Локальная параметрическая идентифицируемость дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Бодунов, Николай Александрович

• Бодунов, Николай Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бодунов, Николай Александрович

Введение.

Глава 1. Локальная параметрическая идентифицируемость нелинейных систем при дискретных наблюдениях.

§ 1. Достаточные условия локальной параметрической идентифицируемости. Алгоритм идентификации.

§ 2. Локальная идентифицируемость нелинейных систем по дискретным наблюдениям, содержащим погрешности.

§ 3. Использование методов оптимального управления для решения задач параметрической идентификации нелинейных систем.

Глава 2. Локальная параметрическая идентифицируемость дифференциальных систем по двухточечному наблюдению.

§ 1. Локальная идентифицируемость по двухточечному наблюдению и наблюдению на отрезке времени.

§2. Локальная идентифицируемость по двухточечному наблюдению линейных и квазилинейных систем.

§3. Условия высших порядков в задаче о локальной идентифицируемости

Глава 3. Специальные постановки задачи о локальной параметрической идентифицируемости.

§ 1. Локальная асимптотическая идентифицируемость линейных систем

§ 2. Параметрическая идентифицируемость одного дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом.

Глава 4. Локальная параметрическая идентифицируемость нелинейных периодических систем.

§ 1. Параметрическая идентифицируемость периодических систем дифференциальных уравнений при уточнении наблюдений.

§ 2. Локальная параметрическая идентифицируемость периодических систем по наблюдению их дискретизаций.

Глава 5. Локальная параметрическая идентифицируемость параболических уравнений по различным дискретизациям.

§ 1. Локальная параметрическая идентифицируемость параболического уравнения по уточняющимся дискретным наблюдениям их решений.

§ 2. Локальная параметрическая идентифицируемость дискретизаций параболических уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальная параметрическая идентифицируемость дифференциальных уравнений»

Математические модели динамических систем обычно содержат неизвестные параметры, определение которых составляет сущность задачи параметрической идентификации. Точные значения либо приемлемые оценки неизвестных параметров обычно находят в результате обработки входных и выходных сигналов системы на этапе идентифицирующего эксперимента.

Идентификация в настоящее время - обязательный элемент и наиболее сложная стадия процесса решения актуальных прикладных задач. В процессе идентификации создаются адекватные модели, необходимые для практического использования математических методов и сложных наукоемких технологий. Ввиду этого разработка методов и алгоритмов идентификации приобретает в настоящее время исключительно важное значение для фундаментальной науки" [1].

Понятиям и методам идентификации статических и динамических объектов посвящены известные книги [2-6], ряд сборников (например, [7]) и справочников по теории управления (например, [8]), многочисленные обзоры ([9-12] и др.) и огромное количество статей, относящихся к различным разделам теории и практики идентификации. Подавляющее большинство из имеющихся публикаций посвящено методам и алгоритмам идентификации. Количество таких работ устойчиво растет, а область практического использования предлагаемых алгоритмов постоянно расширяется. Кроме того, расширяется круг применяемых для решения прикладных задач математических идей и методов (см., например, [13-17]).

Число работ, посвященных вопросам теоретического обоснования методов параметрической идентификации и возможности их применения, значительно меньше. Однако очевидно, что еще до проведения идентифицирующего эксперимента исследователь должен быть уверен, что значения параметров модели могут быть определены по экспериментальным данным однозначно, в противном случае выводы, основанные на полученной информации, будут весьма сомнительными.

Фундаментальный вопрос - возможно или нет нахождение единственных значений параметров модели по имеющимся наблюдениям - составляет сущность проблемы параметрической идентифицируемости. Задача параметрической идентифицируемости не во всем пространстве параметров, а в окрестности некоторого значения параметра носит название локальной идентифицируемости.

Существуют различные подходы к проблеме идентифицируемости. Возможность однозначного определения параметров модели при отсутствии шума наблюдений представляет собой детерминистскую постановку проблемы, тогда как при стохастической постановке наблюдения предполагаются искаженными случайным шумом.

Первые работы, связанные с проблемой идентифицируемости в стохастической постановке, появились, пожалуй, раньше работ, посвященных детерминистской постановке и относятся к рубежу 50-60-х годов двадцатого столетия (см., например, [18-23]). К настоящему времени опубликовано достаточно много результатов по идентифицируемости в стохастическом случае, имеющих различия и в постановке задачи, и в исследуемых моделях, и даже в терминологии (в книгах [6], [7] и статьях [10-12] приведен обзор обширной литературы по этой проблематике).

К первым публикациям по идентифицируемости в детерминистской постановке относятся [24]—[26], основные понятия и определения введены в работе [27], а наиболее важные первые результаты получены в статьях [28]—[30] и других. В качестве математических моделей рассматривались системы обыкновенных дифференциальных уравнений (непрерывные модели) либо системы разностных уравнений (дискретные модели). Характерной особенностью работ по идентифицируемости непрерывных моделей является то, что наблюдение выходного сигнала всегда проводится на некотором отрезке времени. Приведем цитату из известного справочника по теории автоматического управления: "Под параметрической идентифицируемостью обычно понимают возможность определения параметров математической модели системы или процесса по результатам измерения определенных выходных величин в течение некоторого интервала времени" [8, с. 55]. По локальной идентифицируемости непрерывных моделей наиболее общими и сильными продолжают оставаться достаточные условия, полученные в работах [27] и [28]. Данные условия для линейных стационарных систем, зависящих от постоянного векторного параметра, имеют вид ранговых критериев (незначительное ослабление этих условий для одного частного случая было получено в работе [31]), а для нелинейных моделей сводятся к выполнению условий локальной идентифицируемости соответствующих линеаризованных моделей.

Основным понятием, на котором базируется свойство локальной идентифицируемости, является так называемый принцип неразличимости [27], заключающийся в следующем: пара значений параметров {^1,^2} называется неразличимой, если y(t,Pl)=y(t,p2), где y(t,p) - измеряемый на отрезке времени [to,T] выход рассматриваемой системы. В противном случае пара {рьрг} называется различимой. При этом говорят, что система локально идентифицируема при значении параметра р = если пара {р,ро} является различимой при всех р, принадлежащих некоторой проколотой окрестности точки ро. Если система локально идентифицируема при всех р € V, то ее называют глобально идентифицируемой на множестве V. Заметим, что мы придерживаемся в основном терминологии работы [32], близкой к соблюдаемой большинством авторов (в 80-е годы по поводу отсутствия установившейся совокупности понятий и терминологии некоторыми авторами велась дискуссия, отразившаяся в статьях [30, 33, 34, 35]). Заметим также, что введенное понятие локальной параметрической идентифицируемости не связывает это свойство со способом обработки экспериментальной информации, то есть относится к чисто структурным свойствам модели. В то же время одним из наиболее ранних определений идентифицируемости, которое ориентировано на определенный метод такой обработки, была так называемая локальная МНК-идентифицируемость [24]. Кроме того, в [28] было введено понятие идентифицируемости "в смысле чувствительности". В [30] было показано, что во многих случаях для задач в детерминистской постановке локальная идентифицируемость непрерывных моделей по наблюдениям выхода на отрезке времени, МНК-идентифицируемость и идентифицируемость в смысле чувствительности эквивалентны (см. также [36]).

