Применение обобщенного принципа Гаусса для управления движением тележки с маятниками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Шатров Егор Александрович

• Шатров Егор Александрович
• кандидат наук
• 2016

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение обобщенного принципа Гаусса для управления движением тележки с маятниками»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы и ее цель. Предлагаемая работа посвящена созданию теории расчета гашения колебаний механических систем путем нахождения оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему за фиксированное время из одного фазового состояния в другое. Особенность работы состоит в том, что для решения этой важнейшей задачи теории управления используется аппарат теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. В результате удается получить выражение управляющей силы в виде полинома от времени, благодаря чему получается более плавное движение системы, чем движение, полученное на основе классических методов теории управления. Помимо этого, удается построить управление, не имеющее скачков в начале и в конце движения, что обычно наблюдалось при использовании методов теории управления. Подобные исследования в области теории управления можно считать вполне актуальными и заслуживающими внимания.

Научная новизна. Тем самым в диссертации устанавливается взаимосвязь двух важнейших и разнородных областей механики — теории неголономных систем и теории управления, что является само по себе достаточно новым. Для создания законченной математической модели гашения колебаний механических систем на основе применения методов неголономной механики со связями высокого порядка требовалось изложение основ этой научной дисциплины. В работе дается методическая разработка основных положений терии движения неголо-номных систем со связями высокого порядка в свете подхода к этому вопросу, изложенному в монографии С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П.Юшкова "Неголономная механика. Теория и приложения"(М.: Наука. 2009. 344 с.). При этом большое внимание уделяется вопросам изложения и применения обобщенного принципа Гаусса, свойственного этой теории.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленной задачи классических методов аналитической механики, в первую очередь, теории движения неголономных систем со связями высокого порядка, теории математического анализа, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. Результаты, относящиеся к решению конкретных задач, согласуются с выводами других авторов.

Теоретическое и практическое значение. Сформулировано окончательное изложение использования теории движения неголономных систем со связями высокого порядка применительно к одной из важнейших задач теории управления о нахождении оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему за фиксированный промежуток

времени из заданного начального фазового состояния системы в заданное конечное фазовое состояние системы. Центральным здесь является применение обобщенного принципа Гаусса, позволяющего найти управление в виде полинома от времени. В результате этого получается более плавное движение системы, чем при решении этой же задачи классическими методами теории управления. Помимо этого, предложенная теория позволяет найти управляющую силу без скачков в начале и в конце движения, которые свойственны решениям, полученным при использовании стандартных методов теории управления.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международных научных конференциях "Шестые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2012г.), "Седьмые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2015 г.), "XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики" (Казань, 2015 г.), "12. Magdeburger Maschinenbau-Tage" (Магдебург, 2015 г.), XIII международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (Конференция Пятницкого)" (Москва, 2016г.), на заседании секции теоретической механики им. Н.Н. Поляхова Санкт-Петербургского Дома ученых РАН (Санкт-Петербург, 2015г.), на заседании кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2016г.).

Объем, структура и краткое содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из краткой характеристики работы, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Число рисунков равно 34. Общий объем работы составляет 116 страниц.

Во Введении кратко излагаются основные этапы развития классической неголономной механики и распространение этой теории на случай движения неголономных систем со связями высокого порядка. Поясняется возможность применения этой теории для решения одной из важнейших задач теории управления — о нахождении управляющей силы, переводящей механическую систему за фиксированное время из одного заданного начального фазового состояния в другое заданное конечное фазовое состояние.

В главе I диссертации излагаются некоторые вопросы движения классической неголо-номной механики. Глава является переработкой теории неголономных систем, изложенной в учебнике для университетов Н.Н. Поляхова, С.А. Зегжды, М.П.Юшкова "Теоретическая механика" [58] и дальнейшего развития этой теории в монографии С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П.Юшкова "Неголономная механика. Теория и приложения" [28].

Глава II диссертации является изложением теории движения неголономных систем со связями высокого порядка, созданной С.А. Зегждой, Ш.Х. Солтахановым, М.П. Юшковым. Для ее написания использованы монография [28] и научные статьи авторов теории и их учеников. Большое значение уделяется изложению обобщенного принципа Гаусса, предложенного Н.Н. Поляховым, С.А. Зегждой, М.П.Юшковым еще в 1983 г. [56]. Этот обобщенный принцип механики оказывается основой для применения теории движения неголономных систем со связями высокого порядка для решения задач гашения колебаний механических

2

систем, изложенных в следующих двух главах диссертации.

В главе III приводится изложение применения обобщенного принципа Гаусса для гашения колебаний механической системы при ее переводе за фиксированное время из одного фазового состояния системы в другое. Осуществлено изложение этой теории, развитой в многочисленных научных статьях С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П. Юшкова и их учеников, посвященных созданию этой теории, и в § 9 главы VI монографии [28] этих же авторов.

В главе IV диссертации приводятся основные результаты, полученные диссертантом для развития применения теории движения неголономных систем при наличии связей высокого порядка для решения поставленной задачи теории управления. Здесь предлагаются, прежде всего, метод отыскания управляющей силы без особых точек путем комбинации решений расширенных краевых задач и метод нахождения управляющей силы за счет предварительного нахождения оптимального ускорения основного тела рассматриваемой механической системы.

В Заключении формулируются основные научные результаты, выносимые на защиту. Приводится список научных работ автора, отражающих основное содержание диссертации. Список содержит 8 наименований, среди них имеются 2 статьи, опубликованные в рекомендованном ВАК'ом журнале, и одной статьи, находящейся в настоящее время в публикации этим же журналом.

