Исследование напряженно-деформированного состояния оболочки глазного яблока при циркляжных нагрузках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кныш, Татьяна Петровна

• Кныш, Татьяна Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кныш, Татьяна Петровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ЗАМКНУТАЯ СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ

1.1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

1.3. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА

1.4. ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ ОБЪЁМА ВНУТРИГЛАЗНОЙ ЖИДКОСТИ НА НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ ПРИ ЦИРКЛЯЖНОЙ НАГРУЗКЕ

1.5. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ В ЗАДАЧЕ РАСЧЁТА ЗАМКНУТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

2. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

2.1. ПОСТАНОВКА БЕЗМОМЕНТНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ И ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ

2.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК

2.3. ИЗМЕНЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ ПРИ УЧЁТЕ СОХРАНЕНИЯ ОБЪЁМА В НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ

2.4. ПЕРЕХОД В НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ К НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ И ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

2.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЦИРКЛЯЖНОЙ

НАГРУЗКИ ИЛИ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НДС ОБОЛОЧКИ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ И

ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

3. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОБОЛОЧКИ СКЛЕРЫ С ОБЖИМАЮЩЕЙ УПРУГОЙ ИЛИ НЕРАСТЯЖИМОЙ ЦИРКЛЯЖНОЙ ЛЕНТОЙ

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА С ЦИРКЛЯЖНОЙ ЛЕНТОЙ

3.2. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДАВЛЕНИЕ НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ НА МЯГКУЮ ПРЕДНАПРЯЖЕННУЮ СФЕРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ

3.3. МЕТОД ПОДАТЛИВОСТИ В СРЕДНЕМ ЗАМКНУТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ЛОКАЛЬНОЙ РАСПРЕДЕЛЁННОЙ НАГРУЗКИ

3.4. РЕШЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ С УЧЁТОМ ДЕФОРМИРУЕМОСТИ УПРУГОЙ ЦИРКЛЯЖНОЙ ЛЕНТЫ

3.5. АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ВГД И ХАРАКТЕРИСТИК ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА ПРИ НАЛОЖЕНИИ ЦИРКЛЯЖНОГО ШВА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование напряженно-деформированного состояния оболочки глазного яблока при циркляжных нагрузках»

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия расширилась область применения механики (классической механики, гидроаэромеханики, механики деформируемого твёрдого тела) в исследовании процессов, протекающих в различных биологических объектах и системах. Об этом свидетельствует обширная литература, в том числе обзорная [26, 69, 80, 82, 90], а также специальные научные конференции, проводимые как в региональном [87, 88, 94], так и международном масштабах [1, 89].

Большое число исследований, проводимых методами механики деформируемого твёрдого тела, посвящено анализу напряжённо-деформированного состояния костных тканей и структур, моделированию работы мышц, процессов лечения зубов, использованию различных конструкционных материалов при изготовлении протезов, суставов и других искусственных элементов живого организма. Для оценки прочности и деформативности биоконструкций необходимо изучить их напряженно-деформированное состояние, при этом важная роль принадлежит построению расчётной модели реального объекта, включающей в себя определение геометрии, действующих нагрузок и схематизацию механических свойств материала. Традиционно в механике деформируемого твёрдого тела упрощение объекта геометрии сводится к приведению формы тела к схеме стержня, пластины или оболочки. Последнее обусловило использование методов теории оболочек в значительном числе работ для изучения напряжений и деформаций в тонкостенных биоконструкциях (сосуды, стенки, диафрагмы и т.д.) при различных воздействиях.

Среди направлений применения теории оболочек в задачах биомеханики сохраняют свою актуальность теоретические и экспериментальные исследования оболочки глазного яблока, начало которых в отечественной науке было положено в работах В.В.Вожова, Л.К.Малышева, Ю.Ж.Саулгозиса, В.Я.Павилайнена, С.М.Бауэр, Б.А.Зимина, А.Б.Качанова и др. Методы теории оболочек применялись и

при исследовании различных патологий глаза [2, 21, 22, 53, 79, 84, 85]. Для решения задач биомеханики глаза построены различные модели, в частности, предложенная в работах Галояна В.Р. [34, 35, 36, 37] гидромеханическая модель плавающего глаза. В большинстве работ глаз представляется в виде заполненной жидкостью тонкой сферической оболочки (склеры) [2, 22, 27, 29, 53, 70, 79], эллипсоида [99] или имеющей асферическую форму [5].

Литература, посвященная теоретическим и экспериментальным исследованиям, а также натурным наблюдениям при профилактике и лечении глазного яблока может быть представлена двумя основными направлениями. Первое из них представляют результаты экспериментальных исследований и медицинских наблюдений [17, 28, 30, 63, 64, 83]. Второе направление основывается на уравнениях механики деформируемого твёрдого тела и предназначено для исследования напряжённо-деформированного состояния (НДС) оболочки глаза путём постановки и решения соответствующих краевых задач. При этом расчёт производится как в безмоментной постановке [70], так и с использованием моментной теории [21,22].

Следует отметить, что общей особенностью указанных направлений является их недостаточная взаимосвязь, что делает весьма актуальными исследования, построенные на основе задач биомеханики глаза, в которых теоретическая постановка сочетается с реально наблюдаемой картиной, а результаты исследований могут быть использованы в практике лечения офтальмологических заболеваний.

Роль теоретических исследований и необходимость математического моделирования задач биомеханики глаза значительно возрастает вследствие особенностей самого объекта изучения, а также свойств материала оболочки, что делает невозможным использование ряда традиционных экспериментальных приёмов, исключения из практики исследований травмирующих экспериментальных методик и травмоопасных режимов

воздействия. Однако такого рода воздействия непременно возникают при операции циркляжа - одном из способов лечения отслойки сетчатой оболочки глаза вследствие различных травм и заболеваний.

