Приближённые методы решения нелинейных спектральных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Соловьёв, Сергей Иванович
- Специальность ВАК РФ01.01.07
- Количество страниц 262
Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Соловьёв, Сергей Иванович
Введение
Глава 1. Задачи в гильбертовом пространстве
§ 1.1. Линейная задача.
1.1.1. Постановка задачи.
1.1.2. Существование и свойства решений.
§ 1.2. Нелинейная задача.
1.2.1. Постановка задачи.
1.2.2. Параметрическая задача.■.
1.2.3. Существование и свойства решений.
§ 1.3. Рациональная задача.
1.3.1. Постановка задачи.
1.3.2. Исследование параметрических задач.
1.3.3. Существование решений.
ГЛАВА 2. Конечномерные аппроксимации
§ 2.1. Линейная задача.
2.1.1. Схема аппроксимации.
2.1.2. Существование приближенных решений.
2.1.3. Исследование сходимости.
2.1.4. Исследование погрешности.
§ 2.2. Нелинейная задача.
2.2.1. Схема аппроксимации.
2.2.2. Существование приближенных решений.
2.2.3. Исследование сходимости.
2.2.4. Исследование погрешности.
§ 2.3. Рациональная задача.
2.3.1. Схема аппроксимации.
2.3.2. Существование приближенных решений.
2.3.3. Погрешность приближенных решений.
глава 3. Итерационные методы
§3.1. Линейная задача.
3.1.1. Постановка задачи.
3.1.2. Метод бисекции.
3.1.3. Метод Рэлея-Ритца.
3.1.4. Итерации подпространства.
§ 3.2. Нелинейная задача.
3.2.1. Постановка задачи.
3.2.2. Метод бисекции.
3.2.3. Метод Рэлея-Ритца.
3.2.4. Итерации подпространства.Ï
§ 3.3. Рациональная задача.
3.3.1. Постановка задачи.
3.3.2. Существование решений.
3.3.3. Метод бисекции.
3.3.4. Итерации подпространства.
ГЛАВА 4. Дифференциальные задачи
§4.1. Линейные задачи.
4.1.1. Одномерная задача.
4.1.2. Двумерная задача.
§ 4.2. Нелинейные задачи.
4.2.1. Одномерная задача.
4.2.2. Двумерная задача.
§4.3. Рациональные задачи.
4.3.1. Собственные колебания нагруженной балки.
4.3.2. Собственные колебания пластины с массами.
§4.4. Реализация итерационных методов . . .'.
4.4.1. Задача второго порядка.
4.4.2. Задача четвертого порядка.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Вычислительная математика», 01.01.07 шифр ВАК
Разрешимость и приближенное решение параболического уравнения с интегральным условием на решение2022 год, кандидат наук Петрова Анастасия Александровна
Многопараметрические спектральные задачи для полиномиальных и рациональных матриц. Методы решения многопараметрических задач алгебры2006 год, доктор физико-математических наук Хазанов, Владимир Борисович
Операторы с псевдоразреженными матрицами и их приложения1999 год, доктор физико-математических наук Блатов, Игорь Анатольевич
Периодические дифференциальные операторы. Пороговые свойства и усреднения2004 год, доктор физико-математических наук Суслина, Татьяна Александровна
Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве2008 год, кандидат физико-математических наук Ключев, Вячеслав Валерьевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближённые методы решения нелинейных спектральных задач»
Диссертация посвящена разработке приближенных методов для решения прикладных задач на собственные значения. В качестве приложений рассматривается класс задач, описывающих собственные колебания механических систем с массами. Такие задачи издавна интересовали исследователей. Еще Пуассон в своих мемуарах изучал задачу о движении груза, подвешенного на тонкой упругой нити. Этот факт отмечает А.Н. Крылов в своей книге [75], где указывается, что к подобной задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильные колебания вала с маховиком на конце, исследование разного рода "дрожащих" клапанов и другие. Для теории многих измерительных приборов важно изучение крутильных колебаний нити, к концу которой подвешена масса, например, зеркальце. А.Н. Тихонов и A.A. Самарский [152] отмечают, что особую актуальность задачи подобного типа приобрели в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Для решения этой задачи необходимо вычисление собственных частот крыла с присоединенными моторами. Простейшая модель крыла - балка переменного сечения с массами. Более точная модель крыла приводит к исследованию собственных колебаний нагруженной пластины. С развитием судостроения, самолетостроения, космической техники, химической и нефтяной промышленности возникла необходимость расчета обо-лочечных конструкций, нагруженных присоединенными элементами: приборами, моторами, элементами автоматики, узлами машин. Хотя присоединенные элементы имеют малые размеры, их влияние на устойчивость системы является определяющим. Потребности практики привлекли внимание к развитию методов проектирования таких конструкций [6-8,10,26,44,45,55,82,99,158].
При учете упругости закрепления масс задача сильно усложняется возникновением нелинейности по спектральному параметру. Задачам о собственных колебаниях механических конструкций с упруго присоединенными массами посвящено большое число работ. Среди них перечислим работы [6,7,9,10,13,44,45,52-54,82,85,99,158]. Значительный интерес исследователей к этим задачам отмечен в книге [10], которая содержит механические постановки задач, описание существующих методик расчета и обзор полученных теоретических и экспериментальных результатов. Из анализа результатов, представленного в [10], видно, что круг решаемых задач, оиисанных в научной литературе, ограничивается главным образом задачами, допускающими разделение переменных. Поясним причину этого обстоятельства на примере задачи о собственных колебаниях изотропной пластины с упруго присоединенными массами.
Пусть Q, - область, занимаемая срединной поверхностью изотропной пластины, Г - граница области П, р = р(х) - плотность материала, D = D{x) = Edz/12(1 — у2) - цилиндрическая жесткость пластины, Е — Е{х) ~ модуль Юнга, v = v{x) - коэффициент Пуассона, d = d(x) - толщина пластины в точке х Е Q. Предположим, что в точках пластины х^ Е Q упруго присоединены массы Мг- (осцилляторы) с коэффициентами жесткости подвески К{, ^/щ — yjKifMi -парциальная частота г-oro осциллятора, г = 1,2,., т.
Обозначим через w(x,t) нормальные перемещения точки х Е Cl срединной поверхности пластины в момент времени t, через rjL{t) ~ отклонение от положения равновесия груза массы Mi в момент времени г = 1,2,., т. Собственные колебания системы пластина-массы характеризуются гармоническими во времени функциями ги(х, t) и rji(t) вида w(x,t) = u(x)v(t), xeQ, rji{t) = Ciu(x{i))v{t), t> 0, (0.1) где v{t) = aocos\/Xt + &osin\/Ai, t > 0; ao> 6q, q, Л - постоянные величины, г = 1,2,., ш. Число л/Х определяет частоту собственного колебания системы пластина-массы, функция и(х) задает форму собственного колебания частоты л/Л.
Функции (0.1) удовлетворяют уравнению колебания пластины
Lw(x, t) + p{x)d{x)wtt{x, t) = /(ж, ¿), (0.2) и уравнению осциллятора
М{{ф))и + Ki(rn(t) - w{x^,t)) = 0, i = 1, 2,., m, (0.3) где t > 0, L - дифференциальный оператор, определяемый выражением:
Lw = diiD(dnw -I- v&22w) + d22D{d22W + vduw) + 2^i2D(1 — v)di2W, di = d/dxi, dij = didj, i,j = 1,2, (ip(t))t — d^{€)ldt. Движения присоединенных масс и пластины рассматриваются как взаимно вынужденные. При этом действие присоединенных масс на пластину заменяется действием гармонической во времени сосредоточенной силы вида: т ж, t) = - w(x®,t))8(x - (0.4) 1 где S(x) - дельта-функция Дирака. Система уравнений (0.1)-(0.4) дополняется одним из известных граничных условий:
Niu(x,t)= 0, хеГ. (0.5)
Подставляя разложения (0.1) в уравнения (0.3), находим, что Ci = щ/{щ — Л), щ = Ki/Mi, i = 1,2,. ,m. Учитывая (0.1) и (0.4), из уравнений (0.2) и (0.5) получим задачу на собственные значения: найти числа Л и ненулевые функции и(х), х £ fl, удовлетворяющие уравнению т д
Lu + У^--Ki8{x - х^)и = Xpdu, xGfi, (0.6) и граничному условию
Ыи = 0, хеТ. (0.7)
Чтобы найти решения задачи (0.6)-(0.7), введем вспомогательную задачу на собственные значения: найти числа Л и ненулевые функции и(х), х е Г2, удовлетворяющие уравнению и граничному условию (0.7).
Задачи (0.6)-(0.7) и (0.8)—(0.7) запишем в вариационной форме: найти Л е К, и Е V \ {0} такие, что А х, — Л а(и, у) = ХЬ(и, у) + У^-тс{{и,у) У у е V, (0.9) ^ к- — А г=\ найти Л е Ж, и е V \ {0} такие, что а(и, у) = \Ъ(и, у) Уу е У. (0.10)
Здесь V - гильбертово пространство, состоящее из функций пространства И^!удовлетворяющих главным граничным условиям, а(и, -и) = J Luvdx: Ь(и,у) = J pduydx, о, о с* (ад, у) = К{и(х^)у(х^), г = 1,2,., т для достаточно гладких функций и, у из пространства V.
Задача (0.10) имеет последовательность положительных конеч-нократных собственных значений к = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:
0 < ¡1\ ^ < • • • < Цк < ■ • •, Нт /Лк = сю. юо
Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов Ук, к = 1,2,. такая, что а(уищ) = Ъ{у1,У5) = г,7 = 1,2,., где дц - символ Кронекера. Элементы г^, к = 1,2,. образуют полную систему в пространстве V.
Собственный элемент задачи (0.9) представим в виде разложения по собственным элементам ук, к = 1,2,. задачи (0.10):
00 U
1=1
1=1
Это разложение подставим в уравнение (0.9) при V = ук. Тогда получим оо оо
- \Ь(у[,ук)) = - Щ/С =
1=1 1=1 т г=1
Отсюда находим = ——г У2 —^—г <н(и, vk), к = 1,2,. № ~ А ^ щ - Л
Поэтому оо оо - m
ОО ОО ^ Ш д и = J2 = X т—л X) л=1 fc=i ^ л i=i л и для j = 1,2,., т имеем оо 1 m , зСЙ) = £ £ J^Miu{x^)vk{x^)vk{x^).
Переставив знаки суммирования, запишем это соотношение в виде и(ж(Л) , £ f; ^ V' - Л ■ ^ / /» - А или короче
ТП ч ^-^-М^(ЛМ^)) г=1 Л для
А=1 ^ " Л оо г, j = 1,2, .,т.
В результате выводим
Предполагая вектор у = (уи у2,., ут)Т, 3/» = и(х^), г = 1,2,., ш неравным нулевому вектору, получим характеристическое уравнение для определения собственных значений задачи (0.6)—(0.7):
В книге [10], с. 30 отмечается, что метод решения задачи (0.6)-(0.7) с помощью характеристического уравнения (0.11) является достаточно простым и эффективным, если известны аналитические формулы для собственных значений и собственных функций вспомогательной задачи (0.8)-(0.7). Но это, к сожалению, возможно только для весьма ограниченного класса механических систем. Этот класс задач определяется возможностью разделения переменных в уравнениях, что накладывает ограничения на область, вид коэффициентов и граничных условий.
В настоящей диссертации предлагается и обосновывается подход, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход опирается на формулировку исходной задачи как задачи на собственные значения, монотонно зависящей от спектрального параметра, с последующим с^£>(А) = 0
0.11) где 1>(А) = ШАЩ=1, применением сеточных методов. Например, в случае задачи о пластине (0.6)-(0.7) монотонная спектральная задача для нахождения собственных значений Л из интервала , имеет вид а(А, и, v) = ЛЬ(Л, и, и) Уу е V, (0.12) где <
П — 1 д а(Л, и, г;) = а(гг, г>) + У^ --у), т ^
Ъ(\, гг., V) = г;) + V) ---сг(п, — л г=п
Аппроксимация задачи (0.12) в конечномерном подпространстве У^ пространства V для Хь из интервала (^-ь нп) определяется уравнением: ан(Х\ и\ ук) = \НЬН{\1\ ин, Vй) \/ук е Ун. (0.13)
Эта приближенная схема эквивалентна монотонной матричной спектральной задаче
А(\)у = ХВ(Х)у (0.14) для Л е По своим свойствам монотонные спектральные задачи вида (0.14) весьма близки к линейным задачам на собственные значения, что приводит к эффективным численным методам их решения.
Таким образом, разрабатываемый в диссертации подход для нахождения собственных колебаний механических конструкций с упруго присоединенными массами, обладает желаемой универсальностью, работает в самых общих ситуациях, возникающих на практике, и приводит в итоге к численным алгоритмам, имеющим вычислительные затраты такие же, как и в случае задач без масс. Полученные в диссертации результаты допускают различные обобщения и могут быть применены при решении широкого круга нелинейных задач на собственные значения, возникающих в науке и технике. Среди таких задач отметим задачи расчета диэлектрических волноводов, задачи физики плазмы, квантовой механики, гидродинамики и теории упругости [1-4,27,28,33,35-37,43,50,51,65-67,111,148,163,164,168,178,194, 199,221]. Применяемый в диссертации подход предложен и изучен в работах С.И. Соловьева [122,125,127-129,132-136,138-146,210-218].
