Проекционные и итерационные методы решения обратных задач для гиперболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Шишленин, Максим Александрович

• Шишленин, Максим Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шишленин, Максим Александрович

Введение. Постановка задачи.

1 Прямые задачи

1.1 Введение. Постановка прямых и обратных задач.

1.2 Начально-краевая задача для уравнения акустики.

1.3 Задача Коши для уравнения колебаний.

1.4 Численные методы решения прямой задачи.

1.4.1 Конечно-разностные методы

1.4.2 Метод Галеркина.

1.4.3 Суммирование рядов Фурье.

2 Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения с~2(х, у)ии = Ax,yU

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Линеаризация.

2.4 Изучение структуры решения одномерной прямой задачи

2.5 Теорема существования решения прямой задачи.

2.6 Единственность решения обратной задачи и регуляризация

3 Проекционный метод

3.1 Введение.

3.2 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения г% = AXjVu — q(x, у) и.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Сведение к интегральному уравнению.

3.2.3 Теорема единственности и оценка скорости сходимости проекционного метода.

3.3 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики utt = &х,уи - Vx,y In p(:r, y)Vx,yu.

4 Метод итераций Ландвебера решения операторного уравнения C{U) = F

4.1 Введение.

4.2 Общая схема метода Ландвебера.

4.3 Метод итераций Ландвебера определения коэффициентов уравнения ии — Дх,уи ~ Я.{х-> У) ' и.

4.3.1 Свойства оператора обратной задачи С.

4.3.2 Оценка скорости сходимости итераций.

5 Прямые методы решения обратных задач

5.1 Введение.

5.2 Метод обращения разностной схемы.

5.3 Метод Гельфанда-Левитана.

5.4 Метод граничного управления.

6 Сравнительный анализ численных методов решения

6.1 Введение.

6.2 Линеаризация.

6.3 Проекционный метод.

6.4 Метод Гельфанда-Левитана.

6.5 Метод граничного управления

6.6 Сравнение методов граничного управления и Гельфанда-Левитана в одномерном случае.

6.7 Численные расчеты

Основные результаты

Список обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проекционные и итерационные методы решения обратных задач для гиперболических уравнений»

Диссертация посвящена развитию актуального для приложений научного направления — методам решения коэффициентах обратных задач для гиперболических уравнений. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений [19] и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Искомыми коэффициентами, как правило, являются такие важные характеристики исследуемых сред, как параметры Ламе — в случае обратной задачи теории упругости, тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и тензор проводимости — в случае обратной задачи электродинамики, скорость распространения волн в среде и плотность — в случае обратной задачи акустики и т.д.

Обратные задачи для гиперболических уравнений относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева.

Различные подходы и методы исследования некорректных и обратных задач отражены в работах А.С. Алексеева, О. М. Алифанова, Д. С. Анико-нова, Ю.Е. Аниконова, А. X. Амирова, В. Я. Арсенина, А. Б. Бакушинско-го, М. И. Белишева, Ю. М. Березанского, А. С. Благовещенского, А. Л. Бух-гейма, Г. М. Вайникко, В. В. Васина, А. Б. Гончарского, A.M. Денисова,

B. И. Дмитриева, И. И. Ерёмина, Г. Н. Ерохина, А. Д. Искендерова,

C. И. Кабанихина, В. Р. Кирейтова, М. М. Лаврентьева, А. С. Леонова, Г. И. Марчука, В. И. Максимова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. Н. Страхова, В. П. Тананы, С. И. Темирбулатова, В. Г. Чередниченко, В. А. Шарафутдинова, А. Г. Яголы, В. Г. Яхно и др.

По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений можно разделить на следующие основные группы: кинематические, спектральные и обратные задачи рассеяния, динамические обратные задачи.

В кинематических обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются времена прихода возмущений от источников к поверхности исследуемой среды. При этом измерения могут проводиться как на всей поверхности, так и на некоторой ее части; источники возмущений могут пробегать всю поверхность (или некоторую ее часть), либо располагаться внутри исследуемой среды.

