Пространства модулей модельных поверхностей в комплексной геометрии вещественных подмногообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Мамай, Игорь Борисович

• Мамай, Игорь Борисович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мамай, Игорь Борисович

Оглавление

Введение

1 Модельные поверхности СК-типа (1, К) при 8 < К < 12

1.1 Приведение уравнений

1.2 Алгебра автоморфизмов

2 Пространство модулей модельных поверхностей

2.1 Случай К = 4

2.2 Случай К = 7

2.3 Случай К = 13

2.4 Случай К = 8

2.5 Случай К = 9

2.6 Двойственность

2.7 Общий случай для СИ-типа (1, К)

3 Алгебра Леви-Танаки модельной поверхности

3.1 Случай 1 = 4

3.2 Случай £ = 5

3.3 Случай модельной поверхности СИ-типа (1,12)

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространства модулей модельных поверхностей в комплексной геометрии вещественных подмногообразий»

Введение

Многие задачи комплексного анализа органично связаны с вещественными подмногообразиями комплексного пространства. Это справедливо по отношению к одномерному комплексному анализу, где вещественные кривые — это границы областей и контуры интегрирования. Но в еще большей мере это относится к многомерному комплексному анализу, где ситуация, с геометрической точки зрения, гораздо разнообразнее. Вещественные подмногообразия вещественной коразмерности один — это топологические границы областей. По отношению к биголоморф-ным отображениям не все точки топологической границы равноправны. Там содержатся особые подмногообразия, например, граница Шилова, которая может иметь более высокую коразмерность. Вещественные подмногообразия возникают также в связи с голоморфными действиями вещественных групп Ли, как орбиты таких действий. Область математики, которая лежит на стыке многомерного комплексного анализа, дифференциальной геометрии и теории групп и алгебр Ли и которая изучает свойства вещественных многообразий, инвариантные по отношению к голоморфным заменам, называется "СИ-геометрия".

В изучении СИ-геометрии выделяют несколько подходов. Дифференциально-геометрический подход использовали Э. Картан, Н. Танака, С. Черн и др. Аналитический подход использовали А. Пуанкаре, Ю. Мозер и др. Впервые аналитический подход применил А. Пуанкаре (см. [21]) в 1907 году для изучения трехмерных вещественных гиперповерхностей в С2. Еще один подход, получивший название "Метод модельной поверхности" был предложен в работах В. Белошапки [1], [4], [6]. Метод модельной поверхности является развитием аналитического подхода и применим для вещественных подмногообразий произвольной

коразмерности.

Существенной особенностью вещественного подмногообразия М в комплексном пространстве См при N > 1 является наличие комплексной части в касательном пространстве ТМ — комплексной касательной ТСМ. Комплексная касательная ТСМ может быть определена как пересечение ТМ П ЛТМ), где 7 — оператор комплексной структуры (7?; = г ■ у). Если вещественная размерность подмногообразия больше комплексной размерности пространства, то комплексная касательная ТСМ гарантированно будет ненулевой.

Введем необходимые понятия. Гладкое подмногообразие М пространства С^ называется порождающим в точке £ £ М, если линейная оболочка объединения пространств Т^М и J(T^M) совпадает с объемлющим пространством . Если гладкое многообразие М в См является порождающим в точке £ е М, то оно будет порождающим в некоторой окрестности этой точки. Этого будет достаточно, так как в настоящей диссертации рассматривается именно локальная теория вещественных подмногообразий комплексного пространства.

Пусть М — гладкое подмногообразие комплексного пространства, которое является порождающим в точке Обозначим через п комплексную размерность комплексной касательной ТСМ. Через К обозначим вещественную коразмерность подмногообразия М. Тогда N = п + К — это размерность объемлющего комплексного пространства. Пару (п. К) будем называеть СИ-типом подмногообразия М.

Перенесем начало координат в точку £ е М. Тогда после подходящей линейной замены координат уравнение ростка М^ СИ-типа (п. К) можно записать в следующем виде:

1гшу = Ф(г. г, и), (1)

где и = Ке\у, 2 е С™, б Ск, Ф — гладкое отображение окрестности нуля в пространство Ф(0, 0, 0) = 0, с!Ф(0,0,0) = 0. Такую форму записи уравнений ростка будем называть стандартной.

