Задачи доверительного оценивания и управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Тимофеева, Галина Адольфовна

• Тимофеева, Галина Адольфовна
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тимофеева, Галина Адольфовна

Введение.

1. Оценивание состояния статистически неопределенной многошаговой системы

§ 1.1.Постановка задачи и обзор процедур оценивания состояния многошаговой системы.

§ 1.2.Принцип максимума правдоподобия для статистически неопределенной системы.

§ 1.3.Оценивание параметров линейной модели при неполной статистической информации.

2. Обобщенные доверительные множества и линейные процедуры оценивания

§ 2.1.Статистически неопределенный случайный вектор (основные определения).

§ 2.2.Свойства обобщенных доверительных множеств

§ 2.3.Обобщенные доверительные множества для статистически неопределенного нормального вектора.

2.3.1. Одномерное распределение.

2.3.2. Распределение n-мерное, множество средних значений - шар.

2.3.3. Множество средних значений - эллипсоид.

2.3.4. Множество средних значений - параллелепипед.

2.3.5. Множество возможных средних - отрезок.

2.3.6. Оценки сверху обобщенных доверительных множеств . . . . . —

2.4.Доверительные оценки фазового состояния статистически неопределенной системы без наблюдения

2.5. Линейные процедуры доверительного оценивания для системы с наблюдением.

3. Задачи управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации

§ 3.1.Прямая и обратная задачи стохастического управления в условиях неполной статистической информации

§ 3.2.Переход к детерминированной задаче.

§ 3.3.Задача об оптимальной линейной оценке с квантильным критерием.

§ 3.4.Задача о выборе оптимальных параметров взлетнопосадочной полосы.

§ 3.5.Субоптимальные решения в задаче стохастической оптимизации с квантильным критерием.

4. Доверительные оценки для статистически неопределенных систем с наблюдением

§ 4.1. Основные обозначения и определения.

§ 4.2. Свойства множеств возможных значений случайного параметра.

§ 4.3. Построение доверительных множеств как задача квантильной оптимизации.

§ 4.4.Оптимальные доверительные множества в статистически неопределенной задаче оценивания

§ 4.5. Информационные множества многошаговой системы с неслучайными возмущениями различного вида

§ 4.6.Нелинейные доверительные оценки для систем с наблюдением

4.6.1. Случай связанных квадратичных ограничений

5. Сопряженные задачи линейной стохастической оптимизации.

§ 5.1. Двойственные задачи стохастической оптимизации.

§ 5.2. Экономическая интерпретация двойственных переменных.

§ 5.3. Многошаговая задача эффективного управления.

§ 5.4. Эффективные решения в линейной модели роста цен

§ 5.5. Динамическая задача управления инвестиционным портфелем в условиях неполной информации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи доверительного оценивания и управления с квантильным критерием в условиях неполной статистической информации»

Математическая формализация задач оценивания связана с принятыми в каждом отдельном случае информационными условиями, в которых происходит функционирование объекта и процедура измерения. Здесь возможны различные подходы: классические- статистический и детерминированный, и смешанные.

При статистическом подходе все неизвестные возмущения в системе и в измерении формализуются как случайные величины или случайные процессы с известными распределениями или по крайней мере с известными моментами распределений. Задача оценивания параметров линейной модели в таких предположениях является одной из классических задач математической статистики [95], и детально исследовалась в [1].

Основополагающим результатом решения классической задачи оценивания состояния линейной динамической системы, возмущения в которой описываются гауссовскими случайными величинами с известными параметрами распределений, являются соотношения фильтра Р. Калмана [148]. Большое число исследований посвящено задачам управления и оценивания для систем со случайными возмущениями в том числе обобщению соотношений фильтрации на случаи нелинейной системы, коррелированных возмущений, негауссовских распределений, задач с запаздыванием и т.д. Наиболее важные результаты в этой области получены в работах И.И. Гихмана, А.В.Скорохода [16], Р.Ш. Липцера, А.Н. Ширяева [66], В.С.Пугачева, И.Н. Синицина [90]; А.Д. Мышкиса, В.Б. Колманов-ского, Ф.Л. Черноусько [158, 124], Э. Сейджа, Дж. Мелза [97], У. Флеминга, Р. Ришела [119] и др.

Другой подход основан на предположении о полном отсутствии статистической информации о возмущениях. В этом случае возмущения формализуются как детерминированные величины или функции, информация о которых исчерпывается заданием ограничений на их возможные значения. Решение задач оценивания при неопределенных возмущениях основывается на минимаксном подходе к задачам управления и оценивания в условиях неопределенности, восходящем к работам академика Н.Н.Красовского [54]-[56]. Фундаментальные результаты, связанные с исследованиями информационных множеств динамических систем, получены академиком А.Б. Кур-жанским [59]—[62], [159]—[163].

Эффективные методы решения задач управления и оценивания в условиях неполной информации получены в работах Б.Ц. Бахши-яна, А.В. Кряжимского , А.А. Меликяна, P.P. Назирова, Ю.С. Оси-пова, В.С.Пацко, Б.Н.Пшеничного, В.Г. Покотило, А.И. Субботина, Н.Н. Субботиной, A.M. Тарасьева, В.Н. Ушакова, Ф.Л. Черноусько, П.Э.Эльясберга и др. [10, 78, 83, 92, 93, 101, 118, 123, 125, 129, 181].

Задача неклассического оценивания состояния стохастической динамической системы, то есть задача оценивания в условиях неполной информации о распределении случайных возмущений, изучалась с 60-х годов на основе минимаксного и робастного подходов в работах Н.Н. Красовского, МЛ. Лидова, Ф. Швеппе [53, 64, 178].

Процедуры оценивания состояния многошаговой системы на основе описания динамики множеств апостериорных средних были получены в работах И.Я. Каца и А.Б. Куржанского [35, 36, 32]. Основой для развития методов оценивания статистически неопределенных систем стали результаты теории управления и наблюдения в условиях неполной информации [59]. Развитию этого подхода посвящены исследования учеников А.Б. Куржанского: Б.И. Ананьева, М.И. Гусева, И. А. Дигайловой, Е.К. Костоусовой, А.С. Кощеева, С.Н. Круг-ликова, О.И. Никонова, И.С. Сивергиной, Т.Ф. Филипповой и др. [5, 17, 18, 21, 27, 57, 49, 50, 51, 76, 62, 61].

Параллельно в работах МЛ. Лидова, В.Б. Колмановского, А.И. Матасова развивалась теория нахождения оптимальных линейных оценок'для состояния статистически неопределенных систем [65, 48, 167] и др. Работы А.Р. Панкова, К.В. Семенихина и В.Н. Соловьева [79, 80, 99] посвящены рассмотрению задачи.оптимального линейного оценивания параметров при различных видах неопределенности в задании параметров и возмущений.

Методы решения задач оценивания и оптимизации в условиях неполной статистической информации, предлагаемые Б.Т. Поляком и Я.З. Цыпкиным [89, 121, 122], базируются на робастном подходе предложенном Хьюбером [120].

Обзоры основных результатов в задаче оценивания состояния динамической системы в условиях неполной информации приведены в [60, 159, 168].

Отдельное место в теории оценивания линейных динамических систем занимают двойственные соотношения между задачами управления и наблюдения, которые позволяют решать задачи задачи управления и оценивания параллельно [54, 58, 34].

В отличии от задач оценивания для систем с детерминированными возмущениями, в которых процедуры оценивания опираются на построение информационных множеств [52], задачи оценивания со случайными возмущениями даже в случае полной информации о распределениях допускают различные подходы: байесовсое оценивание, метод минимизации дисперсии оценки, метод максимального правдоподобия, построение доверительных множеств [33].

Задачи построения доверительных оценок и задачи управления с квантильным критерием тесно связаны. Для одного и того же случайного вектора существует целое семейство доверительных множеств заданного уровня вероятности, и выбор конкретного доверительного множества основан, как правило, на использовании множеств уровня целевого функционала. Таким образом, задача доверительного оценивания приводит к задаче стохастической оптимизации с квантильным критерием. С другой стороны, эффективным методом решения задач квантильного управления является метод сведения их к обобщенным детерминированным задачам с оптимальным выбором доверительных множеств, предложенный В.В. Малышевым и А.И. Кибзуном [68].

В настоящее время задачи стохастического управления с вероятностным и квантильным критерием составляют интенсивно развивающуюся область исследований. Во многих практических задачах оптимального управления оценивания в технике и экономике, нет оснований выбирать решение, оптимизирующее среднее значение, так как решение принимается лишь однократно. Это ведет к тому, что традиционные методы стохастического программирования [23] приводят к неудачным с практической точки зрения решениям. Задачи стохастического управления с квантильным критерием исследуются, начиная с [149]. Качественное исследование задач управления с квантильным и вероятностным критерием базируется на изучении свойств функций квантили и вероятности, таких как монотонность, непрерывность по аргументу и управлению, диффе-ренцируемость, квазивыпуклость и квазивогнутость. Эти свойства систематически исследовались российскими и зарубежными математиками [28, 29, 30, 68, 172, 94, 130, 155] и др.

Задачи выбора управлений, оптимизирующих квантиль целевого функционала в условиях неполной информации о параметрах распределений изучались в работе [10], там же была сформулирована проблема эквивалентности задач максимизации вероятности непревышения заданного уровня и задачи минимизации квантили целевого функционала. В исследованиях [68] были получены достаточные условия эквивалентности прямой и обратной задач стохастического управления в условиях полной статистической информации.

Задачи стохастической оптимизации и управления, связанные с моделями финансового анализа, в том числе с задачей управления инвестиционным портфелем, представляют в настоящее время отдельную, интенсивно развивающуюся область теории стохастического управления. Основополагающими результатами в этом направлении являются теория инвестиционного портфеля Г. Марковича [165, 166], Дж. Тобина [188], В. Шарпа[177, 126], Е. Элтона и F. Грубера [144], модель геометрического роста цен П. Самуэльсона [176] и результаты Р. Мертона [169,170], описывающие оптимальные управления в динамической задаче реструктуризации инвестиционного портфеля. Обзоры исследований задач финансового анализа приведены, например, в [143, 164].

В соответствии с подходом F. Марковича, оптимальным является портфель, ожидаемая доходность которого фиксирована, а дисперсия реальной доходности.минимальна. Однако, в настоящее время приобрели популярность вероятностные и квантильные критерии оптимальности инвестиционного портфеля, такие как Var (Value-at-Risk). Исследованию задачи оптимального выбора инвестиционного портфеля по квантильному критерию посвящены работы [189, 173]. Случай неполной информации о распределениях доходностей активов исследуется в работе [139].

Переход к сопряженной задаче традиционно используется при решении задач линейного оценивания и управления. Методы линейного оценивания в условиях неполной статистической информации, основанные на свойствах сопряженных задач квадратичного программирования, рассматривались в Соловьевым В.Н., Панковым А.Р., Семенихиным К.В. [99, 100, 80]. В ряде недавно опубликованных работ [81, 82] при решении задач финансового анализа, в том числе с неполной статистической информацией, используется решение сопряженной задачи.

Особенностью рассмотренного в диссертации подхода является совместное рассмотрение задач линейной стохастической оптимизации и задачи уточнения параметров рапределения. Полученные результаты аналогичны соотношениям двойственности между задачами управления и оценивания в теории управления и наблюдения в условиях неопределенности, полученных в исследованиях Н.Н. Кра-совского и А.В. Куржанского [55, 59].

В диссертационной работе предлагаются нелинейные методы оценивания состояния статистически неопределенных систем. Для оценивания состояния статистически неопределенной системы используется метод максимального правдоподобия, приводящий к задаче миминимизации функции невязки.

В работе исследуются задачи построения доверительных оценок для случайного вектора, распределение которого точно не задано и зависит от неопределенного параметра. Введено понятие обобщенного доверительного множества для статистически неопределенного случайного вектора, исследованы свойства таких множеств. Полученные соотношения используются для построения линейных процедур доверительного оценивания состояния многошаговой системы в условиях неполной статистической информации.

Показано, что доверительные множества, полученные с помощью линейных процедур, могут быть уточнены на основе детального рассмотрения множеств возможных значений случайных возмущений, совместимых с реализовавшимся наблюдением. Оптимальные доверительные оценки находятся с помощью решения соответствующей задачи квантильной оптимизации. Следует отметить, что нелинейные процедуры оценивания дают значительное улучшение оценок лишь при относительно малых дисперсиях случайных составляющих. Получение процедуры оценивания требуют большого объема вычислений, но приводят в ряде случаев к значительному сужению доверительных областей по сравнению с рассматриваемыми ранее линейными процедурами.