В спектральных обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются собственные значения дифференциальных операторов и квадраты норм соответствующих собственных функций (при этом возможны и другие варианты задания дополнительной информации).

В динамических обратных задачах для гиперболических уравнений в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило, времениподобной поверхности. Первые постановки динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем были сформулированы и исследованы М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым, А. С. Алексеевым, А. С. Благовещенским. Систематическое исследование динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем было проведено В. Г. Романовым. Методика доказательства локальных теорем существования и единственности решения обратных динамических задач, а также теорем единственности и условной устойчивости "в целом", развитая В. Г. Романовым, была применена в исследовании широкого круга обратных задач С. И. Кабанихиным, В. Г. Яхно, С. П. Белинским и др.

Различные подходы и методы исследования обратных динамических задач для гиперболических уравнений и систем предложены и развиты в работах А. И. Прилепко, Ю.Е. Аниконова, A. JI. Бухгейма, М.В. Клибанова, Б. С. Парийского, Д. Г. Орловского, A. JI. Иванкова, А. В. Баева, Б. А. Бубнова и др. Целый ряд результатов в этом направлении получили в последние десятилетие зарубежные авторы, такие как J. G. Berryman, R. R. Green, R. Burridge, Y. M. Chen, J. Q. Liu, H.W. Engl, M. Hanke, S. He, A. Lorenzi, A. Neubauer, A. Rakesh, P. Sacks, F. Santosa, W.W. Symes, O. Scherzer, M. Yamamoto и др.

Следуя классификации С. И. Кабанихина [78], большинство имеющихся к настоящему времени работ по исследованию динамических обратных задач можно разделить по методам исследования на шесть основных групп: метод обращения разностной схемы (МОРС), метод операторных уравнений Вольтерра (МОУВ), оптимизационные методы (включая итерации Ландвебера), метод Ньютона-Канторовича (МНК) и метод линеаризации, динамический вариант метода Гельфанда-Левитана, метод граничного управления. Разумеется, приведенная классификация в известной степени условна, поскольку во многих работах используются различные комбинации указанных методов, а также комбинации динамических постановок со спектральными и кинематическими.

Проведем краткий сравнительный анализ указанных выше методов решения динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем. Решение обратных задач методом операторных уравнений Воль-терра, оптимизационными методами или методом Ньютона-Канторовича приводит к итерационным процессам, включающим в себя многократное решение соответствующих прямых задач. Это обстоятельство накладывает серьезные ограничения на применение указанных методов, особенно при численном решении многомерных обратных задач. Динамический вариант метода Гельфанда-Левитана является наиболее часто применяемым на практике, поскольку в его рамках удается сформулировать критерий существования решения обратной задачи, что особенно важно в силу нелинейности обратных задач. Основной проблемой на этом пути остается отсутствие обобщений метода на более сложные многомерные задачи. Отметим, что в диссертации (см. главу 6) предпринята попытка численно решить двумерную обратную задачу.

Первым результатом по многомерным обратным задачам для гиперболических уравнений является доказанные М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым [41] теоремы единственности, а позже В. Г. Романовым [57]. Обобщение теоремы единственности и условной устойчивости на операторные уравнения Вольтерра и описание некоторых классов единственности также проведено В. Г. Романовым.

Следующим важным шагом при исследовании многомерных обратных задач после доказательства теоремы единственности и получения оценок условной устойчивости является построение алгоритмов численного решения. Этот вопрос оставался открытым до середины 70-х гг. Впервые в работе С. И. Кабанихина [15] был предложен подход к построению численных алгоритмов решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений на основе проекционного метода. Данный подход впоследствии оказалось возможным применить к исследованию обратных задач для уравнения акустики, системы уравнений Максвелла и для кинетического уравнения переноса.