Список основной литературы содержит 146 пунктов, отражающих 213 наименований научных статей и монографий.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Шатров Егор Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной работе дается законченное изложение решения одной из центральных задач теории управления об отыскании оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему за фиксированный промежуток времени из одного фазового состояния в другое. Управляющую силу предлагается отыскивать с помощью применения обобщенного принципа Гаусса. Результат демонстрируется решением модельной задачи о гашении колебаний горизонтально движущейся тележки, несущей в осей математических маятников.

Обобщенный принцип Гаусса является одним из основных вариационных принципов теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. Эта терия была построена С.А. Зегждой, Ш.Х. Солтахановым и М.П. Юшковым. Для ее объяснения первоначально в главе I дается изложение основных вопросов теории классических неголономных систем, когда на движение механической системы наложены связи до неголономной идеальной линейной связи второго порядка. В этом случае удается найти реакции связей как функции времени, обобщенных координат и скоростей. В основу изложения главы I положен материал учебника [58] и монографии [28]. В главе II теория движения классических неголоном-ных систем естественным образом расширяется для построения двух теорий движения него-лономных систем со связями высокого порядка. Дается изложение этой теории, созданной С.А. Зегждой, Ш.Х. Солтахановым и М.П. Юшковым. Для изложения теории и примеров ее применения использованы научные работы авторов теории и материал монографии [28].

Глава III посвящена законченному изложению применения теории движения неголоном-ных систем со связями высокого порядка для решения сформулированной выше одной из основных задач теории управления. Для этого использована обработка материаов научных статей С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П. Юшкова и их учеников. Показано, что в случае применения для решения задачи принципа максисмума Понтрягина для минимизации функционала от квадрата управляющей силы в процессе движения непрерывно выполняется неголономная связь высокого порядка 2в + 2. Поэтому естественно было предложить вместо принципа максимума Понтрягина для решения той же задачи управления использовать обобщенный принцип Гаусса, свойственный изложенной в главе II теории. В результате управляющую силу удается обоснованно отыскивать в виде полинома, что приводит к более плавному движению системы по сравнению с движением, полученным с помощью принципа максимума Понтрягина. Кроме того, с помощью формулирования и решения расширенной краевой задачи удается с помощью применения обобщенного принципа Гаусса более высокого порядка строить управляющую силу без скачков в начале и в конце движения. Подобные скачки свойственны решению, полученному с помощью принципа максимума Понтрягина.

В главе IV диссертантом разработаны некоторые дальнейшие пути развития приложения обобщенного принципа Гаусса для решения поставленной задачи теории управления. Предложено построение решения, не содержащего особых точек, появляющихся при рассмотрении расширенных краевых задач. Был развит метод отыскания управляющей силы через пред-

варительное нахождение оптимального ускорения основного тела системы. Этим способом была решена задача о гашении колебаний тележки с двойным маятником.

Результаты, выносимые на защиту

1. Критический обзор теории движения неголономных систем со связями высокого порядка применительно к одной из важнейших задач теории управления.

2. Построение решения задачи без особых точек.

3. Новый подход к решению задачи, состоящий в предварительном отыскании оптимального ускорения основного тела механической системы, по которому вычисляется управляющая сила.

4. Гашение колебаний тележки с двойным маятником.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шатров Егор Александрович, 2016 год

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В ОПУБЛИКОВАННЫХ НАУЧНЫХ РАБОТАХ АВТОРА

В журнале, рекомендованном ВАК'ом:

[1] Шатров Е.А. Использование главных координат в задаче о гашении колебаний тележки с двумя маятниками // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Вып. 4. С. 619-623.

[2] Зегжда С.А., ШШатров Е.А., Юшков М.П. Новый подход к нахождению управления, переводящего систему из одного фазового состояния в другое // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Вып. 2. С. 286-295.

[3] Зегжда С.А., ШШатров Е.А., Юшков М.П. Гашение колебаний тележки с двойным маятником с помощью управления ее ускорением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Вып. 4. (В печати)

В научных работах:

[4] ШШатров Е.А. Применение псевдоглавных координат при исследовании гашения колебаний механических систем // Междунар. научн. конференция по механике "Шестые Поляховские чтения" . 31 января - 3 февраля 2012 г. С.-Петерб., Россия. Тезисы докладов. СПб: ООО "Пантон" . 2012. С. 76.

[5] Шатров Е.А. Новый подход к решению задачи о гашении колебаний тележки с маятниками // Междунар. научн. конференция по механике "Седьмые Поляховские чтения" . 2 февраля -6февраля 2015 г. С.-Петерб., Россия. Тезисы докладов. СПб: ООО "Пантон" . 2015. С. 47.

[6] Зегжда С.А., ШШатров Е.А. Эффективность гашения колебаний тележки с маятниками на основе определения ее ускорения // "XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики" . 20августа - 24августа 2015 г. Казань, Россия. Аннотации докладов. Казань: ООИ "Арманд" . 2015. С. 112.

[7] Zegzhda S.A., Shatrov E.A. A new approach to the problem of suppression of oscillations of a trolley with a double pendulum // 12. Magdeburger Maschinenbau-Tage. Magdeburg, 30. September und 01. Oktober 2015. CD. Paper P-03.

[8] Зегжда С.А., Юшков М.П., Наумова Н.В., Солтаханов Ш.Х., Шатров Е.А. Использование принципа максимума Понтрягина и обобщенного принципа Гаусса в задачах гашения колебаний // XIII международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (Конференция Пятницкого)". 1 июня - 3июня 2016г. Москва, Россия. Тезисы докладов. Москва: Ин-т проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. 2016.