Исследования конечномерных аппроксимаций (0.13) нелинейной задачи (0.12) опираются на результаты по аппроксимации линейных задач на собственные значения. Пусть имеется линейная задача на собственные значения: найти числа Л и ненулевые элементы и такие, что а(щ у) = ХЬ{и, у) \/у Е V. (0.15)
Здесь а(.,.) и &(.,.) есть симметричные билинейные формы, форма, а(.,.) предполагается положительно определенной и ограниченной, форма &(.,.) предполагается положительной и вполне непрерывной. Определим компактный самосопряженный оператор Т : V V по правилу а(Ти, у) = Ь(и, у) Уи, у е V.
Тогда задача (0.15) запишется в виде задачи с компактным оператором и = \Ти.
Поэтому задача (0.15) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений с предельной точкой в бесконечности, занумерованных в порядке неубывания с учетом кратности.
Задача (0.15) аппроксимируется в конечномерном подпространстве У]ь пространства V: найти числа Хк и ненулевые элементы ин такие, что ак(и\ у11) = \%(и\ ук) \/у}1 е Ун. (0.16)
Предположим, что выполнено требование предельной плотности семейства подпространств Vh в пространстве V. Определим проектор Ph : V —> Vh по формуле a(Phu, vh) = а(и, vh) Vvh G Vh Vu G V.
Заметим, что ||г> — Pjtv || —0 при h —> 0, v G V. Предположим, что билинейные формы a/j(.,.) и ¿>/1(.,.) удовлетворяют условию аппроксимации: Sq —> 0 при h 0, где
50 = !1К - a)kxdl + \\(bh ~ b)\Vhxvh\I. Определим оператор Т^ : V^ —»• V^ с помощью равенства аЛ(ТЛиЛ, v*) = ЬЛ(тЛ 1>Л) vh G
Тогда вариационная задача (0.16) примет следующую операторную форму uh = дАГлгД
Следовательно, задача (0.16) имеет N — dimV/, положительных собственных значений, занумерованных в порядке неубывания с учетом кратности.
Пусть Ли U - к-ое собственное значение и отвечающее ему собственное подпространство задачи (0.15). Положим sh = eh = \\(I-Ph)\ul
Soh = \№ - PhT)\Vhl и заметим, что Eh —> 0, 5qu ^ cSq —► 0 при h 0. Для к-ого собственного значения Xh задачи (0.16) имеет место оценка погрешности
Ль-Л|<С(Ы2 + ад. (0.17) Из этой оценки вытекает следующая оценка
Ah - А| < c((shf + (0.18) 12
Оценки (0.17) и (0.18) дают сходимость Хн —► Л при к —» 0. Здесь и далее через сисг обозначаются различные положительные постоянные, не зависящие от Н.
Оценку (0.17) можно улучшить
-АКс^ + ^ + ад2), (0.19) где \№ - РнТ)\Рки1 32Н = \\((ТН - РкТ)., Существуют постоянные с\ и С2 такие, что
АЛ - А| ^ С1(<52/, + (ел + <Ы2) < с2(е| + Из оценки (0.19) следует оценка в терминах билинейных форм \ХН - А| < с(4 + (е* + ф2), (0.20) где ||(ал - а)\Р,1ихУк\\ + ||(Ьл - Ъ)\РкихУн||, $ = ПК - а)\рки*рни\\ + I\(Ьн - Ь)\РкихРки\\. Существуют постоянные с\ и с2 такие, что
АЛ - С1(4 + {ек + ¿?)2) < с2((^)2 +
Оценка погрешности (0.17) доказана Г.М. Вайникко [73], с. 261, оценка погрешности (0.18) выведена Дж, Фиксом [183], улучшенные оценки (0.19), (0.20) получены С.И. Соловьевым [127,145,146]. Недостаток оценок (0.17), (0.18) состоит том, что эти оценки не приводят к оптимальным результатам для метода конечных элементов с численным интегрированием. Для иллюстрации этого факта рассмотрим дифференциальную задачу на собственные значения ри'У + аи = Хги, х е (0, Л,
0.21) гл(0) = и{1) = 0, 13 с достаточно гладкими вещественными коэффициентами р = р(х), # = (/(ж), г = г (ж), х Е [0, /], удовлетворяющими условиям
VI ^ р{х) ^Р2, 0 < ^ д2, П. ^ г(х) ^ г2, х Е [0, /] для положительных постоянных р\, рч-, П, 1*2
Дифференциальная задача (0.21) эквивалентна вариационной задаче на собственные значения (0.15) при а(и, у) — (ри'у' 4- дгш) ¿х, Ъ{и,у) — / гиу<1х,
3о
У = {-и : V е ^(0,0, «(0) = у{1) = 0}.
Разобьем отрезок [0,1] равноотстоящими точками Х{ = г/г, г = 0,1,., М, на элементы = (а^-х, а^)* к = 1,2,., М, ¡г = 1/М. Обозначим через У?г подпространство пространства V, состоящее из функций Ун, принадлежащих пространству полиномов п-ой степени Рп{&к) на каждом элементе е^ = (хк-1,Хк), к = 1,2,., М.
Зададим на исходном элементе е = (—1,1) квадратурную формулу Гаусса с п узлами
1 п ^ <р(х) ЫгФШ
1 г=1 для непрерывной функции <р(х), х Ее. Здесь щ > 0, г = 1,2,., п -коэффициенты квадратурной формулы, —1 < Д < 1, г = 1,2,. ,п - узлы квадратурной формулы. Заметим, что узлами квадратурной формулы Гаусса являются корни полинома Лежандра степени п на отрезке [—1,1], а сама квадратурная формула точна для многочленов из Р2п- 1(е).
Вариационную задачу (0.15) аппроксимируем по методу конечных элементов с численным интегрированием (0.16), где
М п ан{и\ = £ £ акМиН)'{ун)' + к=1 ¿=1 М п к=1 г=1 г = 1,2, .,п, к = 1,2,. ,М.
Применяя традиционную для метода конечных элементов технику получения оценок погрешности интерполяции и численного интегрирования [149], выводим с/Л <5£ < сД2, ^ ^ с/г714"1, < сД2гг.
Подставляя эти соотношения в оценку (0.20), приходим к оптимальному результату
А - \н\ ^ с/г2п, совпадающему с оценкой погрешности метода конечных элементов при точном вычислении интегралов. В то время как оценки (0.17), (0.18) дают
Этот результат не является оптимальным по порядку при п > 1.
Оптимальные оценки погрешности метода конечных элементов с численным интегрированием доказаны в работе и. Вапецее, Л.Е. ОбЬогп [169], в которой не были выведены общие оценки погрешности приближенных решений через погрешности аппроксимации подпространства и оператора или билинейных форм.
Асимптотически точные оценки погрешности проекционного метода (метода Бубнова-Галеркина) для задачи на собственные значения линейного самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве получены в работе Г.М. Вайникко [15]. Результаты этой работы обобщены для метода Бубнова-Галеркина с возмущениями С.И. Соловьевым [146]. Асимптотические оценки погрешности проекционного метода для задачи на собственные значения линейного несамосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве доказаны в работе Г.М. Вайникко [14]. Обобщение этих результатов на более широкий класс методов получено в работе Г.М. Вайникко [16]. С.И. Соловьев [145] усилил эти результаты и получил оптимальные оценки погрешности метода конечных элементов с численным интегрированием для несамосопряженных спектральных задач. Асимптотические оценки погрешности проекционного метода для задачи на собственные значения голоморфной фредгольмовой операторной функции доказаны в работе О. Карма [62]. Развитие этих результатов для более широкого класса приближенных методов проведено Г.М. Вайникко, О. Карма [17], О. Карма [63,64,187,188]. Однако здесь не были получены оценки погрешности для собственных значений и корневых подпространств через погрешности аппроксимации подпространства и оператора, приводящие к оптимальным результатам в методе конечных элементов с численным интегрированием. Оптимальные оценки погрешности приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения установлены в работах С.И. Соловьева [127-129,132,134,135,137,144].
В настоящей работе применяются стандартные результаты теории метода конечных элементов (МКЭ). Среди обширной литературы по математической теории МКЭ отметим книги [22,25,42,70,87,95,147, 149,150,159]. Инженерные аспекты МКЭ с приложениями в механике обсуждаются в монографиях [56,69,94,98,116,156]. Суперсходимость МКЭ исследовалась в работах [5,34,38-40,71,72,79,96,97,101,108,161, 162,167,186,196-198,224]. МКЭ для задач на собственные значения изучался в работах [18,165,166,176,177,179,182-184,195,204,206,207, 225,226]. Параллельно МКЭ развивался метод конечных разностей для задач на собственные значения [31,74,83,90,102,103,106,113-115, 151].
Обратимся теперь к численным методам решения матричных задач на собственные значения. Из всего многообразия известных методов выделим метод бисекции и метод простой итерации. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции) является одним из самых эффективных методов определения группы собственных значений алгебраической спектральной задачи Ах — ХВх с симметричными ленточными матрицами А и В размера N. Метод бисекции опирается на хорошо известное свойство системы Штурма ро(А), Р1(А), рн{Л) для характеристического многочлена задачи рдг(Л) = сЫ;?7^), Т(Х) = А — ХВ, где ро(Х) = 1, Рг(Х) - г-ый угловой главный минор матрицы Т(А), г = 1,2,., N. Это свойство состоит в том, что число совпадений (перемен) знаков у соседних членов последовательности значений многочленов системы Штурма Рг(Х), г — 1,2,., ТУ равно числу собственных значений задачи Ах = ХВх больших (меньших), чем (I, если р{(Х) ^ 0, г = 1,2,., А^ [205]. Первоначально метод бисекции использовался для локализации собственных значений трехдиагональных матриц, для которых система Штурма строится по известным трехчленным рекуррентным соотношениям (см., например, [154]). Позднее такой подход был распространен на спектральные задачи с заполненными матрицами. В этом случае учет знаков последовательности значений многочленов системы Штурма в точке ¡1 сводится к исследованию знаков последовательности элементов диагональной матрицы Р(^) треугольного разложения А — цВ = Ь(ц)Б(ц)Ьт(/х) метода Гаусса, где Ь(д) - нижняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами, - матрица, транспонированная к матрице 1/(/х). Нетрудно убедиться, что £>(д) = И поэтому число положительных (отрицательных) элементов матрицы 1>(/х) совпадает с числом собственных значений исходной задачи больших (меньших), чем ¡1, если Р{(\) Ф 0, г = 1,2,., N. Это обстоятельство позволило отказаться от явного построения системы многочленов Штурма при реализации метода бисекции и провести обоснование алгоритма метода бисекции с помощью теоремы Сильвестра об инерции (см., например, [100]).
Последующие обобщения коснулись применения алгоритма деления спектра к решению задач на собственные значения с нелинейным вхождением параметра.
В работе [78] метод бисекции применялся для решения задачи на собственные значения Т(Х)х = 0 с квадратной симметричной мат1 рицей Т(А) = А — —В — А С размера ЛГ, где А - симметричная поА ложительно определенная трехдиагональная матрица, В и С - диагональные матрицы с положительными диагональными элементами. В предположении, что существует точка А* > 0, в которой матрица Т(А*) положительно определена, доказано существование вещественных собственных значений рассмотренной задачи: 0 < Алг < . < А1 < А* < Ах < . < А^. При этом установлено, что число перемен знака у соседних членов последовательности Штурмаро(/")> рЛ^), • • •> рдг(/1) для характеристического многочлена задачи = Т(ц) при /I < А* (д > А*) совпадает с числом собственных значений задачи Т(Х)х = 0 в интервале (¿г, А*) (в интервале (А*,//)). Кроме того, предложено значительно ослабленное условие на матрицу Т(А*).
Работа [112] посвящена решению задачи Т(Х)х = 0, где Т(А) = \2А+\В—С, А, В и С - квадратные симметричные матрицы размера N. причем АиС являются положительно определенными. Для локализации собственных значений используется треугольное разложение Т([х) = Ь(/1) Ь* (/2), полученное по методу квадратного корня с элементами (/¿) = 0 при г < г, 2 — 1? 2,., N, Ь*(/1) - сопряженная к Ь(ц) матрица. В данном случае многочлены последовательности Штурма задаются соотношениями ро(/и) = 1, Рк(^) — ГЙ=1 а знак элемента р^(/х) определяется по формуле (—1)т, где га - число мнимых элементов среди г^ = 1, 2,., к. Поэтому число перемен знака в последовательности Штурма Рг(¿0, • • -, Рлг(м) равняется числу мнимых диагональных элементов матрицы Доказывается, что число перемен знака в последовательности Штурма ро(^), Р1 (/х), ., Рлг(д) при /х > 0 < 0) совпадает с числом положительных (отрицательных) собственных значений задачи Т(Х)х — О больших (меньших), чем /х, если ры{у) Ф 0. Этот факт позволяет эффективно отделять собственные значения указанной задачи.
В работе [32] рассматривается задача А (Л) .г- = ХВх, где А{ц) - трехдиагональная матрица размера N с невозрастающей зависимостью от параметра ц, В - диагональная матрица с положительными диагональными элементами. В предположении, что существует точка А* > 0, в которой матрица А(А*) является положительно определенной матрицей, установлено существование положительных различных собственных значений. Показано, что число совпадений знаков последовательности значений в точке /х > 0 многочленов системы Штурма для характеристического многочлена А) = с1е!;(А(А) — А В) равно числу собственных значений строго больших, чем На основе этого свойства построен алгоритм метода бисекции вычисления положительных собственных значений с использованием реккурентных соотношений для системы многочленов Штурма.