Дадим определение понятия алгебры Леви-Танаки СИ-многообразия М. Будем считать, что многообразие М является гладким и порождающим. Обозначим через линейное пространство векторных полей на многообразии М, значения которых в каждой точке принадлежат комплексной касательной ТСМ многообразия М. Определим линейное пространство следующим образом: В3 = + .7 € М, ] > 2.

Определение 1. Алгебра Леви-Танаки — это бесконечномерная градуированная алгебра Ли с) = ф^, где = В3!В3_ь с операцией [X, У] — скобкой Ли (коммутатором) векторных полей.

Если для какого-то числа £ е N пространтсво £>£ совпадает с касательным пространством ТМ, то многообразие М называется многообразием конечного типа, а минимальное такое I называется длиной алгебры Леви-Танаки.

Пусть г = (¿1,..., гп), = и + {у = (ги .... и)к) — {щ +ъу\, . . ., ик + IVк) ~ координаты в Сп+А, £ — точка М, а М^ — росток М в точке Тогда через аиХМ^ будем обозначать алгебру Ли инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов ростка М^, то есть алгебру Ли вещественных векторных полей с голоморфными коэффициентами, касающихся ростка М^ в точках самого ростка. Запись в координатах имеет следующий вид:

{( п д к д

\в=1 ^ ¿=1 11 где голоморфные в окрестности точки £ функции и удовлетворяют системе функциональных соотношений, являющихся условиями того, что векторное поле Х(г, касается ростка М^. Эти векторные поля по-

рождают однопараметрические подгруппы, действующие голоморфно на М^. Можно рассмотреть соответствующую дмкМ^ локальную группу — А\itMj:. То есть АиХМ^ — это образ аиЬМ^ под действием экспоненциального отображения. Эта локальная группа действует на М^ отображениями, биголоморфными в точке Эту алгебру и соответствующую ей группу будем называть алгеброй и группой ростка. Подгруппу автоморфизмов Аи^М^, сохраняющих точку £ на месте будем называть стабилизатором группы ростка, а ее алгебру Ли амЬ^М^ будем называть стабилизатором алгебры ростка.

Пусть — это росток вполне невырожденного вещественного порождающего подмногообразия М СИ-типа (п,К) в точке Определение понятия полной невырожденности для тех СИ-многообразий, которые рассматриваются в данной диссертации, будет дано ниже, а определение для общего случая дается в главе 3. Каждому такому ростку М^ может быть поставлена в соответствие его касательная модельная поверхность С}^ (см. [6]), то есть некоторая специальная вещественно алгебраическая поверхность того же СИ-типа (п. К). Понятие модельной поверхности было введено в работах В. К. Белошапки (см. [5]).

Модельная поверхность — это вполне невырожденное алгебраическое многообразие, с помощью которого можно локально аппроксимировать другие вполне невырожденные многообразия. Модельные поверхности обладают набором свойств, которые делают их удобным и эффективным средством для изучения произвольных СИ-многообразий.

Рассмотрим в пространстве сп+к росток вещественно-аналитического порождающего вполне невырожденного СИ-многообразия М, имеющего СИ-тип (п,К). Запишем уравнение этого ростка в стандартной форме (1).

Сначала рассмотрим случай, когда длина алгебры Леви-Танаки £ = 2. Разложим функцию Ф(г, г, и2) в ряд Тейлора. Затем зададим вес каждой переменной по следующему правилу: [г] = 1, [\у2] = 2. Следует отметить, что задавая вес [\у2] = 2, мы предполагаем, что [и2] = [Ые\у2] = 2, [\2] = [1т\у2] = 2. Теперь перепишем уравнение (1) в следующем виде:

\rnw2 = 2КеВ{г, г) + (г., г) + 0(3),

где (г, г) — набор из К эрмитовых форм, В(г, г) — набор из К квадратичных форм, а 0(3) — слагаемые веса 3 и более. Теперь можно с помощью полиномиальной замены координат убрать плюригармонические слагаемые. После чего уравнение ростка примет следующий вид:

1т\у2 = {г, г) + 0(3). (2)

Поверхность 1т\у2 = (г, г) будем называть касательной квадрикой для ростка заданного уравнением (2). Для рассматриваемого случая касательная квадрика — это и есть модельная поверхность. СИ-тип квадрики — это СИ-тип ростка, которому она соответствует.

