Приближенные модели для уравнений гидродинамического типа с переменными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Медведев, Сергей Борисович

• Медведев, Сергей Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Медведев, Сергей Борисович

Введение

1 Нормальные формы для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами

1 Нормальная форма Пуанкаре.

1.1.1 Основные теоремы.

1.1.2 Нормальная форма уравнений мелкой воды для больших пространственных масштабов.

1.1.3 Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета-плоскости в средних широтах.

1.1.4 Нормальная форма уравнений мелкой воды для коротких волн па экваториальной бета-плоскости.

2 Кососимметричная нормальная форма.

1.2.1 Кососимметричные градиентные системы.

1.2.2 Кососимметричная нормальная форма.

1.2.3 Иопно-звуковые волны в сильном магнитном поле.

3 Теорема Дарбу.

1.3.1 Конечномерные системы.

1.3.2 Пример.

1.3.3 Нолевые системы

1.3.4 Примеры.

4 Скобки Пуассона с нулевой трансверсальпой частью.

1.4.1 Движение без внешних сил.

1.4.2 Движение под действием внешних сил.

1.4.3 Двумерное уравнение Буссинеска.

5 Основные результаты по главе.

2 Разделение медленного и быстрого движений для уравнений мелкой воды на /-плоскости

1 Медленное многообразие для двумерных уравнений мелкой воды.

2.1.1 Медленное многообразие и уравнения движения на нем.

2.1.2 Динамическая и статическая инициализация

2 Разделение движений в спектральном виде

2.2.1 Формальные быстрое и медленное многообразия.

2.2.2 Нормальные формы.

3 Фронтальное геострофическое приспособление, медленное многообразие и нелинейные волновые явления в одномерной модели.

2.3.1 Постановка задачи о геострофическом приспособлении

2.3.2 Общие свойства одномерной модели.

2.3.3 Лагранжев подход.

2.3.4 Возмущенное полугеострофическое приспособление

2.3.5 Непертурбативное медленное многообразие и процесс релаксации

2.3.6 Существование и единственность медленного многообразия.

2.3.7 Нелинейные волны

2.3.8 Разрушение волн и ударные волны в лагранжевых переменных

2.3.9 Лагранжево описание для осесимметричной мелкой воды.

2.3.10 Обсуждение

4 Основные результаты по главе.

3 Турбулентность коротких инерционно-граиитационных волн

1 Слабая волновая турбулентность.

2 Инерционно-гравитационные волны в средних широтах.

3.2.1 Гамильтоново описание.

3.2.2 Колмогоровские спектры.

3 Слабая турбулентность коротких экваториальных волн.

3.3.1 Уравнения мелкой воды на экваториальной бета-плоскости.

3.3.2 Трех-волновые взаимодействия.

3.3.3 Четырех-волновое кинетическое уравиеиие.

3.3.4 Обсуждение

4 Основные результаты по главе.

4 Нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами

1 Гамильтоново усреднение и интегрируемость

4.1.1 Гамильтоново описание.

4.1.2 Квази-тождественное преобразование.

2 Усредненная динамика оптических импульсов.

4.2.1 Преобразование Боголюбова.

4.2.2 Разложение для малых R.

4.2.3 Солитонные решения.

4.2.4 Сравнение с другими методами.

4.2.5 Обсуждение

3 Численное моделирование солитонных импульсов в усредненной модели

4.3.1 Усредненная модель в спектральной области

4.3.2 Усредненная модель во временной области.

4.3.3 Примеры вычислений.

4 Квазилинейная теория распространения гауссовых импульсов.

4.4.1 Квазилинейное решение.

4.4.2 Аналитическое решение для гауссовых импульсов.

4.4.3 Результаты численного интегрирования

5 Основные результаты по главе.

5 Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов

1 Пробные функции для одиночного импульса.

2 Импульсы с переменными энергией и фазой.

5.2.1 Преобразование скобки Пуассона.

5.2.2 Вычисление гамильтониана.

5.2.3 Физическая модель.

5.2.4 Точное решение.

5.2.5 Численное решение.

5.2.6 Приближенные решения

3 Импульсы с переменными положением и скоростью

5.3.1 Выбор параметров для пробной функции

5.3.2 Преобразование скобки Пуассона.

5.3.3 Вычисление гамильтониана.

5.3.4 Сравнение решений.

4 Основные результаты по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные модели для уравнений гидродинамического типа с переменными коэффициентами»

Актуальность темы. Классические уравнения математической физики, изучаемые в университетских курсах в основном являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами [47, 99]. Это обусловлено отсутствием подходящих методов исследования нелинейных уравнений с постоянными и тем более с переменными коэффициентами. Кроме того при слабой нелинейности и неоднородности можно считать, что исходные уравнения достаточно точно аппроксимируются линеаризованными уравнениями с постоянными коэффициентам. Поэтому основные усилия исследователей были направлены именно па изучение линейных систем с постоянными и, если удавалось, переменными коэффициентами. Изучение нелинейных уравнений было исключением из общей ситуации и в основном проводилось простейшими асимптотическими методами [72]. Следует также упомянуть групповой метод нахождения решений нелинейных уравнений [87, 88]. Однако этот метод применим в основном к уравнениям с постоянными коэффициентами.

Начиная примерно со второй половины 20-го века, ситуация в направлении исследований уравнений заметно смещается в сторону исследования нелинейных уравнений. С одной стороны с открытием метода обратной задачи рассеяния, исследователи научились решать многие важные нелинейные уравнения, что привело к развитию "нелинейной" интуиции [98]. С другой стороны были сформулированы общие регулярные подходы в теории возмущений, что позволило понять общие проблемы при исследовании нелинейных явлений асимптотическими методами [84, 77]. Эти два подхода вместе с использованием компьютерного моделирования привели к формированию общих представлений о физических и математических особенностях современных нелинейных задач физики и других наук.

В настоящее время указанные методы исследования нелинейных уравнений в частных производных достигли больших успехов в применении ко многим задачам естествознания. Но в тоже время уравнения с переменными коэффициентами по-прежнему являются трудным предметом для исследования. Трудность обусловлена отсутствием достаточного числа симметрий, которое характерно для уравнений решаемых точными методами. Поэтому для решения нелинейных уравнений с переменными коэффициентами применяются в основном приближенные методы.

Один из самых успешных методов исследования дифференциальных уравнений состоит в трансформации этих уравнений к более простой (нормальной, канонической) форме. А. Пуанкаре создал теорию нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [34, 44]. Его теория формирует простейшие формы с помощью замен переменных используя степенные ряды для отклонений от равновесного или периодического решения. Д. Биркгоф создал теорию нормальных форм для класса канонических гамиль-тоновых систем [40]. Позднее Н. Н. Боголюбов обосновал метод усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений [43]. Была доказана теорема о близости решений исходных и усредненных уравнений. При этом по словам В. И. Арнольда [35]: "Заметам, что основная идея доказательства этой теоремы (замена переменных, убивающая возмущения) важнее самой теоремы; это - одна, из основных идей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений; она встречается уже в элементарном курсе в виде метода вариации постоянных."

