксунов, А.А. Маляренко, А.В. Перельмутер, С.Ю. Фиалко. -М.: Издательство «СКАД СОФТ», 2015. - 848 стр.

37. Belyaeva Z.V., Berestova S.A., Mityushov E.A. Tangent developaple surfaces elements in thin walled structures. Structural Membranes 2017. - VIII International Conference on Textile Composites and Inflatable Structures, K-U. Bletzinger, В E. Onate & B. Kroplin (Eds.), 9-11 October 2017, Munich, Germany. C. 415-426.

38. Берестова С.А., Беляева З.В., Мисюра Н.Е., Митюшов Е.А., Рощева Т.А. Математические алгоритмы кроя развертывающихся элементов пространственных тонкостенных конструкций // Фундаментальные исследования, 2017. № 6. С. 26-30.

39. Гордон В. О. Курс начертательной геометрии: учебное пособие для студентов втузов/В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский; под ред. В. О. Гордона. -М.: Высшая школа, 2008. -272 c.

40. Фролов С.А. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение, 1976. -

240с.

41. Кривошапко С.Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек: Реферативная информация - М.: Изд-во АСВ, 1995. - 280 с.

42. Krivoshapko S.N. Static analysis of shells with developable middle surfaces// Applied Mechanics Reviews (USA). - Vol.51. - No12, Part 1. - December 1998. - P. 731-746.

43. Баджория Г. Ч. Расчет длинного развертывающегося геликоида по мо-ментной теории в перемещениях// Строительная механика и расчет сооружений. -1985. - № 3. - С. 22-24.

44. М.К. Кумудини Джаявардена. Геометрия и пример расчета на прочность тонкой упругой оболочки в форме торса-геликоида// Вопросы прочности пространственных систем: Материалы XXVIII научной конф. инж. ф-та. Секция строительной механики. - М.: РУДН, 1992. - С. 48-51.

45. Lawrence Snezana. Developable surfaces: their history and application. Nexus Network Journal, 2011, 13 (3): 701-714.

46. Кривошапко С.Н., Мамиева И.А. Возможности применения торсов и торсовых оболочек в условиях Дагестана. Вестник Дагестанского государственного технического университета, 2011, №3 (22). С. 118-127.

47. Sergey N. Krivoshapko, Iraida A. Mamieva, Andrey D. Razin. Tangential Developable Surfaces and Shells: New Results of Investigations// Journal of Mechanics of Continua and Mathematical Sciences. - March 2019. - Special Issue - 1. - Pp. 324-333 [DOI: https://doi.org/10.26782/jmcms.2019.03.00031].

48. Glaeser Georg, Gruber Franz. Developable surfaces in contemporary architecture. Journal of Mathematics and the Arts, Vol. 1, Issue 1, March 2007, pp. 59-71.

49. Chen Ming, Kai Tang. A fully geometric approach for developable cloth deformation simulation // The Visual Computer. 2010. Vol. 26 (6-8). Pp. 853-863.

50. Тлустенко С.Ф. Технология изготовления монолитных панелей для конструкций летательных аппаратов и методика выбора схем деформаций и расчёта параметров напряженно-деформированного состояния процессов [Электронный ресурс]: электрон. учеб. пособие / С.Ф. Тлустенко. - Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С.П. Королева (нац. исслед. ун-т). - Электрон. текстовые и граф. дан. (1,8 Кбайт). - Самара, 2014. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM).

51. Бабаков В.В. Проектирование поверхностей кривыми второго порядка в самолетостроении. - М.: Машиностроение, 1969. - 124 с.

52. Павленко Г. Е. Об упрощенных формах судов. - М.: Изд-во МРФ СССР, 1948. - 28 с.

53. Бронский А.И., Глозман М.К., Котляков В.В. Основы выбора конструкций корпуса судна. - Л.: Судостроение, 1974. - 250 с.

54. Новиков И.Г., Аграфенин Е.С. Механизация процесса изготовления криволинейных секций и требования к обеспечению их технологичности// Судостроение. - 1978. - №1. - С.52-56.

55. Barry Christopfer D. Working with developable surfaces// Boatbuilder, 2001, Jan/Feb. - P. 1-8.

56. Каноэ-тримаран из фанеры// Катера и яхты. - Л.: Судостроение. - 1971. - №1(29). С. 94-96.

57. Oetter R., Barry C.D., Duffty B., Welter J. Block construction of small ships and boats through use of developable panels// Journal of Naval Production. - Vol. 18, No 2. - May 2002. - P. 65-72.

58. Горячкин В.П. Теория полуга. - М.: Промиздат, 1927. - 200 с.

59. Кардашевская Ю.Г. Применение торсовых поверхностей в сельскохозяйственном машиностроении// Доклады МИИСП. Т. 1. Вып. 5. - М., 1964. С. 71-77.

60. Алимов Р. У. К вопросу конструирования трубопроводов с помощью ЭВМ// Машины для хлопкопроизводства. - Ташкент: ТашПИ,1979. - Вып. 287. -С. 36-39.

