Применение разрывного метода Галеркина для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Масягин Виктор Федорович

• Масягин Виктор Федорович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Масягин Виктор Федорович

Введение

Актуальность проблемы

Цели и задачи

Научная новизна

Практическая значимость

Положения, выносимые на защиту

Достоверность результатов

Апробация результатов

Личный вклад автора

Публикации

Структура и объем диссертации

Благодарности

1. Проекционные схемы на основе разрывного метода Галеркина

для решения уравнений диффузионного типа

1.1. Применение разрывного метода Галеркина для решения одномерных уравнений диффузионного типа

1.1.1. Схема DG-метода

1.1.2. Результаты расчетов

1.2. Применение разрывного метода Галеркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа

1.2.1. Схема DG-метода

1.2.2. Результаты расчетов

1.3. Применение разрывного метода Галеркина для решения трехмерных уравнений диффузионного типа

1.3.1. Схема DG-метода

1.3.2. Результаты расчетов

2. Программная реализация разрывного метода Галеркина в виде комплекса программ DGM

2.1. Препроцессинг и постпроцессинг

2.1.1. Salome

2.1.2. UNV-формат

2.1.3. ParaView и модель данных VTK

2.2. Структура хранения сеточных данных

2.2.1. Треугольная неструктурированная сетка

2.2.2. Тетраэдральная неструктурированная сетка

2.3. Архитектура программного комплекса DGM

3. Численное моделирование с применением комплекса программ

DGM

3.1. Решение обратной задачи о диффузии лекарственных

веществ из хитозановых пленок

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Результаты численного моделирования

3.2. Моделирование динамики распространения температуры в пласте с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Результаты численного моделирования

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение разрывного метода Галеркина для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках»

Актуальность проблемы

Развитие нефтегазовой промышленности России в последние десятилетия происходит на фоне заметного ухудшения запасов нефти и газа. Это связано как со значительной выработкой многих крупных и уникальных месторождений, так и с вводом в эксплуатацию месторождений с трудноизвлекаемыми запасами. Состояние призабойной зоны пласта (ПЗП) является одним из важнейших факторов, оказывающих существенное влияние на процесс притока нефти. Призабойная зона пласта - участок пласта, который примыкает к стволу скважины и в пределах которого изменяются фильтрационные свойства продуктивного пласта на этапе строительства, ремонта или же эксплуатации скважины. В процессе эксплуатации как в добывающих, так и в нагнетательных скважинах происходит ухудшение фильтрационных характеристик ПЗП по различным причинам. В связи с этим актуальной становится задача по поддержанию ПЗП в состоянии, позволяющем использовать потенциальные возможности пласта по притоку и приемистости в полной мере. Действуя различными методами на ПЗП при помощи гидравлического разрыва, кислотной обработки и других методов, повышают или восстанавливают фильтрационные характеристики. Но степень выработки запасов существенно зависит не только от правильного регулирования разработки с целью максимального извлечения остаточных запасов углеводородов, а также от полноты и достоверности информации о пласте и скважине.

Необходимая информация в основном получается посредством проведения гидродинамических исследований пластов и скважин (ГДИС). Совершенствование систем разработки нефтяных месторождений тесно связано с мероприятиями по интенсификации добычи нефти. Промысловые

исследования скважин и пластов приобретают все более важное значение как инструмент для оценки эффективности применяемых мероприятий [1-3].

В процессе эксплуатации скважин и пластов исследования в основном ведутся гидродинамическими методами, при этом уточняются характеристики пластов, выявляется эффективность мероприятий по воздействию на ПЗП.

Для описания стандартной методики ГДИС, рассмотрим изотермическую фильтрацию жидкости в неограниченном постоянном пласте постоянной толщины к с начальным пластовым давлением р0 и постоянным дебитом Q [1, 4], которую можно описать полной системой уравнений:

^ + = 0, и = -к Ур, с = 1И , (1)

д и НФ )т=сош<

где р - пористость, р- плотность, с - сжимаемость, к - проницаемость, и - динамическая вязкость, и - скорость фильтрации.

Комбинация уравнений (1) позволяет получить уравнение пьезопроводности, по которому можно определить распределение давления в пористой среде

| = Х*Р, (2)

где х = к - коэффициент пьезопроводности, с 1 = 8са + (1 - £)сМ! + с - общая сжимаемость системы, где индекс о относится к нефти, w - к воде, s - к «скелету».

В случае неустановившейся плоскорадиальной фильтрации упругой жидкости уравнение (2) примет вид

— = —(гдР\ (3)

д/ г дг \ дг )

Распределение давления в пласте (аналитическое решение уравнения (3)) при начальных и граничных условиях

р(г= 0) = р(г = р0, | гдр ' - ^

дг )г=0 2лкк

определяется как

p(r,t) = Po - ^fln(t) + Inf^ 1 -0,5772]. (4)

Алкк V V r ) )

Однако формула (4) не учитывает загрязнение призабойной зоны пласта. Поэтому для количественной оценки степени ухудшения (в некоторых случаях улучшения) фильтрационных характеристик призабойной зоны работающих скважин в большинстве случаев вводится стационарный перепад давления на стенке скважины Ар (скин-эффект), который добавляется к забойному давлению pw для однородной радиальной модели пласта с проницаемостью к . Предполагается, что скин-эффект имеет место в зоне с проницаемостью ks пренебрежимо малой толщины rs. Согласно этому предположению забойное давление в скважине со скин-эффектом можно определить следующим образом:

Pwf = Pw -APs . (5)

Скин-эффект характеризуется безразмерным параметром S, называемым скин-фактором, который определяется по формуле:

S = ||. (6)

В дальнейшем предложена аналитическая формула для определения скин-фактора в предположении, что протяженность скин-зоны относительно мала по сравнению с размерами пласта и течение флюида в ней установившееся

S =

f к ^

— -1 к

r

ln^. (7)

r

V « / ™

Тогда аналитическую формулу (4) для распределения давления в пласте с учетом скин-эффекта (комбинация выражений (5) и (6)) можно записать в виде:

Qv

г rf л

Алкк

p(r, t) = р0 - ln(t) + ln -f- I - 0,5772 + 2S . (8)

v r2 J j

Также стоит отметить, что скин-эффект можно учитывать через приведенный радиус скважины , что позволяет верно находить перепад давления

^ = V -. (9)

Как правило, традиционные методы ГДИС основаны на анализе кривых давления при неустановившемся режиме радиальной фильтрации в бесконечном пласте. Два основных подхода - это анализ данных по кривой падения давления (КПД) и по кривой восстановления давления (КВД). Оба метода основаны на решении уравнения пьезопроводности.

Но для более полного обеспечения информативности гидродинамических методов исследований скважины, особенно для скважин с гидравлическим разрывом пласта необходимо совместное рассмотрение гидродинамического состояния системы "скважина - пласт" с температурным полем, или термометрией [5].

Исторически первым методом исследования скважин является термометрия. Основным информационным параметром в данном методе является температура. Любое изменение системы по причине уменьшения или увеличения давления, изменения режима работы скважины, нарушения целостности колонны, промывки и т.п. приводит к изменению распределения температуры в скважине, т.к. температура является энергетическим параметром системы. Как правило, на практике используются термометры с высокой разрешающей способностью, в связи с чем система скважина-пласт является очень чувствительной [6].

Профиль температуры зависит от скорости фильтрации, градиента давления, а также свойств жидкости и породы [7].

Для детального изучения термогидродинамических процессов в пласте со скважиной необходима разработка математической модели совместной работы системы "скважина - трещина - пласт" [4, 8].

Методы термометрии скважин и пластов в значительной степени могут улучшить систему применяемых сегодня различных вариантов разработки

нефтяных и газовых месторождений в направлении увеличения нефтеотдачи пластов.

Другой важной задачей является определение свойств хитозановых пленок, применение которых для лечения ожогов вызывает все больший интерес в последнее время [9-11].

Перспективным направлением в современной медицине является заживление ран с помощью органических пленок, пропитанных лекарственным веществом. Для эффективного применения этих пленок необходимо знать такую их характеристику, как коэффициент диффузии, что позволит оценивать скорость впитывания лекарственного вещества из пленки в кожу пациента.

В основе вышеописанных задач лежат уравнения диффузионного типа. Для таких задач предъявляются высокие требования по точности получаемого численного решения. К тому же зачастую эти задачи приходится решать в областях сложной геометрии, где возникает проблема построения сеток с так называемыми «хорошими» ячейками. Следовательно, актуальной становится задача построения высокоточных алгоритмов для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках.

В настоящее время широкое распространение [12-15] получил метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ) или Discontinuous Galerkin Method (DGM). Этот метод применим для различных типов уравнений и обладает рядом достоинств, присущих как конечно-элементным, так и конечно-разностным аппроксимациям. В частности, он обеспечивает заданный порядок точности, может использоваться для сеток произвольной структуры, позволяет достаточно просто реализовывать граничные условия различных типов и т.д.

Впервые метод был предложен в работе Reed and Hill 1973 года [16] для решения уравнения о переносе нейтронов. Первый анализ DGM был дан в работе Le Saint and Raviart [17] 1974 года, в котором рассматривалась линейная задача. Первая успешная реализация РМГ для численного решения двумерных

уравнений Эйлера и Навье-Стокса на неструктурированных треугольных сетках представлена в работе Bassi and Rebay [18] 1997 года. Успешное применение РМГ на тетраэдральных сетках описано в работе Luo с соавторами [19] 2006 года.

Схемы на основе метода Галеркина с разрывными базисными функциями (DG) имеют ряд важных преимуществ [20-22]. Во-первых, как и конечно-элементные методы, такие как SUPG-метод Хью и Брука [23-29], методы DG лучше подходят, чем конечно-разностные методы, для работы со сложными геометрическими областями. Более того, особые конечные элементы DG пространственной дискретизации позволяют очень легко обрабатывать граничные условия. Никакой специальной численной обработки для них не требуется для достижения равномерного высокого порядка точности, как это требуется в случае с конечно-разностными схемами.