Метод замены переменных можно использовать по разному для исследования дифференциальных уравнений. С одной стороны можно пытаться привести исходное дифференциальное уравнение к виду, которое допускает явное решение. Такое применение достаточно ограничено узким классом точно решаемых уравнений [52, 90]. С другой стороны можно использовать замену переменных для исключения некоторых "неважных" членов уравнения. И далее исследовать только оставшиеся "важные" члены. Этот подход часто оказывается эффективным, поскольку уравнения с первыми "важными" членами оказываются проще исходных уравнений и допускают более детальное изучение. Однако в большинстве случаев замена переменных строится с помощью бесконечных рядов и приходится обрывать эти ряды, рассматривая только конечное число членов. В связи с этим возникают две проблемы: регулярное построение всех членов ряда для искомой замены и обоснование сходимости для этого ряда. Хотя хорошо известно, что такие замены не вест да сходятся. Но даже в случае расходимости общего ряда замены, первые "важные" члены преобразованной системы содержат большую часть информации о поведении исходной системы.

Метод нормальных форм и метод усреднения для уравнений в частных производных также полезен, но в этом случае методы наиболее полно используются после преобразования Фурье, после которого начальная система уравнений в частных производных становится бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда эти методы применяется почти без изменений. Системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами имеющие гамильтонову форму показывают прекрасный пример применения теории нормальных форм [232]. Другие расширения метода теории возмущений и нормальных форм для уравнений в частных производных можно найти в книгах [42, 45, 76].

Для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами отсутствует общий метод аналогичный методу нормальных форм Пуанкаре для обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя большинство модельных уравнений возникающие в физике можно рассматривать как усеченные нормальные формы для некоторых более общих исходных моделей (см. примеры приближенных модельных уравнений возникающих в физике плазмы и атмосфере [93]). Для физических исследований пренебрежение "неважными" членами в уравнениях является одним из важных моментов. Такое пренебрежение основано на "физических соображениях". Иногда удается дать математическое обоснование "физических соображений". Если для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами упрощения можно провести в спектральном пространстве, где дифференцирование заменяется умножением на полином от спектрального параметра, то для уравнений с переменными коэффициентами такой подход не работает. Поэтому возникает проблема построения нормальных форм для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. На основе построенных нормальных форм можно строить приближенные модели, подходящие для описания исследуемой задачи.

Основная научная проблема, которой посвящена настоящая диссертационная работа состоит в построении и исследовании приближенных моделей, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Это построение основано на методе нормальных форм. Поскольку нелинейные уравнения сильно различаются по своим свойствам, в данной работе рассматриваются только уравнения гидродинамического типа, которые возникают при моделировании задач нелинейной физики.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов построения приближенных моделей, описываемых уравнениями гидродинамического типа с переменными коэффициентами. В частности сюда входят:

- развитие и применение метода нормальных форм при построения приближенных моделей для уравнений гидродинамического типа с переменными коэффициентами;

- разделение медленного и быстрого движений для модели вращающейся мелкой воды и изучению динамики быстрых движений для одномерной модели вращающейся мелкой воды;

- построению колмогоровских решений для стационарных кинетических уравнений, описывающих кинетику коротких инерционно-гравитационных волн в рамках модели вращающейся мелкой воды на f-плоскости в средних широтах и на экваториальной бета-плоскости.

- построение и исследование усредненной модели распространения импульсов, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами;

- развитие вариационного подхода для малопараметрического описания взаимодействия импульсов.

Методы исследования. В работе используются методы асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, методы нормальных форм и усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Также используются качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений и гамильтонов формализм для конечномерных и полевых систем.

Научная новизна полученных в диссертационной работе состоит в следующем:

1. Предложены новые обобщения нормальных форм для специальных классов дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Найден новый класс скобок Пуассона, которые асимптотически эквиваленты скобке с нулевой трансверсальной частью.

2. Впервые проведено полное разделение быстрых и медленных движений на основе линеаризованного потенциального вихря для модели вращающейся мелкой воды с постоянным параметром Кориолиса. Найдено новое уравнение баланса для статической инициализации.

3. Впервые показано, что геострофическое приспособление для одномерной модели вращающейся мелкой воды является полным. Найден критерий формирования сингулярности для различных начальных данных.

4. Впервые получены гамильтоновы и кинетические уравнения для описания инерционно-гравитационных волн. Найдены точные колмогоровские решения для стационарного кинетического уравнения.

5. Впервые найдены условия, при которых нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами может быть преобразовано в нелинейное уравнение Шредингера, с постоянными коэффициентами и получена усредненная модель для максимального большого диапазона изменений параметров периодических коэффициентов.

6. Предложены новые численные алгоритмы для нахождения решений для нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами и его усредненной модели.

7. Предложен новый вариационный метод получения мало-параметрической гамиль-тоновой модели для описания взаимодействия импульсов. Найдено точное решение для одной модели взаимодействия двух импульсов.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты по развитию и применению метода нормальных форм для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами могут быть применены на практике в качестве инструмента математического моделирования и аналитического исследования моделей механики сплошных сред и нелинейной волоконной оптики.

Публикации результатов и личный вклад автора. По теме диссертации опубликована 31 работа, список которых приведен в конце автореферата. Из них 18 написаны в соавторстве и 12 - самостоятельно. В совместных работах постановка задач, аналитические выкладки, разработка вычислительных алгоритмов и интерпретация полученных результатов, включенные в диссертацию, принадлежат автору.

Апробация работы. Основные научные; результаты диссертации докладывались и обсуждались на: международной конференции "Advanced Mathematics, Computations and Applications" в честь акад. Г.И. Марчука (Новосибирск, Россия, 1995); международной школе по нелинейным наукам (Нижний Новгород, Россия, 1995); международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" в честь акад. Н.Н. Яненко (Новосибирск, Россия, 1996); Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, Россия, 1996, 1998); научной программе "Математика атмосферы и океана" (Isaac Newton Institute for Mathematical sciences, Cambridge, UK, 1996); конференции в честь проф. В.И. Арнольда (Fields Institute for Mathematical Sciences, Toronto, Canada, 1997); конференции "Environmental Fluid Mechanics" в честь проф. О. Филлипса (John Hopkins University, Baltimore, USA, 1998); Генеральных ассамблеях Европейского геофизического общества (Nice, France, 1998, 2001); международной конференции "Солитоны, коллапсы и турбулентность: достижения, развития и перспективы" в честь проф. В.Е. Захарова (Черноголовка, Россия, 1999); научной программе? "Геометрия и физика узлов" (Isaac Newton Institute for Mathematical sciences, Cambridge, UK, 2000); научной школе "Новые тенденции в турбулентности" в Институте перспективных исследований НАТО (Les Houches, France, 2000); программе "Симплектическая геометрия и физика" в Институте чистой и прикладной математики (Los Angeles, USA, 2003); международной конференции 11 Асимптотический анализ и физика атмосферы и океана" (Rome, Italy, 2004).

