Приложение теории двойственности к моделям потокораспределения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Епифанов, Сергей Петрович

• Епифанов, Сергей Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Епифанов, Сергей Петрович

Введение.

Глава 1. Модели и методы решения задач потокораспределения.

Краткий обзор истории создания и развития теории и методов решения задачи потокораспределения

1.2. Терминология и основные понятия в ТГЦ.

1.3. Модель потокораспределения в виде «контурной» системы

1.4. Метод контурных расходов.

1.5. Метод узловых давлений.

1.6. Симметрия методов контурных расходов и узловых давлений

1.7. Формы модели потокораспределения в виде оптимизационных задач.

Глава 2. Представление модели потокораспределения в виде задач оптимизации

2.1. Класс функций, обеспечивающий существование и единственность решения задач потокораспределения.

2.2. Взаимно двойственные задачи оптимизации и эквивалентная им система уравнений.

2.3. Самосопряженная задача оптимизации.

2.4. Связь исходной и двойственной задач оптимизации с методами контурных расходов и узловых давлений.

2.5. Модификации системы уравнений.

2.6. Задачи безусловной оптимизации.

2.7. Задачи потокораспределения со смешанными исходными данными.

Глава 3. Метод решения задач потокораспределения в форме системы уравнений

3.1. Метод квазиквадратичной аппроксимации для отыскания решений системы нелинейных уравнений.

3.2. Применение метода квазиквадратичной аппроксимации для решения задач потокораспределения.'

3.3. Анализ свойств решения задачи потокораспределения.

3.4. Определение ортогональных составляющих вектора расходов задачи потокораспределения.

3.5. Проекция решения задачи потокораспределения хЁ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приложение теории двойственности к моделям потокораспределения»

Актуальность проблемы

Многие природные, технические и социально-экономические процессы описываются оптимизационными моделями на поиск экстремума некоторой целевой функции при ограничениях в виде равенств, неравенств и включений на переменные. Существует даже точка зрения, восходящая к П.Ферма и Л.Эйлеру, что все физические процессы могут быть описаны экстремальными моделями. Особенно интенсивное развитие теории и методов оптимизации началось после создания ЭВМ во второй половине XX века, в том числе в работах крупных российских математиков (Н.Н. Моисеева [47], И.И. Еремина [23, 24], Ф.П. Васильева [7], В.А. Булавского [5], Б.Т. Поляка [51], Д.Б. Юдина [68], В.П. Булатова [6], Ю.Г. Евтушенко [19] и др.).

Важной составляющей исследований в области оптимизации является теория двойственности. Для широкого класса задач оптимизации, в том числе выпуклого программирования, применяются специальные конструкции - двойственные задачи оптимизации. Они используются для доказательства оптимальности полученного решения, для анализа его устойчивости к варьированию исходных данных, при физической или экономической интерпретации задач, для теоретического обоснования и разработки новых алгоритмов решения задач математического программирования.

Начало формирования теории двойственности для задач оптимизации с ограничениями-равенствами восходит к Ж.Л. Лагранжу. Важным этапом было создание теории двойственности для задач линейного программирования Л.В. Канторовичем [32], Дж.фон Нейманом [73], Дж. Данцигом [12] и затем для задач нелинейного программирования Г.В. Куном, А.У. Таккером [38], Е.Г. Гольштейном [11] и рядом других зарубежных и российских математиков. Идейной основой теории двойственности линейного (и на базе этого нелинейного) программирования можно рассматривать свойства ортогональных подпространств, порождаемых матрицей ограничений (ядро и область значений транспонированной матрицы), а также теоремы об альтернативных системах линейных неравенств, развиваемые с конца XIX века в работах П. Гордана, Г. Минковского [72], И. Фаркаша [71], Н.Н. Черникова [65], И.И. Еремина и Н.Н. Астафьева [23]. Интересные новые результаты по практическому приложению теорем об альтернативных системах линейных неравенств получены в последнее время А.И. Голиковым и Ю.Г. Евтушенко [9, Ю].

