Исследование нестационарных аэродинамических характеристик модели магистрального самолета в широком диапазоне углов атаки и их феноменологическое моделирование в продольном канале для задач динамики полета тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Алиева Диана Александровна

• Алиева Диана Александровна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Алиева Диана Александровна

ВЕДЕНИЕ

1 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

1.1 Модель CRM

1.2 Расчётные оценки аэродинамических производных

1.3 Условия проведения экспериментов

1.4 Динамические испытания с вынужденными движениями

1.4.1 Вынужденные колебания с малой амплитудой

1.4.2 Вынужденные колебания с большими амплитудами

1.5 Управляемые движения на шарнире с одной степенью свободы по тангажу

2 ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

2.1 Обзор подходов к математическому моделированию нестационарных аэродинамических характеристик

2.2 Феноменологические модели продольных АДХ с разной степенью учета развития отрыва потока

2.2.1 Квазистационарная нелинейная модель

2.2.2 Нелинейная нестационарная модель

2.3 Нелинейная нестационарная модель с учётом статического гистерезиса

3 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ АЭРОДИНАМИКИ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ В АДТ, ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЁТОВ И ЛЁТНЫХ ИСПЫТАНИЙ

3.1 Идентификация и валидация математических моделей аэродинамики для магистрального самолёта на основе экспериментов в АДТ

3.2 Идентификация нелинейной нестационарной математической модели аэродинамики для профиля NACA0015 на основе данных численного расчета обтекания

3.3 Идентификация нелинейной нестационарной модели аэродинамики магистрального самолёта по лётным данным

4 АПРОБАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА

4.1 Моделирование управляемого движения модели самолёта с одной степенью свободы по тангажу

4.2 Моделирование развития автоколебаний при движении по тангажу гипотетического самолёта

4.3 Динамика модели с закреплённым центром тяжести при наличии гистерезиса в

статической характеристике

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВЕДЕНИЕ

Определение аэродинамический реакции при неустановившемся движении самолёта является важным вопросом с теоретической и практической точек зрения. С одной стороны, изучение нестационарных аэродинамических характеристик (АДХ) представляет фундаментальный научный интерес. С другой стороны, математическое описание аэродинамических характеристик является неотъемлемой частью решения прикладных задач динамики полёта. Обеспечение безопасности полёта самолётов является приоритетной задачей гражданской авиации. Для её реализации необходимо исследование аэродинамики и динамики самолёта в расширенной области режимов полёта, включающей режимы сваливания на больших углах атаки.

Точные решения могут быть получены лишь в ограниченном ряде случаев для линейных задач. Точные классические решения о гармоническом движении профиля крыла, движении при ступенчатом изменении угла атаки и вхождении в порыв ветра были получены в начале двадцатого века [1]. Тогда же была сформулирована традиционная математическая модель аэродинамических характеристик [2], основанная на концепции аэродинамических производных. В её основе лежат предположения о малости возмущений и линейности зависимостей аэродинамических сил и моментов от кинематических параметров движения, то есть она применима для безотрывного обтекания. Коэффициенты пропорциональности между значениями сил и моментов и кинематическими параметрами движения являются параметрами модели, которые определяются, в простейшем случае, в минимизации рассогласования экспериментальных данных и модельной функции.

Экспериментальные исследования остаются в настоящее время наиболее достоверным источником данных об аэродинамических характеристиках самолёта. Они включают широкий спектр испытаний. Наиболее полный объём информации о нагрузках при неустановившемся движении самолёта можно получить в полёте самолёта в натурных условиях [3]. Данные лётных испытаний используются для корректировки банка аэродинамических данных, полученных в аэродинамических трубах (АДТ), и математического описания аэродинамики самолёта на заключительных этапах проектирования. Однако лётные испытания дороги, а в случае движения на больших углах атаки также опасны. Некоторые характеристики, например, на взлётно-посадочных режимах при больших углах атаки, вовсе не могут быть получены. В связи с этим проводятся испытания со свободно летающими моделями в аэродинамических трубах или при свободном управляемом полёте [4], а также разрабатываются различные динамические стенды, моделирующие неустановившееся движение самолёта. К ним относятся испытания динамически подобных моделей на установках, реализующих вращение модели относительно вектора скорости [5], свободные колебания с разным количеством степеней свободы [6] - [9],

управляемые, а также вынужденные движения. Последние как правило представлены установками вынужденных гармонических колебаний с большими [10] или малыми [11], [12] амплитудами. Статические испытания и испытания с вынужденными колебаниями малой амплитуды предоставляют достаточный объём данных для построения упомянутой выше традиционной модели аэродинамики. Именно она используется и хорошо зарекомендовала себя при решении широкого ряда задач динамики полёта в области безотрывного обтекания [13]. Для лучшего понимания нелинейных эффектов, возникающих на больших углах атаки, используются установки с вынужденными колебаниями с большими амплитудами [10]. В экспериментах этого типа регистрируются петли динамического гистерезиса, которые могут проявлять нелинейные свойства при изменении частоты и амплитуды колебаний. Среди установок, допускающих свободное движение, особенно перспективными представляются установки с тремя степенями свободы, так как они позволяют получить ценные результаты без переусложнения методики проведения испытаний и обработки данных. На них можно исследовать как вынужденное, так и дистанционно управляемое движение динамически подобных моделей самолёта [14], а также непосредственно отрабатывать разрабатываемые законы управления [15]. Характерной особенностью таких установок является то, что аэродинамические силы и моменты не измеряются, а восстанавливаются по уравнениям движения с использованием записей изменения кинематических параметров от времени.

С появлением компьютеров стали развиваться численные методы. В 1960 гг. в научных исследованиях в мире стал широко применяться метод дискретных вихрей для расчёта динамических производных различных крыльев и конфигураций [16]-[19]. Позднее стали решаться нелинейные задачи, включающие сход вихрей с передних кромок стреловидных крыльев [20]- [22]. По мере развития вычислительной техники появились более сложные панельные [23]-[26], и сеточные [27]-[30] методы вычислительной аэродинамики. При этом метод дискретных вихрей утратил значение, как основной инструмент расчёта аэродинамических характеристик, однако, он остаётся полезным практическим инструментом, применяющимся в промышленности, для расчёта динамических производных на начальных стадиях проектирования, когда не известна полная информация о геометрии аппарата [31].В настоящее время методы вычислительной аэродинамики переживают период расцвета и позволяют решать в том числе нелинейные нестационарные задачи [28], [32], [33]. Их ключевое преимущество состоит в возможности проводить расчёт для натурных чисел Рейнольдса. Однако задачи, связанные с отрывом потока при движении на больших углах атаки, и нестационарные задачи остаются сложными в части выбора рациональных методов решения и моделей турбулентностей [27], [28]. Тем не менее, движение в сторону все большего использования методов вычислительной аэродинамики в прикладных задачах очевидно, и результаты таких расчётов