В работе [181] изучается задача А(А)ж = ХВ(Х)х с симметричными положительно определенными матрицами А(/л) и В (¡л) для фиксированного [1 из интервала (А~,А+), 0' < А- < А+ ^ оо. В предположении, что отношение Рэлея х) = (А(^)х,х)/(В((л)х,х) является непрерывной невозрастающей функцией числового аргумента ¡1 £ (А~, А+), подчиняющейся некоторым дополнительным условиям, установлено существование N собственных значений А&, к— 1,2,., N1 Х~ < Ах ^ А2 ^ . ^ Хм < А+. При помощи теоремы Сильвестра об инерции^доказано, что число отрицательных ведущих элементов гауссова исключения неизвестных, примененного к ма.трице А(р) — рВ{р), равно количеству собственных значений задачи Л(А)ж = ХВ(Х)х меньших, чем р. Этот результат положен в основу предлагаемого метода бисекции.
В работе [131] исследуется алгебраическая задача на собственные значения А(|А|)ж = Ах, где А(р) - матрица с положительными элементами, являющимися непрерывными невозрастающими функциями параметра ^ £ Л = (0, сю). Обозначим через р спектральный радиус, то есть радиус наименьшего круга на комплексной плоскости с центром в начале координат, который содержит все собственные значения сформулированной задачи. Доказано, что р > 0, р является алгебраически простым собственным значением данной задачи, любое другое собственное значение А удовлетворяет неравенству |А| < р. Собственному значению р отвечает единственный нормированный собственный вектор с положительными координатами. Эти результаты являются обобщением результатов хорошо известной теоремы Перрона для положительных матриц. Установлено, что число /х е А больше собственного значения р тогда и только тогда, когда все верхние угловые главные миноры матрицы рЕ — А(р) положительны. На этом результате основан предлагаемый метод бисекции вычисления спектрального радиуса р задачи.
После дискретизации задачи на собственные значения для симметричных эллиптических дифференциальных операторов мы получаем матричную задачу Аи — АВи с большими разреженными симметричными положительно определенными матрицами А и В. Обычно матрицы А и В имеют очень большие размеры, и матрица А является плохо обусловленной. Мы предполагаем ситуацию, когда большие размеры матриц Л и В не позволяют хранить эти матрицы в памяти компьютера, а в нашем распоряжении имеются лишь подпрограммы для вычисления произведений матриц на векторы Аи и Ву. В прикладных задачах на собственные значения, описывающих собственные колебания механических конструкций с массами, как правило, интерес представляет вычисление только небольшого количества наименьших собственных чисел, определяющих основные собственные частоты системы.
Классические численные методы решения задач на собственные значения не могут применяться в данной ситуации поскольку память компьютера для хранения матриц А и В не доступна. Метод Лан-цоша имеет медленную сходимость поскольку число обусловленности матрицы А возрастает при уменьшении размера сетки К. В указанных прикладных задачах число обусловленности обычно ведет себя как 1гт: 2 < т ^ 4.
Чтобы найти наименьшее простое собственное значение А1 матричной задачи Аи — ХВи, мы можем применить градиентный метод. Хорошо известно, что Ах есть минимум отношения Рэлея К(у) — (Ау,у)/(Ву,у), а его стационарная точка есть собственный вектор щ, соответствующий А1. Следовательно, молено построить минимизирующую последовательность ненулевых векторов ип, п = 1,2,. /ип = Щип) —>• Ах, ип —щ, п —> оо, используя формулы йп+1 = ип Тп^А ИпВуип^ о-р + 1 при подходящем выборе скалярного параметра тп, \\и\\^ = (Ви,и). Этот итерационный метод называется градиентным методом для вычисления наименьшего собственного значения матричной задачи поскольку гас1 Я(у) = 7-5-—г (А - Л(ь)В)у и йп+1 = ип-с0ёг&6К(ип), где Со = тп(Вип,ип)/2. Таким образом, в градиентном методе мы двигаемся от заданного вектора ип в направлении —1Я(ип).
Описанный градиентный метод сочетает максимальную простоту реализации с минимальными требованиями к памяти. Поэтому этот метод называется также методом простой итерации. К сожалению, этот метод имеет очень слабую сходимость для плохо обусловленной матрицы А.
Для улучшения сходимости метода простой итерации мы введем предобуславливатель С-1, где С есть матрица, аппроксимирующая матрицу А, и вычислим последовательности ип, п — 1,2,. с помощью соотношений: п+1 = ип Тпс1 (А - 11пВ)ип,
7/П+1
Матрица С предполагается симметричной положительно определенной и легко обратимой матрицей. Последний метод использует градиент отношения Рэлея в векторном пространстве со скалярным произведением (С.,.): grad^) = - R(v)B)v, отсюда получаем йп+1 = ип ^ где со = тп(Вип,ип)/2. Поэтому этот метод называется градиентным методом с предобуславливанием или предобусловленным методом простой итерации (ПМПИ).
Сходимость метода ПМПИ можно улучшить, если минимизировать отношение Рэлея в подпространстве Vn+\ = span{z/n, wn} или Wn+1 = span{'un1,nn,'wn}, wn = C~1(A — finB)un. Соответствующие итерационные методы называются предобусловленным методом наискорейшего спуска (ПМНС) и локально оптимальным предобусловленным методом сопряженных градиентов (ЛОПМСГ), соответственно.
ПМНС для симметричной задачи на собственные значения Аи = ХВи впервые был изучен в работе Б.А. Самокиша [110]. Не зависящие от шага сетки оценки погрешности для ПМПИ были впервые получены В.Г. Дьяконовым и М.Ю. Ореховым в работе [49].
A.B. Князев предложил ЛОПМСГ в работе [189], провел исследования этого метода и его вариантов в работах [190-193].
В работах К. Neymeyr [193,201,202] получены точные оценки сходимости ПМПИ. Обзор результатов по итерационным метода с пред-обуславливанием содержится в работах A.B. Князева [190,191,193].
В статье С.И. Соловьева [218] предложена методика построения и исследования итерационных методов с предобуславливанием для нелинейных спектральных задач высокого порядка при монотонной зависимости от параметра следующего вида: найти А б Л и и е Н \ {0} такие, что А(Х)и = ХВ(Х)и, где Н есть вещественное евклидово пространство, Л - интервал на вещественной оси, A{ß) и B(ß) - разреженные симметричные положительно определенные матрицы, матрица A{ji) является плохо обусловленной при фиксированном р 6 Л. Предполагается, что отношение Рэлея R(ß, у) — (A(ß)v,v)/(B({i),v,v), р <Е А является при фиксированном v G Н невозрастающей функцией числового аргумента, то есть R{p,,v) ^ R(r),v), р < г], /1, г) £ А, v £ Н \ {0}. Рассматривается ситуация, когда матрицы А(р) и В{р) не могут быть помещены в память компьютера и имеются лишь процедуры для умножения этих матриц на вектор A(p)v и B(p)v.
Для решения монотонной нелинейной задачи на собственные значения в работе [218] предложен ПМПИ следующего вида: n+1 = и11 - rnC~1{ßn)(A(ßn) - рпВ{рп))ип, un+l — TiT^+fii-ßn+l = R(ßn+\ün+% n = 0,1,., и где симметричная положительно определенная легко обратимая матрица С{р) удовлетворяет условию: 5о(р,)(С(р)у,у) ^ {А(р)у, у) < 5\{р){С(р)у,у), у е Н\ {0}, /¿еЛ, итерационный параметр тп определяется по формуле тп = 2/(50(рп) б^р,71)), = (В(р)и,и).
В этом методе при каждом n ^ 1 минимизируется отношение Рэлея R(pn,v), V G Н \ {0} и находится единственное решение скалярного уравнения. В ПМПИ мы двигаемся от заданного вектора ип в направлении —grad^n) R(ßn, и11).
Сходимость ПМПИ можно улучшить, если минимизировать отношение Рэлея в подпространстве Vn+i = span-jV', wn} или Wn+1 = span{Vl1, un, w71}, wn = C-\yLn){A{yP) - ßnB(ßn))un. Соответствующие итерационные методы для решения нелинейных спектральных задач называются соответственно ПМНС и ЛОПМСГ. Более простые и медленные варианты ПМПИ, ПМНС и ЛОПМСГ для решения нелинейных спектральных задач изучены в [211,214].
Описанный подход позволяет строить блочные варианты итерационных методов для нелинейных спектральных задач [136,138,142, 143,210] и рассматривать монотонную зависимость от параметра другого вида [137].
В диссертации используются известные результаты по теории матриц, линейной алгебре и численным методам. Теория матриц и основы линейной алгебры изложены в [12,20,21,23,24,80]. Классические методы решения алгебраической проблемы собственных значений содержатся в книгах [100,154]. Двухслойные итерационные методы решения спектральных задач исследуются в работах [46-48,57,104]. Эти методы являются прототипами соответствующих итерационных методов решения систем линенйных алгебраических уравнений. Различные вопросы теории итерационных методов решения систем уравнений излагаются в [84,86,88,89,106,107,109]. Итерационные методы с предобуславливанием основаны на применении экономичных методов решения сеточных уравнений [59-61,107,109,160,170-173,175, 185,219,220].
Итерационные методы для нелинейных спектральных задач изучаются в работах [174, 200, 222, 223]. Обзор итерационных методов для нелинейных задач на собственные значения содержится в работах [180,208].
Обратимся теперь к содержанию настоящей диссертации. Диссертация состоит из четырех глав и приложения. Главы разбиты на параграфы и пункты. При нумерации параграфов и пунктов используется номер главы, номер параграфа в главе и номер пункта, соответственно.
В первой главе исследуется разрешимость нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.
Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. Здесь сформулирована линейная вариационная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.15), приведены известные результаты о существовании собственных значений и собственных элементов, минимаксные характеризации собственных значений и теорема сравнения. Эти результаты применяются далее при исследовании нелинейных задач на собственные значения.
В § 1.2 изучается нелинейная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве. Пусть V - вещественное бесконечномерное гильбертово пространство с нормой ||.||, Ж. - числовая прямая, Л = {у 1,^2), 0 < щ < V2 ^ оо. Введем симметричные билинейные формы а(ц) = а((1,.) 6(/л) = .,.) : V х V —> №, непрерывно зависящие от ¡л £ А. Предположим, что для фиксированного д € А билинейная форма а(/х,.,.) является положительно определенной и ограниченной, а билинейная форма &(//,.,.) является положительной и вполне непрерывной. Предположим, что функционал Рэлея является невозрастающей по числовому аргументу функцией.
Сформулируем нелинейную задачу на собственные значения: найти А 6 А, и € V \ {0} такие, что о(А, и, у) = АЬ(А, и, у) Уу е V. (0.22)
Для исследования разрешимости этой задачи введем вспомогательную линейную задачу на собственные значения при фиксированном /х £ А: найти 7 = бЕ, у — у{ц) G V \ {0} такие, что a(fi, у, v) = 7Ь(/х, у, v) Vv G V. (0.23)
Задача (0.23) имеет последовательность положительных конечно-кратных собственных значений % = 7к(м), к = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:
0 < 7i < 72 ^ • • • ^ 1к ^ • • •, lim 7к = оо. к—>оо
Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов yk — Ук{д), к = 1,2,. такая, что = lAj: Кц,Уг,Уэ) = Stl, ij = 1,2,. Элементы ук, к = 1,2,. образуют полную систему в пространстве V. Справедливо соотношение 7k{¡j) ^ 7kiv) ПРИ М < V £ Л.
Установлены следующие результаты,существования решений задачи (0.22). Пусть 0 ^ v\ < 1у2 < оо, 1 ^ т ^ п, li{vj) = lim 7¡(i"), 3 = 1,2, i = 1, 2,., ra = min{¿ : 1/1 — ^(щ) < 0, i ^ 1}, n = max{¿ : v2 — 7^2) > 0, i ^ 0}.
Тогда задача (0.22) имеет конечную последовательность положительных собственных значений А&, к = ra, ra + 1,., п, занумерованных с учетом кратности: v\ < Агп ^ Am+i ^ . ^ An < V2
Пусть V\ ^ 0, щ — оо, га ^ 1, га = min{¿ : i>\ — 7¿(i'i) < 0, г ^ 1}.
Тогда задача (0.22) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений А^, к — т, т-\-1:.занумерованных с учетом кратности: Am ^ Am+i < . ^ Хк ^ .,, lim А*; = оо. fc—юо
Каждое собственное значение Аi является единственным корнем уравнения - li{ß) = 0, це А. Собственное подпространство U(Xi) задачи (0.22) является собственным подпространством Y(p). соответствующим собственному значению 7г(д) линейной задачи на собственные значения (0.23) для ß = Х{.
В § 1.3 рассматривается рациональная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве. Пусть V - вещественное бесконечномерное гильбертово пространство с нормой (|.[|, К - числовая прямая. Введем симметричные билинейные формы а : V х V —> R и b : V х V —> Ж. Предположим, что билинейная форма а(.,.) является положительно определенной и ограниченной, а билинейная форма &(.,.) является положительной и вполне непрерывной.
Пусть <7j, г = 1,2,., m - заданные вещественные числа такие, что
0 < Gi < сг2 < . < сгто < оо.
Определим неотрицательные симметричные билинейные формы сг- : V х V —> К, сг(г>, v) ^ 0 для v 6 V, г — 1,2,., т. Предположим, что ri = codimkerq < оо для г = 1,2,. ,т, где kerq = {г> : v € V, Ci{v, v) = 0}, 1 ^ i ^ m.
