Асимптотический анализ ветвящихся блужданий с тяжелыми хвостами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Рытова Анастасия Игоревна

• Рытова Анастасия Игоревна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Рытова Анастасия Игоревна

§1.1. Описание модели

§ 1.2. Свойства случайных блужданий

1.2.1 Исследование возвратности с помощью гармонического анализа

1.2.2 Многомерный аналог леммы Ватсона

1.2.3 Асимптотика переходных вероятностей

§ 1.3. Спектральный анализ эволюционного оператора

Глава 2. Асимптотическое поведение численностей частиц

§2.1. Моменты в докритическом случае

§ 2.2. Моменты в критическом случае

§ 2.3. Вероятность выживания популяции

§ 2.4. Дуальность в смысле первых моментов

Заключение

68

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ ветвящихся блужданий с тяжелыми хвостами»

Введение

Диссертация является исследованием в области теории случайных процессов. Рассмотрим ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) с непрерывным временем по Ъ1, ё, ^ 1, с симметричным, однородным по пространству, неприводимым случайным блужданием и одним источником ветвления частиц, расположенным в начале координат. Неформально процесс можно описать следующим образом. Предположим, что изначально на всей решетке есть только одна частица, располагающаяся в х € Ъ1. Она совершает случайное блуждание до попадания в х0 = 0 € Ъ3'. Здесь частица проводит экспоненциально распределенное время и затем прыгает в другую точку решетки, или исчезает, возможно, оставляя случайное количество потомков. Тогда каждый потомок продолжает процессы блуждания и ветвления по тем же законам и независимо от других частиц.

Формирование теории ВСБ восходит к работам по диффузии частиц, см., например, статью Б.А. Севастьянова [51] и библиографию в работе З. Ши [34]. В зависимости от возникающих задач можно рассматривать разные предположения о пространстве блуждания (ограниченности, как у Б.А. Севастьянова[51], или неограниченности, как у Е.Б. Яровой [42]), о времени (непрерывное, как у Д.А. Доусона, Л.Г. Горостицы, А. Вакольбин-гера [13] или дискретное, как у З. Гао [17]), природе случайных блужданий (симметричное, как в большинстве моделей, или асимметричное, как у Е.Б. Яровой [46]), периодичности пространства, как у М.В. Платоновой и К.С. Рядовкина [28]), вероятностных свойствах блуждания и ветвления (конечности или бесконечности дисперсии скачков, как у А.И. Рытовой, Е.Б. Яровой[29]).

Эволюция системы с элементами, способными к перемещению, воспроизводству и гибели может быть описана как ВСБ. Например, в работе Б.М. Болкера, С.В. Пакала, С. Неухаузера [7] соответствующие модели были применены в задачах для биологических популяций, когда выводы

о стратегиях пространственного распространения и плодовитости конкурирующих видов растений были получены объединением результатов различных типов моделей: систем взаимодействующих частиц и моментных уравнений для пространственных точечных процессов. При изучении вопроса восстановления систем со случайным количеством независимо работающих серверов в работе В.А. Ватутина, В.А. Топчего, Е.Б. Яровой [37], где ветвление возможно только в начале координат, были найдены асимптотики выживаемости популяции, наличия частиц в источнике и условная предельная теорема ягломовского типа для общей численности частиц. В работе Е. Жижиной, С. Комеча, К. Декомбеса [49] предложена математическая модель для описания роста аксонов и объяснения различия между мутантными и нормальными видами, которые могут быть представлены как ансамбли траекторий случайных блужданий с непрерывным временем, и отличающиеся временем ожидания роста, где для мутантного случая рассматривалось распределение с бесконечным средним. Для решения задач популяционной динамики в работе С. Молчанова, Дж. Витмайера [27] рассмотрены пространственные модели для процесса Гальтона-Ватсона с миграцией и иммиграцией. При изучении распространения эпидемий в работе Е. Ермаковой, П. Махмутовой, Е. Яровой [14] модель ВСБ позволила исследовать не только количество инфицированных особей, но и их пространственное распределение. В работе Е.Вл. Булинской [12] исследована модель ВСБ с конечным числом N < ж катализаторов, в которых возможно ветвление частиц и иная вероятность выхода блуждания в отличие от остальных точек решетки. Такой процесс называется каталитическим ветвящимся процессом, и для него была дана классификация на надкритический, критический и докритический режимы в зависимости от значения перронова корня некоторой матрицы N х N .В работе М.В. Платоновой, К.С. Рядовкина [28] было изучено асимптотическое поведение среднего числа частиц ВСБ при условии конечности дисперсии скачков случайного блуждания, и с источниками ветвления, расположенными на периодическом графе, который может быть погружен в И1.

Существует большое количество разнообразных методов исследования моделей ВСБ. Их применение зависит от структуры пространства, в ко-

тором происходит блуждание частиц, и его размерности, свойств самого блуждания и ветвящейся среды (см., например, [50]). Не всегда методы, работающие для ВСБ в ^ можно применить для ВСБ в И1 (см., например, работу Ю. Фенг, С. Молчанова, Е. Яровой [15]). Также можно рассматривать ВСБ как частный случай ветвящихся процессов Беллмана-Харриса и использовать подходы, развитые в этой теории (см., например, работу В.А. Ватутина, В.А. Топчего, [35]). Для задач, возникающих из статистической физики, часто удобным оказывается привлечение теории дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах (см., например, работу Ю. Кондратьева, С. Молчанова, С. Пирогова, Е. Жижиной [23]). Структура ветвящейся среды в ВСБ может влиять на возникновение эффекта перемежаемости. Например, такой эффект для процессов со случайной средой обсуждается в работе С. Альбеверио, Л.В. Богачева, С.А. Молчанова, Е.Б. Яровой [4]. Для его исследования в работах Дж. Гартнера, С.А. Молчанова, [18], С. Молчанова [26], Я.Б. Зельдовича, С.А. Молчанова, А.А. Рузмайки-на, Д.Д. Соколова [48] использовался асимптотический анализ моментов. Было показано, что перемежаемость проявляется при быстро растущих моментах, например, когда второй момент растет намного быстрее, чем квадрат первого момента. Некомпактность пространства разрушает чисто точечный спектр оператора, определяющего эволюцию процесса и некоторые ранее применявшиеся методы в этом случае использовать непосредственно нельзя (см. работы Е.Б. Яровой [42], С. Альбеверио, Л.В. Богачева, Е.Б. Яровой [5]).