Па различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах, руководимых ведущими специалистами, в российских и зарубежных институтах и университетах: Институт вычислительных технологий СО РАН (Ю.И. Шокин); Институт математики им. Соболева СО РАН (B.C. Белоносов, М.В. Фокип); Механико-математический факультет МГУ (В.В. Козлов); Физический факультет университета Торонто, Канада (Т.С. Shepherd); Математический институт, Кёлн, Германия (Т. Kiipper); Департамент прикладной математики и физики, Кэмбридж, Великобритания (М. Mclntyre); Институт теоретической физики, Дюссельдорф, Германия (К.II. Spalschek); Нормальная школа, Париж, Франция (V. Zeitlin); Университет им. П. и М. Кюри, Париж, Франция (Н. Le Treul).

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках различных программ и проектов: Российский фонд фундаментальных исследований, проекты 01-01-00959 (руководитель), 03-02-16496 (исполнитель), 95-05-15581 (исполнитель), проекты ведущих научных школ России 04-05-64481 (исполнитель), 00-015-98543 (исполнитель); Сибирское отделение РАН, интеграционный проект 02-2003 (исполнитель); Министерство образования РФ, проект ZN-080-01 (исполнитель).

Структура и общая характеристика диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 29 рисунков. Каждая глава разбита на разделы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Медведев, Сергей Борисович

4 Основные результаты по главе

В данной главе основными результатами являются:

1. Предложен анзатц для получения конечномерных уравнений для описания взаимодействия двух импульсов, которые описываются уравнением в частных производных. При этом предполагается, что исходное уравнение в частных производных получается из варьирования некоторого функционала. Параметрами анзатца являются моменты импульса и коэффициенты тейлоровского разложения фазы.

2. Рассмотрены два простейших анзатца для описания взаимодействия двух импульсов. В первом случае основными параметрами являются нулевой момент (энергия) импульса и пулевой член в тейлоровском разложении фазы в точке максимума амплитуды импульса. В этом случае удается построить точное решение для конечномерной системы, описывающей взаимодействие двух импульсов. Во втором случае берутся первый момент и первый член в разложении фазы. При этом нулевой момент и нулевой член разложения фазы вычисляются аналитически без учета взаимодействия импульсов.

Заключение

В заключение приведем основные результаты работы, являющиеся одновременно положениями, выносимыми на защиту.

Содержанием диссертации являются результаты, полученные автором в ходе разработки фундаментальных основ для решения крупной научной проблемы связанной с построением приближенных математических моделей, описываемых уравнениями гидродинамического типа с переменными коэффициентами. В частности получены следующие основные результаты:

1. Разработан фундаментальный метод построения и исследования математических моделей на основе метода нормальных форм для специальных классов моделей, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентам. Построена нормальная форма Пуанкаре для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и с главной частью в виде линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 11остроена новая нормальная форма для класса градиентных систем с кососимметричной структурной матрицей и положительной квадратичной характеристической функцией. Доказана теорема об асимптотическом расщеплении скобки Пуассона на невырожденную (симплектическую) скобку Пуассона и вырожденную (транверсальную) скобку Пуассона. В качестве конкретного применения получены и исследованы приближенные математические модели описываемые уравнениями гидродинамического типа.

2. Решена фундаментальная проблема геофизической гидродинамики, связанная с математическим моделированием геострофического приспособления начальных данных для скорости ветра и давления в рамках модели вращающейся мелкой воды с постоянным параметром Кориолиса. В случае зависимости от одной пространственной переменной, доказаны существование и единственность для установившегося сбалансированного состояния, показано отсутствие захваченных волн при геострофическом приспособлении, найдены критерии образования сингулярности. В двумерном случае, проведено полное

разделение быстрых и медленных движений, построены приближенное инвариантное медленное многообразие и уравнения движения на нем.

3. Предложены математические модели для описания инерционно-гравитационных волн во вращающейся мелкой воде в средних широтах и на экваторе. Применение и развитие метода слабой волновой турбулентности позволило найти точные колмогоровские решения кинетического уравнения для коротких инерционно-гравитационных волн, которые имеют анизотропный спектр близкий к линейному.

4. Получены усредненные модели распространения оптических импульсов в волоконных линиях передачи информации, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами, с использованием различных методов усреднения и обоснованы условия применимости. Применение аналитических методов усреднения позволило получить новые усредненные модели и их решения. Разработан и опробован эффективный численный алгоритм для нахождения периодических локализованных решений усредненной модели. Разработана квазилинейная модель для описания распространения оптических импульсов, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с большой вариации периодических коэффициентов, на основе которой предложен эффективный численно-аналитический метод нахождения решений.

5. Предложен вариационный метод получения малопараметрических гамильтоновых моделей для описания взаимодействия импульсов. Найдено точное решение для модели взаимодействия двух импульсов. Показана применимость построенных моделей для математического моделирования взаимодействия двух импульсов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Медведев, Сергей Борисович, 2006 год

1. Falkovich G. E., Medvedev S. B. Kolmogorov-like spectrum for turbulence of inertial-gravity waves//Europhysics Letters. - 1992, - V. 19. - N. 4. - P. 279-284.

2. Falkovich G., Kuznetsov E., Medvedev S. Nonlinear interaction between long inertio-gravity and Rossby waves//Nonlinear Processes in Geophysics. 1994. - V. 1. - No. 2/3.- P. 168-171.

3. Medvedev S. B. On slow manifold of the shallow water equations // "Advanced Mathematics, Computations and Applications", International Conference, Novosibirsk, 20-25 June, 1995. Abstracts. 1995. P. 235-236.

4. Медведев С. Б. Нормальная форма уравнений мелкой воды для длинноволновой анпроксимации//Тезисы докладов международной конференции "Математические модели и численные методы в механике континуума". Новосибирск, 1996, С. 391.

5. Медведев С. Б. Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета плоскости // Тезисы докладов Второго Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1996. С. 287.

6. Medvedev S. В. Normal forms for PDEs//Book of Abstracts. John Hopkins Conference in Environmental Fluid Mechanics. USA, Baltimore, 1998. P. 110-111.

7. Medvedev S. B. Normal forms for shallow water equations//Annales Geophysicae. 1998.- Supplement IV to V. 16. P. 1127.

8. Медведев С. Б. Нормальные форма для уравнений в частных производных//Тезисы докладов Третьего Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1998. С. 137.

9. Medvedev S. В. Poincare normal forms for partial differential equations//Proc. R. Soc. bond. A. 1999. - V. 455. - Iss. 1991. - P. 4061-4075.

10. Medvedev S. В., Turitsyn, S. K. Hamiltonian averaging and integrability in nonlinear systems with periodically varying dispersion//Письма в ЖЭТФ. 1999. - Т. 69. - Вып. 7. - С. 465-470.