начинают применяться в качестве данных для определения параметров математических моделей нестационарной аэродинамики [29], [34], [35]. К практическим задачам динамики полёта относятся прямое численное моделирование динамики, изучение картины критических режимов, исследование устойчивости и управляемости движения, разработка систем управления. При этом возникает необходимость совместного решения уравнений движения самолёта и определения его аэродинамического отклика на изменение параметров движения. Очевидно, что методы вычислительной аэродинамики для этого неприменимы и требуется создание упрощённого описания аэродинамики. Такие упрощённые описания в данной работе называются феноменологическими математическими моделями аэродинамики. Феноменологические модели должны адекватно описывать физические явления, происходящие в потоке на режимах, для которых они разрабатываются, а также легко интегрироваться в имеющиеся математическое описание самолёта и допускать совместное интегрирование с уравнениями движения самолёта в реальном времени. Классическим подходом для описания аэродинамический реакции самолёта на произвольное изменение параметров его движения от времени является метод переходных функций [36]. Согласно этому методу аэродинамические силы и моменты при помощи интеграла Дюамеля представляются в виде суммы откликов на ступенчатые изменения каждого из параметров. Сами переходные функции определяются приближённо по экспериментальным или расчётным данным. Для описания аэродинамики при движении на больших углах атаки было введено понятие нелинейных переходных функций [37], [38], которые учитывают предысторию изменения кинематических параметров. Такой подход имеет наиболее строгое математическое обоснование, однако его применение осложняется трудностью определения пространства переходных функций для воспроизведения аэродинамической реакции при произвольном изменении параметров движения. Кроме того, конечная модель динамики самолёта формулируется при этом в классе интегро-дифференциальных уравнений, что затрудняет исследование устойчивости, синтез управления и т.д. Тем не менее, метод нелинейных переходных функций применяется на практике, например, в [34], [35], [39], [40]. Существует коммерческие программное обеспечение, реализующее этот метод [41].

В линейном случае аппроксимация переходных функций набором экспонент позволяет получить эквивалентное описание аэродинамических сил и моментов в пространстве состояний. Для этого записывается система дифференциальных уравнений для внутренних переменных динамической системы [42], порядок системы соответствует порядку аппроксимации. Математическая модель аэродинамики, включающая только дифференциальные уравнения, подходит для задач динамики полёта, так как легко объединяется с уравнениями движения, поэтому в [43], для общего случая неустановившегося движения самолёта в широком диапазоне углов атаки был предложен феноменологический подход к описанию его аэродинамических

характеристик с дополнительными обыкновенными дифференциальными уравнениями для внутренних переменных состояния, описывающих динамические свойства отрывного или вихревого обтекания самолёта. Он был опробован в работах [44]-[47], в том числе при наличии гистерезиса в статических характеристиках, и успешно применялся для ряда задач динамики полета.

Статический гистерезис проявляется в неоднозначности аэродинамических характеристик при одних и тех же кинематических параметрах и обусловлен существованием различных структур обтекания при одинаковых углах атаки или скольжения. Реализация конкретной структуры зависит от предыдущего движения. Возникновение гистерезиса характерно для обтекания толстых профилей при числах Рейнольдса ~105 потоком с низкой турбулентностью [48]. Ключевым физическим процессом для развития гистерезиса аэродинамических характеристик профилей является переход пограничного слоя из ламинарного в турбулентное состояние. При возрастании уровня турбулентности набегающего потока [49], а также при установке турбулизаторов в районе передней кромки крыла [50], гистерезис исчезает. Гистерезис аэродинамических характеристик профилей исследуется как экспериментально [51]-[53], так и численными методами [54], [55]. Статический гистерезис можно наблюдать не только при обтекании профилей, но также и для крыльев конечного размаха [56] и полных компоновок [57]. Провоцировать его появление могут особенности компоновки. Так расчёт методами вычислительной аэродинамики на основе сеточных решений уравнений Навье-Стокса, осреднённых по Рейнольдсу, при Re=3•106 [58] показал, что гистерезис при обтекании крыла с механизацией на передней кромке обусловлен наличием щели под пилон двигателя.

В работах [59], [60] в рамках феноменологического метода моделирования аэродинамики с дополнительными уравнениями для внутренних переменных были предприняты попытки описать аэродинамику профиля NACA0018, который имеет область статического гистерезиса в продольных характеристиках. Однако разработанные в них подходы имеют ряд недостатков, поэтому этот вопрос требует дальнейшего изучения.

При разработке феноменологических математических моделей аэродинамических характеристик самолёта для задач динамики полёта наряду с выбором их структуры, которая должна учитывать все ключевые особенности обтекания, важным вопросом является идентификация этих моделей, то есть определение неизвестных параметров и функций, входящих в их структуру (например, функций, описывающих изменение переменных модели в статических условиях).

Как правило, определение параметров математических моделей аэродинамики осуществляется по данным динамических экспериментов в аэродинамических трубах (АДТ) [13], [46]. Так, для традиционной модели параметрами являются аэродинамические производные:

статические, нестационарные и вращательные, а также производные, определяющие эффективность органов управления. Комплексы нестационарных и вращательных производных являются непосредственным результатом, после соответствующей обработки данных, получаемым в эксперименте с вынужденными колебаниями с малой амплитудой. При этом известным и неизбежным ограничением является невозможность соблюсти подобие по числу Рейнольдса во время динамических испытаний в аэродинамических трубах. Влияние числа Рейнольдса на аэродинамические производные при вынужденных колебаниях исследовалось, например, в [56], однако общепризнанные методики пересчёта нестационарных аэродинамических характеристик на натурные условия автору неизвестны.

Определение параметров математических моделей аэродинамики по лётным данным [45], [47], [61], [62] лишена этого ограничения. Однако в этом случае значительные затруднения вызывает первичная обработка и согласование лётных данных. Кроме того, как упоминалось выше, не всегда возможно получить их достаточное количество, если речь идёт о движении магистрального самолёта на больших углах атаки.

Методы вычислительной аэродинамики свободны от обоих указанных выше недостатков, поэтому их использование для определения параметров нелинейных математических моделей нестационарной аэродинамики представляет значительный интерес, хотя в настоящее время численный расчёт отрывного обтекания при неустановившемся движении полной компоновки самолёта всё ещё остаётся перспективной задачей. В литературе этому вопросу уделяется значительное внимание. Так в [29], [35], [52] результаты расчётов численными методами применялись для построения математических моделей аэродинамики профиля и летательных аппаратов различных конфигураций.

Также остаётся открытым вопрос о том, какой эффект оказывает применение математических моделей разного типа в прикладных задачах динамики [63]. Имеются некоторые данные о том, что учёт нелинейных нестационарных эффектов повышает точность моделирования динамики маневренных аппаратов [64], [65], для гражданских самолётов этот вопрос исследуется в настоящее время [66], [67], но всё ещё мало изучен.

В ЦАГИ нестационарные аэродинамические характеристики изучаются на протяжении многих лет, как экспериментально [10-12], [68], так и с точки зрения математического моделирования [69]- [72].

Большой вклад в развитие этого направления внесли Столяров Г.И, Колин И.В., Святодух В.К., Головкин М.А., Гоман М.Г., Храбров А.Н., Шелюхин Ю.Ф., Колинько К.А. и другие. Среди зарубежных исследователей следует отметить V. Klein, P. Murphy, J. Morelli (США), D. Greenwell, M. Lowenberg (Великобритания), R.V. Jategaonkar (Индия).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование нестационарных аэродинамических характеристик модели магистрального самолета в широком диапазоне углов атаки и их феноменологическое моделирование в продольном канале для задач динамики полета»

Актуальность

Работа посвящена экспериментальному исследованию нестационарных аэродинамических характеристик модели магистрального самолета в широком диапазоне углов атаки на малых дозвуковых скоростях и развитию методов их феноменологического математического моделирования в продольном канале для задач динамики полета. Актуальность темы обусловлена тем, что потеря устойчивости и управляемости при выходе на большие углы атаки является одной из наиболее распространённых причин авиакатастроф самолётов гражданской авиации. В связи с этим для обеспечения безопасности необходимо решать различные динамические задачи, связанные с выходом самолёта за пределы нормальных режимов полёта. Экспериментальные исследования в аэродинамических трубах показывают, что на этих режимах возникают нелинейные особенности в аэродинамических характеристиках, требующие адекватного математического моделирования. Большое количество исследований в этой области проведено для маневренных самолётов, тогда как движению магистральных самолётов на больших углах атаки уделяется значительно меньше внимания.