К настоящему времени развито большое количество методов решения гиперболических обратных задач, возникающих в электродинамике, сей-смике, акустике. Перечислим только несколько основных методов. Метод Гельфанда-Левитана широко применялся в сейсмике. В последнее время (благодаря работам В. А. Юрко и А. В. Баева) появилась надежда на его применение в электродинамике. Наиболее широко применяемыми были и остаются методы оптимизации [28] и методы Ньютона-Канторовича (условно говоря, методы последовательной линеаризации [25]). В последнее время к гиперболическим обратным задачам стали применяться методы решения общих операторных уравнений, такие, как метод итераций Ландвебера [73, 80] и метод граничного управления [4, 70]. В силу известной теоремы Гельфанда-Левитана, и ее динамической версии [8, 59], основная сложность в задачах такого рода заключается в отсутствии теоремы существования решения в "целом"(т.е. для произвольной глубины) для произвольных данных. Проверка условий существования решения обратных гиперболических задач является настолько трудоемкой, что в некотором смысле может быть сравнима с решением обратной задачи. Если же говорить о многомерных обратных задачах, то даже само применение метода Гельфанда-Левитана остается проблематичным в наиболее важных для практики задач. Именно поэтому обратные задачи вида (0.0.1)—(0.0.4) (и их более общие аналоги, такие как обратная задача для системы уравнений теории упругости, электродинамики, акустики) рассматривают как условно-корректные задачи (задачи, корректные по А. Н. Тихонову). Большая прикладная важность гиперболических обратных задач и их сложность объясняет значительное количество различных численных методов, развиваемых теоретиками и практиками для их решения.

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка обозначений, списка использованных источников и содержит 154 страницы текста. Список использованных источников содержит 91 наименований. Отметим, что нумерация формул и всех видов утверждений сквозная в пределах каждого раздела. Например, (1.2.3) означает формулу 3 пункта 2 главы 1. Система обозначений в каждом параграфе, как правило, независимая, если только в начале параграфа не указывается на связь с предыдущими главами. Общие обозначения, в том числе и стандартные, используемые на протяжении всей диссертации, вынесены в отдельный список в конце работы.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Шишленин, Максим Александрович

Основные результаты

Разработан алгоритм решения двумерной обратной задачи: двумерная обратная задача акустики сведена на основе проекционного метода к системе одномерных обратных задач, численное решение которой находится методом итераций Ландвебера. Доказано, что решение, полученное проекционным методом, сходится к точному решению обратной задачи в пространстве 1/2- Доказано, что итерации Ландвебера сходятся в пространстве L2 и получена оценка скорости сходимости.

Метод линеаризации эффективен в случае, когда требуется определить малые добавки к априорно заданной основной структуре искомых коэффициентов.

В одномерном случае метод граничного управления и Гельфанда-Левитана определяют решение в конкретной точке хо, не используя вычислений неизвестных коэффициентов на интервале (0, хо) и примерно равны по количеству вычислений. Основное отличие методов заключается в решении многомерных обратных задач, а именно метод Гельфанда-Левитана восстанавливает решение на глубине Xq, а метод граничного управления позволяет восстановить любой отдельный коэффициент Фурье решения по горизонтальной переменной у на глубине хо.

Метод обращения разностной схемы целесообразно применять в случае, когда дополнительная информация известна достаточно точно и восстанавливаемое решение достаточно гладкое. При нарушении одного из этих условий метод обращения разностной схемы становится неустойчивым. Метод граничного управления и метод Гельфанда-Левитана лучше применять, когда решение не нужно восстанавливать во всей области, а только на конкретной глубине гсо- Численный расчеты показали, что методы граничного управления и Гельфанда-Левитана устойчивы к возмущениям в данных и восстанавливают даже разрывные функции. В таких случаях метод Гельфанда-Левитана и граничного управления можно применять для восстановления решения на всем интервале, несмотря на возрастающий порядок вычислений. Метод итераций Ландвебера "находит"решение даже на больших глубинах и при больших ошибках в данных, но для нахождения решения с заданной точностью требуется на порядок больше итераций, чем в методе обращения разностной схемы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шишленин, Максим Александрович, 2003 год

1. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. - 1967. М.: Наука, - С. 9-84.

