Расчет градиентных оптических элементов с помощью интегрального преобразования Абеля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Мелёхин, Александр Сергеевич

• Мелёхин, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мелёхин, Александр Сергеевич

Введение. Точные решения в задачах расчета градиентных оптических элементов.

Глава 1. Интегральные уравнения Абеля в задачах расчета градиентных оптических элементов.

1.1. Вывод интегральных уравнений в различных системах координат.

1.1.1. Сферические градиентные оптические элементы.

1.1.2. Интегральное уравнение для обобщенной линзы Лунеберга.

1.1.3. Вывод уравнений для градиентных оптических элементов со сферической симметрией и поперечной цилиндрической симметрией.

1.1.4. Вывод уравнений для градиентных оптических элементов с продольной цилиндрической симметрией.

1.2. Прямое и обратное преобразования Абеля.

1.3. Вывод некоторых дифференциальных уравнений для градиентных оптических элементов.

1.4. Аналитический расчет сферических симметричных градиентных оптических элементов с помощью преобразования Абеля.

1.4.1. Решение интегрального уравнения для обобщенной линзы Лунеберга.

1.4.2. Решение для обычной линзы Лунеберга, с помощью производной от преобразования Абеля.

1.4.3. Вывод и решение интегрального уравнения Абеля для линзы Максвелла "рыбий глаз".

1.4.4. Вывод и решение интегрального уравнения Абеля для линзы Итона-Липмана.

1.4.5. Интегральные уравнения Абеля для сферически-симметричных градиентных оптических элементов.

1.5. Выводы.

Глава 2. Методы расчета двумерных и цилиндрических градиентных оптических элементов.

2.1. Решение задачи Микаэляна с помощью преобразования Абеля.

2.2. Интегральное уравнение для обобщенного цилиндрического градиентного оптического элемента.

2.3. Уравнение для цилиндрического аксикона и обобщенная задача Микаэляна.

2.1.1. Обращение преобразования Абеля с двумя переменными пределами интегрирования.

2.1.2. Интегральное уравнение для цилиндрического градиентного аксикона.

2.4. Составной градиентный оптический элемент на основе решения Микаэляна.

2.5. Выводы.

Глава 3. Численные результаты по расчету градиентных оптических элементов.

3.1. Расчет двумерного показателя преломления по заданному семейству лучей.

3.1.1. Аналитические выражения.

3.1.2. Ход лучей в градиентном оптическом элементе.

3.1.3. Расчет показателя преломления градиентного оптического элемента.

3.1.4. Численное моделирование.

3.2. Численное исследование цилиндрической линзы Микаэляна.

3.2.1. Аналитические выражения.

3.2.2. Численное решение.

3.2.3. Численное моделирование.

3.3. Расчет составного градиентного оптического элемента, фокусирующего в заданное распределение интенсивности.

3.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет градиентных оптических элементов с помощью интегрального преобразования Абеля»

Диссертация посвящена разработке и исследованию методов расчета градиентных оптических элементов, выполняющих заданное преобразование волновых полей.

Актуальность темы

В настоящее время существует хорошо разработанная теория расчета дифракционных оптических элементов (ДОЭ) [18, 50, 58], которые способны выполнять широкий класс преобразований когерентных световых полей. ДОЭ представляют собой пропускающие пластинки с микрорельефом, глубина и минимальные поперечные детали которого сравнимы с длинной волны света. Поэтому взаимодействие падающего светового поля с ДОЭ происходит в тонком слое модуляции (где расположен микрорельеф) толщиной порядка длины волны света.

Для того, чтобы взаимодействие света и ДОЭ было "сильным", то есть, чтобы в падающем световом поле ход лучей изменялся на большие углы, требуется чтобы структура микрорельефа имела примерно одинаковые ширину и глубину. Для того чтобы изготовить подобный рельеф необходимо иметь прецизионное литографическое оборудование, обеспечивающее разрешение порядка микрона. Подобная техника существует, но она дорогостоящая и имеется в очень ограниченном числе лабораторий.