Этот метод циркулярного вдавления склеры был предложен в 1958 году Arruga. Он заключается в наложении циркулярного шва на склеру по экватору глазного яблока или параллельно ему. Вопросы локальных воздействий на оболочку глазного яблока ещё недостаточно изучены в литературе и требуют дальнейших теоретических исследований

Биомеханическую модель глаза можно представить в виде мягкой многослойной упругой оболочки, заполненной внутриглазной жидкостью и находящейся под воздействием совокупности внешних нагрузок (собственный вес, внутриглазное давление (ВГД), действие глазодвигательных мышц, реакция опорной поверхности, механические воздействия при проведении офтальмологических операций с целью диагностики, лечения и т.п.).

Важную роль при постановке биомеханической задачи играет достаточно точное определение геометрии оболочки и физических констант, характеризующих её механические свойства. К сожалению, даже усреднённые значения параметров живого глаза по данным различных источников колеблются в широких пределах.

Например, внутриглазное давление р изменяется в пределах: от 1333 Па [62, 79] до 2700 Па («20 мм рт.ст.) [22, 70, 82]; коэффициент Пуассона v от 0.3 [27, 29] до 0.5 [70, 79]; радиус оболочки R от 10 мм до 12 мм [22, 27, 62, 70, 79, 82]; модуль упругости Е от 10 МПа до 14.3 МПа [2, 71], а толщина оболочки в некоторых работах считается постоянной величиной в интервале от 0.5 мм -1 мм [22, 27, 29, 70], а в некоторых рассматривается как переменная величина, меняющаяся в пределах 0.4 мм ~ 1 мм [61,62,109].

Согласно физиологическому строению сетчатая оболочка прочно сращена с подлежащими тканями в двух местах - у диска зрительного нерва

и у зубчатой линии (рис.1), на остальном протяжении она только прилегает к пигментному эпителию, но не сращена с ним.

Рис. 1. Глаз человека в продольном разрезе:

1. Цилиарная мышца;

2. Радужная оболочка;

3. Хрусталик;

4. Зрачок;

5. Роговая оболочка;

6. Передняя камера глаза;

7. Задняя камера глаза;

8. Белочная оболочка глаза, склера;

9. Стекловидное тело;

10. Глазные мышцы;

11. Сетчатая оболочка глаза, ретина;

12. Ямка;

13. Слепое пятно;

14. Зрительный нерв;

15. Сосудистая оболочка.

Отслойка сетчатой оболочки - заболевание, при котором нарушается её связь с пигментным эпителием. Непрерывное поступление за сетчатку через разрыв жидкой части стекловидного тела (рис.2), постепенное сморщивание мембраны, стягивающей сетчатку со всех сторон, постоянные

движения глазных яблок и другие, менее значимые факторы приводят к неуклонному увеличению отслойки как по высоте, так и по площади. Стремление субретинальной жидкости занять всё пространство между сетчатой и сосудистой оболочками приводит в конце концов к образованию воронкообразной отслойки с вершиной у диска зрительного нерва.

Рис.2. Отслойка сетчатой оболочки и направление потока субретинальной жидкости.

При лечении отслойки проводят так называемые склеропластические операции. Для всех склеропластических операций общим является их целенаправленность: тем или иным способом уменьшить наружную оболочку глазного яблока и таким образом приблизить склеру и сосудистую оболочку к сетчатке.

Возникающее при этом уменьшение объёма глаза ведёт к значительному повышению ВГД, сетчатка за счёт этого в свою очередь придавливается изнутри к другим оболочкам. При вдавливании

склеральной оболочки офтальмологи используют различные приемы, В многочисленных офтальмологических клиниках и глазных отделениях больниц применяются операции типа локального и кругового пломбирования, а также их сочетание с использованием силиконовых имплантантов (рис.3) [13, 17,80,81,93].

1

2

3

I. Склера; 2. Силиконовая лента; 3. Пинцет.

При выполнении операции циркляжа и наложении циркулярного шва вдавливание склеры осуществляется одномоментно по всей окружности глазного яблока при помощи пояса, придающего глазу нерезко выраженную форму песочных часов (рис.4) [98]. В большинстве случаев для хирурга эталоном достаточного вдавления является величина повышения глазного давления [17, 18, 95, 107], которое не должно превышать 60 мм рт. ст.

Благодаря работам М.М.Краснова, В.В.Волкова, Р.Л.Трояновского. Н.Н.Пивоварова были выработаны основные принципы выбора способа

Рис.3. Наложение циркляжной ленты.

оперативного вмешательства при отслойках различной категории тяжести

Рис.4. Наложение циркулярного шва на склеру по экватору глазного яблока: 1. глазодвигательная мышца; 2. циркляжная лента; 3. роговица.

Для определения высоты вала кругового вдавления предлагают специальную формулу [13], но по-прежнему остаётся неясным насколько необходимо уменьшить периметр глазного яблока в каждом конкретном случае. Т.А.Багдасарова [18] связывает необходимое укорочение циркляжной ленты с уровнем ВГД, шириной и толщиной силиконовой ленты. H.H.Пивоваров, В.В.Волков, Р.Л.Трояновский, A.Hamilton, W.Taylor [17, 30, 81] установили возможность точного дозированного укорочения циркляжной ленты для определения необходимой величины вала вдавления. Т.А.Багдасаровой [18] были разработаны таблицы степени натяжения ленты в зависимости от величины ВГД, оптимальным признано укорочение ленты на 16 мм для всех случаев отслоек. Работы [4, 12] связывали успех операции с уменьшением объёма глазного яблока на

[17,28, 30, 63, 64, 83, 97].

величину, равную объёму субретинальной жидкости. Определению объёма субретинального пространства при отслойке посвящены всего две работы: в 1978 году Е.Оегке, О.Меуег-8с1шккега1:Ь [3] и наиболее перспективная модель Шишкина М.М. [108]. Отсутствие четких знаний о биомеханических изменениях глаза при наложении циркляжного шва требует помимо изучения механических, морфологических, биохимических свойств оболочек и внутренних структур глаза, использования математического аппарата, чтобы изучить эти изменения не только с качественной стороны, но и с количественной и, следовательно, прогнозировать в какой-то мере целесообразность и исход сложной и неоднозначной противоотслоечной операции циркляжа [22]. При проведении таких операций могут возникать различные осложнения: прорезывание оболочек глаза, повышение внутриглазного давления выше допустимого и др. Именно поэтому большое значение при определении показаний к таким операциям имеет математическое моделирование напряженно-деформированного состояния оболочки глаза [70].

