Применение метода эквивалентных форм в задачах нестационарной аэродинамики при малых дозвуковых скоростях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.01, кандидат технических наук Козаченко, Андрей Викторович

• Козаченко, Андрей Викторович
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Козаченко, Андрей Викторович

ВСТУПЛЕНИЕ.

РАЗДЕЛ

РАЗРАБОТКА МЕТОДА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОРМ ДЛЯ КРЫЛА БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА

1.1. Постановка задачи.

1.2. Вихревые системы в нестационарной задаче. Традиционное решение

1.3. Преобразование вихревых систем.

1.4. Построение эквивалентных форм.

1.5. Эквивалентные формы при входе в порыв.

РАЗДЕЛ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОРМ В ПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ ПРИ МГНОВЕННОМ ВОЗНИКНОВЕНИИ ДЕФОРМАЦИИ И ПРИ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ВО ВРЕМЕНИ

2.1. Общие свойства, проявляемые эквивалентной формой при Т=0.

2.2. Независимость переходного процесса при Т>0 от исходной мгновенно возникшей деформации.

2.3. Эквивалентные формы при внезапном возникновении угла атаки у крыла бесконечного размаха.

2.4. Эквивалентные формы при внезапном возникновении деформации у крыла бесконечного размаха.

2.5. Построение эквивалентных форм при произвольных зависимостях кинематических параметров от времени.

РАЗДЕЛ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ МЕТОДА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОРМ НА ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ И ЕГО ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В РАСЧЁТАХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛА 3.1. Переход к трёхмерному обтеканию. Исследование эквивалентной формы крыла конечного удлинения в нестационарных процессах.

3.2. Особенности применения метода эквивалентных форм в случае использования косой расчётной сетки и в случае расчёта нестационарных АХ произвольной компоновки ЛА.

3.3. Примеры расчётов. Сравнение с экспериментальными данными.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода эквивалентных форм в задачах нестационарной аэродинамики при малых дозвуковых скоростях»

Н.Е. Жуковского и ряде других научных организаций проведены обширные, как теоретические, так и экспериментальные, исследования вихревого следа самолёта и связанных с его наличием проблем аэродинамики, динамики, прочности и обнаружения. Эти исследования [42 - 50] подтверждают актуальность для современности создания новых и развития существующих подходов к решению нестационарных задач.

При изучении задач аэродинамики, связанных с обеспечением безопасности полёта, в большом количестве случаев применима линейная теория с её хорошо разработанным аппаратом, причём получаемая точность удовлетворяет требованиям практического применения результатов расчёта. Например, техника АОН летает на линейных режимах (углы атаки малы, механизация слабо выражена), характеристики более крупных современных самолётов (прежде всего гражданской авиации) остаются линейными до угла атаки приблизительно 12°. Часто для оценок достаточно вычислить лишь линейные коэффициенты. Кроме того, линейное приближение широко используется в решениях нестационарных задач аэродинамики и аэроупругости, связанных с изменением деформации несущих поверхностей, а также во многих других приложениях. Следовательно, специалистам, рассчитывающим характеристики ЛА, исследующим вопросы обеспечения безопасности полёта, важно иметь на вооружении в рамках линейной теории эффективный и надёжный метод расчёта нестационарных аэродинамических характеристик при малых дозвуковых скоростях.