С другой стороны, существует хорошо развитая технология производства, широко применяемых в телекоммуникационных системах, оптических элементов с неоднородным показателем преломления [35, 61] (например с параболическим профилем п(г) = щ-аг [40]), которые изготавливаются по волоконной технологии. Подобные градиентные оптические элементы осуществляют преобразование светового поля за счет изменения показателя преломления вещества. Благодоря своим свойствам, градиентные элементы находят применение в широком круге практических задач [24, 41, 60]. Так же они "используются" в высоко эффективном оптическом инструменте - глазе множества живых форм [38, 44, 63].

Однако методы расчета градиентных оптических элементов существенно отличаются от методов расчета ДОЭ [37]. Как правило градиентные элементы используют в оптических многолинзовых системах для компенсации аберрации [7, 8] и их расчет основан на геометрической оптике. Существует также ряд итеративных методов [39, 53, 54, 55], позволяющих строить траектории лучей в градиентное среде при помощи последовательных приближений. Подобные методы основаны на хорошо известных численных методах, как, например, метод Рунге-Кутта или метод предиктор-корректор.

Так как градиентные оптические элементы, используемые в оптических системах, обладают цилиндрической симметрией (как оптические волокна) и имеют в длину десятки миллиметров, то для выполнения требуемого преобразования волнового фронта, зависимость показателя преломления от поперечной координаты может быть плавной (обычно функции показателя преломления аппроксимируют многочленом 4-Н) порядков [37]). Это, с одной стороны, позволяет использовать для расчета приближение геометрической оптики, а, с другой стороны, позволяет за счет размеров градиентных элементов получить "сильные" преобразования волновых фронтов с помощью "слабого" изменения показателя преломления.

В настоящее время почти отсутствуют методы расчета градиентных оптических элементов, предназначенных для выполнения заданных преобразований волновых полей, например, фокусирующих свет в некоторую область пространства с заданным распределением интенсивности.

Так в работах [31, 32] проведен расчет сферически-симметричного градиентного оптического элемента типа аксикона. Этот оптический элемент, выполненный в виде шара с неоднородным показателем преломления, фокусирует лучи, исходящие из точечного источника, в продольный отрезок вдоль оптической оси, подобно коническому аксикону, выполненному в виде конуса из однородного прозрачного материала [49]. В [29] также рассчитан в приближении тонкой линзы градиентный аксикон, но обладающий цилиндрической симметрией. В [34] решена задача расчета сферически-симметричного градиентного оптического элемента, фокусирующего свет от точечного источника в произвольное распределение интенсивности с радиальной симметрией и на заданном расстоянии от центра. Метод, который используется для расчета в [29, 31, 32, 34] является обобщением метода, развитого Лунебергом [45] для расчета градиентных элементов.

История развития метода геометрической оптики для расчета градиентных оптических элементов такова. Еще Дж. Максвелл в 1854 году [46, 47] исследовал свойства сферически симметричной линзы с показателем преломления: где щ, а - постоянные. Эта линза в последствии была названа "рыбьим глазом". Такая линза, лучи, исходящие из некоторой точки внутри сферы, собирает в точку также внутри сферы, расположенную с другой стороны от центра сферы и на отрезке, соединяющим точку источник а и центр сферы. Лучи, при этом, имеют форму дуг окружностей. Произведение расстояний от источника до центра и от центра до фокуса равно квадрату постоянной а.

В 1944 году Лунебергом [45] была предложена сферически симметричная неоднородная линза с показателем преломления: которая каждый параллельный пучок лучей, падающий на нее с любой стороны, собирает в фокальную точку (фокус), расположенную на поверхности

7.(0 = сферы (при г = 1). Лучи внутри линзы Лунеберга являются участками эллипсов. В работах Моргана, Флетчера и других авторов [27, 28, 30, 52, 59], линза Лунеберга была обобщена: появилась внешняя и внутренняя линзы Лунеберга. Это сферически симметричные градиентные оптические элементовы, фокусирующие параллельные пучки лучей в точки, расположенные вне и внутри сферы радиусом г = 1, соответственно.

В 1951 году Микаэлян [19, 51] предложил цилиндрический аналог линзы Лунеберга. Он рассмотрел цилиндрический градиентный оптический элемент с показателем преломления, зависящим только от радиальной координаты в цилиндрической системе координат (г, ф, z)\ где щ, а - постоянные. Подобный элемент все лучи, исходящие из точки на оси (при г = 0), собирает в периодически расположенные точки (фокусы) вдоль оптической оси. Впоследствии такой оптический элемент стали называть "селфоком", самофокусирующим элементом, линзой Микаэляна, GRIN-элементом.