Из приведённого обзора литературы можно сделать вывод, что задача циркулярного вдавливания склеры требует дальнейших теоретических исследований на основе механики деформируемого твердого тела и теории оболочек. Результаты таких исследований, в достаточной мере совпадающие с реально наблюдаемой картиной, могли бы быть использованы в практике лечения офтальмологических заболеваний. Этой цели посвящена данная диссертационная работа.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений.

В первой главе на основе уравнений общей теории сферических оболочек рассматривается задача воздействия на замкнутую сферическую оболочку циркляжного давления. Решению линейной моментной задачи посвящены целые разделы монографий А.И.Лурье [67], В.В.Новожилова [76, 77, 78], А.С.Вольмира [31], Гольденвейзера АЛ. [41] и др. [8, 43, 46-52,

74, 75,], уравнения которых можно использовать как исходные. В работе эти дифференциальные уравнения сводятся к вариантам разрешающей системы уравнений Е.Мейсснера [6, 7, 39, 101], относительно неизвестных функций -угла поворота и поперечной силы. В диссертации предлагается новый вариант разрешающей системы уравнений, для которого построено точное решение задачи в виде тригонометрических полиномов, коэффициенты которых определяются из последовательности рекуррентных соотношений. На основании расчетов анализируется влияние параметров нагрузки, а также условия сохранения внутреннего объема оболочки на характеристики напряженно-деформированного состояния. Строится решение линейной безмоментной задачи и путём сравнения с точным решением общей теории оценивается погрешность безмоментного решения.

Во второй главе рассматривается та же задача, но в геометрически нелинейной постановке. При больших прогибах (вследствие увеличения циркляжной нагрузки) линейная теория оказывается неприменимой, так как квадраты углов поворота оказываются сравнимыми с величиной удлинений, а перемещения оболочки соизмеримы с её толщиной. Это и обуславливает применение геометрически нелинейной теории [72], [73]. Уравнения равновесия получены как обычным путём, так и на основе вариационного принципа Лагранжа. Производится их сопоставление с уравнениями квадратичной теории Л.А.Шаповалова [105, 106] и уравнениями теории Рейсснера [10, 11]. Решению осесимметричных задач оболочек вращения в нелинейной постановке посвящены работы И.И.Воровича [32], Э.И.Григолюка, В.И.Мамая [44, 45], В.И.Феодосьева [33], К.Ф.Черныха [102, 103], Я.М.Григоренко [46-52] и многие другие ([9, 16, 31, 38, 40, 42, 60, 74, 75, 91, 100]). В некоторых работах С.А. Кабрица, К.Ф.Черныха [59], П.Е.Товстика [92], В.Ф.Терентьева [91] задачи рассматриваются в физически нелинейной постановке.

Для построенной системы формулируются граничные условия. Решается нелинейная задача расчёта мягкой оболочки. В работе одного из

основоположников теории мягких оболочек С.А.Алексеева [14, 15] помимо вывода дифференциальных уравнений равновесия содержится классификация задач в зависимости от типа нагрузки. Мягкие оболочки имеют широкое практическое применение [57, 68, 90, 96], что обусловило интерес к их исследованиям. В работах И.Б.Друзя и Б.И.Друзя содержится вывод как линейных [54], так и нелинейных [56] уравнений равновесия, а в выводе уравнений осесимметричной задачи [55], в отличие от Л.А.Шаповалова, сохраняются некоторые члены, учитывающие удлинения оболочки, вызванные её прогибом.

Различные варианты выводов уравнений равновесия содержатся в работах Л.И.Балабуха, В.И.Усюкина и др. [19, 20, 58, 65, 66, 86, 96, 104]. В работах Л.И.Балабуха, В.И.Усюкина [20] и В.Л.Бидермана [24, 25] предложены методы линеаризации задач мягких оболочек, основанные на представлении усилий в виде суммы основных и дополнительных, и дальнейшим пренебрежении произведений дополнительных усилий на величины, зависящие от угла поворота. В диссертации получено решение исходной задачи, линеаризованной тем же путём.

Найдена величина изменения давления вследствие сохранения объёма. Произведено сравнение с результатами линейной теории и выявлены пределы применимости линейной теории оболочек. Для нелинейной задачи получено точное аналитическое решение в случае воздействия только циркляжной нагрузки. При учёте возрастания внутреннего давления вследствие неизменяемости объёма, получены разрешающие системы уравнений, причём в случае теории Рейсснера порядок системы понижается на единицу.

В третьей главе решается контактная задача взаимодействия оболочки склеры с обжимающей упругой или нерастяжимой лентой. Определяются усилия взаимодействия между оболочкой и циркляжным материалом в виде силиконового пояска, а также глубина вдавливания в зависимости от укорочения циркляжной ленты и их геометрических и прочностных

параметров. Учитывается изменение внутриглазного давления при неизменяемости объёма и с условием откачки субретинальной жидкости. Получены окончательные зависимости между укорочением циркляжной ленты и ростом ВГД. Производится сопоставление результатов с известными экспериментальными данными, даны рекомендации по их использованию в медицинской практике.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

В приложениях даны результаты числовых расчётов на основе моментной теории (приложение 1), безмоментной линейной (приложение 2), сравнение результатов для решений по линейной и нелинейной теории (приложение 3). Объём работы 108 страниц, в том числе 36 рисунков, 26 таблиц.

1. ЗАМКНУТАЯ СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ.

