Рандомизированные алгоритмы оценивания параметров инкубационных процессов в условиях неопределенностей и конечного числа наблюдений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Волкова Марина Владимировна

• Волкова Марина Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Волкова Марина Владимировна

Введение

1 Оптимизация функционалов типа среднего риска

1.1 Постановка задачи оптимизации

функционала среднего риска

1.2 Оценки МНК

1.3 Детерминированные и

рандомизированные алгоритмы

1.4 Рандомизированные методы

оценивания при произвольных помехах

2 Оценивание по конечному числу наблюдений

2.1 Формализованная постановка задачи

2.2 Основные предположения

2.3 Метод знако-возмугценных сумм

2.4 Свойства доверительного множества

2.5 Модифицированный метод

знако-возмугценных сумм

2.6 Построение границ

доверительного множества

3 Оценивание параметра инкубационного времени разрушения при конечном числе наблюдений

3.1 Инкубационное время

3.2 Структурно-временной подход

3.3 Постановка задачи оценивания параметра инкубационного времени при

наблюдениях с помехами

3.4 Вычисление доверительных интервалов с помощью обобщенного метода SPS

3.5 Результаты обработки данных экспериментов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1. Акт о внедрении в научно-исследовательский

центр "Динамика"

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рандомизированные алгоритмы оценивания параметров инкубационных процессов в условиях неопределенностей и конечного числа наблюдений»

Введение

Решения большого количества практически важных задач адаптивного управления, машинного обучения, определения неявных характеристик систем, материалов и т. п. опираются на те или иные методы восстановления неизвестной зависимости по наблюдаемым экспериментальным данным (см. В. Н. Вапник и А. Я. Червоненскис [1-3], В. Н. Фомин [4]). Использование математических методов неразрывно связано с формированием моделей исследуемых явлений, являющихся только приближением реальных процессов. Типичным подходом в теории является выбор математической модели с включением в нее различных помех, относящихся, с одной стороны, к грубости математической модели и, с другой стороны, характеризующих неконтролируемые внешние возмущения объекта или системы (см. Ф. Швеппе [5]).

При рассмотрении проблем оптимизации стохастическая постановка задачи часто является не только наиболее адекватной реальным процессам, но и, как правило, позволяет предлагать обоснованные решения для вычислительно "сложных" или плохо обоснованных задач. В последнее время активно развиваются рандомизированные методы решения (см. Д. Калафиоре и Б.Т. Поляк [6], О. Н. Граничин и Б.Т. Поляк [7], Р. Темпо и др. [8], О. Н. Граничин и др. [9]. Они обладают существенными достоинствами в сравнении с детерминированными методами. С одной стороны, в задачах требующих большого объема "перебора" вариантов алгоритмы, основанные на случайном выборе, позволяют за ограниченное время добиваться хороших результатов с определенной вероятностью. С другой стороны, возможность рандомизации процессов наблюдений позволяет во многих случаях компенсировать негативное влияние систематических погрешностей.

Теория оценивания неизвестных параметров при статистических неопределенностях достаточно хорошо развита (см. Л. Льюнг [10], Я. 3. Цып-кип [11]). При случайной природе неопределенностей типичным подходом является оценивание неизвестных параметров системы на основе оп-

тимизации того или иного функционала среднего риска (см. В. Н. Фомин, А. Л. Фрадков, В. А. Якубович [12], Г. Кушнер и Д. Ин [13], Д. Спал [14], О. Н. Граничин и Н. О. Амелина [15], О. Н. Граничин и др. [16], В. Н. Фомин [17]), А. В. Гасников и Д. Ю. Дмитриев [18]. В случае достаточно большого числа наблюдений системы со случайными параметрами возможно применение традиционного подхода, основанного на оценке методом наименьших квадратов. При этом для случайных помех результат будет иметь математическое обоснование, базирующееся на законе больших чисел и центральной предельной теореме (см. Л. Льюнг [19] и многие др.).

Однако, могут быть ситуации, когда нет возможности провести достаточное число наблюдений, обеспечивающее корректные условия применимости традиционных алгоритмов. Например, в задачах адаптивного управления в условиях изменяющейся со временим структуры пространства состояний (см. С. В. Емельянов [20], О. Н. Граничин и Т. А. Хан-тулева [21-24]), для оценки текущих значений неизвестных параметров системы есть только короткий промежуток времени, достаточный для того, чтобы провести небольшое количество наблюдений. Таким образом, необходимо разрабатывать методы оценивания неизвестных параметров систем, которые работоспособны при небольшом количестве данных наблюдений.

Одним из таких методов является метод знако-возмущенных сумм (Sign Perturbed Sums, SPS), позволяющий по малому числу наблюдений с достаточно большой степенью достоверности получать доверительный интервал значений требуемых целевых параметров. Метод знако-возмущенных сумм сформулирован для многомерного линейного случая (см. Б. Касаи, М. Кампи и Э. Вейер [25]). Однако, для целого ряда практически важных задач актуально рассмотрение нелинейной зависимости.