В совместных работах С.А. Зегжде, Ш.Х. Солтаханову, М.П. Юшкову принадлежат постановки задач и научное консультирование Е.А. Шатрова при его выполнении научных исследований; в работе [8] Н.В. Наумова проводила численные расчеты, связанные с использованием принципа максимума Понтрягина, а научное исследование и численные расчеты, связанные с применением обобщенного принципа Гаусса, проводил Е.А. Шатров.

Список литературы

[1] Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз. Т. I. 1960. 516 с.; Т. II. 1960. 488 с.

[2] Аpнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974. 432 с.

[3] Аpнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы. М.: ВИНИТИ. 1985. Т. 3. 304 с.

[4] Беген А. Теория гироскопических компасов Аншютца и Сперри и общая теория систем с сервосвязями. М. 1967. 171с.

[5] Беллман Р. Динамическое програмирование. М.: Изд-во иностр. лит. 1960. 400 с.

[6] Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М.: Издат. центр "Академия". 2010. 430с.

[7] Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. М.: Наука. 1991. 256 с.

[8] Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных механических систем // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. 1941. Вып. 5. М.: ОГИЗ. С. 301-327; Он же. Внутренняя геометрия нелинейных неголономных многообразий // Мат. сб. 1943. Т. 13. №55.

[9] Величенко В.В. Матричные уравнения движения голономных систем // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280. №6. С. 1330-1333; Он же. Матричные уравнения движения неголономных систем // Там же. 1991. Т. 321. №3. С. 499-504.

[10] Воробьёв А.П. О применении принципа Гаусса в динамике систем со случайными силами // Вестн. Ленингр. ун-та. 1972. №19. С. 83-87.

[11] Воронец П.В. Об уравнениях движения для неголономных систем // Мат. сб. 1901. Т. 22. Вып. 4. С. 659-686.

[12] Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. М.: Высшая школа. 1989. 264с.

[13] Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М: Наука. 1966. 300 с.

[14] Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир. 1973. 188 с.

[15] Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. М.: Высшая школа. 1970. 272 с.

[16] До Шань. Уравнения движения механических систем с нелинейными неголономными связями второго порядка // Прикл. мат. и мех. 1973. Т. 37. Вып. 2. С. 349-354.

103

[17] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука. 1979. 760 с.

[18] Жуpавлев В.Ф., Фуфаев Н.А. Механика систем с неудерживающими связями. М.: Наука. 1993. 240 с.

[19] Зегжда С.А. Применение обобщенного оператора Лагранжа при неголономных связях высокого порядка // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 2 (№8). С. 76-77.

[20] Зегжда С.А., Гаврилов Д.Н.. Гашение колебаний упругого тела при его перемещении // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып.3. С. 73-83.

[21] Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х. Применение обобщенного принципа Гаусса к решению задачи о гашении колебаний механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. №2. С. 20-25.

[22] Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Плавный переход спутника с круговой орбиты на круговую как пример движения с неголономной связью третьего порядка // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 2. (№9). С. 95-98.

[23] Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука. Физматлит. 2009. 344 с.

[24] Зегжда С.А., Филиппов Н.Г., Юшков М.П. Уравнения динамики неголономных систем со связями высших порядков. I // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 3 (№ 15). С. 75-81; Они же. II // Там же. Вып. 4 (№22). С. 89-94; Они же. III // Там же. 2000. Вып. 2 (№8). С. 61-72.

[25] Зегжда С.А., Товстик П.Е., Юшков М.П. Обобщенный принцип Гамильтона-Остро-градского и его применение для гашения колебаний // Доклады РАН. 2012. Т. 447. №3. С. 280-283.

[26] Зегжда С.А., Юшков М.П. Геометрическая интерпретация уравнений Пуанкаре-Четаева-Румянцева // Прикл. мат. и мех. 2001. Т. 65. Вып. 4. С. 752-760; Они же. Смешанная задача динамики // Докл. РАН. 2000. Т. 374. №5 С. 628-630.

[27] Зегжда С.А., Юшков М.П. Линейные преобразования сил. Голономные системы // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2000. Вып. 3 (№ 17). С. 82-92; Они же. Линейные преобразования сил. Неголономные системы // Там же. Вып. 4 (№25). С. 70-74; Они же. Линейные преобразования сил. Примеры применения // Там же. 2001. Вып. 1 (№1). С. 77-85.

[28] Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука. Физматлит. 2009. 344 с. (Soltakhanov, Sh.Kh. Yushkov M.P. Zegzhda

S.A. Mechanics of non-holonomic systems. A New Class of control systems. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. 2009. S. 329.)

[29] Зекович Д. Примеры нелинейных неголономных связей в классической механике // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1991. №1. С. 100-103.

[30] Калёнова В.И., Морозов В.М. Линейные нестационарные системы и их приложения к задачам механики. М.: Наука. Физматлит. 2010. 207 с.

[31] Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС. 1998. 168 с.

[32] Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси // Тр. ЦАГИ. 1945. №564. С. 33-42.

[33] Киргетов В.И. О перестановочных соотношениях в механике // Прикл. мат. и мех. 1958. Т. XXII. Вып. 4. С. 490-498; Он же. О возможных перемещениях материальных систем с линейными дифференциальными связями второго порядка // Прикл. мат. и мех. 1959. Т. XXIII. Вып. 4. С. 666-671; Он же. О движении управляемых механических систем с условными связями (сервосвязями) // // Прикл. мат. и мех. 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 433446.

