Прямые трехмерные задачи гравиметрии и магнитометрии для некоторых типов многогранников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.12, кандидат физико-математических наук Качахидзе, Манана Константиновна

• Качахидзе, Манана Константиновна
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Качахидзе, Манана Константиновна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОБЗОР ПРЕДЫДУЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО РЕШЕНИЮ ПРЯМЫХ

ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ И МАГНИТОМЕТРИИ.

ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ И ИСХОДНЫЕ ИНТЕГРАЛЕ^ НЫЕ СООТНОШЕНИЯ. ФОРМУЛЫ В.Н.СТРАХОВА ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ МНОГОУГОЛЬНОЙ ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНКИ.

1. Постановка основных задач и исходные интегральные • соотношения.

2. Формулы В.Н.Страхова для элементов гравитационного поля горизонтальной многоугольной однородной пластинки

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ГРАВИТАЦИОННОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНЫХ ПРИЗМ С ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ ВЕРХНИМ И НИЖНИМ ОСНОВАНИЯМИ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ И НАМАГНИЧЕННОСТИ, ЗАВИСЯЩИХ ТОЛЬКО ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ КООРДИНАТЫ

Введение

1. Выражение гравитационного потенциала.

2. Выражения первых производных гравитационного потенциала.

3. Выражения вторых производных гравитационного потенциала.

4. Выражения элементов магнитного поля.

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ ГРАВИТАЦИОННОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ ДЛЯ НАКЛОННЫХ МНОГОУГОЛЬНЫХ ПРИЗМ С ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ ВЕРХНИМ И НИЖНИМ ОСНОВАНИЯМИ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ И НАМАГНИЧЕННОСТИ, ЗАВИСЯЩИХ ТОЛЬКО

ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ КООРДИНАТЫ

Введение

1. Выражение гравитационного потенциала.

2. Выражения первых производных гравитационного потенциала

3. Выражения вторых производных гравитационного потенциала.

4. Выражения элементов магнитного поля.

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ГРАВИТАЦИОННОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ ДЛЯ

МНОГОГРАННЫХ КОНУСОВ С ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ ВЕРХНИМ И НИЖНИМ ОСНОВАНИЯМИ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ И НАМАГНИЧЕННОСТИ, ЗАВИСЯЩИХ ТОЛЬКО ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ КООРДИНАТЫ

Введение

1. Выражение гравитационного потенциала.

2. Выражения первых производных гравитационного потенциала.

3. Выражения вторых производных гравитационного потенциала.

4. Выражения элементов магнитного поля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые трехмерные задачи гравиметрии и магнитометрии для некоторых типов многогранников»

Актуальность темы» Проблема создания эффективных методов решения прямых (главным образом - трехмерных) задач гравиметрии и магнитометрии - одна из центральных проблем теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, до настоящего времени еще не нашедшая полного решения (здесь уместно вспомнить знаменитое высказывание А.Пуанкаре [102], произнесенное на докладе на Международном математическом конгрессе в Риме (1909 г.): "Не существует проблем, решенных или не решенных.». Существуют лишь проблемы, решенные в большей или меньшей степени.").

В самом деле, для математика проблема решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии - это всего-навсего проблема численного решения некоторых типов тройных (если речь идет о трехмерной задаче) интегралов с некоторой наперед заданной точностью. Существуют общие методы вычисления таких интегралов, и поэтому математик считает проблему закрытой.

Однако для геофизика дело обстоит гораздо сложнее, гораздо нетривиальнее и интереснее.

Во-первых, геофизику желательно иметь явное аналитическое выражение элементов полей - в элементарных трансцендентных или в высших трансцендентных, но обстоятельно изученных функциях. Такое выражение, коль скоро оно получено, может быть использовано и для изучения проблем эквивалентности и единственности решений обратных задач (а ведь в гравиметрии и магнитометрии все так или иначе подчинено проблеме решения обратной задачи!), и для изучения особых точек (и линий) гармонических функций, описывающих элементы внешних полей, что также крайне важно для создания методов извлечения информации из данных полевых наблюдений.

Поэтому проблема выделения таких классов распределений источников поля (тяготеющих, намагниченных масс), для которых прямая задача допускает явное аналитическое решение рассматриваемого типа, крайне важна. В случае же трехмерной задачи она весьма сложна и до сих пор не имеет сколько-нибудь удовлетворительного решения.

Во-вторых, геофизику, безусловно, необходимо иметь методы численного решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии, то-есть методы, с помощью которых можно рассчитывать значения тех или иных элементов гравитационного или магнитного поля на заданных множествах точек; обычно (хотя это и не обязательно!) речь идет о множествах точек, внешних по отношению к носителю источников (расчет элементов внешних полей). Здесь существует по крайней мере четыре аспекта, которые необходимо иметь в виду при рассмотрении прямых задач с точки зрения геофизика: а) проблема точности решения; б) проблема быстродействия метода; в) проблема удобства аппроксимации источников; г) проблема удобства использования алгоритма решения прямых задач.

Суть первой проблемы ясна: если задано множество точек, в которых надо найти заданный элемент поля (или заданное множество элементов) и задано распределение источников, а также погрешность вычисления, то метод решения должен обеспечивать эту точность.