В любом измерении присутствует не только случайная погрешность с нулевым математическим ожиданием, но также и ошибка самого измерительного процесса — систематическая погрешность. При коротком ин-

тервале наблюдений в изменяющихся условиях трудно провести адекватную валидацию модели измерений для проведения "чистого" эксперимента без систематической погрешности. Похожая ситуация может наблюдаться и при очень трудоемких испытаниях, проведение которых требует большого количества временных или материальных затрат. Поскольку существенным ограничением применимости метода знако-возмущенных сумм является предположение о симметричности относительно нуля вероятностного распределения случайных помех, это актуализирует разработку алгоритмов оценивания, работоспособных в условиях произвольных внешних помех (см. А. А. Сенов и О. Н. Граничим [26], К. С. Амелин и О. Н. Граничин [27], А. А. Сенов и др. [28]).

Методы оценки неизвестных истинных значений параметров модели наблюдаемого процесса является неотъемлемой частью стандартизации новых теоретических подходов для их последующего применения на практике. В частности, в задачах механики динамического разрушения является актуальной проблема определения значений параметра инкубационного времени разрушения материалов, позволяющего описывать прочность при динамических воздействиях, сила которых превосходит силу статического разрушения (см. Н. Ф. Морозов и Ю. В. Петров [29,30], Ю. В. Петров и А. А. Уткин [31], Ю. В. Петров [32]). Отличительной особенностью динамических испытаний является их большая трудоемкость, поэтому обычно для последующего анализа имеется небольшое количество наблюдений, по которым нужно дать хорошую оценку значений целевых параметров.

Проблема, с которой сталкиваются при синтезе законов управления, недостаточная вариативность последовательности наблюдений. Например, если цель адаптивного управления состоит в минимизации отклонения вектора состояния системы от заданной траектории, то это часто приводит к вырожденной последовательности наблюдений, в то время как для успешного проведения идентификации неизвестных параметров системы должно быть обеспечено "разнообразие" наблюдений. Кроме того, "управляющие воздействия должны быть в известной мере

не только изучающими, но в известной мере направляющими" (см. A.A. Фельбаум [33]). Однако, в условиях неопределенностей при адаптивном управлении гибридными системами, системами с переключениями и, в более общем случае, при адаптивном управлении в условиях переменной структуры пространства состояний очень часто приходится принимать решение о текущих параметрах системы на основании конечного (и даже малого) набора наблюдений.

Целью работы является исследование возможностей разработки методов оценивания неизвестных параметров систем, работоспособных при небольшом количестве наблюдений.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) обобщить метод знако-возмугценных сумм построения по последовательности наблюдений результирующего доверительного множества с задаваемым априори уровнем достоверности на многомерный нелинейный случай с симметричными независимыми внешними помехами, и установить условия его применимости;

2) обобщить модифицированный метод знако-возмугценных сумм на нелинейный случай при произвольных внешних помехах и установить условия, при которых модифицированный обобщенный метод дает результирующее доверительное множество с задаваемым априори уровнем достоверности;

3) для динамических задач механики разрушения применить и обосновать работоспособность обобщенного метода знако-возмугценных сумм при малом наборе экспериментальных данных для расчетов доверительного интервала параметра инкубационного времени разрушения материала, установить условия, при которых этот метод дает результирующее доверительное множество с задаваемым априори уровнем достоверности.

Мет,оды, исследования. В диссертации используются методы теорий исследования операций, управления, вероятности и математической статистики; применяются стохастическая аппроксимация, рандомизирован-

ные алгоритмы; используются методы механики разрушения сплошных сред, основанные на принципах структурно-временного подхода.

Основные результаты. В ходе выполнения работы получены следующие научные результаты:

1) получено обобщение метода знако-возмущенных сумм на нелинейный случай с симметричными независимыми внешними помехами и установлены условия, при которых обобщенный метод дает результирующее доверительное множество с задаваемым априори уровнем достоверности;

2) получено обобщение модифицированного метода знако-возмуще-нных сумм для нелинейного случая при произвольных внешних помехах и установлены условия, при которых обобщенный метод дает результирующее доверительное множество с задаваемым априори уровнем достоверности;

3) при малом наборе экспериментальных данных предложено и обосновано применение обобщенного метода знако-возмущенных сумм для расчетов доверительного интервала параметра инкубационного времени разрушения материала в динамических задачах механики разрушения, установлены условия, при которых предложенный метод дает результирующий доверительный интервал с задаваемым априори уровнем достоверности.

Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Теоретическая ценность результатов заключается, во-первых, в обобщении метода знако-возмущенных сумм на многомерный нелинейный случай с симметричными независимыми внешними помехами и установлении условий, при которых обобщенный метод дает результирующее доверительное множество с задаваемым априори уровнем достоверности. Во-вторых, в обобщении модифицированного метода знако-возмущенных сумм на нелинейный случай при произвольных внешних помехах и в получении

условий его работоспособности, при которых обобщенный модифицированный метод дает результирующее доверительное множество, содержащее искомый параметр, с задаваемым априори уровнем достоверности. В третьих, в предложении и обосновании применения обобщенного метода знако-возмущенных сумм при малом наборе экспериментальных данных для расчетов доверительного интервала параметра инкубационного времени разрушения материала в динамических задачах механики разрушения, а также установлении условий, при которых предложенный метод дает результирующее доверительное множество с задаваемым априори уровнем достоверности.