[34] Козлов В.В. Об устойчивости равновесий неголономных систем // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. №2. С. 289-291.

[35] Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск: Изд-во РХД. 2000. 256 с.

[36] Костин Г.В., Саурин В.В. Интегродифференциальный подход к решению задач линейной теории упругости // Доклады академии наук. 2005. Т. 404. № 5, С. 535-538; Они же. Моделирование и оптимизация движений упругих систем методом интегродифференци-альных соотношений // Доклады академии наук. 2006. Т. 408. №6. С. 750-753.

[37] Кулешов А.С. К динамике волчка на шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 130-140; Он же. О стационарных движениях диска на абсолютно шероховатой плоскости // Прикл. мат. и мех. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 797-800; Он же. О стационарных качениях диска по шероховатой плоскости // Прикл. мат. и мех. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 173-175; Кремнёв А.В., Кулешов А.С. Нелинейная динамика и устойчивость движения простейшей модели скейтборда. М.: Изд-во Центра прикл. исслед-й при Мех.-мат. ф-те МГУ. 2007. 104 с.; Они же. Математическая модель скейтборда с тремя степенями свободы. М.: М.: Изд-во Центра прикл. исслед-й при Мех.-мат. ф-те МГУ. 2008. 72с.; Кулешов А.С. Математическая модель снейкборда // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, №5. С. 37-48.

[38] Леонтьева Е.Ю., Юшков М.П. Применение аппарата аналитической механики к некоторым задачам динамики полета // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1996. Вып. 4 (№ 22). С.110-112.

[39] Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз. 1961. 824с.

[40] Ляпунов А.М. Лекции по теоретической механике. Киев: Наукова думка. 1982. 632 с.

[41] Маpкеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука. 1992. 336 с.

[42] Маpхашов Л.М. Об уравнениях Пуанкаре и Пуанкаре-Четаева // Прикл. мат. и мех. 1985. Т. 49. Вып. 1. С. 43-55.

[43] Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука. 1978. 352 с.

[44] Мощук Н.К., Синицын И.Н. О стохастических неголономных системах // Прикл. мат. и мех. 1990. Т. 54. Вып. 2. С. 213-223.

[45] Мэй Фунсян. Об одном методе интегрирования уравнений движения неголономных систем со связями высшего порядка // Прикл. мат. и мех. 1991. Т. 55. №4. С. 691-695.

[46] Нездеров А.А., Юшков М.П. Взаимосвязь и единство дифференциальных вариационных принципов механики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2010. Сер.1. Вып.1. С.112-126.

[47] Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука. 1967. 520 с.

[48] Новоселов В.С. Сведение задачи неголономной механики к условной задаче механики голономных систем // Ученые записки ЛГУ. Серия мат. наук. 1957. Вып. 31. № 217. С. 2849; Он же. Применение нелинейных неголономных координат в аналитической механике // Там же. С. 50-83; Он же. Расширенные уравнения движения нелинейных неголоном-ных систем // Там же. С. 84-89; Он же. Экстремальность принципа Гамильтона-Ос-троградского в неголономной механике // Вестн. Ленингр. ун-та. 1961. Вып. 3. №13. С. 121-130; Он же. Вариационные методы в механике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1966. 72 с.

[49] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Собр. соч. акад. А.Н. Крылова. Т.УН. М.-Л. 1936. 696с.

[50] Остpогpадский М.В. Избранные труды. Л.: Изд-во АН СССР (Ленингр. отд-ие). 1958. 583 с.

[51] Паpс Л.А. Аналитическая динамика (Перевод с англ.). М.: Наука. 1971. 636с.

[52] Вариационные принципы механики (Сборник статей под редакцией Л.С. Полака). М.: Физматгиз. 1959. 932 с.

[53] Поляхов Н.Н. Канонические уравнения для неголономных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1970. Вып. 1. №1. С. 120-122; Он же. Уравнения движения механических систем при нелинейных, неголономных связях в общем случае // Там же. 1972. Вып. 1. №1. С. 124-132; Он же. О дифференциальных принципах механики, получаемых изуравне-ний движения неголономных систем // Там же. 1974. Вып. 3. № 13. С. 106-116.

[54] Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Уравнения динамики как необходимые условия минимальности принуждения по Гауссу // Колебания и устойчивость механических систем. Прикл. механика. Вып. 5. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1981. С. 9-16; Они же. Определение реакций неголономных систем как прямая задача механики // Вестн. Ленингр. ун-та. 1982. №1. С. 65-70.

[55] Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Принцип Суслова-Журдена как следствие уравнений динамики // Сб. научно-методич. статей по теорет. механике. Вып. 12. М.: Высшая школа. 1982. С. 72-79.

[56] Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Обобщение принципа Гаусса на случай неголономных систем высших порядков // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. №6. С. 1328-1330; Они же. Линейное преобразование сил и обобщенный принцип Гаусса // Вестн. Ленингр. ун-та. 1984. №1. С. 73-79.

[57] Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Управление движением при помощи связей, зависящих от параметров // Вестн. Ленингр. ун-та. 1985. №8. С. 56-61; Они же. Использование дифференциальных принципов механики в задачах управления с неполной программой движения // Там же. 1990. Сер. 1. Вып. 2 (№8). С. 64-66.

[58] Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1985. 536 с.; М.: Высшая школа. 2000. 592 с.; М.: Юрайт. 2012. 592 с.

[59] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1983. 392 с.

