Численное моделирование обратных динамических задач акустики методом граничного управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Филатова, Виктория Михайловна

• Филатова, Виктория Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Филатова, Виктория Михайловна

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 РЕКОНСТРУКЦИЯ СКОРОСТИ ЗВУКА

1.1 Постановка обратной задачи

1.2 Описание метода решения обратной задачи

1.2.1 Управляемость

1.2.2 Билинейные энергетические формы [f,g]p, [//£]К/ [//#]

1.2.3 Задача граничного управления

1.2.4 Реконструкция скорости звука

1.3 Решение дискретной обратной задачи

1.3.1 Решение прямой задачи

1.3.2 Дискретная обратная динамическая задача

1.3.3 Матрицы С и Р

1.3.4 Дискретная задача граничного управления

1.3.5 Алгоритм реконструкции скорости звука

1.4 Численное моделирование реконструкции скорости звука

ГЛАВА 2 РЕКОНСТРУКЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ

2.1 Постановка обратной задачи

2.2 Описание метода решения обратной задачи

2.2.1 Полная управляемость

2.2.2 Билинейные формы [//#]5/[//#]е

2.2.3 Задача полного граничного управления

2.2.4 Решение обратной задачи

2.3 Решение дискретной обратной задачи

2.3.1 Решение прямой задачи

2.3.2 Дискретная обратная динамическая задача

2.3.3 Матрицы £ и Е

2.3.4 Дискретная задача полного граничного управления

2.3.5 Алгоритм реконструкции коэффициента поглощения

2.4 Численное моделирование реконструкции коэффициента поглощения

ГЛАВА 3 РЕКОНСТРУКЦИЯ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ АКУСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ

3.1. Постановка обратной задачи в линеаризованном представлении энергетических форм

3.2. Алгоритм реконструкции модуля сжатия и коэффициента удельного объема

3.3. Численное моделирование реконструкции двух параметров акустической среды

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Список публикаций по теме диссертации

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВС - метод -метод граничного управления (Boundary control method)

МКЭ - метод конечных элементов

МКР - метод конечных разностей

ЗГУ - задача граничного управления

ЗГТГУ - задача полного граничного управления

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование обратных динамических задач акустики методом граничного управления»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследований. Обратные задачи для уравнения акустики, связанные с определением коэффициентов уравнения (скорость звука, плотность, поглощение) по граничным измерениям, встречаются во многих приложениях: геофизика, медицинская диагностика, акустика океана, дефектоскопия и т.д. Основные методы исследования и решения этих задач -лучевой метод, метод редукции к уравнению типа Вольтерра, метод подбора (оптимизации), метод линеаризации и метод граничного управления. Последний метод - метод граничного управления (М.И. Белишев, 1986) [1] мало апробирован численно по сравнению с другими методами, хотя, теоретически, он имеет значительные преимущества: сводит решение нелинейной обратной задачи к линейным процедурам, свободен от таких требований, как регулярность лучей, отсутствие волноводов, малость флуктуаций коэффициентов, аналитичность коэффициентов по части переменных и т.д. Это делает актуальным численное моделирование обратных динамических задач с использованием метода граничного управления. (Некоторые результаты численных расчетов по методу граничного управления представлены в [2]).

Среди перечисленных выше приложений наиболее близкое к теме диссертации по постановке рассмотренных задач - медицинская диагностика. Одной из важнейших задач медицинской диагностики является ранняя диагностика различных опухолевых новообразований молочной железы. В настоящее время в мире стандартной диагностикой рака женской молочной железы является маммография (где, по сути, используется техника рентгеновского снимка). Однако она не всегда эффективна (например, рентген часто дает недостоверный результат при опухолях расположенных в железистой ткани.). Для трехмерных изображений используется компьютерная томография, основанная на многоракурсном рентгеновском облучении малой интенсивности, и магнитно-резонансная томография (МРТ). Несмотря на