Сформулируем рациональную задачу на собственные значения: найти А G М, и е V \ {0} такие, что т д a(u, v) = XЬ(и, v) + У^-г<ч(и, v) Vv е V. (0.24) r-f — А г=1
Обозначим gq — 0 и <rm+i = оо. Определим Лгг = (crni,crn), 1 ^ n^m + 1 и введем билинейные формы an{fi:.,.), bn(ß,.), .),
6„(д,.), 1 < П ^ т + 1 и ап[.,.], Ь„[.,.], 1 ^ п ^ га:
71—1 ап(^,щу) = У"—-—сг(и,г/), т ^
6„(/л, и,у) -сг(ад, V), - м г=п ап(д, и, г») = г;) + ап(//, и, г»), Ъп(ц,и,у) = Ь(и, у) + Ьп(/л,и,у), ап[и, г;] = а(и, + ап(о-п, ад, г;), = Ь(гг,г;) 4- Ьл+х^п,«,«), при ¡1 6 Лп.
Запишем задачу (0.24) для интервала Лп, 1^тг^га+1в виде: найти Л е Лп, гА 6 V \ {0} такие, что ап(Л,и,у) = ЛЬп(А,и,у) Уу е V. (0.25)
Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ¡л <Е Ап найти е М, и е V \ {0},
1 ^ п ^ т + 1 такие, что
Оп(ц, и, у) = ^(п)(/х)Ьп(/л, и, у) Уу е V; (0.26) найти А^ 6 1, и £ К \ {0}, 1 < п < т такие, что ап[щу] = Х^Ьп[щу] \/уеУп. (0.27)
Задача (0.26) имеет последовательность положительных конечно-кратных собственных значений (р\п\ц), г — 1,2,., занумерованных с учетом кратности:
0 < №01) < < • • • < < • •, Дт = оо. г—>оо
Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., образуют полную систему в пространстве V.
Задача (0.27) имеет последовательность положительных конечп) нократных собственных значений Л) , г = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:
0 < А<п) < A<n) sS . < Af} ^ ., lim Аг(п) = оо. г—>оо
Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., образуют полную систему в пространстве V„.
Исследование существования решений рациональной задачи (0.24) основано на применении следующих свойств функций ¡л Е Лп, к — 1,2,.
1) Функции <p^\f.i), ¡1 € Ап, к = 1, 2,. являются непрерывными невозрастающими функциями.
2) <ДП)М 0 при /z er", fc = 1, 2,., r„, 1 ^ n ^ т.
3) PfcirM 4П) при /х -> г = г„, & = 1,2,.1 < га т.
4) - Хк~1) прп М 0-+.1, А: = 1,2,.2 ^ n < т + 1.
Положим г0 = 0, гт+1 = 0, Mi — r0+ri+. .+rt-, г = 1, 2,., т+1, Л = (0, сю), Л = [0, сю]. Определим функции 7¿(д), /i Е Л, г = 1, 2,. по формулам lk{ß) = </?!П)М> ре К, к = Мп-1 + г, г = 1,2,., 7,-Ои) = 0, ß Е Лп, j = 1,2,., Mni для 1 < п ^ т + 1.
Из свойств функций ip^l\/Li), fi. Е Ап, к = 1,2,. вытекает, что функции 7г(^), /л Е Л, г = 1,2,. являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число А Е Л является собственным значением задачи (0.24) тогда и только тогда, когда А Е Л есть решение одного из уравнений ¡л — ^k(ß) — 0, ß Е Л, к = 1,2,.
Доказано, что задача на собственные значения (0.24) имеет последовательность конечнократных собственных значений А^, г = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:
0 < Ai ^ А2 ^ . ^ Аг., lim А г = сю. г—»оо
Каждое собственное значение Xi, i 1 является единственным корнем уравнения
М-7»М =0> jweA, г ^ 1.
Соотношения
Xis-i < Xis = . — Л/ = сгп < Xi+1 выполняются тогда и только тогда, когда ч (га) ч (га) ч (га) . ч(га)
Aj-s — • • " — Aj — ап < для l = Мп-1 -(- i, i = j + rn. Собственное подпространство U(Xk) задачи (0.24) является a) собственным подпространством, соответствующим собственному значению ip\n\fj) линейной задачи на собственные значения (0.26) для ¡i — Afc, если Л/- е Л7г, к = Мп~i + г, b) собственным подпространством, соответствующим собственному значению А^ линейной задачи на собственные значения (0.27), если Àjn) = Xi = ап, I = Mni + г, i = j + rn.
Пусть N{0) = 0, N(oo) = oo, jV(/?) = max{i : 7г(/3) < /9, г > 0}, ¡3 € Л, 7o(/-0 = 0, ¡i G Л. Тогда число собственных значений iV(ai, (3) задачи (0.24) на полуинтервале (а, /5] определяется по формуле N(a,(3) = iV(/3) — N(a), а < (3, а, ¡3 Е Л. Имеют место соотношения 0 < iV(a,/?) ^ оо, N(0,13) = iV(/?), iV(/?) ^ Aff для г - /(/?), 1({3) = тах{г : <тг- ^ /3, г > 0}. Если 0 < JV(o:, (3) < oo, то выполняются неравенства сх. < Аг1 где «i - А^(ск) + X, г2 = N(¡3).
Пусть Nq = 0, Nm+i = oo, Nn = тах{г : А^ < <гп,г > 0}, 1 ^ п ^ т, где л|п\ г = 1,2,.— собственные значения задачи (0.27), А?0 - 0. Тогда N(ai) = Nt + M при 1 ^ i ^ m + 1, NfatTj) = (.Nj - Ni) + (M,- - М"г-) при Если 0 < iV^, cr.,) < oo, то справедливы неравенства где ¿1 = Мг + М,; + 1, ¿2 = М,- + А^".
Во второй главе изучаются конечномерные аппроксимации нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.
В § 2.1 исследуется аппроксимация линейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.15). Эта задача приближается задачей (0.16) в конечномерном подпространстве. Получены результаты о сходимости и погрешности приближенных решений. В частности, доказана оценка погрешности (0.20). Результаты данного параграфа применяются далее при исследовании приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения.
В § 2.2 рассматривается аппроксимация нелинейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.22).
Для аппроксимации задачи (0.22) зададим конечномерные подпространства У}ь пространства V размерности Л^, удовлетворяющие условию предельной плотности, то есть для любого элемента V из V ек{у) = т£ ||г;-Л 0 при /г, —> 0.
Определим симметричные билинейные формы а^М = я^М •) •' Ук х У/, -> К и &ь(/х) = .,.) : Ун х 14 —:► Е, непрерывно зависящие от ¡1 е А. Предположим, что ун) > 0 для любых Vй е Т4 \ {0} и выполнено условие аппроксимации для приближенных билинейных форм, то есть —> 0 при /г —» 0, где IIКМ - «М)кьху,|| + НОьМ - ЬШъхуА
Предположим, что отношение Рэлея является невозрастаю щей по числовому аргументу функцией.
Нелинейную задачу на собственные значения (0.22) будем аппроксимировать конечномерной задачей: найти £ Л, и'1 £ такие, что а,г{Хь, и\ V11) = Х%(Х\ и\ ук) \/ук е Ун. (0.28)
Введем вспомогательную линейную задачу на собственные значения при фиксированном ¡л, Е Л: найти 7/г = 7/1(/-0 6 К, ^ = УН{ц) £ 14 \ {0} такие, что а}1(^у\ук) = 7%((л,у\ук) Уун Е Ун. (0.29)
Задача (0.29) имеет Л4 положительных конечнократных собственных значений = к — 1,2,., Л4, занумерованных с учетом кратности:
Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов = к = 1,2,., А^ такая, что = 7?%, = г,3 = 1,2, .,А4. Элементы^, к — 1,2,., Л^ образуют полную систему в пространстве Ун-Имеют место неравенства 7^(/л) ^ 7^(г?) при уь < г), /¿, 77 Е А. Пусть 0 < г/1 < 1/2 < оо, 1 ^ т < п,
Нт7?М, ¿ = 1,2,1 = 1,2,.,^, т = шп{г : 1/1 — 7,^(^1) < 0, г > 1}, п = тах{г : и2 — > 0, г > 0}.
Тогда задача (0.28) имеет конечную последовательность положительных собственных значений к = ш, т + 1,., п, занумерованных с учетом кратности:
Пусть ui ^ О, V2 = сю, т > 1, т = гшп{г : z/i — 7*4 ^l) < О, i ^ 1}.
Тогда задача (0.28) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений к = т, ш + 1,., Nh, занумерованных с учетом кратности: ^т ^ rfn+1 < • • ■ ^
Каждое собственное значение Xf является единственным корнем уравнения
М - 7?М = М^Л.
Собственное подпространство £4(Af) задачи (0.28) является собственным подпространством ^(д), соответствующим собственному значению 7г/1(/л) линейной задачи на собственные значения (0.29) для
Установлены следующие результаты о сходимости и погрешности приближенной схемы (0.28).
Пусть А^ - собственное значение приближенной схемы (0.28), и£ - отвечающий Aj£ собственный элемент такой, что = 1.
Тогда имеет место сходимость Х\ —> А& при h —> 0, из каждой последовательности h! 0 можно выбрать подпоследовательность h" —> 0 такую, что и^ —> Uk в V при h = h" —> 0, где Ak и^- собственное значение и собственный элемент задачи (0.22). Если А& - простое собственное значение и знаки собственных элементов выбраны так, что bh{ A J, РьЦк) > 0, то —> в V при h —» 0.
Пусть Afc - собственное значение задачи (0.22) кратности s, U = /7(Afc) - собственное подпространство, отвечающее А&, dim С/ = s.
Положим k = sup £h(u), u£U,\\u\\=l = IIK(Afc) - a(A*))|iWxvJ + \\(bh(Xk) ~ KAfc))kj7xvJ|, = ||K(Afc) - a(Xk))\PhUxPhU\\ + \\{bh{Xk) -= IMAft) - ал(АЙ|| + ||ЬЛ(А*) - ЬЛ(АЙ||. Для достаточно малых h справедлива оценка погрешности
Xhk - Хк\ ^ c[S% + (eh + б!)2}, где с - постоянная, не зависящая от h.
Пусть ик - собственный элемент приближенной схемы (0.28), \\uhk\\ = 1. Тогда найдется собственный элемент и G U задачи (0.22) такой, что для достаточно малых h справедлива оценка погрешности till <С(е*+ *? + <§), где с - постоянная, ие зависящая от h.
В § 2.3 исследуется аппроксимация рациональной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.24).
Для аппроксимации задачи (0.24) зададим конечномерные подпространства Vh пространства V размерности Nh, удовлетворяющие условию предельной плотности.
Определим отображения а^ : Vh х Vh ► М и Ь/г : Vh х 14 —М, которые являются симметричными билинейными формами ал(.,.) и .). Предположим, что ЬЦгДг/1) > 0 для любого vh е Цг \ {0} и выполнено условие аппроксимации для приближенных билинейных форм, то есть <5q —> 0 при h —> 0, где ПК " a)\vhxvh\\ + ||(bh ~ &)kxyj
Рациональную задачу на собственные значения (0.24) будем аппроксимировать конечномерной задачей: найти Xh G М, uh G Vh \ {0} такие, что \Н ап{и\ ук) = \%{и\ ул) + V--кс,{и\ Vй) \/ун Е Ун. (0.30)
У{ — ла
1=1
Определим билинейные формы а/т(^,.,.), Ь/т(/2,.,.), 1 ^ п ^ т+ 1 и анп[-, •], ЬНп[.,.], 1 < п < т: аЛ(иЛ,г>А) + ап(р,и}г ,ук), ьнп{^1 чд ун) = Ък(инУ)+Ъп(ц,и\уЬ), акп[ии,ун] = ан{ин, Vй) + ап(ап, гД V*1),
Ь,гп[и\ = Ън(и\ ун) + Ъп+1{ап, и\ ук), при ц, е Лп, гД ун е Ун.
Обозначим Уьп = кегсп П Ун, 1 ^ п < т.
Запишем задачу (0.30) для интервала Лп, 1 ^ п ^ т + 1 в виде: найти Хк £ Лп, и1' £Ун\ {0} такие, что аНп{Х\и\ук) = Л%т{Х\и\уп) \/ун б УН. (0.31)
Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ц Е Лп найти ср(Ьп)(/и) Е Ж, иь £ Ун \ {0}, 1 < п ^ т + 1 такие, что анп(^ и\ у11) = и\ ун) \/ук Е Ун- (0.32) найти А<Лп) Е К, ин Е Унп \ {0}, 1 ^ п ^ т такие, что а}гп[и\ ун] = Х^п\п[и\ у11] Уук Е Цт. (0.33)
Задача (0.32) имеет Л^ положительных конечнократных собственных значений г — 1,2,., Ын, занумерованных с учетом кратности:
Соответствующие собственные элементы г — 1, 2,., Ал, образуют полную систему в пространстве У^.
Задача (0.33) имеет А^ — ги положительных конечнократных собственных значений Х^п\ г — 1,2,., Л^ — гп, занумерованных с учетом кратности: о < л^п) < <. ^ а#;2Гп.
Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., АГ^ — гп, образуют полную систему в пространстве Уип
Исследование существования решений рациональной задачи (0.30) основано на применении следующих свойств функций ), /2 е
Ап,к = 1, 2,.
1) Функции р € Лп, к = 1,2,., А^ являются непрерывными невозрастающими функциями.
2) —► 0 при д —► <х~, /с = 1, 2,., г„, 1 < п < т.
3) 00 ПРИ V ап-п к = Жн- гп 1 + 1,., А^, 2 < п ^ т + 1.
4) <Рк+г(и) -»• при /х ¿г", г = гп, к = 1, 2,., А/, - г„, 1 ^ п ^ т.