[60] Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Уч. записки пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. наук. 1938. №2. С. 83-94.

[61] Румянцев В.В. Об устойчивости движения неголономных систем // Прикл. мат. и мех. 1967. Т. 31. Вып. 2. С. 260-271; Он же. Об устойчивости стационарных движений // Там же. Т. 30. Вып. 5. 1966. С. 922-933.

[62] Румянцев В.В. О совместимости двух основных принципов динамики и о принципе Че-таева // Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления. М.: Наука. 1975. С. 258-267; Он же. К вопросу о совместимости дифференциальных принципов механики // Аэромеханика и газовая динамика. М.: Наука. 1976. С. 172-178.

[63] Румянцев В.В. О принципе Гамильтона для неголономных систем // Прикл. мат. и мех. 1978. Т. 42. Вып. 3. С. 407-419; Он же. О принципах Лагранжа и Якоби для неголономных систем // Там же. 1979. Т. 43. Вып. 4. С. 625-632; Он же. Об интегральных принципах для неголономных систем // Там же. 1982. Т. 46. Вып. 1. С. 3-12.

[64] Румянцев В.В. Об уравнениях Пуанкаре-Четаева // Прикл. мат. и мех. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 3-16; Он же. Общие уравнения аналитической динамики // Там же. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 917-928; Он же. К уравнениям Пуанкаре и Четаева // Там же. 1998. Т. 62. Вып. 4. С. 531-538.

[65] Румянцев В.В., Каpапетян А.В. Устойчивость движений неголономных систем // Итоги науки и техники. Общая механика. Т. 3. М.: ВИНИТИ. 1976. С. 5-42.

[66] Самсонов В.А. Качественный анализ задачи о движении волчка по плоскости с трением // Мех. тверд. тела. 1981. №5. С. 29-35.

[67] Синдж Дж.Л. Тензорные методы в динамике. М.: ИЛ. 1947. 44 с.

[68] Смщнов В.И. Курс высшей математики. Т. I. М.: Наука. 1974. 480 с.

[69] Солтаханов Ш.Х. Об обобщенном представлении управляющих сил, обеспечивающих заданную программу движения // Вестн. Ленингр. ун-та. 1990. Сер. 1. Вып. 2 (№8). С. 70-75; Он же. Об одном видоизменении принципа Поляхова-Зегжды-Юшкова // Там же. Сер. 1. 1990. Вып. 4 (№22). С. 58-61; Он же. Сравнительный анализ уравнений движения неголономных систем, вытекающих из принципа Поляхова-Зегжды-Юшкова и Нордхайма-Долапчиева (принципа Манжерона-Делеану) // Сб.: Проблемы механикии управления. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1997. С. 136-148.

[70] Солтаханов Ш.Х. Определение управляющих сил при наличии связей высокого порядка. М.: Наука. Физматлит. 2014. 240 с.

[71] Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Применение обобщенного принципа Гаусса для составления уравнений движения систем с неголономными связями третьего порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. 1990. Сер. 1. Вып. 3 (№15). С. 77-83; Они же. Уравнения движения одной неголономной системы при наличии связи второго порядка // Там же. 1991. Вып. 4 (№ 22). С. 26-29; Они же. Определение минимальной производной от добавочной силы, обеспечивающей заданную программу движения // Там же. 1993. Вып. 1. (№1). С. 97-101; Солтаханов Ш.Х, Юшков М.П. Определение векторной структуры реакций

связей высокого порядка // Теоретическая механика. 1996. Вып. 22. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. С. 30-34.

[72] Суслов Г.К. Основы аналитической механики. Том I. Киев: Тип. Имп. ун-та Св. Владимира. 1900. 287 с.

[73] Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.-Л.: Гостехиздат. 1946. 656 с.

[74] Тхай В.Н. Периодические движения однородного эллипсоида на шероховатой плоскости // Мех. тверд. тела. 1991. №6. С. 24-30; Он же. О неустойчивости перманентных вращений тяжелого однородного эллипсоида вращения на абсолютно шероховатой плоскости // Мех. тверд. тела. 1992. № 2. С. 25-30; Он же. Некоторые задачи об устойчивости обратимой системы с малым параметром // Прикл. мат. и мех. 1994. Т. 58. №1. С. 3-12; Он же. Об устойчивости качений тяжелого эллипсоида вращения по шероховатой плоскости // Мех. тверд. тела. 1996. №1. С. 11-16; Он же. Устойчивость и управление в системе с первым интегралом // Автомат. и телемех. 2005. № 3. С. 34-38; Он же. Колебания, устойчивость и стабилизация в модели, содержащей связанные подсистемы с циклами // Автомат. и телемех. 2015. №7. С. 40-51.

[75] Фам Гуен. Об уравнениях движения неголономных механических систем в переменных Пуанкаре-Четаева // Прикл. мат. и мех. 1967. Т. 31. ып. 2. С. 253-259; Он же. К уравнениям движения неголономных механических систем в переменных Пуанкаре-Четаева // Там же. 1968. Т. 32. С. 804-814; Он же. Об одной форме уравнений движения механических систем // Там же. 1969. Т. 33. С. 397-40.

[76] Ценов И. Об одной новой форме уравнений аналитической динамики // Докл. АН СССР. 1953. Т. 89. №1. С. 21-24.

[77] Чаплыгин С.А. О движении тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости // Тр. Отделения физических наук общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. IX. Вып. 1. С. 10-16. (Собр. соч. М.-Л.: Гостехиздат. 1948. Т. 1. С. 5775).