Оценка параментров по конечному числу наблюдений — неотъемлемая часть решения прогих прикладных задач. В частности, рассмотрено применение метода знако-возмущенных сумм для задач динамической механики разрушения, где также наблюдается недостаток количества испытаний в силу их высокой стоимости и трудоемкости.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедр теоретической кибернетики и системного программирования математико-механического факультета, на международных конференциях: 56th IEEE Conference on Decision and Control, Мельбурн, Австралия, 12-15 декабря, 2017 г.; IX Традиционная молодежная школа "Информация, управление и оп-тимизаци", Москва, Россия, 14-20 июня 2017 г.; XLIII международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", Санкт-Петербург, 2-5 апреля 2012 г.; XLII международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", Санкт-Петербург, 4-7 апреля 2011 г.; XLI международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", Санкт-Петербург, 5-8 апреля 2010 г.; XLIII международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", Санкт-Петербург, 6-9 апреля 2009 г.

Результаты диссертации Волковой М. В. "Рандомизированные ал-

горитмы оценивания параметров инкубационных процессов в условиях неопределенностей и конечного числа наблюдений" апробированы и подтверждены актом о внедрении в Научно-исследовательском центре "Динамика".

Публикация результатов. Результаты, полученные в ходе работы над диссертацией, нашли отражение в 13 научных работах [34-46], из которых четыре опубликованы в изданиях, индексируемых в базе данных Scopus, и две в журналах, входящем в перечень рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук. Четыре работы [34-37] содержат основные результаты работы и опубликованы в периодических изданиях.

Работы [34-37], [39, 40], [45, 46] написаны в соавторстве. В работах [34-37], [39,40], [45,46] М. В. Волковой принадлежат формулировки и доказательства теорем, обработка результатов экспериментов, а соавторам постановка задачи и выбор методов решения.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 77 источников. Текст занимает 76 страниц и содержит 8 рисунков.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, формулируется цель, ставятся задачи исследования и кратко излагаются основные результаты.

В первой главе приводится обзор литературы по теме исследования, в частности приводится обзор работ по оценке неизвестных параметров системы. В приводимых источниках рассматриваются разные постановки задач, исследуется поведение систем в различных условиях при наличии помех.

В разделе 1.1 приводится постановка задачи оптимизации функционалов типа среднего риска. В разделе 1.2 описываются традиционные

подходы к построению доверительного множества на основе оценок метода наименьших квадратов. В разделе 1.3 сравниваются детерминированные и рандомизированные алгоритмы оценивания неизвестных параметров. В разделе 1.4 дан краткий обзор литературы, показывающий в хронологическом порядке развитие рандомизированных подходов.

Во второй главе метод SPS построения доверительных интервалов для оценки значений модельных параметров обобщен для нелинейного многомерного случая. Для случая симметричных независимых помех сформулированы ограничения на нелинейную функцию регрессии, при которых сформулирована и доказана теорема о свойствах получающегося доверительного множества. Также было проведено обобщение полученного результата на случай отсутствия симметричности относительно нуля вероятностных распределений помех путем рандомизации процедуры проведения испытаний. Для модифицированного метода MSPS также сформулирована и доказана соответствующая теорема, определяющая уровень достоверности полученных результатов в зависимости от значений параметров алгоритма.

В разделе 2.1 приводится формальная постановка задачи. В разделе 2.2 содержатся основные предположения. В разделе 2.3 описывается метод знако-возмущенных сумм для произвольных внешних помех, имеющих симметричные относительно нуля вероятностные распределения. В разделе 2.4 формулируется Теорема 2.1, обобщающая метод знако-возмущенных сумм на многомерный нелинейный случай с симметричными независимыми внешними помехами и установливаюгцая условия, при которых обобщенный метод дает ограниченное результирующее доверительное множество с задаваемым априори уровнем достоверности. В разделе 2.5 дается обобщение модифицированного метода знако-возмущенных сумм на нелинейный случай с произвольной функцией распределения случайных помех, и формулируется Теорема 2.2, установливаюгцая условия, при которых обобщенный модифицированный метод SPS дает результирующее доверительное множество с задаваемым априори уровнем достоверности в нелинейном случае при произвольных внешних

помехах. В разделе 2.6 приводится алгоритм построения границ доверительного множества.