В данной главе на основе уравнений линейной моментной теории сферических оболочек построено точное решение задачи при воздействии на замкнутую сферическую оболочку осесимметричного локального давления, наибольшая интенсивность которого достигается в узкой полосе, расположенной в области экватора срединной поверхности. Результаты многовариантных числовых расчетов позволяют проанализировать влияние параметров нагрузки, а также условия сохранения внутреннего объема оболочки, заполненной несжимаемой жидкостью, на характеристики напряженно-деформированного состояния. Строится решение линейной безмоментной задачи и оценивается погрешность безмоментного решения. Исследуется возможность (необходимость) применения геометрически нелинейной теории в безмоментном или моментном вариантах.

1.1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается замкнутая сферическая оболочка постоянной толщины к, срединная поверхность которой, имеющая радиус Я, отнесена к криволинейным координатам ш=6, сс2=ср (рис.5). Исходные соотношения общей теории сферической оболочки, принятые в работе В.В.Новожилова [77] для случая осесимметричной деформации, будут иметь следующий вид.

а) Геометрические соотношения: связь между перемещениями, углом поворота и деформациями срединной поверхности, соотношения неразрывности деформаций

1 ,<1и 1 , л „ ч

+ ^ £2 (1.1) К ахэ К

к,

1

1

к2

1 дм ---(--и),

1 я \/е

= - )с*ёв ~

с1е2

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Здесь и - перемещение в направлении меридиана, м - прогиб (рис.5), -угол поворота нормали в меридиональной плоскости, 81 и 82 -относительные удлинения, К| и К2 - параметры изменения кривизны.

Рис. 5. Система координат на сферической поверхности.

б) Уравнения равновесия ' с1

¿/9

(8Ш9 Тх ) - соБб Т2 + N. БШО = БШО

А

¿/9

(этО ТУ^-бт9(Г, +Т2) = -дпК8т9

(1.5)

А

¿/9

(Бте А^-совв М2 — N8ш9

В уравнениях дл ,дп - компоненты распределенной нагрузки, в

направлениях касательной и нормали к меридиану; ТХ,Т2 - тангенциальные усилия, - изгибающие моменты и поперечная сила.

Положительные направления усилий и моментов для элемента срединной поверхности оболочки, ограниченного координатными линиями, показаны на рис. 6.

Т1 № М1 Ф

Рис. 6. Усилия и моменты на контуре элемента срединной поверхности.

в) Соотношения упругости

Тх =В(г1 +у£2), Т2 = В(е2 +ув1), (1.6)

М! +ук2), М2 -В(к2 +\'к1), (1.7)

Ек „ ЕН

з

где В =-— , О —-— жесткости оболочки на растяжение и изгиб

1-у2 \2(\-у2)

соответственно. Будем считать, что в исходном состоянии оболочка является предварительно напряженной от действия равномерного внутреннего давления р0, вызывающего тангенциальные усилия

'2/

Здесь Я - радиус срединной поверхности предварительно напряженной сферической оболочки после приложения давления ро, а кроме (1.8) все

остальные величины, характеризующие начальное состояние оболочки, принимаются равными нулю.

В качестве внешней нагрузки введем осесимметричное горизонтальное давление с наибольшей интенсивностью в области экватора, распределенное по закону (рис. 7.а)

д = д0$ткв (0 < 9 <7Г), (1.9)

где д0, и к=1,3,5,...2п+1 параметры нагрузки, определяющие наибольшую величину и характер ее распределения.

Вектор этой нагрузки д может быть представлен разложением в осях ё{, ёп локального базиса (рис.7.б)

Я=Ч1ё1+дпё„,

где дх ,дп - компоненты в направлениях касательной и нормали к срединной поверхности, равны

а)

Чп = -Яо е б)

д = д0 вт* в

(1.10)

Я

Рис. 7. Распределение горизонтального давления на сферической

поверхности.

Следуя Е.Мейсснеру [39], проведем вывод разрешающей системы уравнений, принимая в качестве основных неизвестных угол поворота и поперечную силу . Для вывода первого разрешающего уравнения

используем квадратуру, которую можно получить из первых двух уравнений равновесия (1.5) после исключения из них усилия Т2.

а

[sine (sine тх - cose nx )] = о. (i.11)

dQ

Проинтегрировав, получим

sine (sine тх - cose nx) = c, (1.12)

где постоянная С = 0 для замкнутой в вершине оболочки. Тогда из (1.12) следует

Tx=Nxctg<d, (1.13)

а из первого уравнения системы (1.5) после подстановки (1.13) получаем

(1-14)

(ли

Если из соотношений упругости (1.6) выразить ех, е2 через Тх, Т2 и с учетом (1.13), (1.14) подставить в уравнение неразрывности (1.4), то получим первое разрешающее уравнение

Eh$x = -L(NX) - (1 + v )NX + q0R(2 + к + v) sin^k 6 cose , (1.15) где оператор L{NX) имеет вид

л ( л л \

a® ysmQ ad J

Второе разрешающее уравнение получаем непосредственно из третьего уравнения равновесия (1.5) если выразить с помощью формул (1.7) моменты Мх, М2 через угол .9, результатом чего будет

d 9{ п d,9, п / 2\

D [L(3{) + (l-v)$x\ (1.17)

R2

Уравнения (1.15), (1.17) представляют собой вариант системы уравнений Мейсснера, состоящей из двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Необходимо найти решение данной системы в интервале 0 < 0 < тг, которое должно удовлетворять условиям симметрии

(антисимметрии) относительно середины указанного интервала, т.е. точки

0 = -. 2

1.2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Запишем систему (1.15), (1.17) в виде

ЦЗ^ + аД +Ь1Ы1 =0 ) + а2§{ + Ь2ЫХ = Абш* 0 соБб '

где а{, Ъ1, А - постоянные коэффициенты

(1.18)

Я2

ах= 1-у, а2=Ек, (1 19)

Учитывая нечётность функций в интервале 0<в <7г,

представим решение задачи в виде

Л л , л к-2 А , п *(1)

(1.20)

Oj = ^ sinЛ 0 cosG + Ак_2 sin G cosG + fy N{ = Вк sin* е cose +Вк_2 sin*"2 0 cosG + N?l)

где iNl } - новые искомые функции, a A¡, B¡ (i-k, к-2) постоянные

коэффициенты. Заметим, что принятие решения в форме (1.20) позволяет путём надлежащего определения коэффициентов A¡, B¡ устранить из системы

(1.18) слагаемые, содержащие функции sin^O cosG,sin*~2ecos9 .