11. Medvedev S. В. The slow manifold for the shallow water equations on f-plane//Journal of the Atmospheric Sciences. 1999. - V. 56. - P. 1050-1054.

12. Medvedev, S. B. Poincare normal form of the shallow water equations on the beta plane//Annales Geophysicae. 2000 - Supplement IV to V. 18. - P. 1207.

13. Turitsyn S. K., Turitsyna E. G., Medvedev S. В., Fedoruk, M. P. Averaged model and integrable limits in nonlinear double-periodic Hamiltonian systems//Phys. Rev. E. 2000. - V. 61. - N. 3. - P. 3127-3132.

14. Medvedev S. B. Normal form and initialization for rotating shallow water//Annales Geophysicae. 2001. - V.3. - P. 8138.

15. Medvedev S. В., Shapiro E. G., Fedoruk M. P., Turitsyna E. G. The theory of optical communication lines with a short-scale dispersion management//ЖЭТФ. 2002. - T. 121. - Вып. 5. - С. 1040-1050.

16. Medvedev S. В., Styrina О. V., Musher S. L., Fedoruk M. P. Path-averaged optical soliton in double-periodic dispersion-managed systems//Phys. Rev. E. 2002. - V. 66. - N. 6. -P. 0666071-066076.

17. Shtyrina 0., Medvedev S., Fedoruk M. Dispersion-managed soliton for path-averaged model of optical fiber communication line//Proceedings of International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, 2002. V. 2. - P. 697-703.

18. Zeitlin V., Medvedev S., Plougoven R. Frontal geostrophic adjustment, slow manifold and nonlinear wave phenomena in one-dimensional rotating shallow water. Part 1. Theory//Journal of Fluid Mechanics. 2003. - V. 481. - P. 269-290.

19. Wingen A., Spatschek К. H., Medvedev S. B. Averaged dynamics of optical pulses described by a nonlinear Schrodinger equation with periodic coefficients//Physical Review E. 2003. - V. 68. - N. 4. - P. 046610-21.

20. Курикалова M. А., Медведев С. Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: энергия и фаза//Вестник Новосибирского госуниверситета. 2003.- Т. 3. Вып. 1. - С. 37-55.

21. Turitsyn S. К., Shapiro Е. G., Medvedev S. В., Fedoruk М. P., Mezentsev V. К. Physics and mathematics of dispersion-managed optical solitons//Comptes Rendus Physique. -2003. V. 4, - Iss. 1. - P. 145-161.

22. Курикалова M. А., Медведев С. В., Федорук М. П. Использование вариационного подхода для описания взаимодействия оптических импульсов в волоконных линиях связи//Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8. - Специальный выпуск - С. 77-85.

23. Медведев С. Б. Нормальные формы для градиентных систем с кососимметричной стуктурной матрицей//Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8. - № 6. - С. 60 69.

24. Медведев С. Б., Федорук М. П. Квазилинейная теория нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами//Письма в ЖЭТФ. 2004. - Т. 79. -Вып. 1. - С. 19-24.

25. Курикалова М. А., Медведев С. Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: положение и импульс//Вестник Новосибирского госуниверситета,- 2004. Т. 4. - Вып. 1. - С. 30-46.

26. Медведев С. Б. Теорема Дарбу для распределенных гамильтоновых систем//Вестник Новосибирского госуниверситета. 2004. - Т.4. - Вып.1. - С. 37-55.

27. Medvedev S.B., Zeitlin V. Weak turbulence of short equatorial waves//Physics Letters A. 2005. - V. 342. - P. 269-290.

28. Медведев С. Б. Асимптотическая нормальная форма скобки Пуассона для одномерных моделей жидкости//Вестник Новосибирского госуниверситета. 2005. - Т. 5. -Вып. 1. - С. 37-55.

29. Агравал Г. П. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1989.

30. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

31. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

32. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения//Современные проблемы математики. 1985. - Т. 1. - С. 7-149.

33. Бакай А. С. Взаимодействие высокочастотных и низкочастотных волн в нелинейных дисперсионных средах//ЖЭТФ. 1968. - Т. 55. - Вып. 1. - С. 266-277.

34. Бакай А. С. Взаимодействие высокочастотных и низкочастотных волн в нелинейных дисперсионных средах. П//ЖЭТФ. 1970. - Т. 59. - Вып. 1. - С. 116-127.

35. Балк А. М., Назаренко С. В. О физической реализуемости анизотропного слаботурбулентного колмогровского спектра//ЖЭТФ. 1990. - Т. 97. - Вып. 6. - С. 1827-1846.

36. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

37. Блейхут Р. Э. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.- 448 с.

38. Богаевский В. Н., Повзнер А. Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987. - 255 с.

39. Боголюбов Н. Н., Митрольский Ю. А. Асимтотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

40. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1979.

41. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998.

42. Владимиров, В. А., Аналогия эффектов стратификации и вращения//Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Н.: Наука, 1985.

43. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1983.

44. Волоцкий С. В., Кац А. В., Конторович В. М. Преобразования симметрии интеграла столкновений, описывающего рассеяние квазчастиц с законом дисперсии, близким к линейному//Доклады Укр. АН, сер.А. 1980. - № 11. - С. 66-69.

45. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. В 2-х т. М.: Мир, 1986. 396 е., 415 с.

46. Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 1981.

47. Ю. Н. Демков, Вариационные принципы в теории столкновений. М.: ГИФМЛ, 1958.

48. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы // Современные проблемы математики. 1985. - Т. 4. - С. 179-284.

49. Дубровин Б. А., Новиков С. II. Гидродинамика слабо деформированных солитонпых решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория//УМН. 1989. - Т. 44. - № 6. - С. 29-98.

50. Захаров В. Е. Гамильтоновский формализм для гидродинамических моделей плаз-мы//ЖЭТФ. 1971. - Т. 60. - № 5. - С. 1714-1726.

51. Захаров В. Е. Коллапс ленгмюровских волн//ЖЭТФ. 1971. - Т. 62. - № 5. - С. 1745-1759.

52. Захаров В. Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией//Известия вузов. Радиофизика. 1974. - Т. 17. - № 4. - С. 431-453.

53. Захаров В. Е. Колмогоровские спектры в задачах слабой турбулентности//Основы физики плазмы. Т. 2. М.: Наука, 1984. - с. 48-79.

54. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. О трехмерных солитонах//ЖЭТФ. 1974. - Т. 66. -Вып. 2. - С. 594-597.

55. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Кинетика высокочастотных и низкочастотных волн в нелинейной среде//ЖЭТФ. 1978. - Т. 75. - № 3. - С. 904-912.

56. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для систем гидродинамического типа//Препринт № 186 ИАиЭ СО АН СССР. Новосибирск: ИАиЭ, 1982.

57. Захаров, В. Е., Питербарг, J1. И. Канонические переменные для волн Россби и дрейфовых волн в плазме//ДАН СССР. 1987. - Т. 295. - С. 86-90.