Существует также ряд других, представляющих интерес, градиентных оптических элементов, показатель преломления которых можно найти аналитически. Например линза Итона-Липмана [23], которая имеет сферическую симметрию и показатель преломления которой имеет вид: где R - радиус линзы. Эта линза работает как зеркало, т.е. любой пучок параллельных лучей, падающих на нее отражается под некоторым углом назад. Заметим однако, что при г = 0 показатель преломления имеет особенность.

Таким образом, из приведенного обзора научных работ видно, что известно лишь несколько градиентных оптических элементов [23, 30, 45, 52, 59] 9 со сферической или цилиндрической симметрией, зависимость показателя преломления от координат которых известна и выражается простыми аналитическими соотношениями. Имеется также всего несколько работ [31, 32, 34], в которых рассматривается расчет градиентных элементов, фокусирующих лучи, исходящие из точечного источника в продольный отрезок или в поперечное радиально-симметричное распределение интенсивности. Все эти работы [23, 30, 31, 32, 34, 45, 52, 59] используют геометрическую оптику для анализа и синтеза градиентных оптических элементов. Недостатком перечисленных работ является то, что в них отсутствует подробное описание получения зависимости показателя преломления от радиальной координаты с помощью единого подхода, основанного на прямом и обратном интегральном преобразовании Абеля.

Также отсутствует постановка и решение задачи синтеза цилиндрических градиентных оптических элементов, обобщающих цилиндрическую линзу Микаэляна, кроме работы [29], в которой рассмотрен тонкий градиентный цилиндрический аксикон.

Цель данной работы - разработка методов и получение интегральных уравнений с помощью преобразования Абеля, для расчета градиентных оптических элементов.

Задачи исследования

1. Получить уравнения для расчета показателя преломления сферически-симметричных и цилиндрически-симметричных градиентных оптических элементов с помощью единого подхода, основанного на прямом и обратном интегральных преобразованиях Абеля.

2. Получить уравнения для обобщенной цилиндрической линзы Микаэляна и цилиндрического аксикона на основе интегрального преобразования Абеля.

3. Разработать и численно исследовать метод синтеза составного градиентного оптического элемента на основе цилиндрической линзы Микаэляна.

Научная новизна работы

1. С помощью прямого и обратного преобразований Абеля получены решения известных задач градиентной оптики: обычной и обобщенной линз Лунеберга, линзы Максвелла "рыбий глаз", линзы Итона-Липмана и линзы Микаэляна.

2. С помощью преобразования Абеля получено интегральное уравнение для расчета сферически-симметричного градиентного оптического элемента, фокусирующего параллельный пучок лучей в радиально-симметричную область на некотором расстоянии от элемента, с произвольным распределение интенсивности.

3. С помощью преобразования Абеля получено интегральное уравнение для расчета цилиндрически-симметричного градиентного аксикона, фокусирующего параллельный пучок лучей в точки на оптической оси за градиентным элементом, с заданным распределением интенсивности.

4. Исследован метод расчета составных цилиндрически-симметричных градиентных оптических элементов, фокусирующих параллельный пучок лучей в радиально-симметричную область на выходной поверхности элемента, с произвольным распределением интенсивности.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Мелёхин, Александр Сергеевич

3.4. Выводы

В третьей главе получены следующие результаты:

1. Разработан метод численного решения дифференциального уравнения в частных производных первого порядка относительно показателя преломления двумерного градиентного оптического элемента при заданном семействе лучей.

2. Численно показано, что составной двумерный градиентный оптический элемент, рассчитанный на основе решения Микаэляна и фокусирующий плоскую волну в радиально-симметричную область в выходной плоскости с заданным распределением интенсивности, обладает высокой дифракционной эффективностью (около 90 %).

Заключение

В диссертационной работе впервые получены следующие основные результаты:

• Показана связь между интегральными уравнениями Флетчера и Моргана, для расчета обобщенной линзы Лунеберга.

• С помощью преобразования Абеля получено решение для обычной линзы Лунеберга.