По определению условие полной невырожденности ростка и условие полной невырожденности касательной квадрики заключаются в том, что координатные формы {г. г)3 должны быть линейно независимы и не должны иметь общего ядра. Следует отметить, что условие линейной независимости может выполняться только в следующем диапазоне для коразмерности: 1 < К < п2, так как размерность линейного вещественного пространства эрмитовых форм от п переменных равна п2. Длина алгебры Леви-Танаки касательной квадрики, так же как и для ростка вида (2), равна 2.

Приведем список основных свойств касательной квадрики, которая для рассматриваемого случая является модельной поверхностью.

1. Универсальность: Росток любого вполне невырожденного многообразия СИ-типа (п, К) при К < п2 эквивалентен ростку вида (2).

2. Конечномерность: Группа голоморфных автоморфизмов квадрики общего положения является конечномерной группой Ли. Критерием конечномерности группы голоморфных автоморфизмов квадрики является ее полная невырожденность.

3. Однородность: Всякая квадрика голоморфно однородна, однородность обеспечивается аффинными автоморфизмами.

4. Полиномиальность алгебры: Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов квадрики — это некоторая алгебра полиномиальных векторных полей, степени коэффициентов которых не превосходят 2.

5. Рациональность группы: Группа автоморфизмов вполне невырожденной квадрики — это группа Ли, являющаяся подгруппой группы бирациональных преобразований Сг+К, для которых степени знаменателя и числителя ограничены некоторой константой.

6. Симметричность: Размерность группы инфинитезимальных автоморфизмов всякого вполне невырожденного ростка с условием К < п2 не превосходит размерность группы голоморфных автоморфизмов его касательной квадрики. Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов квадрики параметризует семейство биголоморфных отображений одного вполне невырожденного ростка в другой.

7. Функториальность: Если два ростка биголоморфно эквивалентны, то эквивалентны и их касательные квадрики. Две квадрики биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны линейно.

8. Групповая структура: Квадрика обладает естественной структурой группы Ли.

Теперь опишем алгебраические свойства квадрики. Алгебра инфини-тезимальных автоморфизмов квадрики — это градуированная алгебра Ли вида:

ах^ф = 0-2 + 0-1 + Во + 01 + 02-Градуировка вводится с помощью задания весов всем переменным и всем операторам дифференцирования по правилу: [г]= 1, [ш2] = 2, =

Подалгебре 0_ = 0_2 + 0-1 соответствует при экспоненциальном отображении подгруппа Аи^ф группы Аи^ голоморфных автоморфизмов квадрики. Подгруппа обеспечивает голоморфную однородность квадрики. Размерность этой подгруппы совпадает с размерностью квадрики и, как легко видеть, эту подгруппу можно отождествить с самой квадрикой.

Подалгебре 0о соответствует подгруппа Аи^ф группы Ат^ф, которая состоит из линейных преобразований квадрики, оставляющих начало координат на месте. Подгруппа Аи^ф всегда содержит подгруппу скалярных растяжений вида:

г Аг, |А|2\у2, А е С\{0}.

Подалгебре 0+ = 01 + 02 соответствует подгруппа Аг^+ф нелинейных автоморфизмов квадрики, оставляющих начало координат на месте. Квадрики с тривиальной подгруппой называются жесткими.