Во-вторых, этот метод может легко подвергаться адаптации [30], т.к. уточнение или разрежение сетки может быть сделано без принятия во внимание ограничений непрерывности типичных для согласованных конечно-элементных методов. Также степень аппроксимирующих полиномов может легко меняться от элемента к элементу [31]. Адаптируемость особенно важна для гиперболических задач со сложной структурой разрывов. В одномерном случае задача Римана может быть решена в закрытой форме, и разрывные кривые в проекции t) являются простыми прямыми, проходящими через начало координат. Однако в двумерном случае их решения представляют очень разнообразную структуру, как показано в работах Вагнера [32], Lindquist [33, 34], Zhang and Zheng [35] и Zhang and Chen [36]. Таким образом, методы, допускающие триангуляции, которые могут быть легко приспособлены для разрешения таких структур, имеют важное преимущество.

В-третьих, этот метод хорошо параллелизуем. Т.к. элементы разрывны, матрица масс является блочно-диагональной, и порядок блоков равняется числу степеней свободы внутри соответствующего элемента, блоки могут быть обращены вручную сразу для всех элементов. Таким образом, на каждом

внутреннем шаге схемы для обновления степеней свободы внутри заданного элемента, требуются только степени свободы элементов с общей поверхностью, при этом взаимодействие процессоров сведено к минимуму.

Особую важность имеют идеи параллелизации и адаптации, предложенные Biswas, Devine and Flaherty в работе [37], deCougny [38], Devine [39, 40] и Ozturan [41]. Другой важной темой является повышение эффективности вычислений с использованием метода RKDG, подобно созданию бесквадратурной версии метода, исследованной в работе Atkins and Shu [42].

Цели и задачи

Целью данной работы является разработка высокоточных проекционных сеточных схем на основе РМГ для численного решения уравнений диффузионного типа, описывающие распространение температуры в системе с вертикальной скважиной и трещиной гидроразрыва и диффузию лекарственных веществ из полимерных пленок, их реализация в рамках программного комплекса DGM, проведение термометрического исследования системы «скважина-трещина-пласт» и нахождение коэффициента диффузии полимерных пленок. В первой задаче моделируется температурное поле в пласте с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва. Во второй задаче требуется определить коэффициент диффузии пленки по имеющимся экспериментальным данным. Достижение поставленных целей предполагало решение следующих основных задач:

• разработать и исследовать семейство проекционных сеточных схем повышенного порядка точности на основе РМГ для решения начально-краевой задачи для уравнения диффузионного типа на одномерных, двумерных и трехмерных неструктурированных разнесенных сетках;

• разработать алгоритм расчета температурного поля в системе «скважина-трещина-пласт», проанализировать влияние эффектов, возникающих в ходе эксплуатации скважины;

• разработать алгоритм расчета коэффициента диффузии для хитозановых пленок, учитывающий особенности проведения экспериментов;

• создать программный комплекс ЭОМ на основе предложенных численных схем и алгоритмов;

• провести термометрическое исследование системы с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва с помощью созданного программного обеспечения;

• исследовать средствами разработанного программного комплекса обратную задачу о диффузии лекарственных веществ в хитозановых пленок.

Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной работе является вычислительный эксперимент.

Научная новизна

Данная работа посвящена развитию и применению проекционных сеточных схем для решения уравнений диффузионного типа на разнесенных неструктурированных сетках. Ранее в диссертационных работах Багдасарова [43] и Волкова [44] были предложены новые проекционные схемы высокого порядка точности на неструктурированных сетках на основе метода Галеркина с разрывными базисными функциями.

В работах Фридмана и Леонтьева [45, 46] и Коог с соавторами [47, 48] были предложены численные методы, в которых использовалась смешанная формулировка задачи, приводящая к понижению порядка производных в диффузионных уравнениях и, тем самым, делающая возможным применение разрывных базисных функций для построения приближенного решения, а само решение искалось на разнесенных сетках, смещенных друг относительно друга на величину порядка половины характерного размера элемента основной сетки.

Новизна работы заключается в разработке и применении новой проекционной сеточной схемы на основе РМГ для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках. В отличие

от работ [45-48] в данной работе вместо структурированной сетки, состоящей из прямоугольников и параллелограммов, используются неструктурированные сетки, состоящие из треугольников и тетраэдров, а двойственная сетка состоит из медианных контрольных объемов, а в качестве базисных функций используются разрывные кусочно-полиномиальные функции вместо ступенчатых функций.

Разработаны численный алгоритм расчета температурного поля в системе «скважина-трещина-пласт» и алгоритм расчета коэффициента диффузии хитозановых пленок.

Особенность построенных схем состоит в том, что искомая функция рассматривается на основной сетке, в то время как вспомогательные функции рассматриваются на двойственной сетке, состоящей из медианных ячеек. В отличие от проекционных схем, построенных в работе [43], в данной работе в качестве вспомогательных функций рассматриваются потоковые переменные, а не градиенты искомой функции. В случае наличия разрыва коэффициента диффузии внутри расчетной области производится осреднение коэффициента на ячейках двойственной сетки, внутри которых попадает разрыв.

Развитые соискателем численные схемы и алгоритмы включены в созданный при его активном участии программный комплекс ЭОМ, предназначенный для решения уравнений диффузионного типа областях сложной геометрической формы на неструктурированных разнесенных сетках.

Средствами созданного программного обеспечения проведено термометрическое исследование вертикальной нагнетательной скважины с трещиной гидроразрыва и решена обратная задача о диффузии лекарственных веществ из хитозановых пленок. Моделирование показало высокую степень соответствия полученных результатов теоретическим и экспериментальным данным, пригодную для практического использования в данных областях знаний.