Вид двойственной задачи зависит от вида исходной задачи и правил формирования двойственной задачи. Возможен случай, когда двойственная задача к двойственной совпадает с исходной задачей оптимизации. Этот случай будем называть симметричной двойственностью. Известно, что симметричная двойственность имеет место для задач линейного программирования и, в некоторых случаях, для задач квадратичного программирования. Симметричная двойственность для задач оптимизации дифференцируемых выпуклых функций при линейных ограничениях исследовалась в работах В.И. Зоркальцева, в том числе совместных с автором данной диссертации.

Основная задача данной диссертационной работы состоит в изучении возможности использования свойств симметричной двойственности для развития теории и методов гидравлических цепей.

Во многих отраслях народного хозяйства, в том числе энергетике и коммунальном хозяйстве, применяются трубопроводные и гидравлические системы, обеспечивающие транспортировку и подачу потребителям воды, тепла, газа, нефти и пр. Элементами таких систем могут быть трубопроводы, каналы, насосные, компрессорные и дросселирующие станции, аккумулирующие емкости и разнообразные регулирующие устройства. Создание, развитие, реконструкция таких систем и управление ими, имеющими десятки тысяч элементов, предполагают проведение многократных расчетов - решения задач потокораспределения, для определения гидравлических параметров, характеризующих распределение расходов и давления во всех элементах системы.

Математическое моделирование потокораспределения в трубопроводных системах основано на аналогах физических законов для электрических цепей, и имеет с ними много общих методов и алгоритмов решения задач потокораспределения. Изучение распределения тока (постоянного) в электрических цепях начиналось с работ Г. Ома, Г. Кирхгофа [34, 35], Д.К. Максвелла [42], Г. Гельм-гольца.

Задачи потокораспределения имеют более чем 100-летнюю историю. Первые публикации по отдельным вопросам расчета систем стали появляться уже в конце XIX века. Методика расчета потокораспределения (отличная от ранее применявшегося метода перебора), которая основана на решении системы нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона, впервые была предложена, практически одновременно и независимо, в работах М.М. Андриа-шева [1], В.Г. Лобачева [39] и X. Кросса [69]. В последующем появилось много работ, посвященных усовершенствованию и обоснованию предложенных методов.

Основными направлениями исследований в период 1940 -1970 гг. были разработка и совершенствование эффективных и надежных алгоритмов решения задач потокораспределения. Значительное место в исследованиях занимало изучение свойств существующих методов и алгоритмов. Большой вклад в разработку этих вопросов внесли: Н.Н. Абрамов [2], В.Я. Хасилев [61-63], А.П. Ме-ренков [43-45], С.В. Сумароков [58],Е.Р. Ставровский, М.Г. Сухарев [58, 59], А.Г. Евдокимов, А.Д. Тевяшев [16, 17], Б.Н. Пшеничный [53-55], Б.М. Каганович [31], Е.В. Сеннова, В.Г. Сидлер [57], Н.Н. Новицкий [50], А.Г. Коваленко [36] и многие другие.

Важной особенностью задач потокораспределения является то, что они являются неотъемлемой частью практически всех задач, связанных с проектированием, развитием и функционированием трубопроводных систем. Так, в одних задачах они являются начальным этапом дальнейших исследований, в других - промежуточным этапом, к которому по ходу решения задачи обращаются многократно, а в задачах третьего типа решением задачи потокораспределения завершаются исследования.

В средине 60-х годов XX века в работах В.Я. Хасилева и А.П. Меренкова [46, 62] были сформированы основы теории гидравлических цепей (ТГЦ), в которой изучаются задачи, общие для произвольных трубопроводных и гидравлических систем. За этот период было предложено два подхода к описанию потокораспределения в системах, каждый из которых имеет свои методы и многочисленные алгоритмы. В теории гидравлических цепей эти подходы принято называть алгебраическим (в виде системы уравнений) и экстремальным (в виде задач оптимизации). Отличительной особенностью рассматриваемых оптимизационных задач является их выпуклость, что обуславливает возможности описания задач потокораспределения в виде взаимно двойственных задач оптимизации. Одна из оптимизационных задач (исходная) исследовалась ранее в нескольких работах [17, 46], в то время как другая (двойственная) задача практически не исследовалась до недавнего времени.

