Пространственные задачи теории упругости для тороидальных и эллипсоидальных областей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кирилюк, Виталий Семеновичй

• Кирилюк, Виталий Семеновичй
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кирилюк, Виталий Семеновичй

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ. О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ.

§ I.I. Основные уравнения и соотношения теории упругости для изотропной среды.

§ 1.2. Некоторые представления решений уравнений равновесия в перемещениях.

Глава П. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ

ОБЛАСТЕЙ

§2.1. Эллипсоидальная система координат

§2.2. О напряженном состоянии упругой среды возле эллипсоидальной полости при полиномиальной структуре основного поля напряжений

§ 2.3. Явный вид решения в случае, когда основное поле напряжений - полином второго порядка

§ 2.4. Распределение напряжений вблизи упругого эллипсоидального включения.

§2.5. Температурные напряжения в среде с эллипсоидальной полостью.

§ 2.6. Свойства основных интегралов и рекуррентные соотношения между ними.

Глава Ш. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ ДЛЯ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ . III

§3.1. Тороидальные координаты . III

§ 3.2. О построении решений. Вторая основная краевая задача теории упругости для тора.

§3.3. Первая основная краевая задача для тороидальных областей.

§ 3.4. Задача о кручении цилиндрического вала, содержащего тороидальную полость или жесткое включение

§ 3.5. О растяжении упругого изотропного пространства, содержащего тороидальное жесткое включение или полость

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространственные задачи теории упругости для тороидальных и эллипсоидальных областей»

В процессе эксплуатации сооружения и конструкции подвергаются механическим, температурным и другим видам воздействий, поэтому при проектировании необходим их расчет на прочность и оценка надежности. Прочностные характеристики изделий можно получить на основании анализа напряженно-деформированного состояния. Однако, проведение такого анализа усложняется тем, что ряд элементов конструкций имеет сложную геометрическую форму, а также содержит дефекты (пустоты, неоднородности). Кроме того, иногда приходится нарушать сплошность и однородность материала различного рода отверстиями, полостями, включениями и т.д. в силу технологических и конструктивных соображений. Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что такие разрывы однородности вызывают местное увеличение (концентрацию) напряжений, которая бывает весьма значительна и существенно снижает несущую способность изделий.

Исследования напряженно-деформируемого состояния тел в рамках трехмерной теории упругости начались еще в XIX веке и к настоящему времени известны различные методы исследования задач и получены многие важные результаты в данной области.Пространственным задачам посвящены монографии А.Я.Александрова и Ю.И.Соловьева [2] ; В.Т.Гринченко [23] ; А.Н.Гузя и Ю.Н.Немиша [2В]; М.А.Колтунова, Ю.Н.Васильева и В.А.Чёрных [45]; А.С.Космодамианского и В.А.Шал-дырвана [42] ; В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелии, М.О.Башелейшвили и Т.Г.Бурчуладзе [46]; А.И.Лурье [52]; Ю.Н.Подильчука [81] » А.Ф.Улитко [101]; М.К.Кассира и Ж.С.Сига [118] и ДРч а также отдельные главы и разделы многих монографий других авторов.

По отдельным направлениям развития трехмерной теории упругости написан ряд обзорных работ: Б.Л.Абрамян и А.Я.Александров [1] ; й.й.Ворович [14]; А.Н.Гузь, в.Д;Кубенко и М.А.Черевко [25] ; Г.Миямото [122]; Ю.Н.Немиш [61] ; Г.Нейбер и Г.Хан [66] ; В.К.Прокопов [86] ; В.Л.Рвачев [89] ; А.Ф.Улитко [102] и др. Особого внимания заслуживает обзорная статья А.И.Каландии, А.И.Лурье, Г.Ф.Манджавидзе, В.К.Прокопова и Я.С.Уфлянда [32]; в которой проведен объемный анализ основных методов и важнейших результатов ПО' многим направлениям развития линейной теории упругости.

Ряд методов исследования трехмерных задач теории упругости основывается на представлениях решений однородных уравнений Ламе с помощью гармонических и бигармонических функций. Такие представления даны Буссинеском [115], Кельвиным и Тайтом [119] и др. Б.Г.Галеркин выразил общее решение однородных уравнений равновесия для изотропного тела через три бигармонических функции. В работах П.Ф.Папковича [68] и Г.Нейбера [65] предложена форма решения, содержащая четыре гармонических функции. Полнота решения Папковича-Нейбера была доказана Р.Д.Миндлиным [120]. Вопрос о возможности уменьшения числа гармонических функций до трех был рассмотрен в работах М.Г.Слободянского [93,94] , Р.Юбенкса и Е.Стерн-берга [112]. Различные формы решений уравнений равновесия для изотропной среды предложили также В.И.Блох [6] , В.Д.Деев [29] , Ю.А.Крутков [44] , К.В.Соляник-Красса [96] , М.Г.Слободянский [93,3V] и др.

С помощью функций комплексного переменного и интегралов типа Коши в известных монографиях Г.В.Колосова [40] и И.И.Мусхелишви-ли [60] разработан эффективный метод решения плоских граничных задач теории упругости для односвязных и многосвязных областей, ставший впоследствии классическим. И хотя этот метод непосредственно не применим к пространственным задачам теории упругости, аппарат функций комплексного переменного используется и при решении задач данного класса. Так в работах Г.Н.Положего [83,84] предложен метод решения осесимметричных пространственных задач теории упругости, связанный с использованием двух Р -аналитических функций и являющийся аналогом метода Колосова-Мусхелишвили. Указанным подходом в работах Г.Н.Положего, А.А.Капшивого и др. [33,34,85,106] получены решения сложных задач осесимметричной теории упругости. Другой метод решения осесимметричных и неосесим-метричных задач теории упругости для тел вращения, основанный на использовании свойств обобщенных аналитических функций,развит А.Я.Александровым [3,4] . Этим методом в работах А.Я.Александрова, В.С.Вольперта, Ю.И.Соловьева решены задачи теории упругости для изотропной и трансверсально-изотропной сред [2,11,12,95] и др.