Суть второй проблемы также ясна - время нахождения значений элемента (совокупности элементов) поля с заданной точностью должно быть минимальным; чем время счета (а сейчас всегда решение прямых трехмерных задач выполняется на ЭВМ) меньше, тем метод лучше.

Суть третьей проблемы, значение которой очень часто недооценивают, состоит в том, что (в отличие от математика, который считает эту часть работы уже выполненной кем-то другим), геофизик всегда сам формирует распределение источников, элементы поля затем подлежат вычислению (в заданном множестве точек). При этом задание источников должно осуществляться исходя из целого ряда требований: а) оно должно быть технологически простым и производительным; б) оно должно быть удобным и гибким - обладать хорошими аппроксимативными свойствами; в) оно должно обеспечивать быстродействие решения прямой задачи.

По существу требования точности, быстродействия и технологичности аппроксимации очень тесно взаимосвязаны, в существенном противоречивы и должны рассматриваться совместно. И в этом основное отличие геофизического понимания проблемы решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии от математического.

Последнее из рассматриваемых требований (то есть по существу требование компактности программы решения прямых задач на ЭВМ) также очень важно и находится в диалектическом противоречии с предыдущими тремя требованиями. В самом деле, быстродействия (и точности решения) гораздо легче добиться при использовании большого объема оперативной памяти ЭВМ, однако необходимость решения прямых задач многократно (о чем подробнее будет сказано ниже) требует минимальности объема самой программы решения прямых задач и используемого ею рабочего поля. Обращение же, в целях уменьшения рабочего поля, к внешним устройствам памяти (дискам, лентам и т.д.) снижает быстродействие решения прямых задач.

Несомненно, что максимальную точность и быстродействие удатся.получить в тех случаях, когда для элементов полей оказывается возможным получить явные аналитические выражения в элементарных трансцендентных функциях; таким образом, проблемы аналитического и численного решения прямых задач оказываются взаимосвязанными. В случае трехмерных прямых задач аналитические выражения элементов полей в элементарных функциях удается получить для произвольных однородных многогранников. В.Н.Страховым [77] показано, что и для многогранников с произвольными полиномиальными законами распределения плотности и намагниченности для элементов поля можно получить аналитические выражения в элементарных функциях.

Вместе с тем использование различных типов многогранников достаточно удобно с точки зрения технологичности аппроксимации.

С точки зрения геофизики (гравиметрии, магнитометрии) численные методы решения прямых задач имеют еще одно принципиальное значение - именно, они позволяют находить качественные связи между закономерностями распределения элементов полей и распределением источников поля. Такие качественные связи имеют большое значение на этапе качественной интерпретации аномальных полей. Их изучают, рассчитывая элементы полей различных модельных тел и изображая пространственное распределение данных элементов в виде карт изолиний, совокупностей графиков изменения полей вдоль характерных линий и т.д. Хорошо известно, например, значение различного рода палеток, альбомов теоретических кривых и т.д. [4,45, 67,114].

Далее - использование методов решения прямых задач позволяет во многих случаях осуществить так называемое "геологическое редуцирование" аномальных полей, то есть вычитания из наблюденных значений элементов этих полей эффектов от той части геологического разреза, распределение физических параметров (плотности, намагниченности) для которой достаточно хорошо известно. Например, при изучении глубинного строения земной коры по гравитационным аномалиям очень часто из наблюденного поля силы тяжести исключают влияние осадочного чехла, достаточно хорошо изученного сейсморазведкой и бурением [1,29,31]. Аналогичную процедуру часто осуществляют на эксплуатирующихся железорудных месторождениях при поисках новых залежей [21,22,23,24,67] и т.д.

Несомненно, однако, что наибольшее значение численные методы решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии имеют с точки зрения решения обратных задач. Именно, методы решения прямых задач представляют собой один из компонентов метода подбора - наиболее общего и мощного метода решения обратных задач.

Сущность метода подбора состоит в том, что из тех или иных соображений (из каких именно, мы здесь уточнять не будем) задается некоторое распределение источников поля; далее (для тех точек, для которых имеются наблюденные значения элементов поля) вычисляются значения соответствующих элементов от принятого распределения источников. После этого по некоторым критериям (на которых мы здесь также не останавливаемся) рассчитанное поле источников сравнивается с наблюденными; если по принятым критериям согласие удовлетворительное, то заданное распределение источников принимается за аппроксимирующее природное с разумной степенью близости. Если же согласие неудовлетворительное, то, руководствуясь теми или иными соображениями, распределение источников поля изменяют, заново решают прямую задачу для нового распределения, снова сопоставляют с наблюденными, и т.д., пока не достигают разумного согласия с наблюденным полем.

В зависимости от того, по каким правилам осуществляется переход от одного пробного распределения источников поля к другому-по строго формализованным правилам, либо исходя из опыта и интуиции интерпретатора - различают формализованный и неформализованный подбор. Однако в любом варианте при решении обратных задач методом подбора прямую задачу приходится решать многократно (до 100 и более раз). Именно это обстоятельство вццвигает очень жесткие требования к точности и быстродействию методов численного решения прямых задач, требования к удобствам (технологичности) аппроксимаций и компактности программ по решению прямых задач.