Переход к ВСБ расширяет круг задач, возникающих как в теории случайных блужданий, так и в теории ветвящихся процессов. Случайные блуждания с бесконечной дисперсией скачков принято называть в литературе случайными блужданиями с тяжелыми хвостами. Им посвящено достаточно много публикаций (см., например, книгу А.А. Боровкова, К.А. Боровко-ва [8] и библиографию в ней). Классификация асимптотического поведения ветвящегося случайного блуждания при условии достаточно общего вида, приводящем к бесконечной дисперсии скачков, оставалась важной и нерешенной задачей. До недавнего времени ветвящиеся случайные блуждания рассматривались, как правило, в предположении конечной дисперсии скач-

ков.

В диссертации рассматривается модель с непрерывным временем и марковским ветвящимся процессом в единственной точке пространства блуждания. Также предполагается, что лежащее в основе случайное блуждание пространственно однородно, симметрично и неприводимо, а отличительной особенностью являются тяжелые хвосты блуждания: переходные интенсивности а(х,у) убывают как |у — х\—(в'+а") при |у — х\ ^ ж, где а € (0, 2), и дисперсия скачков становится бесконечной. Для таких ВСБ, с пустым положительным точечным спектром оператора, асимптотики моментов чис-ленностей частиц ранее исследованы не были.

В статье А. Агбора, С. Молчанова, Б. Вайнберга [1] найдена асимптотика при \у — х\ + £ ^ ж переходных вероятностей для случайного блуждания с переходными интенсивностями а(х,у) также вида \у — х\— (^+а), \у — х\ ^ ж, а € (0, 2), и при естественных условиях регулярности на хвосты распределения длин скачков. Сходный результат, но при фиксированных х,у, и не требовавший условий регулярности, получен в работе А.И. Рытовой, Е.Б. Яровой [32].

Одной из первых работ по исследованию такой модели для простого случайного блуждания и процесса чистого размножения в источнике была, по-видимому, работа Е.Б. Яровой [43]. Более общие модели симметричного ВСБ с конечной дисперсией скачков случайного блуждания и одним источником ветвления были рассмотрены рядом авторов, например, В.А. Ватутиным, В.А. Топчием [36]. Как было показано Е.Б. Яровой [39], при отказе от конечности дисперсии скачков в ВСБ появляются новые эффекты. В частности, симметричное случайное блуждание теряет свойство возвратности на двумерной решетке и при определенных условиях на одномерной решетке. Модель ВСБ с тяжелыми хвостами и источником ветвления в каждой точке решетки рассмотрена в работе А. Гетан, С. Молчанова, Б. Вайнберга [19].

Рассмотрим надкритическое ВСБ, когда спектр эволюционного оператора содержит положительное собственное значение. В работе И.И. Хри-столюбова, Е.Б. Яровой [58] найдены асимптотики всех моментов для модели ВСБ с несколькими источниками и без условий на дисперсию скачков

для надкритического случая, когда наблюдается экспоненциальный рост численностей частиц.

Удобным для исследования оказывается введение параметра ¡3, характеризующего среднее количество потомков одной частицы, появившихся за малое время в источнике ветвления, называемого интенсивностью источника. Дифференциальный оператор, участвующий в уравнениях для моментов, имеет вид Нр := Л + Р$0(), где Л — генератор случайного блуждания, и (•) отражает наличие источника ветвления в точке 0 € Ъ1. Спектральные свойства Н^ будут определять асимптотическое поведение моментов.

Как было показано, например, в работе Е.Б. Яровой [39], для рассматриваемых ВСБ существует критическое значение ¡Зс, при превышении которого у оператора Н^ появляется положительное собственное значение А0. Это значение будет определять экспоненциальный рост численности популяции. Отметим частный случай, когда блуждания рассматривается на Ъ, тогда в моделях с конечной дисперсией скачков = 0, однако, как только хвосты длин скачков становятся достаточно тяжелыми, то (Зс становится положительным, и для достижения экспоненциального роста численности частиц в ВСБ требуется большая интенсивность источника по сравнению со случаем конечной дисперсией скачков случайного блуждания. Как было показано в работах А.И. Рытовой, Е.Б. Яровой [33], [30], [31], для рассматриваемых ВСБ с тяжелыми хвостами асимптотики моментов можно классифицировать на большее количество случаев, чем для ВСБ с конечной дисперсией, см. монографию Е.Б. Яровой [55].

Акцент в работе сделан на выявлении связи режима ВСБ и соотношений между размерностью пространства, (1, вероятностными характеристиками случайного блуждания, а, и ветвящегося процесса, ¡3. Теоремы о моментах формулируются с указанием диапазона значений (1/а и сравнения ¡3 с (Зс. Интересно отметить, что для похожего процесса с ветвлением и тяжелыми хвостами блуждания, но по был получен критерий устойчивости системы, основанный также на соотношениях между (1/а и 1//3, где а и ¡3 характеризуют блуждание и ветвление, см. работу Л.Г. Горостицы, А. Вакольбингера [21].

Цель работы. Целью работы является асимптотический анализ чис-ленностей частиц, их целочисленных моментов, а также анализ выживаемости популяции частиц в моделях ВСБ при условии тяжелых хвостов случайного блуждания, когда дисперсия скачков становится бесконечной.

Научная новизна. В работе получены новые результаты для случайного блуждания с тяжелыми хвостами и использованы для исследования более сложной модели с ветвлением частиц.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей, случайных процессов, преобразование Фурье, преобразование и метод Лапласа, тауберовы теоремы, методы теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, методы спектральной теории операторов.

Для получения основных эволюционных уравнений используются подходы, предложенные в монографии Яровой Е.Б. [55] для ВСБ с конечной дисперсией скачков.