В настоящее время развитие методов вычислительной аэродинамики позволяет рассматривать их как перспективный способ получения данных для определения параметров математических моделей нестационарных аэродинамических характеристик, наряду с лётными данными, которые остаются наиболее достоверным источником информации о движении реального самолёта.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования является гражданский магистральный самолёт. Предметом - его нестационарные аэродинамические характеристики при движении на больших углах атаки с дозвуковыми скоростями и способы их феноменологического моделирования. Цель и задачи исследования

Целью работы является развитие методов феноменологического моделирования нестационарных аэродинамических характеристик магистральных самолётов на больших углах атаки на основе их экспериментальных исследований в АДТ малых дозвуковых скоростей.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

1. Экспериментальное исследование нестационарных аэродинамических характеристик модели магистрального самолёта при малой дозвуковой скорости полёта при вынужденных гармонических колебаниях в широком диапазоне углов атаки.

2. Экспериментальное исследование продольных нестационарных аэродинамических характеристик модели магистрального самолёта при малой дозвуковой скорости полёта при свободном движении в результате дистанционного отклонения органов управления.

3. Разработка феноменологической квазистационарной модели продольных АДХ модели магистрального самолёта, учитывающей затягивание развития отрывного обтекания при движении на больших углах атаки.

4. Развитие феноменологического подхода с введением дополнительных уравнений с целью описания статического гистерезиса продольных АДХ модели магистрального самолёта для задач динамики полёта.

5. Определение параметров феноменологической модели продольных АДХ с дополнительными уравнениями для внутренних переменных по результатам численного расчёта обтекания и лётных испытаний.

Методы исследования: феноменологические методы математического моделирования нелинейных нестационарных аэродинамических характеристик; методы регрессионного анализа и оптимизации для определения параметров математических моделей; метод дискретных вихрей для расчёта аэродинамических производных; нелинейный метод несущей линии Прандтля; методы проведения динамического эксперимента в АДТ, сбора и обработки данных. Научная новизна

1. Получены новые экспериментальные данные для модели типичного пассажирского самолёта с открытой геометрией при вынужденных и свободных управляемых движениях в АДТ при малой дозвуковой скорости. Полученные данные могут служить основой для тестирования разрабатываемого программного обеспечения, реализующего различные численные методы, а также для разработки феноменологических математических моделей АДХ и их валидации.

2. Предложен новый способ описания продольных аэродинамических характеристик, учитывающий нелинейную зависимость силы и момента от угловой скорости. Он учитывает динамический эффект затягивания развития отрывного обтекания, и имеет простую табличную структуру, которая удобна в построении и может быть легко интегрирована в имеющееся математическое обеспечение моделирования динамики.

3. Предложена модификация феноменологического подхода с введением дополнительных обыкновенных дифференциальных уравнений с целью учёта гистерезиса статических характеристик при моделировании динамики. В отличие от существующих подходов, прохождение точек бифуркации с учётом влияния предыстории движения учитывается самой структурой модели.

Теоретическая значимость работы состоит в развитии методов феноменологического математического моделирования продольных нелинейных нестационарных характеристик магистральных самолётов.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что предложены новые подходы к математическому моделированию продольных нелинейных нестационарных

аэродинамических характеристик для задач динамики полёта, которые имеют общий характер и позволяют разрабатывать феноменологические математические модели аэродинамики на больших углах атаки для широкого класса гражданских самолётов для обеспечения безопасности полётов в лётных испытаниях и эксплуатации.

Полученные в разных типах динамических экспериментов данные могут использоваться для валидации численных методов и определения параметров математических моделей аэродинамики, а также для изучения нелинейных нестационарных эффектов при вынужденном и свободном управляемом движении.

Разработанная автором «Программа VLM для расчёта аэродинамических производных летательных аппаратов» применяется для построения линейных математических моделей нестационарной аэродинамики летательных аппаратов различных конфигураций на предварительных этапах проектирования.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

В соответствии с пунктом 1 Паспорта специальности 2.5.12. Аэродинамика и процессы теплообмена летательных аппаратов «Теоретические и экспериментальные исследования обтекания летательных аппаратов установившимися и неустановившимися потоками газовых сред» предложено развитие методов феноменологического моделирования продольных аэродинамических характеристик магистральных самолётов.

В соответствии с пунктом 2 Паспорта «Расчётные и экспериментальные исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов и их элементов, разработка методов расчета этих характеристик» проведены расчётные исследования аэродинамических производных; проведены экспериментальные исследования аэродинамических характеристик при вынужденном и свободном управляемом движении модели магистрального самолёта с одной степенью свободы.

Апробация результатов работы. Результаты исследовательских работ по теме диссертации были обсуждены и получили положительную оценку на 10 конференциях:

- 13, 15, 16 и 20-ая международные конференции «Авиация и космонавтика», 2014, 2016, 2017, 2021 гг., г. Москва,

- 29-й конгресс международного совета авиационной науки ICAS-2014, г. Санкт-Петербург,

- XXVIII и XXX научно-технические конференции по аэродинамике, 2017, 2019 пос. Володарского,

- 16-ая и 17-ая Российско-китайские конференции по фундаментальным проблемам аэродинамики летательных аппаратов, динамики полёта, прочности и безопасности полёта, 2019, г. Пекин, 2021, г. Жуковский.

- Научно-техническая конференция «Управление аэрокосмическими системами (УАКС-2021)», г. Геленджик, 2021.

Публикации по работе. Основное содержание диссертации опубликовано в 12 печатных работах. Из них 1 работа опубликована в издании, входящем в базу данных Scopus (1), 6 работ (6, 8-12) опубликованы в периодических изданиях, рекомендуемых ВАК,

Получено свидетельство о государственной регистрации программы ЭВМ (13).

Опубликовано учебное пособие (14) для студентов ВУЗов авиационного направления.

Достоверность результатов работы обеспечивается согласованием результатов моделирования и расчёта с экспериментальными данными, полученными в АДТ Т-103 ЦАГИ, непротиворечивостью физическим принципам, согласованием с результатами аналогичных исследований в литературе, апробацией на различных научных конференциях и публикацией в рецензируемых научных изданиях.