Еще одним методом исследования трехмерных задач теории упругости является метод интегральных уравнений, с помощью которого доказаны теоремы существования и единственности решения краевых задач статики и установившихся колебаний упругих тел. Этот метод часто служит основой для разработки алгоритмов численного решения задач теории упругости. Методу интегральных уравнений посвящена известная монография В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелии, М.О.Башелейшвили, Т.В.Бурчуладзе [46] , а также работы В.Д.Купрадзе [45]» А.И.Вайн-динера и В.В.Москвитина [8] и др. На основе интегральных уравнений в монографии В.З.Партона и П.И.Перлина [71] проведено исследование напряженного состояния многосвязных и кусочно односвязных тел, тел с разрезами. Обзоры по современному состоянию метода интегральных уравнений проведены в трудах Ю.В.Верюжского [10] , П.З.Партона и П.И.Перлина [70] и др.

Находит применение в задачах пространственной теории упругости и метод интегральных преобразований. С помощью соответствующего интегрального преобразования (Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мелера-Фока и др.) переходим к более простой задаче в пространстве образов. Основная трудность при решении задач таким подходом заключается в нахождении формулы обращения. Достаточно обширная библиография работ по использованию этого метода в задачах теории упругости приведена в известной монографии Я.С.Уфлянда [I0Q]*

Необходимо отметить и высокую эффективность при решении пространственных задач теории упругости (особенно контактных) метода Я -функций В.Л.Рвачева. Основы и способы применения этого метода, позволяющего на аналитическом уровне точно учесть содержащуюся в постановке краевой задачи геометрическую информацию, и, предполагающего наряду с ним использование одного из вариационных или других методов, изложены в монографиях [90,91 ]

При исследованиях трехмерных задач теории упругости для неканонических областей применяется и метод возмущений формы границы. Так, в монографии А.Н.Гузя и Ю.Н.Немиша [26] и в работах[27,62-64, [107] и др., а также в статьях А.Д.Коваленко и В.Г.Карнаухова [38, 39] , в которых разработан другой вариант этого метода, построены решения пространственных задач теории упругости для областей, ограниченных поверхностями, близкими к цилиндрическим и сферическим. Еще один приближенный подход на основе метода возмущений к трехмерным задачам теории упругости для тел, близких к сферическим, предложил С.К.Датта f116J. В работах [76,77] разработан приближенный метод решения пространственных задач теории упругости для ортогональных областей, близких к эллипсоиду вращения.

Идея сведения решения граничной задачи в трехмерной постановке к последовательному решению двумерных задач привела к созданию и использованию теории разложений по системе функций. При этом решение пространственной задачи представляется в виде ряда или асимптотического разложения по системе базисных функций относительно координаты, вдоль которой протяженность тела значительно меньше его геометрических размеров в других координатных направлениях. Среди работ по данному направлению следует отметить труды И.Н.Ве-куа [91 , И.Й.Воровича, В.М.Александрова, В.А.Бабешко [13] , Н.А.Кильчевского [36] , А.С.Космодамианского f^/IJ, И.Ю.Хомы [ 105] и др.

При исследованиях напряженно-деформированного состояния тел сложной конфигурации применение аналитических методов связано с весьма значительными математическими трудностями. Поэтому, учитывая расширение возможностей вычислительной техники, в последнее время стали широко использовать различные численные методы (конечных элементов, конечных разностей, вариационно-разностные и др.). Развиваются также комбинированные методы, основанные на синтезе численных и экспериментальных. Для решения граничной задачи в перемещениях часто применяются метод конечных разностей (МКР), вариационно- разностный метод (BMP), метод дискретной ортогонализации С.К.Годунова, метод конечных элементов (МКЭ) и др. Метод дискретной ортогонализации получил дальнейшее развитие и применение для расчета оболочечных конструкций с переменными геометрическими и упругими характеристиками в трудах Я.М.Григоренко [21] , Я.М.Гри-горенко, А.Т.Василенко, Е.И.Беспаловой и др. [22] , Н.Д.Панкратовой [72] .

Весомый вклад в развитие методов конечных разностей и применение их к задачам математической физики внесли Г.И.Марчук, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов, Н.Н.Яненко и др. С помощью развитых ими методов решен широкий класс задач, в основном, плоской теории упругости. Решению пространственных задач теории упругости посвящены монографии И.Н.Молчанова [58], В.И.Гуляева, В.А.Баженовой,

П.П.Лизуновой [28] и др. В работах Ю.Н.Шевченко, В.В.Пискуна и В.Г.Савченко [109] , А.Л.Квитка, П.П.Ворошко и С.Д.Бобрицкой и др. для исследования напряженно-деформированного состояния тел сплошной конфигурации использовались МКЭ и ВРМ.

В силу универсальности алгоритмов и быстрого развития средств вычислительной техники численные методы, по-видимому, дадут возможность исследовать широкий класс задач математической физики, в том числе и задачи пространственной теории упругости. Однако, пока применение этих методов при решении трехмерных задач связано с определенными трудностями [56J . Кроме того, для алгоритмов численных методов весьма желательна апробация на задачах, которые решаются точными методами.