Для исследования возвратности случайного блуждания была получена оценка преобразования Фурье переходных интенсивностей.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы специалистами в области теории вероятностей и случайных процессов, работающими в МГУ имени М.В. Ломоносова, Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН.

ВСБ с тяжелыми хвостами могут быть применены в различных областях, среди которых популяционная динамика, эволюция некоторых биологических процессов, модели распространения эпидемий.

Положения, выносимые на защиту.

1. Многомерный аналог леммы Ватсона при условии, что в показателе экспоненты стоит функция, имеющая в нуле степенной порядок роста, и, в общем случае, недифференцируемая.

2. Локальная предельная теорема для переходных вероятностей случайного блуждания с тяжелыми хвостами (на основе многомерного аналога леммы Ватсона).

3. Теорема об асимптотике вероятности невырождения популяции частиц

в зависимости от размерности решетки и параметра, отвечающего за свойства блуждания.

4. Теорема о ненулевой критической точке для интенсивности источника ветвления во всех целочисленных размерностях, при превышении которой средние численности частиц растут экспоненциально.

5. Классификация асимптотического поведения моментов численностей частиц в каждой точке решетки и на всей решетке в зависимости от ее размерности и параметра, отвечающего за свойства блуждания.

6. Теорема об асимптотическом поведении первого момента численности популяции частиц в каждой точке решетки и первого момента численности субпопуляции, порожденной одной из начальных частиц, в каждой точке решетки в ВСБ с одним источником ветвления и бесконечным числом начальных частиц.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях

1. Международные конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2014», «Ломоносов-2015», «Ломоносов-2016», секция «Математика и механика» (Москва, Россия)

2. VIII Московской международной конференции по Исследованию Операций (ORM2016, Москва, Россия, 2016)

3. «Ломоносовские чтения» в МГУ (Москва, Россия, 2017)

4. 2nd International Conference of Stochastic Methods (ICSM-2, Новороссийск, пос. Дюрсо, Россия, 2017)

5. Analytical and Computational Methods in Probability Theory and its Applications (ACMPT-2017, Москва, Россия, 2017),

6. 9th International Workshop on Applied Probability (IWAP 2018, Будапешт, Венгрия, 2018)

7. IX Московской международной конференции по Исследованию Операций (ORM2018-Germeyer100, Москва, Россия, 2018),

8. 4th International Conference of Stochastic Methods (ICSM-4, пос. Дивно-морское, Россия, 2019)

9. 62nd ISI World Statistics Congress (ISI WSC 2019, Куала-Лумпур, Малай-

зия, 2019)

Публикации. Результаты диссертации содержатся в 15 публикациях. Из них 5 статей в научных журналах Web of Science, SCOPUS, RSCI. В материалах международных конференций представлено 10 публикаций, из них 4 статьи. В работах, содержащих основные результаты, выводы и положения диссертационного исследования, выполненных совместно с Е.Б. Яровой, Е.Б. Яровой принадлежат постановки задач, а все результаты в этих работах получены А.И. Рытовой самостоятельно. Список работ автора приведен в конце автореферата и диссертации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе 3 параграфа, во второй главе 4 параграфа. Нумерация утверждений и формул двойная. В работе 16 теорем и 11 лемм. В списке литературы 58 наименований. Всего в работе 78 страниц.

В работу вошли результаты, выполненные при поддержке РФФИ (гранты 17-01-00468 и 20-01-00487).

В первой главе описывается модель ВСБ с одним источником ветвления, приводятся основные дифференциальные и интегральные уравнения и исследуются свойства случайных блужданий с тяжелыми хвостами. С помощью гармонического анализа получена оценка для преобразования Фурье, благодаря которой устанавливается критерий возвратности для случайных блужданий с тяжелыми хвостами в Z3. Выводится многомерный аналог леммы Ватсона, с помощью которого находится асимптотика переходных вероятностей. Проводится спектральный анализ эволюционного оператора ВСБ, изучается правый край спектра, вводится классификация ВСБ на надкритическое, критическое и докритическое.

Во второй главе проводится асимптотический анализ численностей частиц в каждой точке решетки и на всей решетке. Найдены асимптотики всех целочисленных моментов, а также вероятности невырождения популяции для критических и докритических ВСБ с тяжелыми хвостами. Для модели ВСБ, когда в начальный момент в каждой точке решетки находится по одной частице и ветвление возможно только в начале координат, установлено свойство дуальности в смысле первых моментов, а именно, ра-

венство математических ожиданий для численности частиц в точке и численности частиц субпопуляции, порожденной частицей, располагавшейся в этой точке в начальный момент времени.

В Заключении кратко приведены основные результаты работы.

Благодарность. Автор глубоко признателен научному руководителю, профессору Яровой Елене Борисовне за постановки и обсуждение задач и постоянное внимание к работе.

Глава 1

Ветвящиеся блуждания с тяжелыми хвостами и одним источником ветвления

Глава посвящена дифференциальным и интегральным уравнениям для ВСБ с тяжелыми хвостами и одним источником ветвления, изучению асимптотики переходных вероятностей случайного блуждания с тяжелыми хвостами, а также спектральному анализу эволюционного оператора процесса.

§1.1 Описание модели

Случайное блуждание с непрерывным временем, лежащее в основе процесса, задается матрицей переходных интенсивностей А = (а(х,у))х^у€Ъа, где Ъ — ненаправленная решетка, удовлетворяющей условиям А1. а(х,у) ^ 0 при у = х А2. —то < а(х,х) < 0

А3. ^у€Ъ<1,у=х а(х,У) = —а(х,х) для всех х € Ъ А4. а(х, у) = а(у, х) А5. а(х,у) = а(0,у — х)

А6. каждый вектор у € Ъ можно представить в виде у = ^у^, где У1 € Ъ3', а(0,у1) = 0 при всех 1 < г < к, т.е. случайное блуждание неприводимо. В частности, если а(х,у) = 0, то должно существовать некоторое количество к векторов у,ь € Ъ3', а(0,у¡) > 0, 1 < % < к, таких что через них реализуется переход из х в у, т.е. х + у% = у. Условия А4 — А5 позволяют представить элементы А функцией а : Ъ ^ К с помощью равенства а(у — х) = а(х, у). Тогда из условий А1 — А3

следует а € i1(ъd), т.к. Н*)| = Е^ Нх,У) = Т,уеЪ*,у=х К^К

+ 1а(х,х) = а(х,у) + |а(ж,ж)| = 2|а(ж,ж)| < ж.