58. Захаров, В. Е., Рубенчик, А. М. Нелинейное взаимодействие высокочастотных и низкочастотных волн//Журнал ПМТФ. 1972. - Т. 13. - № 5. - С. 84-98.

59. Захаров В. Е., Сагдеев Р. 3. О спектре акустической турбулентности//ДАН СССР. 1970. - Т. 192. - № 2. - С. 297-300.

60. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусирвки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах//ЖЭТФ. 1971. - Т. 61. - № 1. - С. 118134.

61. Карасев, М. В., Маслов, В. П. Нелинейные скобки Пуассона: геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.

62. Кац А. В. Направление перекачки энергии и числа волн квазичастиц по спектру в стационарных степенных решениях кинетического уравнения для волн и ча-стиц//ЖЭТФ. 1976. - Т. 71. - Вып. 6. - С. 2104-2112.

63. Кац А. В. Кинетика слабодисперсионных волн описываемых уравнением Кадомцева-Петвиашвили//ДАН УССР. 1982. - № 8. - С. 59-62.

64. Кац А. В., Конторович В. М. Свойства симметрии интеграла столкновений и неизотропные стационарные решения в теории слабой турбулентности//ЖЭТФ. 1973. -Т. 64. - Вып. 1. - С. 153-163.

65. Кац А.В., Конторович В.М. Анизотропные турбулентные распределения для волн с нераспадным законом дисперсии//ЖЭТФ. 1973. - Т. 65. - Вып. 1. - С. 206-218.

66. Кац Е. П., Лебедев В. В. Динамика жидких кристаллов. М.: Наука, 1988.

67. Красицкий В.П. О каноническом преобразовании в теории слабонелинейных волн с нераспадным законом дисперсии//ЖЭТФ. 1990. Т. 98. - Вып. 5. - С. 1644-1655.

68. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

69. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

70. Jle Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Том 1, 2. М.: Мир, 1981. - 480 е., 366 с.

71. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

72. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнения. М.: Наука, 1977.

73. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

74. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975.

75. Михлин С. Г. Вариационные методы ы математической физике. М.: Наука, 1970.

76. Монин А.С. Прогноз погоды как задача физики. М.: Наука, 1969. - 184 с.

77. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидроме-теоиздат, 1988. - 424 с.

78. Монин А. С., Питербарг Л. И, О кинетическом уравнении для волн Россби-Блиновой// ДАН СССР. 1987. - Т. 295. - С. 816-820.

79. Незлин М.В., Снежкин Е.Н. Вихри Россби и спиральные структруры: Астрофизика и физика плазмы в опытах на мелкой воде. М.: Наука, 1990.

80. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

81. Николенко Н. В. Метод нормальных форм Пуанкаре в проблеме интегрируемости уравнений эволюционного типа//УМН. 1986. - Т. 41. - № 5. - С. 109-152.

82. Обухов А. М. К вопросу о геострофическом ветре//Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1949. - Т. 13. - № 4. - С. 281-306,

83. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

84. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. - 639 с.

85. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика, В 2-х томах, т.1, М.; Мир, 1984. -398 с.

86. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. -М.: Наука, 1990.

87. Петвиашвили В. И. Об уравнении необыкновенного солитона//Физика плазмы.1976. Т. 2. - № 3. - С. 469-472.

88. Петвиашвили В. П., Похотелов О. А. Вихри в мелкой вращающейся атмосфе-ре//Нелинейные волны, самоорганизация. М: Наука, 1983. С. 107-112.

89. Петвиашвили В. И., Похотелов О. А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 200 с.

90. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Гостехиздат, 1947.

91. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.

92. Рождественский Б. JL, Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

93. Синяев В. Н. Об одном принципе построения конечно-разностных схем, основанных на законах сохранения полной энергии//Численные методы механики сплошной среды. 1974. - Т. 5. - № 2. - С. 7-15.

94. Теория солитонов. Метод обратной задачи. Под ред. С. П. Новикова. М.: Наука, 1980.

95. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М,: Наука,1977.

96. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 624 с.

97. Фалькович Г.Е. Об устойчивости колмогоровских спектров слабой турблентно-сти//ЖЭТФ. 1987. - Т. 93. - Вып. 1. - С. 172-177.

98. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.

99. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: Издательство МГУ, 1988.

100. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные! уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

101. Шрира В. И. Распространение длинных нелинейных волн в слое вращающейся жидкости//Известия АН. ФАО. 1981. - Т. 17. № 1. - С 76-81.

102. Шрира В. И. О длинных существенно нелинейных волнах во вращающемся оке-ане//Известия АН. ФАО. 1986. - Т. 22. - № 4. - С. 395-405.

103. Эпштейн С. Вариационный метод в квантовой химии. М.: Мир, 1977. - 362 с.

104. Ablowitz М. J., Biondini G. Multiscale pulse dynamics in communication systems with strong dispersion management//Opt. Lett. 1998. - V. 23. - P. 1688-1691.

105. Ablowitz M. J., Biondini G., Olson E. S. On the evolution and interaction of dispersion-managed solitons// Massive WDM and TDM Solution Transmission Systems, (ed. A. Hasegawa). Kluwer Academic Publishers, 2000. - P. 75-114.

106. Ablowitz M. J., Clarkson P. A. Solitons, Nonlinear Evolution Equations, and Inverse Scattering. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

107. Ablowitz M. J., Hirooka T. Resonant nonlinear intrachannel interactions in strongly dispersion-managed transmission systems//Optics Lett. 2000. - V. 25. - P. 1750-1752.

108. Ablowitz M. J., Hirooka T. Intrachannel pulse interactions in dispersion-managed transmission systems: timing shifts//Optics Lett. 2001. V. 26. - P. 1846-1848.

109. Ablowitz M. J., Hirooka T. Intrachannel pulse interactions in dispersion-managed transmission systems: energy transfer//Optics Lett. 2002. - V. 27. - P. 203-205.

110. Alexander M.J., Rosenlof K.H. Gravity-waves forcing in the stratosphere: observational constrains form upper atmosphere research satellite and implications for parametrization in global models//J. Geoph. Res. 2003. - V. 108. - N. D19. - P. 4597.

111. Anderson D. Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fibers//Phys. Rev. A. 1983. - V. 27. - P. 3135-3145.

112. Andrew D., Hoskins B. J. Energy spectra predicted by semigeostrophic theories of frontogenesis//J. Atmos. Sci. 1978. - V. 35. - P. 509-512.

113. Babin A., Mahalov A., Nicolaenko B. Global splitting and regularity of rotating shallow-water equations//Eur. J. Mech. B/Fluids. 1997. - V. 16. - P. 725-754.

114. Baer F., Tribbia J. J. On complete filtering of gravity modes through nonlinear initialization//Mon. Wea. Rev. 1977. - V. 105. - N. 12. - P. 1536-1539.