Для уменьшения объема вычислений найдены более простые процедуры оценивания, дающие достаточно точные оценки сверху для оптимальных доверительных областей. Показано, что доверительные оценки состояния многошаговой линейной системы в условиях неполной статистической информации сходятся при стремлении матриц ковариации к нулю к информационному множеству системы без случайных возмущений.

В диссертационной работе исследуются задачи стохастического управления с квантильным и вероятностным критерием в условиях неполной статистической информации. Получены достаточные условия эквивалентности прямой и обратной задач, уточняющие результаты [10]. Обобщенный минимаксный подход к задачам кван-тильного управления [68] перенесен на случай неполной статистической^ информации, то есть задача с квантильным критерием в условиях неполной информации сведена к эквивалентной детерминированной с оптимизацией по обобщенным доверительным множествам. Показано, что подход к решению задач квантильного управления в условиях неполной информации, основанный на объединении доверительных множеств, соответствующих различным значениям неопределенного параметра [68], приводит во многих случаях к неоптимальному значению критерия. Рассмотрены примеры решения прикладных задач стохастического управления с квантильным критерием в условиях неполной информации на основе полученных соотношений.

В работе исследуются свойства сопряженных задач линейной стохастической оптимизации, связанные с уточнением параметров распределения. Предлагается экономическая интерпретация сопряженных переменных для задачи об оптимальном выборе инвестиционного портфеля.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37]-[44], [104]- [115], [150]- [154], [182]- [187].

Результаты исследований докладывались на международных конференциях и семинарах: в Киеве на конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" в Л992 году; в Минске на. международной конференции "Устойчивость, управление, оптимизация'^ 1993 году; на международных семинарах "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации"в Челябинске в 1993 году и в С.-Петербурге в 1995 году; на конференциях "Математическое программирование и приложения"в Екатеринбурге в 1997 и

2003 годах; на конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения"в Челябинске в 1999 году; на международной конференции "Нелинейный анализ и интегральные уравнения"в Воронеже в 2000 году, на семинарах IFAC "Control Application of Optimization'^ Хайфе (Израиль) в 1995 году и в С.-Петербурге в 2000 году, на симпозиуме IFAC "Nonlinear Control Systemsmb С.-Петербурге в 2001 году; в Созополе (Болгария) на международной конференции по математическим методам в исследовании операций в 1997 году; в Берлине (Германия) на Всемирном конгрессе математиков в 1998 году и на конференции по стохастическому программированию в 2001 году [37, 38, 39, 42, 104, 106, 108, 150, 151, 152, 153, 183, 154, 184, 185, 187, 115].

Диссертация состоит из 5-ти глав и Приложения, содержит 17 рисунков и 5 таблиц, список литературы содежит 194 наименования.

В первой главе диссертации рассмотрен метод максимального правдоподобия для оценивания состояния статистически неопределенной многошаговой системы. Показано, что применение метода максимального правдоподобия приводит к задаче минимизации функции невязки, а полученные оценки, построенные по методу максимального правдоподобия, совпадают с информационным множеством детерминированной системы, соответствующем реализовавшемуся наблюдению, в случае, если это множество не пусто.

В §1 первой главы описана постановка задачи оценивания фазового состояния многошаговой статистически неопределенной системы, приведен обзор основных известных методов оценивания статистически неопределенных систем. Сформулируем основную задачу оценивания, рассматриваемую в этой главе.

Задача 1. Рассмотрим линейную многошаговую систему с наблюдением:

Здесь Х{ - неизвестный га-вектор состояния,, у; ~ известный тп-вектор наблюдения. Помехи гц, <го являются независимыми гаус-совскими случайными величинами с известными моментами распределения

Xi+i = AiXi + щ + xo = XQ + Co, yi+1 = Gi+iXi+i + vi+1 + rji+i, i = 1,., к - 1.

1)

Es0 = 0, E^ = P0t

Ей = 0, Er)i = 0, Etel = Qh Erjwl = Щ> 0.

Информация о величинах хо, щ, иг- исчерпывается заданием множеств их возможных значений: щ е щ, Vi е Vi, х0 е Хо (з) здесь Ui С Rn, Ц С Rm, Х0 С Еп - выпуклые компакты.

Обозначим Е(хк \ yk(-),wk) условное математическое ожидание фазового состояния системы на к-тои шаге при условии, что реализовалось наблюдение ук{-) = {уи * • •, Ук} и значение неопределенных парамеров фиксированы: wk = {£0, но,., ик-1, vi,., vk] G Wk С R', х Uo х . х Uk-i x V\ x . x Vk, I — n + nk mk.

Для оценивания состояния системы (1) в [35] предложено использовать Хк - множество апостериорных средних значений, то есть объединение по всем возможным значениям неопределенных параметров условных математических ожиданий: хк = (J Е{хк | ук{-),т)

Множества Хк определяются из линейных рекуррентных уравнений [35].

Наряду с системой (1) будем рассматривать динамическую систему, не содержащую случайных возмущений xi+1 = A-i^i + Щ, Xq = Xq, , .ч yi+1 = Gi+ixi+i + vi+i, i.= 0,., к - 1 где информация о векторах xo,ui,Vi задается включениями (3).

Определение 1. [59]. Информационным множеством Х%еЪ системы (4) на к-м шаге, соответствующем наблюдению ук{-), называется множество векторов х\ G Еп таких, что существуют х\ G En; xl е Х0, и\ G Ui} v*i+l G Vi+i, г = 0,., k - 1, для которых верны соотношения (4).

В §2 для оценивания состояния статистически неопределенной системы (1)-(3) используется метод максимального правдоподобия, применение которого для случая неполной статистической информации было предложено в работе [41].

Априорно неслучайные величины хо,., хк, xq, щ,., ик-\, v\,., vk имеют к моменту t = к вероятностные взаимосвязи, определяемые системой (1) и реализовавшимся наблюдением ук{-) — {У\, • • • 5 У к} • Эти взаимосвязи особенно ярко проявляются в случае, когда разброс случайных помех мал по сравнению с размерами областей неопределенности неслучайных возмущений. Вектор zk = {яо> • • • £<ь «о» • • •, Щ-ъ vu • • • > vk} имеет усеченное нормальное распределенное с вырожденной матрицей ковариации в пространстве R*1, = пк + n +1. Ранг ковариационной матрицы составляет I = пк + тк + п < Распределение усеченное, так как на часть координат вектора zk наложены геометрические ограничения (3).

Далее будем предполагать, что ковариационные матрицы Pq, Qi, Ri невырождены. Рассмотрим функцию невязки, которая зависит от реализовавшегося наблюдения Ук{')'

Ф(хк(-),гпк | ук(-)) = (х0 - xo)tPq\xo - £0)+ к

- AiXi - Ui)TQil х (xi+i - AiXi - щ)+ (5) г=0 yi+1 - Gi+iXi - vi+i)TRi1(yi+i - Gi+iXi - vi+i)].

Здесь Xk(-) = {xo,.,Xk;} G Rn(fc+1) - вектор фазовых состояний, Wk = {£0, щ,., Uk-iyVi,., Vk}-E Wk Cl1- вектор неопределенных параметров.

Для фиксированного значения неопределенных факторов w*k £ Wk и заданного наблюдения ук{') выполняется соотношение

Ф(х0,. .,xk,w*k | ук(-)) = с- lnf(x0).,xk]wl | Ук(')), где f(xо,., хк, w*k | Ук{'))~ совместная многомерная условная плотность распределения векторов {^i,., хк~\ при заданных w*k, ук{-).

Так как параметры хо, щ, V{ априорно не заданы, а известны лишь ограничения на области их возможных значений, то функция f(xk(-), Wk | Ук(-)) может рассматриваться, как функция правдоподобия для величины zk = {xk(-),wk} на множестве Rn+nk х Wk С М!1, т.е. с учетом ограничений (3).

В качестве оценки состояния статистически неопределенной системы (1) - (3) на к-тои шаге будем брать хк, доставляющее минимум функции ip(xk) = mm p(xk,wk | ук{-)), (6)

Wk&Wk где p(xk,wk\ Ук('))= min Ф(х0,.,хк,ь)к\ Ук(-)). (7)

Хо,-.,Хк-1

Определение 2. (стр. 55) Множество Хк минимумов функции ф(хк), определяемой соотношениями (5)-(7) будем называть оценкой по методу максимального правдоподобия для фазового состояния статистически неопределенной системы (1)-(3):

Хк = Ащттф(хк) = {хк <Е Мп : ф{хк) = ттф(хк)}. хк

Сформулируем основные утверждения, доказанные в §2.

Теорема 1. (стр. 57) Если информационное множество Xket детерминированной системы (4), соответствующее данному наблюдению у к{-)} не пусто, то выполняется соотношение

V v"det

Лк - Лк .

В отличие от случая полной статистической информации, максимум функции правдоподобия (и минимум функции невязки) может быть неединственным. В следующей теореме сформулированы достаточные условия единственности оценки по методу максимального правдоподобия.

Теорема 2. (стр. 58)Пусть множества возможных значений , неопределенных параметров Хо, Щ,., Uk-1, Vi,., Vk строго выпуклы в пространствах соответствующих размерностей, и информационное множество детерминированной системы найденное по данному наблюдению, пусто. Тогда множество минимумов функции невязки Хк состоит из одной точки.

Далее в §2 рассмотрены модельные примеры построения оценок по методу максимального правдоподобия для статистически неопределенных систем, проведено сравнение оценок, полученных различными способами.

§3 посвящен задаче идентификации параметров линейной модели на основе подхода, изложенного в §2, в нем рассматривается задача оценивания параметров линейной модели у = ах + 6, где (а, 6) € R2 - вектор параметров, у - значение функции, х -аргумент.

Предполагается, что значения функции измеряется неточно yi = axi + Ь + щ + г = 1,., к, (8) а ошибка измерения состоит из неопределенной составляющей щ и случайной несмещенной гауссовской ошибки & с известной дисперсией:

ЕЬ = 0, Е$ = al = 0, t ф j. (9)

Относительно величин щ известно лишь, что они могут принимать произвольные значения из отрезков Uf. щ G Ui = {u6t1: \и\ < А{}. (10)

Статистически неопределенная модель (8)-(10) может рассматриваться, как частный случай задачи (1)-(3). Имеет место следующее утверждение, вытекающее определения множества наиболее вероятных значений и функции невязки (5)-(7).

Теорема 3. (стр. 67)Множество А& наиболее вероятных значений параметров (а, 6) совпадает с множеством минимумов функции невязки к

И) i=1 где fi(z) = min (z - щ)2 • <rf 2 = (max{0,\z\ - Д«}) Vf2. (12) Ы<Д«

Наряду со статистически неопределенной моделью (8)-(10) рассмотрим, как и раньше, модель, не содержащую случайных возмущений: yi = axi + Ь{ + щ, г — 1,., к. (13)

В соответствии с определением информационное множество Af.et = значений параметров модели (13), (10) равно fcet = (M) : \Vi-axi—b\ <Ai,i = l,.,k}. (14)

Из теорем 1- 2 следует следующее утверждение.

Теорема 4. (стр. 68) Если информационное множество детерминированной модели непусто, то Aj~ = A%et. Если Afet = 0, то множество наиболее вероятных значений параметров состоит из единственной точки (а*, &*).

Далеее рассмотрен численный метод нахождения мнжества наиболее вероятных значений параметров модели Ak, доказана его сходимость. Приведен пример построения множества А)~.

Описан также алгоритм анализа совместности набора измерений с моделью измерений, не содержащей случайной составляющей, базирующийся на статистически неопределенной модели возмущений.

Вторая глава диссертации посвящена построению доверительных множеств для статистически неопределенного случайного вектора и линейных доверительных оценок фазового состояния статистически неопределенной системы.

В §1 второй главы, для удобства рассмотрения, формализовано понятие статистически неопределенной случайного вектора, и введено понятие обобщенного доверительного множества для такого случайного вектора.

Пусть задано вероятностное пространство (Г2,Л, Р). Обозначим вы сг-алгебру борелевских множеств на Rn.

Определение 3. (стр. 76) Пусть Z - замкнутое, связное, ограниченное множество из М.т, содержащее более одной точки. Статистически неопределенным случайным вектором £(си, Z) будем называть семейство случайных векторов {£(a>,2:)|z £ Z}, если выполняются следующие условия:

1) для любого z € Z отображение £(cj,z) - случайный вектор, т.е. для любого В et3(n) множество {и : f (w, z) G В} е Л.