Через а2 обозначим дисперсию скачков случайного блуждания

а2 = £ |2 Ф)

выраженную в терминах а(х) / (-а(0)). Их можно интерпретировать как вероятности совершить скачок на вектор г = 0 (см. [11]), т.к. из условия АЗ следует Ф)/(-а(0)) = 1.

Как показано, например, в [55], для модели, описанной выше, вероятности р(Ь, х, у) перехода частицы из точки х за время £ в точку у, для которых при Н ^ 0 выполнены

р(Н,х,у ) = а(х,у)Н + о(Ь), х = у, р(Н, х,х) = 1 + а(х, х)Н + о(Ь),

удовлетворяют обратным уравнениям Колмогорова

^^^ = ^ a(x,x')p(t,x',y), р(0,х,у) = 5(у - x), (1.Ц

х' GZd

где д(^) есть ^-функция Кронекера на 1/.

В дальнейшем будем рассматривать случайное блуждание с тяжелыми хвостами, когда функция а(х) имеет регулярное поведение на бесконечности

Ф) ~ , I*I ^ Ж (1.2)

где | • | — евклидова норма на Н(г/1х|) = Н(—х/1%|) — положительная непрерывная функция на = {х € ^ : | = 1} и а € (0, 2). В таком предположении дисперсия скачков становится бесконечной (см. [39]). Нами будет рассмотрен простейший случай, когда

Н (г/1г|) = С> 0. (1.3)

Мы предполагаем также, что ветвление в источнике описывается марковским ветвящимся процессом, заданным инфинитезимальной производящей функцией /(и) = ^Ж=0 Ьпип, 0 ^ и ^ 1. Считаем, что Ьп ^ 0 при

п = 1, —то < Ь1 < 0 и Ьп = 0. Обозначим через

то / то 1

Ьп_

, —Ь1

п=0 \ пф1

Р := Г(1) = Е пЬ" = —1>1) I —1 + £ п1Т I (1.4)

интенсивность источника, где последняя сумма характеризует среднее количество рождающихся частиц. Пусть [5= /(^(1) < то для всех к € N.

Чтобы задать процесс ВСБ, совместим случайное блуждание и ветвление так, как это сделано в [57]. Из теории ветвящихся процессов (см., напр., [20]) следует, что в начале координат случайное время до ветвления будет иметь экспоненциальное распределение с параметром —а(0) — Ь1. После чего частица превращается в случайное количество частиц или переходит в другую точку решетки.

Основной интерес при исследовании описанной модели представляет поведение локальных численностей частиц щ(у) в произвольной точке у € Ъ3', численность всей популяции ^ = ^2у€Ъа щ(у), их моменты тп^, х, у) = ЕХ$(У), шп^,х) = где Ех — математическое ожидание при условии,

что в начальный момент времени система содержала единственную частицу, расположенную в точке х.

Применяя схему вывода из [55], можем перейти к линейным дифференциальным уравнениям для р(Ь,х,у), т1(Ь,х), т1(Ь,х,у) в пространстве £р(Ъ3), 1 < р < то,

Лр(,*,у) = (Ар(р, •,у))(х), р(0,х,у) = 5(у — х), (1.5)

Лт1(,х)- = (Щт^, •))(х), Ш1(0,х) = 1, (1.6)

(И

йт^, х, у)

= (Нрт1(г, •, y))(x), т1(0, х^ у) = 5x(y), (1.7)

(И

где Л : £Р(Ъ3) ^ £Р(Ъ3), 1 ^ р ^ то, определяется равенством

(Л/)(х) = ^2а(х,хГ)/(хГ)

х'

а оператор как

Чр := Л + $До,

где Дж = , а 5Х = есть вектор-столбец на решетке, который равен 1 в точке х и 0 в остальных точках. В пространстве 12(Ъ3') оператор Л является самосопряженным.

Установлено, что вывод дифференциальных и интегральных уравнений по методу, предложенному в монографии [55], не зависит от условий, накладываемых на дисперсию случайного блуждания. Как следствие, все соответствующие уравнения имеют тот же вид, что и в случае конечной дисперсии. Из [55] имеем следующие уравнения (1.8)-(1.14). В обозначениях т^Ь) для т^Ь^х^у) и т^Ь^х), г > 2, справедливы уравнения для моментов

dt

где

= (Hpmn(t))(x) + (Sok)gn(mi(t),... ,mn—i(t)))(x), (1.8)

n f3(r) n\

gn(mi(t),m2(t),... ,mn-i(t)) = ^ — ^ ———\ m4 (t) ...mir (t).

^ \ %1 \ . . . \

r=2 i\,...,ir >0

¿iH-----+ir =n

(1.9)

Тогда можно вывести интегральные уравнения для моментов

mi(t,x,y) = p(t,x,y) + ft p(t — s,x, 0) m\(s, 0,y) ds, (1.10)

Jo

m\(t,x,y) = p(t,x,y) + ft m\(s,x, 0)p(t — s, 0,y) ds (1.11)

o

m\(t,x) = 1 + ft m\(s,x, 0) ds, (1.12)

o

для к > 2 справедливы уравнения

тк (t,x,y) = mi(t,x,y) + / mi(t — s,x, 0) gk (mi(s, 0,y),... ,mk—i(s, 0,y))ds,

o

(1.13)

mk(t,x) = m\(t,x)+ m\(t — s,x, 0) gk(m\(s, 0),... ,mk-i(s, 0))ds.

o

(1.14)

Важным инструментом анализа операторов Л и Hp служит преобразование Фурье переходных интенсивностей случайного блуждания

^(9) := ^a(z)ег{г,в\ в е [—7i,n]d. (1.15)

Также введем обозначение для преобразования Лапласа переходной вероятности случайного блуждания

ТО

G\{x, y) = J e-Xt p(t,x, y)dt, (1.16)

0

так называемой, функции Грина. Применив преобразование Фурье к уравнению (1.1) и выразив p(t, x, у), получим еще одно представление функции Грина

1 Г pi(0,y-x)

°х{х'у) = Щ* J Y-W)d0< (117)

где (•, •) — скалярное произведение в R.