61. Polanski S., Pianowski L. Rozwiniçcia Powierzchni w Technice. Konstrukcje Wspomagane Komputerowo. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001. 412 s.

62. Анпилогова В.А., Кухарчук Н.Г. Автоматизация конструирования поверхностей типа лопатки осевого вентилятора шахтного проветривания// Геометрия САПР и автоматизированные системы производства деталей и узлов машин: Тезисы докл., ч. 2. - Орел, 1978. - С. 146-147.

63. Дергунов В. И., ЛагуноваМ. В., Румянцев Е. В. Инженерные задачи в строительстве на чертежах с числовыми отметками. Н. Новгород: Нижегород. гос. ар-хит.-строит. ун-т, 2011. 48 с.

64. Карташев А.И. Поверхности одинакового ската: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Л.: Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта, 1954. - 16 с.

65. Бубякин И. В., НикитинаЕ. С. О применении геометрии комплексов плоскостей и круговых конусов к моделированию в строительстве// Математические заметки СВФУ. 2009. Т. 16 (1). С. 7-15.

66. Варварица А. Г. Аппроксимация топографической поверхности поверхностью одинакового ската// Прикладная геометрия и инженерная графика: сб. науч. тр. Вып. 21. Киев: Будивельник, 1976. С. 39-42.

67. Chen Ming, Kai Tang. A fully geometric approach for developable cloth deformation simulation // The Visual Computer. 2010. Vol. 26 (6-8). Pp. 853-863.

68. Ito Miori, Imaoka Haruki. A method of predicting sewn shapes and a possibility of sewing by the theory of developable surfaces // Journal of the Japan Research Association for Textile End-Uses. 2007. Vol. 48. No 1. Pp. 42-51.

69. Баландина Е. А. Реконструкция сложных каркасных поверхностей на основе перспективно-числовой модели применительно к проектированию изделий легкой промышленности: автореф. дис. .канд. техн. наук. Омск, 2006. 19 с.

70. Павлова С. В. Разработка способа развертывания участка сложной поверхности с помощью торсового посредника для проектирования изделий индустрии моды: дис. ... канд. техн. наук. Омск, 2010. 149 с.

71. Кривошапко С.Н., Барамзин А.Д. О применении торсовых оболочек// Военно-строительный бюллетень. - 1979. - №2. - С.15-16.

72. Glaeser Georg, Gruber Franz. Developable surfaces in contemporary architecture// Journal of Mathematics and the Arts. Vol. 1 (1). March 2007. Pp. 59-71.

73. Mamieva I.A. Influence of the geometrical researches of ruled surfaces on design of unique structures. Строительная механика и расчет сооружений, 2019, 15 (4). С. 299-307.

74. Алёшина О.О. Исследования по геометрии и расчету торсовых оболочек одинакового ската// Строительная механика и расчет сооружений. 2019. №3. С. 6370.

75. Рекач В.Г., Рыжов Н.Н. Некоторые возможности расширения круга задач по конструированию и расчету оболочек// Строительная механика: Тр. УДН. Т. 48, вып. 6. - М.: УДН, 1970. - С. 3-8.

76. Кривошапко С.Н. Перспективы и преимущества торсовых поверхностей при моделировании машиностроительных и строительных конструкций// Вестник гражданских инженеров. - 2019. - № 1 (72). - С. 20-30.

77. Власов В.З. Строительная механика оболочек// Главная редакция строительной литературы. - НКТП СССР. Москва - Ленинград, 1936.

78. Cajamarca-Zúñiga, D., & Alyoshina, O. (2019). Análisis estructural numérico del modelo a escala 1:10 del cascarón no-canónico "Yasuní" generado sobre la base de la arquitectura biónica. Killkana Técnica, 3(1), 7-12. (D0I:10.26871/killkana_tec-nica.v3i1.414)

79. Luigi Fenu, Eleonora Congiu, Giuseppe Carlo Maraño, and Bruno Briseghella Shell-supported footbridges// Curved and Layered Structures. 2020; 7; 199-214. https://doi.org/10.1515/cls-2020-0017.

80. Francesco Marmo, Cristoforo Demartino, Gabriele Candela, Concetta Sulpizio, Bruno Briseghella, Roberto Spagnuolo, Yan Xiao, Ivo Vanzi, Luciano Rosati. (2019). On the form of the Musmeci's bridge over the Basento river. Engineering Structures. Volume 191, Pages 658-673. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2019.04.069.

81. Dr. and Ing. Ekkehard Ramm, Dr. and Ing. Kai-Uwe Bletzinger & Dipl. Ing. Reiner Reitinger (1993). Shape optimization of shell structures. Revue Européenne des Éléments, 2:3, 377-398. http://dx.doi.org/10.1080/12506559.1993.10511083

82. Кривошапко С.Н. Оболочки и стержневые структуры в форме аналитически незадаваемых поверхностей в современной архитектуре // Строительство и реконструкция. - 2020. - 3 (89). - С. 20-30.