В третьей главе для частного одномерного нелинейного случая исследуется применение метода знако-возмущенных сумм для оптимизации решения задач механики динамического разрушения материалов, основной проблемой в которой является отсутствие стандартных методов для расчета и прогнозирования предельных характеристик интенсивных воздействий для различных материалов и сплошных сред. С помощью метода знако-возмущенных сумм производится обработка данных динамических испытаний по определению инкубационного времени разрушения материала, приводятся результаты построения доверительных интервалов согласно обобщенному методу знако-возмущенных сумм на основе данных реальных физических экспериментов. Основой для построения модели наблюдения для реальных физических экспериментальных данных является структурно-временной подход, который показал себя как хороший инструмент для решения упомянутых задач. Но для этого подхода не определена стандартная процедура для нахождения значения инкубационного времени. Основная трудность заключается в том, что инкубационное время т может быть измерено только косвенным способом и стандартные измерительные методы не работают. Предлагаемое применение ЯРЯ-процедуры показывает, как рассчитать инкубационное время разрушения с учетом заданной погрешности 6 в условиях ограниченности количества экспериментальных точек. Этот метод также поз-

т

В разделе 3.1 вводится понятие инкубационного вермени разрушения и приводится описание общей задачи по определению скоростной зависимости прочности материалов. В разделе 3.2 описывается структурно-временной подход для задач механики динамического разрушения сплошных сред. В разделе 3.3 приводится формализованная постановка задачи оценивания параметра инкубационного времени при наблюдениях с помехами. В разделе 3.4 строятся доверительные интервалы для неизвестного параметра инкубационного времени разрушения материала с

помощью обобщенного метода знако-возмущенных сумм и формулируется Теорема 3.1 для нелинейного одномерного случая. В разделе 3.5 полученные в диссертации теоретические результаты иллюстрируются экспериментами по обработке данных экспериментов реальных динамических испытаний с помощью метода знако-возмущенных сумм.

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

Глава 1

Оптимизация функционалов типа среднего риска

1.1 Постановка задачи оптимизации функционала среднего риска

Проблема оптимизации того или иного функционала встает во многих практических приложениях. Иногда экстремальные значения можно найти аналитически, однако зачастую инженеры имеют дело с неизвестным функционалом, значение которого можно только вычислять в задаваемых узлах. При этом возможно появление неконтролируемых неопределенностей различной природы, как статистических, так и нерегулярных (например, неизвестных, но ограниченных, для которых традиционные предположения о статистической природе, также как независимость и центрированность не выполнены).

Рассмотрим модель наблюдений:

(1.1) у = I (и ,#*) + у, г = 1,...,т,

где t — номер эксперимента, T — общее количество экспериментов, yt -наблюдения (выходы), yt £ R ut — известный план наблюдений (входы который задается экспериментатором или выбирается как-то случайно из некоторого множества U С М.к; tf* £ G — истинное значение неизвестного векторного параметра, tf* £ G С Mn, vt ~ случайные внешние помехи, vt £ R

Требуется оценить неизвестный параметр в*. В этом случае решают задачу о минимизации функционала среднего риска:

F(tf) = E(y - f (u, tf))2 ^ min .

-дев

1.2 Оценки МНК

При конечном числе наблюдений вместо функционала среднего риска рассматривают задачу о минимизации эмпирического функционала:

1 T

(1-2) FT(tf) := T - f (щ, tf))2 ^ min,

t=i

решения которой tfT обычно называют оценками метода наименьших квадратов (МНК). При выполнении условия:

(1.3) supE

в

У - f (u,tf)

4

< ОО

последовательность минимальных значений эмпирических функционалов )} стремится при Т ^ то к минимальному значению функционала среднего риска (2.2) (см. раздел 1.6.1. [7]).

Для независимых одинаково распределенных помех с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а ошибка оценки метода наименьших квадратов асимптотически является гауссовской при слабых предположениях. Более точно, распределение л/Т($т — $*) сходится к гауссовскому распределению с нулевым математическим ожиданием.

Получим формулу для ковариации.

В рассматриваемом случае несмещенная оценка дисперсии равна:

( FT(0)

(Ту =

Т — (

а сама величина Рт(0)/^2 будет сходиться к распределению х2 со степенью свободы Т — ( так как согласно теореме о среднем приращение функции представимо в виде:

(1.4) I(щ, 0*) — I(щ, 0) = VI(иг, 0')т(0* — 0),

где -т — операция транспонирования вектора, 0' — некоторая точка на отрезке, соединяющем 0 с 0*, и поэтому удовлетворяющая условию: 110' — 0* || < ||0 — 0*||.

Преобразуем эмпирический функционал 1.2, используя 2.1 и 1.4:

1 T

F* (0) =1Е t=i

V/ (ut,0;)T(0 - 0*)+ vt

= (0 - 0*)TR(0 - 0*) +

T T

+^Е V/(ut,0'Г(0 - 0')vt + vt2, t=1 t=1

где RT = T ET=i V/(ut, 0')TV/(ut, 0').

При положительной определенности предельной матрицы: R = Ишу^то RT > 0 для предела суммы невязок получаем асимптотически:

FT(0) -> (0 - 0*)TR(0 - 0*).