Одним из основных методов построения точных решений пространственных задач теории упругости является метод Фурье, который основан на применении криволинейных ортогональных систем координат, допускающих разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа или Гельмгольца, соответственно для задач статики и динамики. Отметим, что решения, полученные методом Фурье, являются исходными при построении решений задач для тел конечных размеров, ограниченных пересекающимися координатными поверхностями. Такие задачи рассматривались в работах [21,52,68,87,88,127] и др. При решении задач методом разделения переменных используются различные представления решений уравнений равновесия через функции напряжений. С помощью таких представлений исходная задача приводится к решению дифференциальных уравнений более простой структуры. Каждая функция напряжения в этих уравнениях не "завязана" с другими, но в граничные условия она при этом входит совместно с остальными. Чаще других используется решение в форме Папковича-Нейбера, поскольку оно позволяет применять при решении граничных задач теории упругости классические решения теории потенциала, представляемые в форме рядов и интегралов, содержащих специальные функции. Причем решение считается точным, если коэффициенты указанных рядов и плотности интегралов определяются в явном виде,

А.Ф.Улитко предложил весьма эффективный метод исследования пространственных задач математической физики - метод собственных вектор-функций, который является векторным аналогом метода Фурье. Он заключается в построении на граничной поверхности тел собственных функций векторной структуры. С помощью этого метода были получены решения сложных трехмерных задач теории упругости [47,48,103] и др. Обоснование метода собственных вектор-функций и способ его применения даны в монографии [101] .

Метод разделения переменных дает возможность получить решения для задач лишь для ограниченного числа областей, поскольку в дифференциальных уравнениях для функций напряжений переменные разделяются лишь в определенных системах координат. Координатных систем, в которых переменные разделяются в трехмерном уравнении Лапласа, известно одиннадцать: эллипсоидальные и десять вырожденных систем. Кроме того, в тороидальной и бисферической системах переменные разделяются с точностью до общего множителя.

И хотя исследований по пространственным задачам теории упругости для канонических областей (допускающих решение краевых задач методом разделения переменных) в целом проведено довольно много, задачи для областей, описываемых в эллипсоидальной (невырожденной) и тороидальной системах координат,изучены недостаточно. Для этого есть ряд объективных причин. Так, эллипсоидальная система - одна из самых сложных и коэффициенты Ламе в ней имеют весьма громоздкий вид, что затрудняет построение точных решений задач. При прямом подходе к внешним задачам теории потенциала для эллипсоидальных областей приходится использовать громоздкий аппарат эллипсоидальных функций, что весьма непросто. В тороидальных координатах общий множитель, который появляется при разделении переменных в уравнении Лапласа, зависит от двух переменных, что вызывает дополнительные трудности при решении задач. Так,в теории потенциала решение задачи Неймана для тора не удается получить в замкнутом виде. Все эти обстоятельства безусловно сказываются при решении задач теории упругости. Поэтому представляет научный интерес как исследование основных граничных задач пространственной теории упругости для эллипсоидальных и тороидальных областей, так и решение новых задач концентрации напряжений на неоднородноетях упомянутой формы.

Рассмотрим обзор литературы по трехмерным задачам теории упругости для тел эллипсоидальной и тороидальной формы,поскольку данная работа посвящена этому классу задач. Отметим, что если свойства среды заранее не оговариваются, то она предполагается однородной и изотропной.

Пространственные задачи для сфероидальных (эллипсоид вращения) областей изучались рядом исследователей. Так,в работе [128] О.Тедоне получил простое решение общей задачи о равновесии эллипсоида вращения при заданных декартовых составляющих вектора перемещений. Для представления решения использовались семь гармонических функций. Постоянные интегрирования в решении определялись в замкнутом виде через коэффициенты разложений перемещений в ряды по функциям Лапласа.

С помощью решения внешних граничных задач напряженное состояние вблизи сжатой сфероидальной полости изучил Г.Нейбер [65]. В сплюснутых координатах им были получены в замкнутом виде решения задач о концентрации напряжений в окрестности сфероидальной полости для случаев одноосного растяжения, кручения, чистого сдвига и чистого изгиба на бесконечности. М.А.Садовский и Е.Стернберг [126] рассмотрели задачу о распределении напряжений вокруг вытянутой сфероидальной полости, когда на бесконечности действует растягивающее усилие, перпендикулярное к полярной оси сфероида. Случай осесимметричного растяжения на бесконечности пространства с вытянутой эллипсоидальной полостью изучен в работе С.Г.Шапиро [108] . Задача о жестком сфероидальном включении в геле, подвергнутом действию однородного осесимметричного поля напряжений на бесконечности, исследована Н.Миямото в работе [121]. Р.Эдварсом в статье[117] изучался вопрос о концентрации напряжений в окрестности упругого сфероидального включения при произвольном однородном напряженном состоянии на бесконечности. Он определил и температурные напряжения, возникающие при однородном изменении температуры во всей среде. К.В.Соляник-Красса в работе [97] провел исследование осесимметричного напряженного состояния некоторых тел вращения - эллипсоида вращения, а также тела, содержащего замкнутую сфероидальную полость. Им получены решения таких задач: радиальное сжатие и изгиб плиты со сфероидальной полостью, растяжение стержня, содержащего малую сфероидальную полость и др. Распределение напряжений в бесконечном упругом теле с жестким сфероидальным включением, подверженном действию сосредоточенного момента, было изучено в fJZVj. Ю.Н.Подильчук [78,79] получил простое решение основных граничных задач для сплошного сфероида и пространства со сфероидальной полостью. Решение осесимметричной задачи теории упругости, а также некоторых задач термоупругости для полого эллипсоида вращения с помощью построения явного вида векторных гармоник на поверхности эллипсоида были даны в работах А.Ф.Улитко и Г.А.Куценко [48,49] . Те же авторы решили задачу о равновесии сфероида под действием сосредоточенных сил [47]. В работе [129] получено точное решение осесимметричной задачи двухосного растяжения полупространства, содержащего вытянутую сфероидальную полость. При построении решения использовались гармонические потенциалы Буссинеска, выражающиеся через сферические и цилиндрические функции в виде рядов и интегральных преобразований. В.С.Вольперюм [12] дано решение граничных задач для сфероида и сфероидальной полости в трансверсально-изот-ропной среде с помощью теории обобщенных аналитических функций.