Будем называть, следуя, например, [39], случайное блуждание возвратным, если G0 := G0{0,0) = то, и невозвратным, если G0 < то. В силу (1.17) для установления возвратности случайного блуждания достаточно оценок сверху и снизу преобразования Фурье ф{6).

Поведение ВСБ существенно зависит от свойства возвратности. Обозначим через fc наименьшую интенсивность источника такую, что при f > fc в спектре оператора Hp есть положительное собственное значение. Назовем ВСБ докритическим, если f < f с, критическим, если f = f с, и надкритическим, если ff > fc. В работе [3] для модели ВСБ, в которой дисперсия скачков конечна, было установлено, что численности частиц, как в каждой точке решетки, так и на всей решетке, растут экспоненциально только при f > fc. В [40] показано, что для случая одного источника вне зависимости от предположений на дисперсию скачков выполняются соотношения: если G0 = то, то fc = 0, и если G0 < то, то fc = G—1 = 1/G0.

Для рассматриваемых моделей ВСБ переход от конечной дисперсии скачков к бесконечной приводит к новым эффектам. Так, несмотря на то,

что при выполнении условия (1.2) основные дифференциальные и интегральные уравнения для производящих функций, уравнения для моментов численностей частиц сохраняются, свойства и асимптотики функций ^(0), р(Ь,х,у) и, как следствие, функций С\(х,у), т\(Ь,х,у) качественно меняются. Например, в случае бесконечной дисперсии скачков соотношение С0 < ж возможно в размерности ё, = 1 при а € (0,1), а также в размерностях ё, ^ 2 при а € (0, 2), тогда как в случае конечной дисперсии скачков соотношение С0 < ж выполняется только в размерностях ё, ^ 3. Это приводит к тому, что для решеток Ъ и Ъ2 значение @с может быть строго положительным, т.е. при ё, = 1 или ё, = 2 ВСБ с тяжелыми хвостами (в отличие от случая конечной дисперсии скачков) может быть докритиче-ским даже при надкритическом ветвящемся процессе в источнике.

§1.2 Свойства случайных блужданий

Исследуем свойства случайного блуждания с тяжелыми хвостами, такие как возвратность и асимптотическое поведение переходных вероятностей.

1.2.1 Исследование возвратности с помощью гармонического анализа

Из представления (1.17) вытекает, что для доказательства критерия возвратности случайного блуждания с тяжелыми хвостами, лежащего в основе рассматриваемого ВСБ, достаточно иметь оценки снизу и сверху для преобразования Фурье. Оценки для Ъ и Ъ2 получены в [47]. Ниже приведена лемма, которая дает такие оценки для Ъ3.

Лемма 1.1. Пусть для а : Ъ3 ^ К выполнены условия А1 — А6, а € (0, 2) и (1.2). Тогда для ее преобразования Фурье

С\в\а ^ \^(в)\, в € [—п^]3, (1.18)

где С > 0.

Доказательство. При доказательстве настоящей леммы будем следовать схеме доказательства [47, теорема 2]. Рассмотрим функцию

Обозначим через || • || тах-норму в К3, т.е. ||;?|| = тах{||х21, |х?\} для

Н0,Н0 — некоторые положительные константы.

При каждом к = 0,1, 2,... через Си обозначим куб с целочисленны-

ми координатами {г Е Ж? | ^ к}. Тогда Ж? \ {0} = У {Си \ Си-1}.

Следовательно, суммирование ряда /(в) можно проводить по переменной к Е М, соответствующей максимальной по модулю координате точек Си. Заметим, что перечисление всех точек поверхности куба сложнее, чем точек всего куба, т.к. в первом случае нужно последовательно фиксировать каждую из координат и менять две другие, тогда как в случае куба достаточно единовременного задания трех независимых диапазонов изменения каждой координаты.

Таким образом,

где

то

/(в) = ' (1 - ег{в>^

Преобразуем выражение с помощью

Тогда верно

то

f(ü) = V^

k3+

то

т = Е Рт; (24k2 + 2 - л до). (1-го)

к=\

где

п sin(k9г + 9г/2) - П sin(k9г - 9г/2)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рытова Анастасия Игоревна, 2021 год

Список литературы

[1] A. Agbor, S. Molchanov, and B. Vainberg. Global limit theorems on the convergence of multidimensional random walks to stable processes. Stoch. Dyn., 15(3):1550024, 14, 2015. ISSN 0219-4937. doi: 10.1142/S0219493715500240. URL https://doi.org/10.1142/ S0219493715500240.

[2] S. Albeverio and L. V. Bogachev. Branching random walk in a catalytic medium. I. Basic equations. Positivity, 4(1):41-100, 2000. ISSN 13851292. doi: 10.1023/A:1009818620550. URL https://doi.org/10.1023/ A:1009818620550.

[3] S. Albeverio, L. V. Bogachev, and Elena B. Yarovaya. Asymptotics of branching symmetric random walk on the lattice with a single source. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 326(8):975-980, 1998. ISSN 0764-4442. doi: 10.1016/S0764-4442(98)80125-0. URL https://doi.org/10.1016/ S0764-4442(98)80125-0.

[4] S. Albeverio, L. V. Bogachev, S. A. Molchanov, and E. B. Yarovaya. Annealed moment Lyapunov exponents for a branching random walk in a homogeneous random branching environment. Markov Process. Related Fields, 6(4):473-516, 2000. ISSN 1024-2953.

[5] S. Albeverio, L. V. Bogachev, and E. B. Yarovaya. Branching random walk with a single source. In Communications in difference equations (Poznan, 1998), pages 9-19. Gordon and Breach, Amsterdam, 2000.

[6] P. Barbe. Approximation of integrals over asymptotic sets with applications to probability and statistics. ArXiv e-prints, 2003.