83. Архитектурная бионика /Ю.С. Лебедев, В.И. Рабинович, Е.Д. Положай и др.; Под ред. Ю.С. Лебедева. - М.: Стройиздат, 1990. - 269 с.

84. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. К вопросу расчета упругих тонких оболочек в неортогональных криволинейных координатах// Расчет оболочек строительных конструкций: Сб. статей. - М.: УДН, 1977. - С. 3-14.

85. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет невырожденных торсовых оболочек в криволинейных неортогональных координатах// Строительная механика и расчет сооружений. - 1982. - №6. С. 23-29.

86. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии: Монография. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176 с., ил.

87. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с., ил.

88. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек. ПММ, т. VIII, № 2, 1944, стр. 301-309.

89. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. - М.: ГТТИ, 1949. - 784 с.

90. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. - М.: Высшая школа, 1972. - 296 с.

91. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1962. - 431 с.

92. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Часть 2. Некоторые вопросы теории. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1964. - 395 с.

93. Филин А.П. Элементы теории оболочек. - Л.: Стройиздат, 1975. - 255 с.

94. Иванов В.Н. Основы численных методов расчета конструкций. М.: Изд-во РУДН, 2007. 64 с.

95. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. - М.: Стройиздат. 1989. - 200 с.

96. Иванов В.Н. Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода. М.: РУДН, 2008. - 168 с.

97. Иванов В.Н. Вариационно-разностный метод и метод глобальных элементов в расчете сопряжений отсеков оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. - Вып. 12. -М.: Изд-во АСВ, 2003. - С. 34-41.

98. СП 63.13330.2018 «СНиП 52-01-2003 Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения».

99. ГОСТ 23279-2012 «Сетки арматурные сварные для железобетонных конструкций и изделий. Общие технические условия».

100. Сехниашвили М.Л. Тонкостенные пространственные покрытия и перекрытия (Опыт строительства). Тбилиси: Изд-во Мецниереба, 1964.

101. Крутов А.В. О линейчатых поверхностях в связи с кинематическим способом классификации кривых// Труды Межд. научной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы», 4-8 июня 2001 г. - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 208-214.

Приложение А

(обязательное)

Таблица А.1

Геометрические параметры оболочки a, b, а (м) Координаты точки А, SCAD (x, y, z) (м) b2 a k = b Координата точки А, (м) A(z) = A(k - и -sina)

U. — a-cosa (м)

a=10; b=5; а=70° (0; 0; 13,7374) 7,3095 2,0 13,7374

a=10; b=5; а=60° (0; 0; 8,6603) 5,0000 2,0 8,6603

a=10; b=5; а=50° (0; 0; 5,9588) 3,8893 2,0 5,9588

a=6; b=2,5;а=70° (0; 0; 6,8687) 3,0456 2,4 6,8687

a=6; b=2,5; а=60° (0; 0; 4,3301) 2,0833 2,4 4,3301

a=6; b=2,5; а=50° (0; 0; 2,9794) 1,6205 2,4 2,9794

a=6; b=2,4; а=70° (0; 0; 6,5939) 2,8068 2,5 6,5939

a=6; b=2,4; а=60° (0; 0; 4,1569) 1,9200 2,5 4,1569

a=6; b=2,4; а=50° (0; 0; 2,8602) 1,4935 2,5 2,8602

a=5; b=2; а=70° (0; 0; 5,4949) 2,3390 2,5 5,4949

a=5; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 1,6000 2,5 3,4641

a=5; b=2; а=50° (0; 0; 2,3835) 1,2446 2,5 2,3835

a=4,6; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 1,7391 2,3 3,4641

a=4,4; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 1,8182 2,2 3,4641

a=4,2; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 1,9048 2,1 3,4641

a=4; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 2,0000 2,0 3,4641

a=3,8; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 2,1053 1,9 3,4641

a=3,6; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 2,2222 1,8 3,4641

a=3,4; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 2,3529 1,7 3,4641

a=3,2; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 2,5000 1,6 3,4641

a=3; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 2,6667 1,5 3,4641

Геометрические параметры оболочки a, b, а (м) Координаты точки А, SCAD (x, y, z) (м) Ь2 u =- a-cosa (м) a k = b Координата точки А, (м) A(z) = A(k - и -sina)

a=2,8; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 2,8571 1,4 3,4641

a=2,6; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 3,0769 1,3 3,4641

a=2,4; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 3,3333 1,2 3,4641

a=2,2; b=2; а=60° (0; 0; 3,4641) 3,6363 1,1 3,4641

Таблица А.2

Геометрические параметры оболочки a, b, а (м) Координаты точки fí, SCAD (X y, z) (м) Координата точки В (м) В(х) = = В{а-и- cosa) Координата точки В (м) B{z) = В(и - sina)