115. Baldwin M. et al The quasi-biennial oscillation//Rev. Geoph. 2001, - V. 39. - P. 179230.

116. Balkovsky Е. Some notes on the Clebsch representation for incompressible fluids// Phys. Lett. A. 1994. - V. 186. - P. 135-136.

117. Bialynicki-Birula I., Morrison P. J. Quantum mechanics as a generalization of Nambu dynamics to the Weyl-Wigner formalism//Phys. Lett. A. 1991. - V. 158. - P. 453-437.

118. Blow K. J., Doran N. J. Average soliton dynamics and the operation of soliton systems with lumped amplifier//IEEE Photon. Technol. Lett. 1991. - V. 3. - P. 369-371.

119. Blumen W. Geostrophic adjustment//Rev. Geophys. Space Phys. 1972. - V. 10. - P. 485 - 528.

120. Boulanger J.-P., Menkes C. Propagation and reflection of long equatorial waves iri the Pacific ocean during the 1992-1993 El Nino//J. Ceoph. Res. 1995. - V. 100. - N. C12.- P. 25041-25059.

121. Biihler O. A nonlinear wave in rotating shallow water//GFD Summer School preprint (Woods Hole). 1993. - unpublished.

122. Carr J. Applications of centre manifold theory. New York: Springer-Verlag, 1981.

123. Charney J. C. Geostrophic turbulence//J. Atmos. Sci. 1971. - V. 28. - N 6. - P. 10871095.

124. Cho H.-R., Shepherd T. G., Vladimirov V. A. Application of the direct Liapunov method to the problem of symmetric stability in the atmosphere//J. Atmos. Sci. 1993. - V. 50.- P. 822-836.

125. Cicogna G., Gaeta G. Normal forms and nonlinear symmetries//J. Phys. A. 1994,- V. 27. - P. 7115-7124.

126. Delcroix Т., Boulanger J., Masia F., Menkes G. Geosat-derived sea level and surface current anomalies in the equatorial Pacific during the 1986-1989 El Nino and La Nina//J. Geoph. Res. 1994. - V. 99. - N. C12. - P. 25093-25107.

127. Delcroix Т., Picaut J., Eldin G. Equatorial Kelvin and Rossby waves endenced in the Pacific Ocean through Geosat sea level and surface current anomalies//J. Geoph. Res. -1991. V. 96. - P. 3249-3262.

128. Embid P. F,, Majda A. J. Averaging fast gravity waves for geophysical flows with arbitrary potential vorticity//Comm. Partial Diff. Eq. 1996. - V. 21. - P. 619-658.

129. Engelberg S. Formation of singularities in the Euler and Euler-Poisson equations//Physica D. 1996. -V. 98. - P. 67-74.

130. Farge M., Sadourny R. Wave-vortex dynamics in rotating shallow water//J. Fluid Mech. 1989. - V. 206. - P. 433-462.

131. Ford R., Mclntyre M. E., Norton W. A. Balance and the slow quasimanifold: some explicit results//J. Atmos. Sci. 2000. - V. 57. - P. 1236-1254.

132. Gabitov I., Shapiro E. G., Turitsyn S. K. Optical pulse dynamics in fiber links with dispersion compensation//Opt. Commun. 1996. V. 134. - P. 317-329.

133. Gabitov I., Shapiro E. G., Turitsyn S. K. Asymptotic breathing pulse in optical transmission systems with dispersion compensation//Phys. Rev. E. 1997. - V. 55. P. 3624-3633.

134. Gabitov I., Turitsyn S. K. Breathing solitons in optical fiber links//IbicbMa в ЖЭТФ. -1996. Т. 63. - С. 814-819.

135. Gabitov I., Turitsyn S. K. Averaged pulse dynamics in a cascaded transmission systems with passive dispersion compensation//Optics Lett. 1996. - V. 21. - P. 327-329.

136. Garrett C., Munk W. Internal waves in the ocean//Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. - V. 11. - P. 339-369.

137. Ge Z., Kruse H. P., Marsden J. E., Scovel C, The convergence of Hamiltonian structures in the shallow water approximation//Canadian Appl. Math. Quart. 1995. - V. 3. - P. 277-302.

138. Ge Z., Kruse H. P., Marsden J. E. The limits of Hamiltonian structures in three dimensional elasticity, shells, and rods//J. Nonlinear Sci. 1996. - V. 6. - P. 19-57.

139. Georges T. Soliton interaction in dispersionmanaged links//JOSA B. 1998. - V. 15. -P. 1553-1560.

140. Goncharov V., Pavlov V. Some remarks on the physical foundation of the Hamiltonian description of fluid motions//Eur. J. Mech., B/Fluids. 1997. - V. 16. - P. 509-555.

141. Grigoryan V. S., Golovchenko E. A., Menyuk C. R., Pilipetskii A. N. Dispersion-managed soliton dynamics//Optics Lett. 1997. - V. 22. P. 1609-1611.

142. Hasegawa A., Kodama Y. Guiding-center soliton in fibers with periodically varying dispersion//Optics Lett. 1991. - V. 16. - P. 1385-1387.

143. Hasegawa A., Kodama Y. Guiding-center soliton in optical fibers//Optics Lett. 1990. -V. 15. - P. 1443-1445.

144. Hasegawa A., Kodama Y. Guiding-center soliton//Phys. Rev. Lett. 1991. - V. 66. - P. 161-164.

145. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in optical communications. Oxford: Claredon Press, 1995.

146. Hasegawa A., Kodama Y., Maruta A. Recent progress in dispersion-managed soliton transmission technoligies//Opt. Fiber Techn. 1997. - V. 3. - P. 197-213.

147. Haus H. A., Tamura K., Nelson L. E., Ippen E. P. Stretched-pulse additive pulse mode-locking in fiber ring laser: Theory and experiment//IEEE J. Quantum Electronics. 1995. -V. 31. - P. 591.

148. Hendon H., Salby M. The life cycle of the Madden-Julian oscillation//J. Atmos. Sci. -1994. V. 51. - P. 2225-2237.

149. Holton J. R. The dynamic meteorology of the stratosphere and mesosphere. Boston: AMS, 1975.

150. Holton J. R. An introduction to dynamic meteorology. New York: AP, 1979.

151. John F. Partial Differential Equations, 4th edri. New York: Springer-Verlag, 1986.

152. Каир D. J., Lakoda Т. I. Variational method: How it can generate false instabilities//J. Math. Phys. 1996. - V. 37. - N. 7. - P. 3442-3462.

153. Kodama Y. On the dispersion-managed soliton//Massive WDM and TDM Solution Transmission Systems, (ed. A. Hasegawa). Kluwer Academic Publishers, 2000. - P. 129-151.

154. Kraichnan R.H. Inertial ranges in two-dimensional turbulence//Phys. Fluids. 1967. -V. 10. - P. 1417-1423.

155. Kreiss H.-O., Lorenz J. On the existence of slow manifolds for problem with different timescale//Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1994. V. 346. - P. 159-171.