Если условие К < п2 не выполнено, то квадрика является вырожденной по причине, указанной выше. Такая квадрика не может быть использована в качестве модельной поверхности для ростка вполне невырожденного СИ-многообразия. Также следует отметить, что если К > п2, то длина I алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного ростка должна

быть больше двух. В работе [4] для решения этой проблемы была построена кубическая модельная поверхность для ростков, у которых длина алгебры Леви-Танаки равна трем. Если К > п2, то можно коразмерность К представить в виде К = п2 + к, к > 0. Число к будем называть термином избыточная коразмерность. В работе [4] показано, что уравнения ростка порождающего вполне невырожденного СИ-многообразия в пространстве С'1+г,2+к в подходящей системе координат могут быть записаны в следующем виде:

1пш2 = (г, г) + 0(3), 1т\у3 = 2Яе Ф{г, г, г) + 0(4),

где (г, г) — вектор из п2 линейно независимых эрмитовых форм, Ф(г, г, г) — вектор из к однородных кубических многочленов бистепени (2,1), которые являются симметричными по первым двум аргументам, г € С", \¥2 <Е С'г2, ш3 е Ск, 0(3) — слагаемые веса 3 и более, 0(4) — слагаемые веса 4 и более. Веса переменных заданы следующим образом: [г]=1, [\у2]=2, [Ш3]=3.

Поверхность, заданная системой уравнений вида:

1т\У2 = (г, г) 1т\у3 = 2Ле Ф(г, г. г) называется касательной кубикой ростка, заданного системой уравнений (3). Для рассматриваемого случая касательная кубика — это модельная поверхность.

Вектор (г. г) состоит из набора эрмитовых форм, который образует базис в пространстве эрмитовых форм от п переменных. Из этого следует, что все такие вектора (г, г) одинаковы с точностью до умножения на невырожденную вещественную матрицу. Таким образом можно считать, что вектор (г, г) определен однозначно с точностью до вещественно-

линейной замены переменной

По определению полная невырожденность ростка вида (3) и полная невырожденность его касательной кубики заключаются в линейной независимости всех координатных форм Ые Ф°(г, г, г), ] = 1,.... к вектора

Яе Ф{г, г, г).

Нетрудно найти, что размерность линейного пространства форм вида 11е Ф](г, г, г) равна п2-(п+1). Следовательно, кубика может быть использована в качестве модельной поверхности только при 0 < к < п2 ■ (п + 1) или, что тоже самое, при п2 < К < п2 ■ (п + 2). У кубики длина алгебры Леви-Танаки £ = 3.

Аналогично квадрике, кубическая модельная поверхность обладает рядом основных свойств:

1. Универсальность: Росток любого вполне невырожденного многообразия СИ-типа (п, К) при п2 < К < п2 ■ (п + 2) эквивалентен ростку вида (3).

2. Конечномерность: Группа голоморфных автоморфизмов кубики общего положения является конечномерной группой Ли. Критерием конечномерности группы голоморфных автоморфизмов кубики является ее полная невырожденность.

3. Однородность: Всякая кубика голоморфно однородна, однородность обеспечивается квадратично-треугольными автоморфизмами.

4. Полиномиальность алгебры: Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики — это некоторая алгебра полиномиальных векторных полей, степени коэффициентов которых не превосходят 5.

5. Рациональность группы: Группа автоморфизмов вполне невырожденной кубики — это группа Ли, являющаяся подгруппой группы би-рациональных преобразований Сп+А, для которых степени знаменателя

и числителя ограничены некоторой константой.

6. Симметричность: Размерность группы инфинитезимальных автоморфизмов всякого вполне невырожденного ростка с условием п2 < К < п2 ■ (п + 2) не превосходит размерность группы голоморфных автоморфизмов его касательной кубики. Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики параметризует семейство биголоморфных отображений одного вполне невырожденного ростка в другой.

7. Функториальность: Если два ростка биголоморфно эквивалентны, то эквивалентны и их касательные кубики. Две кубики биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны линейно.

8. Групповая структура: Кубика обладает естественной структурой группы Ли.

Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики — это градуированная алгебра Ли вида:

аг^ф = + 0_2 + + 0о + &+■

Градуировка вводится с помощью задания весов всем переменным и всем операторам дифференцирования по следующему правилу: [г] = 1,

М = 2, [„,] = 3, Щ = -1, [£] = -2, [£] = -3.