[7] B. M. Bolker, S.W. Pacala, and C. Neuhauser. Spatial dynamics in model plant communities: what do we really know? Am. Nat., 162:135-148, 2003.

[8] A. A. Borovkov and K. A. Borovkov. Asymptotic analysis of random walks: heavy-tailed distributions. Cambridge University Press, Cambridge, 2008. ISBN 978-0-521-88117-3.

[9] K. Breitung and M. Hohenbichler. Asymptotic approximations for multivariate integrals with an application to multinormal probabilities. J. Multivariate Anal., 30(1):80-97, 1989. ISSN 0047-259X. doi: 10.1016/0047-259X(89)90089-4. URL https://doi.org/10.1016/ 0047-259X(89)90089-4.

[10] K. W. Breitung. Asymptotic approximations for probability integrals, volume 1592 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1994. ISBN 3-540-58617-2. doi: 10.1007/BFb0073538. URL https: //doi.org/10.1007/BFb0073538.

[11] E. Vl. Bulinskaya. Strong and weak convergence of the population size in a supercritical catalytic branching process. Doklady Mathematics, 92(3): 714-718, November 2015. doi: 10.1134/s1064562415060228. URL https: //doi.org/10.1134/s1064562415060228.

[12] E. Vl. Bulinskaya. Complete classification of catalytic branching processes. Theory Probab. Appl, 59(4):545-566, 2015. ISSN 0040-585X. doi: 10.1137/S0040585X97T987314. URL https://doi.org/10.1137/ S0040585X97T987314.

[13] D. A. Dawson, L. G. Gorostiza, and A. Wakolbinger. Occupation time fluctuations in branching systems. J. Theoret. Probab., 14(3):729-796, 2001. ISSN 0894-9840. doi: 10.1023/A:1017597107544. URL https: //doi.org/10.1023/A:1017597107544.

[14] E. Ermakova, P. Makhmutova, and E. Yarovaya. Branching random walks and their applications for epidemic modeling. Stoch. Models, 35(3):300-317, 2019. ISSN 1532-6349. doi: 10.1080/15326349.2019.1572519. URL https://doi.org/10.1080/15326349.2019.1572519.

[15] Y. Feng, S. Molchanov, and E. Yarovaya. Stability and instability of steady states for a branching random walk. Methodology and Computing in Applied Probability, 05 2020. doi: 10.1007/s11009-020-09791-0.

[16] W. Fulks and J. O. Sather. Asymptotics. II. Laplace's method for multiple integrals. Pacific J. Math., 11:185-192, 1961. ISSN 0030-8730. URL http: //projecteuclid.org/euclid.pjm/1103037543.

[17] Z. Gao. Exact convergence rate of the local limit theorem for branching random walks on the integer lattice. Stochastic Process. Appl., 127(4): 1282-1296, 2017. ISSN 0304-4149. doi: 10.1016/j.spa.2016.07.015. URL https://doi.org/10.1016Zj.spa.2016.07.015.

[18] J. Gartner and S. A. Molchanov. Parabolic problems for the Anderson model. I. Intermittency and related topics. Comm. Math. Phys., 132 (3):613-655, 1990. ISSN 0010-3616. URL http://projecteuclid.org/ euclid.cmp/1104201232.

[19] A. Getan, S. Molchanov, and B. Vainberg. Intermittency for branching walks with heavy tails. Stochastics and Dynamics, 09 2015. doi: 10.1142/ S0219493717500447.

[20] I. I. Gihman and A. V. Skorohod. The theory of stochastic processes II. Grundlehren Math. Wiss., 218, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975.

[21] L. G. Gorostiza and A. Wakolbinger. Persistence criteria for a class of critical branching particle systems in continuous time. Ann. Probab., 19(1): 266-288, 1991. ISSN 0091-1798. URL http://links.jstor.org/sici? sici=0091-1798(199101)19:1<266:PCFAC0>2.0.C0;2-X&origin=MSN.

[22] E. Hashorva, D. Korshunov, and V. I. Piterbarg. Asymptotic expansion of Gaussian chaos via probabilistic approach. Extremes, 18(3):315-347,

2015. ISSN 1386-1999. doi: 10.1007/s10687-015-0215-3. URL https: //doi.org/10.1007/s10687-015-0215-3.

[23] Y. Kondratiev, S. Molchanov, S. Pirogov, and E. Zhizhina. On ground state of non local schrodinger operators. Applicable Analysis, 96:1390-1400, 01

2016. doi: 10.1080/00036811.2016.1192138.

[24] V. Kozyakin. Hardy type asymptotics for cosine series in several variables with decreasing power-like coefficients. International Journal of Advanced

Research in Mathematics, 5:35-51, June 2016. doi: 10.18052/www.scipress. com/ijarm.5.35. URL https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ ijarm.5.35.

[25] M. A. Krasnosel'skii. The operator of translation along the trajectories of differential equations. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 19. Translated from the Russian by Scripta Technica. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1968.

[26] S. Molchanov. Lectures on random media. In Lectures on probability theory (Saint-Flour, 1992), volume 1581 of Lecture Notes in Math., pages 242411. Springer, Berlin, 1994. doi: 10.1007/BFb0073874. URL https:// doi.org/10.1007/BFb0073874.

[27] Stanislav Molchanov and Joseph Whitmeyer. Spatial models of population processes. In Modern problems of stochastic analysis and statistics, volume 208 of Springer Proc. Math. Stat., pages 435-454. Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-65313-6_17. URL https://doi.org/10.1007/ 978-3-319-65313-6_17.

[28] M. V. Platonova and K. S. Ryadovkin. Branching random walks on Zd with periodically distributed branching sources. Teor. Veroyatn. Primen., 64(2):283-307, 2019. ISSN 0040-361X. doi: 10.1137/S0040585X97T989465. URL https://doi.org/10.1137/S0040585X97T989465.

[29] A. Rytova and E. Yarovaya. Survival analysis of particle populations in branching random walks. Communications in Statistics - Simulation and Computation, pages 1-15, May 2019. doi: 10.1080/03610918.2019.1618870. URL https://doi.org/10.1080/03610918.2019.1618870.