T ^то

Таким образом, при достаточно больших Т доверительный эллипсоид:

0 := j 0 G : (0 - 0T )tRt (0 - 0T) < ^¡r^j,

2

который содержит вектор истинных параметров с вероятностью приблизительно равной где Фх2(^(д) — функция распределения X2 с dim($*) = d степенями свободы. Для построения асимптотического доверительного эллипсоида 0 с заданным уровнем достоверности р следует вначале решить уравнение Фх2(¿}(д) = р относительно д. Обозначим это решение через д(р). Если после этого диаметр асимптотического доверительного эллипсоида 0 окажется неприемлемо большим, следует добавить наблюдений, т. е. увеличить Т.

Простой анализ показывает, что д,(р)а2/Т ^ 0 при T ^ ж. В силу предположения о положительности R, ее наименьшее собственное число eig(R) = Аж > 0. Так как R = RT, существует такое Т',

что eig(RT„) = Ат» > Аж/2 для любого Т" > Т'. Следовательно, в процессе увеличения числа наблюдений можно добиться малости диаметра доверительного эллипсоида 0, т. к. для него справедлива оценка

dmt^T) < 2/1?

Стоит еще раз отметить, что описанное выше построение доверительного эллипсоида основано на асимптотических предположениях, поэтому в случае конечного, и тем более малого, числа наблюдений эта оценка не имеет строгого математического обоснования, и следовательно, она может быть использована только для эвристического анализа.

1.3 Детерминированные и

рандомизированные алгоритмы

Точное решение любой проблемы возможно при создании ее адекватной модели. Однако связи и отношения в реальном мире настолько сложны и разнообразны, что многие явления практически невозможно строго математически описать, поэтому обычным подходом является включение в математическую модель исследуемого процесса различных помех.

Теория оценивания неизвестных параметров при статистических неопределенностях достаточно хорошо развита [10,11], [42-44]. При зашумлен-ных данных наблюдений активно используются статистические методы минимизации функционалов типа среднего риска [38,39]. Но их обоснованность в существенной степени опирается на использование большого многообразия наблюдений. Также традиционный анализ в задачах по оценке неизвестных параметров в основном базируется на предположении того, что случайные помехи являются независимыми гауссовскими случайными величинами. Для решения задач с произвольными помехами имеет место центральная предельная теорема, которая гарантирует, что для достаточного большого числа наблюдений вероятностное распределение суммы помех будет нормальным. На практике при конечной (и возможно малой) выборке наблюдений при произвольных помехах, особенно с ненулевым математическим ожиданием, оценки, полученные традиционными статистическими методами математически не обоснованы, и поэтому могут давать неверные значения. Альтернативой являются методы, использующие оценочные множества, гарантированно содержащие неизвестные параметры [47-50], но доставляемые такими методами решения зачастую слишком консервативны [45]. Малое число наблюдений доставляет свои сложности в оценке параметров модели [40,41].

Перечисленные сложности в использовании стандартных подходов приводят к необходимости поиска алгоритмов, обеспечивающих высокое качество оценивания в случае малого числа наблюдений, а также при минимальных предположениях о статистических свойствах помех.

Далее будет описан подход, позволяющий успешно решать задачи такого типа. Ключевой особенностью этого метода является возможность включения рандомизации в модель таким образом, чтобы случайное возмущение было независимо с внешними помехами. Для казалось бы абсурдной задачи об оценивании параметра при произвольных внешних помехах, с которой принципиально не может справиться ни один детерминированный алгоритм, внесение рандомизации во входные данные позволяет получить вполне осмысленные результаты. Это очень важно,

так как практические потребности часто выдвигают на передний план именно такие постановки задач.

Общепринятый подход к процессу конструирования самых разнообразных систем и алгоритмов управления представляет собой выполнение детерминированных алгоритмов, состоящих из последовательности детерминированных шагов. Этот подход, однако, можно развить включением рандомизации. В рандомизированных алгоритмах один или несколько шагов основываются на случайном правиле, при котором среди многих детерминированных правил одно выбирается случайно в соответствии с некоторой случайной схемой. Для оценки качества рандомизированного алготирма служит понятие "вероятностная-успешность".

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волкова Марина Владимировна, 2018 год

Литература

[1] Вапник В. П., Череоненкис А. Я. Теория равномерной сходимости частот появления событий к их вероятностям и задача поиска оптимального решения по эмпирическим данным // Автоматика и телемеханика. — 1971. — №2. — С. 42-53.

[2] Вапник В. П. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука. — 1979. — 448 с.

[3] V. N. Vapnik. Estimation of Dependencies Based on Empirical Data. Springer-Verlag — 1982. — 457 p.

[4] Фомин B.H. Математическая теория обучаемых опознающих систем. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. — 1976. — 236 с.

[5] Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. New York-London: Prentice-Hall. — 1973. — 563 p.

[6] Calafiore G, Polyak В. T. Stochastic algorithms for exact and approximate feasibility of robust LMIs // IEEE Trans. Autom. Control. _ 2001. - Vol. 46. - P. 1755-1759.

[7] Граничим О. H., Поляк Б. Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. — 2003.— М.: Наука. - 291 с.