Приравнивая соответствующие коэффициенты в левой и правой частях, получим систему из четырех уравнений

{к2 -\)Ак+ауАк_2 + ЬуВк_2 — к(к — Х)Ак_2 =0 (к2-1)Вк + Ъ2Вк_2 + а2Ак_ 2 - к (к - 1 )Вк_2 = 0 '

-(к + 2 ){к + 1 )Ак + ауАк + ЪуВк =0 [-(к + 2)(к + 1 )Вк + Ъ2Вк + а2Ак =А9

(1.25)

Из (1.21) находим Ак, Вк :

Ак=-^-А, Вк=-^(-{к + 2)(к + \) + а1)А, (1.23)

Ак Ак

причем данное решение является единственным, поскольку определитель

системы

Ак ^(к + 2)2(к + 1)2 -(к+ 2)(к + 1)(а1 +Ь1)+а1Ь2 -Ьха2 =

т?2гь ■ (1-24)

= {{к + 2)(к + 1) - i)2 +—— -v2

Аналогично из системы (1.22) определяются Ак-2, Вк-2

Л-2 = ^(Ч*2 - О^2 -к{к - 1}И+ ь42 - 1Ук)

вк-2=хт7(-(*2 _ О^1"к(к ~1})®*+ ~ О4*)

так как ее определитель

А=к2(к -1)2 - £(£ - 1)(а1 + Ь\)+ аф^ " Ь\а2 ~

= (&(£ - 1) - 1) + - v ^ 0.

Из формул (1.23)—(1.26), в частности, следует, что при к=1 получаем ¿к-2 ~ ^к-2 = 0 и решение задачи даётся только первыми слагаемыми в формулах (1.20). При к=3 решение задачи сразу получаем с коэффициентами А3, В3, А\, В\ и в построении решения для

1' нет необходимости.

Если к>Ъ, то для функций 3{ ,НХУ) получаем систему вида (1.21), в правой части которой с некоторым коэффициентом будет функция вт*-4 Э собО . Это позволяет неизвестные функции А/Г*(1) искать снова в виде суммы

= Ак_4 &тк~4 0соб0 + Ак_6 вт*-6 всо80 + &*(2)

=Вк_4Бтк-4 всоБв + Вк_6*тк-6 всо8в + МЧ2)'

Аналогично предыдущему, система уравнений типа (1.21), (1.22) будет выглядеть следующим образом

'-{к - 2)(к - 3)Ак_4 + ахАк_4 + Ь{Вк_4 = -Ак_2 (к - 1 )(к - 3) -(к - 2)(к - 3)Вк_4 + Ь2Вк_4 + а2Лк_4 = (к - 1)(к - 3)'

(к - ЗХЛ: - 5)Ак_ 4 + + ЬхВк_6 -{к- 4 )(к - 6)Ак_ 6 = О

(Л - 3)(* - 5)5t_4 + Ъ2Вк_6 + а2Ак_6 -{к- 4 )(* - 6)Я*_б = О:

(1.28)

(1.29) и Л

4-6

что позволяет, как и выше, определить коэффициенты , Вк_ Вк_6 Таким образом, построение точного решения требует определенного

числа шагов, зависящего от величины к ив общем случае к-2п+1 может быть представлено формулами

«9, =Ак sin* 8cos0 + Ак_2 sin*-2 0cos0 + ... + Asm0cos6 =

k~2m0cos0

(к-1)/2 m=0

sin

TVj sin" 0cos0 + Bk_2 sin*"2 6> cos 6>+ ... + £ sin 6> cos 6> =

(k—l)/ 2

(1.30)

sin*_2w 0COS0

m=0

Найденное решение (1.30) дает возможность получить расчетные формулы для усилий, моментов и перемещений, характеризующих напряженно-деформированное состояние оболочки. Согласно (1.13), (1.14) выражения для тангенциальных усилий Т{, Т2 будут иметь вид

{к-1)/2

г,= I Bt_lm sin4-2™-1 0 cos20

»2=0 {к-1)/2

.(1.31)

(.ft-l^/Z ✓ ч

^2= Z Bk_2m l^k - 2га) sin*-2™-1 8 cos2 8 - sin*-2"7-14 j- Rq0 sin*+1 0

т=0

Перейдем к определению перемещений. Из соотношений (1.1), (1.6) следует

R(l + V) ви

———(Тх-Т2) = —-и (1.32)

Еп ав

Пусть и=%Бт0, тогда (1.32) с учетом (1.13), (1.14) запишется в виде

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кныш, Татьяна Петровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты.

1. Вывод варианта системы уравнений Е.Мейсснера применительно к рассматриваемой задаче и получение её точного решения, что позволило при выполнении многовариантных расчетов проанализировать напряженно-деформированное состояние оболочки, а также исследовать возможности перехода к нелинейной и безмоментной постановке задачи.

2. Постановка геометрически нелинейной безмоментной задачи и её решение, необходимое для учёта одновременного действия на оболочку циркляжной нагрузки и возрастающего внутриглазного давления, вызванного условием сохранения внутреннего объёма глаза, заполненного несжимаемой жидкостью.

3. Построение точного решения нелинейных уравнений Э.Рейсснера в случае циркляжного давления, анализ и сопоставление с решением, полученным для данной задачи другими методами.

4. Решение контактной задачи взаимодействия оболочки с упругой или нерастяжимой лентой, определение зависимости роста ВГД от укорочения циркляжной ленты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кныш, Татьяна Петровна, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Abstracts 9th international congress of eye research. V.VL- Helsinki, 1990.

2. Bauer S.M., Tovstik P.E., Katchanov A.B. On the Stability of the Eye Shell under an Encircling Band//Technische Mechanik, Band 15, Heft 3, 1995.- P. 183-190.