Диссертационная работа посвящена разработке в линейном приближении альтернативного метода и соответствующего алгоритма расчёта нестационарных АХ самолётов, находящихся в идеальной среде при числах М-»0. Область нестационарной аэродинамики при указанных условиях является хорошо разработанной, и ещё много лет назад составлены программы расчёта нестационарных АХ с помощью, как уже отмечалось, хорошо зарекомендовавшего себя метода дискретных вихрей. Однако при реализации этих классических алгоритмов на вычислительных машинах в свете современных требований оказалось, что существуют ограничения по их применению. Ограничения связаны с требуемым для расчёта машинным временем при неизбежно большом количестве дискретных особенностей, которые используются для моделирования обтекания современного самолёта нестационарным потоком. Дело в том, что классический алгоритм предусматривает в каждый момент времени определение циркуляций вихрей следа, скосов от следа во всех контрольных точках и, затем, удовлетворение условия непротекания. Эти операции представляют собой выполняемые в каждый дискретный момент времени действия с большими по размеру матрицами. Количество панелей несущих поверхностей может доходить до нескольких сотен, а количество влияющих вихрей следа растёт со временем. Даже современные вычислительные средства и быстродействующие программы не в состоянии обеспечить для проводящих расчёты специалистов (особенно на стадии проектирования) приемлемое во всех отношениях время работы вычислительных модулей. Если при проведении расчётов нестационарных характеристик часто требуется варьировать начальные параметры и подбирать их по результатам вычислений, то это, аддитивно увеличивая задействованное время, создаёт трудности при работе в сети и коллективном проектировании. Также возникают серьёзные препятствия при рассмотрении перспективных возможностей использования расчётов нестационарных характеристик в реальном времени. Помимо необходимости существенного ускорения работы алгоритмов практика обнаруживает требование улучшения качественной информации о пространственной структуре зависящего от времени аэродинамического нагружения до численного решения задачи.

Вследствие перечисленных факторов тематика диссертации представляется актуальной. Разработка эффективного (приводящего к быстродействующим алгоритмам) метода расчёта нестационарных АХ при малых дозвуковых скоростях, например, для решения задач обеспечения безопасности полёта, востребована авиационными научно-исследовательскими организациями и конструкторскими бюро РФ. Это вызвано тем, что Россия постепенно расширяет конкурентоспособное участие на мировом рынке гражданской авиационной техники, где требования по безопасности полёта очень высокие. Россия имеет перспективные программы увеличения и модернизации собственного авиапарка, что также тесно связано с обеспечением безопасности на взлётно-посадочных режимах, и, кроме того, наращивает выпуск многоцелевых лёгких самолётов АОН. По расчётам экспертов, потенциально ёмкому российскому рынку АОН в ближайшие 15 лет понадобится около 8000 самолётов и вертолётов.

Диссертационная работа проводилась согласно Плану фундаментальных и прикладных научно-исследовательских работ, сформированному ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского и Миннауки РФ на 1999 год, по теме: «Фундаментальные исследования по экологии, эффективности и экономичности летательных аппаратов»\ Раздел 4.2. Исследование воздействия вихревого следа самолётов и естественных явлений на летательные аппараты. Шифр 4510739. Тема диссертации переплетается с научными программами и направлениями исследований известных научных центров и авиационных фирм. Примером может служить сотрудничество АК им. С. В. Ильюшина и компании «Боинг» в рамках программы по повышению безопасности полётов самолётов гражданской авиации, а также разработка и производство самолётов АОН в авиационном отделении ГКНПЦ им. М. В. Хруничева, одним из главных критериев которых является максимально возможное обеспечение безопасности полёта.

Цель диссертационной работы - разработка быстродействующего имеющего наглядную интерпретацию алгоритма расчёта нестационарных АХ самолёта при взлётно-посадочных скоростях, научно обоснованного в рамках линейной теории обтекания идеальной несжимаемой жидкостью. Методика исследования следующая. С помощью модели обтекания, которую предоставляет метод дискретных вихрей, производится попытка обнаружить «тонкую структуру» нестационарной вихревой системы (выявить проявляемые этой структурой свойства). Далее, в случае получения при численном расчёте значительного выигрыша во времени вследствие учёта этих свойств предпринимаются поиски геометрической интерпретации полученных результатов. Исследование выполняется сначала для крыла бесконечного размаха, а, затем, в пространственном случае для крыльев произвольной формы в плане и моделей реальных самолётов. Для крыла бесконечного размаха проводится обширное сравнение результатов расчёта разработанным в диссертационной работе методом с аналитическими решениями (точными) и численными результатами, полученными при расчёте по общепринятой (классической) схеме метода дискретных вихрей. В пространственном случае наряду со сравнением с численными результатами классической схемы проводится сравнение с экспериментальными данными.