5) при ц Л = 1, 2,., - г„1, 2 ^ п < т + 1.
Положим г0 = 0, гт+1 = 0, Мг = г0+г1 + . г = 1,2,., т+1, М = Мт, Л = (0, оо), Л = [0, оо]. Определим функции 7^(/х), М е Л« г = 1,2,., ЛГ/1 + М по формулам
7?Ы = 0, /хеЛп, ^ — 1, 2,., Мп1, Л« = Л, ¿ = 1,2,.,^, оо), г = + + = 1, 2,., Г/,.7 = 1,2,., т для 1 ^ п ^ т + 1.
Из свойств функций щ (//), // е Лп, А; = 1,2,., Ми вытекает, что функции 7^(д), ц Е Л^, г = 1,2,.,ЛГ/1 + М являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число Хь Е А является собственным значением задачи-(0.30) тогда и только тогда, когда Хк £ Л есть решение одного из уравнений /1 — = 0,
Доказано, что задача на собственные значения (0.30) имеет А^ + М конечнократных собственных значений Л^, г = 1,2,., Л^ + М, занумерованных с учетом кратности:
0 < Л^ ^ Л2 ^ • • • ^
Каждое собственное значение Л'г, 1 < г ^ 7У/г + М является единственным корнем уравнения
Д - = 0, ¡1 Е +
Соотношения — °п< ^1+г выполняются тогда и только тогда, когда х(Лп) Ч (Лга) Л (Лп) Л (Лп)
- ' " • — Аз — < для / = Мп1 + г, ^ = 3 + тп. Собственное подпространство £7л(А|) задачи (0.30) является a) собственным подпространством, соответствующим собственному значению (р\кп\[1) линейной задачи на собственные значения (0.32) для ¡1 = если е Ап, к = Мп1 + г, b) собственным подпространством, соответствующим собственному значению линейной задачи на собственные значения (0.33), если А^/ш) = Х[г = ап, I = Мпх + г, г = у + г„.
Пусть ЛГ(0) = 0, А/"(оо) = + М, N(0) = тах{г : <
Р,ъ > 0}, /3 е Л, 70 (/¿) = /1 Е А. Тогда число собственных значений АГ(о!, (3) задачи (0.30) на полуинтервале (а, ¡в] определяется по формуле N{a,(3) = N{(3) — N(a), a < (3, a, (3 G Л. Имеют место соотношения 0 ^ N(a,p) ^ Nh + M, N{0,0) = N{¡3), N(/3) > Aff для г — I{(3), I{(3) = max{i : <7* ^ (3,i ^ 0}. Если N{a,f3) > 0, то справедливы неравенства а < А* < . < A* ^ /?, где ¿i = АГ(а) + 1, i2 =
Пусть iVj = 0, = Nh + M, JVj = max{i : Afm) < <rn> i > 0}, 1 ^ n ^ га, где \ihn\ г = 1,2,., A^ — rn - собственные значения задачи (0.33), À(0hn) = 0. Тогда Nfa) = Nj1 + М{ при 1 ^ i < m + 1, N(<rt,<Tj) = (iVj1 - Nj1) + (Mj - Mi) при 1 < i < j ^ m + 1. Если N((Ti,<jj) > 0, то справедливы неравенства где ?"i = N[l + Mi + 1, ¿2 = Nf + My
Приведем полученные результаты о погрешности приближенных решений.
Пусть Afc - собственное значение задачи (0.24) кратности s, U = U(Xk) - собственное подпространство, отвечающее dim Щ = s. Введем следующие обозначения: eh = sup £h(u), иеи,\\и\)=1
St = \\(ah - a>)\phuxvh\\ + II(h ~ b)\PhuxVh\\, ¿2 = UK - a)\PhuxPhu\\ + ||(bh ~ b)\phuxphu\\-Для достаточно малых h справедлива оценка погрешности
Й-А.Кс^ + ^ + ф2], где с - постоянная, не зависящая от h. ■
Пусть - собственный элемент приближенной схемы (0.30), ||u2|| = 1. Тогда найдется собственный элемент и = и(и'£) Е Uk задачи (0.24) такой, что для достаточно малых h справедлива оценка погрешности где с - постоянная, не зависящая от к.
В третьей главе разработаны итерационные методы решения матричных нелинейных задач на собственные значения.
В § 3.1 описапы хорошо известные методы решения линейной задачи на собственные значения: метод бисекции и метод итерации подпространства. Для этих методов приведены известные результаты о сходимости и погрешности, которые далее применяются при исследовании методов решения нелинейных задач на собственные значения.
В § 3.2 построены алгоритмы решения матричной нелинейной задачи на собственные значения с монотонной зависимостью от спектрального параметра. Задачи такого вида возникают при аппроксимации задач (0.22) и (0.25) с помощью приближенных схем (0.28) и (0.31).
Пусть Н есть ЛГ-мерное вещественное евклидово пространство векторов со скалярным произведением (.,.) Л = (^1,^2), 0 ^ < 1^2 ^ оо. Для ¡1 £ Л введем симметричные положительно определенные квадратные матрицы А(р,) и В([1) размера N. Предположим, что элементы матриц А(ц) и В {¡л) непрерывно зависят от параметра ¡л £ Л, отношение Рэлея является невозрастающей по числовому аргументу функцией.
Сформулируем следующую задачу на собственные значения: найти А € А, и £ Н \ {0} такие, что
А(Х)и = ХВ(Х)и. (0.34)
При фиксированном р, £ А. обозначим через 'Ук = 7/с(м)> к = 1,2,., собственные значения задачи А{(х)у = 7В{р)у занумерованные с учетом кратности: 0 < 71 ^ 72 ^ . ^ 7лг
Обозначим lityj) - lim тj = 1, 2, i = 1,2,., N, m = min{i : v\ — 7z(^i) < 0, i ^ 1}. Для z/2 — oo положим n = N, для i/2 < oo положим n = max{i : v2 — 7»(^2) > 0, г ^ 0}, m ^ n.
Задача (0.34) имеет собственные значения A>t, fc = m, тп + 1,., n, занумерованные с учетом кратности: Am ^ Am+i < . ^ Ап < ь>2
Собственное значение Ате ^ г ^ п является единственным корнем уравнения ц — "fi(fi) = 0, ß G А, m ^ г < п.
Установлен следующий результат. Пусть при фиксированном ß E Л выполняется треугольное разложение . с диагональной матрицей D(ß) и нижней треугольной матрицей 1/(/г), имеющей единичные диагональные элементы. Тогда u(A(ß) - ßB(ß)) = т - 1 + г/(Д - //£7) = v{D(ß)), где Б1 - единичная матрица размера n — m + 1, v{C) - число отрицательных собственных значений матрицы С (отрицательный индекс инерции), Л = diag(ATO, ATO+i,., Ап), Аг-, i = m, m -f- 1,., n - собственные значения матричной задачи, 1 ^ m ^ гг.
Из этого результата следует, что количество собственных значений матричной задачи, меньших ß E А, совпадает с числом v(D(ß)) — т +1, где v(D(ß)) - число отрицательных элементов диагональной матрицы D(ß) указанного треугольного разложения, если это разложение существует. Для вычисления величины следует воспользоваться методом Гаусса. В этом случае г/(В(ц)) равно числу отрицательных ведущих элементов, возникающих в процессе гауссовых исключений неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с матрицей А({1) — цВ(/1), р е Л. Описанная процедура деления спектра вместе с известным приемом деления отрезка пополам позволяет локализовать с требуемой точностью любое собственное значение задачи из заданного отрезка.
Далее построен метод итерации подпространства с предобуслав-ливанием. Предположим, что для каждого д € А задана квадратная симметричная положительно определенная матрица С(д) размера N и положительные постоянные 5о(ц) и ^(/х), для которых выполняются соотношения
VI; е н.
Для заданного цп определим итерационный параметр по формуле
Зафиксируем номер к, т ^ к ^ п. Через Un = (£/"", Щ,., Щ) и Vй = (У", У2П) • • •, V/!1) при п — 0,1,. будем обозначать прямоугольные матрицы, состоящие из к столбцов Щ, Щ, ., Щ и У/1, V™, ., длины N соответственно, через span Vn = span-fl/", V^1,., V£} -линейную оболочку столбцов матрицы Vn, через Ап при п — 0,1,. - диагональные матрицы А71 = diag(A™, Ag,., А£), когда диагональные элементы упорядочены по неубыванию:
А? ^ . < AJ.
Зададим V0 и вычислим
А0 и U0 с помощью метода Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span V0 так, что
U°)TA(n°)U° = A0, (U°)T B(fj,°)U° = Я,
При п = 0,1,. вычисляем An+1 и Un+1 по методу Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vn+1,
Vn+1 = Un - TnC~1(/j7l)(A(fin)Uri - B(fin)UnAn),
Un+1)TA(iin+1)Un+1 = An+1, (Un+1)T B{pn+l)Un+1 = E,
Hn+1 = AJ+1, ип+1 = щ+1.
Заметим, что ¡in = 7fc(//', span = R(fj,n,un) при n = 0,1,. то есть приближение цп является собственным значением с номером к матричной задачи метода Рэлея-Ритца в подпространстве span Vй, приближение ип является собственным элементом, отвечающим собственному значению ¡in.
Введем функции <рп{ц) = R(fi,un), ц £ А, п — 0,1,. Отметим, что приближение fin определяется как решение уравнения
Р = <Pn(jf), где п = 0,1,.
Доказаны следующие результаты.
Пусть Хк < Afc+i, < Ajt+i. Тогда /хп —► Afc при п -> оо, Afc+i > / > /i1 ^ . > /¿п ^ . ^ Хк.
Предположим, что существуют положительные числа д\ и §2 такие, что
A(ji)v, v) - (A{<n)v, v)\ 9i (77 - /-0 v),
I(B(jj)viV) - (B(ri)v,v)I ^ 92 (17 - fj) (B(j*)v,v) для Ui < Xk < ц ^ 77 < Afc+1 <u2,v £ H\ {0}.
Пусть Afc < Afc+i, /x° < Afc+i. Тогда имеет место оценка j,n+1 — Afc < — Afc Afc+i - /¿n+1 "" n Afc+i - /j,n' где п = 0,1,. р\ + Го sn рп = 7fc+i(/in) - 7к(рп)
Чп l + Го Sn ßn ' lk+i{ßn)-ßn '
Го = g, 9 = 91 + 92, 1 ^ Sn < sn-1 ^ . < So, qn ^ qn-i ^ . • • ^ qo < 1, sn —► 1 при n oo, gn —»• (pf + r0Afe)/(1 -f г0А&) при n -> oo.
Предположим, что ^ = rj), g2 = д2(р, ry), б?0, 77) = 77) + <72 Пусть А*; < Ajt+i, < Afc+i. Тогда выполняется оценка n+1 ~ Afc ^^ рп-Хк
Afc+i - ^ n Afc+1 - /in' где n = 0,1,., pfc+rns„ = lk+\{ßn)
Гп = g{ßn+1,ßn), qn < 1, 1 ^ sn ^ s„i ^ . < s0, s„ 1 при (p2k + poAfc)/(1 + 50Afc) при tl > 00, до = #(Afc, Afc). Если Гп ^ rn-1 ^ . . . ^ r0, TO ^n < tfn-1 ^ • • • < № < 1.
Из приведенных оценок вытекают следующие результаты.
1) Если рп = Afc, то рг = Afc, % — n, п + 1,. Если р,п Хк, то рп+1 < д".
2) Справедлива оценка n+1-Afc<efc(^n-Afc), п = 0,1,., где
СП п Afc+1 - Pn+1 k~qn Afc+i — ßn ' £fc iPk + ^oAfc)/(l + ^0Afc) при n 00, б^о = g(Afc, Afc), существует номер по такой, что Q < 1 при п ^ щ.
3) Если rn ^ rn 1 ^ . ^ го, то выполняется оценка n-Xk^ ck(qo)n, где cfc = (Afc+i - Afc) (/i° - Afc)/(Afc+i - /x0).'
В § 3.3 результаты,'полученные в § 3.2, применяются для построения алгоритмов метода бисекции и метода итерации подпространства решения матричной рациональной задачи на собственные значения, возникающей при аппроксимации задачи (0.24) с помощью приближенной схемы (0.30). Доказана сходимость и получены оценки погрешности предложенных методов.
Пусть Н есть А-мерное вещественное евклидово пространство векторов со скалярным произведением (.,•)• Введем симметричные положительно определенные квадратные матрицы А и В размера N.
Пусть <7{, г — 1,2,. ,т - заданные вещественные числа такие, что
Зададим неотрицательно определенные- симметричные квадратные матрицы Ci, (Civ,v) ^ 0 для любого v е Н \ {0}, г = 1,2,. ,то. Предположим, что Т{ = codimkerС\ < N для г = 1,2,.,тп, где ker Ci = {v : v G H, C(V — 0}, 1 < i ^ m.
Сформулируем рациональную задачу на собственные значения: найти X еШ, и Е Н \ {0} такие, что
Обозначим <7о = 0 и am+i = оо. Определим Ап = (<rni, cr7i), 1 ^ п<т+1и введем квадратные матрицы Ап{р,), Дг(/х), Ап{ ц), Bn(fi), 1 ^ п ^ m т 1 и Ап, Вп, 1 < п < га:
71—1
0 < а\ < ст2 < . < ат < оо.
0.35)
An(fi) = A + Anfa), Bn(fi) = В + Bn(fi),
Ап — -А ~Ь ^■п(сгп) 5
Вп = В + Вп+х((7п), при £ Л,(.