Упомянутое выше ранговое условие локальной идентифицируемости при значении параметра р = ро линейной стационарной системы х = А(р)х, я(0) = ж0, х ^ Rni Р е Я™, при условии, что наблюдение линейной функции у = С(р)х проводится на некотором отрезке [0,Т], имеет вид rank Q(po) = га, где с; С» с'р„

Э(р) = (СА)'Р1 0ОЛ)'Р2 - (САУЫ

СА2»-% (СА^-% - (САга~%„. р = \р1,р2,.,рт]1, 1 ~ знак транспонирования). В основе доказательства этого условия лежит невырожденность отображения пространства параметров в пространство выходов, принцип неразличимости и теорема Кэ-ли-Гамильтона. Для нелинейных систем условия локальной идентифицируемости при значении параметра р = ро, как было отмечено выше, сводятся к выполнению условий идентифицируемости для линеаризованной вдоль решения, соответствующего системы. Однако эта линеаризованная модель является в общем случае нестационарной и проверка условий ее идентифицируемости сопряжена с определенными сложностями (полученное, например, в [27] условие предполагает использование фундаментальной матрицы линейной нестационарной системы, явный вид которой, как известно, удается получить в редких случаях).

С первых работ по идентифицируемости непрерывных моделей авторами высказывались предположения о связи между их идентифицируемостью, управляемостью и наблюдаемостью. Интерес к выяснению этой связи существенно уменьшился после того, как в ряде работ (см., например, [37-43], [30], [32]) на примерах было показано, что управляемость и наблюдаемость не являются ни необходимыми, ни достаточными условиями для идентифицируемости моделей.

В 90-е годы до настоящего времени количество работ по параметрической идентифицируемости непрерывных моделей в детерминистской постановке существенно уменьшилось. Отметим работу [44], в которой делается попытка аксиоматизировать теорию идентификации па языке теории множеств и отображений множества входов на множество выходов. Анализируются условия существования модели входных воздействий, разрешающей вопрос об апостериорном распознавании математической модели исследуемой динамической системы. В работе [45] исследуется идентифицируемость линейной нестационарной сингулярно возмущенной системы, в которую аддитивно входят линейные комбинации координат некоторой неизвестной вектор-функции, являющейся решением дифференциального уравнения с неизвестным начальным условием. Задача сводится к определению этого вектора начальных условий. Измеряются функции решений на отрезке времени. Получены алгебраические (ранговые) условия идентифицируемости. В работе [46] для линейных нестационарных систем вводится понятие квазиидентифицируемости, связанное с нахождением близкой ио выходу линейной стационарной системы. Отметим еще работу [47], в которой устанавливается связь между структурной идентифицируемостью (определяется стандартно на основе принципа неразличимости) и введенной авторами алгебраической идентифицируемостью. Последнее понятие определяется через невырожденность якобиана некоторой мероморфной функции, связывающей входные и выходные сигналы, и близко по смыслу к упомянутой выше идентифицируемости в смысле чувствительности.

В этом кратком обзоре мы остановились лишь на некоторых, наиболее важных результатах, полученных в области параметрической идентифицируемости непрерывных детерминированных моделей. Общим этих результатов, как уже отмечалось выше, является то, что наблюдение выхода модели проводится на некотором фиксированном промежутке времени.

Принципиально отличающейся является задача параметрической идентифицируемости непрерывных моделей по наблюдаемым в дискретные моменты времени выходным сигналам. Такая постановка особенно важна с точки зрения приложений, так как в реальности большинство наблюдающих систем фиксируют наблюдаемый сигнал в дискретном режиме. Новой является и задача параметрической идентифицируемости по каким-либо свойствам системы или ее решений, проявляющимся на бесконечном промежутке времени либо в дискретные моменты этого промежутка. При изучении систем с распределенными параметрами также приходится в некоторых случаях рассматривать неограниченные области фазового пространства в сочетании с бесконечными временными промежутками. Возникающие при этом задачи идентификации параметров часто не укладываются в рамки известной основной теории и требуют специальной постановки и особого решения.

Некоторые из таких новых задач локальной параметрической идентифицируемости рассматриваются в настоящей диссертации.

Как отмечалось в [48], различные постановки задачи о локальной параметрической идентифицируемости можно обобщить и рассматривать их, как частные случаи следующей задачи. Рассматривается динамическая система x = Fp{t,x0), (0.1) где х G X, р Е Р; ж, Р - топологические пространства. Здесь р - параметр, подлежащий определению по наблюдению траекторий с фиксированным начальным значением Fp(0,xq) = xq или каких-либо функций от этих траекторий на некотором множестве значений времени t.

Фиксируется множество Т значений t (это может быть конечный или бесконечный набор значений t (Т = {ti,t2, .}) либо объединение конечного или бесконечного набора числовых промежутков (Т = „)))• п

Результатом наблюдений является множество

V(p) = {Gn(Fp(t,x0)), teT}, где Gn - функции или функционалы в зависимости от природы множества Т.

Мы говорим, что рассматриваемая динамическая система локально параметрически идентифицируема при значении параметра ро G Р по результатам наблюдений на множестве Т, если существует такая окрестность и

U точки Ро в Р, что

V(p) ф V{po) при реи\ {ро}.

Все рассмотренные в диссертации задачи в своих постановках укладываются в рамки указанной схемы. Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации.

Содержание главы 1

§ 1. Рассмотрена общая постановка задачи о локальной идентифицируемости кусочно-постоянного векторного параметра нелинейной системы по наблюдению ее выхода в конечном числе точек (по дискретным наблюдениям). Система имеет вид x = f(t,x,p), x(t0) = x о, (0.2) где t G [to,T\; х £ Rn\ параметр р = p(t) принимает значения pi € Q С С Rm на промежутках [U,ti+1), г — 0,1, .,JV - 1, tu — Т; вектор-функция f(t, х, р) предполагается достаточно гладкой и обеспечивающей продолжимость решений задачи Коши (0.2) на промежуток [to,T] при любых значениях вектора параметров

Ро тг = т ED = QN. PN-1

Обозначим через x(t, тт) решение задачи Коши (0.2). Считаем, что наблюдаемый выходной сигнал задается гладким отображением у = а{х), a: R!1 —> Rk. Результатом наблюдений служит набор векторов Уг(тг) = a(x(ti, тг)), г = 1,2,N.

Назовем пару значений параметров {7Г1,7Г2} неразличимой, если — 2) при всех г. В противном случае пара {7Г1,7Г2} называется различимой.

Пусть v(t) - решение на отрезке [U,ti+1] матричного дифференциального уравнения

Обозначим Vj+il71") — v(U+i) и определим матрицы да (х(и, тг)) Vi(ir), i = 1,2,., N.

Теорема 1.1. Пусть точка щ £ D обладает тем свойством, что rank(wi(7To)) = т, г = 1,2,., iV.

Тогда система (0.2) локально идентифицируема в этой точке, т. е. существует такое е > 0, что пара {7Г1,7Го} различима для любого 7Ti : 0< ||7Г1-7Го|| <£.