Диссертационная работа позволила успешно реализовать попытку в области, которая, казалось бы, хорошо изучена и обладает целостностью, найти более эффективный и, главное, практически востребованный многими задачами способ расчёта. Разработанный метод условно назван методом эквивалентных форм, который позволяет расширить научное воззрение на картину нестационарного обтекания. Основные результаты диссертационной работы обладают научной новизной, так как ранее не было известно, что размерность решения рассматриваемой нестационарной задачи сокращается на единицу и нестационарные аэродинамические нагрузки можно определять по скоростям возмущённого потока перед передними кромками несущих поверхностей. Вследствие учёта доказанного сокращения размерности происходит существенный выигрыш во времени расчёта на ЭВМ по сравнению с расчётом общепринятым методом (в среднем на практике инженерных расчётов: для профиля - в 20 раз, для самолёта - в 7 раз). Кроме того, нестационарная задача интерпретируется как стационарная с дополнительной круткой сечений. Также, в рамках метода эквивалентных форм подробно раскрыта особенность в первый дискретный момент времени при наличии гидроудара.

Апробация основных результатов диссертации проходила на следующих научных конференциях (семинарах):

1) ХЫ научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (МФТИ. г.Долгопрудный, 1998);

2) Научный семинар «Аэродинамика современных и перспективных летательных аппаратов» под руководством проф. Желанникова А. И. (ВАТУ, В-312.г.Москва, 1999);

3) Вторая Всероссийская конференция молодых учёных «Современные проблемы аэрокосмической науки» (ЦАГИ. г.Жуковский, 1999);

4) XI Школа-семинар «Аэродинамика летательных аппаратов» (п.Володарского, 2000).

Вычислительные модули расчёта нестационарных АХ самолётов, разработанные на основе метода эквивалентных форм, апробированы, главным образом, в ЦАГИ им. проф. Н. Е. Жуковского в ряде проектов.

Результаты диссертации опубликованы в 4-х сборниках научных трудов [51 -54] и в 3-х сборниках тезисов докладов научных конференций [55 -57].

Заключение диссертации по теме «Аэродинамика и процессы теплообмена летательных аппаратов», Козаченко, Андрей Викторович

выводы

1. Для невязкого несжимаемого потока в линейном приближении разработан обладающий научной новизной метод расчёта нестационарных аэродинамических характеристик летательных аппаратов (переходных функций). Этот метод основан на исследовании в стационарном потоке эквивалентной в смысле равенства аэродинамического нагружения формы несущей поверхности, при этом обтекание моделируется посредством дискретных вихрей и считается безотрывным. Решение нестационарной задачи сводится к определению в любой момент времени дополнительной деформации, которую нужно придать исходной форме, чтобы получить эквивалентную форму.

2. Главным результатом проведённого исследования является доказательство сокращения на единицу размерности решения нестационарной задачи. Установлено, что в любой момент времени после гидроудара при мгновенном возникновении возмущений эквивалентная форма представляет собой соответствующую исходную форму с дополнительной круткой сечений, зависящей от времени. При гидроударе эквивалентная форма произвольного сечения, отнесённая к дельта-функции, есть интеграл от соответствующей исходной формы сечения с последующим поворотом полученной формы, причём таким, который приводит к безударному входу этого сечения в поток.

3. Получено численное решение нестационарной задачи - расчёт методом эквивалентных форм - через вычисление на каждом временном шаге скоростей только в определённых точках перед передними кромками несущей поверхности, причём количество этих точек равно количеству принятых в дискретной схеме сечений (полос).

4. Как прямое следствие выявленного в рамках постановки задачи свойства нестационарного потока, приводящего к сокращению размерности решения, получено существенное преимущество алгоритма расчёта методом эквивалентных форм во времени работы на вычислительной технике по сравнению с традиционными алгоритмами. Практический выигрыш во времени близок к теоретическому, который равен отношению количества контрольных точек к количеству сечений (полос). Это позволило достигнуть главной практической цели в работе над диссертацией - разработать быстродействующие алгоритмы расчёта нестационарных аэродинамических характеристик.