В последние годы еще два обстоятельства стали все более и более осложнять ситуацию. Во-первых, "в работе" (если так позволено будет выразиться) начали использоваться сложные модельные классы источников поля - с переменными плотностями и намагничен-ностями. Во-вторых, подбор начал осуществляться не только по полям ACj, и (или дТ" ), но и по различным трансформантам этих полей; последнее обусловлено трудностями оптимизации, свойственными неустойчивым задачам, к числу которых относятся обратные задачи гравиметрии и магнитометрии. Таким образом, возникла необходимость создания методов численного решения гораздо более сложных прямых задач - с одной стороны, и необходимость системного подхода к прямым задачам - с другой. Сущность системного подхода к решению прямых задач состоит в следующем: во-первых, необходимо решать прямые задачи не для отдельных распределений источников, а для целых классов таких распределений - достаточно общих; во-вторых, необходимо решать прямые задачи сразу для многих элементов полей-потенциалов, различных производных по координатам и т.д.; в-третьих, получаемые решения должны обладать некоторой единой структурой (выражаться через однотипные-стандартные-аналитические элементы) для того, чтобы была возможна достаточно общая и универсальная реализация этих решений на ЭВМ.

Из всего вышесказанного с очевидностью вытекает огромная роль и важное значение методов решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии, их сложность и нетривиальность, необходимость их глубокого исследования. Там, где математик считает, что все уже закончено, геофизик понимает, что дело только-только начинается. Последнее с полной очевидностью "просматривается" из изучения литературы, посвященной методам решения прямых задач.

Цель работы. Из развития методов решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии вытекают два вывода:

1. В качестве основной аппроксимирующей (носитель источников-тяготеющих или намагниченных масс) формы в настоящее время используется многогранник. При этом особо большое внимание уделяется частным типам многогранников (вертикальные многоугольные призмы с горизонтальным верхним и нижним основаниями и т.д.).

2. В настоящее время все большее и большее внимание начинает уделяться методам решения прямых задач для тел с переменными -в основном полиномиальными плотностями и намагниченностями. Это соответствует тенденции использования в практике грави- и магниторазведки моделей со сложным распределением плотности и намагниченности.

Исходя из данных выводов и была задумана настоящая диссер -тационная работа. Её основная задача состояла в том, чтобы дать современную аналитическую разработку идеи Г.А .Гамбурцева [15J о представлении трехмерных тел совокупностями однородных горизонтальных пластинок. Для реализации идеи были выбраны полученные В.Н.Страховым [96J формулы для однородной горизонтальной многоугольной пластинки.

Идея Г.А.Гамбурцева и аналитические результаты В.Н.Страхова позволяют найти достаточно эффективные решения прямых задач для тех типов многогранников, которые легко представимы в форме объединения горизонтальных многоугольных пластинок, при произвольном полиномиальном законе распределения плотности и намагниченности, зависящем только от вертикальной координаты (ибо в этом случае плотность - соответственно компоненты вектора намагниченности -являются постоянными на каждой из пластинок). Были выбраны следующие три частных типа многогранников (в общем случае - невыпуклых) : а) вертикальные многоугольные призмы с горизонтальным верхним и нижним основаниями (см.рис.1); б) наклонные многоугольные призмы с горизонтальным верхним и нижним основаниями (см.рис.2); в) усеченные многогранные конусы с горизонтальным верхним и нижним основаниями (см.рис.3).

Основная трудность в решении поставленной задачи состояла в том, чтобы проработать её предельно четко в системном плане, то есть: а) найти общий метод получения аналитических выражений для многих элементов поля; б) получить окончательные аналитические решения для многих элементов поля; в) дать решения в форме, достаточно удобной с точки зрения программирования на ЭВМ и обеспечивающей высокое быстродействие программ.

Исследование, проведенное в работе, является чисто аналитическим. Автор старался максимально подробно рассмотреть весьма значительный набор прямых задач гравиметрии и магнитометрии, что диктовалось как методическими соображениями, так и необходимосты» иметь жесткий контроль за правильностью получаемых соотношений*

Основные защищаемые положения.

1. Прямые задачи для специальных многогранников I, П, Ш типов с полиномиальной плотностью и намагниченностью, зависящими только от вертикальной координаты, уже имеют большое практическое значение в настоящем, и это значение будет возрастать в будущем.

2. Решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии для многогранников I, П, Ш типа с полиномиальной плотностью и намагниченностью, зависящими от вертикальной координаты, получаются в эффективной аналитической форме.

3. Полученные аналитические выражения для элементов гравитационного и магнитного полей многогранников I, П, Ш типа с полиномиальной плотностью и намагниченностью достаточно легко программируются и могут быть использованы при разработке специализированного программно-математического обеспечения по решению прямых трехмерных задач гравиметрии и магнитометрии на ЭВМ.

Научная новизна. В работе получены окончательные аналитические выражения в форме, предельно компактной (и поэтому эффективной и по быстродействию и по точности) и содержащей минимум вспомогательных геометрических параметров, характеризующих многогранник-носитель источников.

Для многогранников I типа при полиномиальной плотности, зависящей от вертикальной координаты, в работе приводятся аналитические выражения гравитационного поля (потенциал, его первые и вторые производные). Также для многогранников I типа с полиномиальной намагниченностью, зависящей от вертикальной координаты, получены аналитические выражения для элементов магнитного поля потенциал и компоненты вектора напряженности поля).