Личный вклад. Автор лично разработала «Программу VLM для расчёта аэродинамических производных летательных аппаратов» и провела соответствующие расчёты; предложила новый метод феноменологического математического моделирования нелинейных квазистатических продольных аэродинамических характеристик для учёта динамического затягивания отрыва потока и модификацию подхода с введением дополнительных обыкновенных дифференциальных уравнений для учёта гистерезиса статических характеристик при моделировании динамики; разработала математические модели продольных АДХ модели магистрального самолёта с разной степенью учёта развития отрыва потока и провела сравнительный анализ результатов моделирования; провела идентификацию нелинейной нестационарной модели продольных АДХ с дополнительными уравнениями по результатам численных расчётов обтекания и по результатам лётных испытаний; принимала личное участие в подготовке и проведении динамических экспериментов, провела обработку и анализ данных эксперимента с вынужденными колебаниями, выполнила сравнение с аналогичными данными других авторов; принимала личное участие в разработке методики проведения эксперимента со свободным управляемым движением и обработки экспериментальных данных; провела моделирование динамики самолёта с использованием разработанных моделей аэродинамики.

Положения, выносимые на защиту.

1. Экспериментальные данные для нестационарных аэродинамических характеристик модели магистрального самолёта при вынужденных гармонических колебаниях и свободных движениях с дистанционно отклоняемыми органами управления в АДТ малых дозвуковых скоростей и результаты их анализа.

2. Новый способ феноменологического моделирования продольных нестационарных аэродинамических характеристик с учётом динамического затягивания начала развития отрыва потока.

3. Модификация феноменологического подхода с введением дополнительных обыкновенных дифференциальных уравнений для внутренних переменных с целью учёта статического гистерезиса.

4. Феноменологические модели продольных АДХ модели типичного пассажирского самолёта с разной точностью учёта влияния отрыва потока и результаты сравнительного анализа результатов моделирования.

Объём и структура работы. Работа состоит из введения, четырёх глав и заключения. Общий объём работы составляет 130 страниц, включая 99 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 107 наименований.

В главе 1 представлены результаты экспериментальных исследований нестационарных аэродинамических характеристик модели типичного пассажирского самолёта в АДТ малых дозвуковых скоростей. Были проведены статические и три вида динамических испытаний: эксперимент с вынужденными колебаниями с малой амплитудой, испытания с вынужденными колебаниями с большими амплитудами и эксперимент нового типа с динамически подобной моделью, совершающей свободное движение на шарнире в результате дистанционного отклонения рулей высоты. Проводится сравнение экспериментальных результатов, полученных для аэродинамических производных, с аналогичными данными других авторов, а также с численными оценками, полученными при помощи метода дискретных вихрей.

Глава 2 посвящена феноменологическому математическому моделированию продольных нестационарных аэродинамических характеристик. Сначала дан обзор подходов к описанию нестационарных АДХ. Затем на основе анализа экспериментальных данных предлагается новый квазистационарный подход описания продольных силы и момента, включающий нелинейную зависимость по скорости тангажа, а также формулируется нелинейная нестационарная модель в рамках феноменологического подхода с дополнительными обыкновенными дифференциальными уравнениями для внутренних переменных. Далее он модифицирован с целью учёта гистерезиса статических характеристик. Применение модифицированного подхода демонстрируется на примере квазистатического и вынужденного гармонического движений профиля NACA0018.

В главе 3 определены параметры и проведена валидация трёх феноменологических математических моделей аэродинамики модели типичного пассажирского самолёта в продольном канале с разной степенью точности учитывающих запаздывание развития отрывного обтекания по данным динамических экспериментов в АДТ и сравнительный анализ результатов

моделирования. Далее рассматривается вопрос о применении данных численных расчётов (на примере профиля NACA 0015) и лётных данных (для современного магистрального самолёта) для определения параметров нестационарной модели с дополнительными обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В главе 4 проводится апробация разработанных феноменологических моделей продольных нестационарных АДХ на примере моделирования управляемого движения модели самолёта по тангажу в АДТ и продольных автоколебаний гипотетического магистрального самолёта.

В заключении приведены основные результаты работы и выводы.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Khrabrov A.N., Kravchenko (Alieva) D.A. Computational investigation of unsteady aerodynamic characteristics of a modern airliner. Proceedings of 29th ICAS. St. Petersburg, Russia. Paper No. ICAS2014_0442, 2014.

2. Кравченш (Алиева) Д. А. Математическое моделирование нестационарных аэродинамических характеристик модели магистрального самолета на основе экспериментальных данных. Материалы 13-ой международной конференции «Авиация и космонавтика - 2014», с. 637.

3. Кравченко (Алиева) Д.А. Расчётные методы вычисления аэродинамических производных демпфирования магистрального самолёта. Техника воздушного флота, том LXXXIX, №2, 2015, с.33.

4. Алиева Д.А., Гришин И.И., Колинько К.А., Храбров А.Н. Экспериментальное исследование нестационарных аэродинамических характеристик модели CRM. Материалы XXX научно-технической конференции по аэродинамике, 2019, с. 29.

5. Алиева Д.А., Гришин И.И., Колинько К.А., Свергун С.В., Сидорюк М.Е., Храбров А.Н. Исследования в АДТ нестационарных аэродинамических характеристик и алгоритмов управления на больших углах атаки с использованием динамически подобных управляемых моделей на шарнире свободных колебаний по тангажу. Труды ЦАГИ, выпуск №2785, 2019, с.92.

6. Алиева Д.А., Гришин И.И., Колинько К.А., Храбров А.Н. Комплексные экспериментальные исследования продольных аэродинамических характеристик модели CRM в Т-103 ЦАГИ. Учёные записки ЦАГИ, том L, № 5, 2019, с. 47-60.

7. Алиева Д.А. Математическое моделирование аэродинамического гистерезиса. Материалы международной конференции «Математическое моделирование - 2021», с. 89.

8. Алиева Д.А., Гришин И.И., Колинько К.А., Храбров А.Н., Шуховцов Д.В. Гистерезис и асимметрия аэродинамических характеристик при развитии отрыва потока на модели

самолёта с прямым крылом большого удлинения. Механика жидкости и газа, №6, 2022, с.36-42.

9. Алиева Д.А., Колинько К.А., Храбров А.Н. Гистерезис аэродинамических характеристик профиля NACA 0018 при малых дозвуковых скоростях. Теплофизика и аэромеханика, том 29, №1, 2022, с.1-15.

10. Алиева Д.А., Гришин И.И., Колинько К.А., Храбров А.Н. Экспериментальные исследования динамических производных модели CRM при малых дозвуковых скоростях. Учёные записки ЦАГИ, том LIV, №2, 2023, с .67-82.

11. Алиева Д.А., Гришин И.И., Колинько К.А., Храбров А.Н. Аэродинамические характеристики модели CRM при вынужденных колебаниях большой амплитуды и их математическое моделирование. Учёные записки ЦАГИ, том LIV, №5, 2023, с. 30-43.

12. Алиева Д.А., Абрамова К.А., Судаков В.Г., Храбров А.Н. Моделирование нестационарных аэродинамических характеристик профиля NACA0015 по данным численного расчета обтекания. Механика жидкости и газа, №2, 2024.

13. Д.А. Алиева, А.Н. Храбров. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2021662381. Программа VLM для расчёта аэродинамических производных летательных аппаратов, 27.07.2021.

14. Алиева Д.А., Храбров А.Н. Нестационарная аэродинамика самолётов. Москва: МФТИ, 2020, 182 с.