a=10; b=5; а=70° (7,5000; 0; 6,8687) 7,5000 6,8687

a=10; b=5; а=60° (7,5000; 0; 4,3301) 7,5000 4,3301

a=10; b=5; а=50° (7,5000; 0; 2,9794) 7,5000 2,9794

a=6; b=2,5; а=70° (4,9583; 0; 2,8619) 4,9583 2,8619

a=6; b=2,5; а=60° (4,9583; 0; 1,8042) 4,9583 1,8042

a=6; b=2,5; а=50° (4,9583; 0; 1,2414) 4,9583 1,2414

a=6; b=2,4; а=70° (5,0400; 0; 2,6376) 5,0400 2,6376

a=6; b=2,4; а=60° (5,0400; 0; 1,6628) 5,0400 1,6628

a=6; b=2,4; а=50° (5,0400; 0; 1,1441) 5,0400 1,1441

a=5; b=2; а=70° (4,2000; 0; 2,1980) 4,2000 2,1980

a=5; b=2; а=60° (4,2000; 0; 1,3856) 4,2000 1,3856

a=5; b=2; а=50° (4,2000; 0; 0,9534) 4,2000 0,9534

a=4,6; b=2; а=60° (3,7304; 0; 1,5061) 3,7304 1,5061

a=4,4; b=2; а=60° (3,4909; 0; 1,5746) 3,4909 1,5746

Геометрические параметры оболочки a, b, а (м) Координаты точки fí, SCAD (X y, z) (м) Координата точки В (м) B(x) = = B{a-u- cosa) Координата точки В (м) B{z) = B(u - sina)

a=4,2; b=2; а=60° (3,2476; 0; 1,6496) 3,2476 1,6496

a=4; b=2; а=60° (3,0000; 0; 1,7321) 3,0000 1,7321

a=3,8; b=2; а=60° (2,7474; 0; 1,8232) 2,7474 1,8232

a=3,6; b=2; а=60° (2,4889; 0; 1,9245) 2,4889 1,9245

a=3,4; b=2; а=60° (2,2235; 0; 2,0377) 2,2235 2,0377

a=3,2; b=2; а=60° (1,9500; 0; 2,1651) 1,9500 2,1651

a=3; b=2; а=60° (1,6667; 0; 2,3094) 1,6667 2,3094

a=2,8; b=2; а=60° (1,3714; 0; 2,4744) 1,3714 2,4744

a=2,6; b=2; а=60° (1,0615; 0; 2,6647) 1,0615 2,6647

a=2,4; b=2; а=60° (0,7333; 0; 2,8868) 0,7333 2,8868

a=2,2; b=2; а=60° (0,3818; 0; 3,1492) 0,3818 3,1492

Таблица А.3

№ точки Координаты точек SCAD (x, y, z) (м) Координаты точек i z = m{ 1 — x2/n2) 2 (x, y, z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

А (0; 0; 8,660254) (0; 0; 8,660254) 0,00

1 (0,470929; 0; 8,647440) (0,470929; 0; 8,647440) 0,00

2 (1,405360; 0; 8,545465) (1,405360; 0; 8,545464) 0,00

3 (2,317627; 0; 8,344376) (2,317627; 0; 8,344376) 0,00

4 (3,193345; 0; 8,050003) (3,193345; 0; 8,050003) 0,00

5 (4,018701; 0; 7,671378) (4,018701; 0; 7,671378) 0,00

6 (4,780680; 0; 7,221156) (4,780680; 0; 7,221156) 0,00

7 (5,467265; 0; 6,716325) (5,467265; 0; 6,716324) 0,00

№ точки Координаты точек SCAD (х, у, z) (м) Координаты точек 1 z = т( 1 — х2/п2) 2 (х, у, z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

8 (6,067627; 0; 6,179312) (6,067627; 0; 6,179312) 0,00

9 (6,576346; 0; 5,634860) (6,576346; 0; 5,634862) 0,00

10 (6,925101; 0; 5,200284) (6,925101; 0; 5,200286) 0,00

11 (7,230995; 0; 4,765782) (7,230995; 0; 4,765785) 0,00

В (7,500000; 0; 4,330127) (7,500000; 0; 4,330127) 0,00

Таблица А.4

№ точки Координаты точек SCAD (х, у, z) (м) Координаты точек 1 z = т( 1 — х2/п2) 2 (x,y,z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

А (0; 0; 4,156922) (0; 0; 4,156922) 0,00

1 (0,526823; 0; 4,137818) (0,526823; 0; 4,137802) 0,00

2 (1,048136; 0; 4,075414) (1,048136; 0; 4,080715) 0,13

3 (1,557446; 0; 3,986718) (1,557446; 0; 3,986718) 0,00

4 (2,049953; 0; 3,857290) (2,049953; 0; 3,857290) 0,00

5 (2,520000; 0; 3,694753) (2,520000; 0; 3,694753) 0,00

6 (2,962438; 0; 3,502160) (2,962438; 0; 3,502160) 0,00

7 (3,372418; 0; 3,283447) (3,372418; 0; 3,283447) 0,00

8 (3,745450; 0; 3,043645) (3,745450; 0; 3,043645) 0,00

9 (4,077446; 0; 2,789207) (4,077446; 0; 2,789207) 0,00

10 (4,364768; 0; 2,528557) (4,364768; 0; 2,528557) 0,00

11 (4,604269; 0; 2,272910) (4,604269; 0; 2,272910) 0,00

12 (4,793174; 0; 2,037707) (4,793174; 0; 2,037573) 0,01

№ точки Координаты точек SCAD (х, у, z) (м) Координаты точек 1 z = т( 1 — х2/п2) 2 (x,y,z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