Положим Ц, = кег С», 1 ^ г < т.
Запишем задачу (0.35) для интервала Ап, + виде: найти Хк Е Лп, и Е Н \ {0} такие, что
Ап(Х)и = ХВп(Х)и.
Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ¡1 Е Ап найти Е Ж, и Е Н \ {0},
1 ^ п ^ т + 1 такие, что
Ап(/и)и = <рМ(р)Вп(р)щ (0.36) найти А^ Е Ж, и Е Уп \ {0}, 1 < п < т такие, что
Апи = А(п)£пп. (0.37)
Задача (0.36) имеет N собственных значений (р\п\/л), г = 1,2,., N, занумерованных с учетом кратности:
Задача (0.37) имеет N — гп собственных значений х\п\ г = 1,2,., N — гп, занумерованных с учетом кратности:
Перечислим свойства функций ¡1 Е Ап, к = 1, 2,., N.
1) Функции ц Е Ап, к = 1,2,., А/^ являются непрерывными невозрастающими функциями.
2) —» 0 при /I —> к — 1,2,. ,гп, 1 < п < га.
3) 00 ИРИ И к = N — гп-1 + 1,., Л/", 2 ^ п < т + 1.
4) Л[п) при ¡л (тп, г = гп, к = 1,2,.,ТУ — гп, 1 ^ п ^ т.
5) А^ при ¡1 А; = 1,2,., Ж - гп1, 2 < п < т + 1.
Положим Г0 = 0, Гт+1 = О, Мг = Г0 + П + - - -+П", ¿ = 1,2,., 771+1, М = Мте, Л = (0, оо), Л = [0, со]. Определим функции 7г(д), ¡л € г = 1,2,., N + М по формулам меЛп, £ = М„1 + г, г = 1,2,., ТУ,
7,-Ы = 0, .7 = 1,2,., Мп-1,
Л^ = Л, г = 1,2,., АГ,
Л*') = (<Ту, оо), 1 = Ы +р,р= 1,2,.,г^э = 1,2,.,тп для 1 ^ п ^ 772 + 1.
Из свойств функций /I £ Ап, к — 1,2,., N вытекает, что функции т¡1 б г = 1,2,., АГ+'М являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число Л € Л является собственным значением задачи (0.35) тогда и только тогда, когда А €= Л есть решение одного из уравнений ¡1 — 7&(/х) — 0, /I £ А^к\ к = 1,2,.,АТ + М.
Доказано, что задача на собственные значения (0.35) имеет N + М конечнократных собственных значений А^, г = 1,2,., АГ + М, занумерованных с учетом кратности:
0 < А1 ^ А2 ^ . ^ Адг+м
Каждое собственное значение + М является единственным корнем уравнения
-7гМ = 0, /леА{1), Т + М.
Пусть А"(0) = 0, N(00) = N + М, N(¡3) = шах{г : ^
3,1 ^ 0}, /3 6 Л, 7о(м) = 0, \1 € А. Тогда число собственных значений АГ(а, /3) задачи (0.35) на полуинтервале (ск, /3] определяется по формуле Ы(а,(3) = N(0) — М(а), а < ¡3, а,(3 е Л. Имеют место соотношения 0 < Ща,/3) < N + М, Щ0,/?) = N(¡3), N((3) ^ М< для г = 1((3), 1{(3) = тах{г : <тг- < (3,1 > 0}. Если Ы(а,(3) > 0, то справедливы неравенства а < Лг1 < . ^ Лг2 < (3, где ¿1 = #(<*) + 1, г2 = #(/?)■
Пусть 7У0 = 0, ЛГт+1 = ТУ + М, Ып = тах{г : < ап,г ^ 0}, п)
1 ^ п ^ т, где Л^ , г — 1,2,., N — гп - собственные значения задачи (0.37), = 0. Тогда Л^(сгг-) = Щ + М{ при 1 ^ г < т + 1, = (Л^ - Щ) + (М3- - Мг) при 1 < I < з ^ т + 1. Если N((71, (Т^) > 0, то справедливы неравенства Ан ^ • • • ^ Аг'г ^ где г'х = Щ + М* + 1, г2 = Щ + Му
Получен следующий результат. Зафиксируем номер п, 1 ^ п ^ т + 1. Для /л е Лп положим т
Пусть при фиксированном ¡1 € Лп выполняется треугольное разложение
Г(/0 = с диагональной матрицей £>(/л) и нижней треугольной матрицей Ь(д), имеющей единичные диагональные элементы. Тогда
1/(Г(/х)) = Л^! + !/(Д - цЕ) = КОД), где Е - единичная матрица размера ¿2 ч + 1, 1'(С) - число отрицательных собственных значений матрицы С (отрицательный индекс инерции), А = diag(Лг1, Лг1+Ь., Лга), Аг-, г = ц, гг + 1,., г2 - собственные значения задачи (0.35), 1 < ¿1 < ¿2, — + + 1, ¿2 = + Мп.
Из этого результата вытекает, что количество собственных значений задачи (0.35) на Ап, меньших /2 £ Л;г, равно
Поэтому количество собственных значений задачи (0.35), меньших ¡1 е Лп, равно где у(0(ц)) - число отрицательных элементов диагональной матрицы -0(/х) указанного треугольного разложения, если это разложение существует. Для вычисления величины г/(.0(/х)) следует воспользоваться методом Гаусса. В этом случае г/(Р(/х)) равно числу отрицательных ведущих элементов, возникающих в процессе гауссовых исключений неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с матрицей Т(/х), // £ Лп. Эта процедура- деления спектра позволяет локализовать с требуемой точностью любое собственное значение задачи (0.35) из заданного отрезка.
Зафиксируем номер г, 1 ^ г ^ ш + 1. Предположим, что задана квадратная симметричная положительно определенная матрица С размера N и положительные постоянные 71, 72, 72^ > 3 = 1,2,. ,г — 1, для которых выполняются соотношения и(А - цЕ) = г/СОД) " ^п-1. гх-И- г/(А - цЕ) = уф(11)) + Мп1,
71 (Су, у) ^ (Ау, у) < 72 (Су, у) Vу е Н, (С^,у)^4Л(Су,у) УуеН, ^ = 1,2,. ,г — 1.
Тогда справедливы неравенства
Си, V) ^ (А^)у, у) ^ ад (Си, у) Му € Я, где ад = 71.
Для заданного ftn определим итерационный параметр по формуле г» =? мм") + s2(fin)
Зафиксируем номер к, 7V¿i + 1 ^ к ^ iV¿ + r¿. Через Un = От, ЬТ. • • •, ОД и Vn = (V{><,V2n,.,Vkn) при п = 0,1,. будем обозначать прямоугольные матрицы j состоящие из к столбцов u™, щ, ., щ и У", • • Vfc" длины n соответственно, через span Vn = span-jV™, V2 , ■ ■., V™} - линейную оболочку столбцов матрицы Vй, через Л" при п = 0,1,. - диагональные матрицы Ап = diag(A", Л",. • •, когда диагональные элементы упорядочены по неубыванию:
Л? < < . ^
Зададим Vo и вычислим и U0 с помощью метода Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vo так, что Л°, (u°)tbt(^)v° = е,
При п — 0,1,. вычисляем Лп+1 и Un+1 по методу Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vn+1, уп+1 = jjn Tnc~1(Ai(iin)Un - Bi(/in)UnAn), (U'1+1)T М(лп+1)ип+1 = An+\ (Un+1)T Bi{fin+1)Un+1 = E, п+1 = un+1 =
Пусть A i и A/+i есть собственные значения задачи (0.35) такие, что <t¿ 1 < Л/ < Л/+1 < (jj, / = М{-1 + к. Положим
Pi = l-(1-6)(1- VAw), = (1-40/(1 + 40, di = 5(\i+i), s(jj) = íi(/lí)/j2(/í), a¿ 6 ai. Заметим, что 0 < di ^ 1, 0 < pi < 1.
Установлены следующие результаты. Пусть р° < Л/+1. Тогда рг Л; при п —> оо, Л;+1 > рР > р1 ^ . > рп ^ . > Л;. Имеет место оценка рп+1-ХI рп - А; где п = 0,1,., р] + г0 зпрп И+1{рп) ~ ц{рп)
Чп 1 + г0вп/*»' " '
1 1
Го = т--Ь
Аг — <7г-1 ^г —
1 < вп < ^ . . . < 5о, Яп < 9п-1 ^ • • • < Яо < 1, «п —1 при п оо, (р^ + Г0Лг)/(1 + г0лг) при п —> оо.
Выполняется оценка
Рп - Л; где п = 0,1,., /Р? + г„зп/г" = 7й-1(м")-7*(мп)
1 1 —- +
Л™ - <т» 1 <тг 2
1 при п —> оо, > ((% + #0Аг)/(1 + д0Х{) при п —оо,
1 1 = т--Ь
АI — <7г-1 С г Аг+1 Предположим, что /¿° < А/+1.
1) Если рп — Аг, то р1 = Л;, г = тг,п + 1,. Если ф А;, то ^п
2) Справедлива оценка где tf {p¡ + #оА/)/(1 + g0Xi) при п оо,
А/+1 - fin+1 $ = Чп
Ai+i ~ п + 5ПДП = 7¿+i(/¿n) - 7¿(/¿n)
1 ~Ь тп sn fin п li+i{nn) - fin
1 1 Гп = —--Ь fln - (Ti-1 (Ti—
1 1
7o = 7--b
АI — стг-1 сгг — Лг+1' существует номер щ такой, что < 1 при п^ щ.
3) Выполняется оценка
- Х1 ^ С1(д0у\ где а = (А/+1 - Аг) (рР - Лг)/(Л/+1 р\\ + го л 7/+1 ~ И Г—-ñ", 50
1 + г050//0' 7/+i(/i°)
1 1 Г0 = Т- + о
A¿ — 0¿-i ai — \i+i В четвертой главе исследуются приближенные методы решения дифференциальных задач на собственные значения.
В § 4.1 одномерная дифференциальная задача (0.21) аппроксимируется схемой метода конечных элементов с численным интегрированием. Получены оценки погрешности приближенных собственных значений и собственных функций. Аналогичные результаты установлены для двумерной дифференциальной задачи на собственные значения в прямоугольной области и ее аппроксимации по методу конечных элементов с численным интегрированием. При выводе этих результатов использовались общие результаты, доказанные в § 2.1.
В § 4.2 исследованы схемы метода конечных элементов с численным интегрированием для одномерной и двумерной дифференциальных задач на собственные значения с монотонной зависимостью от спектрального параметра на основе общих результатов из § 2.2.
В § 4.3 изучаются задачи о собственных колебаниях балки и пластины с упруго присоединенными массами. Задача о балке аппроксимируется схемой метода конечных элементов с эрмитовыми кубическими элементами. Задача о квадратной пластине аппроксимируется схемой метода конечных элементов с эрмитовыми бикубическими элементами. Для исследования разрешимости этих задач и погрешности приближенных методов применяются общие результаты, полученные в § 1.3 и § 2.3.
В § 4.4 разработаны экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов для дифференциальных задач второго и четвертого порядков. Необходимость в таких алгоритмах возникает при реализации методов итерации подпространства с предобуславливанием, изученных в третьей главе.
В приложении приведены результаты численных экспериментов для задач о балке и пластине из § 4.3. Эти эксперименты иллюстрируют общие теоретические результаты, полученные в § 1.3.
Сформулируем основные результаты диссертации.
1. Установлено существование собственных значений и собственных элементов нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.
2. Доказана сходимость и получены оценки погрешности приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.
3. Исследована сходимость и погрешность метода конечных элементов для дифференциальных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра.
4. Разработан и обоснован метод бисекции решения нелинейных спектральных задач.
5. Предложен метод итерации подпространства решения нелинейных спектральных задач, доказана сходимость и получены оценки погрешности:
6. Разработаны прямые экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов.
Результаты диссертации были представлены, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета (1983-2010 гг.), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1983-2010 гг.), на научном семинаре Тартуского государственного университета (1990 г.), на научных семинарах Технического университета Кемниц, ФРГ, (1999-2003 гг.), на научном семинаре Технического университета Штутгарт, ФРГ, (1999 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование"'(Минск, 1984 г.), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986 г.), на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач" (Минск, 1989 г.), на Второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989 г.), на конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Казань, 1991 г.), па международной научной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), на международной научной конференции "Optimization of Finite Element Approximations" (С.-Петербург, 1995 г.), на Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996 г.), на научной школе-конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 1997 г.), на Втором Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1998 г.), на Молодежной научной школе-конференции "Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах" (Казань, Юдино, 2000 г.), на Третьем Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 2000 г.), на Третьей Всероссийской научной internet-конференции "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках" (Тамбов, 2001 г.), на научной конференции Фонда Гумбольдта (Кемниц, ФРГ, 2003 г.), на Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 2005 г.), на Шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005 г.), на Седьмом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2007 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в 50 работах [41, 52-54, 65-67,118-146,163,164,181, 203, 209-218]. Результаты совместных работ принадлежат авторам в равной мере.
Работа выполнена благодаря значительному участию многих людей. Среди них - А.Д. Ляшко, Ю.П. Жигалко, М.М. Карчевский, Р.З. Даутов, И.Б. Бадриев, Г.М. Вайникко, A.B. Гулин, A.B. Князев, Th. Apel, А. Meyer, А.-М. Sandig, J. Rossmann. Автор благодарен этим людям за поддержку, понимание и соучастие.