Для многогранников П типа при полиномиальной плотности, зависящей от вертикальной координаты, даны аналитические выражения для гравитационного потенциала, рассматриваются прямые задачи an Ох) апы гравиметрии для элементов и З2С3 ; прямые задачи гравиметрии для вторых производных гравитационного потенциала, анали

ЗП(пс) ^П(х1 З^ПЫ э*П(дс) тические выражения для , з^ах" » й Эос2- не

Я 3 зГН-^с.) Х рассматриваются, так как прямая задача для ^ ос. полностью аП(ос) а^П(^) аналогична прямой задаче для д^с » для к - анало

П(ос),1 д. з гична прямой задаче для Зое Зх » а пРше задачи для ^ ^^

ПСос) 1 3 ,эгП(х) 1 и сЭэс'^ полностью аналогичны прямым задачам для ~зЗс~д5сГ •

В работе также обсуждаются прямые задачи для магнитного поля и приводятся (без вывода) аналитические выражения магнитного потенциала и вертикальной компоненты вектора напряженности магнитного поля для многогранников П типа, при полиномиальной намагниченности, зависящей только от вертикальной координаты.

Рассматривается наиболее сложная и трудная прямая задача нахождения аналитического выражения для многогранников Ш типа при полиномиальной плотности, зависящей только от вертикальной координаты. Даны аналитические выражения для гравитационного позпьс1 епы ,, тенциала, для производных 3 ^ и з^с • Выражение для

ЭП(эс) 1 ф

Ээс^ по уже известным причинам не рассматривается. Также получены аналитические выражения магнитного потенциала и его первых производных для многогранников Ш типа с полиномиальной намагниченностью, зависящей от вертикальной координаты.

Практическая ценность. Полученные в работе аналитические выражения для трех типов многогранников при полиномиальной плотности (намагниченности) являются более эффективными, чем ранее известные - для отдельных частных случаев. Формулы достаточно компактны и легко программируются на ЭВМ.

Использование данных форм многогранников позволяет достаточно просто и гибко осуществлять аппроксимацию реальных геологических объектов. Использование же переменных (по вертикали) законов распределения плотности и намагниченности является, как теперь признано, необходимым как при моделировании мощных осадочных толщ, так и при изучении глубинного строения земной коры и верхней мантии.

Фактический материал и методика исследований. В работе, в качестве базы для реализации идей Г.А'.Гамбурцева [15] о представлении трехмерных тел совокупностями однородных горизонтальных пластинок, были выбраны полученные В.Н.Страховым [96] формулы для однородной горизонтальной многоугольной пластинки. Рассмотрены три частных типа многогранников: а) вертикальные многоугольные призмы с горизонтальным верхним и нижним основаниями; б) наклонные многоугольные призмы с горизонтальным верхним и нижним основаниями; в) усеченные многогранные конусы с горизонтальным верхним и нижним основаниями.

Вычисления основываются на интегрировании по частям, первой подстановке Эйлера, рекуррентных соотношениях.

Используется также теорема Пуассона, в силу которой прямая задача магнитного поля для однороднонамагниченной горизонтальной пластинки сводится к трем прямым задачам для той же гравитирую-щей (с плотностью £ ) пластинки.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на конференции ТГУ 1984 г., семинаре ИГ АН ГССР, кафедре геофизики физического факультета и кафедре геофизических методов поисков

- 15 и разведки г-геологического факультета ТГУ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и библиографии. Работа изложена на страницах машинописного текста, содержит 4 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Геофизика», Качахидзе, Манана Константиновна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

§ I. В работе построены алгоритмы нахождения элементов гравитационного (потенциал, его первые и вторые производные по координатам) и магнитного (потенциал, первые производные по координатам) полей для специальных многогранников трех типов (I, П и Ш) при полиномиальной плотности и намагниченности, зависящей только от вертикальной координаты. Эти алгоритмы единообразны (их основой являются рекуррентные соотношения для интегралов

Г ^Г- £'

JL. / типа ~ г п, doc, S=o,t^t2 и вполне доступны программи

J UX bOC +С рованию на ЭВМ.

Тем самым создана основа для решения ряда сложных трехмерных прямых задач гравиметрии и магнитометрии, имеющих значительное практическое применение.

§ 2. Однако не меньшее значение для теории решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии имеет тот факт, что в работе развита новая (в том смысле, что она не является традиционной для работ по прямым задачам гравиметрии и магнитометрии) техника получения аналитических выражений элементов полей с полиномиальной плотностью. Эта техника может быть перенесена на более сложные задачи (например, прямые задачи для произвольных многогранников с плотностью, являющейся полиномом от трех переменных) и тем самым позволяет получить эффективные решения этих более сложных задач.

§ 3. В работе также показано, что развитая В.Н.Страховым (глава 2, раздел 2) точка зрения, согласно которой для сложных прямых задач аналитическое решение должно даваться не в виде конечной замкнутой формулы, а в виде совокупности соотношений рекуррентного типа, позволяющих найти окончательный (числовой) результат, является наиболее правильной. Во всех решенных в работе прямых задачах эту точку зрения удалось провести полностью.