1 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК Динамические испытания в АДТ в настоящее время остаются наиболее надёжным средством для изучения нестационарных аэродинамических характеристик самолётов. В работе проведены экспериментальные исследования модели типичного пассажирского самолёта Common Research Model (CRM). Они включали как статические испытания и динамические эксперименты с вынужденными колебаниями, так и испытания нового типа с дистанционно управляемой динамически подобной моделью самолёта на шарнире. Полученные данные используются в работе для определения параметров математических моделей АДХ и их валидации. Модель CRM предназначена для тестирования разрабатываемого программного обеспечения, реализующего различные численные методы. Её геометрические данные, в том числе трёхмерная математическая модель поверхности, доступны в сети Интернет. Также имеются в открытом доступе экспериментально полученные в различных исследовательских центрах статические аэродинамические характеристики. Результаты, полученные в данной работе для модели CRM, расширяют имеющуюся базу данных на нестационарный случай, что актуально в связи с интенсивным развитием численных методов. Кроме того, они имеют самостоятельную ценность для исследования нелинейных свойств аэродинамических характеристик магистрального самолёта при движении на больших углах атаки. Результаты испытаний со свободными управляемыми движениями представляют собой дополнительный массив независимых данных для апробации математических моделей аэродинамики при моделировании свободного движения. Полученные экспериментальные данные составляют основу для определения параметров математических моделей аэродинамики, как традиционной, так и более сложных нелинейных моделей, пригодных для использования в широком диапазоне углов атаки.

Автор принимала личное участие в планировании, подготовке и проведении экспериментов, провела обработку и анализ данных, а также их сравнение с результатами других авторов для аналогичной модели [73], [74], которое впервые продемонстрировало адекватность получаемых экспериментальных данных для модели магистрального самолёта. В данной главе:

- кратко описаны динамические экспериментальные установки, реализующие вынужденные колебания модели с малой и большими амплитудами и её управляемое движение,

- представлены экспериментальные результаты для модели CRM.

1.1 Модель CRM

Тематическая модель типичного пассажирского самолёта CRM спроектирована агентством NASA для тестирования разрабатываемого программного обеспечения вычислительной аэродинамики [75]. С использованием открытых геометрических данных [76] в НТК НПЦ ЦАГИ была спроектирована и изготовлена [77] универсальная геометрически и динамически подобная модель (рисунок 1.1) для различных видов статических и динамических испытаний.

Модель CRM выполнена по нормальной схеме, имеет стреловидное крыло большого удлинения с элеронами. Она имеет следующие геометрические размеры. Площадь крыла £=0.16 м2, средняя аэродинамическая хорда (САХ) крыла ba=0.143 м, размах крыла /=1.2 м. Под крылом на пилонах располагаются съёмные проточные мотогондолы.

Рисунок 1.1- Общий вид модели CRM, спроектированной в ЦАГИ В варианте модели CRM, разработанном в ЦАГИ, кроме соответствия внешней геометрии имеющейся 3D модели, предусмотрено наличие органов управления по тангажу, крену и рысканию, необходимое для проведения экспериментов с управляемым движением в АДТ на шарнире. Горизонтальное оперение модели представляет собой переставной стабилизатор с дистанционно отклоняемым рулём высоты. Диапазон отклонения стабилизатора составляет фст=- 8-7°, руль высоты может отклоняться в диапазоне 5в= -35-30°. Вертикальное оперение -киль с рулём направления, который также может дистанционно отклоняться на величину 5н=-40 - 40°.

В средней части модели расположен отсек для размещения шарнирного подвеса, перед ним находится отсек для инерциальной измерительной системы, используемой при испытаниях с управляемыми движениями модели, в носовой части модели - аккумуляторный отсек (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Расположение внутренних отсеков модели CRM 1.2 Расчётные оценки аэродинамических производных

Традиционная математическая модель АДХ. Понятие аэродинамических производных

В общем виде аэродинамические силы и моменты, действующие на самолёт при произвольном неустановившемся движении, выражаются в виде функционалов от кинематических параметров q = f( а(т),Р(т),юх(т),юу (т),ю2 (т)),0 <т < t, где t - текущий

момент времени, параметров управления u = fu (бэ (t) ,5в (t) ,5н (t)), а также параметров подобия числа Маха (M), числа Рейнольдса (Re) и числа Струхаля (Sh), зависящих от режима полёта:

с, = F (q, u,M,Re,Sh),

m, = Fmt (q,u,M,Re,Sh), (1.1)

i = x, y, z.

Здесь a, P - углы атаки и скольжения; rnz, юх, Юу - скорости тангажа, крена и рыскания; V -поступательная скорость движения самолёта; x, y, z - индексы для проекций на оси связанной системы координат; 5В,5Н,53 - углы отклонения руля высоты, руля направления и элеронов соответственно. Предполагается, что самолёт имеет этот набор органов управления, типичный для магистральных самолётов, рассматриваемых в данной работе. В общем случае вид функционалов Fc и Fm не известен. Для решения задач динамики полёта необходимо построить математическую модель аэродинамических характеристик (АДХ), то есть представить выражения (11) в упрощённом виде.

Наиболее простой вид математическая модель приобретает при следующих предположениях.

1. Аэродинамические силы и моменты, действующие на самолёт, определяются только кинематическими и управляющими параметрами в данный момент времени (гипотеза стационарности), то есть предыстория движения не учитывается.

2. Кинематические параметры при движении мало изменяются относительно средних значений, а аэродинамический отклик самолёта на возмущения представляет собой аналитическую функцию, которая может быть разложена в ряд Тейлора около фиксированного значения а0. Тогда математическая модель (1.1) приобретает вид

п т

С = Си ( ао) +Х 1 с"к 5к >

7= к=1 (1.2)

п т

т = т о (ао) + 2 т я 7 + 2 т5 5 к >

7=1 к=1

где п - длина вектора т - длина вектора и. Коэффициенты этой модели при кинематических

параметрах называются аэродинамическими производными с^, т*1 и могут быть определены из

расчёта или эксперимента. Модель в виде (1.2) была впервые сформулирована

Брайаном в 1911 году [2].

Однако практика показала, что даже в линейной постановке следует учитывать влияние предыстории движения на величину аэродинамических характеристик. Если нестационарные движения достаточно медленные (число Струхаля БИ<0.1) [64], в предположении аналитической зависимости кинематических параметров от времени, их значение с учётом предыстории движения в каждый момент времени I может быть представлено в виде ряда Тейлора по текущему значению параметра и его производным по времени. Например, для угла атаки

а(т) = а(1) + (т-1)а(1) + 0.5(т-1;)2а(1;) + ....

Тогда величину нестационарного значения сил и моментов в текущий момент времени, ограничиваясь в линейном случае только первыми производными, можно приближённо представить в виде

(1.3)

<1 V / I '

1=1 1=1

С учётом влияния только значимых кинематических параметров, в предположении независимости продольного и бокового движения, математическая модель аэродинамических сил и моментов может быть записана в стандартном виде:

Су = су о ( а) + сау а + с^ юг + с;а + с"; 5в, т2 = тг0 (а) + та2а + ю2 + та2 а + 5В,

c = cßß + cf*юх + cfyS + cjjß + c®3S + cXHS ,

z zr z X z y zr z Э z h"

mx = mxßß + mïx юх + /и^ю, + mßß + wf3ô3 + msxHôH, (1.4)

my = mßß + mmy' юх + myyä>y + mßß + mj83 + ту"5н.