Задачу о напряженном состоянии в окрестности трехосной эллипсоидальной полости для случая, когда главные оси поля напряжений на бесконечности совпадают с главными осями полости, впервые рассмотрели М.А.Садовский и Е.Штернберг [125]. При исследовании были использованы криволинейные эллипсоидальные координаты и решение выражалось через эллиптические функции Якоби этих координат. В процессе решения была получена система шестнадцати линейных алгебраических уравнений относительно пяти неизвестных постоянных, которая оказалась совместной. А.И.Лурье [53] предложил более простой путь решения этой задачи, основанный на использовании декартовой системы координат и позволяющий выразить решение через неполные интегралы первого и второго рода. Решение соответствующей задачи для случая упругого включения с использованием результатов [125] проведено К.Робинсоном в работе [124] . Задача о распределении напряжений в окрестности эллипсоидальной полости и упругом эллипсоидальном включении при произвольном однородном поле напряжений на бесконечности рассматривалась в [80] и [111] , причем в последней работе был сформулирован метод эквивалентного включения, который в дальнейшем неоднократно использовался многими исследователями. В работе [81] рассматривалась задача о напряженном состоянии упругой среды, содержащей эллипсоидальную полость, в случае,когда компоненты тензора напряжений на достаточном удалении от полости являются произвольными линейными функциями координат. В некоторых случаях задачи для эллипсоидальных полостей служили исходными при получении посредством предельного перехода решений соответствующих задач для эллиптических трещин [52,81,113].

Исследование напряженно-деформированного состояния бесконечного изотропного пространства, содержащего эллипсоидальную полость, при постоянной температуре на поверхности полости было проведено в [113]. Решение задачи базируется на использовании аппарата эллипсоидальных функции Ламе и результатах работы [125] . Приближенный метод решения задачи для бесконечной упругой среды, содержащий два или более эллипсоидальных включения, дан в работе[125], причем существенно использование метода эквивалентного включения Эшелби.

В работе [50] с помощью метода эквивалентного включения приведено одно из доказательств теоремы о полиномиальной консервативности, устанавливающей связь между полем деформаций упругой анизотропной среды, содержащей упругое включение^ полем деформаций внутри самого включения.

В статье [5 7] изучались задачи для жестких включений, имеющих форму эллипсоидальной иглы, и диска малой толщины в произвольной анизотропной среде при действии однородного внешнего поля, приведены явные выражения для напряжений на поверхности абсолютно жестких диска и иглы в трансверсально-изотропной среде.

Однако, несмотря на существующие подходы к решению задач о возмущении напряженного состояния упругой среды с эллипсоидальным включением, до сих пор не исследованы задачи концентрации напряжений на полостях и включениях эллипсоидальной (трехосный эллипсоид) формы в основном поле напряжений полиномиальной структуры, начиная с полинома второго порядка. Не решены также задачи термоупругости при неоднородном распределении температуры на поверхности эллипсоидальной полости. Эти вопросы исследуются в настоящей работе (гл.П).

Среди первых работ по задачам теории упругости для тороидальных тел следует упомянуть работу А.Вангерина [130] , в которой дано преобразование основных уравнений равновесия к изотермическим координатам вращения, т.е. ортогональным системам координат, возникающим в результате конформного отображения круга на некоторую плоскую область, с последующим вращением полученной области вокруг одной из осей симметрии. Общее решение уравнений равновесия было выражено через три гармонические функции. В качестве одного из примеров была рассмотрена граничная задача для кругового тора, которая привелась к решению бесконечных алгебраических уравнений весьма сложного вида. Исследования по их разрешимости не проводились. Другой важной работой была работа А.Ф.Захаревича о вращающемся торе [31] . В.А.Левшиным [55] с помощью выбора функций напряжений определенного вида рассмотрена задача о полом торе, подвергнутом внутреннему и внешнему давлению. В работе Г.В.Куценко [50] методом разложения по малому параметру изучена осесимметричная деформация полого тора, причем поставленная задача приведена к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. В работах [82,95] с помощью представления Папко-вича-Нейбера и применения обобщенных аналитических функций, соответственно, даны решения внутренней и внешней граничных задач теории упругости для осесимметрично нагруженного тора. Причем, в последней из работ приведены расчеты для пространства с тороидальной полостью, подвергнутому осесимметричному растяжению на бесконечности. С помощью рядов по степеням малого параметра в работе [51] рассмотрена задача о равновесии замкнутого тора под действиеы нагрузки, несимметричной относительно плоскости его геометрической симметрии, изучена жесткость на скручивание относительно криволинейной оси тора.

С.П.Гавелей и Ф.П.Боротой разработан алгоритм расчета осе-симметричного напряженно-деформированного состояния тела вращения по некоторой итерационной схеме и применен к случаю осесимметри-чески загруженного тора [15] . Задача об осесимметричном упругом деформировании полого тора (на основе упомянутого алгоритма) рассматривалась в работе [16] . Некоторые задачи об осесимметричном напряженно-деформированном состоянии эллиптического тора и итерационный алгоритм их решения приведены в [17] . В работе [IS] применявшаяся теми же авторами схема расчета осесимметричных задач теории упругости тел вращения соответствующего класса распространяется на случай неосесимметричного нагружения и используется для изучения распределения напряжений в упругом массиве с тороидальной полостью.

Однако, несмотря на упомянутые исследования, до настоящего времени не получены аналитические решения трехмерных основных граничных задач теории упругости для тороидальных областей, не рассмотрены некоторые важные задачи концентрации напряжений на полостях и включениях тороидальной формы.

Целью данной работы является исследование первой и второй основных трехмерных граничных задач теории упругости для тороидальных и эллипсоидальных областей и изучение на их основе концентрации напряжений вблизи полостей и включений упомянутой формы при различных нагружениях.

На защиту выносятся:

I. Аналитические решения трехмерных граничных задач теории упругости для тороидальных и эллипсоидальных областей.

I 17

2. Решение новых задач концентрации напряжений,

3. Разработка алгоритмов и реализация их в виде программ на современных ЭВМ, позволяющих получить количественные результаты для исследуемого класса задач.