Хотя задачи потокораспределения изучались на протяжении длительного времени, но некоторые свойства этих задач до настоящего времени глубоко не изучались и не использовались в полной мере. Так, давно известное равенство нулевой матрице произведения матриц инцидентности узлов и ветвей ориентированного графа и транспонированной матрицы инцидентности контуров и ветвей этого же графа, использовалось только для получения «контурного» преобразования переменных. Изучению свойств решения задач потокораспределения - вектора расходов и потерь давления на ветвях, связанных с разложением их на ортогональные составляющие, внимания не уделялось.

Важным является исследование свойств задачи потокораспределения, таких как условия существования и единственности решения, исследование устойчивости решения к возмущению входных данных. В работе проводится математически строгое исследование основных (к настоящему времени) методов, а также математических свойств решения задачи потокораспределения. Кроме того, исследуется связь и свойства различных постановок задачи потокораспределения.

Цели работы заключаются в следующем.

1. Изучение свойств модели и методов расчета потокораспределения, связанных с ортогональными подпространствами, порождаемыми матрицей инцидентности узлов и ветвей гидравлической цепи.

2. Исследование на базе симметричной двойственности в оптимизации различных постановок задач потокораспределения.

Основные результаты, составляющие научную новизну и выносимые на защиту.

1. Установлена симметрия двух основных, к настоящему времени, методов решения задач потокораспределения - контурных расходов и узловых давлений. Показано, что эта симметрия является следствием ортогональности подпространств, связанных с матрицей инцидентности узлов и ветвей, которая участвует в описании модели потокораспределения.

2. Расширены возможности описания модели потокораспределения в виде системы уравнений. Показано, что вместо матрицы инцидентности контуров и ветвей, использующейся при описании аналога II закона Кирхгофа, можно использовать любую матрицу полного ранга, произведение которой на транспонированную матрицу инцидентности ветвей и узлов равно нулевой матрице.

3. Доказаны существование и единственность решения задач потокораспределения в различных постановках для класса функций (задающих зависимость потери давления от расхода по ветви), который существенно шире ранее использовавшегося в работах по теории гидравлических цепей.

4. На основе теории двойственности приведены новые формулировки классической задачи потокораспределения в виде двойственной и самосопряженной задач оптимизации. На базе самосопряженной задачи оптимизации дана энергетическая интерпретация потокораспределения для общего случая.

5. На основе оптимизационных задач дано теоретическое обоснование задач потокораспределения при смешанных граничных условиях.

Теоретическая и практическая значимость

1. Расширены возможности использования модели потокораспределения в классической постановке. В диссертации введен и теоретически обоснован класс функций, использование которых гарантирует существование и единственность решения задачи потокораспределения. Введенный класс функций существенно шире ранее известного класса функций.

2. Полученные в диссертации результаты теоретических исследований позволяют значительно расширить набор алгоритмов, которые могут применяться для решения классической задачи потокораспределения. При этом показана возможность редукции исходной и двойственной задач оптимизации к проблеме безусловной оптимизации выпуклых функций. Это позволяет решать классическую задачу потокораспределения любым из имеющихся методов безусловной оптимизации.

3. Разработана теоретическая база для использования новых постановок задач потокораспределения со смешанными граничными условиями.

4. Предложен метод квазиквадратичной аппроксимации для отыскания решений системы нелинейных уравнений, позволяющий эффективно решать задачи потокораспределения.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: VIII всероссийском научном семинаре «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Вышний Волочек, 2002), всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004), III всероссийской конференции «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2004), IX всероссийском семинаре «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Минск, 2004), XIII Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобай-кальск, 2005), III всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2006), математическом семинаре ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 2004, 2005).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Епифанов, Сергей Петрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы.

1. Рассмотрены различные формы представления модели потокораспределения, в том числе и ранее не рассматривавшиеся -как в виде систем нелинейных уравнений, так и виде задач оптимизации; показана их связь между собой, а также возможность сведения одной задачи в другую. Из возможности сведения одной задачи в другую не вытекает, что достаточно рассматривать только одну из них. Важно определить условия, при выполнении которых эффективно решать каждую из них.