156. Kumar S., Mauro J. C., Raghavan S., Chowdhury D. Q. Intrachannel nonlinear penalties in dispersion-managed transmission systerns//IEEE journal of selected topics in quantum electronics. 2002. - V. 8. - P. 626-631.

157. Kuo Л. C., Polvani L. M. Time-dependent fully nonlinear geostrophic adjustment//J. Phys. Oceanogr. 1997. - V. 27. - P. 1614-1634.

158. Kuo A. C., Polvani L. M. Wave-vortex interactions in rotating shallow water. Part 1. One space dimension//J. Fluid Mech. 1999. - V. 394. - P. 1-27.

159. Kutz N., Holmes P., Evangelides S., Gordon .J. Hamiltonian dynamics of dispersion managed breathers//JOSA B. 1997. - V. 15. - P. 87.

160. Kuznetsov, E. A., Mikhailov, A. V. On the topological meaning of canonical Clebsch variables//Phys. Lett., A. 1980. - V. 77. - P. 37-38.

161. Kuznetsov E. A., Mikhailov A. V., Shimokhin I. A. Nonlinear interaction of solitons and radiation//Physica D. 1995. - V. 87. - P. 201-215.

162. Kuznetsov E. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E. Soliton stability in plasmas and hydrodynamics//Phys. Rep. 1986. - V. 142. - P. 103-165.

163. Laedke E. W., Spatschek К. H. Nonlinear ion-acoustic waves in weak magnetic fields //Physics Fluids. 1982. - V. 25. - N. 6. - P. 985-989.

164. Lakoba Т., Каир D.J. Shape of stationary pulse in strong dispersion management regime//Electron. Lett. 1998. - V. 34. - P. 1124-1125.

165. Lakoba Т., Yang J., Каир D. J., Malomed B. A. Conditions for stationary pulse propagation in strong dispersion management regime//Opt. Commun. 1998. - V. 149. - P. 366-375.

166. Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. PA: SIAM, 1973.

167. Leith С. E. Nonlinear normal mode initialization and quasi-geostrophic theory//J. Atmos. Sci. 1980. - V. 37. - N. 5. - P. 958-968.

168. Lesieur M. Turbulence in Fluids. London: Kluwer, 1990.

169. Le Sornmer J., Reznik G. M., Zeitlin V. Nonlinear geostrophic adjustment of long-wave disturbances in the shallow water model on the equatorial beta-plane//J. Fluid. Mech. -2004. V. 515. - P. 135-170.

170. Liang A. H., Toda H., A. Hasegawa A. High-speed soliton transmission in dense periodic fibers//Opt. Lett. 1999. - V. 24. - P. 799-801.

171. Lilly D. K. Stratified Turbulence and the mesoscale variability of the atmosphere//J. Atmos. Sci. 1983. - V. 40. - N. 3. - P. 749-761.

172. Lilly D. K., Petersen E. L. Aiercraft measurements of atmospheric kinetic energy spectra//Tellus. 1983 - V. 35A. - N. 5. - P. 379-382.

173. Lorenz E.N. The slow manifold What is it?//J. Atmos. Sci. - 1992. - V. 49. - N. 24. -P. 2449-2451.

174. Lushnikov P. M. Dispersion-managed soliton in optical fibers with zero average dispersion/Optics Letters. 2000. - V. 25. - N. 16. - P. 1144-1146.

175. Lushnikov P. M. Dispersion-managed soliton in a strong dispersion map limit//Optics Letters. 2001. - V. 26. - N. 20. - P. 1535-1537.

176. Lushnikov P. M. Fully parallel algorithm for simulating wavelength-division-multiplexed optical fiber systems//Optics Letters. V. 27. - N. 11. - P. 939-941.

177. Machenhauer B. On dynamics of gravity oscillations in shallow water model, with application to normal mode initialization//Contrib. Atmos. Phys. 1977. - V. 50. -N. 8. - P. 253-271.

178. Mamyshev P. V., Mamysheva N. A. Pulse-overlapped dispersion-managed data transmission and intrachannel four-wave mixing//Opt.ics Lett. 1999. - V. 24. - P. 1454-1456.

179. Matsumoto M., Haus H. A. Stretched-pulse optical fiber communications//IEEE Photon. Technol. Lett. 1997. - V. 9. - P. 785-787.

180. McKean H. P., Shatah J. The nonlinear Shrodinger equation and the nonlinear heat equation reduction to linear form//Comrn. on Pure and Appl. Math. 1991. - V. 44. -P. 1067-1080.

181. Merlaud F., Turitsyn S. K. Intra-channel four wave mixing and Ghost pulses generation: time domain approach//Proc. ECOC2QOO, Munchen. 2000. - V. 3. - P. 35-36.

182. Mikhailov А. V. Variotionalism and empirio-criticisrri. (Exact and variational approaches to fibre optics equations)//Optical solitons: Theoretical Challenges and Industrial Perspectives. New York: Springer-Verlag, 1999. - P. 63-72.

183. Mokhov 0. I. Vorticity equation of two-dimensional hydrodynamics of an incompressible fluid as canonical Hamiltonian system//Phys. Lett, A. 1989. - V. 139. - P. 363-368.

184. Mollenauer L. F., Evangelides S. G., Haus H. A. Long-distance soliton propagation using lamped amplifiers and dispersion shifted fibre//IEEE J. Lightwave Tech. 1991. - V. 9.- P. 194-196.

185. Nastrom G. D., Gage K. S. A first look at wavenumber spectra from GASP data//Tellus.- 1983. V. 35A. - N. 5. - P. 383-388,

186. Newell A. C., Moloney J. V. Nonlinear Optics. Redwood City CA: Addison-Wesley Publishing Company, 1992.

187. Nijhof J. H. В., Doran N. J., Forysiak W., Knox F. M. stable soliton-like propagation in dispersion managed systems with net anomalous, zero and normal dispersion//Electron. Lett. 1997. - V. 33. - P. 1726-1727.

188. Nore C., Shepherd T. G. A Hamiltonian weak-wave model for shallow water flow//Proc. R. Soc. Lond. A. 1997. - V. 453. - P. 563-580.

189. Novikov S. P. Differential geometry and Hydrodynamics of soliton lattices//Important development in soliton theory. Ed. A. S. Fokas and V. E. Zakharov. Berlin: Springer-Verlag, 1993. - P. 242-256.

190. Olver P. J. Hamiltonian perturbation theory and water waves//Contemp. Math. 1984.1. V. 28. P. 231-249.

191. Olver P. J. Darboux' theorem for Hamiltonian Operators//J. Diff. Equat. 1988. - V. 71. - P. 10-33.

192. Ozawa Т., Tsutaya K., Tsutsumi Y. 1995 Normal form and global solutions for Klein-Gordon-Zakharov equations//Ann. Inst. Henri Poincare. 1995. - V. 12. - N. 4. - P. 459-503.