5. Построен алгоритм расчёта нестационарных АХ методом эквивалентных форм на косой расчётной сетке для любой компоновки летательного аппарата, дающий приемлемые результаты при относительно малых затратах времени, в частности, в определённых задачах по обеспечению безопасности полёта на взлётно-посадочных режимах.

6. Проведённые сравнения с результатами расчётов АХ крыльев по общепринятой схеме и с экспериментальными данными показали, что метод эквивалентных форм практически применим в задачах нестационарной аэродинамики при малых дозвуковых скоростях.

7. Выявлено, что метод эквивалентных форм не только даёт значительный выигрыш во времени расчёта, а является многоцелевым средством. Во-первых, он позволяет осуществить наглядную интерпретацию нестационарного решения. Во-вторых, появляется дополнительная возможность контроля точности расчётов, которые произведены другими способами, так как строго доказано, какой должна быть эквивалентная форма в переходных процессах. В-третьих, он позволяет путём несложных преобразований получить для двухмерного потока коэффициенты присоединённых масс в аналитическом виде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Козаченко, Андрей Викторович, 2000 год

1. Küssner Н. G. Zusammenfassender Bericht über den instationären Auftrieb von Tragflügeln // Luftfahrtforschung. 1936. - №13. - S. 410-424.

2. Küssner H. G. Allgemeine Tragflächentheorie // Luftfahrtforschung. 1940. -№17.-S. 370-378.

3. Келдыш M. В., Лаврентьев M. А. К теории колеблющегося крыла // Технические заметки ЦАГИ. 1935. - вып.45. - С. 48-52.

4. Седов Л. И. К теории неустановившихся движений крыла в жидкости // Труды ЦАГИ. 1935. - вып.229. - С. 1-40.

5. Седов Л. И. Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими вихрями // Труды ЦАГИ. 1936. - вып.252. - С. 1-40.

6. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. 3-е изд., перераб. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.-448 с.

7. Theodorsen Т. General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter // NACA Rept. 1935. - №496. - P. 3-23.8. von Kärmän Th., Sears W. R. Airfoil theory for non-uniform motion // J. Aeronaut. Sei. 1938. - №5. -P. 379-390.

8. Некрасов А. И. Теория крыла в нестационарном потоке. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947.-259 с.

9. Гаррик И. Э. Нестационарные характеристики крыла // Аэродинамика частей самолёта при больших скоростях: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1959. - С. 530-648.

10. Численные методы в динамике жидкостей / Джеймсон Э., Мюллер Т., Боллхауз У. и др.: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 408 с.

11. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965.-244 с.

12. Белоцерковский С. М. Подковообразный вихрь при неустановившемся движении // Изв. АН СССР, ПММ. 1955. - T.XIX, вып.2.

13. Белоцерковский С. М. Пространственное неустановившееся движение несущей поверхности // Изв. АН СССР, ПММ. 1955. - T.XIX, вып.4.

14. Белоцерковский С. М. Метод расчёта нестационарных характеристик крыла произвольной формы в плане // Труды ЦАГИ. 1959. - вып.755.

15. Белоцерковский С. М. Метод расчёта присоединённых масс тонких поверхностей произвольной формы в плане // Труды ЦАГИ. 1962. -вып.854.

16. Белоцерковский С. М. Метод расчёта коэффициентов вращательных производных и присоединённых масс тонкого крыла произвольной формы в плане: Сборник статей по аэрогидродинамике // Труды ЦАГИ. 1964. -вып.940.

17. Белоцерковский С. М. Метод расчёта воздействия порыва на произвольное тонкое крыло // Изв. АН СССР, МЖГ. 1966. - №1.

18. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1971. - 768 с.

19. Лифанов И. К., Полонский Я. Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ПММ.- 1975. т.39, №4. - С. 742-746.

20. Сарен В. Э. О сходимости метода дискретных вихрей // Сиб. мат. ж. 1978.- t.XIX, №2. С. 385-395.