§ 4. Конечно, наиболее важными для практики являются частные случаи, когда плотность и намагниченность являются постоянными или линейно изменяющимися. Для этих частных случаев в работе получены явные аналитические выражения (см. "Приложение"), которые являются чрезвычайно простыми. Подавляющее большинство этих аналитических выражений являются новыми, ранее в литературе не встречавшимися. Компактность данных аналитических выражений позволяет очень просто реализовать их на ЭВМ.

Рис. I

Рис. 2

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Качахидзе, Манана Константиновна, 1985 год

1. Андреев Б.А., Клушин И.Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. - Л.: Гостоптехиздат, 1965 - 495 с.

2. Афанасьев Н.Л. Прямая и обратная задача а ^ для слоев эллиптического параболоида, параболоида вращения и параболического цилиндра. Днепропетровск, Изв. ДГИ, 1952, вып.22, с.8-35.

3. Балк П.И. Некоторые аналитические решения трехмерной прямой задачи теории потенциала. Геология и геофизика, 1974, № 6, с.96-102.

4. Балк П.И. К аналитическому решению трехмерной прямой задачи гравиметрии. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1975, $ 8, с.99-103.

5. БалкП.И., Балк Т.В., Носырев В.И. Об аналитическом решении трехмерной прямой задачи гравиразведки в случае переменной плотности возмущающих масс. Изв. высш. учеб. заведений. Геол. и разведка, 1976, №4, с.121-129.

6. Бауман В.И. Курс магнитометрии. Союзгеоразведка, ЦНИГРИ, Геофизический сектор "БИТОР", Ленинград, Стеклография ЛГИ, 1932 г., 70 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. I. М.: Наука, 1973, 631 с.

8. Бахвалов А.Н. Диаграммы составляющих магнитного и гравитационного полей в плоскостях главных сечений эллипсоидов. -Геофиз. сб. Ин-т геофиз. Уральский фил. АН СССР, 1968, Jfc 7, с.37-48.

9. Бахурин И.М. Магнитное поле тел правильной форды с точки зрения магнитометрии. -Изв. ИПГ, вып.1 (1925), вып.2 (1926), вып.З (1927), вып.4 (1928).

10. Булах Е.Г. 0 применении электронных вычислительных машин для интерпретации гравитационных аномалий. Геофиз.сб. АН УССР, 1967, вып.19, с.49-55.

11. Булах Е.Г. 0 методике решения прямых задач гравиразведки на электронных цифровых вычислительных машинах. В сб. "Геофиз. исслед. на Украине", Киев: Наукова думка, 1969, с.186-196.

12. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Методическое руководство и сборник программ для решения обратных задач гравиразведки на ЭЦВМ "Минск-22".-Киев: Наукова думка, 1971, 182 с.

13. Ващилов Ю.Я. Глубинные гравиметрические исследования. М.: Наука, 1973, 156 с.

14. Гаврилов Л. Решение прямой и обратной задачи потенциала для параболоида вращения и бесконечного параболического цилиндра. Изв. АН СССР, сер. географ, и геофиз., 1945, М 5-6, с.521-528.

15. Гамбурцев Г.А. К изучению Курской гравитационной аномалии. Притяжение подземными хребтами. Журн. прикл. физики, 1925, т.2, вып.1-2, с.95-100.

16. Гамбурцев Г.А. Об определении элементов залегания бесконечно простирающихся тел по гравитационным наблюдениям. Изв. АН СССР, сер.геогр. и геофиз., 1940, №3, с.363-371.

17. Гельфанд И.С. Прямая и обратная задачи потенциала притяжения для полушария. Тр. и мат. Свердловского горного ин-та, вып. 1940.

18. Гельфанд И.С. Прямая и обратная задача магнитного потенциала для шарового сегмента. Изв. АН СССР, сер.географ. и геофиз., 1944, № 5, с.292-295.

19. Голиздра Г.Я. Особые точки аналитического продолжения гравитационного поля и их связь с формой возмущающих масс.

20. В кн.: Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск, изд. НГУ, 1966, с.273-388.

21. Голиздра Г.Я. Решение прямой задачи гравиметрии для трехмерных масс. В сб.: Материалы геофизических исследований на Украине. Киев, Наукова думка, 1972, с.54-66.

22. Голиздра Г.Я., Ахметшина А.К. О природе обширных гравитационных аномалий Украинского щита. Изв. АН СССР, Физика Земли,§ 8, 1972, с.91-100.

23. Голиздра Г.Я., Ахметшина А.К. Об источниках региональных гравитационных максимумов Приазовья. Геологический сборник АН УССР, вып.51, 1973.

24. Голиздра Г.Я., Попов В.М. Вычисление на ЭВМ поля гравитирую-щих масс. В сб. "Разведочная геофизика", 1973, Недра, вып. 56, с.83-91.

25. Голиздра Г.Я. Методика интерпретации геофизических исследований глубинного строения Украины. Геофизический сборник АН УССР, вып.61, 1974, с.43-49.

26. Голиздра Г.Я. Решение прямой задачи гравиразведки для вер-тикально-циливдрических масс. В сб.: Новые данные о геофиз. исследованиях на Украине. Киев: Наукова думка, 1974, с.31-40.

27. Голиздра Г.Я. О комплексной интерпретации гравитационного и сейсмического полей. Доклады АН УССР, сер.Б, М2, 1975.- 156

28. Голиздра Г.Я. Гравитационное поле слоистых сред переменной плотности. Геофизический сборник АН УССР, 1975, вып.63, с.46-53.