Черта сверху обозначает безразмерные параметры: fz = (özba / V, f =®xJ /2V,

d = dba!V, ß = ß//2V, где ba - средняя аэродинамическая хорда крыла, / - размах крыла. Такая

модель известна как традиционная математическая модель АДХ. Она широко применяется в задачах динамики полёта и даёт удовлетворительную точность моделирования сил и моментов в широком диапазоне режимов полёта [78], [79] при условии выполнения предположений о линейности зависимостей et, mt по кинематическим параметрам и квазистационарности движения.

Коэффициенты модели cay, cj, maz, mfz, ma, czß, m^, c^',y, mfy, m*yy, c\, mly ,

5 5 5 5 5 5

аэродинамические производные, и производные управления cy ,mzв, m* , mx3 , c*, cS - это

неизвестные параметры, которые нужно определить. С разной степенью точности они могут быть получены путём инженерных оценок, расчётов или экспериментально.

Расчёт аэродинамических производных методом дискретных вихрей

Приближённые расчётные методы для оценки аэродинамических характеристик в рамках традиционной математической модели являются важным инструментом на этапах предварительного проектирования самолёта в условиях ограниченной или меняющейся информации о геометрии компоновки, а также для экспресс-анализа данных при проведении динамического эксперимента. В рамках данной работы в инженерной вычислительной среде MatLab была создана программа [80], реализующая метод дискретных вихрей (МДВ) с использованием пластинчатой схематизации летательного аппарата. Этот простой вариант метода дискретных вихрей был выбран в виду того, что он позволяет получить адекватные предварительные оценки аэродинамических производных [81] и вместе с этим имеет преимущество скорости вычислений и простоты построения схематизированной геометрии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алиева Диана Александровна, 2024 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Теория крыла в нестационарном потоке. Некрасов А.И. Издательство академии наук СССР, 1947, 259 с.

2. Stability in Aviation. Byran G. H. MacMillan and Co., London, 1911, P.192.

3. Aircraft system identification. Theory and practice. Klein V., Morelli Eu. A. AIAA Education Series, AIAA Inc., Reston, Virginia, 2006, P. 485.

4. Sobron A., Lundstrom D., Krus P. A Review of Current Research in Subscale Flight Testing and Analysis of Its Main Practical Challenges. Aerospace, V. 8, No. 74, 2021.

5. Rotary-Balance Testing for Aircraft Dynamics. AGARD Advisory report No. 265, 1990.

6. Rajamurthy M.S. Generation of Comprehensive Longitudinal Aerodynamic Data Using Dynamic wind Tunnel Simulation// Journal of Aircraft, V. 34, No. 1, 1997.

7. Gatto A., Lowenberg M.H. Evaluation of a Three-Degree-of-Freedom Test Rig for Stability Derivative Estimation// Journal of Aircraft, V. 43, No. 6, 2006.

8. Cook M.V. On the use of small-scale aircraft models for dynamic wind tunnel investigation of stability and control// Transactions of the Institute of Measurement and Control, V.9, No. 4, 1987.

9. Pattinson J., Lowenberg M., Goman M. A Multi-Degree-of-Freedom Rig for the Wind Tunnel Determination of Dynamic data. AIAA Paper 2009-5727, 2009.

10. Жук А.Н., Колинько К.А., Миатов О.Л., Храбров А.Н. Методика исследования нестационарных аэродинамических характеристик на режимах отрывного обтекания при колебаниях с большими амплитудами. Учёные записки ЦАГИ, том XXVII, № 3-4, 1996.

11. Беговщиц В.Н., Колинько К.А., Миатов О.Л., Храбров А.Н. Использование метода линейной регрессии для обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента. Учёные записки ЦАГИ, том XXVII, № 3-4, 1996.

12. Жук А.Н., Колинько К.А., Храбров А.Н. Исследование нестационарных аэродинамических производных треугольного крыла при плоскопараллельных колебаниях. Учёные записки ЦАГИ, том XXXV, 2005.

13. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов/Под. ред. Бюшгенса Г.С. - М. Наука, Физматлит, 1998, 816 с.

14. Grishin I., Khrabrov A., Kolinko K., Sidoryuk M., Vyalkov A. Wind tunnel investigation of critical flight regimes using dynamically scaled actively controlled model in 3DOF gimbal. Proceedings of 29th ICAS. St. Petersburg, Russia, 2014-0415, 2014.

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Муханов Т.Г., Гришин И.И., Сидорюк М.Е., Храбров А.Н. Валидация законов управления на больших углах атаки с использованием динамической установки с тремя степенями свободы в аэродинамической трубе. Учёные записки ЦАГИ, том XXXV, 2022.

Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. Белоцерковский С.М. Наука, Москва, 1965, 242 с.

Белоцерковский С.М, Скрипач Б.К., Табачников В.Г., Крыло в нестационарном потоке газа. Наука, Москва, 1971, 767 с.

Белоцерковский С.М, Скрипач Б.К., Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. Наука, Москва, 1975, 424 с.

Vortex-Lattice Utilization. A workshop held at Langley Research Center, Hampton, Virginia, 1976, NASA-SP-405, P. 424.

Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Безотрывное и отрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью, Наука, Москва, 1978, 351 с.

Katz J., and Plotkin A., Low-Speed Aerodynamics: From Wing Theory to Panel Methods, McGraw-Hill, New York, 1991.

Magnus A. E., Epton M. A. PAN AIR-A Computer Program for Predicting Subsonic or Supersonic Linear Potential Flows about Arbitrary Configurations Using a Higher Order Panel Method. V. I, Theory Document (Version 1.0). NASA CR-3251, 1980.

Fornasier L. Linearized Potential Flow Analysis of Complex Aircraft Configurations by HISSS, a Higher-Order Panel Method. AIAA Paper 85-0281, 1985..

Maskew B. PROGRAM VSAERO-A Computer Program for Calculating the Non-Linear Aerodynamic Characteristics of Arbitrary Configurations, User's Manual. NASA CR-166476, 1982.

Mason W.H. Applied Computational Aerodynamics, VirginiaTech, 1997.

Srinivasan G. R., Ekaterinaris J. A., McCroskey W. J. Evaluation of Turbulence Models for Unsteady Flows of an Oscillating Airfoil// Computers & Fluids. V. 24, No 7, 1995, P. 833-861. Ekaterinaris J. A., Platzer M. F. Computational Prediction of Airfoil Dynamic Stall, S0376-0421(97)00012-2// Progress in Aerospace Sciences. V. 33, 1997, P. 759-846.

Wang S., Ingham D. B., Ma L., Pourkashanian M., Tao Z. Turbulence modeling of deep dynamic stall at relatively low Reynolds number // Journal of Fluids and Structures. V. 33, 2012, P. 191209.

Luchtenbur D.M., Rowley C.W., Lohry M.W., Martinelli L., Stengel R. F. Unsteady high-angle-of-attack aerodynamic models of a Generic Jet Transport/Journal of Aircraft. V.52, No. 3, 2015.

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

Karas O., Kovalev V. Fast CFD algorithms for steady and unsteady problems of practical aerodynamics. 11th ONERA-TSAGI seminar Advanced Research in Aeronautics. St.Petersburg, Russia, 2012.

Mialon B., Khrabrov A., BenKhelil S., Huebner A., Da Ronch A. et al. Validation of numerical prediction of dynamic derivatives: The DLR-F12 and the Transcruiser test cases.//Progress in Aerospace Sciences. V.47, No. 8, 2011, P. 674-694.