Практическая значимость

Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании программного комплекса БОМ, реализующего разработанные автором численные схемы и алгоритмы, и использовании созданного ПО для решения задачи термометрии в системах с вертикальной скважиной и трещиной гидроразрыва и для решения обратной задачи о диффузии лекарственных веществ из полимерных пленок.

Положения, выносимые на защиту

• проекционные сеточные схемы повышенного порядка точности на основе РМГ для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках;

• численный алгоритм усреднения тензорных коэффициентов диффузии на двумерных медианных контрольных объемах на основе метода опорных операторов. Показана работоспособность алгоритма на задачах с разрывными коэффициентами диффузии;

• алгоритм проведения термометрического исследования системы с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва;

• алгоритм решения обратной задачи о диффузии лекарственных веществ из хитозановых пленок;

• реализация созданных численных схем и алгоритмов в рамках программного комплекса БОМ.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением полученных результатов численного моделирования с данными вычислительных экспериментов, выполненных с применением известных численных методов и с экспериментальными данными.

Апробация результатов

Основные результаты диссертационной работы были доложены на следующих всероссийских и международных конференциях:

1. XVI научно-практическая конференция молодых ученых, аспирантов и студентов мордовского университета им. Н.П. Огарёва, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарёва, 14-18 мая 2012 г.;

2. Девятая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, СамГТУ, 20-23 мая 2013 г.;

3. VI международная математическая школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е. В. Воскресенского, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарёва, 6-12 июля 2013 г.;

4. VIII Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, ПГУ, 22-25 октября 2013 г.;

5. VIII Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, ПГУ, 2630 мая 2014 г.;

6. XI научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарёва, 14-16 июля 2014 г.;

7. IX Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, ПГУ, 28-31 октября 2014 г.;

8. XII научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарёва, 28-30 августа 2015 г.;

9. Международная научная конференция "Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2016", Архангельск, Северный (Арктический)

федеральный университет имени М.В. Ломоносова, 28 марта - 1 апреля 2016 г.;

10. Международная научная конференция «Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании», Ульяновск, УлГТУ, 28-30 апреля 2016 г.

Личный вклад автора

Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором. Цели, задачи, основные идеи и результаты работы детально обсуждались с научным руководителем В. Ф. Тишкиным. В диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит автору, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Публикации

По результатам диссертационного исследования было опубликовано семнадцать статей.

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Жалнин, Р. В. О применении разрывного метода Галеркина для численного решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках [Электронный ресурс] : научный журнал / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, Е. Н. Панюшкина // Современные проблемы науки и образования. - 2013. - № 6. Режим доступа: www.science-education.ru/113-10929.

2. Жалнин, Р. В. Решение трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2015. - Т. 19. - №3. - С. 523-533.

3. Жалнин, Р. В. Решение задач о нестационарной фильтрации вещества с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках /

Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2016. - Т. 56. - № 6. - С. 989-998.

4. Масягин, В. Ф. Применение разрывного метода Галеркина для моделирования температурного поля в вертикальной скважине с трещиной гидроразрыва / В. Ф. Масягин, Ю. О. Бобренева, И. М. Губайдуллин, Р. В. Жалнин // Системы управления и информационные технологии. - 2016. - Т. 63. - №1. - С. 13-16.

5. Губайдуллин, И. М. Применение разрывного метода Галеркина для решения обратной задачи диффузии лекарственных веществ из хитозановых пленок / И. М. Губайдуллин, Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин,

A. С. Шуршина // Журнал СВМО. - 2016. - Т. 18. - №2. - С. 94-105.

Публикации в прочих изданиях

6. Масягин, В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода Галеркина для численного решения уравнений диффузионного типа /

B. Ф. Масягин // «Математическое моделирование и краевые задачи», девятая всероссийская научная конференция с международным участием, 21 - 23 мая 2013 г. : [материалы]. - Самара: Самарский государственный технический университет. - 2013. - С. 42-49.

7. Масягин, В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода Галеркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках / В. Ф. Масягин, Р. В. Жалнин, В. Ф. Тишкин В.Ф. // Журнал СВМО. - 2013. - Т. 15. - №2. - С. 59-65.

8. Масягин, В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода Галеркина для численного решения уравнений диффузионного типа / В. Ф. Масягин, Р. В. Жалнин // «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», VIII Международная научно-техническая конференция, посвященная 70-летию Пензенского государственного университета, 22 - 25 октября 2013 г. : [материалы]. - Пенза: Изд-во ПГУ. - 2013. - С. 23-30.

9. Масягин, В. Ф. Об одном способе аппроксимации уравнений диффузионного типа с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / В. Ф. Масягин, Р. В. Жалнин, В. Ф. Тишкин // «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем», VIII Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов, 26 - 30 мая 2014 г. : [материалы]. - Пенза: Изд-во ПГУ. - 2014. - С. 49-56.

10. Жалнин, Р. В. Об одном способе решения уравнений диффузионного типа с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированной сетке / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // Журнал СВМО. - 2014. - Т. 16. - №2. - С. 7-13.