высокую информативность, данные методы представляют собой сложные исследования, требующие дорогостоящего оборудования и высокой квалификации медперсонала, кроме того, проникающее излучение, применяющееся при компьютерной томографии, может стимулировать появление и рост раковых клеток, и стать причиной прогрессии заболевания. Небезопасность, сложность и дороговизна применения не позволяет использовать данные методы для целей общей плановой диспансеризации населения. В то же время, ультразвуковые исследования, имеющие широкое и очень значимое применение в различных областях медицины, являются относительно недорогими, простыми в применении и безопасными методами диагностики. Считается, что ультразвуковая томография обладает большим потенциалом для обнаружения и диагностики рака молочной железы [3-5]. В настоящее время в России (В.А. Буров, О.Д. Румянцева и др.), США (N. Duric, С. Li, Р. Littrup, S. Schmindt и др.) и Германии (N. Ruiter, R. Dapp, М. Zapf, R. Jirik, I. Peterlik, J. Fousek и др.) работают группы ученых, целью которых является создание макетов ультразвуковых томографов с высокой разрешающей способностью и информативностью. Одной из основных проблем при этом остается разработка эффективных алгоритмов обработки измерений, т.е., по сути, численных методов решения обратных задач акустики, возникающих в ультразвуковой медицинской томографии.

Состояние исследований. Обратные задачи для гиперболических

уравнений можно разделить по типу дополнительной информации, задаваемой

относительно решения прямой задачи на 4 основные группы: кинематические,

спектральные, обратные задачи рассеяния и динамические обратные задачи.

Кроме того выделяют одномерные задачи, когда искомые коэффициенты

зависят от одной переменной и многомерные задачи (коэффициенты зависят от

всех пространственных переменных). Задачи определения коэффициентов

являются нелинейными, в отличие от задач, связанных с определением

источников или начальных и краевых условий. Выделяют также

переопределенные и не переопределенные постановки. Задачи ультразвуковой

6

диагностики - это многомерные нелинейные переопределенные динамические обратные задачи.

Фундаментальные результаты для одномерных обратных задач были получены И.М. Гельфандом, Б.М. Левитаном [6], М.Г. Крейном [7], В.А. Марченко [8], в которых исходные нелинейные задачи (спектральная, динамическая и задача рассеяния) были сведены к линейным интегральным уравнениям второго рода. В дальнейшем одномерные обратные задачи изучались в работах [9-11]. Теория многомерных обратных задач значительно сложнее и далеко не так полна, как теория одномерных задач. (Заметим, что результаты, близкие к методу Гельфанда-Левитаном - Крейна-Марченко в многомерных обратных задачах дает метод граничного управления; по поводу связи этих методов см. [12]).

Систематическое исследование многомерных динамических обратных задач для гиперболических уравнений, а также методика доказательства локальных теорем существования и единственности решения обратных динамических задач (в непереопределенных постановках), теоремы единственности и условной устойчивости "в целом" развиты В. Г. Романовым [13-30]. Значительный вклад в теорию обратных динамических задач принадлежит A.C. Благовещенскому [11, 31-34]. Различные подходы и методы отражены также в работах М.М. Лаврентьева, Ю.Е. Аниконова, С. И. Кабанихина, А.И. Прилепко, А.Л. Бухгейма, Г.В. Алексеева, М.И. Клибанова, М.И. Белишева, Л.Н. Пестова и д.р [1, 35-42]. Ряд результатов в этом направлении получили зарубежные авторы: F. Natterrer, J. G. Berryman, R. R. Green, R. Burridge, S. He, J. Q. Liu, H.W. Engl, M. Yamamoto, G. Uhlmann, P. StefanovH др. [43-51].

При практическом решении краевых обратных динамических задач возникает сложность, связанная с граничным источником. В приложениях это, обычно, точечный источник, излучающий некоторый вейвлет /(t). Если f(t) = S(t) — функция Дирака, то обратные задачи часто (при регулярном

поведении лучей) сводятся к нелинейным уравнениям второго рода. Именно для такого мгновенного импульса (правда, источник распределен по границе) был доказан, один из лучших результатов о единственности восстановления скорости звука в волновом уравнении (В.Г. Романов, [21]) для случая, когда скорость - аналитическая функция по горизонтальным переменным. В этой работе обратная задача сводилась к нелинейной интегро-дифференциальной системе уравнений типа Вольтерра второго рода.