Условие локальной идентифицируемости системы (0.2) в точке 7Tq означает, что функция i=1 имеет в этой точке строгий локальный минимум, равный нулю. С учетом этого для системы (0.2) предложен алгоритм идентификации неизвестного параметра 7Го по результатам наблюдений - набору векторов yi(iго), i — 1,2, .,N. Алгоритм основан на градиентном методе минимизации функции F(7г) в окрестности номинального значения параметра. Работа алгоритма иллюстрируется примером.

§ 2. Результаты предыдущего параграфа обобщаются на случай, когда моменты наблюдения могут не совпадать с моментами изменения кусочно-постоянного параметра системы. Такое обобщение является естественным при следующем подходе к задаче локальной идентифицируемости: моменты наблюдения фиксированы, а переменный параметр p(t) аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, при этом промежутки постоянства параметра выбираются, исходя из какой-либо априорной информации о поведении функции p(t). Рассматривается система (0.2) в предположении, что параметр р принимает значения pi 6 Rk на промежутках [ц:Т{+1), где t0 = т0 < п < . < rs+1 = Т. Вводится вектор параметров тг € а через x(t, тг) обозначено решение задачи Коши (0.2). Фиксируем точки to < t\ < . < tm = Т и гладкое отображение a: Rn Rd. Наблюдаемой величиной является вектор я-) = a(x(thir))

У(7Г) = '

УтЫ) = a(x(tm, тг)) Различимость двух значений параметров тгх и 7Г2 по-прежнему означает, что У(тп) ф У(тг2).

Для получения условий локальной идентифицируемости рассматриваются системы дифференциальных уравнений в вариациях по параметру и по начальным данным на отрезках [t;,t;+i] постоянства параметра, и из матриц-решений этих систем формируются матрицы 6], для которых справедливы соотношения

В свою очередь из этих матриц формируется матрица ем = {eiM};:;;;;:::

Теорема 1.2 Если а(х) = х и гапк(<д(7г0)) = k(s + 1), то система (0.2) локально идентифицируема в точке щ.

Рассмотрен случай, когда а(х) = х и результат измерения величин x(ti, 7г) известен не точно, а с некоторой погрешностью, т. е. вместо точного значения вектора Y{-k) удается измерить вектор Y(ir), такой, что

У(7Г)-У(тг)|| < А при всех допустимых значениях параметра 7г.

Теорема 1.3. Пусть f Е / 6 С(2хр) и выполнены условия теоремы 1.2. Тогда существуют такие ц > 0 и G > 0, что если А < —, то из равенства У(7г) = следует, что либо \\ж — тго|| > —р;,

8G 2 G II п 4Д либо 7г — 7го <

H + y/ji2-8AG'

2Д

Заметим, что при малых Д последняя дробь равна--b of А). Это означает, что при наличии погрешности измерения, имеющей порядок Д

Д мало), "зона неразличимости" для значений параметра 7г из окрестности тг — 7Го|| < для которых выполняется условие Y(ir) = У(7Го), имеет 2G тот же порядок Д.

Теорема 1.2 обобщается на случай, когда а - произвольное гладкое отображение.

§ 3. В этом параграфе задача параметрической идентификации дифференциальной системы (0.2) по дискретным наблюдениям исследована с позиций теории оптимального управления. Показано, что задача параметрической идентификации может быть сведена к задаче оптимального управления, в которой идентифицируемый параметр рассматривается как управляющее воздействие. При этом система (0.2) заменяется кусочно-разностной аппроксимацией Эйлера, а для решения соответствующей оптимизационной задачи применяется дискретный принцип максимума Понтряги-на. Работа предложенного алгоритма проиллюстрирована на конкретном примере.

Содержание главы 2

§ 1. С общей постановкой задачи об идентифицируемости дифференциальных систем по дискретным наблюдениям тесно связана задача о локальной идентифицируемости по двухточечному наблюдению. Под двухточечным наблюдением понимается наблюдение, выполненное в двух соседних точках дискретного времени, т.е. на концах некоторого фиксированного отрезка времени.

По-прежнему рассматриваем систему (0.2), предполагая теперь, что to = 0, а параметр р е Rm постоянен на всем отрезке [0,Т]. Под идентифицируемостью системы (0.2) по двухточечному наблюдению понимается возможность однозначного определения неизвестного параметра р по известным значениям решения x(t) этой системы в точках 0 и Т. Мы будем предполагать, что значение ж(0) = хо не зависит от параметра р. При таком предположении задача сводится к исследованию возможности определения параметра р по зависящему от р значению решения x(t) в момент t = Т. Как было отмечено выше, предлагаемые авторами алгоритмы идентификации зачастую не имеют должного обоснования возможности их применения. Это относится и к задаче идентификации по двухточечному наблюдению. В частности, в работе [49] был предложен метод идентификации параметра модели по однократному наблюдению ее состояния (идейно близкий к предложенному нами в §3 предыдущей главы), однако условия разрешимости этой задачи в данной работе отсутствуют.

Перейдем к формулировке основных результатов этой главы. Дадим вначале точные определения. Пусть x(t, xq,р) - решение задачи Коши (0.2) (to = 0). Зафиксируем значение параметра ро и введем следующие функции

F(p,xо) = \\х(Т,х0,р) -х(Т,х0,р0)\\, Ф{р1х0) = max \\x(t,x0,p) - x(t,x0,po)\\.

Будем говорить, что система (0.2) при р = ро локально идентифицируема по наблюдению решения x(t,xo,p) в точках 0, Т, если существует такое Д > 0, что F(p, хо) > 0 для 0 < ||р - poll < А.

Будем говорить, что система (0.2) при р = ро локально идентифицируема по наблюдению решения x(t,xo,p) на промежутке [0, Т], если существует такое Д > 0, что Ф(р, а?о) > 0 при 0 < \\р — poll < А.

Ясно, что всегда 0 < F(p,xо) < Ф(р,Хо). Поэтому из локальной идентифицируемости по наблюдению в 0, Т следует локальная идентифицируемость по наблюдению на [0,Т] (равенство Ф(р, хо) = 0 влечет равенство F{p, жо) — 0 и, следовательно, неравенство F(p, xq) > 0 влечет неравенство о) >0).

Будем далее без ограничения общности считать, что ро — 0

Рассмотрим зависящую от параметра линейную систему с постоянными коэффициентами х = А(р)х, х Е Rn, р Е Rm. (0.3)

Теорема 2.1. Пусть матрица А(р) непрерывна при ро = 0 и существует такое Дх > 0, что

А(р)А{ 0) = А(0)А(р) (0.4) при ||р|| < А\. Тогда для любого хо Е Rn и для любого Т > 0 найдется такое Д > 0, что при ||р|| < Д равенство F(p, а?о) = 0 влечет Ф(р, хо) = 0.

Эта теорема показывает, что при выполнении условия (0.4) для системы (0.3) не только из локальной идентифицируемости по наблюдению в 0, Т следует локальная идентифицируемость по наблюдению на [0,Т], но и наоборот, т. е. в этом случае для ро = 0 оба введенных понятия локальной идентифицируемости становятся равносильными.

Построен пример двумерной линейной системы с одномерным параметром, показывающий, что при невыполнении условия (0.4) аналогичное утверждение в общем случае неверно.

Для системы (0.3), удовлетворяющей условию (0.4), получены следующие необходимые и достаточные условия локальной идентифицируемости по двухточечному наблюдению.