2. Алексеев А. С., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. - вып. 6, ч. 2. - С. 7-53.

3. Баранов В., Кюнетц Г. Синтетические сейсмограммы с многократными отражениями // Проблемы сейсмической разведки. М.: Гостоптехиз-дат, 1962. - С. 179-188.

4. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // ДАН СССР. 1987. - Т. 297. - №3. - С. 524-527.

5. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Многомерные аналоги уравнений типа Гельфанда-Левитана-Крейна в обратной задаче для волнового уравнения // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. 1992. - Новосибирск, Наука. - С. 50-63.

6. Белишев М.И., Шеронова Т. Л. Методы теории граничного управления в нестационарной обратной задачие для неоднородной струны // Записки научных семинаров ЛОМИ. Математические вопросы распространения волн, 20. 1990. - Т. 186. - С. 37-49.

7. Благовещенский А. С. Об одной обратной задаче теории распространения сейсмических волн // Проблемы математической физики. Ленинград: ЛГУ, 1966. - вып. 1. С. 68-81.

8. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. Москва, 1956. - 346 с.

9. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1981. - 400 с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1988. - 512 с.

11. Воеводин В. В. Линейная алгебра. Москва, 1980.

12. Гаевский X. и др. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. Москва, 1978. - 336 с.

13. Гельфанд И.М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР. Сер. мат. 1951. - Т. 15. - 4. - С. 309-360.

14. Кабанихин С. И. Конечно-разностная регуляризация обратной задачи для уравнения колебаний // Вопросы корректности задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. - С. 57-69.

15. Кабанихин С. И. Проекционный метод решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. - С. 55-59.

16. Кабанихин С. И. О разрешимости обратной динамической задачи сей-смики // Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики / Сборник научных трудов. Новосибирск, Вычислительный Центр, 1979. - С. 43-57.

17. Кабанихин С. И. Линейная регуляризация многомерных обратных задач для гиперболических уравнений. Новосибирск, ИМ, 1988. - (Препринт ИМ СО РАН: 27).

18. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1988. - 168 с.

19. Кабанихин С. И. Методы решения обратных динамических задач для гиперболических уравнений // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1992. - С. 109-123.

20. Кабанихин С. И. О линейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 309. - 4. - С. 791-795.

21. Кабанихин С. И., Абдиев К. С. Проекционно-разностный метод решения трехмерной обратной задачи геоэлектрики // Вопросы корректности задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. - С. 61-72.

22. Кабанихин С.И., Ахметов Ж. А. Конечно-разностная регуляризация обратной задачи для гиперболической системы первого порядка // Методы решения обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. С. 65-74.

23. Кабанихин С. И., Аяпбергенова А. Т. Метод итераций Ландвебера в обратной задаче акустики // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. - Т. 1. - 1. С. 7-48.

24. Кабанихин С. И., Баканов Г. Б. Дискретный аналог метода Гельфанда-Левитана в двумерной обратной задаче для гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1999. - Т. 40. - 2. - С. 307-324.

25. Кабанихин С. И., Баканов Г. Б., Шишленин М. А. Сравнительный анализ методов обращения разностной схемы, Ньютона-Канторовича и Ландвебера в обратной задаче для гиперболического уравнения. Новосибирск: НГУ, 2001.- 40 с. (Препринт НГУ: 12).

26. Кабанихин С.И., Бобоев К. Конечно-разностный метод определения сечений в Pi-приближении нестационарного кинетического уравнения переноса // Методы решения некорректных задач и их приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. С. 213-217.

27. Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск, НГУ, 2001.