Ekaterinaris J. A. Numerical Investigation of Dynamic Stall of an Oscillating Wing // AIAA Journal. V. 33, No. 10, 1995, P. 1803-1808.

Barakos G. N., Drikakis D. Computational Study of Unsteady Turbulent Flows Around Oscillating and Ramping Aerofoils // International Journal for Numerical Methods in Fluids, V. 42, P. 163-186, 2003.

Murphy P., Klein V., Frink T. Nonlinear unsteady aerodynamic modelling using wing tunnel and computational data // AIAA Paper, 2016-1042, 2016.

Murphy P. C., Frink N.T., McMillin S.N., Gautam H.S. Unsteady model estimation for generic T-Tail transport aircraft using computational data. AIAA SciTech Forum, 2019.

Tobak M., Shiff L.B. On the formulation of aerodynamic characteristics in aircraft dynamics, NASA TR R-456, 1976.

Tobak M., Chapman G.T., Shiff L.B. Mathematical modeling of the aerodynamic characteristics in flight mechanics. Proceedings of the Berkley-Aimes conference on nonlinear problems in control and fluid dynamics. Math Sci press, Brookline, MA, 1985, P.43.

Tobak M., Unal A. Bifurcations in unsteady aerodynamics. NASA TM-88316, 1986..

Reisenthel P.H. Development of a nonlinear indicial model for maneuvering fighter aircraft, AIAA 96-0896, 1996.

Murphy P. C., Klein V., Frink N.T. Unsteady Aerodynamic Modeling in Roll for the NASA Generic Transport Model. AIAA 2012-4652, 2012.

Reisenthel P.H. Bettencourt M.T., Myatt J.H., Grismer D.S. A nonlinear indicial prediction tool for unsteady aerodynamic modelling. AIAA 98-4350, 1998.

Leishman, J.G. and Nguyen, K.Q., State-Space Representation of Unsteady Airfoil Behavior, AIAA Journal. V. 28, No. 5, 1990, P. 836-844.

Goman M.G., Khrabrov A.N. State-Space representation of aerodynamic characteristics of an aircraft at high angles of attack// Journal of Aircraft. V. 31, No. 5, 1994, P. 1109-1115.

Fan Y., and Lutze F.H. Identification of an unsteady aerodynamic model at high angles of attack, AIAA-96-3407-CP, 1996.

45. Fishenberg D. Identification of an Unsteady Aerodynamic Stall Model from Flight Test Data. AIAA Paper 95-3438-P, 1995.

46. Abramov N., Vinogradov Y.A., Khrabrov A.N. Mathematical modelling of aircraft unsteady aerodynamics at high incidence with account of wing-tail interaction, AIAA 2004-5278, 2004.

47. Jategaonkar R., Fischenberg D., Gruenhagen W. Aerodynamic Modeling and System identification from Flight Data-Recent Applications at DLR// Journal of aircraft, V. 41, No. 4, 2004.

48. Jacobs E.N. The aerodynamic characteristics of eight very thick airfoils from tests in the variable density wind tunnel // NACA Report No. 391, 1932, P.12.

49. Hoffmann J.A. Effects of freestream turbulence on the performance characteristics of an airfoil// AIAA J. V. 29, No. 9, 1991, P. 1353-1354.

50. Караваев Э.А., Прудников Ю.А., Часовников Е.А. Особенности формирования статического гистерезиса аэродинамических характеристик прямоугольного крыла// Учёные записки ЦАГИ, том XVII, №6, 1986.

51. Курьянов А.И., Столяров Г.И., Штейнберг Р.И. О гистерезисе аэродинамических характеристик // Учёные записки ЦАГИ, 1979. Т. 10, № 3, с. 12-15.

52. Wiliams D.R., Reissner F., Greenblatt D., Muller-Vahl H., Strangfeld C. Modeling lift hysteresis on pitching airfoils with a modified Goman-Khrabrov model // AIAA J, V. 55, No. 2, 1999, P. 403-409.

53. Yang Z., Igarashi H., Martin M., Hu H. An experimental investigation on aerodynamic hysteresis of a low-Reynolds number airfoil // AIAA Paper. No. 2008-315, 2008, P. 1-11.

54. Mittal S., Saxena P. Prediction of hysteresis associated with the static stall of an airfoil//AIAA J. V. 38, No. 5, 2000, P. 933-935.

55. Sereez M., Abramov N., Goman M. Prediction of static aerodynamic hysteresis on a thin airfoil using OpenFOAM // J. Aircraft. V. 58, No. 2, 2021, P. 374-392.

56. Жук А.Н., Колинько К.А., Миатов О.Л., Храбров А.Н. Экспериментальные исследования нестационарных характеристик изолированных крыльев в условиях срыва потока. Препринт № 86, М.: Издательский отдел ЦАГИ, 1997.

57. Алиева Д.А., Гришин И.И., Колинько К.А., Храбров А.Н., Шуховцов Д.В. . Гистерезис и асимметрия аэродинамических характеристик при развитии отрыва потока на модели самолёта с прямым крылом большого удлинения. Известия РАН, МЖГ, № 6, 2022, с.36-42.

58. Воеводин А. В., Судаков В. Г. Статический гистерезис аэродинамических характеристик самолёта на посадочном режиме. Известия РАН, МЖГ, № 4, 2018, с. 68-74.

59. Abramov N.B., Goman M.G., Khrabrov A.N., Kolinko K.A. Simple wings unsteady aerodynamics at high angles of attack: experimental and modeling results// AIAA Paper. No. 299-2013, 2013.

60. Wiliams D.R., Reissner F., Greenblatt D., Muller-Vahl H., Strangfeld C. Modeling lift hysteresis on pitching airfoils with a modified Goman-Khrabrov model // AIAA J. V. 55, No. 2, 2017, P. 403-409.

61. Gupta N. K., Iliff K. W. Identification of Aerodynamic Indicial Functions Using Flight Test Data. AIAA Paper 1982-1375, 1982.

62. Brandon J. M., Morelli E.A. Real-time onboard global nonlinear aerodynamic modeling from flight data // AIAA 2014-2554, 2014.

63. Frink N.T., Murphy P.C., Atkins H.L., Viken S.A., Petrilli J. L., Gopalarathnam A. Paul R.C. Status of computational aerodynamic modeling tools for aircraft loss-of-control.// Journal of Guidance and Control, 2016.

64. Greenwell D.I. A review of unsteady aerodynamic modeling for flight dynamics of maneuverable aircraft//AIAA 2004-5276, 2004.

65. Myatt J.H., Schumacher C.J., McKeehen P.D., Buffington J.M. Modelling and simulation of unsteady aerodynamics effects on tailless aircraft//AIAA-98-4455, 1998.

66. Nguyen D.H., Goman M.G., Lowenberg M.H., Neild S.A. Evaluating unsteady aerodynamic effects in stall region for a T-Tail transport model//AIAA 2022-1932, 2022.

67. Cunningham K., Shah G.H., Hill M.A., Pickering B.P., Litt J.S., Norin S B. A Generic T-tail Transport Airplane Simulation for high-angle-of-attack dynamics modeling investigations//AIAA 2018-1168, 2018.

68. Аэродинамика неустановившихся движений. Труды ЦАГИ, выпуск 2290, сборник статей, 1985.

69. Погодаев А.А., Святодух В.К. Математическое описание нестационарных нелинейных аэродинамических характеристик для задач динамики полёта. Труды ЦАГИ, выпуск 2449, 1989.