11. Жалнин, Р. В. Решение задач газовой динамики с использованием неявной схемы для метода Галеркина с разрывными базисными функциями / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Д. Сальников, Е. Е. Пескова // «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем», IX Международная научно-техническая конференция, 28 - 31 октября 2014 г. : [материалы]. - Пенза: Изд-во ПГУ. - 2014. - С. 100104.

12. Жалнин, Р. В. Об одном способе аппроксимации трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем», IX Международная научно-техническая конференция, 28 - 31 октября 2014 г. : [материалы]. - Пенза: Изд-во ПГУ. - 2014. - С. 104107.

13. Жалнин, Р. В. Исследование порядка точности неявной схемы для метода Галеркина с разрывными базисными функциями для решения задач газовой динамики / Р. В. Жалнин, А. В. Максимкин, В. Ф. Масягин, А. И. Пантюшин, Е. Е. Пескова, В. Д. Сальников, В. Ф. Тишкин // Журнал СВМО. - 2015. - Т. 17. - №1. - С. 48-54.

14. Жалнин, Р. В. О применении метода опорных операторов для решения уравнений диффузионного типа с разрывными коэффициентами на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем», X Международная научно-техническая конференция, 28 - 30 октября 2015 г. : [материалы]. - Пенза: Изд-во ПГУ. - 2015. - С. 57-64.

15. Жалнин, Р. В. Об использовании WENO-ограничителя в неявной схеме для метода Галеркина с разрывными базисными функциями / Р. В. Жалнин,

A. В. Максимкин, В. Ф. Масягин, А. И. Пантюшин, Е. Е. Пескова // Журнал СВМО. - 2015. - Т. 17. - №3. - С. 75-81.

16. Жалнин, Р. В. О применении разрывного метода Галеркина для решения задач однофазной фильтрации в анизотропных средах [Электронный ресурс] : научный журнал / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин,

B. Ф. Тишкин // Огарев-online. - 2015. - №23. - Режим доступа: http: //j ournal. mrsu.ru/arts/o-primenenii-razryvnogo-metoda-galyorkina-dlya-resheniya-zadach-odnofaznoj-filtracii-v-anizotropnyx-sredax.

17. Масягин, В. Ф. Решатель уравнений диффузионного типа на основе разрывного метода Галеркина на неструктурированных разнесенных треугольных сетках DGM_2D / В. Ф. Масягин, Р. В. Жалнин // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016611467. Москва, Роспатент, 2016 г.

Структура и объем диссертации

Диссертация включает в себя введение, 3 главы, общие выводы и список литературы. Общий объем диссертации составляет 114 страниц. Список литературы включает 84 наименования.

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, Тишкину Владимиру Федоровичу, за постановку задачи и помощь в анализе и усвоении материала, послужившего основой для написания настоящей диссертационной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Масягин Виктор Федорович, 2016 год

Литература

1. Деева, Т.А. Гидродинамические исследования скважин: анализ и интерпретация данных / Т. А. Деева, М. Р. Камартдинов, Т. Е. Кулагина, П. В. Мангазеев. - Томск : Издательство ТПУ, 2009. - 243с.

2. Астафьев, В. И. Моделирование фильтрации жидкости при наличии трещины гидравлического разрыва пласта / В. И. Астафьев, Г. Д. Федорченко // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2007. - Т. 15. - № 2. -С. 128-132.

3. Астафьев, В. И. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин / В. И. Астафьев, П. В. Ротерс // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. - 2010. - Т. 78. - № 4. - С. 5-11.

4. Чекалюк, Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта / Э. Б. Чекалюк. - М. : Недра, 1965. - 238 с.

5. Кузнецов, Д. С. Гидродинамический разрыв пласта / Д. С. Кузнецов, Т. Е. Кулагина, Д. А. Малахов, В. П. Меркулов. - Томск, 2008. - 114 с.

6. Желтов, Ю. П. Механика нефтегазоносного пласта / Ю. П. Желтов. - М. : Недра, 1975. - 216 с.

7. Авдонин, Н. А. О некоторых формулах для расчета температурного поля пласта при тепловой инжекции / Н. А. Авдонин // Изв. Вузов. Нефть и газ. -1964. - Т 3 - С. 37-41.

8. Руководство по исследованию и интерпретации. Термодинамические исследования при различных режимах работы скважин. - Уфа, 2002. - 248с.

9. Кулиш, Е. И. Особенности сорбции паров воды хитозановыми лекарственными пленками / Е. И. Кулиш, А. С. Шуршина, С. В. Колесов // Журнал прикладной химии. - 2013. - Т. 86. - № 10. - С. 1583,1590.

10. Кулиш, Е. И. Особенности транспортных свойств лекарственных хитозановых пленок / Е. И. Кулиш, А. С. Шуршина, С. В. Колесов //

Высокомолекулярные соединения. Серия А. - 2014. - Т. 56. - № 3. - С. 282288.

11. Кулиш, Е. И. Транспортные свойства пленок хитозан - амикацин / Е. И. Кулиш, А. С. Шуршина, С. В. Колесов // Химическая физика. - 2014. -Т. 33. - № 8. - С. 76-84.

12. Wolkov, A. V. Application of Discontinuous Galerkin finite element method to the solution of partial differential equations. Part II. System of nonlinear equations: Euler equations / A. V. Wolkov, S. V. Lyapunov // 16th IMACS World Congress. Lausanne-Switzerland. August 21-25. - 2000.