[78] Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. М.-Л.: Гостехтеорет-издат. 1949. 112 с.

[79] Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука. 1980. 384 с.

[80] Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука. 1973. 238 с.

[81] Четаев Н.Г. О принципе Гаусса // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те. Т. 6. Сер. 3. 1932-1933. С. 68-71.

[82] Четаев Н.Г. Об уравнениях Пуанкаре // Прикл. мат. и мех. 1941. Т. У. Вып. 2. С. 253-262.

[83] Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука. 1987. 368 с.

[84] Чуев М.А. К вопросу аналитического метода синтеза механизма // Изв. вузов. Машиностроение. Изд-во. МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1974. №8. С. 165-167.

[85] Чуев М.А. К аналитической теории управления движениями космического летательного аппарата // Тр. Девятых чтений Э. Циолковского. М. 1975. С. 67-80; Он же. Программные движения механической системы // Мех. тверд. тела. 2002. №3. С. 34-41.

[86] Чуев М.А. Дифференциальные уравнения программных движений механической системы // Мех. тверд. тела. 2008. №1. С. 179-192.

[87] Юшков М.П. Построение приближенных решений уравнений нелинейных колебаний на основе принципа Гаусса // Вестн. Ленингр. ун-та. 1984. № 13. С. 121-123.

[88] Юшков М.П. О минимальных свойствах реакции при использовании обобщенных вариационных принципов Даламбера и Гаусса // Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применение. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1993. С. 133-141; Он же. Выбор базиса для получения уравнений движения идеальных неголономных систем и связь уравнений с принципами механики // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1995. С. 170-181.

[89] Юшков М.П. Значение связей типа Четаева для развития неголономной механики и их современная трактовка // Вестн. С.-Петербург. ун-та. 1997. Сер. 1. Вып. 2 (№8). С. 92-99.

[90] Юшков М.П. Уравнения движения машинного агрегата с вариатором как неголономной системы с нелинейной связью второго порядка // Мех. тверд. тела. 1997. № 4. С. 40-44.

[91] Юшков М.П., Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Пашкина А.А. О связи теории управления с неголономной механикой // Вестн. С-Петерб. ун-та. 2014. Сер. 1. Вып. 4. С. 15-23.

[92] Aiserm,an M.A., Gantmacher F.R. Stabilität der Gleichgewichtslage in einem nicht-holonomen System // ZAMM. 1957. Bd37. №1-2. S. 74-75.

[93] Appell P. Traite de Mecanique Rationelle. Paris: Gauthier-Villars. 1896.

[94] Appell P. Sur les mouvements de roulement; equations du mouvement analogues a celles de Lagrange // Comptes Rendus. 1899. T. CXXIX. P. 317-320; Он же. Sur une forme generale des equations de la Dynamique // Comptes Rendus. 1899. T. CXXIX. P. 423-427.

[95] Appell P. Developpement sur une forme nouvelle des equations de la Dynamique // J. Math. Pures Appl. 1900. T. VI. Fasc. I. P. 5-40.

[96] Blajer W. A projetion method approach to constrained dynamic analysis // ASME. J. Appl. Mech. 1992. Vol.59. №3. P. 643-649.

[97] Boltzmann L. Uber die Form der Lagrange'schen Gleichungen für nichtholonome, generalisierte Koordinaten // Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftliche Akademie der Wissenschaften. Wien. 1902. Bd CXI. Abteilung IIa. H. 1-2. S. 1603-1614.

[98] Borri M, Bottasso C, Mantegazza P. Equivalence of Kane's and Maggi's equations // Meccanica. 1990. V. 25. №4. P. 272-274; Они же. Acceleration projection method in multibody dynamics // Eürop. J. Mech. A/Solids. 1992. Vol. 11. №3. P. 403-417.

[99] Bottema O. Note on a non-holonomic systeme // Quart. J. of Appl. Math. 1955. Vol. 13. № 2. P. 191-192. (Боттема О. Об одной неголономной системе // Механика. Сб. перев. и обз. ин. период. лит. 1956. №5).

[100] Brauchli H. Mass-orthogonal formulation of equations of motion for multibody systems // ZAMP. 1991. Bd42. №3. P. 169-182.

[101] Chow W.L. Systeme von linearen partiellen differentialen Gleichungen erster Ordnung // Math. Ann. 1939. Bd117. S. 98-105.

[102] Delassus E. Sur les liaisons et les mouvement des systemes materiels // Ann. scientif de l'Ecole normal. superieure. Paris. 1912. V. 29. №3; Он же. Les diverses formes du principe de d'Alembert et les equations generals du mouvement des systems soumis a des liaisons d'ordre quelconques // Comptes Rendus. 1913. T. CLVI. P. 205-209.

[103] Essen H. Projecting Newton's equations onto non-ordinate tangent vectors of the configuration space; a new look at Lagrange's equations in ferms of quasicoordinates // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22-28, 1992. Haifa, 1992. P. 52; Он же. On the geometry of nonholonomic dynamics // ASME. J. Appl. Mech. 1994. №61. P. 689-694.

[104] Gauss K. Uber ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik // Crelle's Journal für die reine Mathematik. 1829. Vol. IV. S. 233.

[105] Ge Z.M. The equations of motion of nonlinear nonholonomic variable mass system with applications // ASME. J. Appl. Mech. 1984. Vol.51. P. 435-437.

[106] Hamel G. Die Lagrange-Eulerischen Gleichungen der Mechanik // Zeitschrift für Mathematik und Physik. 1904. Bd50. H. 1/2. S. 1-57.