[30] A. Rytova and E. Yarovaya. Heavy-tailed branching random walks on multidimensional lattices. a moment approach. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, pages 1-22, July 2020. doi: 10.1017/prm.2020.46. URL https://doi.org/10.1017/prm.2020.46.

[31] A. I. Rytova and E. B. Yarovaya. Weakly supercritical branching walks with heavy tails. In VIII Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2016): Москва, 17-22 октября 2016 г.:

Труды / Ed. by А. Ф. Измаилов., volume 1, pages 216-217. МАКС Пресс, Москва, 2016.

[32] A. I. Rytova and E. B. Yarovaya. Multidimensional watson lemma and its applications. Mathematical Notes, 99(3-4):406-412, 2016. doi: 10.1134/s0001434616030093. URL https://doi.org/10.1134/ s0001434616030093.

[33] A. I. Rytova and E. B. Yarovaya. Moments of particle numbers in a branching random walk with heavy tails. Russian Mathematical Surveys, 74(6):1126-1128, December 2019. doi: 10.1070/rm9914. URL https: //doi.org/10.1070/rm9914.

[34] Z. Shi. Branching random walks. In Lecture notes from the 42nd Probability Summer School held in Saint Flour, 2012. Lecture Notes in Mathematics, 2151. Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour. Saint-Flour Probability Summer School] Springer, Cham, 2015.

[35] V. A. Topchii and V. A. Vatutin. Catalytic branching random walks in Zd with branching at the origin. Siberian Advances in Mathematics, 23 (2):123-153, April 2013. doi: 10.3103/s1055134413020065. URL https: //doi.org/10.3103/s1055134413020065.

[36] V. A. Vatutin and V. A. Topchii. Limit theorem for critical catalytic branching random walks. Theory of Probability & Its Applications, 49(3): 498-518, January 2005. doi: 10.1137/s0040585x97981214. URL https: //doi.org/10.1137/s0040585x97981214.

[37] V. A. Vatutin, V. A. Topchii, and E. B. Yarovaya. Catalytic branching random walks and queueing systems with a random number of independently operating servers. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 69(00):1-16, 2004. doi: 10.1090/s0094-9000-05-00609-5. URL https://doi.org/10.1090/s0094-9000-05-00609-5.

[38] E. Yarovaya. Critical and subcritical branching symmetric random walks on d-dimensional lattices. In Advances in data analysis, Stat. Ind. Technol., pages 157-168. Birkhauser Boston, Boston, MA, 2010.

doi: 10.1007/978-0-8176-4799-5_15. URL http://dx.doi.org/10.1007/ 978-0-8176-4799-5_15.

[39] E. Yarovaya. Branching random walks with heavy tails. Comm. Statist. Theory Methods, 42(16):3001-3010, 2013. ISSN 0361-0926. doi: 10.1080/03610926.2012.703282. URL https://doi.org/10.1080/ 03610926.2012.703282.

[40] E. Yarovaya. The structure of the positive discrete spectrum of the evolution operator arising in branching random walks. Doklady Mathematics, 92:507-510, 07 2015. doi: 10.1134/S1064562415040316.

[41] E. Yarovaya. Positive discrete spectrum of the evolutionary operator of supercritical branching walks with heavy tails. Methodol. Comput. Appl. Probab, 19(4):1151-1167, 2017. ISSN 1387-5841. doi: 10.1007/s11009-016-9492-9. URL https://doi.org/10.1007/ s11009-016-9492-9.

[42] E. B. Yarovaya. Application of spectral methods in the study of branching processes with diffusion in a noncompact phase space. Teoret. Mat. Fiz., 88 (1):25-30, 1991. ISSN 0564-6162. doi: 10.1007/BF01016334. URL https: //doi.org/10.1007/BF01016334.

[43] E. B. Yarovaya. Use of spectral methods to study branching processes with diffusion in a noncompact phase space. Theoretical and Mathematical Physics, 88(1):690-694, July 1991. doi: 10.1007/bf01016334. URL https: //doi.org/10.1007/bf01016334.

[44] E. B. Yarovaya. Critical branching random walks on low-dimensional lattices. Discrete Mathematics and Applications, 19(2):191-214, January

2009. doi: 10.1515/dma.2009.011. URL https://doi.org/10.1515/dma. 2009.011.

[45] E. B. Yarovaya. Models of branching walks and their use in the reliability theory. Automation and Remote Control, 71(7):1308-1324, July

2010. doi: 10.1134/s0005117910070052. URL https://doi.org/10.1134/ s0005117910070052.

[46] E. B. Yarovaya. Branching random walks with several sources. Math. Popul. Stud., 20(1):14-26, 2013. ISSN 0889-8480. doi: 10.1080/08898480. 2013.748571. URL https://doi.org/10.1080/08898480.2013.748571.

[47] E. B. Yarovaya. Criteria for transient behavior of symmetric branching random walks on Z and Z2. In New Perspectives on Stochastic Modeling and Data Analysis, pages 283-294. ISAST Athens Greece, 2014.

[48] Ya. B. Zel'dovich, S. A. Molchanov, A. A. Ruzmauikin, and D. D. Sokoloff. Intermittency, diffusion and generation in a nonstationary random medium. In Mathematical physics reviews, Vol. 7, volume 7 of Soviet Sci. Rev. Sect. C Math. Phys. Rev., pages 3-110. Harwood Academic Publ., Chur, 1988.

[49] E. Zhizhina, S. Komech, and X. Descombes. Modelling axon growing using ctrw. arxive, pages arXiv:1512.02603v1 [q-bio.NC], 12 2015.

[50] А. И. Рытова. Гармонический анализ ветвящихся случайных блужданий с тяжелыми хвостами. Фундамент. и прикл. матем., 23(1): 175-189, 2020.

[51] Б. А. Севастьянов. Ветвящиеся случайные процессы для частиц, диффундирующих в ограниченной области с поглощающими границами. Теория вероятн. и ее примен., 3:121-136, 1958.

[52] М. В. Федорюк. Асимптотика: Интегралы и ряды. Справочная Математическая Библиотека. Наука, Москва, 1987.

[53] В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, volume 1, 2. Мир, 1984.