Теорема 2.2. Если для системы (0.3) выполнено условие (0.4), то эта система локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения x(t, xq,p) в точках 0, Т тогда и только тогда, когда при 0 < ||р[| < 6, S > 0; выполнено неравенство

А(р) - А(0))*0 Ф О

Если матрица А(р) £ С1, то достаточным условием локальной идентифицируемости системы (0.3) при р = 0 по двухточечному (в 0, Т) наблюдению при выполнении (0.4) служит где Ri =

P = \PhP2,-,Pm]\ г = 1,2,., m. 0 rankf^i^o, R2X0,., RmX0] = m, dA{jp) dpi

§ 2. В этом параграфе для линейной системы (0.3) общего вида формулируются достаточные условия локальной идентифицируемости по двухточечному наблюдению. Доказывается, что они сохраняют силу и для квазилинейных систем и поэтому их естественно называть условиями идентифицируемости по первому приближению. Изучение системы (0.3) мы начинаем со случая одномерного параметра р £ R и матрицы А(р) специального вида.

Теорема 2.3. Пусть для системы (0.3) выполнены следующие условия:

1) А(р) дифференцируема по р при р = 0; А'(0) = R = {гц}, 1 < hj < п;

2) А = Л(0) = diag(a\,ап), щ ф aj при г ф j;

3) для х0 е Rn и Т > 0 В(Т)х0 ф О, где элементы bij(t) матрицы B(t) находятся по формулам bu(t) = riiteai\ i = l,.,n; bij(t) = Гц--- при 1 < i,j < n, гф j. d>l dj

Тогда система (0.3) локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения x(t,xo,p) в точках О, Т.

Следствие 2.3. Если det(В(Т)) ф 0, то условие локальной идентифицируемости выполнено для любого xq ф 0.

Замечание 2.3. Полученное в теореме 2.3 достаточное условие локальной идентифицируемости системы (0.3) по двухточечному наблюдению является необходимым в следующем смысле. Пусть даны матрицы А = diag(ai, .,an), щ ф aj при i ф j, и R = {гц}, 1 < i,j < п. Построим по ним матрицу В(Т) по формулам пункта 3) теоремы 2.3. Пусть при некотором xq ф 0, xq 6 Rn, выполняется равенство В(Т)х о = = 0. Тогда существует система (0.3), такая, что А(р) € С1, А(0) = А, Л'(0) = R, и эта система не является локально идентифицируемой при р = 0 по наблюдению решения x(t,xo,p) в точках 0, Т.

При доказательстве этого утверждения устанавливается отсутствие локальной идентифицируемости не только при р = 0, но и при всех достаточно малых р.

Рассмотрим теперь квазилинейную систему вида x = A(p)x + g(t,x,p), (0.5) где х G Rn, р G R. Предполагаем, что А(р) Е С1, а вектор-функция g(t,x,p) - класса С1 по всем своим аргументам.

Теорема 2.4. Пусть для системы (0.5) выполнено условие: дд дд

1) g(t,x,p) = 0, — (t,x,p) = 0, — (t,x,p) — 0 при р — 0 и при всех t, х.

Если выполнены условия 2) и 3) теоремы 2.3; то система (0.5) локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения x(t,Xo,p) в точках О, Т.

Заметим, что если условие 3) заменить на условие, указанное в следствии 2.3, то локальная идентифицируемость системы (0.5) будет справедлива для любого Xq ф 0.

Теоремы 2.3 и 2.4 обобщаются на случай, когда в точках 0, Т наблюдается не само решение x(t, хо,р) систем (0.3) или (0.5), а некоторая гладкая функция этого решения.

Кроме того, показано, что эти теоремы могут быть распространены на общий случай, когда матрица А = Л(0) не обязательно диагональная, а имеет произвольную жорданову форму. Указан алгоритм нахождения матрицы B(t) в этом общем случае, а основным условием локальной идентифицируемости систем (0.3) и (0.5) по-прежнему остается неравенство В(Т)хо Ф 0 (см. условие 3) теоремы 2.3).

Для квазилинейной системы (0.5) с одномерным параметром получено еще одно достаточное условие локальной идентифицируемости.

Теорема 2.7. Пусть для системы (0.5) выполнено условие 1) теоремы 2.4 и, кроме того,

Л(0)Л'(0) = Л'(0)А(0).

Если для хо 6 Rn

А'{0)х0 ф 0, то для любого Т > 0 система (0.5) локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения x(t,xo,p) в точках 0, Т.

В заключение показано, как результаты по локальной идентифицируемости систем (0.3) и (0.5) для случая одномерного параметра могут быть обобщены на случай параметра произвольной размерности.

Итак, предположим, что в системе (0.3) р €Е Rm, матрица А(р) непрерывно дифференцируема. Введем матрицы д dpi г = 1,2,., га (р=(р1,Р2,-.,РтУ)р=о

Теорема 2.8. Если для вектора xq Е. Rn и для Т > 0 rank(B1{T)xQ,B2(T)x0,.,Bm{T)x0) = m, (0.6) mo система (0.3) локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения x(t,xo,p) в точках 0, Т.

Для системы (0.3) с многомерным параметром справедлив следующий аналог теоремы 2.7.

Теорема 2.9. Пусть для системы (0.3) выполняется условие где С) =

А(0)С4 = ЪА(0), i = 1,2, .,m, (0.7) дА(р) Если для вектора хо G Rn р=о rank (CiXq, С2х0,., Стх0) = тп, (0.8) dpi то для любого Т > 0 система (0.3) локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения x(t,XQ,p) в точках 0, Т.

Следствие 2.5. Если для системы (0.5) выполнено условие 1) теоремы 2.4 и условие (0.6) либо условия (0.7) и (0.8), то эта система локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения x(t,xo,p) в точках 0, Т. При выполнении условий (0.7) и (0.8) Т - любое положительное число.

Заметим, что все сформулированные утверждения сохраняют силу для случая локальной идентифицируемости в произвольной точке ро параметрического пространства. При этом во всех формулах и формулировках р = 0 следует заменить на р = ро.

§ 3. Полученные в главе 1 и в предыдущих параграфах этой главы достаточные условия локальной идентифицируемости системы (0.2) и частных случаев этой системы - систем (0.3) и (0.5) были сформулированы в терминах рангов либо иных характеристик некоторых специальных матриц и эти условия естественно охарактеризовать как условия первого порядка. В этом параграфе получены условия локальной идентифицируемости высших порядков в предположении, что условия первого порядка не выполняются.

По-прежнему рассматриваем систему дифференциальных уравнений (0.2) при дополнительном предположении, что вектор-функция / непрерывна по всем своим аргументам, аналитична по х и р, и что обеспечена продолжимость на [to,T] решения x(t,p) задачи Коши (0.2) для всех рассматриваемых значений параметра р Е Rm. Мы ограничиваемся здесь случаем двухточечного наблюдения решения системы (0.2) (т. е. наблюдения в точках to, Т при постоянном на [to, Т] параметре р) и рассматриваем параметр р £ R или р Е R2.

Пусть yi(p), г = 1,2, .,п - компоненты вектора у(р) = х(Т,р). Для простоты считаем, как и прежде, что идентифицируемым значением параметра служит ро = 0. Пусть вначале р Е R. Нарушение условий локальной идентифицируемости первого порядка означает, что 0, г = 1,2,., п. р=о др

Теорема 2.10. Пусть существует j Е {1,2, .,п} и т > I, т Е N, такие, что dmyi др т

Ф Ор=0

Тогда система (0.2) локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения x(t,p) в точках to, Т.