• С помощью преобразования Абеля получено решение для градиентного оптического элемента "рыбий глаз".

• С помощью преобразования Абеля получено решение для линзы Итона-Липмана.

• С помощью преобразования Абеля получено трансцендентное уравнение для поиска функции показателя преломления сферически-симметричного градиентного оптического элемента, фокусирующего плоский пучок в радиально-симметричную область с произвольным распределением интенсивности, в некоторой плоскости за элементом.

• С помощью преобразования Абеля получено решение для линзы Микаэляна.

• Получено интегрального уравнение для расчета обобщенной линзы Микаэляна.

• Получено интегральное уравнение для расчета цилиндрического градиентного аксикона, которое с помощью обратного преобразования Абеля сведено к более простому интегральному уравнению.

• Рассмотрен составной цилиндрический градиентный оптический элемент, позволяющий фокусировать параллельный пучок света в радиально-симметричную область с заданным распределение интенсивности в выходной плоскости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мелёхин, Александр Сергеевич, 2002 год

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., Наука, 1987.

2. Борн ML, Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1973.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М., Наука, 1981.

4. Гельфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И. Избранные задачи интегральной геометрии. М., Добросвет, 2000.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Наука, 1971.

6. Грейсух Г.И., Ежов Е.Г., Степанов С.А. Тройные склеенные радиально-градиентные объективы. Оптический журнал, т. 66, № 10, с. 92-96, 1999.

7. Грейсух Г.И., Ежов Е.Г., Степанов С.А. Композиция и расчет высокоразрешающих оптических систем с градиентными и дифракционными элементами. Компьютерная оптика, вып. 20, с. 20-24, М., МЦНТИ, 2000.

8. Грейсух Г.И., ЕжовЕ.Г., Степанов С.А. Высокоразрешающий дифракционно-градиентный объектив. Оптический журнал, т. 68, № 3, с. 59-62, 2000.

9. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М., Наука, 1967.

10. ДиткинВ.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., Физматлит, 1961.

11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980.

12. Методы компьютерной оптики. Под ред. СойфераВ.А., М., Физматлит, 2000.

13. Микаэлян A.JI. Применение слоистой среды для фокусирования волн. Доклады академии наук СССР, т. LXXXI, с. 569-571, 1951.

14. Микаэлян А.Л. Общий метод определения параметров неоднородных сред по заданным траекториям лучей. Доклады академии наук СССР, Том LXXXIII, 1952,219-220.

15. Оптическая голография. Под ред. Колфилда Г., т. 1, М., Мир, 1982.

16. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. М., Наука, 1981.

17. Физическая энциклопедия, т. 2, М., Наука.

18. Atkinson L.G., Moore D.T., Sullo N.J. Imaging: capabilities of a long gradient-index rod. Appl. Opt., v. 21, p. 1004-1008, 1982.

19. BornM., WolfE. Principles of optics. Subset 8.6.2, 5th ed., Pergamon Press, Elmsford, NY, 1975.

20. Doric S., Munro E. Improvements of the ray trace thought the generalized Luneburg lens. Applied Optics, v. 22, no. 3, p. 443-445, 1983.

21. Doric S., Munro E. General solution of the nonfull-aperture Luneburg lens problem. J. Opt. Soc. Am., v. 73, p. 1083-1086, 1983.

22. Doric S., Generalized nonfull-aperture Luneburg lens: a new solution. Opt. Eng., v. 32, no. 9, p. 2118-2121, 1993.

23. Fischer D.J., Harkrider C.J., Moore D.T. Design and manufacture of a gradient-index axicon. Applied Optics, v. 39, no. 16, p. 2687-2693, 2000.

24. Fletcher A., Murphy Т., Young A. Solution of two optical problems. Proc. R. Soc. London, Ser. A, v. 223, p. 216-225, 1954.

25. Flores J.R. Gradient-index with spherical symmetry. J. of Modern Optics, v. 46, no. 11, p. 1513-1525, 1999.

26. Flores J.R. General method of design spherically symmetric GRIN axicons. J. of Modern Optics, v. 48, no. 11,2001.

27. Flores J.R., Sochacki J., Sochacki M., Staronski R. Quasi-analytical ray tracing through the generalized Luneburg lens. Appl. Opt., v. 31, no. 25, p. 5167-5170, 1992.