1.7

2) для любого борелевского В € В^ вероятность pz(B) = P{z(u,z)eB} непрерывно зависит от z.

В случае п = 1 статистически неопределенный случайный вектор будем называть статистически неопределенной случайной величиной.

Обозначим через Z) £ X} минимальную вероятность

V{£{l;, Z) G X} = z) € X}. z£Z

Определение 4. (стр. 77) Измеримое множество Ха С будем называть обобщенным доверительным множеством уровня а для статистически неопределенного случайного вектора Z), если V{£(uj, Z) € XQ} = а.

Как и обычные доверительные множества, обобщенные доверительные множества определяются неоднозначно, то есть фиксированному уровню вероятности а соответствует целое семейство обобщенных доверительных множеств.

В §2 второй главы рассмотрены свойства обобщенных доверительных множеств, проведено сравнение обобщенного доверительного множества и объединения обычных доверительных множеств, построенных для всех возможных значений неопределенного параметра.

Пусть Z) - статистически неопределенный случайный вектор, Xf - семейство доверительных множеств уровня а, то есть

Обозначим через Ха объединение доверительных множеств:

Ха = U (15) zez

Теорема 5. (стр. 79) Если объединение доверительных множеств Ха измеримо, то оно является обобщенным доверительным множеством уровня c^i > а для статистически неопределенной случайной величины Z), причем ol\ = а тогда и только тогда, когда существует z* 6 Z такое, что P{£(d,z*) 6 Ха} = а.

Из теоремы 5 следует, что во многих случаях объединение доверительных множеств не является обобщенным доверительным множеством и может быть сужено при построении доверительных оценок статистически неопределенного случайного вектора.

Следствие 1. (стр. 80) Пусть <p(x,z) - непрерывная функция RnxZ —> К1 и распределение случайной величины г)(ш) = c/?(£(tu, z), z) не зависит от z. Если существует z* такое, что для всех х 6 Мп выполняется min <p(x,z) = (p(x,z*), z£Z тогда множество Ха =■ {х : ф(х) < yq} является обобщенным доверительным множеством уровня а. Здесь ф(х) = тик/^ж, z), уа - квантиль уровня а для случайной величины t}(uj).

Условия следствия 1 связаны прежде всего с видом доверительных множеств. Для одного и того же статистически неопределенного вектора объединение доверительных множеств может быть обобщенным доверительным множеством того же уровня или более высокого уровня доверия, в зависимости от вида доверительных множеств. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие доказанные соотношения.

Статистически неопределенный случайный вектор Z) будем называть непрерывным, если для любого z Е Z случайный вектор z) имеет абсолютно-непрерывную функцию распределения, то есть у него существует плотность распределения.

Более точно соотношения между обобщенными доверительными множествами и объединением доверительных множеств отражены в следующей теореме.

Теорема 6. (стр. 81) Пусть Ха - обобщенное доверительное множество уровня а для статистически неопределенной непрерывной случайной величины ^(ш, Z), тогда существует семейство доверительных множеств {X*(z), z е Z} уровня а таких, что

1) P{a^ z) G X*(z)} = а для любого z 6 Z;

Ю U X*(z) = Ха; z&Z

3) существует z* £ Z такое, что X^(z*) = Ха.

Далее полученные соотношения уточняются для случая двух неопределенных параметров.

Теорема 7. (стр. 83) Пусть статистически неопределенный случайный вектор зависит от неопределенных параметров и и v:

С/, V) = и, v) | и G U, v G У}, где U и V - заданные связные компактные множества. Пусть Ха(и) ~ обобщенные доверительные множества уровня а для статистически неопределенных случайных величин iu{u,V) = {Z(u>,u,v) \veV} полученных при фиксированном значении и , т.е. min и, v) € Ха(и)} = а. vev

Если Ха = (J Ха(и) измеримо, то оно является обобщенным доиеи верительным множеством для £(u>, U, V) уровня ai > а.

Отметим, что для множества V, состоящего из одной точки, теорема 7 является следствием теоремы 5.

Следствие 2. (стр. 84) Пусть статистически неопределенный случайный вектор имеет вид

1(07, z) = {z + fH \ zGZ},

Z = U + V и Ya{V) ~ обобщенное доверительное множество уровня а для случайной величины fj(cj,V) = {v + | v Е V}. Тогда Ха = U + Ya{V) ~ обобщенное доверительное множество для £(u),z) уровня ах > а.

Теорема 7 и следствие 2 позволяют уточнять обобщенные доверительные множества, представляя, например, множество возможных значений параметров Z в виде суммы двух множеств, одно из которых имеет стандартный вид (шар, куб, эллипсоид и т.п.). Такой подход применяется в §3 при построении доверительных для нормально распределенного случайного вектора с неточно известным средним значением.

Рассмотрение свойств обобщенных доверительных множеств завершается важным следующим утверждением.

Теорема 8. (стр. 85) Пусть

1) £(си,Х) = {г)(и>) + х | х Е X}-статистически неопределенный случайный вектор, rj(uS) - непрерывная случайная величина с заданной плотностью распределения /о(я);

2) плотность fo(x) > 0 для всех х Е Шп;

3) X - заданный выпуклый компакт, содержащий более одной точки;

4) Ва(0)- выпуклое ограниченное доверительное множество уровня а £ (cki; 1) случайной величины г){ио), где а\ = V{£(uJ,X) Е X};

5) 0 e int(Ba(0)).

Тогда найдется е Е (0; 1), такое что X + еВа(0) является обобщенным доверительным множеством уровня а статистически неопределенного случайного вектора

§3 второй главы посвящен построению обобщенных доверительных множеств для гауссовского случайного вектора с неточно известным средним значением, приведены примеры построения таких множеств для различных видов множества возможных средних значений. Кроме того, найдены оценки снизу и сверху для обобщенных доверительных множеств уровня а.

Теорема 9. (стр. 87) Для любого выпуклого замкнутого обобщенного доверительного множества Ха статистически неопределенного гауссовского вектора fj(и, X) выполняется

X + E(0,Q,ta^5)cXa, (16) где E(0,Q,ta-o^) = {х : xTQ~1x < t2aQb}, *а-о.5 ~ односторонняя квантиль уровня а нормального распределения: t

Ф( V0.5) = а - 0.5, Ф(*) = -j=f; e~*dt. (17) о

Отметим, что эллипсоид Е(0, Q, £«-0,5) не является доверительным множеством уровня а для г](ш), так как ta—0,5 < ТЬ^), гДе та(п) - радиус эллипсоида рассеяния

Ха(х) =Е(0; g,re(n)) = {х : xTQ~lx < r2(n)}, (18) Та(п) ~ квантиль уровня а распределения х2 с п степенями свободы.

Далее найдены обобщенные доверительные множества для различных стандартных видов множеств возможных средних: отрезок, шар, параллелепипед и др.

На основе построенных стандартных обобщенных доверительных множеств найдены оценки сверху для доверительных оценок статистически неопределенного гауссовского вектора с произвольным выпуклым множеством средних значений и с множеством средних в виде эллипсоида.

Теорема 10. (стр. 96) Пусть fj(co,X) = {х + 77(0;) | х Е X}, где rj(uj) - гауссовский случайный вектор Ег) = 0, Ег]г)т = 1,1-единичная матрица, и компактное множество X строго выпукло с параметром а, то есть для любого х Е X найдется шар радиуса Еа{х 1) = {х : — < а} такой, что х Е Еа(х\) С X. Тогда множество X = X + Ег(0) является обобщенным доверительным множеством для fj(uj, X) уровня не ниже чем а , то есть

V{rj(u,X) Е X} > а, если г = г (а, а,п) является корнем уравнения

•ф(Ь,Ь + г,п) = а, (19) tp(b,R, п) = Р{\\г}(и) + х\\ <R | р|| = Ъ} = = / / ^дехр(-0.5||Ж-^||2)^.

Er

Теорема 10 обобщается на случай произвольной матрицы ковари-ации Er]r}T = Q > 0.

Следствие 3. (стр. 97) Пусть rj(aj,X) = {х + г](ш) | х Е X}, t]{uj) - гауссовский вектор, Ег] = 0, ЕщТ = Q > 0. Если для некоторого а > 0 геометрическая разность множеств не пуста:

X - Е(0, Q, а) ф 0, (20) то множество X = X + Е(0, Q, г), где г = г (а, а, п),

Е(0, Q, r) = {xGln: xTQ~1x < г2}, является обобщенным доверительным множеством для rf(uj,X) уровня не ниже чем а.

В общем случае нахождение максимального значения а такого, чтобы выполнялось условие (20) является достаточно сложной задачей. Однако, если множество возможных средних X - невырожденный эллипсоид, то параметр а находится с использованием соотношений для аппроксимации геометрической разности двух эллипсоидов [162].

Теорема 11. (стр. 98) Для статистически неопределенного случайного п-вектора г}(ш, Х) = {х + г}{ш) | х G Е(ж0, Д, 1)}, где Е(ж0,Д, 1) = {х в Rn : (а: - xofR-^x - х0) < 1}, Е > 0; rjiyj) - гауссовский вектор с Ег] = 0, ЕщТ = Q > 0, множество X + E(0, Q, г) является обобщенным доверительным множеством уровня не ниже чем а, если г = r(a, а, п) - корень уравнения (19), и а = ^mL^min» ^min; Amajc - минимальный и максимальный корни уравнения det(Е - AQ) = 0. (21)

Построены также оценки сверху обобщенных доверительных множеств для случая произвольного выпуклого множества возможных средних значений.

Теорема 12. (стр. 98) Пусть fj(u),X) = {х 4- г](ш) \ х € X}, где t](lj) -гауссовский случайный вектор с заданными параметрами распределения

Ет/ — 0 Ет}Г]Т = Q> 0

X - выпуклый компакт из Rn. Тогда Ха = X + Е(0, Q, Ъ) является обобщенным доверительным множеством уровня не ниже чем а для fj(u,X), если b = b(a,d,n) удовлетворяет уравнению

F(a, b, п) = а, (22) ъ

F{a, b, n) = У (Ф(< + 2а) + Ф(*)) • Fxa(b2 -t2,n- 1 )dt. о

Здесь Fx2 (z, п — 1) - функция х2 распределения с п — 1 степенью свободы, d2 = dn(X) = min max(^i — X2)TQ~l{xi - X2). v x2eX Xi€X

В §4-5 второй главы исследуется задача построения доверительных множеств для фазового состояния многошаговой линейной системы, содержащей как случайные, так и неслучайные возмущения (1)-(3). Рассмотрены линейные процедуры доверительного оценивания, использующие свойства обобщенных доверительных множеств, полученные в §3.

Третья глава диссертации посвящена исследованию задач стохастического управления с квантильным и вероятностным критериями в условиях неполной информации.

§1 этой главы содержит обзор результатов, связанных с эквивалентностью прямой и обратной задач стохастического управления в случае, когда распределения случайных возмущений заданы. В этом параграфе рассмотрены также свойства функции "наихудшей"(гарантированной) квантили целевого функционала, сформулированы прямая и обратная задачи стохастического управления в условиях неполной информации, доказана теорема о достаточных условиях их эквивалентности.

Пусть требуется минимизировать функционал F(u, Z)), где и £ U - управление, Z) - статистически неопределенный случайный вектор Z) = {£(cj, z) \ z £ Z}. В соответствии с терминологией [10] сформулируем прямую и обратную задачи стохастического управления.

Прямая задача-это задача максимизации гарантированной, (т.е. наихудшей возможной при данном и £ U) вероятности того, что целевой функционал не превышает заданного уровня q: аа(и) max. (23) иеи где aq{u) = V{F{u,£{lo,Z)) < q} = mmP{F(u, z)) < q}. (24) zGZ

Другими словами, это задача нахождения оптимального значения вероятности а* — supmin aq(u,z), (25) иеи zeZ где aq(u,z) = P{F(u,€(tJ,z))<qy.

Предполагается, что для всех и £ U множества уровня Yq{u) = {у £ Шп : F(u,y) < q} измеримы. Из определения статистически неопределенного случайного вектора следует, что точная нижняя грань по z £ Z в задачах (23),(25) достигается.