Работа поддержана грантами Казанского государственного университета, Фондом республики Татарстан "Интеллект XXI века", Немецким научно-исследовательским обществом (Deutsche Forschungsgemeinschaft), Фондом Гумбольдта (Alexander von Humboldt-Stiftung).
Похожие диссертационные работы по специальности «Вычислительная математика», 01.01.07 шифр ВАК
Периодические решения квазилинейных гиперболических уравнений2007 год, доктор физико-математических наук Рудаков, Игорь Алексеевич
Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов2003 год, доктор физико-математических наук Кадченко, Сергей Иванович
Локальная параметрическая идентифицируемость дифференциальных уравнений2007 год, доктор физико-математических наук Бодунов, Николай Александрович
Масштабирующие уравнения2005 год, доктор физико-математических наук Протасов, Владимир Юрьевич
Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы2008 год, кандидат физико-математических наук Шепилова, Елена Владимировна
Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Соловьёв, Сергей Иванович, 2010 год
1. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Кашапов Н.Ф. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях. Теория и практика применения. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2000.
2. Абрамов A.A., Тареев Б.А., Ульянова В.И. Бароклинская неустойчивость в двухслойной фронтальной модели Кочина на сг-эта плоскости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. - Т. 8, № 2. - С. 131-141.
3. Абрамов A.A., Тареев Б.А., "Ульянова В.И. Неустойчивость двухслойного геострофического течения с антисимметричным профилем скорости в верхнем слое // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. - Т. 8, № 10. - С. 1017-1028. .
4. Айне Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИУ, 1939.
5. Андреев В.В., Андреасян Г.Д. Суперсходимость производных и их осреднений в методе конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений 2т-го порядка // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. - Вып. 6. - С. 31-39.
6. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Колебания цилиндрических оболочек переменной толщины, несущих систему дискретных амортизированных масс // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: ДГУ, 1979. - Вып. 25. - С. 104-108.
7. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Оценки основной частоты колебаний пластинок и оболочек, несущих амортизированную массу // Изв. вузов. Авиационная техника. 1980. - № 2. -С. 89-93.
8. Андреев Л.В., Дышко А.Л , Павленко И.Д. Динамические характеристики оболочек с дискретными включениями // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: ДГУ, 1981. - Вып. 28. - С. 54-65
9. Андреев Л.В., Дышко А Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами. М.: Машиностроение, 1988.
10. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.
11. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
12. Береславский В.Б., Гинзбург И.М., Скоробогатько Ю.В. Динамика цилиндрической оболочки с упруго подвешенными массами // Динамика и прочность машин. 1983. - Вып. 38. - С. 46-54.
13. Вайникко Г.М. Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. - Т. 4, № 3. - С. 405-425.
14. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода Бубнова-Галёркина в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. - Т. 5, № 4. - С. 587-607.
15. Вайникко Г.М. О быстроте сходимости приближённых методов в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. - Т. 7, № 5. - С. 977-987.
16. Вайникко Г.М., Карма О.О. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1974. Т. 14, № 6. - С. 1393-1408.
17. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974.
18. Вариационные задачи в гильбертовом пространстве: Методическая разработка / Сост. С.И. Соловьёв. Казань: КГУ, 2007.
19. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
20. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы п вычисления. М.: Наука, 1984.
21. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
23. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осциляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
24. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.
25. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами // Труды Московского математического общества. 1992. - Т. 54. - С. 29-72.
26. Гордеев A.B., Гулин A.B., Мышецкая Е.Е., Савенкова Н.П. Численное исследование устойчивости магнито-звукового солитона. Препринт. - М.: ИПМ АН СССР, 1977. - № 50.
27. Гордеев A.B., Гулин A.B., Савенкова Н.П. Неустойчивость электронного течения при магнитной самоизоляции. — Препринт. -М.: ИПМ АН СССР, 1979. № 129.
28. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.
29. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970.
30. Гулин A.B., Крегжде A.B. Разностные схемы для некоторых нелинейных спектральных задач. Препринт. - М.: ИПМ АН СССР, 1981. - № 153.
31. Гулин A.B., Крегжде A.B. О применимости метода бисекции к решению нелинейных разностных задач на собственные значения. Препринт. - М.: ИПМ АН СССР, 1982. - № 8.
32. Гулин A.B., Яковлева С.А. О численном решении одной нелинейной задачи на собственные значения // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. - Вып. 6. - С. 90-97.
33. Даутов Р.З. Суперсходимость схем МКЭ с численным интегрированием для квазилинейных эллиптических уравнений четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 7. - С. 1172-1181.
34. Даутов Р.З., Карчевский Б.М. Об одной спектральной задаче теории диэлектрических волноводов // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1999. - Т. 39, № 8. - С. 1348-1355.
35. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. - Т. 40, № 8. - С. 12501263.
36. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. О решении векторной задачи о собственных волнах цилиндрических волноводов на основе нелокального краевого условия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. - Т. 42, № 7. - С. 1051-1066.
37. Даутов Р.З., Лапин A.B. Сеточные схемы произвольного порядка точности для квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1979. - № 10. - С. 24-37.
38. Даутов Р.З., Лапин A.B. Исследование сходимости в сеточных нормах схем метода конечных элементов с численным интегрированием для эллиптических уравнений четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17, № 7. - С. 1256-1269.
39. Даутов Р.З., Лапин A.B., Ляшко АД. О некоторых схемах для квазилинейных эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. - Т. 20, № 2. - С. 334-349.
40. Даутов Р.З., Ляшко АД., Соловьёв С.И. Сходимость метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Дифферент уравнения. 1991. - Т. 27, № 7. - С. 1144-1153.
41. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976.
42. Дикий Л.А. Атмосфера земли как колебательная система // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1965. - Т. 1, № 5. -С. 469-489.
43. Дышко А.Л., Колодяжный А.П., Моссаковский В.И. Колебания цилиндрической оболочки, несущей симметричную систему осцилляторов // Тр. X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мицниереба., 1975. - Т. 2. - С. 125-134.
44. Дышко A.JL, Павленко И.Д. Динамическа оболочек вращения с присоединёнными осцилляторами '// Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: ДГУ, 1979. - С. 107-111.
45. Дьяконов Е.Г. Модифицированные итерационные методы в задачах на собственные значения // Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. - Вып. 3. - С. 39-61.
46. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989.
47. Дьяконов Е.Г., Орехов М.Ю. О минимизации вычислительной работы в задачах на собственные значения // ДАН СССР. -1977. Т. 235, № 5. - С. 1005-1008.
48. Дьяконов Е.Г., Орехов М.Ю. О минимизации вычислительной работы при нахождении первых собственных чисел дифференциальных операторов // Математические заметки. 1980. - Т. 27, № 5. - С. 795-812.
49. Желтухин B.C. О разрешимости одной нелинейной спектральной задачи теории высокочастотных разрядов пониженного давления // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 5. - С. 26-31.
50. Желтухин B.C. Об условиях разрешимости системы краевых задач теории высокочастотной плазмы пониженного давления // Изв. вузов. Математика. 2005. - № 1. - С. 52-57.
51. Жигалко Ю.П., Ляшко А.Д., Соловьёв С.И. Колебания цилиндрической оболочки с присоединенными жёсткими кольцевымиэлементами // Моделирование в механике. 1988. - Т. 2, № 2. -С. 68-85.
52. Жигалко Ю.П., Соловьёв С.И. Собственные колебания балки с гармоническим осциллятором // Изв. вузов. Математика. 2001.- № 10. С. 36-38.
53. Жигалко Ю.П., Шалабанов А.К. К вопросу о колебаниях тонких пластин и оболочек, несущих сосредоточенные массы // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1970. -Вып. 6-7. - С. 511-530.
54. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.- М.: Мир, 1986.
55. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики.- М.: Наука, 1985.
56. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.
57. Капорин И.Е. Модифицированный марш-алгоритм решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Разностные методы математической физики. М.: МГУ, 1980. - С. 11-21.
58. Капорин И:Е. Маршевый метод для системы с блочно-трёхдиагональной матрицей // Численные методы линейной алгебры. М.: МГУ, 1982. - С. 63-72.
59. Капорин И.Е., Николаев Е.С. Применение быстрого преобразования Фурье к решению семиточечного уравнения на треугольной сетке // Численные методы линейной алгебры. М.: МГУ, 1982. - С. 43-51.
60. Карма О.О. Асимптотические оценкн погрешности приближенных характеристических значений голоморфных фредгольмо-вых оператор-функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1971. Т. 11, № 3. - С. 559-568.
61. Карма 0.0. Об аппроксимации оператор-функций и сходимости приближенных собственных значений //Тр. ВЦ Тартуского гос. ун-та. Тарту: ВЦ ТГУ, 1971. - Вып. 24. - С. 3-143.
62. Карма 0.0. О сходимости дискретизационных методов отыскания собственных значений интегральных и дифференциальных операторов, голоморфно зависящих от параметра // Тр. ВЦ Тартуского гос. ун-та. Тарту: ВЦ ТГУ, 1971. - Вып. 24. - С. 144-159.
63. Карчевский Е.М., Соловьёв С.И. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 4. - С. 563-565.
64. Карчевский Е.М., Соловьёв С.И. Существование собственных значений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Математика. 2003. - № 3. - С. 78-80.
65. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.
66. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела. М.: Высшая школа, 1983.
67. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: ЛГУ, 1977.
68. Корнеев В.Г. Суперсходимость решений метода конечных элементов в сеточных нормах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. - Т. 22, № 5. - С. 1133-1149.
69. Корнеев В.Г. О сходимости решений метода конечных элементов в сеточных нормах // Решение функциональных уравнений и смежные вопросы. Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1983. -Вып. 13. - С. 3-42.
70. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стецеико В.Я. Приближённое решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
71. Крегжде A.B. О разностных схемах для нелинейной задачи Штурма-Лиувилля // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17, № 7. - С. 1280-1284.
72. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. М.: АН СССР, 1932.
73. Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов. М.: ГИФМЛ, 1959.
74. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966.
75. Кузнецов Ю.А., Мацокин А.М. Об одном применении метода би-секций // Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. - Вып. 3. - С. 34-41.
76. Лазаров Р.Д. Суперсходимость градиента для треугольных и тетраэдальных конечных элементов решения линейных задач теории упругости // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. - Вып. 6. - С. 180-191.
77. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.
78. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.
79. Лиходед А.И., Малинин А.А. Колебания подкреплённых оболочек вращения с сосредоточенными массами и осцилляторами // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1971. - № 1. - С. 42-47.
80. Ляшенко И.Н. Задачи на собственные значения для уравнений второго порядка в частных конечных разностях. Киев: Изд. Киевск. ун-та, 1970.
81. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.
82. Малинин А.А. Идентификация колебаний при расчете тонкостенных конструкций с упруго присоединенными грузами // Прикладная механика. 1982. - Т. 18, № 8. - С. 90-94.
83. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
84. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
85. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. Новосибирск: Наука, 1972.
86. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1971.
87. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.
88. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
89. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970.
90. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.
91. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М,- Мир, 1981.
92. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.
93. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. О вариационно-разностных схемах для линейных эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с кусочно-гладкой границей // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1968. - Т. 8, № 1. - С. 97-114.
94. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. - Т. 9, № 5. - С. 1102-1120.
95. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.
96. Паламарчук В.Г., Носаченко А.М. Свободные колебания ребристой конической оболочки с массой, присоединённой на пружинах // Прикладная механика. 1980. - Т. 16,,№ 1. - С. 40-46.
97. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983.
98. Печливанов А. Суперсходимость градиентов для квадратичных трёхмерных симплициальных элементов // Численные методы и приложения. Труды междунар. конференции по числ. методам и прилож. София, 1989. - С. 362-366.
99. Приказчиков В.Г. Разностная задача на собственные значения для эллиптического оператора // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. - Т. 5, № 4. - С. 648-657.
100. Приказчиков В.Г. Однородные разностные схемы высокого порядка точности для задачи Штурма-Лиувилля // Ж. вШчисл. матем. и матем. физ. 1969. - Т. 9, № 2. - С. 315-336.
101. Приказчиков В.Г. Прототипы итерационных процессов в задачах на собственные значения // Дифференц. уравнения. 1980. -Т. 16, № 9. - С. 1688-1697.
102. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
103. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
104. Самарский A.A., Капорин И.Е., Кучеров A.B., Николаев Е.С. Некоторые современные методы решения сеточных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1983. - № 7. - С. 3-12.
105. Самарский A.A., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987.
106. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
107. Самокиш Б.А. Метод наискорейшего спуска в задаче о собственных элементах полуограниченных операторов // Изв. вузов. Математика. 1958. - № 5. - С. 105-114.
108. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Т. 1. М.: ИЛ, 1953.
109. Сапаговене Д. Последовательность Штурма для нелинейной алгебраической задачи на собственные значения // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: ИФМ АН Лит. ССР, 1976. - Вып. 16. - С. 87-94.
110. Саульев В.К. О нахождении собственных значений методом сеток // ДАН СССР. 1954. - Т. 94, № 6. - С. 1003-1006. •
111. Саульев В.К. Об оценке погрешности при нахождении собственных функций методом конечных разностей // Вычислит, матем.- М.: АН СССР, 1957. С. 87-115.
112. Саульев В.К. К решению задачи о собственных значениях методом конечных разностей // Вычислит, матем. и вычислит, техн.- М.: АН СССР, 1965. № 2. - С. 116-144.t
113. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.
114. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
115. Соловьёв С.И. О спектре конечно-элементной аппроксимации задачи на собственные значения для оператора Лапласа. ВИНИТИ, № 5516-84 Деп. - Казань: Казанский государственный университет, 1984. - 12 с.