21. Лифанов И. К., Полтавский Л. Н. Линейная нестационарная задача для профиля и уравнения Абеля // Вопросы кибернетики. Численный эксперимент в прикладной аэродинамике. М. - 1986. - С. 23-46.

22. Глушков Н. Н. О точности расчёта аэродинамических характеристик тонких крыльев и профилей методом дискретных вихрей // Учёные записки ЦАГИ. -1982. t.XIII, №3. - С. 125-130.

23. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО «Янус», 1995. - 520 с.

24. Ганиев Ф. И. Методика расчёта нестационарных аэродинамических характеристик комбинации корпус-крыло, движущейся с малой дозвуковой скоростью // Труды ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского. 1969. - вып.1253.

25. Ганиев Ф. И. Расчёт аэродинамических характеристик комбинации корпус-крыло, движущейся с большой дозвуковой скоростью // Труды ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского. 1970. - вып. 1286.

26. Ганиев Ф. И., Ништ М. И. Расчёт аэродинамических характеристик схематизированного летательного аппарата при дозвуковых скоростях // Труды ЦАГИ. 1970. - вып. 1286.

27. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М.: Наука, 1975.

28. Ганиев Ф. И. Метод расчёта продольных, боковых и перекрёстных аэродинамических производных летательного аппарата на дозвуковых скоростях // Изв. АН СССР, МЖГ. 1978. - №2.

29. Ганиев Ф. И. Расчёт продольных и боковых аэродинамических характеристик летательных аппаратов при боевых повреждениях // Техника воздушного флота. 1978. - №5.

30. Ганиев Ф. И., Морозов В. И. Демпфирующий момент тангажа летательного аппарата при нестационарном обтекании // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. Казань, 1987. - №2.

31. Головкин В. А. Нелинейная задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом // Учёные записки ЦАГИ. 1972. - т.Ш, №3.

32. Апаринов В. А., Белоцерковский С. М., Ништ М. И., Соколова О. Н. О математическом моделировании в идеальной жидкости отрывного обтекания крыла и разрушения вихревой пелены // Докл. АН СССР. 1976. - №4(227).

33. Апаринов В. А. Расчёт нелинейных аэродинамических характеристик крыла сложной формы в плане с учётом носовой вихревой пелены // Изв. АН СССР, МЖГ.- 1977.-№2.

34. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

35. Белоцерковский С. М., Васин В. А., Локтев Б. Е. К математическому нелинейному моделированию нестационарного обтекания несущего винта // Докл. АН СССР. 1978. - т.240, №6.

36. Михайлов А. А., Ништ М. И. Расчёт нестационарного течения идеальной несжимаемой жидкости за уступом и в углублении // Научно-методические материалы по аэродинамике летательных аппаратов. ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1979.

37. Белоцерковский С. М., Гиневский А. С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Физматлит, 1995. -368с.

38. Нелинейная теория крыла и её приложения / Т. О. Аубакиров, С. М. Белоцерковский, А. И. Желанников, М. И. Ништ. Алматы: Гылым, 1997. -448 с.

39. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Моделирование на ЭВМ / Т. О. Аубакиров, А. И. Желанников, П. Е. Иванов, М. И. Ништ / Под ред. С. М. Белоцерковского. Алматы: ТОО «Мария», 1999. - 280 с.

40. Vyshinsky V. V. Flight safety, aircraft vortex wake and crisis of airports // Trudy TsAGI.-1997.-v.2627.

41. Brysov O. P., Shapovalov G. K., Soudakova I. A. Experimental investigations of the vortex flow structure // Trudy TsAGI. 1997. - v.2627.

42. Gaifullin A. M., Zoubtsov A. V. On diffusion of two vortices // Trudy TsAGI. -1997.-v.2627.

43. Grinats E. S., Kashevarov A. V., Stasenko A. L. Light scattering by condensate particulates in the vortex-jet wake behind a civil aircraft at low height // Trudy TsAGI.- 1997.-v.2627.