193. Pokhotelov 0. A., McKenzie J. F., Shukla P. K., Stenflo L. Nonlinearly coupled inertia! and Rossby waves//Phys. Fluid. 1995. V. 7. P. 1785-1787.

194. Reznik G. M., Zeitlin V., Ben Jelloul M. Nonlinear theory of geostrophic adjustment. Part I. Rotating shallow water//J. Fluid Mech. V. 445. - P. 93-120.

195. N. Robinson et al 4xSONET OC-192 Field Installed Dispersion Managed Soliton System over 450 km of Standard Fiber in the 1550 nin Erbium Band//Post Deadline presentation, PD19-1, OFC'98, San Jose, USA.

196. Ross by C.-G. On the mutual adjustment of pressure and velocity distributions in certain simple current systems, И/Д Mar. Res. 1938. - V. 1. - P. 239-263.

197. Sanders J. A., Verhulst F. Averaging methods in nonlinear dynamical systems. New York: Springer-Verlag, 1985.

198. Shapiro E. G., Turitsyn S. K. Enhanced power breathing soliton in communication systems with dispersion management//Phys, Rev. E. 1997. - V. 56. - P. R4951.

199. Shatah J. Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations//Comm. on Pure and Appl. Math. 1985. - V. 38. - P. 685-696.

200. Shepherd T. G. Symmetries, conservation laws, and Hamiltonian structure in geophysical fluid dynamics//Adv. Geophys. 1990. - V. 32. P. 287-338.

201. Shepherd T. G. A unified theory of available potential energy//Atmos.-Ocean. 1993. -V. 31. - P. 1-26.

202. Smith N. J., Knox F. M., Doran N. J., Blow K. J., Bennion I. Enhanced power sollitons in optical fibers with periodic dispersion management//Electron. Letters. 1996. - V. 32. - P. 54-55.

203. Spatschek К. H., Turitsyn S. K., Kivshar Y. S. Average envelope soliton dynamics in systems with periodically varying dispersion//Phys. Lett. A. 1995. - V. 204. - P. 269273.

204. Struwe M. Variational methods. Application to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Berlin: Springer-Verlag, 1990.

205. Sugahara H., Kato H., Inoue Т., Maruta A., Kodarna Y. Optimal dispersion management for a wavelength division multiplexed optical soliton transmission system//J. Lightwave Tech. 1999. - V. 17. - N. 9. - P. 1547-1559.

206. Temperton C. Implicit normal mode initialization//Mon. Wea. Rev. 1988. - V. 116. N. 5. - P. 1013-1031.

207. Tribbia J. J. A simple scheme for higher order nonlinear normal mode initialization//Mon. Wea. Rev. 1984. - V. 112. - N. 2. - P. 278-284.

208. Turitsyn S. K., Aceves А. В., Jones С. K. R. Т., Zharnitsky V. Average dynamics of the optical soliton in communication lines with dispersion management//Phys. Rev. E. 1998. - V. 58. - P. R48-R51.

209. Turitsyn S. K., Fedoruk M., Gornakova A. Reduced-power optical solitons in fiber lines with short-scale dispersion management//Opt. Lett. 1999. - V. 24. - P. 869-871.

210. Turitsyn S. K., Gabitov I., Laedke E. W., Mezentsev V. K., Musher S. L., Shapiro E.G., Schafer Т., Spatschek К. H. Variational approach to optical propagation in dispersion compensated transmission systems//Opt, Comm. 1998. - V. 151. - P. 117-135.

211. Turitsyn S. K., Mezentsev V. K. Dynamics of self-similar dispersion-managed soliton presented in basis of chirped Gauss-Hermite functions// Письма в ЖЭТФ. 1998. - Т. 67. - С. 616-621.

212. Turitsyn S. К., Mezentsev V. К. On the theory of chirped optical solitons in fiber lines with varying dispersionZ/Письма в ЖЭТФ. 1998. - Т. 68. - С. 791-795.

213. Turitsyn S. K., Schaefer Т., Mezentsev V. K. Self-similar core and oscillatory tails of a path-averaged chirped dispersion-managed optical pulse//Opt. Lett. 1998. - V. 23. -P. 1351-1353.

214. Turitsyn S. K., Schaefer Т., Mezentsev V. K. Generalized momentum method to describe high-frequency solitary wave propagation in system with varying dispersion//Phys. Rev. E. 1998. - V. 58. - P. R5264.

215. Vautard R., Legras В. Invariant manifolds, quasi-geostrophy and initialization//J. Atmos. Sci. 1986. - V. 43. - N. 6. - P. 565-584.

216. Van Zandt Т.Е. A universal spectrum of buoyancy waves in the atmosphere//Geophys. Res. Lett. 1982. - V. 9. - P. 575-578.

217. Wald M., Uzunov I. M., Lederer F., Wabnitz S. Optimization of periodically dispersion compensated breathin soliton transmission//Photon. Techn. Lett. 1997. - V. 9. - 16701672.

218. Warn Т., Bokhove 0., Shepherd T. G., Vallis G. K. 1995: Rossby number expansion, slaving principles, and balance dynamics//Quart. j. Roy. Meteor. Soc. 1995. - V. 121.- P. 723-739.

219. Weinstein A. The local structure of Poisson ma,nifold//J. Diff. Geom. 1983. - V. 18. -P. 523-557.

220. Wheeler M., Kiladis G. Convectively coupled equatorial waves: Analysis of clouds and temperature in the wavenumber-frequency domain//J. Atmos. Sci. 1999. - V. 56. - P. 374-399.

221. Yakhot V., Zakharov V. Hidden conservation laws in hydrodynamics; energy and dissipation rate fluctuation spectra in strong turbulence//Physica D. 1993. - V. 64.- P. 379-394.

222. Yang T.-S., Kath W. L. Analysis of enhanced-power solitons in dispersion-managed optical fibers//Opt. Lett. 1997. - V. 22. - P. 985-987.

223. Yang T.-S., Kath W. L., Turitsyn S. K. Optimal dispersion maps for wavelength-division-multiplexed soliton transmission//Opt, Lett. 1998. - V. 23. - P. 597-599.

224. Yang T. S., Kath W. L., Turitsyn S. K. The multiple-scale averaging and dynamics of dispersion-managed optical solitons//Journal of Engineering Mathematics. 1999. - V. 36. - P. 163-184.

225. Zakharov V. E., Lvov V. S., Falkovich G. E. Kolmogorov spectra of turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

226. Zakharov V. E., Piterbarg L. I. Canonical variables for Rossby waves and plasma drift waves//Phys. Lett. A. 1988. - V. 126. - P. 497-500.

227. Zakharov V. Е., Schulman Е. I. Integrability of nonlinear systems and perturbation theory// Important developments in soliton theory. Ed. A. S. Fokas, V. E. Zakharov. -- Berlin: Springer-Verlag, 1993. P. 185-250.

228. Zeitlin V. Vorticity and waves: geometry of phase-space and the problem of normal variables//Phys. Lett. A. 1992. - V. 164. - P. 177-183.