4. Анализ механических эффектов, связанных с распределением напряжений вблизи полостей и включений эллипсоидальной и тороидальной формы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кирилюк, Виталий Семеновичй

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Найдены аналитические решения новых трехмерных граничных задач теории упругости для эллипсоидальных и тороидальных областей. Дано решение некоторых задач термоупругости для среды с эллипсоидальной полостью. Решения задач теории упругости для эллипсоидальных областей получены в замкнутом виде, для тороидальных - приведены к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений с матрицами ленточного типа.

2. На основании исследований первой и второй основных граничных задач теории упругости рассмотрены новые задачи концентрации напряжений.

3. Изучены некоторые вопросы повышения эффективности и экономичности расчетов, основанные на использовании рекуррентных соотношений и особенностях вычисления специальных функций.

4-. Проведенные числовые расчеты на современных ЭВМ позволяют судить о влиянии полостей и включений эллипсоидальной и тороидальной формы на напряженное состояние упругой среды.

Выявлены следующие механические эффекты:

Концентрация напряжений в среде существенно зависит от геометрических параметров неоднородностей (отношения полуосей эллипсоида и радиусов большой и малой окружностей для тора). Так, для эллипсоидальных полостей с отношениями полуосей (/1,8, С) = (3,2,1); (5,3,1) напряжения в среде, возникающие при действии основного поля напряжений, имеющего квадратичный вид (2.3.25) и соответствующему сдвигу в круговом цилиндре, в сечении DCZ превышали напряжения основного поля более, чем в 3 и 4 раза, соответственно. Причем, при увеличении отношения CL/c напряжения растут и их максимум в сечении XZ приближается к вершине эллипсоида, лежащей на оси Ох , хотя в самой этой точке напряжения отсутствуют,

В случае, когда вместо полости "впаяно" упругое включение, на характер распределения напряжений существенное влияние оказывают упругие характеристики включения. Так, в основном поле напряп жений (2.3.25) при уменьшении величины -7 становятся меньше г напряжения 6V , б^ , а увеличиваются касательные и нормальные к поверхности эллипсоидальной полости напряжения, т.е. Tllv и б'и.

Наличие неоднородностей эллипсоидальной формы в упругой среде искажает основное поле напряжений (2.3.25) возмущениями локального характера. Так, вдоль декартовых осей координат на расстояниях, равных наибольшему диаметру неоднородности, возмущения не превышали 3,3% (наибольшие возмущения для сферической полости) максимального напряжения основного поля.

Для тороидальных полостей при кручении ( М^О) и растяжении вдоль оси Dz наибольшая концентрация напряжений имела место в точках поверхности, наиболее близких к оси 0% . Так, при "утолщении" тора 0А25 - ^ - 0.5 напряжения в этих точках возрастали примерно от 2,2 до 3,1 раз при кручении и от 3,1 до 3,6 раз при растяжении ( V = 0,3) вдоль оси 0% по сравнению с напряжениями основного поля. При растяжении бэс-би^Л; =0 Q с "утоньшением" тора 2 - у - ° напряжения увеличиваются примерно от 2,4 до 2,9 раз, причем точки максимума приближаются к of точкам 0= £ •

Для "впаяного" жесткого тороидального включения характер распределения напряжений меняется. При кручении (Mz^O) напряжения с "утоньшением" включения угасают и точки максимума сдвигаются по поверхности включения в сторону оси его симметрии, приближаясь к точкам д=±Ж , Так, для О. = 2; 8 и V = 0,3 напряжения увеличиваются по сравнению с напряжениями примерно в 2,4 и 2 раза соответственно. При "утоныпении" включения для обоих случаев растяжения напряжения увеличиваются, причем для случая бЪ= 0 ; точки максимума приближаются вдоль поверхности включения к окружности 9 = , а для 6'x=6y>=(l'j (?£=q максимум напряжений всегда достигается у поверхности тора в точках наиболее удаленных от оси Оъ . Так, при = 2; 8 и

V = 0,3 максимальные напряжения превышают напряжения основного поля более, чем в 1,4 и 1,5 раза при растяжении вдоль 0% и 2,2 и 3,1 раза для случая 6х = ; = 0 соответственно.

Научные результаты, полученные в диссертационной работе, соответствуют планам НИР Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко и Института механики АН УССР. Они могут быть использованы при расчетах сложных полей напряжений в элементах конструкций, содержащих концентраторы напряжений эллипсоидальной и тороидальной формы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кирилюк, Виталий Семеновичй, 1984 год

1. Абрамян Б.Л. и Александров А.Я. Осесимметричные задачи теории упругости. - В кн.: Тр.П Всесоюз,съезда по теор. и прикл.механике. Механика твердого тела. М.: Наука, 1966, с.7-37.

2. Александров А.Я., Соловьев А.Я. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1979. - 464 с.

3. Александров А.Я. Решение осесимметричных задач теории упругости при помощи аналитических функций . Докл.АН СССР, 1961, 139,2, с.337-340.

4. Александров А.Я. Решение пространственных задач теории упругости для тел вращения при помощи аналитических и обобщенных аналитических функций. Тр.Новосиб.ин-та ж.-д.транспорта, 1970, вып.96, с.5-35.

5. Аржаных И.С., Бондаренко Б.А. Приложение теории функций комплексного переменного к трехмерным задачам математической теории упругости. Математическая физика, Тр.Ин-та математики АН

6. Уз.ССР, Ташкент, 1961, вып.23, с.35-52.

7. Блох В.И. Функции напряжений в теории упругости. Прикл.ма— тематика и механика, 1950, 14, № 4, с.414-422.

8. Борота Ф.П., Гавеля С.П. К исследованию напряженного состояния осесимметрически нагруженного тора. Математическая физика, 1970, вып.8, с.42-45.

9. Вайндинер А.И., Москвитин В.В. Сингулярные интегральные уравнения трехмерных задач упругости: регуляризация, кубатурные формулы, дифференциальные свойства и приближенные методы решения. Докл.АН СССР, 1976, 228, № 6, C.I3I0-I3I3.

10. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины.

11. В кн.: Тр.Тбилис.математ.ин-та АН Груз.ССР. Тбилиси, Мецниереба, 1965, вып.30. 103 с.

12. Вергожский Ю.В. Метод интегральных уравнений в механике деформируемых твердых тел.: Учеб.пособие. Киев, 1977. - 120 с.

13. Вольперт B.C. Пространственная задача теории упругости для эллипсоида вращения и эллипсоидальной полости. Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1967, № 3, с.118-124.

14. Вольперт B.C. Концентрация напряжений около эллипсоидальной полости или включения в трансверсально-изотропном теле. -Тр.Новосиб.ин-та инж.ж.-д.тр-па, 1972, вып.137, с.56-78.

15. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. - 455 с.

16. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластинок и оболочек. В кн.: Тр.П Всесоюз.съезда по теор. и прикл. механике. Механика твердого тела. М.: Наука, 1966, с.116-136.

17. Гавеля С.П., Борота Ф.П. Об одном итерационном методе решения осесимметрической задачи теории упругости. Математическая физика, 1967, вып.З, с.65-70.

18. Гавеля С.П., Глушко В.Т. и др. Расчетные исследования напряженно-деформированного состояния упругого массива в окрестности круговой полости. Прикл.механика, 1977, Д, № 9,с.27-32.

19. Гавеля С.П., Дихтяр В.Д., Скрипник В.П. Расчет осесимметрич-ного напряженно-деформируемого состояния эллиптического тора.-Математическая физика, 1975, вып.18, с.82-88.

20. Гавеля С.П., Глушко В.Т., Скрипник В.П. Неосесимметричное деформирование упругого массива с тороидальной полостью. -Прикл.механика, 1983, 19, № 3, с.30-34.

21. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложение к физике и механике. М.: Изд-во иностр.лит., 1953. - 372 с.

22. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. -М.: Изд-во иностр.лит., 1952. 476 с.

23. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Беспалова Е.И. и др. Численное решение задач статики ортотропных оболочек с переменными параметрами. Киев: Наук.думка, 1975. - 183 с.

24. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наук.думка, 1973. -228 с.

25. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев: Наук.думка, 1978. - 264 с.

26. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наук.думка, 1972. - 254 с.

27. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн.-Прикл.механика, 1978, 14, № 8, с.3-15.

28. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наук.думка, 1982. - 350 с.

29. Гузь О.М. Про один метод розв"язування тривим1рних л1н1йних задач механ1ки суц1льних середовищ для неканон1чних областей.-Доп.АН УРСР. Сер.А, 1970, № 4, с.352-355.

30. Гуляев В.И., Баженов В.А. Лизунов П.П. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач. Львов: Вища школа, 1978. - 192 с.

31. Деев В.М. О формах общего решения пространственной задачи теории упругости, выраженных при помощи гармонических функций. Прикл.математика и механика, 1959, 23, Ш 6, с.1132-1133.

32. Зимин Б.А. Метод эквивалентного включения в задаче о неоднородности. ДЕП. Редколлегия Ж. "Весн.ЛГУ. Мат.,мех.,астр." (Рукопись деп. в ВИНИТИ 30 мая 1978 г.), 1978, ДЕП. № 176978, 10 с.

33. Захаревич А.Ф. Распределение напряжений в ободе быстро вращающегося маховика. Зап.Ленингр.горн.ин-та, 1952, 26, № I,с.153-160.

34. Каландия А.И., Лурье А.И., Манджавидзе Г.Ф., Прокопов В.К., Уфлянд Я.С. Линейная теория упругости. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т.З. М.: Наука, 1972, с.4-70.

35. Капшивий 0.0. Про розв"язування осесиметричних задач теорП пружност1 для шару з цил1ндричного порожниною. В1сник Ки1в. ун-ту, № 4, сер.матем., мех., 1961, вип.1, с.96-106.

36. Капшивый А.А. Применение -аналитических функций к решению одной задачи осесимметричной теории упругости для слоистого конечного цилиндра. Вычисл. и прикл.математика. Межвед. научн.сб. Киев, 1966, вып.2, с.115-123.

37. Квитка А.Л., Ворошко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно-деформированное состояние тел вращения. Киев: Наук.думка, 1977. -208 с.

38. Кирилюк B.C. Некоторые задачи термоупругости для изотропной среды с эллипсоидальной полостью. ДЕП Тр.каф.матем.физики Киев.ун-та, 1982, ДЕП № 2668-82, с.98-107.

39. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. О приближенном методе решения пространственных задач теории упругости и вязкоупругости. -Прикл.механика, 1969, 5, № 8, с.1-10.

40. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. О приближенном методе расчета напряженного состояния толстостенных оболочек вращения. -Прикл.механика, 1970, б, № 6, с.3-12.

41. Колосов Г.В. Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексной переменной к теории упругости. Л.; М.: ОНТЙ, 1935. - 224 с.

42. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. Киев: Донецк. Вища школа, 1976. - 200 с.

43. Космодамианский А.С., Шалдырван В.А. Толстые многосвязные пластины. Киев: Наук.думка, 1978. - 240 с.

44. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: Высшая школа, 1975. - 526 с.

45. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1949. - 199с.

46. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: ГИФМЛ, 1963. - 472 с.

47. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976, - 663 с.

48. Куценко Г.В., Улитко А.Ф. Упругое равновесие эллипсоида под действием сосредоточенных сил. Прикл.механика, 1973, 9,4, с.16-22.

49. Куценко Г.В., Улитко А.Ф. Точное решение осесимметричной теории упругости для полого эллипсоида вращения. Прикл.механика, 1975, II, № 10, с.3-8.

50. Куценко Г.В. Тепловые напряжения в полом эллипсоиде, вызванные стационарным температурным полем. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1974, вып.14, с.109-113.