[8] Tempo R., Calafiore С., Dabbene F. Randomized Algorithms for Analysis and Control of Uncertain Systems: with Applications. — 2013.^ New York: Springer-Verlag. — 337 p.

[9] Granichin 0., Volkovich Z., Toledano-Kitai Dvora Randomized Algorithms in Automatic Control and Data Mining. — Springer. — 2015. - 251 p.

[10] Льют Л., Сёдерстрём Т. Идентификация систем: теория для пользователя. — М.: Наука. — 1991. — 431 с.

[11] Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации. — М.: Наук^ _ 1995. _ ззб с.

[12] Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович, В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. 1981. — М.: Наука. — 448 с.

[13] Kushner Н. J., Yin G. G. Stochastic Approximation Algorithms and Applications. — New York. Springer-Verlag. — 2003. — 497 p.

[14] Spall J. S. Introduction to stochastic search and optimization: estimation, simulation, and control. — Wiley, Hoboken, NJ. — 2003.^ 597 p.

[15] Granichin 0., Amelina N. Simultaneous perturbation stochastic approximation for tracking under Unknown but bounded disturbances // IEEE Transactions on Automatic Control. June 2015. — Vol. 60, Is. 6. - P. 1653-1658.

[16] Granichin 0., Volkovich V., Toledano-Kitai D. Randomized Algorithms in Automatic Control and Data Mining. — SpringerVerlag: Heidelberg New York Dordrecht London. 2015. — 251 p.

[17] Фомин В. H. Реккурентное оценивание и адаптивная фильтрация. 1984. — М.: Наука. — С. 288.

[18] Gasnikov А. V., Dmitriev D. Y. On efficient randomized algorithms for finding the PageRank vector // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2015. - V. 55, №3. - C. 349-365.

[19] Ljung L. System Identification: Theory for the User // Englewood Cliffs. NJ, Prentice Hall. - 1999. - 609 p.

[20] Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой. — 1967. — М.: Наука. — 336 с.

[21] Граничин О.Н., Khantuleva Т. A. Adapting Wing Elements ("Feathers") of an Airplane in a Turbulent Flow with a Multiagent Protocol // Automation and Remote Control. — 2017. — Vol. 78, №10.- P. 1867-1882.

[22] Граничин O.H., Khantuleva T. A. Hibrid Systems and Randomized Measuring in Nonequilibrium Processes // Differential Equations and Control Processes. - 2004. - №3. - P. 35-43.

[23] Граничин О. H., Хантулева Т. А. Адаптация элементов крыла ("перьев") самолета в турбулентном потоке с помощью мульти-агентного протокола // Автоматика и телемеханика. — 2017. — №10.- С. 168-188.

[24] Граничин О. Н., Хантулева Т. А. Гибридные системы и рандомизированные измерения в неравновесных процессах // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 2004. — №3. — С. 35-43.

[25] Csaji В., Campi М. С., Weyer Е. Sign-perturbed sums: A new system identification approach for contructing exact non-asymptotic confidence regions in linear regression models // IEEE Trans, on Signal Processing. - 2015. - V. 63, №1. - P. 169-181.

[26] Сенов А. А., Граничин О. H. Идентификация параметров линейной регрессии при произвольных внешних помехах в наблюдениях // В сб. трудов XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014), Россия, Москва, НПУ РАН, 16-19 июня 2014. _ 2014.— С. 2708-2719.

[27] Amelin К., Granichin О. N. Randomized control strategies under arbitrary external noise // IEEE Transactions on Automatic Control.— 2016. - Vol. 61, №5. - P. 1328-1333.

[28] Senov A., Amelin K., Amelina N., Granichin 0. Exact confidence regions for linear regression parameter under external arbitrary noise // In: Proc. of the 2014 American Control Conference (ACC), 4-6 June, Portland, USA. - 2014. - P. 5097-5102.

[29] Морозов H. Ф., Пет,ров Ю.В. «Квантовая» природа и двойственный характер разрушения твердых тел // Доклады Академии наук. — 2002. - Т. 382, №2. - С. 206-209.

[30] Morozov N., Petrov Y. Dynamics of Fracture // Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New York. — 2000. — 98 p.

[31] Petrov Y. V., Utkin A. A. Dependence of the dynamic strength on loading rate // Mater. Science. - 1989. - Vol. 25, №2. - P. 153-156.

[32] Petrov Y. V. Incubation time criterion and the pulsed strength of continua: Fracture, cavitation, and electrical breakdown // Doklady Physics. 2004. - Vol.49, №4. - P. 246-249.

[33] Фелъдбаум А. А. О проблемах дуального управления // В кн.: Методы оптимизации автоматических систем. М.: Наука. — 1972. с. 89-108.

[34] Волкова М.В., Рраничин О.П., Волков Г.А., Петров Ю.В. О возможности применения метода знако-возмущенных сумм для обработки результатов динамических испытаний // Вестник СПбГУ. — 2018. - Сер. 1. Том 63. Вып. 1. - С. 30-40.