Пусть теперь р = \pi,p2f € R2. Введем обозначения а,dyi dpi

Ы = dyi р=о др2 г = 1,2,., п. р=о

Нарушение условий локальной идентифицируемости первого порядка означает, что ранг матрицы fli Ь\ й2 &2

Q = равен либо 1, либо 0.

Пусть ранг этой матрицы равен 1. В этом случае хотя бы один из ее элементов отличен от нуля: считаем, что а\ ф 0. Тогда по теореме о неявной функции существует аналитическая в некоторой окрестности точки р2 = О функция ip(p2), такая, что у>(0) = 0, I/l(y>(p2)»P2)-yi(0,0) = 0.

Введем функции Zi(p2) = у\ (<^Ы,Р2), г = 2,3,., п.

Теорема 2.11. Предположим, что существует такой индекс j £ {2,3,., п} и т Е N, что дтг~ dp,

7^0.

Р2=0

Тогда система (0.2) локально идентифицируема при р — 0 по наблюдению решения x(t,p) в точках to, Т.

Пусть теперь ранг матрицы Q равен нулю. В этом случае функции zi{PhP2) — Уг(РъР2)-Уг(0> 0)- аналитические функции (в некоторой окрестности точки р\ = р2 = 0), не имеющие свободных и линейных членов. Пусть

I = {1,2, .,n}. Хорошо известно, что для любой функции Z{ могут иметь место следующие возможности: а) Zi = 0 ( в этом случае пишем г £ /д); б) Zi = р[р™щ{р1,р2), где / > 0, m > 0, щ - аналитическая функция, иД0,0) ф 0 (пишем г £ IPl,P2); в) Zi(pi,0) ф 0, т.е. в разложении z;(pi,0) есть главный член aoPi, ао ф 0 (пишем i £ IPl)\ г) Zi(0,p2) ф 0, т.е. в разложении Zi(0,p2) есть главный член ЬоР™°, bo ф 0 (пишем г £

Таким образом, множество индексов I распадается на подмножества /о, ^pi,p2> -^pi и -^2- При этом пересечение подмножеств /о и 1РиР2 с любыми другими указанными подмножествами всегда пусто, в то время, как не всегда Ipi П 1Р2 = 0.

Теорема 2.12. Предполоэюим, что

1) Ф 0; т^ 0;

2) существуют i,j £ I \ Io, такие, что ломаные Ньютона Гг-, Tj функций Z{, Zj не имеют параллельных конечных ребер. Тогда система (0.2) локально идентифицируема прир = 0 по наблюдению решения x(t,p) в точках to, Т.

Замечание 2.6. Условие 1) этой теоремы является и необходимым (в том случае, если ранг матрицы Q равен нулю).

Содержание главы 3

§ 1. В этом параграфе изучается специальная постановка задачи о локальной параметрической идентифицируемости для стационарной или периодической линейной дифференциальной системы, когда наблюдаемой величиной служит функция решения этой системы, рассматриваемого на бесконечном промежутке времени.

Итак, наряду с системой (0.3) будем рассматривать линейную периодическую систему x = A(t,p)x, (0.9) где х Е Rn, р Е Rm, A(t + ш,р) = A(t,p), ио > 0. Будем обозначать через x(t, xq,р) решения этих систем с начальными данными х(0,х0,р) = х0. (0.10)

Известно, что любое нетривиальное решение x(t) стационарной или периодической системы имеет строгий показатель Ляпунова, равный

Будем говорить, что система (0.3) или (0.9) локально идентифицируема при р = ро по асимптотическому наблюдению решения задачи Коши (0.10) с Xq ф 0 (локально асимптотически идентифицируема), если существует такое 5 > 0, что

X[x(t,x0,p)] ^X[x(t,x0,p{})] (0.11) при 0 < ||р — ро|| <

Оказывается, что введенное свойство локальной асимптотической идентифицируемости при определенных условиях тесно связано с рассмотренной ранее локальной идентифицируемостью по двухточечному наблюдению.

Теорема 3.1. Пусть в системе (0.3) матрица А(р) непрерывна при р — 0 и выполнено условие (0.4). Тогда для любых Xq Е Rn, xqj- 0; « Т > 0 щществует такое А > 0; что при ||р|| < Д из равенства х(Т,х0,р) = х(Т1х0,0) (0.12) следует равенство

X[x(t,x0,p)} = х[ж(*,ж0,0)]. (0.13)

Эта теорема означает, что при условии (0.4) из локальной асимптотической идентифицируемости при р — 0 системы (0.3) следует ее локальная идентифицируемость при р = 0 по наблюдению решения x(t, xq,р) в точках 0, Т.

Приведен пример, показывающий, что обратное утверждение (при выполнении условия (0.4)) в общем случае неверно.

Кроме того, приведены примеры линейных стационарных систем, не удовлетворяющих условию (0.4), показывающие, что в общем случае свойства локальной асимптотической идентифицируемости и локальной идентифицируемости по двухточечному наблюдению являются независимыми (может иметь место какая-то одна из этих идентифицируемостей и отсутствовать другая).

Из теорем 2.2 и 3.1 вытекает справедливость следующего утверждения о поведении спектра матрицы А(р): если матрица А(р) непрерывна при р — 0, удовлетворяет условию (0.4) и для некоторого х$ ф 0 (Л(р) — Л(0))жо = 0 при ||р|| < Д, Д > 0, то существует такая последовательность {рк}, Рк Ф 0, рк —>■ 0 при к —> оо, что (ReAj(pjfc) , г — 1,2,., п} П {Re Aj(0), i = 1,2,., п] ф 0, где \(р) - собственные числа матрицы А(р).

Сформулируем теперь аналог теоремы 3.1 для линейной периодической системы (0.9). Фундаментальную матрицу этой системы можно представить в виде

Ф (t,p) = G(t,p)eB®\ (0.14) где матрица G(t,p) w-периодична по t, а матрица В(р) постоянная.

Теорема 3.2. Пусть система (0.9) такова, что для матрицы В(р) из представления (0.14) существует такое А > 0, что

В(р)В( 0) = В(0)В(р)

0.15) при \\р\\ < А. Тогда для любого хо € Rn, xq ф 0, и любого Т = 1ш, I -натуральное число, найдется такое S > 0, что при ||р|| < 5 из равенства (0.12) следует равенство (0.13).

Таким образом, при условии (0.15) из локальной асимптотической идентифицируемости при р = 0 системы (0.9) следует ее локальная идентифицируемость при р = 0 по двухточечному наблюдению решения x(t,xo,p) на концах любого отрезка [0, Ioj], I G N.

Приведен пример линейной периодической системы (0.9), для которой выполнено условие (0.15) теоремы 3.2. А именно, пусть матрица A(t,p) системы (0.9) такова, что при ||р|| < Д

CJ

CJ ш

J A(s,p)ds J A(s,0)ds = J A(s,0)c/s J A(s,p)ds (0.16) 0 0 0 0 и выполнено условие Лаппо-Данилевского, т.е. при ||р|| < Д и t £ R i

J A(s,p)di

A(t,p) = A{t,p t

J A(s,p)d& .0

0.17)

Тогда для системы (0.9) справедливо заключение теоремы 3.2.