2. Показано, что два основных, к настоящему времени, метода решения задач потокораспределения - контурных расходов и узловых давлений, имеют в точности совпадающую структуру. Они отличаются только физическими величинами, которые используются при реализации методов. Иначе, симметрия этих методов понимается в том смысле, что оба метода имеют одну и туже последовательность одинаковых операций, но «величины» (матрицы и векторы), участвующие при описании этих методов имеют разный физический и геометрический смысл. Эта симметрия является следствием ортогональности подпространств, порождаемых матрицей инцидентности узлов и ветвей, участвующей в описании модели потокораспределения.

3. Расширены возможности описания потокораспределения в виде системы уравнений. Показано, что вместо матрицы инцидентности контуров и ветвей, использующейся при описании аналога второго закона Кирхгофа, можно использовать любую матрицу полного ранга, произведение которой на транспонированную матрицу инцидентности узлов и ветвей равно нулевой матрице.

4. Продемонстрирована возможность описания модели потокораспределения без использования матрицы инцидентности узлов и ветвей гидравлической цепи, с применением только матрицы инцидентности контуров и ветвей. Такая модель эффективна при моделировании систем, имеющих число контуров значительно меньше числа узлов графа гидравлической цепи.

5. Введен класс функций, задающих зависимость потери давления от расхода, принадлежность которому обеспечивает существование и единственность решения задачи потокораспределения. Этот класс функций шире ранее использовавшегося класса функций при описании моделей потокораспределения.

6. Для введенного класса функций доказаны теоремы существования и единственности решения задач в виде систем нелинейных уравнений и задач оптимизации. Частным случаем этих задач являются задачи потокораспределсн ия.

7. На базе самосопряженной задачи оптимизации дана энергетическая интерпретация потокораспределения в системе.

8. Продемонстрирована возможность сведения задач потокораспределения в форме оптимизационных задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации.

9. Предложен метод квазиквадратичной аппроксимации для решения систем нелинейных уравнений. Рассмотрены модификации методов контурных расходов ь узловых давлений, которые в указанном выше смысле симметрии им, т.е. структура этих методов совпадает. Обе рассмотренные модификации метода квазиквадратичной аппроксимации эффективны п.; и решении задач потокораспределения. Объем вычислений при использовании этих модификаций при решении задач потокораспределения меньше чем при использовании методов контурных расходов и узловых давлений.

10. Рассмотрено разложение решения задачи потокораспределения (вектора расходов) на ортогональные составляющие и изучены их основные свойства каждом составляющей этого разложения.

Возможные направление дальнейших исследований.

На основе полученных в диссертационной работе результатов представляется важным во пер;;их доказать теоремы существования и единственности задач потокораспределения, в которых исходными данными могут быть не только расходы и давление в узлах, но и расходы на ветвях гидравлической цепи. При этом необходимо получить условия формирован,. : исходных данных, при выполнении которых задача потокораспределения будет разрешима.

Вторым направлением дальнейших исследований может быть доказательство теоремы локальной сходимости предложенного в работе метода квазиквадратичной аппроксимации решения системы нелинейных уравнений. Кроме того, целесообразно исследовать различные модификации этого метода с теоретическим обоснованием, а также выполнить широкое тестирование метода на различных классах задач.

Третье возможное направление исследований - распространить полученные теоретические результаты на более сложные классы моделей потокораспределения е неременными и распределенными параметрами.

Представляется важным гчзести класс функций замыкающего соотношения, функции которого не являются монотонно возрастающими (такие зависимости иегречаются на практике), и провести, аналогично проведенному в работе, исследование по обоснованию существования решения задами потокораспределения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Епифанов, Сергей Петрович, 2006 год

1. Андриашев М.М. Техника расчета водопроводной сети. М.: Сов. Законодательство, 1932. - 62 с.

2. Абрамов Н.Н. Теория и методика расчета систем подачи и распределения воды. М.: Стройиздат, 1972. - 288 с.

3. Арутюнов А.В. Выпуклые свойства преобразования Лежандра // Матем. заметки. 1980.-Т. 28. - № 2.

4. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 416 с.

5. Булавский В.А., Рубинштейн Г.Ш. О решении задачи выпуклого программирования с линейными ограничениями методом последовательного улучшения допустимого вектора, ДАН СССР 150.-№2 (1963).-С. 231.

6. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977. - 158 с.

7. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. - 824 с.