28. Flores J.R. Spherically symmetric GRIN amplitude formers. J. of Modern Optics, v. 48, no. 7, p. 1225-1238, 2001.

29. Gordon J.M. Nonimaging optical design for laser fiberoptic surgery. Opt. Eng., v. 37, p. 539-542, 1998.

30. Gordon J.M. Spherical gradient-index lenses as perfect imaging and maximum power transfer devices. Appl. Opt., v. 39, no. 22, p. 3825-3832, 2000.

31. Greishuk G.I., Bobrov S.T., Stepanov S.A. Optics of diffractive and gradient-index elements and systems. SPIE Press, Bellingham, 1997.

32. Hamanaka K., Koshi H. An artificial compound eye using a microlens array and its application to scale-invariant processing. Opt. Rev., v. 3, p. 264-268, 1996.

33. Hewak D. W., Lit J.W.Y. Numerical ray tracing for gradient-index media. Can. J. Phys., v. 63, p. 234-239, 1985.

34. Houde-Walter S. Recent progress in gradient-index and miniature optics. Proc. SPIE, v. 935, p. 2-26, 1988.

35. Land M.F. Compound eyes: old and new optical mechanisms. Nature (London), v. 287, p. 681-686, 1980.

36. LuneburgR.K. Mathematical Theory of Optics. Brown U. Press, Providence, R.I., 1944.

37. Maxwell J.C. Cambr. and Dublin Math. J., v. 8, p. 188, 1854.

38. Maxwell J.C. Scientific Papers, v. 1, Cambr. Univ. Press, 1890.

39. Marchal E.W. Ray tracing in gradient-index media. J. Opt. Soc. Am., v. 60, no. l,p. 1-7, 1970.

40. McLeod J.H. The axicons: a new type of optical elements. J. Opt. Soc. Am., v. 44, no. 8, p. 592-597, 1954.

41. Methods for design of diffractive optical elements. Wiley and Sons, New York, 2001.

42. Mikaelian A.L. Self-focusing media with variable index of refraction. Chapter V in Progress in Optics XVII, North-Holland, Amsterdam, 1980.

43. Morgan S.P. General solution of the Luneburg lens problem. J. Appl. Phys., v. 29, p. 1358-1368, 1958.

44. Puchalski J. Numerical determination of ray tracing: a new method. Appl. Opt., v. 31, no. 31, p. 6789-6799, 1992.

45. SharmaA., Kumar D.Y., Ghatak A.K. Tracing rays through gradient-index media: a new method. Appl. Opt., v. 21, no. 6, p. 984-987, 1982.

46. Sharma A., Ghatak A.K. Ray tracing in gradient-index lenses: computation of ray-surface intersection. Appl. Opt., v. 25, no. 19, p. 3409-3412, 1986.

47. SochackiJ., Flores J.R., StaronskiR., Gomez-Reino C. Improvements in computation of the refractive index profiles for generalized Luneburg lens problem. J. Opt. Soc. Am., v. 73, p. 1083-1086, 1983.

48. Sochacki J., Flores J.R., Gomez-Reino C. New methods for designing the stigmatically imaging gradient-index lenses of spherical symmetry. Appl. Opt., v. 31, no. 25, p. 5178-5183, 1992.

49. Soifer V., KotlyarV., Doskolovich L. Iterative methods for diffractive optical elements computation. Taylor and Francis, London, 1994.

50. Stettler R. Optic, v. 12, p. 529, 1955.

51. Toyama M., Takami M. Luminous intensity of a gradient-index lens array. Appl. Opt., v. 21, p. 1013-1016, 1982.

52. Verdaasdonk R.M., Borst С. Ray tracing of optically modified fiber tips 2: laser scalpels. Appl. Opt., v. 30, p. 2172-2177, 1991.

53. Wang Y., Hopkins H.H. Ray-tracing and aberration formulae for a general optical system. J. Modern Opt., v. 39, no. 9, p. 1897-1938, 1992.

54. Warrant E.J., Mclntyre P.D. Anthropoid eye design and the physical limits to spatial resolving power. Prog. Neurobiol., Oxford, v. 40, p. 413-461, 1993.