[54] Д.А. Коршунов В.И. Питербарг Е. Хашорва. Об асимптотическом методе Лапласа и его применении к случайному хаосу. Математические заметки, 97(6):868-883, 2015. ISSN 2305-2880; 0025-567X.

[55] Е. Б. Яровая. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. Центр прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ М, 2007. ISBN 978-5-211-05431-8.

[56] Е. Б. Яровая. Симметричные ветвящиеся блуждания с тяжелыми хвостами. In Современные проблемы математики и механики, volume 7

of Теория вероятностей и математическая статистика, pages 7784. Изд-во Моск. ун-та M, 2011.

[57] Е. Б. Яровая. Спектральная асимптотика надкритического ветвящегося случайного блуждания. Теория вероятностей и ее применения, 62(3):518-541, 2017. ISSN 0040-361X. doi: 10.4213/tvp5111.

[58] И.И. Христолюбов Е.Б. Яровая. Предельная теорема для надкритического ветвящегося блуждания с источниками различной интенсивности. Теория вероятн. и ее примен., 64(3):456-480, 2019. doi: 10.4213/tvp5245. URL https://doi.org/10.4213/tvp5245.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в научных журналах Web of Science, SCOPUS, RSCI

[1 ] Рытова А. И., Яровая Е. Б. Многомерная лемма Ватсона и ее применение // Математические заметки. - 2016. - Т. 99, № 3. - С. 395-403. Rytova A.I., Yarovaya E.B. Multidimensional Watson lemma and its applications // Mathematical Notes. - 2016. - Vol. 99. - №3-4. - P. 406412. (ИФ WoS 0.626) / 0.44 п.л. / вклад соискателя 0.38 п.л. [2 ] Рытова А. И., Яровая Е. Б. Моменты численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании с тяжелыми хвостами // Успехи матем. наук. - 2019. - Т. 74, № 6. - С. 165-166.

Rytova A.I., Yarovaya E.B. Moments of particle numbers in a branching random walk with heavy tails // Russian Mathematical Surveys. - 2019. - Vol. 74. - №6. - P. 1126-1128. (ИФ WoS 1.345) / 0.13 п.л. / вклад соискателя 0.06 п.л. [3 ] Rytova A., Yarovaya E. Survival analysis of particle populations in branching random walks // Communications in Statistics - Simulation and Computation. -2019. - P. 1-16. (ИФ SJR 0.439) / 1 п.л. / вклад соискателя 0.94 п.л. [4 ] Рытова А. И. Гармонический анализ ветвящихся случайных блужданий с тяжелыми хвостами // Фундамент. и прикл. матем. - 2020. -Т. 23, вып. 1. - С. 175-189.

Rytova A. I. Harmonic analysis of branching random walks with heavy tails // Fundamental and Applied Mathematics. - 2020. - Vol. 23. - №1. -P. 175-189. (ИФ SJR 0.12) / 0.94 п.л. / вклад соискателя 0.94 п.л. [5 ] Rytova A., Yarovaya E. Heavy-tailed branching random walks

on multidimensional lattices. A moment approach // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A Mathematics. - 2020. - P. 1-22. (ИФ SJR 1.08) / 1.47 п.л. / вклад соискателя 1.25 п.л. В работах [1], [2], [3], [5] Е.Б. Яровой принадлежат постановки задач. Все результаты в этих работах получены А.И. Рытовой самостоятельно.

Статьи в трудах научных конференций

[6 ] Rytova A. I., Yarovaya E. B. Weakly supercritical branching walks with heavy tails // VIII Московская международная конференция по исследованию операций (0RM2016): Москва, 17-22 октября 2016 г.: Труды / Ed. by А. Ф. Измаилов. - Vol. 1. - МАКС Пресс, Москва, 2016. - P. 216217.

[7 ] Rytova A. I. Harmonic analysis of random walks on lattices // Proceedings of the International Conference Analytical and Computational Methods in Probability Theory and its Applications. - РУДН Москва, 2017. -P. 689-694.

[8 ] Рытова А. И. Условия вырождения ветвящегося случайного блуждания с тяжелыми хвостами // IX Московская международная конференция по исследованию операций (0RM2018): Москва, 22-27 октября 2018 г.: Труды. - Т. 2 из 000 "МАКС Пресс" Москва. - 2018. - С. 521523.

[9 ] Rytova A., Yarovaya E. Survival Analysis of Particle Populations in Branching Random Walks // Proceedings of 62nd ISI World Statistics Congress. — 2019. - P. 1-6.

Тезисы докладов в материалах научных конференций

[10 ] Рытова А.И. Новый подход к доказательству критерия возвратности для ветвящихся случайных блужданий с тяжелыми хвостами. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2014», МГУ, М., 2014. - 1 с.

[11 ] Рытова А.И. Локальная предельная теорема для случайных блужданий по решеткам с бесконечной дисперсией скачков. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2015», МГУ, М., 2015. - 1 с.

[12 ] Рытова А.И. Асимптотика средних численностей частиц в слабо надкритическом ветвящемся случайном блуждании с тяжелыми хвостами. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2016», МГУ, М., 2016. - 1 с.

[14

[15

] Рытова А. И. Асимптотика моментов численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании с тяжелыми хвостами // Теория вероятностей и ее применения. - 2017. - Т. 62, № 4. - С. 827-828. Rytova A.I. Asymptotics of numbers of particle in a branching random walk with heavy tails // Theory Probab. Appl. - 2018. - Vol. 62. - №4. - P. 664-665. ] Rytova A. Subcritical branching walks with heavy tails // Abstracts of the 9-th International Workshop on Applied Probability 18-21 June 2018, Budapest, Hungary. - Eotvos Lorand University Budapest, 2018. - P. 137138.

] Рытова А. И. Ветвящееся блуждание с бесконечным числом начальных частиц и тяжелыми хвостами // Теория вероятностей и ее применения. - 2020. - Т. 65. - №1. - С. 192-193. Rytova A.I. Branching walk with an infinite number of initial particles and heavy tails // Theory Probab. Appl. - 2020. -Vol. 65. - №1. - P. 157.