Обратная задача - это задача нахождения по заданному уровню вероятности а £ (0; 1) оптимального значения "наихудшей"(гарантированной) квантили целевого функционала:

Я*а = mf sup qa(u,z), (26) zez где qa(u, z) = min{g : P{F(u, ^(w, z)) < q] > a}. (27)

При рассмотрении задач (25) и (26) возникают теоретические проблемы, связанные с существованием оптимальных управлений в этих задачах, и эквивалентностью прямой и обратной задач, т.е. совпадению оптимальных управлений в задаче (25) и (26) при соответствующих значениях параметров q и а.

Отметим, что задача (25) не сводится в общем случае к задаче квантильного управления с полной информацией для "наихуд-шего"значения целевого функционала. Пусть функция F(u, z)) представима в виде

F(u, z)) = Fi(u, z, г}(ш)), где 7](lj) - случайный вектор с известным распределением, z € Z -неопределенный неслучайный параметр.

Лемма 1. (стр. 110) Для любых u £ U выполняется неравенство: aq{u) > aq(u), (28) где о:q(u) -наихудшее значение вероятности (24) при данном и £ U, ая(и)~ вероятность непревышения заданного уровня q aq(u) = P{F(u,V(u))<q}, (29) для функции максимума

F(u,y) = msx.Fi(u,z,y). z£Z

Обозначим qa(и) функцию "наихудшей"(гарантированной) квантили

Яа(и) = maxga(w, z). (30)

Отметим, что свойства функции aq(u, z) определяются распределениями случайных величин z), видом функционала F{u,y) и множествами U и Z, а, функция квантили qa{u, z) целиком определяется функцией вероятности aq(u,z) в соответствии с определением (27). Функции "наихудших"квантили и вероятности aq(u) и qa(u) и их оптимальных значений а* и д* определяются по функции aq(u, 2:) и множествам U и Z.

Таким образом, вероятностные свойства модели определяют функцию вероятности aq(u, z), и, для фиксированной функции aq(u,z), задачи (25) и (26) являются детерминированными задачами нахождения минимаксных значений. Особенностями этих задач является монотонность по параметру q, ограниченность функции aq(u, z) и другие свойства функции вероятности, обусловленные спецификой стохастических задач управления [30, 31, 68, 155].

Так, если для некоторых (и, z) Е U х Z функция,aq(u, z) строго монотонна и непрерывна на (g;g+), то функция квантили qa(u,z) также строго монотонная и непрерывна на интервале (а-;а+), где а = lim aQ(u, z), а+ = lim aJu^z),. и соотношение (27) переходит в более простое qa(u, z) = {q : aq(u, z) = q}. (31)

В работе исследуется наиболее простой случай, когда функции ga(n, z) и aq(u,z) - непрерывные взаимнообратные функции для всех и Е U, ze Z.

Теорема 13. (стр. 111) Пусть выполняются следующие условия:

1) функция вероятности aq(u, z) - строго монотонно возрастающая непрерывная функция, определенная на Q{u, z) = (q~(u, z), q+(u,; с областью значений (0,1) для любых и Е U, z Е Z;

2) минимум по z 6 Z достигается при любых q Е (q~; q+) = Q, где

QCQ*= р| ueU,zez

Тогда функция гарантированной квантили qa(u) определена при всех и Е U и а Е (а; а+\, qa(u) - строго монотонная непрерывная функция, обратная к aq(u), и выполняется соотношение qa(u) =.min{g : V{F{u^Z)) < q} = a}. (32)

Здесь а- = lim cL, ац. = lim aq.

Условие (32) означает, что qa(u) является границей обобщенного доверительного множества уровня а для статистически неопределенной случайной величины Z).

Отметим, во многих задачах стохастического управления функция вероятности нестрого монотонна, а в этом случае функция квантили разрывна.

Теорема 14. (стр. 112) Если выполняются условия теоремы 13 и для некоторого qi £ Q множество Uqi оптимальных управлений задачи (25) не пусто, то при а = а\ = maxaqi(u) оптимальное иеи значение в задаче (26) достигается, Uai С Uqi и minmaxqai(u,z) = mingQl(u) = q\. ueU zeZ ueu

Следствие 4. (стр. 112) Пусть выполняются условия теоремы 13 и для всех q £ Qi = (gi!^; С Q существует решение прямой задачи стохастического управления(25), тогда

1) для всех а 6 А\ существует оптимальное решение обратной задачи стохастического управления (26) и Uai = Uqi при а\ = а*г;

2) функции оптимальной квантили q*a и, оптимальной вероятности а* - непрерывные, строго монотонно возрастающие взаимно обратные функции, определенные на Q\ и А\ соответственно, где Ai = (q-);q+), а{1] = lim а*, а™ = lim а*.

Доказательства теорем и следствия основаны на свойствах задач оптимизации, зависящих от монотонных функций, рассмотренных в Приложении.

Полученные условия, обеспечивающие эквивалентность прямой и обратной задач стохастического управления, являются очень жесткими и, видимо, могут быть ослаблены. Однако-для рассмотренных в § 3 - § 5 этой главы задач оценивания и управления условия следствия 4 выполняются.

- §2 третьей главы посвящен решению-задачи с квантильным-критерием в условиях неполной информации о распределениях случайных возмущений на основе перехода к детерминированной задаче с оптимизацией по обобщенным доверительным множествам, то есть обобщению результатов [68] на случай неполной информации о распределениях случайных параметров.

Рассмотрим взаимосвязь между задачей с квантильным критерием (26) и задачей построения обобщенных доверительных множеств. Основной результат этого параграфа сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 15. (стр. 28) Пусть выполняются следующие условия:

1) вектор £(си) имеет непрерывное распределение с плотностью ft(x) и ft(x) > 0 для всех х Е Rn;

2) функционал F\(u, z, у) непрерывен по у для всех и Е С/, z Е Z;

3) для всех q Е R1 и Е U, z Е Z выполняется равенство lies{y : Fi(u,z, у) = q} = О, где fies(B)-Mepa Лебега множества В;

4) для ai Е (0,1) минимум по и Е U в задаче <7* = min max ga (u, z) uGU zEZ достигается. Тогда а* = minmax min maxF\(u, z, у), (33)

Ча ueu zez Еае£аУеЕа u ' "yh K ' где £а - множество всех доверительных множеств уровня не ниже а для случайной величины (;(uj,z), т.е. Еа Е Sa{z) тогда и только тогда, когда P{£(cj,z) Е Еа} > а.

Это утверждение является обобщением аналогичного соотношения для задачи с полной статистической информацией, предложенного В.В. Малышевым и А.И. Кибзуном, и доказанного в [68] при более общих предположениях относительно свойств функции квантили qa(u).

Для решения задач с неполной информацией о распределениях или при наличии как случайных, так и не случайных возмущений, в [68] было предложено, объединять оба типа возмущений, т.е. искать оптимальное решение задачи да = mill min max max F\ (и, z, у), (34) ueu Eae£a zez yeEa v где Fi(u, z, г](си)) = F(u, 2;)), Sa - семейство доверительных множеств для rj(uj) уровня не ниже а. Очевидно, что всегда выполняется следующее неравенство:

Й < йа- (35)

Как правило, неравенство (35) строгое, и поэтому замена задачи (26) на более простую (34) может приводить к неоптимальным решениям. Отметим, что при выполнении условий существования и строгой монотонности функции qa и acq = maxP{F(u,f(w)) < q} взаимно обратны, здесь

F(u,y) = maxFi(u,z,y). z£Z

Далее сформулированы достаточные условия, при выполнении которых оптимальные значения критериев (34) и (26) совпадают.

Теорема 16. (стр. 115) Пусть оптимальные значения в задачах (34) и (26) достигаются и для любого и £ U найдется z* = z*(u) £ Z такое, что

F(uty) = F1{u,z*,y) для всех у £ Rn, тогда qa = Q*a

Оптимизацию по доверительным множествам можно заменить оптимизацией по обобщенным доверительным множествам. Пусть £(cj,z) = r)(bj)), где ф(у,г)- измеримая функция, tj{lu) - случайный вектор с заданным распределением. Обозначим Fi(u, z, у) =

Теорема 17. (стр. 115) Пусть для функции F\(u, z, у) и случайного вектора 7](ш) выполняются условия теоремы 15, тогда q* — min min maxF(u,y) ueu Ёае£а уеЁа где Sa С B^ - семейство обобщенных доверительных множеств-уровня не ниже а\ для статистически неопределенной случайной величины = z) | z £ Z}, т.е. Еа £ £а тогда и только тогда, когда —

V{£(u,Z) £ £а] = minP{£(w, z) £ Ёа} > а.

В §3 на примере задачи об оптимальном линейном оценивании априорно неизвестного вектора [10], проиллюстрированы основные соотношения §1 и §2 данной главы.

Четвертый параграф главы посвящен задаче о нахождении оптимальных размеров взлетно-посадочной полосы в условиях неполной информации о скорости ветра в момент посадки. Такая задача в условиях полной статистической информации рассматривалась в [155].

§5 посвящен нахождению субоптимального решения задачи кван-тильной оптимизации (26) на основе теоремы 17. По заданному уровню вероятности а выберем обобщенное доверительное множество Еа для статистически неопределенной случайной величины £(сu,Z) и решим минимаксную задачу, не содержащую случайных параметров: qa == q(Ea) = minmax.F(u, у). (36) уеЁа

Величину qa можно использовать, как оценку сверху для оптимальной квантили а решение й задачи (36) - как субоптимальное решение исходной задачи (26).

В четвертой главе рассматривается задача построения доверительных множеств для фазового состояния многошаговой системы, в описании динамики которой присутствуют как случайные возмущения с заданными распределениями, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений.

Предлагается общий подход к решению задачи доверительного оценивания состояния динамической системы с наблюдением в условиях неполной статистической информации, основанный на использовании информационных множеств [52] системы с неслучайными возмущениями, имеющими различные ограничения.

Задача построения оптимальных доверительных множеств рассматривается, как задача оптимизации функции квантили. Показа-но^ что для линейных многошаговых систем с гауссовскими. возмущениями оптимальные доверительные множества находятся с помощью нелинейных процедур оценивания в отличие от случая полной статистической информации. Приведены примеры, показывающие, что предлагаемые процедуры оценивания дают в некоторых случаях значительное уточнение по сравнению с линейными процедурами оценивания.

В §1 рассмотрена задача оценивания состояния динамической системы в условиях неполной статистической информации в общей постановке. Введены основные определения. Пусть динамика системы описывается соотношениями [5]:

1 = (Pi(xi, Щ, xq = ф0(хо, Со), (37)

Vi+i = 9i(xi+i, vi+i, r)i+i), i = 1,., к - 1. (38)

Здесь х~ неизвестный фазовый n-вектор системы, у~ известный m-вектор наблюдений.

Помехи <7о, r]i являются независимыми случайными векторами с известными законами распределения, размерностей по, П2 и rri2 соответственно. Функции фо(х,а), (pi(x,u, Ъ) и gi{x, v, с)- заданные измеримые вектор-функции, статистическая информация о векторах хо Е Мп, щ Е Rmi, vi Е Rni отсутствует.

Обозначим через u>k = {£о, щ,., щ-1, vi,., г^} вектор неопределенных параметров, Wk £ К'1, l\ = п-\- k(mi 4- щ). Пусть информация о векторе Wk задается множеством его возможных значений: wk Е (39) где Wk~ заданный компакт в Ш}1. В частности ограничения (39) могут быть геометрическими ограничениями на возмущения £о, vi

Ui e Ui, Vi Е Vi, х0 е Хо, (40) где Ui С Е"1, Vi С Rmi , Хо С Мп- заданные компактные множества.

Частным случаем системы (37)-(39) является многошаговая статистически неопределенная линейная динамическая система с наблюдением, которая рассматривалась в работах [35]—[41], [2]—[4], [168], [22] и др.

Наряду с системой (37)-(39) будем рассматривать, как вспомогательную, систему с неслучайными возмущениями различного вида i+i = (fi(xi,Ui,bi), хо = фо(хо,ао), (41)

Vi+1 = 9i(xi+u Vi+i, ci+i), г = 1,.,к-1. (42)

Здесь информация о возмущениях щ,Ui,Vi и ao,bi,Ci исчерпывается заданием множеств их возможных значений, а именно ограничениями (39) и включением dk = {«о, bk-i, ci, — , ск} е D, (43) где D- заданное множество из R*1.

Рассмотрена задача построения доверительных оценок для состояния системы (37)-(39).