29. Голиздра Г.Я. Быстрый метод вычисления на ЭВМ гравитационного поля трехмерных масс. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1976, $ I, с.61-67.

30. Голиздра Г.Я. Решение прямой задачи гравиразведки на основе аналитического продолжения. "Доклады АН УССР", 1976, Б,10, с.870-874.

31. Голиздра Г.Я. Основные методы решения прямой задачи гравиразведки на ЭВМ. М.: ВИЭМС, Обзор. Серия: "Регион.разв. и промысл, геофизика", 1977, с.98.

32. Голиздра Г.Я., Татаринова Т.А. О вычислении гравитационного поля трехмерных масс. Геология и геофизика, 1978, Ж2,с.123-129.

33. Голиздра Г.Я. Вычисление гравитационного поля многогранника.-Изв. АН СССР, Физика Земли, 1981, № 8, с.95-99.

34. Гольдшмидт В.И. Региональные геофизические исследования и методика их количественного анализа. М.: Недра, 1979, 219 с.

35. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы сумм, рядов, интегралов и произведений. М.: Наука, 1971, изд.5-ое, 1108 с.

36. Дадюра В.А., Калихман Л.П. Алгоритм решения прямой задачи гравиразведки для контактной поверхности. В сб.: Геофизические исследования на Украине, Киев: Техника, 1970, с.137-140.

37. Заборовский А.И. К методике интерпретации магнитных аномалий. Тр. МГРИ, 20, 1940, с.275-277.

38. Завойский В.Н. Вычисление магнитных полей от анизотропных трехмерных тел в задачах магниторазведки. Изв. АН СССР,- 157

39. Физика Земли, 1978, № I, с.76-85.

40. Иванов В.К. Об определении гармонических моментов возмущающих масс по производной гравитационного потенциала, заданной на плоскости. Изв. АН СССР, сер.геогр. и геофиз., 14, № 5, 1950, с.403-415.

41. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала.-ДАН СССР, 105, № 3, 1955, с.409-412.

42. Качахидзе М.К. Решение трехмерной прямой задачи гравиметрии для многоугольной вертикальной призмы с выпуклым основанием.-Сообщ. АН ГССР, 107, № 2, 1982, с.293-296.

43. Качахидзе М.К. Решение трехмерной прямой задачи гравиметрии для многогранников П типа, когда плотность является функцией от координаты. Тр. физ. факультета ТГУ, т.23Б, № 14, 1982, с.59-66.

44. Качахидзе М.К., Абутидзе Н.И. Решение трехмерных прямых задач магнитометрии. Материалы университетской конференции по проблемам естествоведческих наук, Тбилиси, ТГУ, 1984 г.

45. Колюбакин В.В., Лапина М.И. Обзор способов решения прямой и обратной задач магнитной разведки. Тр. Ин-та физики Земли АН СССР, № 13 (180), I960, с.301.

46. Константинов Г.Н., Константинова Л.С. Альбом теоретических кривых пространственного распределения магнитного поля от моделей. Л.: ВИРГ, 1966, 344 с.

47. Кравцов Г.Г. Поле притяжения многогранников переменной плотности. -Л.: Зап. ЛГИ, 1978, вып.76, с.8-17.

48. Кравцов Г.Г. Поле притяжения двухмерной многоугольной призмы переменной плотности. Записки Ленинград, горного Ин-та, 1981, 89, о.91-101.

49. Кравцов Г.Г. Вычисление теоретических аномалий дТ^ при аппроксимации слабомагнитных геологических объектов косоусе-ченными призмами и многогранниками общего вида. "Зап. Ле-нингр. горн, ин-та", 1982, 92, с.70-79.

50. Кудря А.В., Сергеев В.О., Чернышев Ю.С. Расчет гравитационного поля для тел произвольной формы. В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1969, вып.1, с.258-275.

51. Кудря А.В., Сергеев В.О. Расчет вторых производных гравитационного поля для тел произвольной формы. В кн.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1971, вып.2, с.179-207.

52. Кудря А.В., Манагадзе Г.Д., Гермисашвили И.М. Интерпретация гравитационных аномалий над горизонтальным круговым полуцилиндром конечного простирания. Сообщ. АН ГССР, т.80, Jt I, 1975, с.96-100.

53. Кудря А.В., Манагадзе Г.Д., Церцвадзе Г.И. Прямой метод интерпретации гравитационных аномалий над горизонтальным эллиптическим цилиндром конечного простирания. Тр. Тбил.ун-та, т.181, 1976, с.79-87.

54. Кудря А.В., Манагадзе Г.Д., Глонти В.К. Интерпретация гравитационных аномалий над горизонтальным трехосным полуэллипсоидом.- Сообщ. АН ГССР, т.91, £ 3, 1978, с.592-596.

55. Кудря А.В. О решении прямых задач гравиметрии для трехмерных тел на ЭВМ. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1979, № 9, с.83-93.

56. Кудря А.В., Манагадзе Г.Д., Хундадзе И.М. Интерпретация аномалий силы тяжести над прямоугольной призмой конечного и бесконечного простирания. Тр.Тбил.ун-та, т.198, 1979, с.5-8.