Подалгебре = 0_з + 0-2 + 0-1 соответствует при экспоненциальном отображении подгруппа А\гЬ_(5 группы Аг^ф голоморфных автоморфизмов кубики. Подгруппа Аи1;_<3 обеспечивает голоморфную однородность кубики. Размерность этой подгруппы совпадает с размерностью кубики и, как легко видеть, эту подгруппу можно отождествить с самой кубикой.

Подалгебре 0о соответствует подгруппа Аи^ф группы Аи^, которая состоит из линейных преобразований кубики, оставляющих начало координат на месте. Подгруппа Аи^ф всегда содержит подгруппу веществен-

ных скалярных растяжений вида:

г —>• \г, \У2 —Л2W2, —> А3\у3, Л 6

Подалгебре д+ соответствует подгруппа Аи1;+(5 нелинейных автоморфизмов кубики, оставляющих начало координат на месте. Кубики с тривиальной подгруппой Аи^ф называются жесткими. В работе [8] доказано, что все вполне невырожденные кубики являются жесткими, то есть = 0.

Если условие п2 < К < п2 • (п + 2) не выполнено, то кубика является вырожденной по причине указанной выше. Такая кубика не может быть использована в качестве модельной поверхности для ростка вполне невырожденного СИ-многообразия. Также следует отметить, что если К > п2 ■ (п + 2), то длина £ алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного ростка должна быть больше трех. Для работы с такими ростками следует перейти к модельным поверхностям более высокой степени. Так, в работе [5] показано, что росток порождающего вполне невырожденного СИ-многообразия с алгеброй Леви-Танаки длины £ = 4 можно в подходящей системе координат записать в виде: /

1ту/2 = (г, г) + 0(3),

1т\у3 = 211е Ф±{г, г, г) + 0(4), (4)

1т\у4 = 211е (Фг(;г:, г, г, г) + Ф3(,г, 2, г, г)) + 0(5),

где (г, г) — вектор из п2 линейно независимых эрмитовых форм, Ф\(г, г. г) — вектор из п2 • (п + 1) линейно независимых над Ж однородных кубических многочленов бистепени (2,1), которые являются симметричными по первым двум аргументам, Ф2(г, г, г, г) и Ф3(г, г, г, г) — наборы из к = К — п2 • (п + 2) однородных многочленов бистепеней (2,2) и (3,1)

соответственно, причем Ф2 симметричен по первым двум и последним двум аргументам, а Фз симметричен по первым трем аргументам, 2 е С", у/2 6 Сп\ \¥3 е С"2(п+1\ \у4 е ск, 0(3) - слагаемые веса 3 и более, 0(4) — слагаемые веса 4 и более, 0(5) — слагаемые веса 5 и более. Веса переменных заданы следующим образом: [г;]=1, [\у2]=2, [\у3]=3, [ш4]=4. Поверхность, заданная системой уравнений вида:

1т\¥2 = (г, г) < 1т\у3 = 211е Ф\(г, г, г)

ImW4 = 211е (Ф2(г, г, г, г) + Фз(г, г, г, г))

называется касательной модельной поверхностью 4-го порядка для ростка, заданного системой уравнений (4). Следует отметить, что порядком модельной поверхности называется наибольший вес многочленов в ее уравнениях. Порядок модельной поверхности совпадает с длиной алгебры Леви-Танаки модельной поверхности.

Полная невырожденность ростка вида (4) и полная невырожденность его касательной модельной поверхности, по определению, заключаются в линейной независимости всех координатных форм Ые ^Ф2(г, г. г. г) + Ф3(г, г, г. г)^ , ] = 1,.... к. Размерность линейного пространства таких форм равна ^ -п2 ■ (п+ 1) • (7п + 11). Следовательно, модельная поверхность порядка 4 может быть использована в качестве модельной поверхности только при 0 < к < ~п2-(п+1)-(7п+11) или, что тоже самое, прип2-(п+1) < К < п2-(п+2)+^-п2-(п+1)-(7п+11). Также следует отметить, что координаты векторных форм (г, г) и Яе Ф\(г, г, г) образуют базисы в пространстве форм соответствующих бистепеней. Из этого следует, что все такие вектора (г. г) и И,е Ф^г. г. г) определены однозначно, с точностью до вещественно-линейной замены по переменным и \У3.