8. Васильченко М.П. Расчет кольцевых водопроводных сетей с учетом взаимного влияния колец. // Водоснабжение и санитарная техника. 1965. - № 5. - С. 21 - 24.

9. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Двойственный подход к решению систем линейных неравенств // Труды XII Байкальской ме-ждунар. конф. «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск: ИГУ, 2001.-С. 91-99.

10. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Теоремы об альтернативах и их применения в численных методах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. - Т. 43. - № 3. - С. 354 - 376.

11. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971 - 351 с.

12. Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966. - 600 с.

13. Деннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-440 е., ил.

14. Дикин И.И., Попова О.М., Епифанов С.П. Применение методов вспомогательных функций и внутренних точек при расчетах потокораспределения в гидравлических системах. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. 26 е.- Препринт № 10.

15. Евдокимов А.Г. Оптимальные задачи на инженерных сетях-Харьков: Вища шк., 1976,- 153 с.

16. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д., Дубровский В.В. Моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях. -М.: Стройиздат, 1990.-368 с.

17. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д. Оперативное управление пото-кораспределением в инженерных сетях. Харьков: Вища шк., 1980.- 144 с.

18. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

19. Епифанов С.П. Экстремальный подход к задачам потокораспределения с использованием проектирования.// III Всероссийскаяконференция «Математика, информатика, управление», Иркутск, 29 июня -1 июля 2004г. С. 6,

20. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. -М.: Наука, 1976. 192 с.

21. Еремин И.И. Теория линейной оптимизации. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1998. - 247 с.

22. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967.

23. Зоркальцев В.И. Симметричная двойственность в оптимизации при сепарабельных целевых функциях. // Оптимизация, управление, интеллект 2005: - 1 (9). - С. 72 - 83.

24. Зоркальцев В.И. Симметричная двойственность. Приложения к моделям электрических и гидравлических цепей. Иркутск: ИСЭМ СО РАН 2004. 41 с. - Препринт. - № 6.

25. Зоркальцев В.И., Хамисов О.В. Равновесные модели в экономике и энергетике. Новосибирск: Наука, 2006. - 221 с.

26. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. ФИЗМАТ ЛИТ, 2005. - 304 с.

27. Ильин В.Г. Расчет совместной работы насосов, водопроводных сетей и резервуаров. Стройиздат УССР, Киев, 1963. -136 с.

28. Каганович Б.М., Меренков А.П., Балышев О.А. Элементы теории гетерогенных гидравлических цепей. Новосибирск: Наука. Сиб. Предприятие РАН, 1997. - 120 с.

29. Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

30. Кирсанов М.В. Экономический расчет водопроводных сетей. -М.: Минкомхоз РСФСР, 1949. 148 с.

31. Кирхгоф Г. О прохождении электрического тока через плоскую пластину, например, круглой формы // Избр. труды. М.: Наука, 1948.-С. 155-165.

32. Кирхгоф Г. О применении формул для силы гальванического тока в системе линейных проводников к системе, частично состоящей из нелинейных проводников // Избр. труды. М.: Наука, 1948.-С. 178-189.

33. Коваленко А.Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка // Экономика и математические методы 1999. -Т. 35. -№ 3 - С. 108-115.

34. Кузьмин B.C. Новый метод расчета гидравлических сетей с применением электронно-вычислительных машин. В сб.: «Труды АКХК», вып. XXXIV. ОНТИ АКХ МКХ РСФСР, 1965.

35. Линейные неравенства и смежные вопросы. Сб. статей под ред. Г.У. Куна и А.У. Таккера. М., ИЛ, 1959. 469 с.

36. Лобачев В.Г. Вопросы рационализации расчетов водопроводных сетей. М.: ОНТИ, 1936.- 148 с.

37. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, исправл. -М.: Едитториал УРСС, 2003. -176 с.

38. Магнус Я.Р., Нейдеккер X. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике: Пер. с англ./ Под ред. С.А. Айвазяна. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 496 с.

39. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. / Под ред. П.С. Кудрявцева. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. -688 с.

40. Меренков А.П. Дифференциация методов расчета гидравлических цепей // Журн. вычисл. математики и мат. физики 1973. -Т. 13,-№5.-С. 1237-1248.