В современных макетах ультразвукового томографа используют 256

трансдьюсеров (В.А. Буров, N. Оипс) и более [52], т.е. возникающие в

ультразвуковой медицинской томографии задачи переопределены. Основные

применяемые методы обработки - это известные лучевой метод, метод

линеаризации (приближение Борна), метод оптимизации. Так, В.А. Буров и его

коллеги используют двухшаговый алгоритм, основанный на приближении

Борна [53]. На первом шаге, решая линеаризованную обратную

кинематическую задачу, восстанавливаются крупномасштабные

неоднородности. На втором шаге восстанавливаются мелкомасштабная

структура по алгоритму, основанному на борновском приближении с учетом

неоднородности фона. Все расчеты делаются в предположении

прямолинейности распространения волн. Другой алгоритм, который

рассматривается В.А. Буровым - безытерационный алгоритм Гриневича-

Новикова [53], в котором используются данные о рассеянии плоских волн в

монохроматическом режиме. Группа ученых из США (Ы. Эипс, С. 1л, Р. 1лШир

и др.), разрабатывающие свою томографическую установку, при расчетах также

используют приближение Борна [54]. Другой применяемый подход основан на

методе миграции Кирхгофа, который адаптирован для использования в

ультразвуковой томографии [55]. Отметим также работы [50-51],

использующие метод оптимизации. Преимущества и недостатки

перечисленных методов хорошо известны. Так, лучевой метод требует

регулярность поля лучей, метод линеаризации не учитывает многократные

рассеяния и работает только при малых флуктуациях коэффициентов. Известно

8

также, что при наличии достаточно сильных рассеивателей сходимость оптимизационных алгоритмов критически зависит от выбора начального приближения. В целом, обработка данных ультразвуковой томографии остается актуальной и важной для медицинской диагностики проблемой.

В диссертации рассматриваются задачи в постановке, близкой той, в которой они возникают в ультразвуковой томографии, т.е. рассматриваются многомерные переопределенные динамические обратные задачи акустики. В качестве зондирующего импульса используется импульс Рикера.

Целью диссертационной работы является разработка, программная реализация алгоритмов численного решения обратных динамических задач акустики на основе метода граничного управления и проведение вычислительных экспериментов. Рассмотренные в диссертации обратные задачи - это обратные задачи об определении коэффициентов волнового уравнения (скорость звука, поглощение, плотность) по данным волновой томографии (т.е. в ситуации, когда известны граничные волновые поля от некоторого множества граничных источников).

В рамках поставленной цели были рассмотрены следующие задачи:

• Начально-краевая задача Неймана (прямая задача) для волнового уравнения (для подготовки данных моделирования обратных задач).

• Обратная задача об определении скорости звука;

• Обратная задача об определении коэффициента поглощения;

• Линеаризованная обратная задача об определении двух параметров акустической среды (модуля сжатия и коэффициента удельного объема).

Научная новизна

Предложены и реализованы новые способы и алгоритмы численного решения коэффициентных обратных задач акустики, основанные на методе граничного управления:

- реконструкция скорости звука в отсутствии коэффициента поглощения;

- реконструкция коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука;

- одновременная реконструкция двух параметров - модуля сжатия и коэффициента удельного объема в линеаризованной версии метода граничного управления.

Достоверность

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием известными теоретическими исследованиями рассматриваемых обратных задач; применением апробированных численных методов решения прямых задач; сравнением результатов численного решения обратных задач с задаваемыми моделями.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математические модели и численные алгоритмы граничного управления в задачах реконструкции скорости звука и коэффициента поглощения.

2. Программный комплекс для решения задачи реконструкции скорости звука в отсутствии коэффициента поглощения.

3. Программный комплекс для решения обратной задачи реконструкции коэффициента поглощения при неизвестной скорости звука.