57. Кудря А.В. Вычисление гармонических моментов трехмерных тел и решение прямой задачи гравиметрии. В "Геол. и геофиз.", 1981, Ht Ю, с.76-83.

58. Литвиненко O.K., Макаров В.А. Решение прямой задачи гравиразведки для трехмерных выпуклых тел (сейсмических структур) с помощью электронных машин. М.: Гостоптехиздат, "Прикладная геофизика", 1962, вып.33, с.155-260.

59. Логачев А.А., Захаров В.П. Магниторазведка. I.: Недра, 1979, с.351.

60. Лучицкий А.И., Гричук Л.В. Решение прямой задачи гравиметрии и магнитометрии для многогранника с линейной и квадратичной плотностью и намагниченностью. В сб. "Теория и практика интерпретации гравитационных аномалий", М., 1982, с.138-204.

61. Морозов Л.Н., Бабин Е.П., Голякова Г.й. и др. Методические рекомендации об обработке и интерпретации данных скважинной магниторазведки. Изд. Каз. фил. ВИРГ, Алма-Ата, 1977, с.83.

62. Никифоров П.М. Физические основания гравитационного метода горной разведки. Союзгеоразведка ЦНИГРИ, Геофизический сектор "БЙТОР", Ленинград, стеклография ЛГУ, 1932, 99 с.

63. Непомнящих А.А. Решение прямой задачи гравиметрии для двухмерного тела с п гранями. Вестник АН Казах.ССР, ЯА, 1952, с.67-68.

64. Непомнящих А.А. Прямая задача геофизики в случае трехмерных тел с плоскими гранями. М.: Геология, горное дело и металлургия, 1958, Ш 14.

65. Нусипов Е. Расчет элементов гравитационного и магнитного полей для тел произвольной формы. Л.: Научные труды Ленинградского горн, ин-та, 1972, вып.З, с.64-75.- 160

66. Нусипов Е. Об одном способе реализации решения прямой задачи гравиразведки на ЭВМ. Изв. АН Каз.ССР, сер. геол., 1972,1. I, с.78-82.

67. Пономарев В.Н., Бахвалов А.Н. Скважинная магниторазведка и магнитный каротаж. В кн.: Справочник геофизика, 71, Магниторазведка, М.: Недра, 1969, 399 с.

68. Справочник геофизика, том У. Гравиразведка. М.: Недра,1968, с.508.

69. Справочник геофизика, том У1. Магниторазведка. М.: Недра,1969, с.399.

70. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наукова думка, 1978, с.228.

71. Старостенко В.И., Оганесян С.М. О псевдорешениях и их использовании в некорректных задачах гравиметрии. В кн.: Теорияи методика интерпретации гравитационных полей, Киев: Наукова думка, 1981, с.170-178.

72. Страхов В.Н. Об обратной задаче логарифмического потенциала для контактной поверхности. Докл. АН СССР, 1971, 200, №4, с.817-820.- 161

73. Страхов Б.Н., Лапина М.И., Кузнецова О.А. О прямых задачах гравиметрии и магнитометрии. М.: Недра, Прикл. геофизика, 1974, вып.75, с.106-124.

74. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности. Изв. АН СССР,Физика Земли, № 6, 1974, с.39-60.

75. Страхов В.Н., Лапина М.И. Приближенная эквивалентность и её использование при решении прямых и обратных задач гравиметрии. Сб.: Прикладная геофизика, Л 80, М.: Недра, 1975,с.149-176.

76. Страхов В.Н. К теории логарифмического потенциала при переменной плотности возмущающих масс. Изв. АН СССР, Физика Земли, № 12, 1975, с.64-81.

77. Страхов В.Н. К теории метода искусственного подмагничивания. -Изв. АН СССР, Физика Земли, 1977, №7, с.56-74.

78. Страхов В.Н. Использование теории алгебраических функций в плоской задаче гравиметрии. Докл. АН СССР, т.234, № 3, 1978, с.611-615.

79. Страхов В.Н. Использование методов теории функции комплексного переменного при решении трехмерных прямых задач гравиметрии и магнитометрии. Докл. АН СССР, 1978, т.243, № I,с.70-73.

80. Страхов В.Н. О решении прямой двухмерной задачи гравиметрии.-ДАН СССР, 1978, т.234, № 2, с.310-313.

81. Страхов В.Н. К теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии "аналитический тир", порождаемый выметанием Пуанкаре. - Изв. АН СССР, Физика Земли, 1978, № 2, с.47-73.

82. Страхов В.Н. О проблеме параметризации в обратных задачах гравиметрии. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1978,Л6,с.39-49.- 162

83. Страхов В.Н., Лапина М.И. Биполярный анализ локальных двухмерных гравитационных аномалий. В сб.: Теория и методика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, М., ИФЗ АН СССР, 1979, с.5-82.

84. Страхов В.Н., Успенская К.М. Аппроксимация и оптимизация при решении прямой задачи гравиметрии и магнитометрии. -Изв. АН СССР, Физика Земли, № 5, 1979, с.56-80.

85. Страхов В.Н. Метод приближенного решения прямой трехмерной задачи гравиметрии. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1979, $ 9, с.52-62.

86. Страхов В.Н. К теории интерпретации двухмерных гравитационных аномалий от источников, распределенных по бесконечным областям. Докл. АН СССР, 1979, т.248, $ 5, с.1086-1090.