Заметим, что строгими показателями Ляпунова решений системы (0.9), удовлетворяющей условию (0.17), являются вещественные части собственен ных чисел Xi(p), г = 1,2, .,п, матрицы В(р) = — / A(s,p)ds. Поэтому J о условие локальной асимптотической идентифицируемости (0.11) для такой системы будет выполнено, если при р, близких к ро (р ф ро) множества { ReAf(p)} и (ReAj(po)} не пересекаются. Таким образом, локальная асимптотическая идентифицируемость в данном случае связана с чувствительностью собственных чисел матрицы В(р) к изменению ее параметров.

Примером системы (0.9), удовлетворяющей условиям (0.16) и (0.17), может служить двумерная система с матрицей где a(t,p), b(t,p) - произвольные w-периодические функции, а и /3 - произвольные числа. Для такой системы проверка условия локальной асимптотической идентифицируемости сводится к тривиальному выяснению зависимости вещественных частей корней квадратного уравнения от параметра.

Для системы (0.9) при выполнении условия (0.15) справедлив следующий аналог теоремы 2.2.

Теорема 3.4. Если для системы (0.9) выполняется условие (0.15), то эта система локально идентифицируема при р = 0 по наблюдению решения задачи Коши (0.10) в точках 0, Т = 1ш, где I - произвольное 7штуральное число, тогда и только тогда, когда при 0 < ||р|| < А

Заметим, что для системы (0.9), удовлетворяющей условиям (0.16) и (0.17), неравенство (0.18) сводится к легко проверяемому условию

§2. В этом параграфе рассматривается специальная постановка задачи идентифицируемости входного воздействия для системы управления частного вида, содержащей блок временной задержки, по однократному наблюдению выхода этой системы в произвольный момент времени. Математической моделью этой системы является линейное дифференциальное

A(t,p) = a(t,p) ab(t,p) 0b{t,p) a(t,p)

B(p) - B(0))x0 ф 0.

0.18) уравнение первого порядка с запаздывающим аргументом. Специфика таких уравнений не позволяет применить к ним методы, используемые для обыкновенных дифференциальных уравнений, и требует разработки собственных методов. В работах [50], [51] предлагаются методы нахождения параметров функционально-дифференциальных систем с последействием по косвенным измерениям их входа и выхода на некотором промежутке времени. Предполагается известной реакция системы на входное воздействие. В частности, для линейной системы с запаздывающим аргументом на конечном отрезке времени идентификации указанная реакция находится методом пошагового интегрирования системы. Укажем еще работу [52], в которой полученные условия идентифицируемости передаточной функции системы требуют существенной информации о соотношении "вход-выход" системы на отрезке времени идентификации. В нашей постановке, как было отмечено выше, наблюдение выхода производится в один произвольно выбираемый момент времени.

Сформулируем здесь обобщающий результат наших рассмотрений. Пусть исследуемая система управления описывается дифференциальным уравнением au'(t) + bu(t) + cu(t - т) = px(t), (0.19) где а>0, 6>0, с > 0, р > 0 - параметр, x(t) - непрерывная функция, такая, что r](t-t0)<x(t)<r]{t), 0<t0<r, rj(t) - функция Хевисайда. Для уравнения (0.19) ставится начальная задача м(*) = 0 при t€[-T, 0]. (0.20)

Решение этой задачи обозначим u(t,p). Правую часть уравнения (0.19) можно трактовать как входное воздействие рассматриваемой системы, при этом параметр р задает полосу "размытого скачка" px(t), подаваемого на вход системы. Задачу идентификации неизвестного параметра р сформулируем, как задачу определения этого параметра но известному значению u(t,p) (выхода системы) в некоторый, вообще говоря произвольный, момент вемени t = t* > 0.

При этом будем говорить, что уравнение (0.19) локально параметрически идентифицируемо при р = р0 по наблюдению решения u(t, р) начальной задачи (0.20) в момент времени t* > 0, если найдется такое 5 > 0, что u(t*,p) фи(?,ро) при 0<\р-ро\<5.

Из линейности уравнения (0.19) и линейной зависимости правой части от параметра р следует, что условие u(t*, 1)^0 (0.21) гарантирует для любого ро локальную параметрическую идентифицируемость. Поэтому, если выполнено условие (0.21), говорим, что уравнение (0.19) глобально параметрически идентифицируемо по наблюдению решения начальной задачи (0.20) в момент времени Г.

Наконец, если уравнение (0.19) глобально параметрически идентифицируемо по наблюдению решения начальной задачи (0.20) в любой момент времени t* из некоторого промежутка /, говорим, что это уравнение глобально параметрически идентифицируемо на промежутке I.

Теорема 3.15. Уравнение (0.19) глобально параметрически идентифицируемо по наблюдению решения начальной задачи (0.20) на промежутке (г, +оо) при т Е [0,т*]; где а т = — ь+с

Для случая, когда в уравнении (0.19) b > 0, получена двухсторонняя (экспоненциально сужающаяся) оценка идентифицируемого значения параметра р по измеряемому значению u(t,p). Аналогичная оценка может быть получена и при b = 0.

Показано, что при больших значениях запаздывания г свойство глобальной параметрической идентифицируемости на полуоси (т, +оо) может нарушаться. В частности, если в уравнении (0.19) x(t) = r](t), справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.10. При с> b и т > т**, где уравнение (0.19) не является глобально параметрически идентифицируемым по наблюдению решения начальной задачи (0.20) на промежутке (т,+оо).

Содержание главы 4

§ 1. В большинстве рассмотренных выше задач параметрической идентифицируемости идеализация моделей позволяла считать, что результаты измерений получаются при наилучших условиях эксперимента, т. е. являются точными значениями наблюдаемых величин. Это вполне естественно, ибо в определенном смысле погрешности наблюдений "компенсируются" погрешностью самой модели. Можно обоснованно предположить, что если "неточная" математическая модель реальной системы является параметрически идентифицируемой по результатам точных наблюдений, то в результате идентифицирующего эксперимента и последующей идентификации параметров произойдет уточнение модели и полученная модель будет вполне адекватна реальной системе.

Вместе с тем можно предположить, что и в случае, когда наблюдения содержат незначительные погрешности, идентифицирующий эксперимент позволяет уточнять математическую модель, в частности, корректировать значения ее параметров, что, в свою очередь, приводит к улучшению условий эксперимента, т. е. к уменьшению ошибок в наблюдениях.

В этом параграфе рассматривается задача параметрической идентифицируемости именно в такой постановке, т. е. в предположении, что наблюдение происходит с ошибкой, при этом в процессе наблюдения ошибка уменьшается с течением времени. Будем предполагать, что наблюдения производятся в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга на постоянную величину и > 0, совпадающую с периодом исследуемой нелинейной системы дифференциальных уравнений.

Итак, рассматриваем периодические по времени системы дифференциальных уравнений вида x = f(t,x,p), xERn, (0.22) где р Е Rm - параметр. Считаем, что при любом значении параметра р правая часть системы (0.22) имеет период ш > 0 по t: f(t + и, х,р) = = f(t,x,p) и удовлетворяет условиям существования, единственности и продолжимости решений на всю временную ось.