Модельная поверхность порядка 4 обладает рядом основных свойств, которые полностью аналогичны свойствам 1-8 для квадрики и кубики.

Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов модельной поверхности порядка 4 — это градуированная алгебра Ли вида (см. [5]):

аи^ = 0-4 + 0-з + 0-2 + 0-1 + 0о + 01-

Градуировка вводится с помощью задания весов всем переменным и всем операторам дифференцирования по следующему правилу: [г] = 1, К] = 2, К] = 3, К] = 4, [£] = -1, [£] = -2, [£] = -3, [£] = -4.

Подалгебре 0_ соответствует при экспоненциальном отображении подгруппа группы Аг^ф голоморфных автоморфизмов модельной

поверхности порядка 4. Подгруппа Аи1;_(5 обеспечивает голоморфную однородность этой модельной поверхности. Размерность этой подгруппы совпадает с размерностью модельной поверхности и, как легко видеть, эту подгруппу можно отождествить с самой модельной поверхностью.

Подалгебре 0О соответствует подгруппа Аи^ф группы Аи^, которая состоит из линейных преобразований модельной поверхности порядка 4, оставляющих начало координат на месте. Подгруппа всегда со-

держит подгруппу вещественных скалярных растяжений вида:

г —> Аг, ш2 —>• А2\У2. луз —>• А3\Уз, W4 —> А4\У4, А е М+.

Подалгебре 0+ соответствует подгруппа Аи^ф нелинейных автоморфизмов модельной поверхности, оставляющих начало координат на месте. Модельные поверхности с тривиальной подгруппой Ат^+ф называются жесткими.

Если условие п2 ■ (п+1) < К < п2 • (п + 2) + ~ -п2 ■ (п+1) • (7п+11) не выполнено, то модельная поверхность порядка 4 является вырожденной.

Также следует отметить, что если К > п2- (п + 2) + ^-п2- (п + 1) • (7п + 11), то длина £ алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного ростка должна быть больше четырех. Так мы приходим к построению модельной поверхности порядка 5. В работе [6] показано, что росток порождающего вполне невырожденного СИ-многообразия с алгеброй Леви-Танаки длины I = 5 можно в подходящей системе координат записать в виде:

1т\у2 = (г. г) + 0(3).

1т\Уз = 2Ие Ф^г. г, г) + 0(4), < _ _ (5)

Imw4 = 2Яе (Ф2(<г. 2. 2. г) + Ф3(г. 2. г. г)) + 0(5)

1т\у5 = 2Яе (Ф4(-г- г г. г. г) + Ф5(г. г. г. г. г) + Фб(и2- г. г. г)) + 0(6).

где (г, г) — вектор из п2 линейно независимых эрмитовых форм, Ф\{г, г. г) — вектор из п2 ■ (п + 1) линейно независимых над М однородных кубических многочленов бистепени (2,1), которые являются симметричными по первым двум аргументам, Ф2(г, г.г. г) + Ф^(г.г.г.г) — вектор из • п2 ■ (п + 1) • (7п + 11) линейно независимых над Е многочленов би-степеней (2,2) и (3,1) соответственно, причем Ф2 симметричен по первым двум и последним двум аргументам, а Фз симметричен по первым трем аргументам, Ф4(г,г,г,г,г), г, г, г, г) и Фб(и2. г. г, г) — наборы из к — К — п2 ■ (п + 2) — ^ • п2 • (п + 1) ■ (7п + 11) однородных многочленов, причем Ф4 имеет бистепень (3,2) и симметричен по первым трем и последним двум аргументам, Ф5 имеет бистепень (4,1) и симметричен по

первым четырем аргументам, а Фд имеет спень один по и2, бистепень (2,1)

2

по г и симметричен по второму и третьему аргументу, г € Сп, \у2 £ Сп , ууз е с,г2 (п+1), \у4 е С^г п2 (,г+1) ^ е 0(3) - слагаемые веса 3 и

более, 0(4) — слагаемые веса 4 и более, 0(5) — слагаемые веса 5 и более, 0(6) — слагаемые веса 6 и более. Веса переменных заданы следующим образом: [г]=1, [ш2]=2, [\у3]=3, [\у4]=4, [\у5]=5.