51. Куценко Г.В. Осесимметричная деформация толстостенной тороидальной оболочки. Прикл.механика, 1967, 3, № I, с.49-54.

52. Куценко Г.В. Об одной задаче осесимметричной деформации кругового юра. Прикл.механика, 1979, 15,te II, 0.46-51.

53. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. - 491 с.

54. Лурье А.И. Напряженное состояние вокруг эллипсоидальной полости. Докл,.АН СССР, 1952, 87, № 5, с.709-710.

55. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

56. Левшин В.А. О выборе функций напряжений для осесимметрично нагруженного тора. Научн.тр.Моск.технол.ин-та легкой пром-ти, 1962, вып.20, с.197-201.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

58. Миренкова Е.Н., Соснина Э.Г. Жесткий эллипсоидальный диск и игла в анизотропной среде. Прикл.математика и механика,1981, т.45, вып.I, с.165-170.

59. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наук.думка, 1979. - 316 с.

60. Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида. М.: Атомиздат, 1976. -144 с.

61. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

62. Немиш Ю.Н. Трехмерные граничные задачи теории упругости для неканонических областей. Прикл.механика, 1980, 16, № 2, с.3-39.

63. Нем1ш Ю.М. Про напружений стан товстост1нних оболонок обер-тання. Доп.АН УРСР. Сер.А, 1970, Ш 6, с.542-547.

64. Немиш Ю.Н. Упругое равновесие трехмерных деформируемых тел, ограниченных некруговыми цилиндрическими поверхностями. -Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1973, № 2, с.77-86.

65. Немиш Ю.Н., Чернопиский Д.И. Некоторые трехмерные граничные задачи для продольно гофрированных толстостенных цилиндров.-Прикл.механика, 1978, № 3, с.34~44.

66. Нейбер Г. Концентрация напряжений. М.: Гостехиздат, 1947. -204 с.

67. Нейбер Г., Хан Г. Проблема концентрации напряжений в науке и технике. Механика: Период.сб.пер.иностр.статей, 1967, Ш 3, с.109-13I.

68. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

69. Папкович П.Ф. Представление общего интеграла основных дифференциальных уравнений теории упругости через.гармонические функции. Изв.АН СССР. Сер.мат. и естеств.наук, 1932, II? 10,

70. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы. Докл.АН СССР, 1940, 27, Ш 4, с.335-339.

71. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения основных пространственных и плоских задач упругого равновесия. В кн.: Механика твердых деформируемых тел. Т.8 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР), М., 1975, с.5-84.

72. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. - 311 с.

73. Панкратова Н.Д. К решению задач статики многослойных цилиндрических оболочек с переменными по направляющей параметрами, 1971, 7, № 7, с.23-29.

74. Подильчук Ю.Н., Кирилюк B.C. Напряженное состояние упругой среды возле эллипсоидальной полости при полиномиальном поле напряжений на бесконечности. Прикл.механика, 1981, 17,10, с.31-41.

75. Подильчук Ю.Н., Кирилюк B.C. Неосесимметричная деформация тора. Прикл.механика, 1983, 19, № 9, с.3-8.

76. Подильчук Ю.Н., Лях В.В. Исследование напряженного состояния газонасыщенного горного массива возле эллипсоидальной выработки. Прикл.механика, 1979, 15, № 9, с.27-35.

77. Подильчук Ю.Н. Приближенный метод решения краевых задач теории упругости для фигур, близких к эллипсоиду вращения. -Прикл.механика, 1970, б, № 9, с.23-30.

78. Подильчук Ю.Н., Кириченко A.M. О приближенном методе решения краевых задач теории упругости для фигур, близких к эллипсоиду вращения. Докл.АН УССР, сер.А, 1970, № 7, с.650-655.

79. Подильчук Ю.Н. Деформация осесимметрично нагруженного упругого сфероида. Прикл.механика, 1965, I, № 6, с.

80. Подильчук Ю.Н. Деформация упругого сфероида. Прикл.механика, 1967, 3, № 12, с.34-42.

81. Под1льчук IO.M. Напружений стан навколо эл1псо1дально1 порож-нини при дов1льних сталих зусиллях на неск1нченност1. Доп. АН УРСР, 1964, Ш 9, C.II50-II54.

82. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. Киев: Наук.думка, 1979. - 238 с.

83. Под1льчук Ю.М. Осесиметрична деформац1я гора. Доп.АН УРСР. Сер.А, 1969, № Ю, с.924-927.

84. Положий Г.Н. Теория и применение р -аналитических и -аналитических функций. Второе изд. Киев: Наук.думка, 1973.424 с.

85. Положий Г.Н. О краевых задачах осесимметричной теории упругости. Метод -аналитических функций комплексного переменного. Укр.мат.журн., 1963, 15, № I, с.25-45.

86. Полож1й Г.М., Капшивий 0.0. Про розвиязання осесиметричних задач теорП пружност1 для ок1нченого цил1ндра. Прикл.ме-хан1ка, 1961, т.7, вып.б, с.616-626.

87. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям. В кн.: Тр.Ленингр.политехи.ин-та, 1967, № 279, с.31-46.

88. Прокопов В.К. Равновесие упругого осесимметрично нагруженного толстостенного цилиндра. Прикл.математика и механика, 1949, 13, № 2, с.135-144.

89. Прокопов В.К. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного цилиндра. Тр.Ленингр.политехи.ин-та, 1950, № 2, с.286-303.

90. Рвачев В.Л. Исследования ученых Украины в области контактных задач теории упругости. Прикл.механика, 1967, 3, № 10, с.109-116.

91. Рвачев В.Л. Методы алгебры логики в математической физике. -Киев: Наук.думка, 1974. 259 с.

92. Рвачев В.Л., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наук.думка, 1977. - 236с.

93. Ройтман А.Б., Шишканова С.Ф. О вычислении потенциальной функции неоднородного эллипсоида. Гидроаэромех. и теория упругости, 1973, вып.16, с.143-147.