4. Алгоритм и программная реализация численного решения обратной задачи нахождения двух параметров - модуля сжатия и коэффициента удельного объема, на основе линеаризованных представлений энергетических форм.

Публикации

По результатам диссертационной работы опубликовано 13 работ, из них 3 в журналах, рекомендованных ВАК; результаты исследований отражены в 4 отчетах о НИР.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа изложена на 113 страницах, содержит 31 рисунков, 1 таблицу, библиографический список из 80 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту Л.Н. Пестову за помощь при проведении научных исследований по теме диссертационной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Филатова, Виктория Михайловна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, № 3. С.524-527.

2. Belishev M.I., Gotlib V.Yu. Dynamical variant of the BC-method: theory and numerical testing // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. Vol. 7, No 3. P. 221-240.

3. J.F. Greenleaf, A. Johnson, R.C. Bahn, B. Rajagopalan Quantitative crosssectional imaging of ultrasound parameters, in Proc // IEEE Ultrason. Symp. 1977. P. 989-995.

4. S.J. Norton, M. Linzer, Ultrasonic reflectivity tomography: reconstruction with circular transducer arrays // Ultrason. Imaging. 1979. Vol. 2. P. 154-184.

5. P.L. Carson, C.R. Meyer, A.L. Scherzinger, T.V. Oughton, Breast imaging in coronal planes with simultaneous pulse echo and transmission ultrasound //Science. 1981. Vol. 214. P. 1141-1143.

6. Гельфанд И. M., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. Мат, 1951. 15. № 4. С. 309-360.

7. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР, 1954. 94. № 6. С.767-770.

8. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1987. 332 с.

9. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1966. Т. 171. № 6. - С.1279-1281.

10. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. - С. 9-84.

11. Благовещенский A.C. Одномерная обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка // Труды ЛОМИ. 1969. Т. 15. С.85-90.

12. M.I. Belishev, V.S. Mikhaylov Unified approach to classical equations of inverse problem theory // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. Vol. 20. P. 461-488.

13. Лаврентьев M.M., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М : Наука, 1980. - 286 с.

14. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1969. (Ротапринт) - 195 с.

15. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. - Новосибирск: Наука, 1972. - 164 с.

16. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. -Новосибирск : НГУ, 1973. -252 с.

17. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Обратная кинематичекая задача сейсмики. - Новосибирск: НГУ, 1978. - 88 с.

18. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики.- М.: Наука, 1984.- 264 с.

19. Романов В.Г., Дементьева Н.В. Локальная разрешимость и регуляризация обратной задачи для телеграфного уравнения в цилиндрической области // Математический анализ и дискретная математика. - Новосибирск : НГУ, 1988. - С.72-89.

20. Романов В.Г. О локальной разрешимости некоторых многомерных обратных задач для уравнений гиперболического типа // Дифференц. Уравнения, 1989. Т. 25. № 2. - С.275-283.

21. Романов В.Г. О локальной разрешимости обратных задач для гиперболических уравнений в классе функций, аналитических по части переменных // Докл. АН СССР, 1989. Т.304. № 4. - С.807-811.

22. Романов В.Г. Вопросы корректности задачи определения скорости звука //Сиб. мат. журн., 1989. Т.30. № 4. - С. 125-134.

23. Романов В.Г. О корректности обратных задач с носителем данных, сосредоточенным на границе области // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. - Новосибирск : Наука, Сибирское отделение, 1992. - С.163-175.

24. Романов В.Г. К задаче об определении коэффициентов при младших членах гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн., 1992. Т.ЗЗ, 1 3. - С.156-160.

25. Романов В.Г. О численном методе решения одной обратной задачи для гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн., 1996. Т.37. № 3. - С.633-655.

26. Романов В.Г. Локальный вариант численного метода решения обратной задачи // Сиб. мат. журн., 1996. Т. 37. № 4. - С.904-918.

27. Романов В.Г. Об оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн., 1998. Т.39. № 2. - С.436-449.

28. Романов В.Г. Оценка устойчивости в задаче определения скорости звука // Докл. РАН. 1999. Т.368. № 3.