3. Gerke E., Meyer-Schwickerath G. Messung der subretinalen Flüssigkeit bei Ablaation retinae. //Albrecht Graefes Arch. Klin. Exp. Ophthal. - 1978.-Bd.207.- S. 5-14.

4. Havener W. H. Massive vitreous retraction. // Inter. Ophthal. Clin-1976.-Vol. 16, №l.-p. 126-131.

5. Lotmar W. Teoretical Eye Model with Aspherics. // Journal of the optical society of America, Vol. 61, № 11.-p. 1522- 1529.

6. Meissner E. Das Elastizitatsproblem fur dunne Shalen von Ringflachen, Kugel-oder Kegelform// Physikalishe Zeitscchrift- Leipzig: verlag von S.Hirzel, 1913.-Ja.l4,N l.-S. 343-349.

7. Meissner E. Uber Elastizität und Festigkeit dunner Schalen// Vierteljahrsschrift der Naturforschenden.-Zurich: in Kommision bei Beer & Co. 1915- Ja.60.- S.23-47.

8. Mircea Soare, Application of Finite Difference Equation to Shell Analysis. -Bucharest: Pergamon press, 1967.- 440 p.

9. Pietraskiewicz W. Geometrically non-linear theories of thin elastic shells. -Ruhr-Univ., Inst. f. Mech., Mitt. Nr. 55, Bohum 1988. -119p.

10. Reissner E. On axisymmetrical deformations of thin shells of revolution.// Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. Vol. Ill, Elasticity. Mc Graw-Hill Book Company, Inc. New York, Toronto, London, 1950.- P. 27-52.

11. Reissner E. On the theory of thin elastic shells.// In H. Reissner anniversary volume Contributions on Appl. Mechanics. J.W. Edwards. Ann Arbor. Mich., 1949.- P.231-247.

12. Shimusi H. Clinical classification and quantitative surgery of retinal detachment//Mod. Probl. Ophthalmol.- 1977.-Vol. 18.- p.312-316.

13. Аксёнов A.O. Непосредственные и отдалённые результаты лечения отслоек сетчатки методом эписклерального пломбирования силиконовой губкой. Трансцилиарная хирургия хрусталика и стекловидного тела: Сборник научных статей.- М., 1982.- С.200 -211.

14. Алексеев С.А. Задачи статики и динамики мягких оболочек. // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок.-М.: Наука, 1966.

15. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек.// Расчет пространственных конструкций, вып. XI., М., 1967.

16. Андреев JI.B., Ободан H.H., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации - М.: Наука. Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1988.-208 с.

17. Антелава Д.Н., Пивоваров H.H., Сафоян A.A. Первичная отслойка сетчатки.-Тбилиси: Сабуота Сакартвело, 1986.- 159 с.

18. Багдасарова Т.А. Хирургическое лечение отслойки сетчатки с применением силиконовой резины: Автореф. дис. канд. мед. наук. -М.,1978.-21 с.

19. Балабух Л.И., Алфутов H.A., Усюкин В.И. Строительная механика ракет.-М.,1984.-С. 166-250.

20. Балабух Л.И., Усюкин В.И. Приближённая теория мягких оболочек вращения. // Труды VIII Всесоюзн. Конф. По теории оболочек и пластин.- М., 1973.- С. 230-235.

21. Бауэр С.М., Волков В.В., Мишина Э.Н.., Качанов А.Б. К расчёту напряженно-деформированного состояния оболочки при наложении циркляжного шва.// В кн. Тезисы докладов III Всероссийской конференции по биомеханике - Нижний Новгород, 1996.—Т. 1.— С. 1415

22. Бауэр С.М., Зимин Б.А., Бегун П.Е., Миронов А.Н., Качанов А.Б. Построение изменений модели глаза при наложении циркляжного шва. // Повреждения органа зрения у детей : Сб. науч. трудов ЛПМИ.-СПб., 1991.-С. 57-64.

23. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1.Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. - М.: Наука, 1973.-296 с.

24. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1977. - 487 с.

25. Бидерман В.Л. Применение метода прогонки для численного решения задач строительной механики. // Инженерн. Журнал МТТ, 1967.-№5.-С. 62-66.

26. Биомеханика мягких тканей./ Научн. совет АН СССР по пробл. биомеханики. Казанский филиал АН СССР. Институт механики МГУ./редколлег. Г.Г.Чёрный и др.- Казань, 1987.

27. Волков В., Вязьменский С., Малышев Л., Мамаева О., Павилайнен В., Саулгозис Ю. Исследования напряжённого состояния роговицы живого глаза человека методом фотоупругости. // Известия АН Эстонской ССР, Физика, математика, 1988.-Т. 37, 1.-С. 76-84.

28. Волков В.В. Операции при заболеваниях сетчатой оболочки //Руководство по глазной хирургии - М.: Медицина, 1976. - С. 264299.

29. Волков В.В., Малышев Л.К., Журавлёв А.И., Саулгозис Ю.Ж., Некрасов Ю.Д., Павилайнен В .Я. Современное состояние и перспективы применения метода фотоупругости в офтальмологии. // Офтальмологический журнал-Одесса.: 1990-№ 8.-С. 479-482.

30. Волков В.В., Трояновский Р.Л. Операции при заболеваниях сетчатки. Руководство по глазной хирургии - М.: Медицина, 1988.- С. 373-422.

31. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки.- М.: Гостехиздат, 1056 .-419 с.

32. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек.// ДАН СССР, 1957.- Т. 11, №2. - С. 203-206.

33. Габрильянц А.Г., Феодосьев В.И. Об осесимметричных формах равновесия упругой сферической оболочки, находящейся под действием равномерно распределённого давления. // ПММ, т. 25, 1961.- №5-6.- С. 1091-1101.

34. Галоян В. Р. Гидромеханическая модель установки и движений глаза - статика и динамика плавающего глаза). // Биолог, журнал Армении, т. XXXIX, №2,1986.- С. 105-118.