28. Кабанихин С. И., Мартаков С. В. Исследование проекционно-разност-ного метода решения прямой и обратной задачи геоэлектрики. Новосибирск, 1988. - 51 с. (Препринт ИМ СО АН СССР: 13).

29. Кабанихин С. И., Сатыбаев А. Д. Конечно-разностный алгоритм решения смешаной задачи для двумерного волнового уравнения // Математический анализ и дифференциальные уравнения. Новосибирск: НГУ, 1987. - С. 45-51.

30. Кабанихин С. И., Сатыбаев А. Д. Конечно-разностная регуляризация линеаризованной обратной задачи для двумерного волнового уравнения // Условно-корректные задачи. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988. - С. 39-57.

31. Кабанихин С. И., Шишленин М.А. Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики // Труды XII Байкальской международной конференции. Иркутск, Байкал, 24 июня 1 июля, 2001. - Иркутск, 2001. - 4. - С. 120-125.

32. Кабанихин С. И., Шишленин М.А. Сравнительный анализ численных методов решения обратной задачи для волнового уравнения // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. - Т. 1. - 1. - С. 49-72.

33. Кабанихин С. И., Шишленин М.А. Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. - Т. 1. - 2. - С. 83-114.

34. Канторович Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1984. - 752 с.

35. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // ДАН СССР. 1954. - Т. 94. - 6. - С. 767-770.

36. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 92 с.

37. Лаврентьев М. М. Об обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157. - 3. - С. 520-521.

38. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973.

39. Лаврентьев М. М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981. - 74 с.

40. Лаврентьев М.М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1966. -Т. 171. - 6. - С. 1279-1281.

41. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. 67 с.

42. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский М.: Наука, 1980. - 286 с.

43. Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некорректные задачи. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991.

44. Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: ИМ, Сиб. отд-ние, 1999. - 704 с.

45. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Москва: Наука, 1973. - 408 с.

46. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

47. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук, думка, 1978. - 332 с.

48. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва: Наука, 1983. - 424 с.

49. Овсянников Л. В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств // Доклады Академии наук СССР. 1965. - Т. 163. - 4.

50. Парийский Б. С. Обратная задача для волнового уравнения с воздействием на глубине // Некоторые прямые и обратные задачи сейсмики.- М. : Наука, 1968. С. 25-40.

51. Парийский Б. С. Экономичные методы численного решения уравнений в свертках и систем алгебраических уравнений с теплицевыми матрицами. М.: ВЦ АН СССР, 1977. - 75 с.

52. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. - 164 с.

53. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. -Новосибирск: НГУ, 1973. 252 с.

54. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Обратная кинематическая задача сейсмики. Новосибирск: НГУ, 1978.- 88 с.

55. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. Москва: Наука, 1984. - 264 с.

56. Романов В. Г. О локальной разрешимости некоторых многомерных обратных задач для уравнений гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - 2. - С. 275-283.

57. Романов В. Г. О локальной разрешимости обратных задач для гиперболических уравнений в классе функций, аналитических по части переменных // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 304. - 4. - С. 807-811.

58. Романов В. Г. О численном методе решения одной обратной задачи для гиперболического уравнения // Сибирский математический журнал. -1996. Т. 37. - 3. - С. 633-655.

59. Романов В. Г. Локальный вариант численного метода решения обратной задачи // Сибирский математический журнал. 1996. - Т. 37. - 4.- С. 904-918.

60. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики (численные методы решения). Новосибирск, 1989. - (Препринт СО АН СССР. Ин-т математики: 32).

61. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. М.: Наука, 1991. - 304 с.

62. Романов В. Г. Обратные задачи электродинамики / В. Г. Романов, С. И. Кабанихин, Т. П. Пухначева. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.- 201 с.

63. Сатыбаев А. Д. Конечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа. Ош, Кыргызстан, 2001.

64. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // Ученые записки ЛГПИ имени А. И. Герцена. -1958. Т. 197. - С. 54-112.