13 (5,018926; 0; 1,698089) (5,018926; 0; 1,698803) 0,04

В (5,040000; 0; 1,662768) (5,040000; 0; 1,662768) 0,00

Таблица А.5

№ точки Координаты точек SCAD (х, у, z) (м) Координаты точек 1 z = т{ 1 — х2/п2) 2 (х, у, z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

А (0; 0; 3,464101) (0; 0; 3,464101) 0,00

1 (0,263720; 0; 3,458361) (0,263720; 0; 3,458361) 0,00

2 (0,526400; 0; 3,441171) (0,526400; 0; 3,441172) 0,00

3 (0,787002; 0; 3,412634) (0,787002; 0; 3,412634) 0,00

4 (1,044498; 0; 3,372919) (1,044498; 0; 3,372919) 0,00

5 (1,297871; 0; 3,322265) (1,297871; 0; 3,322265) 0,00

6 (1,546364; 0; 3,258313) (1,546364; 0; 3,260917) 0,08

7 (1,788273; 0; 3,189454) (1,788273; 0; 3,189454) 0,00

8 (2,023365; 0; 3,108145) (2,023365; 0; 3,108145) 0,00

9 (2,250473; 0; 3,017603) (2,250473; 0; 3,017603) 0,00

10 (2,469203; 0; 2,915330) (2,469203; 0; 2,918222) 0,10

11 (2,677181; 0; 2,811477) (2,677181; 0; 2,811477) 0,00

12 (2,875098; 0; 2,697492) (2,875098; 0; 2,697492) 0,00

13 (3,062834; 0; 2,572353) (3,062834; 0; 2,576714) 0,17

14 (3,236156; 0; 2,452672) (3,236156; 0; 2,452672) 0,00

15 (3,400439; 0; 2,315117) (3,400439; 0; 2,322193) 0,31

№ точки Координаты точек SCAD (х, у, z) (м) Координаты точек 1 z = т( 1 — х2/п2) 2 (х, у, z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

16 (3,598223; 0; 2,143627) (3,598223; 0; 2,145133) 0,07

17 (3,682512; 0; 2,057882) (3,682512; 0; 2,061776) 0,19

18 (3,800274; 0; 1,935816) (3,800274; 0; 1,935816) 0,00

19 (3,910020; 0; 1,800647) (3,910020; 0; 1,806614) 0,33

20 (3,994437; 0; 1,697809) (3,994437; 0; 1,697809) 0,00

21 (4,104596; 0; 1,543412) (4,104596; 0; 1,540369) 0,20

22 (4,158416; 0; 1,457667) (4,158416; 0; 1,455547) 0,15

В (4,200000; 0; 1,385641) (4,200000; 0; 1,385641) 0,00

Таблица А.6

№ точки Координаты точек SCAD (х, у, z) (м) Координаты точек 1 z = т( 1 — х2/п2) 2 (х, у, z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

А (0; 0; 5,494955) (0; 0; 5,494955) 0,00

1 (0,234236; 0; 5,486163) (0,234236; 0; 5,486163) 0,00

2 (0,699014; 0; 5,416157) (0,699014; 0; 5,416157) 0,00

3 (1,152768; 0; 5,277903) (1,152768; 0; 5,277903) 0,00

4 (1,588388; 0; 5,074340) (1,588388; 0; 5,074951) 0,01

5 (1,998867; 0; 4,812915) (1,998867; 0; 4,812915) 0,00

6 (2,376509; 0; 4,510525) (2,376509; 0; 4,500749) 0,22

7 (2,720979; 0; 4,134645) (2,720979; 0; 4,143310) 0,21

8 (3,018965; 0; 3,758770) (3,018965; 0; 3,762630) 0,10

9 (3,267231; 0; 3,382893) (3,267231; 0; 3,378058) 0,14

10 (3,467756; 0; 3,007016) (3,467756; 0; 3,005812) 0,04

№ точки Координаты точек SCAD (х, у, z) (м) Координаты точек 1 z = т( 1 — х2/п2) 2 (х, у, z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

11 (3,635989; 0; 2,631139) (3,635989; 0; 2,632877) 0,00

12 (3,710748; 0; 2,443201) (3,710748; 0; 2,442462) 0,00

В (3,730435; 0; 2,389111) (3,730435; 0; 2,389111) 0,00

Таблица А.7

№ точки Координаты точек SCAD (х, у, z) (м) Координаты точек 1 z = т( 1 — х2/п2) 2 (x,y,z) (м) Отклонение %