Поверхность, заданная системой уравнений вида: /

1т\у2 = (2, г)

Imwз = 2Яе Ф^г, г. г)

1тш4 = 2Ые (Ф2{г, г, г, г) + Фз(г, г, г, г))

ImW5 = 211е (Ф4(г; -г, -г. г. г) + Фъ(г, г, г, г, г) + Фб(и2, г, г, г))

называется касательной модельной поверхностью 5-го порядка для ростка, заданного системой уравнений (5).

Полная невырожденность ростка вида (5) и полная невырожденность его касательной модельной поверхности, по определению, заключаются в независимости всех координатных форм 2Ке(ф34(г,г,г.г,г) + Ф35(г,г,г,г,г) + Ф'б(и2, г, г, г)^, при ] = 1..... к. Размерность линейного пространства таких форм равна У2 • п2 ■ (п + 1) • (15п2 + 11п+ 10). Следовательно, модельная поверхность порядка 5 может быть использована в качестве модельной поверхности только при 0 < к < у^ ■ п2 • (п + 1) • (15п2 + 11п + 10) или, что тоже самое, при:

• п2 • (Тп2 + ЗОп + 35) < К < — • п2 • (15п3 + ЗЗп2 + 51 п + 45) 12 12

Также следует отметить, что координаты векторных форм (г. г), Ые Ф\{г, г, г) и Яе (Ф2(г, г, г, г) + Фз(г. г. г. 2)) образуют базисы в пространстве форм соответствующих бистепеней. Из этого следует, что все такие вектора (г, г), Яе Ф\{г, г, г) и Яе (Ф2(-г, -г, г, г) + Фз(г, г. г, г)) определены однозначно, с точностью до вещественно-линейной замены по переменным \у2, Wз и \у4.

Модельная поверхность порядка 5 обладает рядом основных свойств, которые полностью аналогичны свойствам 1-8 для квадрики и кубики. Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов модельной поверхности

порядка 5 — это градуированная алгебра Ли вида (см. [5]):

аи^ = 5 + 0_4 + + д_2 + 0-1 + 0о + 0+-

Градуировка вводится с помощью задания весов всем переменным и всем операторам дифференцирования по следующему правилу: [г] = 1, Ы = 2, К,] = 3, К1 = 4, Ы = 5, Щ = -1, [Л.] = -2, [¿1 = -3, =

-4, Щ = "5.

Подалгебре 0_ соответствует при экспоненциальном отображении подгруппа группы Аи^ голоморфных автоморфизмов модельной

поверхности порядка 5. Подгруппа Аи^ф обеспечивает голоморфную однородность этой модельной поверхности. Размерность этой подгруппы совпадает с размерностью модельной поверхности и, как легко видеть, эту подгруппу можно отождествить с самой модельной поверхностью.

Подалгебре 0О соответствует подгруппа Аи^ф группы которая

состоит из линейных преобразований модельной поверхности порядка 5, оставляющих начало координат на месте. Подгруппа всегда со-

держит подгруппу вещественных скалярных растяжений вида:

г —>■ Аг, \у2 —> А2\¥2; \у3 —> А3\у3. ш4 —А4\¥4. w.5 —> A5W5, А е М+.

Подалгебре 0+ соответствует подгруппа Аи1+(5 нелинейных автоморфизмов модельной поверхности, оставляющих начало координат на месте. В работе [15] доказано, что подалгебра 0+ не содержит полей с градуировкой более одиннадцати, то есть можно записать, что 0+ = 01 + • • • + 011-

Вполне невырожденным росткам СИ-многообразий с алгеброй Леви-Танаки длины £ > 5 соответствуют модельные поверхности более высоких порядков. Алгоритм построения таких модельных поверхностей ана-

логичен алгоритмам построения модельных поверхностей порядков 2, 3, 4 и 5. Подробно этот алгоритм описан в работе [6]. Следует отметить, что уравнения модельных поверхностей более высоких порядков имеют схожий вид с уравнениями уже описанных модельных поверхностей. В общем случае для модельной поверхности произвольного порядка будет выполнен список основных свойств, аналогичный списку 1-8 для квадрики и кубики. Следует отметить, что в силу свойства симметричности модельных поверхностей, можно оценить размерность группы инфинитезималь-ных автоморфизмов произвольного вполне невырожденного ростка СИ-многообразия через размерность группы автоморфизмов его модельной поверхности.