13. Волков, А. В. Применение многосеточного подхода к решению 3-D уравнений Навье-Стокса на гексаэдральных сетках методом Галеркина с разрывными базисными функциями / А. В. Волков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2010. - Т. 50. - № 3. - С. 517-531.

14. Shu, C. W. Discontinuous Galerkin method for time dependent problems: Survey and recent developments, Recent Developments in Discontinuous Galerkin Finite Element Methods for Partial Differential Equations / C. W. Shu // The IMA Volumes in Mathematics and Its Applications. 2014. - Vol. 157. - P. 25-62.

15. Shu, C. W. Discontinuous Galerkin methods: Time dependent problems / C. W. Shu // Encyclopedia of Applied and Computational Mathematics. - 2015. -P. 365-367.

16. Reed, W. H. Triangular mesh methods for the neutron transport equation / W. H. Reed, T. R. Hill // Tech. Report LA-UR-73-479, Los Alamos Scientific Laboratory. - 1973.

17. Le Saint, P. On a finite element method for solving the neutron transport equation / P. Le Saint, P.-A. Raviart. - New York : Academic Press, 1974. - P. 89145.

18. Bassi, F. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations / F. Bassi, S. Rebay // J. Comput. Phys. - 1997. - Vol. 131. - P. 267-279.

19. Luo, H. A p-multigrid discontinuous Galerkin method for the Euler equations on unstructured grids / H. Luo, J. D. Baum, R. Lohner // Journal of Computational Physics. - 2006. - Vol. 211. - № 2. - P. 767-783.

20. Shu, C. W. Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Term / C. W. Shu //Advances in Scientific Computing. - 2001. - 4 p.

21. Shu, C. W. High Order Finite Difference and Finite Volume WENO Schemes and Discontinuous Galerkin Methods for CFD / C. W. Shu // NASA/CR-2001-210865, ICASE Report. - 2001. - № 2001-11.

22. Vlasenko, V. Computationally effective Discontinuous Galerkin scheme for Linearized Euler Equations / V. Vlasenko, A. Wolkov, Ch. Hirsch // West-East High Speed Flow Field Conference, Moscow, November 19-22. - 2007.

23. Hughes, T. Streamline upwind-Petrov-Calerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations / T. Hughes, A. Brook // Comp. Meth. in App. Mech. and Eng. - 1982. -Vol. 32. - P. 199-259.

24. Hughes, T. A high-precision finite element method for shock- tube calculations / T. Hughes, M. Mallet // Finite Element in Fluids. - 1985. - Vol. 6. - P. 339-353.

25. Hughes, T. A new finite element formulation for computational fluid dynamics, I / T. Hughes, L. P. Franca, M. Mallet, A. Misukami // Comp. Meth. in App. Mech. and Eng. - 1986. - Vol. 54. - P. 223-234.

26. Johnson, C. On the convergence of shock capturing streamline diffusion finite element methods for hyperbolic conservation laws / C. Johnson, A. Szepessy, P. Hansbo // Math. Comp. - 1990. - Vol. 54. - P. 107-129.

27. Hughes, T. A new finite element formulation for computational fluid dynamics,

II / T. Hughes, L. P. Franca, M. Mallet, A. Misukami // Comp. Meth. in App. Mech. and Eng. - 1986. - Vol. 54. - P. 341-355.

28. Hughes, T. A new finite element formulation for computational fluid dynamics,

III / T. Hughes, L. P. Franca, M. Mallet, A. Misukami // Comp. Meth. in App. Mech. and Eng. - 1986. - Vol. 58. - P. 305-328.

29. Hughes, T. A new finite element formulation for computational fluid dynamics, IV / T. Hughes, L. P. Franca, M. Mallet, A. Misukami // Comp. Meth. in App. Mech. and Eng. - 1986. - Vol. 58. - P. 329-336.

30. Van der Vegt, J. J. W. Space-time discontinuous Galerkin finite element method with dynamic grid motion for inviscid compressible flows / J. J. W. Van der Vegt, H. Van der Ven // J. Comput. Phys. - 2002. - Vol. 182. - P. 546-585.

31. Houston, P. hp-Discontinuous Galerkin finite element methods for hyperbolic problems: error analysis and adaptivity / P. Houston, B. Senior, E. Suli // Int. J. Numer. Meth. Fluid. - 2002. - Vol. 40. - P. 153-169.

32. Wagner, D. The Riemann problem in two space dimensions for a single conservation law / D. Wagner // SIAM J. Math. Anal. - 1983. - Vol. 14. - P. 534559.

33. Lindquist, W. B. Construction of solutions for two-dimensional Riemann problems / W. B. Lindquist // Comp. Maths. with Appls. - 1986. - Vol. 12. - P. 615630.

34. Lindquist, W. B. The scalar Riemann problem in two spatial dimensions: piecewise smoothness of solutions and its breakdown / W. B. Lindquist // SIAM J. Numer. Anal. - 1986. - Vol. 17. - P. 1178-1197.

35. Zhang, T. Two dimensional Riemann problems for a single conservation law / T. Zhang, Y. X. Zheng // Trans. Amer. Math. Soc. - 1989. - Vol. 312. - P. 589619.