[107] Hamel G. Ueber die virtuellen Verschiebungen in der Mechanik // Math. Annalen. 1904. Vol. 59. S. 416-434; Он же. Nichtholonome Systeme höherer Art // Sitzungsbererichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. 1938. Bd37. S. 41-52.

[108] Hamel G. Theoretische Mechanik. Eine einheitliche Einführung in die gesamte Mechanik. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag. 1949. S. 796.

[109] He Ye-Qi. Higher order partial velocitities in higher order non-linear non-holonomic systems // Int. J. non-linear Mech. 1991. Vol.26. №5. P. 455-459.

[110] Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. 1894. (Ges. Werke. BdlII. Leipzig. 1910). (Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР. 1959. 386с.).

[111] Ivanov G.E., Juschkov M.P., Soltachanov S.H. Zum Problem der Aufgabe von Appell-Hamel // Techn. Mech. 2001. Bd21. H. 1. S. 41-45.

[112] Jankowski K. Dynamics of mechanical systems with nonholonomic constraints of higher order // Modelling, Simulation and Control. B. 1988. V. 25. P. 47-63; Он же. Dynamics of controlled mechanical systems with material and program constraints: I. Theory. II. Methods of solution. III. Illustrative examples // Mechanics and machine theory. 1989. Vol. 24. P. 175179, 181-185, 187-193.

[113] Johnsen L. Die virtuellen Verschiebungen der nicht-holonomen Systeme und das d'Alembertsche Prinzip // Avhandiinger Utgitt av det Norske Videnkaps-Akademi Oslo. 1936. № 10. S. 1-10; Он же. Sur la reduction au nombre minimum des equations du mouvement d'un systeme non-holonome. Sur la deviation non-holonome // Avhandiinger Utgitt av det Norske Videnkaps-Akademi Oslo. 1937. No 11. P. 1-14; 1938. №3; Он же. Dynamique generale des Systemes non-holonomes // Skrifter Utgitt av det Norske Videnkaps-Akademi Oslo. I. Mathematik-Naturvidenskab Klasse. 1941. №4. S. 1-75.

[114] Jourdain P. On the general equations of mechanics // Quart. J. Pure Appl. Math. London. 1904. Vol. 36. № 141. P. 153-157; Он же. On those principles of mechanics which depend upon processes of variation // Math. Annalen. Leipzig. 1908. Bd 65; Он же. Note of analogy of Gauss' principle of least constraint // Quart. J. Pure Appl. Math. London. 1909. Vol. 40. P. 153-157.

[115] Juschkov M.P., Soltachanov S.H., Kasper R. Anwendung den Prinzip von Suslov-Jourdain bei der Untersuchung der Bewegung eines Systems mit hudraulischen Getrieben // 6. Magdeburger Maschinenbau-Tage. Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg. Tagundsband. 2003. S. 229-235; Juschkov M.P., Soltachanov S.H., Zegzhda S.A. Anwendung des generalis-ierten Gaußschen Prinzips auf die Untersuchung der Bewegung eines Satelliten mit konstanter Beschleunigung // Technische Mechanik. 2004. Bd. 24. Heft 3-4. S. 236-241.

[116] Kamke E. Differentialgleichungen. Lösungs methoden und Losungen. I. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Leipzig. 1959. (Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб-М.-Краснодар: Лань. 2003. 576 с.)

112

[117] Kane T.R. Dynamics of nonholonomic systems // ASME. J. Appl. Mech. Vol. 28. December. 1961. P. 574-578.

[118] Kitzka F. An example for the application of a nonholonomic constraint of 2nd order in particle mechanics // ZAMM. 1986. Vol.66. №7. S. 312-314.

[119] Kuleshov A.S. Further development of the mathematical model of a snakeboard // Regular and Chaotic Dynamics. 2007. Vol. 12. №3. P. 321-334; Kremnev A.V., Kuleshov A.S. Nonlinear dynamics and stability of the skateboard // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series S. 2010. Vol.3. №1. P. 85-103; Они же. Various schemes of the skateboard control // Procedia Engineering. 2010. Vol.2. №2. P. 3343-3348.

[120] Lagrange J.L. Mecanique Analitique. Paris. 1788. (Ла^анж Ж.Л. Аналитическая механика. М.-Л.: ГИТТЛ. 1950. Т. 1. 594с.; Т. 2. 440с.)

[121] Lesser M. A geometrical interpretation of Kane's equations // Proceedings of the Royal Society. London. 1992. Vol. A436. № 1896. P. 69-87.

[122] Levi-Civita T., Amaldi U. Lez oni di Meccanica Razionale. Bologna. 1922. ( Т. Леви-Чивита, У. Амальди. Курс теоретической механики. М.-Л.: ИЛ. Т. 1. Ч. 1. 1952. 357 с.; Т. 2. Ч. 1. 1951. 435с.; Ч. 2. 1951. 555с.)

[123] Lindelof E. Sur le mouvement d'un corps de revolution roulant sur un plan horisontal // Acta Societatis Scientiarum Fennicae. 1895. Vol. XX. №10. P. 1-18.

[124] Liu Z.F., Jin F.S., Mei F.X. Nielsen's and Euler's operators of higher order in analytical mechanics // Appl. Math. and Mech. 1986. Vol. 7. P. 53-63.