65. Тихонов А. Н. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье // ДАН СССР. 1964. Т. 156. - 1.

66. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -Москва, Наука, 1979.

67. Azamatov J. S. and Kabanikhin S.I. Nonlinear Volterra operator equations. Z/2 ~ theory // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1959. -Vol.7(6). - Pp. 487-510.

68. Belishev M.I. Wave basises in multidimensional inverse problems // Math. USSR Sb. 1990. - 67. - No. 1. - Pp. 23-42.

69. Belishev M.I. How to see the waves under the Earth surface (the Boundary-Control method for geophysicists) // Ill-Posed and Inverse Problems. Kabanikhin and Romanov (Editors). VSP, The Netherlands, 2002.

70. Bimuratov S. Sh. and Kabanikhin S.I. The solution of one-dimensional inverse problems of electrodynamics by the Newton-Kantorovich method // Comput. Maths Math. Phys. 1992. - Vol.32. - No.12. - Pp. 1729-1743.

71. Engl H.W., Hanke M. and Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1996.

72. Eremin 1.1. Theory of Linear Optimization. VSP, The Netherlands, 2002. 248 pages.

73. Hanke M., Neubauer A. and Scherzer O. A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems // Numer. Math. -1995. 72. - Pp. 21-37.

74. He S. and Kabanikhin S.I. An optimization approach to a three-dimensional acoustic inverse problemin the time domain //J. Math. Phys. -1995. 36. - No. 8. Pp. 4028-4043.

75. Ikehata M. and Nakamura G. Inverse boundary value problem . 15 years since Calderon raised the problem // Sugaku Expositions, Am. Math. Society. 1999. - 12. - No. 1. Pp. 57-84.

76. Kabanikhin S. I. Numerical analysis of inverse problems // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. - 3. - No. 4. - Pp. 278-304.

77. Kabanikhin S. I., Iskakov К. T. and Yamamoto M. Hi- conditional stability with explicit Lipshitz constant for a one-dimensional inverse acoustic problem // University of Tokyo, Graduate school of mathematical sciences, Tokyo, Japan.

78. Kabanikhin S.I., Kowar R., Scherzer O. and Vasin V. V. Numerical comparison of iterative regularization methods for a parameter estimation problem in a hyperbolic PDE // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. - Vol.9. - No.6.

79. Kabanikhin S.I. and Lorenzi A. Identification Problems of wave Phenomena (Theory and numerics). Utrecht, The Netherlands, VSP, 1999.

80. Kabanikhin S. I., Scherzer 0. and Shishlenin M. A. Iteration methods for a solving a two-dimensional inverse problem for hyperbolic equation by the iteration method // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2003. -Vol.11. - 1. - Pp. 1-23.

81. Kunetz G. Essai d'analyse de traces sismiques // Geophysical Prospecting.- 1961. 9. - Pp. 317-341.

82. Lavrenti'ev M. M., Romanov V. G. and Shishatskii S. P. Ill-posed Problems of Mathematical Physics and Analysis. Providence: AMS, 1986.

83. Maksimov V. I. Dynamical Inverse Problems of Distributed Systems. VSP, The Netherlands, 2002. 270 pages.

84. Pestov L.N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. - 7. - No.5. Pp. 481-486.

85. Rakesh. An inverse problem for the wave equation in the half plane // Inverse Problems. 1993. - 9. Pp. 433-441.

86. Rakesh and Symes W. W. Uniquiness for an inverse problem for the wave equation // Commun. Part. Different. Equat. 1988. - 13. - No. 15. - Pp. 87-96.

87. Romanov V. G. and Kabanikhin S. I. Inverse Problems for Maxwell's Equations. VSP Science Press, Utrecht, The Netherlands, 1984.

88. Vasin V. V. and Ageev A. L. Ill-Posed Problems with A Priori Information.- VSP Science Press, Utrecht, The Netherlands, 1995.