29. Романов В.Г., Глушковой Д.И. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения // Сибирский матем. журн., 2003. Т.44. № 2. - С.311 -321.

30. Романов В.Г. Об одном подходе к решению обратной задачи для гиперболического уравнения // Сибирский журн. вычисл. Математики, 2003. Т.6.№ 4. - С.431-439.

31. Белишев М. И., Благовещенский А. Динамические обратные

задачи теории рассеяния волн. Санкт-Петербург: СПГУ, 1999.

105

32. Благовещенский А. С. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1971.65. С. 28-38.

33. Blagoveshchenskii A. S. On the inverse problem of the propagation of seismic waves. Problemy Mat. Fiziki, 1: 68-81, 1966 (in Russian).

34. Blagoveshchenskii A. S. Axial symmetric Lamb inverse problem. Zapiski Nauch. Semin. POMI, 213: 51-67, 1992 (in Russian); English translation: J. Math. Sciences, v.84, no 1, 1997.

35. Klibanov M., Rakesh. Numerical Solution of a Time-like Cauchy Problem for the Wave Equation. Math. Metods in the Appl. Sciennce. Vol. 15 ,p. 559-570(1992).

36. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1988. 166 с.

37. Лаврентьев М. М. Об обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157. - 3. - С. 520-521.

38.Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. 67 с.

39.Pestov L.N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary. Journal of inverse and ill-posed problems, 7 (1999), No 5, 481—486.

40.Anikonov U.E., Bubnov B.A, Erokhin G.N. Inverse and Ill-Posed Sources Problems. VSP, Netherlands. 1997. P.238.

41.Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Сравнительный анализ численных методов решения обратной задачи для волнового уравнения // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. Т. 1, № 1. С. 49-72.

42.Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнении,- Новосибирск: Наука, 1978,- 117 с

43.Ayapbergenova А. Т., Kabanikhin S.I., Lorenzi A. Justification of optimization methods for inverse integro - differential hyperbolic problems // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. Vol. 12, No. 1.

44.He S., Kabanikhin S.I. An optimization approach to a three-dimensional acoustic inverse problem in the time domain // J. Math. Phys. 1995. V. 36, N8. P. 4028^1043.

45.Sylvester J., Uhlmann G. A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem // Annals of Mathematics. 1987. V. 125. P. 153-169.

46.0. Y. Imanuvilov and M. Yamamoto. Determination of a coefficient in an acoustic equation with a single measurement. Inverse Problems , 19(1): 157—171, 2003

47. S. Liu Recovery of the sound speed and initial displacement for the wave equation by means of a single dirichlet boundary measurement // EVOLUTION EQUATIONS AND CONTROL THEORY. 2013. Vol. 2, N2. P. 355-364.

48.Natterer, F.: Ultrasonic image reconstruction via plane wave stacking, Preprint, University of M'unster, Department of Mathematics and Computer Science.

49.Natterer, F.: Error estimates for the Born approximation, Inverse Problems 20, 447-452 (2004).

50.Natterer F, Wubbeling F. A propagation-backpropagation method for ultrasound tomography//Inverse Problems. 1995. 11. P. 1225-1232.

51.Natterer F. Reectors in wave equation imaging // Wave Motion. 2008. 45. P. 776-784.

52.Nicole V. Ruiter, Michael Zapf, Torsten Hopp, Robin Dapp, Hartmut Gemmeke Phantom image results of an optimized full 3DUSCT // Medical Imaging 2012: Ultrasonic Imaging, Tomography, and Therapy. 2012. Vol. 8320, P. 832005832005-6.

53.Буров B.A., Гришина И.М., Лапшенкина О.И., Морозов С.А., Румянцева О.Д., Сухов Е.Г. Восстановление тонкой структуры акустического рассеивателя на фоне искажающего влияния его крупномасштабных

составляющих // Акустич. журн. 2003, т.49, №6, с.738-750.

107

54.F. Simonetti, L. Huang, N. Duric and O. Rama Imaging beyond the Born approximation: An experimental investigation with an ultrasonic ring array // Physical Review. 2007. Vol. 76. P. 036601-1 - 10.