44. Gaifullin A. M., Soudakov G. G. «Frozen» field and quasi-steady hypothesis in the vortex-airfoil interaction problem // Trudy TsAGI. 1997. - v.2627.

45. Kuznetsov O. A., Orlova Т. I., Chizhov V. M. Evaluation of safe separation distances between aircraft from the strength standpoint // Trudy TsAGI. 1997. -v.2627.

46. Kuznetsov O. A., Osminin R. I. Wind-tunnel investigation of an aircraft model dynamic loads due to vortex gusts // Trudy TsAGI. 1997. - v.2627.

47. Mikhailov Yu. S., Razdobarin A. M. Numerical estimation of the vortex wake effect on aircraft aerodynamic characteristics // Trudy TsAGI. 1997. - v.2627.

48. Flight safety, aircraft vortex wake and airport operation capacity. Trudy TsAGI. -1999.-v.2641.

49. Козаченко А. В. Примеры расчёта переходных функций летательных аппаратов при малых дозвуковых скоростях методом эквивалентных крыльев // Теоретические и экспериментальные исследования проблем аэрогидромеханики. М. - МФТИ, 1997. - С. 77-84.

50. Морозов С. В., Козаченко А. В. Алгоритми розрахунку нестащонарних аеродинам1чних характеристик л1тальних anapaTiB на злшю-посадочних режимах // Труди Академй'. К.: Национальна академ1Я оборони У крайни. -1999. -№13, iHB.36030. - С. 44-47.

51. Dyachevsky А. P., Glushkov N. N., Kozachenko А. V. Transformation of external disturbances by the wing vortex systems of an aircraft flying through a nonuniform medium // Trudy TsAGI. 1999. - v.2641.

52. Козаченко А. В. Расчёт аэродинамических характеристик при малых дозвуковых скоростях методом эквивалентных форм // Тезисы докладов XLI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». -Ч.П. Долгопрудный. - 1998.

53. Козаченко А. В. Определение присоединённых масс летательного аппарата при малых дозвуковых скоростях методом эквивалентных форм // Материалы XI Школы-семинара «Аэродинамика летательных аппаратов». -п.Володарского. ЦАГИ, 2000.

54. Bratt J. В. Flow patterns in the wake of an oscillating aerofoil // Aeronaut. Res. Concil Repts and Mem. 1953. -N.2773.

55. Горелов Д. H., Куляев P. JI. Нелинейная задача о нестационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР, МЖГ. 1971. -№6.-С. 38-48.

56. Глушков Н. Н., Гончарук А. К. К расчёту нелинейной составляющей подъёмной силы крыла при дозвуковых скоростях // Труды ЦАГИ. 1979. -вып. 1985.

57. Жигулёв В. Н. Об оптимальной форме срединной линии профиля крыла // Труды ЦАГИ. 1977. - вып. 1842. - С. 26-29.

58. Ульянов Б. И. Некоторые обобщения и следствия теоремы обратимости для неустановившихся движений // Изв. АН СССР, МИМ. 1961. - №1.

59. Patel М. Н. Aerodynamic Forces on Finite Wings in Oscillatory Flow: An Experimental Study // AIAA Journal. 1978. - v.16(1 1). - P. 1175-1180.п)1. (2) Г1 Г11. ТР171. Г11. Г88иШ — са + а81 • -а1

60. Г1 -1 -1 -1 . . . -1/п-1)1. СА(а,5) =1. А«*"1 •8, 1• + а* •§N8 10 0

61. Рис. 1.1 Схема решения нестационарной задачи общепринятым способом.о§1 0 а У0й, 0 01. В8 • • • + 0 • 4- 0 •4 • 6ч. • • 0 • 0-В8(№ X N8) матрица влияния вихревых пар пластины. 1. П- I)

62. Рис. 1.3 Условие непротекания для системы вихревых пар в момент времени п>2.1. П) 1. Г — Св1. Р1 8 311111 п-1)1. Уо '1. П)1. В,'4 0 а52 + 0 .§N8 §N8-1 0п(в)=$ хит1 88ит N8 1 рг N5 II