[125] Maggi G.A. Principii della Teoria Matematica del Movimento dei Corpi. Corso di Meccanica Razionale. Milano: U. Hoepli. 1896; Он же. Di alcune nouve forme delle equazioni della Dinamica, applicabili ai sistemi anolonomi // Atti della Reale Accademia Naz. dei Lincei. Rendiconti. Classe di scienze fisiche, mathematische e naturali. Ser. 5. 1901. Vol.10. №12. P. 287-292.

[126] Mei Fengxiang. One type of integrals for the equations of motion of higher-order nonholonomic systems // Appl. Math. and Mech. (Engl. Ed.). 1991. Vol. 12. №8. P. 799-806; Он же. A field method for integrating the equations of motion of nonholonomic controllable systems // Appl. Math. and Mech. (Engl. Ed.). 1992. Vol.13. №2. P. 181-187; Он же. Nonholonomic mechanics // ASME. Appl. Mech. Rev. 2000. Vol.53. №11. P. 283-305.

[127] Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bidl. Am. math. Soc. 1920. Vol. 26. P. 394-395; Penrose R. A generalized inverse of matrices // Proc. Camb. phil. Soc. 1955. Vol.51. P. 406-413.

[128] Neumann C. Ueber die rollende Bewegung eines Körpers auf einer gegebenen HorizontalEbene unter dem Einfluss der Schwere // Berichte der Königl. Sachs. Gesell. der Wissensch. Leipzig. Math.-Phys. Kl. 1885. Bd37. S. 352-378; Он же. Grundzüge der Analytischen Mechanik // Berichte der Königl. Sachs. Gesell. der Wissensch. Leipzig. Math.-Phys. Kl. 1887. Bd 39. S. 153-190; 1888. Bd40. S. 22-88; Он же. Ueber die rollende Bewegung einer Körpers auf einer gegebenen Horisontalebene unter dem Einfluß des Schwere // Math. Ann. 1886. Bd XXVII. S. 478-505; Он же. Beitrage zur analytischen Mechanik // Abhandl. Der Konigl. Sachs. Gesell. der Wissensch. Leipzig. Math.-Phys. Kl. 1899. Bd51. S. 371-443.

[129] O'Reilly O.M., Srinivasa A.R. On a decomposition of generalized constraint forces // Proceedings of the Royal Society. London. 2001. Vol. A457. P. 1307-1313.

[130] Papastavridis J.G. Analytical Mechanics. Oxford: University Press. 2002. 1392 p.

[131] Poincare H. Sur une forme nouvelle des equations de la mecanique // Comptes Rendus. 1901. Vol. 132. P. 369-371.

[132] Przeborski A. Die allgemeinsten Gleichungen der klassischen Dynamik // Math. Zeitschrift. 1931-1932. Bd36. H. 2. S. 184-194.

[133] Routh E. Advanced part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. London. 1884. (Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. М.: Наука. 1983. Т. I, 464 с.; Т. II, 544 с.)

[134] Sharf J., d'Eleuterio G.M.T., Hughes P.C. On the dynamics of Gibbs, Appell, and Kane // Europ. J. of Mech. A/Solids. 1992. Vol. 11. №2. P. 145-155.

[135] Shen Z.C., Mei F.X. On the new forms of the differential equations of the systems with higher-order nonholonomic constraints // Appl. Math. and Mech. 1987. Vol.8. P. 189-196.

[136] Simeon B. On Lagrange multipliers in flexible multibody dynamics // Comput. meth. appl. mech. and eng. 2006. Vol. 195. №50-51. P. 6993-7007.

[137] Smale S. Topology and mechanics // Invent. Math. 1970. Vol. 10. P. 305-311; Vol. 11. P. 4564.

[138] Storch J., Gates S. Motivating Kane's method for obtaining equations of motion for dynamic systems // J. of Guidance, Dynamics and Control. 1989. Vol. 12. №4. P. 593-595.

[139] Truesdell C. A first course in rational continuum mechanics. Academic Press, Inc. 1991. (Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. 592 с.)

[140] Udwadia F.E., Kalaba R.E. A new perspective on constrained motion // Proceedings of the Royal Society. London. 1992. Vol. A439. № 1906. P. 407-410; Они же. Analytical dynamics: a new approach. Cambridge University Press. 1996;

[141] Vershik A.M., Gershkovich V.Ya. I. Nonholonomic dynamical systems. Geometry of distributions and variational problems // Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Berlin: Springer-Verlag. 1994. Vol. 16. P. 1-81.

[142] Vierkandt A. Ueber gleitende und rollende Bewegung // Monatsheft für Mathematik und Physik. Verlag des Math. Seminars der Univ. Wien. III Jahrgang. 1892. S. 31-54, 97-134.

[143] Volterra V. Sopra una classe di equazioni dinamiche // Atti della Reale Accademia delle Scieze. Torino. 1898. Vol. XXXIII. P. 451-475; Он же. Sur la theorie des variations des lattitudes // Acta Math. 1899. Vol. XXII. P. 201-357.

[144] Whittaker E.T. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies with an introduction to the problem of three bodies. Third edition. Cambridge. 1927. (Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ. 1937. 500 с.)

[145] Woronetz P. Uber die Bewegung eines starren Korpers, der ohne Gleiten auf einer beliebigen Flüche rollt // Math. Ann. 1911. BdLXX. S. 410-453. ; Он же. "Über die Bewegungsgleichungen eines starren Korpers // Math. Ann. 1911. BdLXXI. S. 392-403.

[146] Zhu Sigong. Two new equations in terms of quasi-coordinates for variable mass systems with high-order nonholonomic constraints //J. Harbin Inst. Elec. Technol. 1989. Vol. 12. № 3. P. 278-290.