36. Zhang, T. Some fundamental concepts about systems of two spatial dimensional conservation laws / T. Zhang, C. Q. Chen // Acta Math. Sci. - 1986. - Vol. 6. -P. 463- 474.

37. Biswas, R. Parallel, adaptive finite element methods for conservation laws / R. Biswas, K. D. Devine, J. Flaherty // Applied Numerical Mathematics. - 1994. -Vol. 14. - P. 255-283.

38. deCougny, H. L. High-order accurate discontinuous finite element solution of the 2d Euler equations / H. L. deCougny, K. D. Devine, J. E. Flaherty, R. M. Loy,

C. Ozturan, M. S. Shephard // Applied Numerical Mathematics. - 1994. - Vol. 16.

- P. 157-182.

39. Devine, K. D. Parallel partitioning strategies for the adaptive solution of conservation laws / K. D. Devine, J. E. Flaherty, R. M. Loy, S. R. Wheat // Rensselaer Polytechnic Institute Report. - 1994. - № 94-01.

40. Devine, K. D. A massively parallel adaptive finite element method with dynamic load balancing / K. D. Devine, J. E. Flaherty, S. R. Wheat, A. B. Maccabe // SAND. - 1993. - № 93-0936C. - P. 2-11.

41. Ozturan, C. Parallel adaptive mesh refinement and redistribution on distributed memory computers / C. Ozturan, H. L. deCougny, M. S. Shephard, J. E. Flaherty // Comput. Methods in Appl. Mech. and Engrg. - 1994. - Vol. 119. - P. 123-137.

42. Atkins, H. L. Quadrature-free implementation of discontinuous Galerkin methods for hyperbolic equations / H. L. Atkins, C. W. Shu // ICASE. - 1996. -№ 96-51.

43. Багдасаров, Г. А. Трехмерное моделирование магнитоускоренной импульсной плазмы с учетом эффектов, обусловленных обобщенным законом Ома : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 / Багдасаров Геннадий Алексеевич.

- М., 2012. - 123 с.

44. Волков, А. В. Метод численного исследования обтекания пространственных конфигураций путём решения уравнений Навье-Стокса на основе схем высокого порядка точности : дис. ... д-ра. физ.-мат. наук : 05.13.18 / Волков Андрей Викторович. - М., 2010. - 189 с.

45. Леонтьев, В. Л. Вариационно-разностный метод в теории упругих колебаний, основанный на вариационном принципе Рейсснера / В. Л. Леонтьев, В. М. Фридман // Статья депонирована в ВИНИТИ 31 дек. 1974 г. под N 3361-74 Деп.

46. Леонтьев, В. Л. Вариационно-разностный метод в теории упругих колебаний, основанный на вариационном принципе Рейсснера / В. Л. Леонтьев, В. М. Фридман // Известия АН СССР. Механика твердого тела.

- 1976. - №5. - С. 112-119.

47. Noor, A. K. Mixed isoparametric elements for Saint-Venant tor-tion /

A. K. Noor, C. M. Andersen // Comp. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1975. - Vol. 6. - № 2. - P. 195-218.

48. Noor, A. K. An improved numerical process for solution of solid mechanics problems / A. K. Noor, W. B. Stephens, R. E. Fulton // J. Computers and Structures. - 1973. - Vol. 3. - № 6. - P. 1397-1437.

49. Cockburn, B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn // Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations. - 1998. - Vol. 1697. - P. 151268.

50. Cockburn, B. Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn, C. W. Shu // J. Sci. Comp. - 2001. - Vol. 3. -P. 173-261.

51. Li, В. Q. Discontinuous finite elements in fluid dynamics and heat transfer /

B. Q. Li. - Berlin: Springer, 2006. - 578 p.

52. Arnold, D. N. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems / D. N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L. D. Marini // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2002. - Vol. 29. - P. 1749-1779.

53. Ладонкина, М. Е. Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина / М. Е. Ладонкина, О. А. Неклюдова, В. Ф. Тишкин // Матем. моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 12. - С. 124-128.

54. Неледова, А. В. Нерегулярные адаптивные сетки для решения задач математической физики / А. В. Неледова, В. Ф. Тишкин, А. Ю. Филатов // Матем. Моделирование. - 1997. - Т. 9. - № 2. - С. 13-20.

55. Богомолов, К. Л. Ячейки Дирихле в метрике кратчайшего пути / К. Л. Богомолов, В. Ф. Тишкин // Матем. Моделирование. - 2003. - Т. 15. -№ 5. - С. 71-79.

56. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с английского / К. Флетчер. - М.: Мир, 1988. - 352 с.

57. Самарский, А. А. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский // Минск, 1996. - 273 с.

58. Самарский, А. А. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов операций тензорного анализа /

A. А. Самарский, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский, М. Ю. Шашков // Диф. Уравнения. - 1982. - Т. 18. - № 7. - С. 1251-1256.

59. Пергамент, А. Х. Метод опорных операторов для эллиптических и параболических краевых задач с разрывными коэффициентами в анизотропных средах / А. Х. Пергамент, А. В. Семилетов // Мат. Моделирование. - 2007. - Т. 19. - № 5. - С. 105-116.

60. Пергамент, А. Х. Метод опорных операторов для задач фильтрации в анизотропных однофазных средах / А. Х. Пергамент, А. В. Семилетов // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2005. - № 142.