Обозначим через x(t,to,xo,p) решение задачи Коши с начальными данными x(to,to,XQ,p) = xq для системы (0.22) и пусть Тр - преобразование Пуанкаре этой системы, т.е. Тр(хо) = х(ш,0,хо,р).

Для точки уо Е Rn и для значения параметра р Е Rm будем называть последовательностью наблюдений с начальным данным уо и с ошибками h(p)> к > 1, последовательность Ук{р) € Rn, к > 1, для которой выполнены равенства

5к(р) = \\х(ки,(к-1)и,ук-г(р),р)-ук{р)\\, к>1.

Если, кроме того, выполнено соотношение $k{p) 0 при к —У +оо, то такую последовательность будем называть последовательностью наблюдений с неограниченным уточнением (п.н.н.у.).

Заметим, что числа Sk(p) можно интерпретировать следующим образом: в момент времени (к — 1 )ш измеряющая аппаратура "настраивается" на точку yk-\(p), отслеживает решение х (t, (к — 1)а;, Ук-\{р),р) на периоде [(& — кш] и выдает его приближенное значение Ук(р) в момент кш с ошибкой 5k(p).

Рассмотрим множества V С RT\ Р С Rm и дадим основное определение.

Будем говорить, что система (0.22) параметрически идентифицируема на паре (V, Р) по последовательностям наблюдений с неограниченным уточнением, если для любых двух п.н.н.у. {yk(pi)}, fefe>)}, Ук{рд £ V, i = 1, 2; р\,р2 € Р, Pi ф Р2-, найдется такое ко Е N, что при к > ко

Ук(Р1) ф УкЫ

Далее предполагаем, что вектор-функция непрерывна по t, х при любом р вместе с матрицей Якоби и что f(t,x,p), Y(t,x,p) непрерывно зависят от р. При этих предположениях преобразование Пуанкаре Тр(х) системы (0.22) является диффеоморфизмом при любом р и зависит от р непрерывно в

С1 -топологии.

Для произвольных диффеоморфизмов введем одно дополнительное понятие, которое нам потребуется для формулировки основного результата.

Будем говорить, что инвариантные множества К\, диффеоморфизмов Fi, динамически положительно различимы, если для любых

X\ G Ki, X2 G K2 найдутся такие /3 > 0 и / > О, что

Ff(®i)-^(®2)||>i9 При

Корректность этого определения подтверждена конкретным примером семейства диффеоморфизмов, удовлетворяющих введенному свойству. Теорема 4.1. Предположим, что для семейства систем (0.22);

1) существует множество Iq - гиперболический аттрактор диффеоморфизма То;

2) V С Rn - открытое множество, для которого kcVcVcD(Io), T0(V)CV, где D(Iq) - область притяжения аттрактора Iq диффеоморфизма То (существование такого множества V следует из общих свойств аттракторов диффеоморфизмов );

3) существует такая окрестность Ро нуля в Rm, что для любых

Pi,P2t Ро, Pi Ф Р2, аттракторы IPl = f| T^(V) и IP2 = f) ТД(У) динамо k> 0 мически положительно различимы.

Тогда существует такая окрестность Р нуля в Rm, что система (0.22) параметрически идентифицируема на паре {V,P) по п.н.н.у.

§ 2. В этом параграфе исследуется возможность определения параметров системы не по ее точным решениям, а по приближенным, получаемым в результате применения тех или иных численных методов. В этом случае возникает задача нахождения условий на характеристики применяемого численного метода (например, на его порядок) и на величину шага интегрирования, при которых возможно идентифицировать неизвестный параметр с предписанной точностью. Предлагается решение этой задачи для случая, когда система i = f(t,x, А) (0.23) w-периодична по t (f(t + ш, x, Л) = f(t,x,\), ш > 0), x E RN, A £ Rm -параметр системы. Обозначим через x(t,to,xo, А) решение начальной задачи x(to) = xq для системы (0.23). Если решение x(t, 0, xq, А) определено на отрезке [0,и;], то для точки xq определено преобразование Пуанкаре Тд, задаваемое равенством Т\(хо) = х(ш, 0,хо, А).

Наше основное предположение заключается в следующем: при А = = Ао система (0.23) имеет си-периодическое решение <px0(t), которое является гиперболически устойчивым. Это означает, что если р(Ао) = = <£до(0) - начальное значение периодического решения (т.е. р(Ао) - неподвижная точка преобразования Пуанкаре Тд0), то собственные числа Hj матрицы Якоби DT\0 (р(Ао)) удовлетворяют неравенствм

Hj\ <1, i = 1,2,., N. (0.24)

Известно, что в этом случае для А, близких к Ао, система (0.23) имеет w-периодические решения <p\(t), начальные значения которых р(А) = <£а(0) удовлетворяют условию р(А) р(А0) при А А0.

Все эти решения также гиперболически устойчивы, т. е. собственные числа матриц Якоби DT\(p(X)) удовлетворяют неравенствам (0.24), если величина ||А — Ао|| достаточно мала.

Рассмотрим для системы (0.23) некоторый численный метод 9д^ с шагом h по времени t. Будем предполагать, что этот метод имеет порядок q. Это означает, что одношаговая ошибка метода имеет следующую оценку x(to + Л, к, хо, А) - ©Л,h{to, so) || < Chq+1 с фиксированной константой С, справедливую для всех h > 0, начальных значений xq из некоторого компактного подмножества пространства RN и А, принадлежащих ограниченному подмножеству пространства Rm.

Зафиксируем натуральное число v и пусть h = —. Процедура идентиv фикации параметра Л основана на наблюдении векторов

7А(п,*о) = е$(0,*о), (0-25) служащих приближенными значениями итераций

Г"(xq) = х(пш,0,х0, А) преобразования Пуанкаре системы (0.23) для точки xq.

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 4.2. Пусть существуют такие положительные числа ао, A ul, что

Ь(А)-р(А0)||>А||А-А0||< (0.26) для ||Л — Ао|| < clq. Пусть R - компактное подмноэк:ество области притяжения неподвижной точки р(Ао) преобразования Пуанкаре Т\0. Тогда существует такое число а\ > 0, что система (0.23) локально идентифицируема по наблюдению векторов дискретизаций (0.25) в следующем смысле: для любого X, 0 < ||А — Ао|| < а\, существуют такие числа ho и по, что если h < ho и х,у Е R, то для п > щ

Т\(п,х) ф тл0(п,у).

Как видно, в основе определения локальной идентифицируемости в рассматриваемом случае, по-прежнему, лежит упомянутый ранее принцип различимости наблюдений по параметру, а динамическая система (0.1) порождается сейчас исходной системой (0.23) и применяемым численным методом.

Замечание 4.3. Для линейной неоднородной си-периодической системы x = A(t)x + g(t,X) (0.27) в случае, когда соответствующая однородная система х = A(t)x (0.28) не имеет нетривиальных о;-периодических решений (т. е. имеет место нерезонансный случай), условие (0.26) выполнено, если о) - у"{Ло) = - = У{1~1)(Ьо) = О, гЛло) ф 0, (0.29) где и) уМ(\0) = 1Е-Х(ш)}-1Х(и) J о

X(t) - нормированная (Х(0) = Е) фундаментальная матрица системы.