70. Гоман М.Г., Столяров Г.И., Тартышников С.Л., Усольцев С.П., Храбров А.Н. Описание продольных аэродинамических характеристик самолёта на больших углах атаки с учётом динамических эффектов отрывного обтекания. Препринт ЦАГИ №7, 1990.

71. Кузьмин П.В., Мелешин Б.А., Шелюхин Ю.Ф., Шуховцов Д.В. Инженерная модель нестационарных продольных аэродинамических характеристик на больших углах атаки// Ученые записки ЦАГИ, том XLVI, № 4, 2015, с. 61-70.

72. Kuzmin P.V., Surkov N.A., Shelyukhin Y.F. Mathematical model of commercial airplane dynamics at stall. ICAS, Brazil, 2018.

73. LangYubiao. CRM-model Low Speed Wind Tunnel Testing Research. TsAGI-CARDC 2nd symposium on fundamental and applied aerodynamics. Russia, Nov. 27-28, 2018.

74. Fei Cen, Qing Li, Zhitao Liu, Lei Zhang, Yong Jiang. Post-stall flight dynamics of commercial transport aircraft configuration: A nonlinear bifurcation analysis and validation// J. Aerospace Engineering, V. 235, No. 3, 2021.

75. Vassberg J., Dehaan M.A., Rivers S.M., et al. Development of a common research model for applied CFD validation studies. AIAA Paper 2008-6919, 2008.

76. https:/commonresearchmodel.larc.nasa.gov/geometry/.

77. Бондарев А. О., Евдокимов Ю.Ю., Трифонов И.В., Усов А.В., Храбров А.Н. Комбинированная динамически подобная аэродинамическая модель пассажирского самолёта// Труды ЦАГИ, № 2768, 2018, с.6.

78. Бюшгенс С.Г., Студнев Р.В. Аэродинамика самолёта. Динамика продольного и бокового движения. М.: Машиностроение, 1979, 352 с.

79. Etkin B. Dynamics of atmospheric flight, John Wiley&Sons, Inc., N.Y., 1972.

80. Алиева Д.А., Храбров А.Н. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2021662381. Программа VLM для расчёта аэродинамических производных летательных аппаратов, 27.07.2021.

81. Mialon B. , Khrabrov A., Da Ronch A., Badcock K., Cavagna L., Eliasson P., Zhang M., Ricci S., Huebner A., Khelil S.B., Jouhaud J-C, Rogé J., Hitzel S., Lahuta M. Validation of numerical prediction of dynamic derivatives: two test cases// Progress in Aeropace Science.

82. А.Н. Храбров. Оценка вращательных производных крыла большого удлинения при начале отрыва потока для натурных чисел Рейнольдса. Учёные Записки ЦАГИ, 2007, т. XXXVIII, № 3-4, с. 128-134.

83. Жук А.Н., Колинько К.А., Миатов О.Л., Храбров А.Н. Исследование нелинейных аэродинамических характеристик при непрерывном движении треугольного крыла. Учёные записки ЦАГИ, том XXXV, № 1-2, 2004.

84. Дрейпер Н.Р., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Издательский дом «Вильямс», 2007, 912 с.

85. Алиева ДА., Гришин И.И., Колинько К.А., Храбров А.Н. Комплексные экспериментальные исследования продольных аэродинамических характеристик модели CRM в Т-103 ЦАГИ. Учёные записки ЦАГИ, том L, № 5, 2019, с. 47-59.

86. Klein V. and Noderer K.D., Modelling of Aircraft Unsteady Aerodynamic Characteristics: Part 1 - Postulated Models, NASA TM-109120, May 1994.

87. Abramov N.B., Goman M.G., Greenwell D.I., Khrabrov A.N. Two-step linear regression method for identification of high incidence unsteady model, AIAA-01-4080, 2001.

88. Chin, S., Lan, E., Fourier Functional Analysis for Unsteady Aerodynamic Modeling, AIAA Journal, V. 30, № 9, September 1992.

89. Bommanahal M., Goman M. Nonlinear Unsteady Aerodynamic Modeling by Volterra Variational Approach, AIAA 2012-4654, 2012.

90. Greenwell D.I., Frequency effects on dynamic stability derivatives obtained from small-amplitude oscillatory testing// Journal of Aircraft.1998. V. 35, №. 5, pp. 776 - 783..

91. Головкин М.А., Горбань В.П., Самусева Ю.В., Ефремов А.А. Гистерезис положения разрушения вихрей при нестационарном движении треугольного крыла. Учёные записки ЦАГИ. № 2319, 1986, с.3 - 43.

92. Jumper E. J., Schreck S. J., Dimmick R. L., Lift-Curve Characteristics for an Airfoil Pitching at Constant Rate, Journal of Aircraft, 1987, V. 24, № 10, pp. 680-687.

93. Абрамов Н. Бифуркации в модели аэродинамического гистерезиса. Труды МФТИ, 1997.

94. Fan, Y., and Lutze, F.H. Unsteady Aerodynamic Characteristics of an Aircraft in Harmonic Pitch Oscillations, Paper AIAA-98-4457, 1998.

95. Fan, Y., and Lutze, F.H., Multiaxis Unsteady Aerodynamic Characteristics of an Aircraft, Paper 99-4011, 1999.

96. Гуревич М.Л. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979..

97. Polhamus E.C. Predictions of vortex-lift characteristics by a leading edge suction analogy/Journal of Aircraft, V.8, N.4, 1971.

98. Fan Y., and Lutze F.H. Identification of an unsteady aerodynamic model at high angles of attack, AIAA-96-3407-CP, 1996.

99. Pashilkar A., Pradeep S. Unsteady aerodynamic modelling using multivariate orthogonal polynomials, AIAA-99-4014-CP, 1999.

100. Myatt, J.H. Multiple Time-Scale Effects for a Pitching 65° Delta Wing, Paper 98-4354, AIAA Atmosperic Flight Mechanics Conference, 1998.

101. Goman M.G., Greenwell D.I., Khrabrov A.N. The characteristic time constant approach for mathematical modelling of high angle of attack aerodynamics. ICAS congress, 2000.

102. Алиева Д.А., Колинько К.А., Храбров А.Н. Гистерезис аэродинамических характеристик профиля NACA 0018 при малых дозвуковых скоростях. Теплофизика и аэромеханика, том 29, № 1, 2022.

103. Абрамова К.А., Алиева Д.А., Судаков В.Г., Храбров А.Н. Моделирование нестационарных аэродинамических характеристик профиля NACA0015 по данным численного расчёта обтекания. Известия РАН, МЖГ, №2, 2024.

104. Piziali R. A. An experimental investigation of 2D and 3D oscillating wing aerodynamics for a range of angle of attack including stall // NASA Technical Memorandum 4632 -1993, 1993.

105. Khrabrov A., Ol M. Effects of flow separation on aerodynamic loads in linearized thin airfoil theory // Journal of Aircraft, V. 41, No. 4, 2004.

106. Flight vehicle system identification. A time domain methodology. Jategaonkar R.V. AIAA, Inc., Reston, Virginia, V. 216, 2013. Progress in astronautics and aeronautics, P. 553.

107. Klein V., Morelli Eu. Aircraft system identification. Theory and practice. AIAA Education Series, ISBN 1-56347-832-3, 2006.