1 2 3 4

А (0; 0; 3,464101) (0; 0; 3,464101) 0,00

1 (0,023935; 0; 3,464102) (0,023935; 0; 3,462920) 0,03

2 (0,071546; 0; 3,453531) (0,071546; 0; 3,453531) 0,00

3 (0,117988; 0; 3,435277) (0,117988; 0; 3,435277) 0,00

4 (0,162570; 0; 3,409170) (0,162570; 0; 3,409170) 0,00

5 (0,204588; 0; 3,376692) (0,204588; 0; 3,376691) 0,00

6 (0,243380; 0; 3,339731) (0,243380; 0; 3,339729) 0,00

7 (0,261173; 0; 3,319764) (0,261173; 0; 3,320473) 0,02

8 (0,278333; 0; 3,300499) (0,278333; 0; 3,300497) 0,00

9 (0,308897; 0; 3,261425) (0,308897; 0; 3,261422) 0,00

10 (0,366568; 0; 3,175426) (0,366568; 0; 3,174961) 0,01

В (0,381818; 0; 3,149183) (0,381818; 0; 3,149183) 0,00

Приложение Б

(обязательное)

Таблица Б.1

Коорд. по оси и (м) Ш Сеч. 1-1 (кН/м) Ш Сеч. 2-2 (кН/м) Ш Сеч. 3-3 (кН/м) Ш Сеч. 4-4 (кН/м) Ш Сеч. 5-5 (кН/м) Ш Сеч. 6-6 (кН/м)

0,000 -0,2500 -0,2831 -0,3667 -0,4682 -0,5623 -0,6379

0,200 -0,2703 -0,3050 -0,3915 -0,4945 -0,5880 -0,6619

0,400 -0,2941 -0,3305 -0,4199 -0,5239 -0,6162 -0,6877

0,600 -0,3226 -0,3607 -0,4527 -0,5571 -0,6473 -0,7157

0,800 -0,3571 -0,3970 -0,4911 -0,5947 -0,6816 -0,7460

1,000 -0,4000 -0,4413 -0,5366 -0,6378 -0,7198 -0,7790

1,200 -0,4545 -0,4968 -0,5914 -0,6876 -0,7625 -0,8150

1,400 -0,5263 -0,5683 -0,6587 -0,7459 -0,8107 -0,8545

1,600 -0,6250 -0,6639 -0,7433 -0,8149 -0,8653 -0,8981

1,800 -0,7692 -0,7980 -0,8527 -0,8980 -0,9278 -0,9463

2,000 -1,0000 -1,0000 -1,0000 -1,0000 -1,0000 -1,0000

Таблица Б.2

Координата по оси и (м) Ш Сеч. 7-7 (кН/м) Ш Сеч. 8-8 (кН/м) Ш Сеч. 9-9 (кН/м) Ш Сеч. 10-10 (кН/м) Ш Сеч. 11-11 (кН/м)

0,000 -0,6941 -0,7333 -0,7588 -0,7732 -0,7778

0,200 -0,7160 -0,7534 -0,7776 -0,7911 -0,7955

0,400 -0,7393 -0,7746 -0,7973 -0,8099 -0,8140

0,600 -0,7642 -0,7971 -0,8180 -0,8296 -0,8333

0,800 -0,7908 -0,8209 -0,8399 -0,8503 -0,8537

1,000 -0,8194 -0,8461 -0,8629 -0,8721 -0,8750

1,200 -0,8501 -0,8730 -0,8872 -0,8950 -0,8974

1,400 -0,8832 -0,9016 -0,9130 -0,9191 -0,9211

Координата по оси и (м) Ш Сеч. 7-7 (кН/м) Ш Сеч. 8-8 (кН/м) Ш Сеч. 9-9 (кН/м) Ш Сеч. 10-10 (кН/м) Ш Сеч. 11-11 (кН/м)

1,600 -0,9190 -0,9322 -0,9402 -0,9446 -0,9459

1,800 -0,9578 -0,9649 -0,9692 -0,9715 -0,9722

2,000 -1,0000 -1,0000 -1,0000 -1,0000 -1,0000

Таблица Б.3

Коорд. по оси и (м) Ш Сеч. 1-1 (кН/м) Ш Сеч. 2-2 (кН/м) Ш Сеч. 3-3 (кН/м) Ш Сеч. 4-4 (кН/м) Ш Сеч. 5-5 (кН/м) Ш Сеч. 6-6 (кН/м)