[35] Volkova М. V., Granichin, Petrov Y. V., Volkov G.A. Dynamic fracture tests data treatment based on the randomized approach // Advances in Systems Science and Applications (ASSA). — 2017. — №. 3. — P. 35-43.

[36] Volkova M., Granichin 0., Petrov Yu., Volkov G. Sign-perturbed sums approach for data treatment of dynamic fracture tests // In: Proc. of the 56th IEEE Conference on Decision and Control, December 12-15, 2017, Melbourne, Australia. - 2017. - P. 1652-1656.

[37] Волкова M. В., Граничин О. H. Минимизация функционала типа среднего риска на основе конечного (возможно малого) набора экспериментальных данных // Стохастическая оптимизация в информатике. — 2018. — Т. 13, Вып. 2. — С. 3-35.

[38] Volkova М. One method to solve a problem of nonlinear two-stage perspective stochastic planning // International Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2017. - V. 112, №4. - P. 817-826.

[39] Колбин В. В., Свищикова М. В. Один прямой метод стохастической оптимизации // Известия Саратовского Университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 2012. — Т. 12, Л"°4. - С. 11-14.

[40] Волкова М. В., Михеев С. Е., Морозов П. Д. Корреляция динамики внутреннего валового продукта с ценой моторного топлива // Молодой ученый. — 2017. — №11(145). — С. 192-198.

[41] Свищикова М. В. Один метод прогнозирования ВВП России // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов. — 2011. — С. 550554.

[42] Svishchikova М. V. One problem of nonlilear stochastic programming // International Journal of Applied Mathematics and Statistics. — 2014. - V. 52, Ш. - P. 1-7.

[43] Свищикова M. В. Решение одной двухэтапной задачи нелинейного стохастического программирования // Инновации в науке. — 2014.— №3(28). - С. 12-22.

[44] Свищикова М. В. Один способ решения задач стохастического программирования специального вида // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции. 2012. - С. 559-563.

[45] Приставко В. Т., Свищикова М. В. Кодирование и декодирование векторных гауссовских сигналов // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов. — 2010. — С. 692-698.

[46] Приставко В. Т., Свищикова М.В. Липидность субъекта // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов. — 2009. — С. 656-658.

[47] В ai Е. W., Nagpal К. М.. Tempo R. Bounded-error parameter estimation: Noise models and recursive algorithms // Automatica. — 1996. _ v0i. 32. m. - P. 985-999.

[48] Поляк В. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука. — 2002. — 303 с.

[49] Поляк Б. Т., Хлебников М.В., Щербаков П. С. Управление линейными системами при внешних возмущениях. Техника линейных матричных неравенств. — М.: ЛЕНАНД. — 2014. — 560 с.

[50] Соколов В. Ф. Оценка качества робастной системы управления при неизвестных верхних границах возмущений и помехи измерений // Автоматика и телемеханика. — 2010. — №9. — С. 3-18.

[51] Граничим О. Н., Фомин В. П. Адаптивное управление с использованием пробных сигналов // Автоматика и телемеханика. — 1986. — №2. - С. 100-112.

[52] Граничим О. П. Об одной стохастической рекуррентной процедуре при зависимых помехах в наблюдении, использующей на входе

пробные возмущения // Вестник Ленинградского университета. — 1989. _ Сер. 1, Вып. 1, №1. - С. 19-21.

[53] Граничин О. П. Процедура стохастической аппроксимации с возмущением на входе // Автоматика и телемеханика. — 1992. — №2. - С. 97-104.

[54] Поляк Б. Т., Цы,баков А. Б. Оптимальные порядки точности поисковых алгоритмов стохастической аппроксимации // Проблемы передачи информации. — 1990. — Т. 26 — С. 12-133.

[55] Poly a,k V. T., Tsybakov А. V. On stochastic approximation with arbitrary noise (the KW Case) // Topics in Nonparametric Estimation. _ 1992. _ V. 12. - P. 107-113.

[56] Spall J. C. Multivariate stochastic approximation using a simultaneous perturbation gradient approximation // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1992. - V. 37, №3. - P. 332-341.

[57] Spall J. C. A one measurement form of simultaneous perturbation stochastic approximation // Automatica. — 1997. — V. 33. — P. 109112.

[58] Campi M.. Ko S., Weyer E. Non-asymptotic confidence regions for model parameters in the presence of unmodelled dynamics // Automatica. - 2009. - V. 45 - P. 2175-2186.

[59] Campi M.. Weyer E. Non-asymptotic confidence sets for the parameters of linear transfer functions // IEEE Trans, on Automatic Control. - 2010. - P. 2708-2720.

[60] Граничин О. П. Неасимптотическое доверительное множество для параметров линейного объекта управления при почти произвольных помехах // Автоматика и телемеханика. — 2012. — №1. — С. 24-35.

[61] Kieffer M.. Walter E. Guaranteed characterization of exact non-asymptotic confidence regions as defined by LSCR and SPS // Automatica. - 2013. - V. 49. - P. 507-512.