94. Слободянский М.Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженные через гармонические функции. Прикл.математика и механика, 1954, 18,te I, с.55-74.

95. Слободянский М.Г. Об общих и полных формах решения уравнений упругости. Прикл.математика и механика, 1959, 23, № 3,с.468-482.

96. Соловьев Ю.И. Осесимметричная задача теории упругости для тора и пространства с тороидальной полостью. Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1969, № 3, с.99-105.

97. Соляник-Красса К.В. Функции напряжений осесимметричной задачи теории упругости. Прикл.математика и механика, 1957, 21,1. Ш 2, с.285-286.

98. Соляник-Красса К.В. Решение осесимметричной задачи в эллиптических координатах. Тр.Ленингр.политехи.ин-та, 1958, № 195, с.5-25.

99. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. - 830с.

100. Стоян Н.Н. О решении осесимметричных задач теории упругости для гиперболоидального слоя методом -аналитических функций. Докл.АН УРСР. сер.А, 1976, № 5, с.427-432.

101. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. - 560 с.

102. Ю1.Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наук.думка, 1979. -261 с.

103. Ю2.Улитко А.Ф. Метод векторных собственных функций в пространственных задачах теории упругости. Прикл.механика, 1967, 3, Ш 9, c.I-II.

104. ЮЗ.Улитко А.Ф. Напряженное состояние полой сферы, нагруженной сосредоточенными силами. Прикл.механика, 1968, 4, № 5, с. 38-45.

105. Ю4.Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. - 402 с.

106. Ю5.Хома И.Ю. Некоторые вопросы теории анизотропных оболочек переменной толщины. Прикл.механика, 1974, с.17-24.

107. Чемерис B.C. 0 методе приближенного решения первой основной задачи осесимметричной теории упругости. Прикл.механика, 1969, 5, № 5, с.58-62.

108. Чернопиский Д.й. О напряженном состоянии толстостенных гофрированных сферических оболочек. Прикл.механика, 1979, 15, Ш 10, с.128-133.

109. Шапиро Г.С. Осесимметричные деформации эллипсоида вращения.-Докл.АН СССР, 1947, 58, № 7, с.1309-1312.

110. Шевченко Ю.Н., Пискун В.В., Савченко В.Г. Решение осесимметричной пространственной задачи термопластичности на ЭЦВМ типа М-220. Киев: Наук.думка, 1975. - 108 с.

111. НО. Штернберг Э. Трехмерная концентрация напряжений в теории упругости. Механика: Период.сб.пер.иностр.статей, 1958, вып.6(52), с.73-80.

112. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: Изд-во иностр.лит., 1963. - 287 с.

113. Юбенкс Р., Стернберг Е. О полноте функций напряжений Бусси-неска-Папковича. Механика: Период.сб.пер.иностр.статей, 1957, вып.6(46), с.99-109.

114. CLdoani &.Н., Wcuuf. H.F. Ятпое£сц£м -itxuM амоаксШ LbOtk а ЬгсштСсхА. e£iCpM>ldUx£ zcLbcty,- "З&лкт. &t>c£Ue<L3 1980 , 3 , N2, p. 2.95-514.

115. EAoiMnccl Awd U jCana. Tlote. о/г tie Фши, due to a nuc&tu. cn <bke -Цпт a cztbtw. z&tcdwn tn ane&L&tic Ao&cl i&itA zufccL Aj^fuLteickiU! cnc&t

116. Click,, meek. яЬшиалу 3 4962,44 fN6, p.957-940.115. &оишп£А^ N. (ZjDpifxcttc&tb dei fritetvUe&i a deet CLLL rbOLLbzm&nt сШ. —

117. PcvziL : (kaitAwu Tfc^u, 4885.

118. Ke£u,n. W., Tact P.Q. TvzcdUe. /M^W^Ay-CamSxcdft : Vnitr. рхЩ. f 1379.

119. R. D. Tlo-te on. t-fa ОосЛ^иь and Px^mcc/l МчШ fcuudtml. (Xtrwt. MaiA. Лес., 1936,42. ,375.121. yftiycLnioto H. ccttc£ti£>cadc$?i алосспоС а ^его^ежош. inAivtCwi e£icfriotd ск ax, cttfctUte I. -fayb. ioc. Clfft. M£ck.} 1950, 3, A/15.

120. TtttycLmoto H. Ruuuf Oft tflL tJvt&i- oUmln.<Uo)t£L£. tAl&Zif s^-etcutccity.- y. ^aficLK. loo. ЩгсЛ. En.a. , 1957, 60, A/460Jp. 477-490.

121. TtIwccl T.f Ploicko&cdU Z.A. Too- Mtfaoiokig 6пАс>ъо$ешioe<L t&£ сксйеЛс&п. rnz&iod. Trattd. ASHE,1975, ЕЧ2} A/4, p. 847-852.124. fC. ЫаЫсс аяжм out cnc&Mcan. cn. an cn,ftjute <Ыи£. Cfffig. P4yd. , 195I, 22} MS,p. 1045-105V.

122. P. A. iwi. d'iMn ьубСпЖа. Madique.-VfUtih. jpwal et ct^f&gaeu.,

123. ТМош 0. Au-l Pw£&rria Ъ-eMk^iclc^uo zlcatcco dc miuclck cu wtclzlom. atti dead. haz. vtern ct. fu.t Uat.e ntvtuAы.1тдов is a/5

124. TMLckida ZUcUvo, IcUto fakiguU, ПссЫшы Mtvo, koclcthta, ыааао, Hccoeoyi Ьсиаш. zet/efcetu fea^cf^cae. -ТгшьЬ. fab. Лое, pUch. J9SI , A4J} AT ¥20p. 218-825.

125. Ufcuiytvcn J, Pto^^fn du (^ccA^ucc^U

126. UcO^tiJiVc Pofatwh^AcKft&t. OsccA. 972OUA. шге/ 0jtif£. IB75 , 559 NSl.