Определение 5. [5] Случайным информационным множеством Xk(Q) = Xk(yk(-),Wk, {«}) называется множество состояний системы (37)-(39), совместимых с наблюдением ук(-) при заданном значении вектора случайных возмущений Cfc —

Другими словами, множество Хк{ук(•)> Wfc, {С£})~ эт0 информационное множество детерминированной задачи (41)-(43) при D = {Q}. Случайные информационные множества не используются для оценивания состояния статистически неопределенной системы (37)-(39), т.к. они зависят от реализации случайной величины.

Определение 6. (стр. 133) Множеством допустимых значений случайного вектора будем называть множество

D°k = D°k(yk(-),Wk)cRh значений параметра £k в задаче (37)-(39), совместимых с наблюдением ук(') при wk Е Wk, то есть множество значений неопределенного параметра dk Е М'2, для которых информационное множество детерминированной системы (41)~(42) при данном наблюдении ук(•) непусто:

D°k = {dk Е Ж'2 : Хк(Ук(-), Wk, {dk}) ф 0}. (44)

Так как состояние системы (37)-(39) на к-тои определяется неоднозначно для каждого допустимого значения Q Е К'2, и существует целое множество возможных значений фазового состояния системы - случайное информационное множество Хк(ук(-), Wk, Q), то для заданного измеримого множества Хк С Кп будем рассматривать следующие случайные события:

А~(Хк) = {Хк(ук(-), Wk, Cfc) С Хк}> А+(Хк) = {Xk{yk(-),WktCk)nXk ф 0}.

Апостериорная вероятность события хк Е Хк точно не определена в связи с наличием в системе неслучайных возмущений wk, но в рассматриваемых информационных условиях, то есть по реализовавшемуся вектору наблюдений ук(-) и множеству значений неопре-деленых параметров Wk оценивается снизу и сверху:

Рук(-М'{Хк)) < Р{хк Е X, I yk(-),Wk} < РУк{.}(А+(Хк)).

Введем обозначения для множеств возможных значений случайного вектора

Определение 7. (стр. 134) Пусть Хк- некоторое измеримое множество из Rn. Максимальным множеством возможных значений случайного вектора соответствующим множеству Хк, будем называть множество

Dt{Xk)=DHXk]yk{-),Wk) CM'2 значений неопределенного параметра в задаче (37)-(39), совместимых с наблюдением ук{•) при хк Е Хк и wk Е Wk, то есть множество dk Е М!2, для которых пересечение соответствующего информационного множества детерминированной системы (41)-(43) и Хк непусто:

D+(Xk) = {dk Е ~М!2 : Xk(yk(-), Wki {4}) ПХкф 0}. (45)

Определение 8. (стр. 135) Пусть Хк- измеримое множество из Rn. Минимальным множеством значений случайного вектора Оь, соответствующим множеству Хк, будем называть множество

Db(Xk) = Di{Xk;yk(-),Wk) С Rh значений случайного параметра в задаче (37)-(39), совместимых с наблюдением ук{-) при wk Е Wk, и таких, что соответствующее состояние системы на k-том шаге принадлежит Хк при любом допустимом wk Е Wk, то есть:

Dl{Xk) = {dk.G.Ml : 0 Ф Xk(yk(-),Wk, {4}) с Хк}. (46)

Лемма 2. (стр. 135) Для любого множества Хк Е Мп и любого наблюдения Ук(') выполняются соотношения

Dk(Xk-yk(-),Wk) С Dt{Xk]yk{-),Wk) С D°(yk(.),Wk).

Определение 9. (стр. 135) Множество Ха будем называть доверительным множеством уровня а для фазового состояния системы (37)-(39) на к-том шаге, если минимальная условная вероятность

V{xk € Ха | yk{-),wk € Wk} = = Р{Хк(Ук{•), Wife, Cfc) С | УА(.), wk в Wk} = а. (47)

В случае полной информации о распределении случайных возмущений, т.е. когда множество Wk состоит из одной точки Wk = условие (47) переходит в

Р{хкЕХа |yfc(-)} = Р{йк(Ук(-), М), (к) G Ха I ук(-)} - а, что совпадает со стандартным определением доверительного множества для в задачах оценивания с полной статистической информацией (см.например [33]).

Условная вероятность в определении 9 понимается, как вероятность, найденная при выполнении всех условий задачи, то есть соотношений (37)-(39) при известном векторе наблюдений ук(-). Заменить условную вероятность на безусловную в определении нельзя, т.к. при этом теряется смысл задачи оценивания, а доверительные множества могут оказаться пустыми, что противоречит самому понятию доверительного множества.

§2 посвящен свойствам множеств возможных значений случайного параметра D°{yk{-),Wk), D~j;(Xk\yk(-),Wk) и D^(Xk] ук(-), Wk).

Лемма 3. (стр. 136)Пусть Хк- дополнение множества Хк до всего пространства Rn:

Хк = Rn\Xk, тогда выполняется следующие равенства

Db(Xk]yk(-),Wk) = D°(yk(-),Wk)\Dt(Xk-,yk(.),Wk) (48) и

----------- Dt(Xk;yk(-), Wk) = D°(yk('), Wk)\D~k(Xk]yk(-),Wk). (49)

Теорема 18. (стр. 137) Пусть для множества Хк соответствующие множества Dk(Xk;yk(-),Wk) и Dl(yk(-),Wk) значений случайного параметра Qk, определяющиеся из соотношений (44) и (46), измеримы и

Р{{к£П°к(у*к(.),Шк}фО.

Если

Р{й € Dk(Xk;y'k(.),Wk)} Dl(y-k(-),Wk} -а' ^> то множество Ха являтся доверительным множеством уровня не ниже чем а для состояния системы (37)-(39) на к-том шаге.

Формула (50) не применима для классической задачистохасти-ческого оценивания, то есть для систем с полной статистической информацией о возмущениях ( Wk = {^Ш и непрерывными распределениями случайных возмущений, так как вероятности Р{С,к £ л2(й(-).М})}и

Р{0г 6 Dk (Xk-fyk(-), равны нулю в этом случае.

Следствие 5. (стр. 138) Пусть для множества Ха соответствующие множества Dk(Xa,yl(-),Wk) и Dk(yk(-), Wk) значений случайного параметра определяющиеся из соотношений (45) и (46), измеримы и Р{С& е D°k{y*k(-), Wk)} ф 0. Если выполняется неравенство

P{c,keDi{xa]yi{.),wk)}

P{Ck е Dl(yi(-),wk} 1 - а, (51) где Ха = M.n/Xa, то множество Ха являтся доверительным множеством уровня не ниже чем а; для состояния системы (37)-(39) на к-том шаге.

Важным результатом этого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 19. (стр< 139) Пусть множество Dp С М*2 является-доверительным множеством уровня /3 для случайной величины то есть P{Ck £ Dp} = (3, тогда информационное множество X = Xk(yk(j),Wk,Dp) системы (41 )-(43) при D = Dp, является, доверительным множеством уровня не ниже, чем а=1-(а1)~1(1-(3), 35 для состояния статистически неопределенной системы системы (37)-(39) на k-том шаге. Здесь ai = Р{ХкЫ-), W*. {«}) Ф 0} = Р{Ск е Dl(yk{-)t Wk)}. (52)

В §3 задача построения оптимальных доверительных множеств сводится к задаче квантильной оптимизации. Построим доверительные оценки для состояния статистически неопределенной системы (37)-(39) на основе перехода к задаче квантильного управления. Будем искать доверительные множества для фазового состояния в виде множеств уровня целевой функции

Xq{x) = (р(х - х) < д}, где <^(,г)-целевая функция R" —> К1, такая что

0) = min (p(z) = 0. z€Z

Задачу нахождения доверительного множества для фазового состояния статистически неопределенной системы будем рассматривать, как задачу стохастического управления с квантильным критерием: (53) q(x) = min{g : V{tp(xk ~ х) < q | yfc(-), Wk} > a}

Вместо задачи (53) можно решать задачу максимизации вероятности aq(xq) = ma,xaq{x) ч/ хбМ" 4 (54) aq{x) = V{<p(xk - х) < q | ук{-), Wk},

Так как вероятность

P{CkeD°(yk(-),Wk)} = al (55) и не зависит от q и х, то задача (54) переходит в следующую задачу стохастической оптимизации с квантильным критерием:

Mxq) = m^m

Pq№ = P{CkeD-(xq(xyM-)>wk)}> где Xq{x) = {х е W1 : ср{х - х) < q).

Аналогично задачу (53) заменяется на: qa(x) = min{g : Р{(к € D~(Xq(x); ук(-), Wk)} > а аг}}.

Теорема 20. (стр. 141) Множество

Ха = Xq(xa) = {х € Е" : ф - ха) < <?}, (58) где ха и q = qa{xa) определяются соотнощениями (57), (55), является доверительным множеством уровня не ниже чем а для состояния системы системы (37)-(39) на к-том шаге.

Полученные задачи стохастической оптимизации с квантильным и вероятностным критериями (56),(57) являются достаточно сложными для численного решения даже для линейной многошаговой системы. В §4 рассмотрена задача построения оптимальных доверительных множеств для линейной задачи оценивания, приведен пример численного их нахождения. Показано, что полученные оценки нелинейно зависят от реализовавшегося сигнала и в некоторых случаях дают значительное уточнениепо сравнению с линейными процедурами.

В §5 рассматривается задача построения информационных множеств системы при наличии в ней неопределенных возмущений двух типов: с геометрическими и со связанными квадратичными ограничениями. Приведенные здесь результаты носят вспомогательный характер и используются затем для изучения поведения доверительных оценок статистически неопределенных систем.

§6 посвящен задаче построения доверительных оценок для фазового состояния линейной статистически неопределенной системы (1)-(3). Рассмотрены доверительные оценки состояния системы, основанные на нелинейных методах изложенных в §1—§3 этой главы. Приведен пример построения доверительных оценок для параметров линейной модели, в котором применение предлагаемых методов приводит к получению более точных доверительных оценок, чем предлагавшиеся ранее методы.

При стремлении матриц ковариации к нулю доверительные множества для состояния статистически неопределенной системы сходятся к информационному множеству для системы без случайных возмущений.

Теорема 21. (стр. 148) Пусть в задаче (1)-(3) матрицы ковариации имеют вид

Р0(£) = е2Р0, Q\£) = e2Qi, = e2jRi+i, t = 0,., к - 1. (59)

Если для системы без случайных возмущений X%et ф 0 и множество Wk имеет непустую внутренность , то для любого а € (0.5; 1) и любой неубывающей последовательности £j —>• 0 существуют доверительные множества Ха^ уровня не ниоюе, чем са для фазового состояния системы (1)-(3) на к-том шаге, такие что X$et С X{a£j) и X{a£j) X*et при j +оо.

Пятая глава диссертации посвящена исследованию линейных задач стохастической оптимизации; Предполагается, что оптимальные решения выбираются на основе бикритериального подхода и оптимизируют два первых статистических момента целевого функционала. Такой подход широко используется в финансовом анализе и восходит к работам Г. Марковича [165, 166], в соответствии с которым оптимальным (эффективным) является портфель, ожидаемая доходность которого фиксирована, а дисперсия реальной доходности минимальна. Развитию теории рынка, на основе анализа инвестиционных решений, оптимальным по критериям ожидаемая доходность и риск, посвящены работы Дж. Тобина [188], В. Шарпа[177, 126], Е. Элтона и Г. Грубера [144] и др. В настоящее время приобрели популярность также вероятностные и квантильные критерии оптимальности инвестиционного портфеля, такие как Var (Value-at-Risk)[189].

В §1 четвертой главы введено понятие сопряженных задач линейной стохастической оптимизации, изучены их свойства. С помощью двойственных соотношений изучается важный вопрос о взаимосвязи между уточнением параметров распределения и изменением множества эффективных решений, то есть между задачами наблюдения и эффективного ( оптимального по Парето) управления. Рассмотрен наиболее простой случай при отсутствии ограничений на возможные управления.

Рассмотрим простейшую задачу выбора оптимальных по Парето решений, оптимизирующих статистические моменты линейной целевой функции.

Задача (А). Пусть w = иТх, где х - гауссовский n-вектор с заданными моментами:

Ех = х, Е(х - х)(х - х)т = Р > 0.

Требуется найти множество Парето-оптимальных решений и Е Rn в задаче гр

Ew = и х —У шах

D(w) = uTPu —> min.