[62] Blanchini F., Sznaier M. A convex optimization approach to synthesizing bounded complexity hinf filters // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2012. - Vol. 57. №1. - P. 219-224.

[63] Campbell J. D., Ferguson W.G. The temperature and strain-rate dependence of shear strength of mild steel // The Philosophical Magazine. - 1970. - V. 21. P. 63-82.

[64] Rosakis A. J., Duffy J., Freund L. B. The determination of dynamic fracture toughness of alsi 4340 steel by the shadow spot method //J. Mech. Phys. Solids. - 1984. - V. 32, №4. - P. 443-160.

[65] Shockey D. A., Seaman L., Curran D. R. Material behavior under high stress and ultrahigh loading rates // Springer US, New York. — 1983. _ 278 p.

[66] Johnson G. R., Cook W. H. Fracture characteristics of three metals subjected to various strains, strain rates, temperatures and pressures // Engineering Fracture Mechanics. — 1985 — V. 21. — P. 31-48.

[67] Nikiforovsky V. S., Shemyakin E. I. Dynamic fracture solids. — Nauka, Novosibirsk. — 1979. — 272 p.[in Russian],

[68] Ravi-Chandar K. Experimental challenges in the investigation of dynamic fracture of brittle materials // Physical Aspects of Fracture. NATO Science Series, Ser. II : Mathematics, Physics and Chemistry.^ 2001. - V. 32. - P. 323-342.

[69] Kalthoff J. F., Winder S. Failure mode transition at high rates of shear loading. - 1987. Y.5. - P. 161-176.

[70] Kanel G. I., Razorenov S. V., Baumung K., Singer J. Dynamic yield and tensile strength of aluminum single crystals at temperatures up

to the melting point // Journal of Applied Physics. — 2001. — V. 90, Л-Ч. P. 136-143.

[71] Gruzdkov A. A., Petrov Y. V. Cavitation breakup of low- and high-viscosity liquids // Technical Physics. — 2008. — V. 53, №3. — P. 291-295.

[72] Pugno N. M. Dynamic quantized fracture mechanics // International Journal of Fracture. - 2006. - V. 140, №1-4. - P. 159-168.

[73] Ширяев A. H. Вероятность. — M.: Наука. — 1980. — 574 с.

[74] Wang Q. Z., Zhang S., Xie H. P. Rock dynamic fracture toughness tested with holed-cracked flattened brazilian discs diametrically impacted by shpb and its size effect // Experimental Mechanics — 20Ю. - V. 50. - P. 877-885.

[75] Cho S. H., Ogata Y., Kaneco K. Strain-rate dependency of the dynamic tensile strength of rock // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. - 2003. - V. 40. - P. 763-777.

[76] Bragov A. M.. Konstantinov A. Y., Petrov Y. V., Evstifeev A. Structural-temporal approach for dynamic strength characterization of rock // Materials Physics and Mechanics. — 2015. — V. 23. — P. 61-65.

[77] Yong L., Кал X. Modelling of dynamic behaviour of concrete materials under blast loading // International Journal of Solids and Structures.^ 2004 - V. 41. - P. 131-143.

Приложение 1. Акт о внедрении в научно-исследовательский центр "Динамика"

АКТ

о внедрении результатов диссертационной работы Волковой М.В. в методы обработки результатов динамических испытаний

Настоящий акт составлен о том, что результаты диссертационной работы Волковой М.В «Рандомизированные алгоритмы оценивания параметров инкубационных процессов в условиях неопределенностей и конечного числа наблюдений» используются при разработке новых стандартизированных методик определения значений механических прочностных характеристик материалов.

Работа посвящена методам оценки неизвестных значений различных модельных параметров по малому числу наблюдений с достаточно слабыми предположениями о свойствах произвольных помех. Такого рода вопросы по оценке очень часто возникают в области механики сплошных сред и. в частности, при решении динамических задач механики разрушения, так как обычно для анализа результатов испытаний имеется не так много экспериментальных ,очек. Это связано с тем, что динамические испытания проводятся на достаточно сложном экспериментальном оборудовании, требующем очень тщательной и зачастую длительной подготовки к каждому испытанию. Для того, чтобы зарегистрировать процессы с микросекундными длительностями требуется проработать схему эксперимента до малейших деталей, и в дальнейшем неукоснительно следовать каждому из её пунктов.

В настоящее время в научно-исследовательском центре «Динамика» развивается структурно-временной подход, который уже на протяжении 30 лет успешно применяется для различных задач по определению предельных характеристик в различных переходных процессах, инициированных интенсивными динамическими импульсами. Для более широкого использования разрабатываемых методов, была создана «облачная» база алгоритмов, позволяющая пользователю без специальных знаний удалённо решать свои прикладные задачи. Рандомизированные методы, предлагаемые в диссертации Волковой М.В., используются в вышеупомянутых алгоритмах. Также считаю, что они могут стать одной из важнейших составляющих при разработке новых стандартов по определению значений динамических прочностных параметров различных материалов.

Заведующий отделом «экстремальных состояний

. ________________X... О Л О

Ю.В. Петров