41. Меренков А.П. Математические модели и методы для анализа и оптимального проектирования трубопроводных систем: Авто-реф. Дис.д-ра физ.-мат. наук-Новосибирск: Секция кибернетики Объединенного ученого совета СО РАН СССР, 1974- 34 с.

42. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо-, нефте- и газоснабжения / Меренков А.П., Сеннова Е.В. и др. Новосибирск : Наука, 1992. - 407 с.

43. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей-М.: Наука, 1985.-278 с.

44. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971.-424 с.

45. Монахов Г.В., Войтинская Ю.А. Моделирование управления режимами тепловых сетей. -М.:Энергоатомиздат, 1995.-224 с.

46. Мошнин Л.Ф. Применение метода фиктивных расходов при проектировании СПРВ // Водоснабжение и санитарная техника. 1986.-№ 1.-С. 6-8.

47. Новицкий Н.Н. Оценивание параметров гидравлических цепей-Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1998. 214 с.

48. Новицкий Н.Н, Алексеев А.В., Епифанов С.П. Расчет технологически допустимых гидравлических режимов трубопроводных систем //Изв. РАН. Энергетика. 2006. - № 6. - С. 128-138.

49. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию М.: Наука, 1983 - 384 с.

50. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. -М.: Наука, 1975.

51. Пшеничный Б.Н. Расчет электрических сетей на ЭВМ // Журн. вычисл. математики и мат. физики 1962. - № 5. - С. 942-947.

52. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

53. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973 - 469 с.

54. Сеннова Е.В., Сидлер В.Г. Математическое моделирование и оптимизация развивающихся теплоснабжающих систем. -Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1987. 221с.

55. Сумароков С.В. Математическое моделирование систем водоснабжения. -Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1983.

56. Сухарев М.Г. Методы анализа и оптимизации режимов транспорта и распределения целевого продукта в трубопроводных системах энергетики// Трубопроводные системы энергетики: Управление развитием и функционированием. Новосибирск: Наука, 2004.-С. 15-24.

57. Сухарев М. Г., Ставровский Е.Р. Расчеты систем транспорта газа с помощью вычислительных машин. М.: Недра, 1987. -168 с.

58. Трубопроводные системы энергетики: Управление развитием и функционированием/ Н.Н. Новицкий, Е.В. Сеннова, М.Г. Сухарев и др. Новосибирск: Наука, 2004. - 461 с.

59. Хасилев В.Я. Элементы теории гидравлических цепей: Автореф. Дис. .д-ра техн. Наук. Новосибирск: Секция техн. Наук Объединенного ученого совета СО АН СССР, 1966. - 98 с.

60. Хасилев В.Я., Светлов К.С., Такайшвили М.К. Метод контурных расходов для расчета гидравлических цепей. Иркутск; М.: СЭИ СО АН СССР. - Деп. В ВИНИТИ АН СССР, 1968. -№339-68,- 110 с.

61. Хасилев В.Я. Элементы теории гидравлических цепей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1964. -№ 1. - С. 69-88.

62. Черников С. Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. - 400 с.

63. Черри Е., Миллар У. Некоторые новые понятия и теоремы в области нелинейных систем// Автоматическое регулирование: Сб. материалов конф. в Кренфилде, 1951/ Под ред. М.З. Литвина-Седого. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - С. 261-273.

64. Шевяков Л.Д. Вывод формул естественного распределения воздуха в горных выработках из начала наименьшей работы // Горный журнал. 1929. - № 1. - С. 3-6.

65. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. М.: Наука, 1969.

66. Cross Н/ Analysis of flow in networks of conduits or conductors // Urbana Illinois: Eng. Exp. Station of Univ. of Illinois. 1936. -November. - Bull. N 286. - 29 p.

67. Dubin Ch. Calcul des reseaux mailles par des calculateur digital. IV Congres AIDE/ Stockholm, vol. 1, 1964.

68. Farcas J. Uber die Theorie einfachen Ungleichungen //Journ. Reine und Angewandte Mathematik. 1902. - Vol. 124. -P. 1-23.

69. Minkovski H. Geometrie der Zahlen. Teubner, Leipzig, 1896.

70. Фон Нейман On a maximization problem (manuscripter), Institute for Advanced Study. Princeton, 1947.