0,000 -1,2500 -1,2831 -1,3667 -1,4682 -1,5623 -1,6379

0,200 -1,1432 -1,1745 -1,2524 -1,3451 -1,4292 -1,4957

0,400 -1,0353 -1,0644 -1,1359 -1,2192 -1,2930 -1,3502

0,600 -0,9258 -0,9525 -1,0169 -1,0900 -1.1531 -1,2010

0,800 -0,8143 -0,8382 -0,8947 -0,9568 -1,0090 -1,0476

1,000 -0,7000 -0,7207 -0,7683 -0,8189 -0,8599 -0,8895

1,200 -0,5818 -0,5987 -0,6366 -0,6750 -0,7050 -0,7260

1,400 -0,4579 -0,4705 -0,4976 -0,5238 -0,5432 -0,5564

1,600 -0,3250 -0,3328 -0,3487 -0,3630 -0,3731 -0,3796

1,800 -0,1769 -0,1798 -0,1853 -0,1898 -0,1928 -0,1946

2,000 0 0 0 0 0 0

Таблица Б.4

Координата по оси и (м) Ш Сеч. 7-7 (кН/м) Ш Сеч. 8-8 (кН/м) Ш Сеч. 9-9 (кН/м) Ш Сеч. 10-10 (кН/м) Ш Сеч. 11-11 (кН/м)

0,000 -1,6941 -1,7333 -1,7588 -1,7732 -1,7778

0,200 -1,5444 -1,5781 -1,5998 -1,6120 -1,6159

0,400 -1,3914 -1,4197 -1,4378 -1,4479 -1,4512

0,600 -1,2349 -1,258 -1,2726 -1,2807 -1,2833

Координата по оси и (м) Ш Сеч. 7-7 (кН/м) Ш Сеч. 8-8 (кН/м) Ш Сеч. 9-9 (кН/м) Ш Сеч. 10-10 (кН/м) Ш Сеч. 11-11 (кН/м)

0,800 -1,0745 -1,0925 -1,1039 -1,1102 -1,1122

1,000 -0,9097 -0,9231 -0,9314 -0,9360 -0,9375

1,200 -0,7400 -0,7492 -0,7549 -0,7580 -0,7590

1,400 -0,5650 -0,5705 -0,5739 -0,5757 -0,5763

1,600 -0,3838 -0,3864 -0,3880 -0,3889 -0,3892

1,800 -0,1958 -0,1965 -0,1969 -0,1971 -0,1972

2,000 0 0 0 0 0

Таблица Б.5

Коорд. по оси и (м) КУ Сеч. 1-1 (кН/м) КУ Сеч. 2-2 (кН/м) КУ Сеч. 3-3 (кН/м) КУ Сеч. 4-4 (кН/м) КУ Сеч. 5-5 (кН/м) КУ Сеч. 6-6 (кН/м)

0,000 -1,5396 -1,6108 -1,8233 -2,1714 -2,6379 -3,1892

0,200 -1,4241 -1,4953 -1,7079 -2,0559 -2,5224 -3,0738

0,400 -1,3087 -1,3798 -1,5924 -1,9405 -2,4070 -2,9583

0,600 -1,1932 -1,2644 -1,4769 -1,8250 -2,2915 -2,8428

0,800 -1,0777 -1,1489 -1,3614 -1,7095 -2,1760 -2,7274

1,000 -0,9623 -1,0334 -1,2460 -1,5940 -2,0606 -2,6119

1,200 -0,8468 -0,9180 -1,1305 -1,4786 -1,9451 -2,4964

1,400 -0,7313 -0,8025 -1,0150 -1,3631 -1,8296 -2,3810

1,600 -0,6158 -0,6870 -0,8996 -1,2476 -1,7142 -2,2655

1,800 -0,5004 -0,5716 -0,7841 -1,1322 -1,5987 -2,1500

2,000 -0,3849 -0,4561 -0,6686 -1,0167 -1,4832 -2,0345

Координата по оси и (м) КУ Сеч. 7-7 (кН/м) КУ Сеч. 8-8 (кН/м) КУ Сеч. 9-9 (кН/м) КУ Сеч. 10-10 (кН/м) КУ Сеч. 11-11 (кН/м)

0,000 -3,7744 -4,3297 -4,7882 -5,0905 -5,1962

0,200 -3,6589 -4,2143 -4,6727 -4,9751 -5,0807

0,400 -3,5435 -4,0988 -4,5573 -4,8596 -4,9652

0,600 -3,4280 -3,9833 -4,4418 -4,7441 -4,8497

0,800 -3,3125 -3,8679 -4,3263 -4,6287 -4,7343

1,000 -3,1970 -3,7524 -4,2108 -4,5132 -4,6188

1,200 -3,0816 -3,6369 -4,0954 -4,3977 -4,5033

1,400 -2,9661 -3,5214 -3,9799 -4,2823 -4,3879

1,600 -2,8506 -3,4060 -3,8644 -4,1668 -4,2724

1,800 -2,7352 -3,2905 -3,7490 -4,0513 -4,1569

2,000 -2,6197 -3,1750 -3,6335 -3,9358 -4,0415

Таблица Б.7

Коорд. по оси и (м) Б Сеч. 1-1 (кН/м) Б Сеч. 2-2 (кН/м) Б Сеч. 3-3 (кН/м) Б Сеч. 4-4 (кН/м) Б Сеч. 5-5 (кН/м) Б Сеч. 6-6 (кН/м)