Оптимальные по Парето решения задачи (А) будем называть эффективными, следуя принятой в финансовом анализе терминологии. Множество эффективных решений в задаче (А) имеет вид [177]:

U* = {Аи*|А > 0, и* = Р~1х] и для любого эффективного управления и £ U* выполняется равенство т(и) = да (и), где т(и) = E(w(u)), а (и) = y/D(w(u)), д = ^/хТР~гх.

Величина g называется ценой риска [177] и показывает пропорциональность между увеличением ожидаемой полезности решения при увеличении "риска" - среднеквадратичного отклонения полезности.

Определение 10. (стр. 166) Эффективное решение и* = Р~1х будем называть базисным.

На основе базисного эффективного решения могут быть найдены решения следующих задач:

1) задачи оптимизации ожидаемой полезности при фиксированном риске: maх{т(и) : и £ Mn, cr(u) < 5};

2) задачи минимизации риска при заданном уровне полезности: min{a(w) : и £ Rn,m(u) > fi}.

Эти решения соответственно равны иа — g~lsu* и uli = д~2ци*.

Введем следующее определение сопряженных задач стохастической оптимизации.

Определение 11. (стр. 167) Задача стохастической оптимизации (А) со случайной целевой функцией w(x) = иТх, х £ Rn, называется сопряженной к задаче (А), если и - случайный гаус-совский вектор и его статистические моменты равны соответственно

Еи = й= Р~гх, Е{и -Ъ)(и- uf = Р'1.

Рассмотрены свойства решений сопряженных задач эффективного управления.

Лемма 4. (стр. 167) Сопряженная к сопряженной задаче совпадает с исходной.

Лемма 5. Цены риска g и д, а также оптимальные значения квантили д* в сопряженных задачах (А) и (А) совпадают для всех a G (0; 1).

Лемма 6. Пусть х\ и хч n-мерные целевые вектора в задачах (Ai) и (Аг) соответственно, их2 = Gx\, где G - невырожденная п х п матрица. Тогда

1) цены риска в задачах (Ai) и (Ач) совпадают;

2) в задачах (А\) и (А2), сопряженных к (Ai) и (Аг) соответственно, целевые векторы связаны соотношением ич = (G~l)Tu\.

Лемма 7. (стр. 168) Пусть задачи эффективного управления (А;) г = 1,2,3 имеют случайные целевые векторы Х\,Х2 и хз соответственно, вектора х\ и Х2 независимы, а + Gx 2.

Тогда для случайных целевых векторов щ, (г = 1, 2,3) в сопряженных задачах выполняется: щ = DsiD^ih + GD^) (60)

D3 = (D;1 + GD;1Gt)-\ где щ = Ещ, D{ = Е(щ — щ)(щ — щ)Т, т.е. распределение вектора щ совпадает с апостериорным распределением априорно неизвестного вектора щ после двух наблюдений: щ = щ, U2 = GTu%.

Лемма 8. (стр. 169) Пусть Х{,г = 1,2,3 - случайные целевые вектора в задачах эффективного управления (Ai), х\ их 2 независимые гауссовские вектора с заданными моментами распределений. Информация о векторе хз задается двумя соотношениями (наблюдениями) Х\ — хз и Х2 = Gx3. Тогда цены риска gi в задачах (Ai) определяются соотношением дз=91 + 92~ (si - GxsfK-^xt- Gx3), (61)

К = GP\GT -f Р2 и случайные целевые вектора в сопряженных задачах связаны соотношением: щ = щ + GtU2. РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА

Из свойств эффективных управлений (леммы 5-8) в сопряженных задачах следует теорема о разделении задач эффективного управления и наблюдения.

Теорема 22. (стр. 170) Пусть Х{, i = 1,2,3 случайные целевые вектора в задачах стохастической оптимизации (Ai), вектора х\ и Х2 независимые гауссовские с известными моментами распределений Exi = Xi, E{xi—Xi){xi—Xi)T = Pi > 0. Информация о векторе хз задается соотношениями xi = хз, Х2 = Gx3. Тогда множество эффективных решений в задаче (A3) с целевой функцией w = и^х3 равно u*3 = {\u*\u*3=ul + GTu*2,\>0}, где и\ = Рггх{ - базисные эффективные решения в задачах (Ai) соответственно.

Результат, сформулированный в теореме 22, позволяет корректировать управления по мере получения новой информации о целевом векторе.

В §2 предложена экономическая интерпретация сопряженных переменных и сопряженной задачи на примере задачи о формировании инвестиционного портфеля.

Рассмотрим классическую однопериодичную задачу управления портфелем ценных бумаг [165, 188]. Пусть на рынке есть п различных активов (акций), доходности которых на рассматриваемый период формализуются как случайные величины рг-, г = 1,.,п с заданными моментами распределения:

Ер = р, E(p-p)(p-pf = P> 0, (62) где р = {р\,. ,рп}- Предполагается также возможность вложения капитала и взятия кредита с безрисковой процентной ставкой г.

Доходность инвестиционого портфеля каждого инвестора к концу периода определяется вектором и = {ui,., ип}, каждая координата которого и~ это доля капитала, инвестированного в г-тый актив. Доля капитала, вложенного в безрисковый актив равна щ = 1 -1ти, где / - 1} Е Г.

Рассмотрен случай, когда ограничении на щ нет, то есть предполагается допустимость короткой позиции по рисковым активам и взятия кредита с безрисковой процентной ставкой. В этом случае в соответствии с хорошо известной моделью Capital Asset Pricing Model (САРМ), полученной на основе результатов Марковица и То-бина [165, 188], каждый инвестор выбирает портфель, принадлежащий множеству оптимальных по Парето решений бикритериальной задачи: т(и) = Ew{u) —> max, (63) а2(и) = E(w(u) - т(и))2 -> min, и G Rn.

Здесь w(u) = w(u,oj) = гщ + иТр(ш) - случайная величина, характеризующая доходность инвестиционного портфеля.

В соответствии с 2-х фондовой теоремой [177] любой эффективный портфель й имеет одну и ту же структуру рисковой части и состоит из линейной комбинации "рыночного "портфеля ир и безрискового портфеля и0 = {0,., 0}, то есть й = \ир + (1 - A)u°, А € [0; оо].

Рыночный"портфель ир определяется на основе базисного эффективного решения задачи (63) и равен

Up = (IV)-V, и* = р-\р - rl).

Задачу выбора эффективных инвестиционных решений можно сформулировать также и как параметричекую задачу минимизации риска:

Задача (А). По заданной ожидаемой доходности /1* и заданному распределению случайных доходностей активов p(oS) найти инвестиционное решение (распределение капитала по активам), имеющее минимальный возможный риск при заданной доходности, то есть минимальную возможную дисперсию.

Рассмотрим эту ситуацию с другой стороны. В действительности каждый инвестор имеет свою собственную информацию о доходно-стях активов к концу периода и принимает свое собственное решение об инвестировании. Предполагая,что на рынке действует достаточно много мелких инвесторов, можно рассматривать распределение инвестиционных портфелей на рынке ценных бумаг.

При таком подходе доходности активов pi = г + Х{ неизвестны в начале периода и определяются по распределению портфелей на рынке из условия минимума разброса доходностей портфелей для рынка в целом при условии фиксированной средней доходности рынка.

Задача (В) По заданному уровню ожидаемой доходности рынка рь* и заданному распределению инвестиционных решений, определить доходности активов, для которых разброс прибыли инвесторов в целом по рынку будет минимальным.

Сформулируем более точно задачу (В). Пусть на рынке действуют К инвесторов. Капитал k-того инвестора обозначим к = 1К. Через wf^ обозначим объем вложений к-тото инвестора в г-тый актив.

Структура портфеля £;-того инвестора будет описываться вектором у№ = {у[к),., у{п]}, где у(*> = к)

Доля инвестиций в безрисковые активы инвестора составит ?/q =

1 - FyW.

Доходность портфеля инвестора будет зависеть от доходностей активов за период pi = г + Х{ и будет равна mW(x) = ryik) + + r)yjk) = хТу<*> + г. i=i

Общий объем рынка составит к к=1 а средняя доходность по рынку в целом будет равна ^ гш'*> + piwP + . ■ ■ + Pnwik) ^---= ^-w-. (64) k=1 k=1

Отклонение доходности портфеля &-того инвестора от среднерыночной составит т^к\х) — т(х), и разброс доходностей портфелей по рынку в целом описывается величиной

К ц/(к)

D(x) = - m(a;))2-—(65) к=1

Таким образом, задача (В) принимает вид:

D(x) min, х е Rn, (66) rh(x) > *, где m(x) и D{x) определяются соотношеними (64) и (65) соответственно.

Если на рынке действует достаточно много мелких инвесторов, то ситуацию можно моделировать, рассматривая случайный вектор у (Со) -"портфель случайно выбранного инвестора". Этот случайный вектор будет определен вероятностном пространстве Q, не совпадающем с вероятностным пространством £1, на котором были заданы случайные доходности активов в задаче (А).

При таком рассмотрении задача (В) примет вид:

E(w(x, и) - т(х))2 min, (67) яекп rh[x) = E(w(x,lj)) > ц*.

Здесь w = w(x, а))-случайная величина, отражающая доходность инвестиционного портфеля, определенная вероятностном пространстве Её распределение зависит от распределения инвестиций у(ш) и неизвестных пока доходностей активов х к концу периода: w(x, си) — г + хТу(ш), где х = {х\,., хп} - вектор, определяющий превышение доходностей активов над безрисковой процентной ставкой г.

Задача (67) может трактоваться, как условие минимальной дисперсии рынка ценных бумаг в целом при заданном уровне fi* его средней доходности. Если заменить параметрическую задачу (67) на соответствующую бикритериальную

E(w(x:u>) - mix))2 min, (68)

4 4 ' " хеЕ" m(x) = E(w(x,6j)) -» max, то задачи (63) и (68) будут сопряженными в смысле данного в §1 этой главы определения. Таким образом, свойства сопряженных задач стохастического управления, рассмотренные в §Г пятойглавы могут использоваться не только для коррекции инвестиционных портфелей после получения новой информации об ожидаемых доходностях активов, но и для прогнозирования доходностей по распределению инвестиционных решений на рынке.

Отметим, что экономическая интерпретация двойственных переменных является достаточно спорным вопросом даже в классической теории линейного программирования, однако использование таких интерпретаций помогает лучше понять и проанализировать исходную задачу оптимизации.

В §3 этой главы бикритериальный подход распространяется на динамическую задачу линейной стохастической оптимизации. На основе свойств сопряженных задач изучается связь между задачами эффективного управления и оценивания для многошаговой билинейной системы. Предполагается, что в процессе управления поступает дополнительная информация о распределении целевого вектора. Изучается вопрос об изменении эффективных решений в зависимости от реализовавшегося наблюдения. Полученные результаты основаны на известных отношениях двойственности между задачами управления и наблюдения [55, 59, 57]. Пусть случайный п-мерный вектор описывает состояние объекта

Xk+i^Ak+iXk + bk+1 + tk+u к = 0,1,., N — 1, (69) a Wk - полезность выбранного управления и =-{ui,., щ} на к-тои шаге

Wk+i = 1№к + v%+1xk+i + (cfc+i + m+i)T(uk+i - ик). (70)

Здесь >0, Ak - заданные n x n матрицы, вектора щ,Ск,Ьк 6 Rn известны, wq - задано. Случайные вектора rji и независимы и распределены по нормальному закону, параметры их распределений заданы

Е& = Ещ = 0, Etel = Rk> 0, Ещг£. = Qk> 0. (71)

В процессе управления поступает дополнительная информация ук = Gkxk + (к, (72) где Gk заданные т х п матрицы, - случайное гауссовское возмущение с известными характеристиками

Щк = 0, E^kCk = ^к•

Требуется выбрать управление {их,., итак, чтобы величина полезности управления w^{u) в конце рассматриваемого периода была максимальной. Управление щ на к-том шаге может зависеть от всех параметров системы и наблюдения {у\,. ,ук} ДО А;-того шага включительно. Так как w^(u)- нормально распределенная случайная величина, моменты которой зависят от выбранного управления, то критериями эффективности управления выберем функции т(и) = Ewn{u) —у max (73) и

D(u) = E(wn - E(wn))2 min. и

Теорема 23. ( стр.182) Базисное эффективное управление в задаче без наблюдения (69) - (71), (73) совпадает с апостериорным средним значением фазового вектора щ динамической системы в Е2п vk- 1 = Alvk + uk, uN = dN + |дг, vn = 0, (74) uk-i = Uk-fjk-qk, k = 2,.,N, (75) с информацией о состоянии системы на каждом шаге dk = vk-i - k = 2,.,N, (76) и информации о состоянии системы при к — 1;

Щ = Щ - ?7i - qi, dv=A\v i + ni-li, (77) где d\ = R^1(A\Xo + &i).