55.Schmidt S, Duric N, Li C, Roy O, Huang ZF Modification of Kirchhoff migration with variable sound speed and attenuation for acoustic imaging of media and application to tomographic imaging of the breast // Med Phys. 2011 Vol. 38(2). P. 998-1007

56.Pestov L., Bolgova V., Kazarina O. Numerical recovering a density by BC-method // Inverse Problems and Imaging, Volume: 4, Number: 4, November, 2011.

57.Казарина О.П., Ермаков И.С., Болгова B.M., Пестов JI.H. Услышать массу мембраны (результаты численного моделирования задачи граничного управления)// Обратные задачи и информационные технологии рационального природопользования: материалы IV научно-практической конференции. -Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008, С 24-30.

58.Pestov L. N., Bolgova V. М., Danilin А. N. Numerical recovering of a speed of sound by the bc-method in 3d // Acoustical Imaging. Springer. 2012. V. 31, N. VIII, 508 p.

59.Larisa Beilina, Klas Samuelsson, Krister Ahlander A hybrid method for the wave equation // Technical Report 2001-14, Finite Element Center, Chalmers University of Technology. 2001. Göteborg, Sweden.

60.Lions J.-L., Controle Optimale de Systemes Gouvernes par des Equations aux Derivees partielles. (1968), Paris.

61.Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the ВС-method). Inverse Problems, 13 (1997), R1--R45.

62.M. И. Белишев Граничное управление и обратные задачи: одномерный вариант ВС-метода // Математические вопросы теории распространения волн. 37, Зап. научн. сем. ПОМИ, 354, ПОМИ, СПб., 2008, 19-80

63.Tataru D. Unique continuation for solutions to PDE's; between Hormander's theorem and Holmgren's theorem. Comm. PDE, 20, (1995), 855-884.

64.D.L.Russell. Boundary value control theory of the higher-dimensional wave equation. SIAM J. of Control and Optimization, 9 (1971), 29—42

65.H. D. Bui Inverse problems in the mechanics of materials: an introduction. Boca Raton, FL : CRC Press, 1994. -204p.

66.X. Д. Буи Введение в теорию обратных задач механики материалов: пер. с англ. -К: Карагандинский государственный университет, 1997. -378с.

67.Bardos С., Lebeau G. and Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of the waves from the boundary. SIAM J. Contr. Opt., 30 (1992), p. 1024-1065.

68.Lions J.-L., Magenes E., Problemes aux limites non homogenes et applications, v. 1,2,3 (1968), Paris.

69.Смирнов В.И. Курс высшей математики, Том 4, Часть 2. - М.: Наука, 1974. - 672 с

70. G. Strang and G.J. Fix: An Analysis of the Finite Element Method // Prentice Hall, Englewood Clis, NJ, 1973

71.T. J. R. Hughes, The Finite Element Method, Prentice Hall, 1987

72.Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение двумерной обратной задачи акустического рассеяния на основе функционально-аналитических методов // Акустич. журн. 1992, Т.38, N3, С.413-420.

73.MATLAB Documentation center http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/pinv.html

74.Coleman, T.F. and Y. Li A Reflective Newton Method for Minimizing a Quadratic Function Subject to Bounds on some of the Variables // SIAM Journal on Optimization. Vol. 6, Number 4, pp 1040-1058, 1996.

75.http://www.mathworksxom/access/helpdesk/help/pdf_doc/distcomp/distco mp.pdf

76. http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/mdce/mdce.pdf

77.Pestov L.N. Inverse problem of determining absorption coefficient in the wave equation by ВС method // Journal of inverse and ill-posed problems, Vol. 20, Number 1, 2012, p. 103-110

78.Филатова В.М. Численное восстановление коэффициента поглощения методом граничного управления // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 153-159

79.0.Ю. Эмануилов Граничная управляемость гиперболическими уравнениями.// Сибирский математический журнал Июль-август, 2000. Том 41, №4.