35. Галоян В. Р. Новые определения центра вращения глаза и критерии формирования его оболочки в свете модели плавающего глаза и экспериментальное подтверждение модели. // Биофизика, 1988. - т. XXXIII, вып.6.-С. 10-41.

36. Галоян В.Р. К теории модели плавающего глаза // Биофизика, 1990-т. 35, вып. 1.-С. 118-125.

37. Галоян В.Р. Функциональное значение модели плавающего глаза. // Биофизика, 1989. - т. 34, вып. 3.- С. 481- 497.

38. Танеева М.С. Нелинейная теория и расчет тонких и нетонких оболочек вращения: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. - Казань., 1984.-32 с.

39. Геккелер И.В. Статика упругого тела.-Л., М.: ОНТИ - ГТТИ, 1934-287с.

40. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // Успехи мат. Наук.-1961,-Т. 16, вып. З.-С. 171-174.

41. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек.- М., Гостехиздат, 1953.

42. Горлач Б.А., Мокеев Б.В. Осесимметричная деформация оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности. //Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций.-

1977.- Вып. З.-С. 63-68.

43. Господариков А.П., Терентьев В.Ф. Об одном универсальном алгоритме построения закритических решений в двухточечных нелинейных краевых задачах осесимметричной деформации оболочек вращения.// Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред: Вопросы механики сплошных сред.- Д.: Изд-во Лен. унив-та, 1977.- Вып. 1.- С. 147-154.

44. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек.- М.: Изд-во МГУ, 1983.-114 с.

45. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твёрдого деформирмируемого тела.-М.: Наука, 1988.- 232 с.

46. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жёсткости - Киев: Наукова думка, 1973.- С. 80-107.

47. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шишкарь А.И. О численном решении нелинейных краевых задач статики гибких оболочек.// Докл. АН УССР Сер. А .-1980.- № 6. -С. 44-48.

48. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Крюков H.H. К численному исследованию НДС неоднородных гибких оболочек вращения из композитных материалов.// Прикл. механика - 1985.- 21, №6 - С. 6773.

49. Григоренко Я.М., Крюков H.H. К решению нелинейных задач о деформации гибких оболочек численным методом. .// Докл. АН УССР Сер. А .-1981 .-№5.- С. 43^5.

50. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Один подход к численному решению краевых задач статики гибких оболочек.// Докл. АН УССР Сер. А .-1982.-№4.- С. 21-24.

51. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на

ЭВМ.- Киев: Вища шк. Головное изд-во, 1979 - С. 39- 76.

52. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ.- Киев: Вища шк. Головное изд-во, 1983 - 286 с.

53. Дашевский А.И., Львовский В.М. Применение теории оболочек к исследованию физических основ тонометрии глаза // Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 25, Киев, Буд1вельник, 1975. - С. 7 -14.

54. Друзь Б.И. Дифференциальные уравнения малых колебаний мягких оболочек. // Сообщения ДВВИМУ лаборатории мягких оболочек ДВВИМУ. Вып. 2.- Владивосток, 1968.- С. 31-50.

55. Друзь И.Б. Нелинейные уравнения осесимметричных задач мягких оболочек вращения. // Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям: Сб. науч. Трудов -Владивосток, 1982-С. 61-79.

56. Друзь И.Б. Нелинейные уравнения теории колебаний мягких оболочек. // Сб. сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам.-Владивосток, 1973.-вып 24.-С. 34-50.

57. Ильгамов М.А. Равновесие мембраны, контактирующей с жидкостью.// МТТ, №5,1995.- С. 134- 141.

58. Ильин В.Г. Карпов В.В. Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики: Справ, пособие.- Минск: Высшая школа, 1990.- 349 с.

59. Кабриц С.А. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно-упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига.// МТТ, №1, 1996.- С. 124-136.

60. Коровайцев А.В. О численном решении нелинейных уравнений осесимметричных оболочек вращения.//Изв. ВУЗов, Машиностроение, №2,1978.-С. 13-17.

61. Кочина М.Л. Возможности поляризационно оптического метода исследования глаз.- Актуальные вопросы офтальмологии.: Сб. научн. Трудов .-Харьков, ХМИ, 1987.- С. 54 -56.

62. Кочина M.J1. Некоторые результаты моделирования напряжённого состояния роговой оболочки глаза // Кибернетика и вычислительная техника, 1991. -Вып. 90.- С. 97 -99.

63. Краснов М.М. Система хирургического лечения отслойки сетчатки. // Вестник офтальмологии. - 1966.-№ 1- С. 3-9.

64. Краснов М.М., Пивоваров H.H., Багдасарова Т.А. Хирургия отслойки сетчатки с дренированием и без дренирования субретинальной жидкости. // Офтальмологический журнал.- 1973-№3.-С. 135-137.

65. Крюков H.H. Численное решение нелинейной краевой задачи о деформации замкнутой сферической оболочки.// Прикл. механика,-1983.- 19, №8.-С. 111-113.

66. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. - М., Л.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963. - 358 с.

67. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек.- М.: Гостехиздат, 1947.-252 с.

68. Магула А.И. Судовые эластичные конструкции.- Л.: Судостроение, 1978.-263 с.

69. Математическое моделирование в офтальмологии.// Сб. научн. статей. Моск. НИИ микрохирургии глаза. Гл. ред. С.Н. Фёдоров.-М., 1983.

70. Миронов А.Н. Математическое моделирование напряжённо-деформированного состояния оболочки глаза при циркляже в плоскости, параллельной экватору. // Вестн. ЛГУ, Мат., мех., астрон.-Л.- 1991.- С.7.

71. Михеев В.Г., Бессарабов А.Н. Определение модуля Юнга роговой оболочки глаза в лечебном процессе.//Тезисы докладов III Всесоюзн. конф. по проблемам биомеханики.-Рига, 1983, т.1- С. 108-109.

72. Муштари Х.М. Нелинейная теория оболочек.- М.: Наука, 1990-223 с.

73. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих

оболочек - Казань: Таткнигоиздат, 1957 - 433 с.

74. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчёт составных оболочечных конструкций на ЭВМ. Справочник. М.: Машиностроение, 1981-216 с.

75. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМЕС.- М.: Машиностроение, 1984.-280 с.

76. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости.- М., JL: Гостехиздат, 1948.-212 с.

77. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек.- Л.:Судпромгиз, 1962.-431с.

78. Новожилов В.В. Теория упругости - Л.: Судпромгиз, 1958 - С. 178190.

79. Пеньков М.А., Алтухер Г.М., Кочина М.М. Расчёт изохром и изоклин роговой оболочки глаза. // Биофизика, 1982.- Т. XXVII, вып. 2.-С. 313-316.

80. Петропавловская Г.А. Хирургия отслойки сетчатки. // Отслойка сетчатой оболочки: Научный обзор ВНИИМИ - М., 1975 - С. 56 -65.

81. Пивоваров H.H., Багдасарова Т.А., Глуходед С.В., Прививкова Е.А. Хирургия отслоек сетчатки с применением силиконовых имплантантов: Метод. Рекомендации.-М., 1983.-С. 1-13.

82. Проблемы прочности в биомеханике. / Под ред ак. Образцова И.Ф.-М.: Высш. школа, 1988.-С. 129-130.

83. Руководство по глазной хирургии. / Под ред. проф. Краснова М.Л. и проф. Беляева В.Г.-М.: Медицина, 1988.-С.373-425.

84. Саулгозис Ю. Ж. Анизотропия и неоднородность механических свойств фиброзной оболочки глаз человека. // Биомеханика мягких тканей.-Казань, 1987- С. 123-137.

85. Саулгозис Ю.Ж., Малышев Л.К., Волков В.В., Мамаева О.В., Павилайнен В.Я., Волколакова Р.Ю. Исследование напряжённой

роговицы глаза человека для диагностики глазных заболеваний.//Тезисы докладов международной конференции «Достижения биомеханики в медицине».- Рига, 1986.-Т.1.-С.359-364.

86. Стрекозов Н.Г., Харченко В.И., Карпов В.А. Деформирование сферической пневмооболочки при нагружении внешним давлением. // Оболочечные конструкции и их применение в народном хозяйстве. Межвузовский сборник.-Новочеркасск, 1979.-С. 144-147.

87. Тезисы докладов III Всероссийской конференции по биомеханике.-Нижний Новгород, 1996.-Т. 1.-216 с.-Т.2.- 293 с.

88. Тезисы докладов 1-й Всероссийской конференции-ярмарки «Биомеханика на защите жизни и здоровья человека».- Нижний Новгород, 1992.-Т. 1.-248 с.-Т.2.-293 с.

89. Тезисы докладов международной конференции «Достижения биомеханики в медицине».В 4-х томах.- Рига, 1986.

90. Теория мягких оболочек и их использование в народном хозяйстве./ Отв. ред. И.И. Ворович - Изд-во Ростовского ун-та, 1976 - С. 3-8.

91. Терентьев В.Ф. Численное решение одномерных нелинейных задач статики упругих стержней и оболочек: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук.-Л., 1971.-32 с.

92. Товстик П.Е. О различных вариантах уравнений больших осесимметричных перемещений оболочел вращения. // Вестн. С. Петерб. ун-та, 1996. Сер.1, №2.-С. 73-78.

93. Трояновский Р.Л. О методе бездренажного лечения отслойки сетчатой оболочки. // Офтальмологический журнал.- 1979.- № 3.- С. 155-157.

94. Труды первого Всесоюзного симпозиума «Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика».- Тбилиси, 1985 - 508 с.

95. Уздин М. И. Циркляж в лечении особо тяжёлых форм отслойки сетчатки: Автореф. дис. канд. мед. наук. - Челябинск, 1973.- 29 с.

96. Усюкин В.И. Основы теории и расчет мягких тонкостенных

конструкций из композитных материалов. // Механика композитных материалов, 1990.- № 3.-С.380-384.

97. Федоров С.Н., Захаров В. Д., Лазаренко Л. Ф., Аксёнов А.О. Хирургия лечения больных с отслойкой сетчатки методом наружного эписклерального пломбирования силиконовой губкой: Метод, рекомендации.- М - 1985 - С. 1-5.

98. Филатов C.B. Отслойка сетчатки - М.: Медицина, 1978. - С. 1-116.

99. Филин А.П. Элементы теории оболочек. - Л.: Стройиздат. Лен. отделение, 1987. - 384 с.

100. Фролов А.Н. Нелинейная деформация оболочек вращения. // Изв. АН СССР МТТ, 1973.-№ 1.-С. 157-162.

101. Чернина В.Г. Статика тонкостенных оболочек вращения .- М.: Наука, 1968.-456 с.

102. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек.- Л.: изд-во ЛГУ, 1962.-Т. 1.-274 е., 1964.-Т. 2.-395 с.

103. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропноупругих тонких оболочек.// Изв. АН СССР МТТ, 1980.-№2.-С. 148-159.

104. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭВМ. 4.IL- Киев: Наукова думка, 1966.- 244 с.

105. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек. // Изв. АН СССР МТТ, 1968.-№ 1.-С. 56-63.

106. Шаповалов Л.А. Уравнения эластики тонкой оболочки при неосесимметричной деформации.// МТТ, №3,1976.- С. 62- 72.

107. Шеваль В.Е., Бабанина Ю.Д. Оперативное лечение отслойки сетчатой оболочки.-М.: Медицина, 1965-С. 1-54.

108. Шишкин М.М. Объёмно-колличественная хирургия осложнённых форм отслоек сетчатки: Автореф. дис. канд. мед. наук. - СПб., 1992.— 30 с.

109. Яворский A.B. Применение поляризованного света в офтальмоэргономике // Актуальные вопросы офтальмологии. Сб. научн. Трудов .-Харьков, ХМИ, 1987.- С. 52 -54.