116. Соловьёв С.И. Быстрые методы решения сеточных схем МКЭ •второго порядка точности для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Изв. вузов. Математика. 1985. - № 10. - С. 71-74.
117. Соловьёв С.И. Метод Фурье для конечно-элементной аппроксиSмацнн уравнения Пуассона // Сеточные методы решения дифференциальных уравнений / Ред. А.Д. Ляшко. — Казань: Казанский государственный университет, 1986. С. 64-78.
118. Соловьёв С.И. Быстрые методы решения сеточных схем МКЭ повышенного порядка точности // Математическое моделирование в науке и технике. Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара (Пермь, 9-15 июня 1986 года). Пермь, 1986. - С. 269.
119. Соловьёв С.И. Быстрый прямой метод решения схем МКЭ с эрмитовыми бикубическими элементами // Изв. вузов. Математика. 1990. - № 8. - С. 87-89.
120. Соловьёв С.И. Быстрый прямой метод решения эрмитовых схем МКЭ четвертого порядка для уравнения Пуассона // Исследования по прикладной математике / Ред. B.C. Мокейчев. Казань: Казанский государственный университет, 1992. - Вып. 20.- С. 121-130.
121. Соловьёв С.И. Погрешность метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1992. Т. 32, № 5. - С. 675-691.
122. Соловьёв С.И. Аппроксимация симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Изв. вузов. Математика. 1993. - № 10. - С. 60-68.
123. Соловьёв С.И. Оценки погрешности метода конечных элементов для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Изв. вузов. Математика. 1994. - № 9. -С. 70-77.
124. Соловьёв С.И. Суперсходимость конечно-элементных аппроксимаций собственных функций // Дифференц. уравнения. 1994.- Т. 30, № 7. С. 1230-1238.
125. Соловьёв С.И. Метод конечных элементов для симметричных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997.- Т. 37, № 11. С. 1311-1318.
126. Соловьёв С.И. Суперсходимость конечно-элементных аппроксимаций собственных подпространств // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, № 5. - С. 710-711.
127. Соловьёв С.И. Приближенные методы для спектральных задач с рациональной зависимостью от параметра // Исследования по прикладной математике и информатике / Ред. И.Б. Бадриев.Казань: Казанское математическое общество, 2006. Вып. 26. -С. 91-95.
128. Соловьёв С.И. Метод Бубнова-Галеркина с возмущениями для спектральных задач // Исследования по прикладной математике и информатике / Ред. И.Б. Бадриев. Казань: Казанское математическое общество, 2006. - Вып. 26. - С. 95-100.
129. Соловьёв С.И. Метод конечных элементов для несамосопряженных спектральных задач // Учёные записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки.2006. Т. 148, № 4. - С. 51-62.
130. Сухинин C.B. Собственные колебания около пластины в канале // Прикл. механ. и техн. физ. 1998. - Т. 39, № 2. - С. 78-90.
131. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980.
132. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.- М.: Мир, 1981.
133. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Разностная задача Штурма-Лиувилля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. - Т. 1, № 5. - С. 784-805.
134. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
135. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
136. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.
137. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К.Х. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976.
138. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. -М.: Мир, 1988.
139. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
140. Христенко A.C. Колебания непологих цилиндрических оболочек, загруженных распределенными и сосредоточенными массами // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1972. - № 4. - С. 116— 122.
141. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. -М.: Наука, 1989.
142. Шамарин В.В. О методе быстрого преобразования Фурье // Тр. Зап.-Сиб. регион. НИИ Госкомгидромета. 1984. - № 63. - С. 9094.
143. Andreev A.B. Superconvergence of the gradient for linear triangle elements for elliptic and parabolic equations // C.R. Acad. Bulgare Sei. 1984. - V. 37. - P. 293-296.
144. Andreev A.B., Lazarov R.D. Superconvergence of the gradient for quadratic triangular finite elements // Numer. Methods for PDE. -1988. V. 4. - P. 15-32.
145. Apel Th., Sandig A.-M., Solov'ev S.I. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes. Preprint SFB393/01-33 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2001. - 32 p.
146. Apel Th., Sandig A.-M., Solov'ev S.I. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2002. - V. 36, № 6. - P. 1043-1070.
147. Babuska I., Osborn J.E. Eigenvalue problems // Handbook of numerical analysis. V. II. Finite element methods / Ed. by P.G. Ciariet, J.L. Lions. Amsterdam: North-Holland, 1991. - P. 642787.
148. Bakker M. One dimensional Galerkin methods and superconvergence at interior nodal points // SIAM J. Numer. Anal. 1984. - V. 21, № 1. - P. 101-110.
149. Bamberger A., Bonnet A.S. Mathematical analysis of the guided modes of an optical fiber // SIAM J. Math. Anal. 1990. - V. 21, № 6. - P. 1487-1510.
150. Banerjee U., Osborn J.E. Estimation of the effect of numerical integration in finite element eigenvalue approximation // Numer. Math. 1990. - V. 56. - P. 735-762.
151. Bank R.E. Marching algorithms for elliptic boundary value problems. II: The variable coefficient case // SIAM J. Numer. Anal. 1977. - V. 14, № 5. - P. 950-970.
152. Bank R.E. Efficient algorithms for solving tensor product finite element equations // Numer. Math. 1978. - V. 31. - P. 49-61.
153. Bank R.E., Rose D.J. An 0(n2) method for solving constant coefficient boundary value problems in two dimensions // SIAM J. Numer. Anal. 1975. - V. 12, № 4. - P. 529-540.
154. Bank R.E., Rose D.J. Marching algorithms for elliptic boundary value problems. I: The constant coefficient case // SIAM J. Numer. Anal. 1977. - V. 14, № 5. - P. 792-829.
155. Betcke M., Voss H. Restarting projection methods for rational eigenproblems // Mathematical Modelling and Analysis. 2008. -V. 13. - P. 171-182.
156. Bharadwaj K.K., Kadalbajoo M.K., Sankar R. Symmetric marching technique for the Poisson equation. I: Dirichlet boundary conditions // Applied mathematics and computation. 1984. - V. 15. - P. 137-149.
157. Birkhoff G., de Boor C. Piecewise polynomial interpolation and approximation // Approximation of functions / Ed. by H.L. Garabedian. New York: Elsevier, 1965. - P. 164-190.
158. Birkhoff G., de Boor C., Swartz B., Wendroff B. Rayleigh-Ritz approximation by piecewise cubic polinomials // SIAM J. Numer. Anal. 1966. - V. 3, № 2. - P. 188-203.
159. Bonnet-Ben Dhia A.S., Joly P. Mathematical analysis of guided water waves // SIAM J. Appl. Math. 1993. - V. 53, № 6. - P. 1507-1550.
160. Ciarlet P.G., Schultz M.H., Varga R.S. Numerical methods of high-order accuracy for nonlinear boundary value problems. III. Eigenvalue problems // Numer. Math. 1968. - V. 12. - P. 120133.
161. Goolin A.V., Kartyshov S.V. Numerical study of stability and nonlinear eigenvalue problems // Surv. Math. Ind. 1993. - V. 3. -P. 29-48.
162. Dautov R.Z., Lyashko A.D., Solov'ev S.I. The bisection method for symmetric eigenvalue problems with a parameter entering nonlinearly // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1994. -V. 9, № 5. - P. 417-427.
163. Fix G.J. Higher-order Rayleigh-Ritz approximations //J. Math. Mech. 1969. - V. 18, № 7. - P. 645-657.
164. Fix G.J. Eigenvalue approximation by the finite element method // Advances in Mathematics. 1973. - V. 10, № 7. - P. 300-316.
165. Houstis E.N., Papatheodorou T.S. Higher-order fast elliptic equation solver // ACM Transactions on Mathematical software. 1979. -V. 5, № 4. - P. 431-441.
166. Kantcev V., Lazarov R. Superconvergence of the gradient of linear finite elements for 3D Poisson equation // Proc. Symposium on Optimal Algorithms. Sofia: Sendov, 1986. - P. 172-182.
167. Karma 0.0. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions. I. // Numer. Funct. Anal. Optimiz. -1996. V. 17. - P. 365-387.
168. Karma 0.0. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions. II. Convergence rate // Numer. Funct. Anal. Optimiz. 1996. - V. 17. - P. 389-408.
169. Knyazev A.V. Preconditioned eigensolvers an oxymoron? // Electron. Trans. Numer. Anal. - 1998. -V.7.- P. 104-123.
170. Knyazev A.V. Preconditioned eigensolvers // Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide / Ed. by Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, and H. van der Vorst.- Philadelphia: SIAM, 2000. Section 11.3. - P. 352-368.
171. Knyazev A.V. Toward the optimal preconditioned eigensolver: locally optimal block preconditioned conjugate gradient method // SIAM J. Sei. Comput. 2001. - V. 23. - P. 517-541.
172. Knyazev A.V., Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration III: A short and sharp convergence estimate for generalized eigenvalue problems // Linear Algebra Appl. 2003. -V. 358. - P. 95-114.
173. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Rossmann J. Spectral problems associated with corner singularities of solutions to elliptic equations.- American Mathematical Society, 2000.
174. Kolata W.G. Approximation in variationally posed eigenvalue problems // Numer. Math. 1978. - V. 29. - P. 159-171.
175. Krizek M., Neittaanmaki P. Superconvergence phenomenon in the finite element method arising from averaging gradients // Numer. Math. 1984. - V. 45. - P. 105-116.
176. Krizek M., Neittaanmaki P. On a global superconvergence of the gradient of linear triangular elements // Computational and Applied Mathematics. 1987. - V. 18. - P. 221-233.
177. Krizek M., Neittaanmaki P. On superconvergence techniques // Acta applicandae mathematicae. 1987. - V. 9. - P. 175-198.
178. Mazurenko L., Voss H. Low rank rational perturbations of linear symmetric eigenproblems // Z. Angew. Math. Mech. 2006. - V. 86, № 8. - P. 606-616.
179. Mehrmann V., Voss H. Nonlinear Eigenvalue Problems: A Challenge for Modern Eigenvalue Methods // GAMM Mitteilungen. 2004. -V. 27. - P. 121-152.
180. Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration I: Extrema of the Rayleigh quotient // Linear Algebra Appl. 2001.- V. 322. P. 61-85.
181. Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration II: Convergence estimates // Linear Algebra Appl. 2001. - V. 322.- P. 87-104.
182. Lyashko A.D., Solov'ev S.I. Fourier method of solution of FE systems with Hermite elements for Poisson equation // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1991. - V. 6, № 2. - P. 121-129.
183. Osborn J.E. Spectral approximation for compact operators // Math. Comp. 1975. - V. 29. - P. 712-725.
184. Peters G., Wilkinson J.H. Eigenvalues of Ax — ABx with band simmetric A and B // Comput. J. 1969. - V. 12, № 4. - P. 398404.
185. Pierce J.G., Varga R.S. Higher order convergence results for the Rayleigh-Ritz method applied to eigenvalue problems: II. Improved error bounds for eigenfunctions // Numer. Math. 1972. - V. 19, № 1. - P. 155-169.
186. Ruhe A. Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem // SIAM J. Numer. Anal. 1973. - V. 10. - P. 674-689.
187. Solov'ev S.I. Convergence of the modified subspace iteration method for nonlinear eigenvalue problems. Preprint SFB393/99-35 -Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 1999. - 15 p.
188. Solov'ev S.I. Preconditioned gradient iterative methods for nonlinear eigenvalue problems. Preprint SFB393/00-28 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2000, - 17 p.
189. Solov'ev S.I. Existence of the guided modes of an optical fiber.- Preprint SFB393/03-02 Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 21 p.
190. Solov'ev S.I. Eigenvibrations of a plate with elastically attached load. Preprint SFB393/03-06 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 18 p.
191. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for monotone nonlinear eigenvalue problems Preprint SFB393/03-08. -Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 22 p.
192. Solov'ev S.I. Vibrations of plates with masses. Preprint SFB393/03-18. - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. -7 p.
193. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems Preprint SFB393/03-19. - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 18 p.
194. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for nonlinear eigenvalue problems // Abstracts. Einführungstagung Chemnitz (Chemnitz, November 20-21, 2003).' Bonn: Alexander von Humboldt-Stiftung, 2003. - P. 46.
195. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems // Linear Algebra and its Applications. 2006.- V. 41, № 1. P. 210-229.
196. Sweet R.A. A cyclic reduction algorithm for solving block tridiagonal systems of arbitrary dimension // SIAM J. Numer. Anal. 1977. -V. 14, № 4. - P. 706-720.
197. Temperton C. Direct methods for the solution of the discrete Poisson equation: Some comparisons // Journal of Computational Physics. -1979.-V. 31, №4.-P. 1-20.
198. Voss H. A rational spectral problem in fluid-solid vibration // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2003. - V. 16. -P. 94-106.
199. Voss H. An Arnoldi method for nonlinear eigenvalue problems // BIT Numerical Mathematics. 2004. - V. 44. - P. 387-401.
200. Voss H. Iterative projections methods for sparse nonlinear eigenproblems // Applied Mathematics and Mechanics. 2004. -V. 4. - P. 722-725.
201. Wahlbin L.B. Superconvergence in Galerkin finite element methods // Lecture Notes in Mathematics, 1605. Berlin: Springer-Verlag, 1995.
202. Weinberger H.F. Variational methods for eigenvalue approximation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1974.
203. Wendroff B. Bounds for eigenvalues of some differential operators by Rayleigh-Ritz method // Math. Comp. 1965. - V. 19, № 4. - P. 218-224.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.