80.Пестов Л.Н., Филатова В.М. Численное решение линеаризованной обратной задачи для двух-параметрического уравнения акустики // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 153159

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Список публикаций по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов диссертационных исследований:

1. Pestov L., Bolgova V., Kazarina О. Numerical recovering a density by BC-method // Inverse Problems and Imaging. 2011. Vol. 4, N. 4. P. 703-712.

2. Филатова B.M. Численное восстановление коэффициента поглощения методом граничного управления // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 153-159.

3. Пестов Л.Н., Филатова В.М. Численное решение линеаризованной обратной задачи для двух-параметрического уравнения акустики // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 4. С. 154-159

Статьи в других изданиях:

1. Pestov L., Bolgova V., Danilin A. Numerical recovering of a speed of sound by the bc-method in 3d // Acoustical Imaging. Springer. 2012. V. 31. P 201209.

2. Болгова B.M., Казарина О.П. Как услышать массу мембраны // Материалы XL VI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. - Новосибирск, Новосиб. гос. ун-т, 2008 г. С. 118.

3. Болгова В.М., Данилин А.Н., Ермаков И.С., Казарина О.П., Пестов Л.Н. Услышать массу мембраны (результаты численного моделирования задачи граничного управления) // Обратные задачи и информационные технологии рационального природопользования: материалы IV Научно-практической конференции. - Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008. - 224с. С.24-29.

4. Болгова В.М., Данилин А.Н., Ермаков И.С., Казарина О.П. Численное восстановление плотности в обратной задаче для волнового уравнения методом граничного управления // Материалы XL VII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-

технический прогресс": Математика. - Новосибирск, Новосиб. гос. ун-т, 2009 г. С.247.

5. Болгова В.М., Данилин А.Н., Ермаков И.С., Казарина О.П. Численное решение задачи граничного управления для волнового уравнения о концентрации энергии // Материалы ХЬУП международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. - Новосибирск, Новосиб. гос. ун-т, 2009 г. С.248.

6. Филатова В.М. Численное восстановление коэффициента поглощения в обратной задаче для волнового уравнения методом граничного управления // Тезисы докладов международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. - Новосибирск, 2012 г. С.244.

Отчеты о НИР:

1. Обратные динамические задачи сейсмики / Рук. темы Пестов Л.Н., исп. Ерохин Г.Н., Славский В.В., Болгова В.М. и др / Отчет по НИР (промежуточный) «Математическое моделирование скалярной обратной динамической задачи» по госконтракту от 30.09.2009 г. № 02.740.11.0441, Инв. № 01/01-2009. Номер гос. регистрации НИР И091123180745 / Югорский НИИ информационных технологий. Ханты-Мансийск. 2009. 110с.

2. Обратные динамические задачи сейсмики / Рук. темы Пестов Л.Н., исп. Ерохин Г.Н., Славский В.В., Болгова В.М. и др / Отчет по НИР (промежуточный) «Моделирование общей глубинной точки» по госконтракту от 30.09.2009 г. № 02.740.11.0441, Инв. № 01/02-2010. Номер гос. регистрации НИР 01200964669 / Югорский НИИ информационных технологий. Ханты-Мансийск. 2010. 117с.

3. Обратные динамические задачи сейсмики / Рук. темы Пестов Л.Н., исп. Ерохин Г.Н., Славский В.В., Болгова В.М. и др / Отчет по НИР (промежуточный) «Определение скорости продольных волн» по госконтракту от 30.09.2009 г. № 02.740.11.0441. Номер гос. регистрации НИР 01200964669 /

Югорский НИИ информационных технологий. Ханты-Мансийск. 2011. 102с.

112

4 Обратные динамические задачи сейсмики / Рук. темы Пестов Л.Н., исп. Ерохин Г.Н., Славский В.В., Болгова В.М. и др / Отчет по НИР (заключительный) «Научно-образовательный комплекс» по госконтракту от 30.09.2009 г. № 02.740.11.0441. Номер гос. регистрации НИР И091123180745 / Югорский НИИ информационных технологий. Ханты-Мансийск. 2011. 210с.