0,000 0 -0,5723 -1,1595 -1,7145 -2,1446 -2,3642

0,200 0 -0,5643 -1,1343 -1,6589 -2,0517 -2,2400

0,400 0 -0,5542 -1,1035 -1,5931 -1,9452 -2,1010

0,600 0 -0,5412 -1,0651 -1,5144 -1,8222 -1,9447

0,800 0 -0,5241 -1,0165 -1,4192 -1,6790 -1,7681

1,000 0 -0,5010 -0,9539 -1,3026 -1,5112 -1,5676

1,200 0 -0,4686 -0,8710 -1,1576 -1,3125 -1,3387

1,400 0 -0,4212 -0,7584 -0,9743 -1,0751 -1,0756

1,600 0 -0,3480 -0,5995 -0,7377 -0,7881 -0,7713

1,800 0 -0,2260 -0,3655 -0,4251 -0,4367 -0,4167

2,000 0 0 0 0 0 0

Координата по оси и (м) Б Сеч. 7-7 (кН/м) Б Сеч. 8-8 (кН/м) Б Сеч. 9-9 (кН/м) Б Сеч. 10-10 (кН/м) Б Сеч. 11-11 (кН/м)

0,000 -2,3255 -2,0240 -1,4922 -0,7909 0

0,200 -2,1869 -1,8932 -1,3908 -0,7357 0

0,400 -2,0346 -1,7512 -1,2817 -0,6765 0

0,600 -1,8666 -1,5967 -1,1639 -0,6130 0

0,800 -1,6807 -1,4281 -1,0365 -0,5446 0

1,000 -1,4743 -1,2437 -0,8986 -0,4709 0

1,200 -1,2443 -1,0415 -0,7488 -0,3913 0

1,400 -0,9869 -0,8191 -0,5858 -0,3053 0

1,600 -0,6976 -0,5736 -0,4079 -0,2119 0

1,800 -0,3709 -0,3019 -0,2134 -0,1105 0

2,000 0 0 0 0 0

Таблица Б.9

Коорд. по оси и (м) Ш Сеч. 1-1 (кН/м) Ш Сеч. 2-2 (кН/м) Ш Сеч. 3-3 (кН/м) Ш Сеч. 4-4 (кН/м) Ш Сеч. 5-5 (кН/м) Ш Сеч. 6-6 (кН/м)

0,000 -3,6084 -3,4452 -2,9965 -2,3607 -1,6475 -0,9457

0,200 -3,3929 -3,2021 -2,7117 -2,0799 -1,4276 -0,8208

0,400 -3,1548 -2,9372 -2,4120 -1,7966 -1,2142 -0,7037

0,600 -2,8896 -2,6469 -2,0973 -1,5135 -1,0096 -0,5952

0,800 -2,5910 -2,3274 -1,7689 -1,2341 -0,8165 -0,4959

1,000 -2,2517 -1,9748 -1,4295 -0,9637 -0,6379 -0,4059

1,200 -1,8628 -1,5862 -1,0849 -0,7088 -0,4767 -0,3245

1,400 -1,4159 -1,1621 -0,7458 -0,4779 -0,3350 -0,2496

1,600 -0,9093 -0,7138 -0,4308 -0,2802 -0,2131 -0,1769

1,800 -0,3754 -0,2829 -0,1697 -0,1228 -0,1063 -0,0985

2,000 0 0 0 0 0 0

Координата по оси и (м) Ш Сеч. 7-7 (кН/м) Ш Сеч. 8-8 (кН/м) Ш Сеч. 9-9 (кН/м) Ш Сеч. 10-10 (кН/м) Ш Сеч. 11-11 (кН/м)

0,000 -0,3165 0,2014 0,5845 0,8191 0,8981

0,200 -0,2943 0,1315 0,4435 0,6337 0,6976

0,400 -0,2757 0,0642 0,3110 0,4609 0,5111

0,600 -0,2601 0,0014 0,1896 0,3035 0,3416

0,800 -0,2461 -0,0546 0,0823 0,1649 0,1925

1,000 -0,2319 -0,1006 -0,0072 0,0489 0,0677

1,200 -0,2146 -0,1327 -0,0748 -0,0399 -0,0282

1,400 -0,1901 -0,1461 -0,1150 -0,0961 -0,0898

1,600 -0,1525 -0.1344 -0,1214 -0,1135 -0,1108

1,800 -0,0932 -0,0892 -0,0862 -0,0844 -0,0838

2,000 0 0 0 0 0

Таблица Б.11

Коорд. по оси и (м) КУ Сеч. 1-1 (кН/м) КУ Сеч. 2-2 (кН/м) КУ Сеч. 3-3 (кН/м) КУ Сеч. 4-4 (кН/м) КУ Сеч. 5-5 (кН/м) КУ Сеч. 6-6 (кН/м)

0,000 -0,7698 -0,8054 -0,9117 -1,0857 -1,319 -1,5946

0,200 -0,7121 -0,7477 -0,8539 -1,028 -1,2612 -1,5369

0,400 -0,6543 -0,6899 -0,7962 -0,9702 -1,2035 -1,4792