87. Страхов В.Н., Лучицкий А.И. О решении прямых двухмерных задач гравиметрии и магнитометрии. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1980, № 8, с.65-83.

88. Страхов В.Н., Лучицкий А.И. Решение прямой задачи гравиметрии и магнитометрии для некоторых классов распределений масс. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1980, № 10, с.48-64.

89. Страхов В.Н., Лапина М.И., Лучицкий А.И. Решение прямой задачи гравиметрии для некоторых специальных классов распределений масс. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1980, № II, с.45-61.

90. Страхов В.Н., Лапина М.И., Кучериненко В.А. О решении трехмерной прямой задачи гравиметрии. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1980, В 12, с.53-74.

91. Страхов В.Н., Лапина М.И. Об экономизации решений некоторых классических прямых задач гравиметрии и магнитометрии. В кн.: Теория и методика интерпретации гравитационных полей,- 163

92. Киев, Наукова думка, 1981, с.188-214.

93. Страхов В.Н., Шулаия Т.В. Решение прямых трехмерных задач гравиметрии и магнитометрии при произвольных непрерывных законах распределения плотности и намагниченности. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1981, Л 9, с.57-74.

94. Страхов В.Н., Лапина М.И. Прямые задачи гравиметрии и магнитометрии для произвольных однородных многогранников. -Изв. АН СССР, Физика Земли, 1982, №4, с.45-67.

95. Страхов В.Н., Качахидзе М.К. Решение некоторых трехмерных прямых задач гравиметрии. Сообщения АН ГССР, 1982, 106, № 2, с.301-304.

96. Страхов В.Н., Качахидзе М.К. Решение трехмерных прямых задач магнитометрии. Сообщения АН ГССР, 1982, 107, № 3,с.509-512.

97. Тафеев Г.П., Соколов К.П. Геологическая интерпретация магнитных аномалий. Л.: Недра, 1981, с.322.

98. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968, 206 с.

99. Тимофеев А.Ф. Интегрирование функций. М.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948, с.432.

100. Фрейденталь Г. Пуанкаре и теория автоморфных функций.

101. В кн.: А.Пуанкаре, Избр.труды, т.Ш, М.: Наука, 1974, с.689.

102. Цирульский А.В. О некоторых свойствах комплексного логарифмического потенциала однородной области. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1963, №7, с.1072-1076.

103. Цирульский А.В. О связи задачи об аналитическом продолжении логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области. Изв. АН СССР, сер.геофиз., 1964,1. И, с.1693-1697.

104. Цирульский А.В. О решении прямой и обратной задачи гравиразведки. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1974, 8> 9, с.39-45.

105. Цирульский А.В., Никонова Ф.И. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде.-Изв. АН СССР, Физика Земли, 1975, № 5, с.37-47.

106. Цирульский А.В., Никонова Ф.И., Федорова Н.В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений.- Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980, с.136.

107. Цирульский А.В., Пруткин И.Л. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов. I. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1981, $ II, с.45-53.

108. Цирульский А.В., Пруткин И.Л, 0 решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов, П. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1981, Л II,с.54-61.

109. Шалаев С.В. Применение функций комплексного переменного при геологическом истолковании гравитационных и магнитных данных. В кн.: Вопросы разведочной геофизики, Новосибирск, изд. СО АН СССР, I960, » I, с.116-125.

110. Шванк О.А., Люстих Е.Н. Интерпретация гравитационных наблюдений. Мл-Л.: Гостоптехиздат, 1947, с.399.

111. Шмидт О.Ю. Математическое определение тяжелых подземных масс по наблюдениям вариометром Eotv'osa Тр. магни-то-гравитац. отдела Особой Комиссии по изучению КМА, 1925, 6, с.51-64.

112. ИЗ. Шулаия Т.В. Машинно-табличный метод решения прямых задачгравиметрии при региональной интерпретации. Сообщ. АН ГССР, 1983, т.112, № 3, с.529-532.

113. Юньков А.А. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий над пластовидными телами. Львов, изд-во Львовского ун-та, 1968, 37 с.

114. Юньков А.А. О глубине поисков возмущающих тел с помощью гравитационных аномалий, измеренных в горной выработке. -Геофиз. сб. АН УССР, 1972, вып.46, с.3-10.

115. Barnett С.Т. Theoretical modelling of the magnetic and gravitational fields of an arbitrarily shaped three -dimensional body.-Geophysics,1976,v. 41 ,N 6,p. 1353-1364.

116. Bott M.H.P. The use of rapid digital computing methods for direct gravity interpretation of sedimentary basins.-Geo -phys.J.Roy.Astron; Soc.,3, N 1, 1960, p. 63.

117. Paul M.K. The gravity effect of a homogeneous polyhedron for three-dimensional interpretation Pure and Applied Geophysics, 1974, v. 112, n 5, p. 553-561.

118. Plouff Donald.Gravity and magnetic fields of polygonal prisms and application to magnetic terrain correction.Geophysics,1976,v. 41, N 4, p.727-741.

119. Talwani M., Ewing M. Hapid computation of gravitational attraction of three-dimensional bodies of arbitrary shape Geophysics, 1960, v. 25, H1, p. 203 - 225.