Имеется множество задач, связанных с модельными поверхностями: задача вычисления алгебры автоморфизмов модельных поверхностей, задача классификации модельных поверхностей и построения пространства модулей модельных поверхностей, задача о построении системы биголо-морфных инвариантов вполне невырожденного ростка, связанных с его модельной поверхностью, а также многие другие задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мамай, Игорь Борисович, 2013 год

Литература

[ 1 ] Белошапка В. К., О голоморфных преобразованиях квадрики // Ма-тем. сборник. 1991. №2. С.203-219.

[2] Белошапка В. К., CR-многообразия типа (1,2) как многообразия "сверхвысокой" коразмерности // Russian J. Math. Phys. 1997. V. 5. №2 P.399-404.

[3] Белошапка В. К., Полиномиальные модели вещественных многообразий // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. Т.65 №4. С.3-20.

[4] Белошапка В. К., Кубическая модель вещественного многообразия //Матем. заметки. 2001. Т.70. №4. С.503-519.

[5] Белошапка В. К-, Вещественные подмногообразия комплексного пространства: их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации // Успехи математических наук 2002. Т.57. Вып. 1(343). С.3-44.

[6] Белошапка В. К., Универсальная модель вещественного подмногообразия // Матем. заметки. 2004. Т.75. №4. С.507-522.

[7] Винберг Э. Б., Попов В. J1., Теория инвариантов, Алгебраическая геометрия-4 // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фун-дам. направления. 55. ВИНИТИ. М. 1989. С. 137-309.

[8] Гаммель Р. В., Коссовский И. Г., Оболочка голоморфности модельной поверхности степени три и феномен "жесткости" // Компл. анализ и приложения, Сборник статей, Тр. МИАН, 253, Наука, М., 2006, 30-45.

[9] Мамай И. Б., Алгебра Леви-Танаки модельной поверхности // Деп. в ВИНИТИ. 2012. №426-В2012. С.3-21.

[10] Мамай И. Б., Пространство модулей модельных поверхностей с одномерной комплексной касательной // Изв. РАН. Сер. матем. 2013. Т.77 №2. С. 139-164.

[11] Харрис Дж., Алгебраическая геометрия начальный курс // Издательство МЦНМО. 2006.

[12] Чирка Е. М., Введение в геометрию Cß-многообразий // Успехи математических наук 1991. Т.46. Вып.1. С.81-164.

[13] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, часть 2 // Издательство "Лань". 2004.

[14] Шананина Е. Н., Модели CR-многообразий типа (1,К) при 3<К<7 и их автоморфизмы // Матем. заметки. 2000. Т. 67 №3. С.452-459.

[15] Шананина Е. Н., Полиномиальные модели степени 5 и алгебры их автоморфизмов// Матем. заметки. 2004. Т. 75 №5. С.757-772.

[16] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии // Издательство МЦНМО. 2007.

[17] Beloshapka V. К., Moduli Space of Model Real Submanifolds // Russian J. Math. Phys. 2006. V. 13. №3 P. 245-252.

[18] Chern S. S. and Moser J. K-, Real hypersurfaces in complex manifolds //Acta Math. 133. 1974. P.219-271.

[19] Mamai I. B., Model CR-Manifolds with One-Dimensional Complex Tangent//Russian J. Math. Phys. 2009. V. 16. №1 P. 21-30.

[20] Olver P. J., Classical Invariant Theory // Cambridge University Press. 1999.

[21] Poincaré H., Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme // Rend. Cire. Mat. Palermo. 1907. P. 185-220.