Рассмотрена задача о выборе эффективного адаптивного управления для системы (69)- (72) с критериями (73). На каждом шаге, по наблюдению {у\,., у к} до момента к включительно, и выбранному управлению {^i,., 1}, выбираются управления {и*к, и*к+1,., u^}, являющиеся Парето-оптимальными по критериям (73).

Из свойств эффективных решений следует, что. соответствующая сопряженная система состоит из уравнений (74) - (77) и дополнительной информации о состоянии системы на 1-ом шаге.

В §4 рассмотрена проблема существования стационарных эффективных решений в многошаговой задаче управления инвестиционным портфелем, сформулированы условия существования стационарных оптимальных управлений в условиях линейной модели роста цен.

Автор выражает глубокую признательность академику Александру Борисовичу Куржанскому за ценные научные консультации и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Тимофеева, Галина Адольфовна, 2003 год

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука,1977.

2. Ананьев Б.И. Минимаксные среднеквадратичные оценки в статистически неопределенных системах / / Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20, N 8. 1291-1297.

3. Ананьев Б.И. Минимаксные регуляторы для статистически неопределенных управляемых систем / / Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1989. № 4. 18-28.

4. Ананьев Б.И. Фильтрация стохастических многошаговых включений / / Вероятностные конструкции и их приложения. Екатеринбург. Изд-во УгТУ. 1998. 65-78.

5. Ананьев Б.И. Информационные множества для многошаговых статистически неопределенных систем / / Труды Математического ин-та им.Стеклова, 2000. Доп.вып.2: Труды ИММ УрО РАН. 1-15.

6. Ананьев Б,И, О схеме нелинейной фильтрации для многошаговых статистически неопределенных систем / / Автоматика и телемеханика. 2002. №б. 56-67.

7. Ананьев Б.И. Минимаксная нелинейная фильтрация многошаговых процессов с неопределенными распределениями возму-ш.ений //Доклады АН. 2002, т.382, № 2. 151-154.

8. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.П. Математическая теория конструирования систем управления. 2-е изд. М.: Наука, 1998.

9. Братусь А.С, Черноусько Ф.Л. Численное решение задач оптимальной коррекции при случайных возмущениях. ЖВМ и МФ. 1974,т14. №1. 78-85.

10. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

11. Бертсекас Д., Шрив Стохастическое оптимальное управление. М.: Наука, 1985.

12. Богуславский И.А. Об оценке фазовых координат линейной системы в статистически неопределенных ситуациях / / Автоматика и телемеханика. 1971. №1. 31-40.

13. Брайсон Д., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

15. Варайя П., Куржанский А.Б. О проблеме достижимости при постоянно действующих возмущениях //Доклады РАН. 2000. Т.372. №4. 446-450.

16. Гихман И.И., Скороход А.Б. Управляемые случайные процессы. Киев: Наукова думка. 1977.

17. Гусев М.И. О структуре оптимальных минимальных оценок в задачах гарантированного оценивания / / Доклады РАН. 1992. Т.322. 0.832-835.

18. Гусев М.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания / / Известия РАН. Техническая кибернетика. 1994, К'-З. 87-95.

19. Гусев М.И. Устойчивость информационных областей в задаче гарантированного оценивания //Труды Математического ин-та им.Стеклова, 2000. Доп.вып.2: Труды ИММ УрО РАН. 104-118.

20. Демьянов В.Ф, Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

21. Дигайлова И.А. Метод гарантированного оценивания состояния линейной динамической системы со смешанной неопределенностью / / Вестник МГУ. Сер. Вычислительная математика и-кибернетика. 2000. Я^ 3. 33-37.

22. Дигайлова И.А. Задача фильтрации со смешанной неопределенностью //Изв. РАН. Теор. и сист. управл. 2001. №5 С, 16-24.

23. Ермольев Ю.М., Ястремский А.И. Стохастические модели и методы в экономическом.планировании. М.: Наука, 1979.

24. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор) / / Автоматика и телемеханика. 1978. JV^ 8. 58-63.

25. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: МНИИ-ПУ. 1990.

26. Захаров А.В. Состоятельность и оценки скорости сходимости методов гарантированного оценивания / / Вестник Московского Университета, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2000. JV2 4. 36-40.

27. Исаков А.И. О двойственных соотношениях в задачах идентификации и наблюдения / / Автоматика и телемеханика. 1975. JV^ 8. 13-15.

28. Кан Ю.С., Русяев А.В. Задача квантильной минимизации с билинейной функцией потерь / / Автоматика и телемеханика. 1998. Ж7. 67-75.

29. Кан Ю.С. Оптимизация управления по квантильному критерию / / Автоматика и телемеханика. 2001. N 5. 82-102.

30. Кан Ю.С, Кибзун А.И. Свойства выпуклости функций вероятности и квантили в задачах оптимизации / / Автоматика и телемеханика. 1996. № 3. 82-102.

31. Кан Ю.С, Мистрюков А.А. Качественные исседования функций вероятности и квантили / / Известия РАН. Теория и системы управления. 1996. № 3. 36-40.

32. Кац И.Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах / / Оценивание в условиях неопределенности. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. 43-59.

33. Кац И.Я. Оценки состояния управляемых многошаговых систем в условиях статистической неопределенности. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1990.

34. Кац И.Я., Куржанский А.Б. О двойственности статистических задач оптимального управления и наблюдения / / Автоматика и телемеханика. 1971. Jf^ 3. 12-21.

35. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах / / Доклады АН СССР. 1975. Т.221, N 3. 535-538.

36. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях / / Автоматика и телемеханика. 1978. N И. 79-87.

37. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Метод функций Ляпунова в задаче об оценке состояния статистически неопределенных систем / / Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "Украина, Киев. 1992. 43-45.

38. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Минимизация функции невязки в статистически неопределенной многошаговой задаче оценивания / / Тезисы докладов международного семинара "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации. Челябинск. 1993. 73.

39. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Задачи управления и оценивания в статистически неопределенных системах / / Тезисы международной конференции "Динамические системы: Устойчивость, управление, оптимизация."Белорусь, Минск. 1993. 46.

40. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Модифицированный метод невязки в статистически неопределенной задаче оценивания / / Автоматика и телемеханика. 1994. N 2. G.100-109.

41. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Динамические оценки доверительных и информационных множеств в статистически неопределенных системах / / Известия РАН. Техническая кибернетика. 1994. N 6. 42-46.

42. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Задача об эффективном вложении капитала при случайных коэффициентах возврата / / Тезисы доклада 3-его международного семинара "Негладкие и разрывные задачи управления, оптимизации и их приложения". -Петербург, 1995. 108.

43. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Бикритериальная задача стохастической оптимимзации. Автоматика и телемеханика. 1997. №3. 116-123.

44. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Уточнение статистических параметров доходностей и коррекция эффективных решений / / Материалы Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы -транспорту". Екатеринбург. УрГУПС. 2000. 421-425.

45. Кибзун А.И., Кузнецов Е.А. Оптимальное управление портфелем ценных бумаг / / Автоматика и телемеханика. 2001. № 4. 101-113.

46. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург. УрО РАН. 1993.

47. Колмановский В.Б. Об оптимальном управлении некоторыми процессами наблюдения //Прикладная математика и механика, 1972. Т.36, Вып.2. 181-188.

48. Колмановский В.Б., Матасов А.И. Задача фильтрации в системах с последействием при ненулевых начальных условиях //Доклады РАН, 2000. Т.362, K 4^. 463-468.

49. Костоусова Е.К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем / / Автоматика и телемеханика, 1997. №3. 57-68.

50. Костоусова Е.К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости линейных систем при помош,и параллелотопов / / Вычислительные технологии. 1998. Т.З, JV^ 2. 11-20.

51. Кощеев А.С. Некоторые задачи гарантированного оценивания параметров многошаговых систем / / Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. 68-75.

52. Кощеев А.С., Куржанский А.Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности / / Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. Я^ 2. 72-93.

53. Красовский Н.Н. К теории: управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем / / Прикладная математика и механика. 1964. Т.28, вып.1. 3-14.

54. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

55. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.:Наука, 1970.

56. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

57. Кругликов СВ. О принципе дуальности для задач гарантированного априорного управления и оценивания / / Доклады РАН. 1994. Т.335, N 5. 234-238.

58. Куржанский А.Б. О двойственности задач оптимального управления и наблюдения / / Прикл. мат. и мех. 1970. Т.ЗО, вып.З. 429-439.

59. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.:Наука, 1977.

60. Куржанский А.Б. Задача идентификации: Теория гарантирующих оценок / / Автоматика и телемеханика. 1991. JV^ 4. 3-26.

61. Куржанский А.Б., Сивергина И.Ф. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем / / Журнал вычислительной математики и математической физики, 1992. Т.32. 1720-1733.

62. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Диференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений / / Сб. статей к 70-лет. акад. Е.Ф. Мищенко. М.: Наука. 1995. 304-315.

63. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука. 1979.

64. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов// Космические исследования. 1964. Т.9, № 5. 713-718.

65. Лидов М.Л., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания / / Космические исследования. 1991. Т. 29, № 11. 659-684.

66. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов, М.: Наука, 1976.

67. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг / / Экономика и мат.методы. 1995. Т.31, вып.1.

68. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987.

69. Малыхин В,И. Финансовая математика. М.: Юнити, 1999.

70. Матасов А.И. Об оценке чувствительности фильтра Калмана- Бьюси к априорным значениям ковариационных матриц// Автоматика и телемеханика. 1991, J^ Г^ 1. 78-87.

71. Матасов А.И. Об априорной точности МНК в задаче оптимального гарантирующего оценивания// Космические исследования. 1990, т. 11-16.

72. Матасов А.И. Введение в теорию гарантирующего оценивания. М.: Изд-во МАИ. 1999.

73. Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия. М.: Мир, 1978.

74. Неве Ж . Математические основы теории вероятностей. М.: Мир. 1969.

75. Никонов О.И. Экстремальные свойства входных воздействий в задачах гарантированного оценивания / / Гарантированное оценивание и задачи управления. УНЦ АН СССР, Свердловск, 1986. 83-91.

76. Никонов О.И., Тимофеева Г.А. Методы теории гарантированного управления в динамической задаче реструктуризации инвестиционного портфеля / / Труды Математического ин-та им.Стеклова, 2000. Доп.вып.2: Труды МММ УрО РАН. 125-140.

77. Осипов Ю.С, Кряжимский А.В., Максимов В.И. Динамические обратные задачи для параболических систем / / Дифференциальные уравнения. 2000, Т.36. №5. 579-597.

78. Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксная идентификация неопределенно стохастической линейной модели / / Автоматика и телемеханика. 1998. № П. 158-171.

79. Панков А.Р., Семенихин К.В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях неопределенности //Автоматика и телемеханика. 2000. JV"^ 5. 76-92.

80. Панков А.Р., Платонов Е.Н., Семенихин К.В. Минимаксная квадратичная оптимизация и её приложенияк планированию инвестиций / / Автоматика.и телемеханика. 2001. №12. 55-73.

81. Панков А.Р,, Платонов Е.Н. Гарантирующие решения задачи квадратичного программирования с неточно заданными параметрами и их приложения в инвестировании / / Известия РАН. Теория и системы управления. 2003. №1. 138-148.

82. Пацко B.C. Модельный пример игровой задачи преследования с неполной информацией 1, 2 / / Дифференциальные уравнения, 1971. Т 7, Я^3. 424-435; 1972. Т.8, Jf^ 8. 1423-1434.

83. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994.

84. Первозванский А.А, Оптимальный портфель ценных бумаг на нестационарном неравновесном рынке / / Экономика и математические методы. 1999. Т. 35, JV^ 3. 34-39.

85. Покотило В.Г. Об асимптотических свойствах априорных минимаксных оценок. Прикладная математика и механика. 1982. Т.46, вып.б. 900-905.

86. Покотило В.Г. Об асимптотических свойствах минимаксных оценок при случайных возмущениях / / Докл. АН СССР, 1982. Т.245. № 5. 1084-1086.

87. Полишук Л.И. Анализ многокритериальных экономико- математических моделей. Новосибирск: Наука. 1983.

88. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983.

89. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука. 1985,

90. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

91. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. О задачах наблюдения в дискретных системах / / Прикладная математика и механика. 1981. Т.45. вып.1. 3-10.

92. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. Минимаксный подход к оценке параметров линейной регрессии //Известия АН СССР, Техническая кибернетика. 1983. №2. 94-102.

93. Райк Э. О задачах стохастического программирования с решающими функциями / / Известия АН СССР. 1972. Т.21. 258-263.

94. Рао СР. Линейные статистические методы и их приложения. М.: Наука.1968.

95. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ М.: Мир, 1973.

96. Сейдж Э., Мелза Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении. М.: Связь. 1976.

97. Смирнов Н. Предельные теоремы для марковских цепей и их приложения. М.: Наука. 1982.

98. Соловьев В.Н. Двойственные экстремельные задачи и их применение к задачам минимаксного оценивания / / Успехи мат. наук, 1997. Т.52, № 4. 49-86.

99. Соловьев В.Н. К вопросу о минимаксно-байесовском оценивании / / Успехи мат. наук. 1998. Т.53. 247-248.

100. Субботина Н.Н., Субботин А.И. Игровая задача управления при неполной информации / / Известия АН СССР. Техическая кибернетика. 1977. №5. 14-23.

101. Тимофеева Г.А. Оценивание параметра и минимизация функций при случайных помехах с геометрическими ограничениями / / Кибернетика. 1988, №1. 75-78.

102. Тимофеева Г.А. Задача об оптимальном выборе портфеля ценных бумаг при случайных коэффициентах прибыльности// Моделирование и исследование устойчивости систем. Тезисы докладов международной конференции. Киев. 1995. 107-108..

103. Тимофеева Г.А. Задача о портфеле ценных бумаг при неполной статистической информации / / Тезисы докладов конференции "Математическое программирование и приложения".. Екатеринбург, 1997. 217.

104. Тимофеева Г.А. Статистически неопределенная задача линейной оптимизации / / Известия АН. Теория и системы управления, 1997. №1. 115-119.

105. Тимофеева Г.А. Стационарные решения в билинейной задаче стохастического управления / / Тезисы докладов международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения". Челябинск, 1999. 107.

106. Тимофеева Г.А. Оптимальное управление инвестиционным портфелем по квантильному критерию / / Материалы Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы-транспорту. Екатеринбург. УрГУПС. 2000. 434-437.

107. Тимофеева Г.А Оптимальные по квантильному критерию управления в статистически неопределенной системе с мультипликативными шумами / / Тезисы международной конференции "Нелинейный анализ и интегральные уравнения". Воронеж, 2000. 184-185.

108. Тимофеева Г.А. Коррекция эффективных решений в многошаговой задаче стохастической оптимизации / / Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. Ш 1. 48-54.

109. Тимофеева Г.А. Обобщенные доверительные множества для статистически неопределенного случайного вектора / / Автоматика и телемеханика. 2002. ^'^6. 44-56.

110. Тимофеева Г.А. Задачи квантильного управления и обобщенные доверительные множества в условиях неполной информации / / Известия РАН. Теория и системы управления. 2002, №6. 48-54.

111. Тимофеева Г.А. Метод максимального правдоподобия и задачи квантильной оптимизации в условиях неполной статистической информации. Екатеринбург, УрГУПС 2003. 25с. Деп. в-ВИНИТИ JO.C?/, ОЗ л^ i^<^0^ 3:гооЗ.

112. Тимофеева Г.А. Оптимальные доверительные множества в статистически неопределенных задачах идентификации и оценивания. Екатеринбург, УрГУПС. 2003. 32с. Деп. в ВИНИТИ

114. Юдин Д.В. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Сов. радио, 1979.

115. Akian М., Menaldi J.L., Sulem А. On an investment-consumption model with transaction costs / / SIAM J.Control and Optimiz. 1995. Vol.34, N 1. P.329-364.

116. Anan'ev B.I. Minimax estimation of statistically uncertain systems under the choice of a feedback parameter / / Journal of Math. Systems, Estimation and Control. 1995. V.5, N2. P.263-266. ,

117. Baras J.S., Kurzhanski A.B. Nonlinear Filtering: The Set- Membership (Bounding) and the HQQ Approaches// Proc.of the IFAC NOLCOS Conference. Tahoe, CA. Plenum Press. 1995.

118. Belforte G., Tay T.T. Recursive Estimation Algorithms for Linear Models with Set Membership Error / / Bounding Approaches to System Identification. Melanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E. eds.: Plenum Press. 1995. P. 83-100.

119. Birge J.R., Wets R.J.-B. Computing bounds for stochastic programming problems by means of a generalized moment problem. Math, of Operation Research. 1987. Vol.12. P.149-162.

120. Bratus A., Dimentberg M., Lourtchenco D. Optimal bounded response control for a second-order system under a white-noise excitation// J. of Vibration and Control, 2000, v.6. P. 741-735.

121. Gaivoronski A. A. Linearization methods for optimization function- als which depend on probability measures. Math. Programming Study. 1986. Vol. 28. P.157-181.

122. Genz A. Comparison of methods for the computation of multivariate normal probabilities. Computing Science and Statistics. 1993. Vol.25. P.67-73.

123. Ghaoui L., Oks M., Oustry F. Worst-Case Value-at-Risk and Robust Portfoho Allocation: a Semidefinite Programming Approach / / Techical Report MOO/59, ERL. University of California, Berkeley. 2000.

124. Kats I. Ya., Timofeeva G. A. State estimation for statistically uncertain system by vector criterion / / Abstracts 3rd International Workshop. Multiple criteria problems under uncertainty. Orekhovo-Zuevo, Russia. 1994. P.36.

125. Kats I. Ya., Timofeeva G. A. The most probable states in statistically uncertain system / / A postprint vol. from 10th IFAC Workshop, ed. J. Shinar, F. Kirilova. Haifa, Israel, 1995. Perga-mon -Press, 1996. P.29-32.

126. Kats I. Ya., Timofeeva G. A. Bicriterial stochastic control problem with incomplete information / / Abstracts of 4th Conference on Mathematical Methods in Operation Research, Bulgaria, Sozopol. 1997. P. 56-57.

127. Kats, I.Ya., Timofeeva G.A. Statistically uncertain stochastic optimization problem with observation / / Proc. 11th IFAC Workshop "Control Application of Optimization", ed. Zakharov V.V. Perga-mon: Oxford. 2000. Vol.2. P.622 - 626.

128. Kibzun A.I., Kan Yu.S. Stochastic Programming Problems with Probability and Quantile Functions. Chichester etc.: John Wiley & Sons, 1996.

129. Kirilin M.N., Kurzhanski A.B. Ellipsoidal techniques for reachability problems under nonellipsoidal constraints / / Preprints 5th IFAC Symposium "Nonhnear control systems", 2001. St.-Petersburg, Russia. P.768-773.

130. Kieffer M., Walter E., Braerms I., Jaulin L. Interval Analysis for Nonlinear Parameter and State Estimation: Contributions and 1.imitations / / Preprints 5th IFAC Symposium "Nonlinear control systems", 2001. St.-Petersburg, Russia. P.608-613.

131. Kolmanovskii A.B. Mishkis A.D. Introductions to the Theory and Applications of Functional Differential Equations. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht. 1999.

132. Kurzhanski A.B. Identification: A Theory of Guaranteed Estimates, From data to Model//Ed. J.С Willems. Berlin: Spinger-Veriag. 1989.

133. Kurzhanski A.B., Tanaka M. On a Unified-Framework for De terministic and Stochastic Treatment of Identification Problem. 1.axenburg, IIASA, 1989.

134. Kurzhanski A.B.,Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1996.

135. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Reachabihty AnaHsys for Uncertain Systems- the Elhpsoidal Techique / / Journal of Impulse, nonhnear and Discontinious Systems, 2001. ser.2, V.l.

136. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to Stochastic Calculus Ap- pHed to Finance. London: Chapman and Hall, 1996.

137. Markowitz H. Portfoho selection / / J. Finance. 1952. N 7. P.77-91.

138. Markovitz H.M. Portfolio Selection Efficient Diversification of in vestment. New York: Wiley, 1987. (3rd edition)

139. Matasov A.I. The Kalman-Busy filter in the guaranteed parame ter estimation problem with uncertain statistics / / IEEE Trans. Automat. Control. 1994. Vol.39, N 3. P.635-639.

140. Matasov A. Estimators for uncertain dynamic systems. Boston etc.: Kluwer, 1999.

141. Merton, R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case / / Rev. Econom. and Statist. 1969. Vol.51. P.247-257.

142. Merton, R.C. An intertemporal capital asset pricing model / / Econometrica. 1973. Vol.41, N 5. P.867-886.

143. Milanese M., Vicino A. Optimal Estimation Theory for Dy namic Systems with Setmembership Uncertainty: An Overview / / Bounding Approaches to System Identification. Melanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E. eds.: Plenum Press: 1995. P.5-27.

144. Precopa A. Stochastic Programming. Kluwer Acad. Publisher. 1995.

145. Puelz A. Value-at-risk based portfoHo optimization// Stochastic optimization: algorithms and applications. Ed. by S.Uryasev and P.M. Pardalos. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 2001.

146. Puri M.L,, Ralescu D.A. Fuzzy random variables// J. Math. Anal.and Appl. 1986, V. 114. P.409-422.

147. Romisch W., Schultz R. Stability of solutions for stochastic pro grams with complete recourse / / Math. Oper. Res. 1993. Vol.18, N3. P.590-608.

148. Samuelson P. Mathematics of speculative prices / / SIAM Rev. 1973. Vol.15. Rl-39.

149. Sharpe W.F. Capital asset prises: A theory of market equlibrum under condition of risk / / J. Finance. 1964.V. 19. P.425-442.

150. Schweppe F.C. Uncertain dinanic systems. Englewood Cliffs: Pren tice Hall, 1973.

151. Szantai T. A computer code for solution of probabihstic con strained stochastic programming problems. In: Numerical Tech niques for Stochastiic Optimization, Springer-Verlag, New York, 1988. P.229-235.

152. Tanaka T. Two Tipes of Minimax Theorem for Vector-Valued Functions / / Journal of Optimization Theory and Applications, 1991. V.68. P.321-334.

153. Timofeeva G.A. Efficient control in multistage stochastic optimiza tion problem / / PHska Studia Mathematica Bulgarica. 1998. N 12. P.235-244.

154. Timofeeva G.A. Effective control and observation in the multistage stochastic optimization problem / / Abstract of short communi cations. International Congress of Mathematicians. Berlin. 1998. P.352.

155. Timofeeva G. Generalized confidence regions in stochastic opti mization problem with incomplepe information / / Program k. Ab stract 9th Intern. Conf. on Stochastic Programming. Berlin, Ger many. 2001. P. 108.

156. Timofeeva G.A. Confidence Estimates under Uncertainty and Quantile Optimization Problem// Proceedings 10th International Symposium on Dymamic Games and Apphcations. Ed. by L.A. Petrosjan, N.A. Zenkevich. St.-Petersburg, 2002. V.2. P.839-845.

157. Timofeeva G.A. Confidence estimates in statistically uncertain case// Abstacts of the International Conference on Applied Mathe matics dedicated to the 65-Anniversary of B.N. Pshenichnyi. Kiev. 2002. P.93.

158. Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk / / Rev. Economic Stud. 1958.

159. Uryasev S., Rockafellar R.T. Conditional Value-at-risk: optimiza tion approach //Stochastic optimization: algorithms and apphca tions. Ed. by S.Uryasev and P.M. Pardalos. Kluwer Academic Pub lishers. Dordrecht. 2001

160. Verdu S., Poor H.V. On minimax robustness. A general approach / / IEEE Trans. Information Theory. 1984. Vol.20, JV^ 2. P.328-340.

161. Verdu S., Poor H.V. Minimax linear observars and regulators for stochastic systems with uncertain second order statistics //IEEE Trans. Automatical Control. 1984. Vol.AC-29, W 6. P.499-511.

162. Walter E., Piet-Lahanier H. Recursive Robust Minimax Estima tion// Bounding Approaches to System Identification. Melanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E. eds.: Plenum Press. 1995. P.183-198.

163. Walter E., Pronzato L. Identification of Parametric Models from Experimental Data. 1997. London: Spriger-Verlag.

164. Yosida Y., Yasuda M., Nakagami J., Kurano M. Optimal stopping problem in a stochastic and fuzzy system / / J. Math. Anal, and Appl. 2000, V.246. P.135-149.