61. Pany, A. K. An hp-Local Discontinuous Galerkin method for Parabolic Integra-Differential Equations / A. K. Pany, S. Yadav // OCCAM. - № 09/30.

62. Ладонкина, М. Е. Использование разрывного метода Галеркина при решении задач газовой динамики / М. Е. Ладонкина, О. А. Неклюдова,

B. Ф. Тишкин // Матем. Моделирование. - 2014. - Т. 26. - № 1. - С. 17-32.

63. Ладонкина, М. Е. О связи разрывного метода Галеркина и методов типа Годунова высокого порядка точности / М. Е. Ладонкина, В. Ф. Тишкин // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2014. - № 049. - 10 с.

64. SALOME 7.7.1 documentation [Электронный ресурс]: официальный сайт. -Режим доступа:

http://www.salome-platform.org/user-section/documentation/current-release.

65. Документация Salome-Mesh [Электронный ресурс]: официальный сайт. -Режим доступа:

http://laduga.ru/salome/Documentation Salome Mesh/SalomeMESH000.shtml.

66. Structural dynamics research lab [Электронный ресурс]: официальный сайт. - Режим доступа:

http://www.sdrl.uc.edu/sdrl/referenceinfo/universalfileformats/file-format-storehouse/.

67. The official user's manual and reference guide for ParaView, with chapters covering the user interface and the scripting API [Электронный ресурс]: официальный сайт. - Режим доступа: http://www.paraview.org/paraview-downloads/download.php?submit=Download&version=v4.3&type=data&os=all& downloadFile=TheParaViewGuide-v4.3-CC-Edition.pdf.

68. Веселова, Е. А. Пакет программ ЛОГОС. Методики расчета течения вязкого сжимаемого газа на блочно-структурированных сетках [Электронный ресурс] : научный журнал / Е. А. Веселова, Р. В. Жалнин, Ю. Н. Дерюгин, Д. К. Зеленский, А. С. Козелков, А. В. Стручков // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 2. - Режим доступа: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=12601.

69. A Two-Dimensional Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator. [Электронный ресурс]: официальный сайт. - Режим доступа: https://www.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html.

70. A Quality Tetrahedral Mesh Generator and a 3D Delaunay Triangulator [Электронный ресурс]: официальный сайт. - Режим доступа: http://wias-berlin.de/software/tetgen/.

71. Harrison, К. Introduction to polymeric drug delivery / K. Harrison // Woodhead Publishing Limited. - 2007. - P. 33-56.

72. Bajpai, A. K. Responsive polymers in controlled drug delivery" / A. K. Bajpai, S. K. Shukla, S. Bhanu, S. Kankane // Progr.Polym.Sei. - 2008. - Vol. 33. - № 1. P. 1088-1118.

73. Ala, J. Processing of polymer-based systems for improved performance and controlled release / J. Ala // PhD Thesis (London). - 208 p.

74. Vilar, G. Polymers and drug delivery systems / G. Vilar, J. Tulla-Puehe, F. Alberieio // Current Drug Delivery. - 2012. - Vol. 9. - № 4. - P. 367-394.

75. Uhrieh, К. E. Polymeric systems for controlled drug release / K. E. Uhrieh, S. M. Cannizzaro, E. S. Langer, K. M. Shakesheff // Chem.Rev. - 1999. - Vol. 10.

- № 4. - P. 3181-3198.

76. Shaik, M. R. Polymers in controlled drug delivery systems / M. R. Shaik, M. Korsapati, D. Panati // Int.J.Pharm.Sei. - 2012. - Vol. 2. - № 4. - P. 112-116.

77. Soppimath, K. S. Biodegradable polymeric nanoparticles as drug delivery devices / K. S. Soppimath, T. M. Aminabhavi, A. E. Kulkarni, W. E. Eudzinski // J. of Controlled Release. - 2001. - Vol 70. - № 1. - P. 1-20.

78. Карамутдинова, Г. Р. Математическое описание процесса диффузии в пленке хитозана / Г. Р. Карамутдинова, И. М. Губайдуллин, К. Ф. Коледина, Е. И. Кулиш, А. К. Ильибаева // Журнал Средневолжского математического общества. - 2015. - Т. 17. - № 4. - С. 87-95.

79. Скрябина, К. Г. Хитин и хитозан: Получение, свойства и применение / К. Г. Скрябина, Г. А. Вихоревой, В. П. Варламова. - М: Наука, 2002. - 368 с.

80. Губайдуллин, И. М. Применение индексного метода глобальной оптимизации при решении обратных задач химической кинетики / И. М. Губайдуллин, В. В. Рябов, М. В. Тихонова // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2011. - Т. 12. - № 1.

- С. 137-145.

81. Емельянов, В. В. Теория и практика эволюционного моделирования / В. В. Емельянов, В. В. Курейчик, В. М. Курейчик. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003.

- 432 с.

82. Рамазанов, А. Ш. Аналитическая модель для расчета температурного поля в нефтяном пласте при нестационарном притоке жидкости / А. Ш. Рамазанов, В. М. Нагимов // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». - 2007.

- № 1. - С. 1-9.

83. Годунов, С. К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов. -М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. - 400 с.

84. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 656 с.