В свою очередь, нерсзонансный случай для системы (0.28) имеет место, например, когда эта система асимптотически устойчива. В этом случае, как хорошо известно, неоднородная система (0.27) при любом Л имеет единственное ^-периодическое решение, являющееся гиперболически устойчивым в указанном выше смысле. Таким образом, асимптотическая устойчивость линейной однородной си-периодической системы (0.28) в сочетании с условиями (0.29) обеспечивает выполнение всех условий теоремы 4.2 для системы (0.27). Это означает, что в задаче локальной параметрической идентифицируемости линейных неоднородных периодических систем по их дискретизациям важную роль играет анализ асимптотической устойчивости таких систем.

Содержание главы 5

§1. В этом параграфе нами рассмотрена задача локальной параметрической идентифицируемости для полулинейных параболических уравнений. Следует отметить, что в большей части работ по идентификации систем с распределенными параметрами, моделируемых дифференциальными уравнениями в частных производных, предлагаются методы и алгоритмы восстановления входных сигналов по результатам приближенных измерений фазовых положений системы на конечном промежутке времени, близкие к методам решения обратных задач динамики (см., например, [53]—[55]). В обзорной статье [56] дается введение в проблематику таких задач, подробно описаны некоторые способы построения конечношаговых алгоритмов, основанные на сочетании методов теории позиционного управления и теории некорректных задач (обратные задачи, как правило, некорректны по отношению к информационным и вычислительным погрешностям). В незначительной части имеющихся работ затрагиваются теоретические вопросы идентификации и, в частности, исследуется идентифицируемость рассматриваемых систем. При различных подходах к проблеме идентифицируемости общим в них остается наблюдение решения системы при всех значениях времени t из некоторого промежутка (это относится, прежде всего, к обратным задачам динамики), либо на всей полуоси t > 0. Отметим работу [57], в которой рассматривается задача восстановления коэффициентов линейного параболического уравнения по измерению его решения u(t,x) при t > 0, х Е [0,1], которое удовлетворяет начальному условию и краевым условиям Дирихле. Условия идентифицируемости формулируются через линейную независимость коэффициентов Фурье этого решения. В работе [58] наблюдается решение параболического уравнения при t > 0 и с дискретизацией по х Е (0,1). Условия идентифицируемости коэффициентов уравнения связаны с точными решениями соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.

Мы будем рассматривать задачу параметрической идентифицируемости в предположении, что наблюдаются дискретизации классических решений, уточняющиеся с ростом дискретного времени. Для решения этой задачи используются свойства эволюционных динамических систем, порожденных параболическими уравнениями.

Итак, рассматриваем полулинейное параболическое уравнение ди д2и . ,

- = - + /(A,U), (0.30) где х 6 (0,7г), t > 0, Л G R - параметр. Для уравнения (0.30) ставятся краевые условия Дирихле и(0,*) = и(тг,*) = 0. (0.31)

Через u(X,x,t,uo) обозначаем классическое решение уравнения (0.30), т.е. функцию и £ Cl'j, удовлетворяющую уравнению (0.30), условиям (0.31) и начальному условию м(А, ж, 0, wo) = щ(х). (0.32)

Нами изучается проблема локальной параметрической идентифицируемости задачи (0.30)-(0.32) в следующей постановке.

Фиксируем число Т > 0 и для каждого натурального числа п выберем натуральное число т(п), подчиненное условию m(n) -> сю при п —У оо. (0.33)

Рассмотрим конечные множества

V(А, п, щ) = {it(A, khn, Тп, щ) : 0 < к < гп(п) - 1} , определенные для всех п > 0, где h п пп = m(n)

Каждый набор V(X, п, щ) - это множество значений решения ЦА, ж, щ) на конечном подмножестве khn,Tn) : 0 < к < т(п) - 1} множества (0, тг) х {Тп}.

Условие (0.33) означает, что наборы F(A, п, щ) можно трактовать как результаты наблюдения решения задачи (0.30)-(0.32) в моменты времени Тп с уточнением этого наблюдения (уменьшением шага дискретизации по х) по мере роста времени.

Будем рассматривать соболевское пространство Я^ ^ с нормой м=(/|!Г*)*

Через Щ обозначим следующее подпространство в

Hi = {«6 Я^ : «(0) = и(ж) = О} .

Предполагаем, что /(А, •) € C2(R) и, кроме того, что существует такая функция С(А), A G R, что м/(А,м) < С(А). (0.34)

При условии (0.34) задача (0.30)-(0.32) порождает в пространстве Щ эволюционную динамическую систему S(X,t), t > 0, такую, что для любой функции щ G Hq решение u(X,x,t,uo) определено при всех t > 0 и представимо формулой u(X,x,t,u0) = S(X,t)(u0(x)).

При этом неподвижными точками системы S(X,t) служат решения следующей краевой задачи

0 + /(A,U) = O, и(0) = и(тг) = 0.

Определение 5.1. Будем говорить, что задача (0.30) — (0.32) локально идентифицируема при Х = Xq по уточняющимся дискретным наблюдениям решения и(Хо,х,Ь,щ), если существует е > 0, обладающее следующим свойством: для любого \, 0 < |А — Ао[ < е, и для любой функции vq 6 Hq найдется такое щ > 0, что

V(Aq, п, щ) ф F(A, п, vq) при п > щ.

Введем следующее условие.

Условие / в точке Ао- Для любого 8 > 0 существуют такие числа v+ е (0,(5), v~ е (-6,0) и Ц > О, что

A, v-) ^ /(Ао, V") при 0 < |А — Ао| < у.

Теорема 5.1. Предположим, что a) все неподвижные точки системы 5(Ао, t) гиперболические; b) если /(Ао,0) = 0, то неподвижная точка и = 0 системы S(\o,t) неустойчива; c) выполнено условие I в точке Ао.

Тогда существует такое открытое и плотное подмножество И пространства Щ, что для любой функции щ 6 % задача (0.30) — (0.32) локально идентифицируема при А = Ао по уточняющимся дискретным наблюдениям решения и(Ао, ж, t, щ).

Если /(Ао, 0) ф 0, то можно брать % = Щ.

Условия теоремы 5.1 могут быть легко проверены для задачи Чэфи-Инфанте (уравнение (0.30) с линейной зависимостью от параметра А).

Итак, предположим, что в уравнении (0.30) /(А, и) = Ад(и), где функция д Е C2(R) и удовлетворяет следующим условиям:

СИ) д(0) = 0, дЩ = 1;

CI2) limsup^<0;

Iwl—ЮО ^

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА

CI3) ид"(и) < 0 при и ф 0. Известно, что при этих условиях и при

А > 1, А фт2, те Z,

0.35) любая неподвижная точка соответствующей динамической системы S(\,t) является гиперболической, в то время как неподвижная точка и = 0 является неустойчивой.

Теорема 5.2. Предположим, что в уравнении (0.30) /(A, if) = = А<7(м), где функция д(и) удовлетворяет условиям (CIl)-(CIS). Тогда для любого А = Ао, удовлетворяющего неравенствам (0.35), существует такое открытое и плотное подмножество % пространства Щ, что для любой функции щ £ % задача (0.30) — (0.32) локально идентифицируема при Ао по уточняющимся дискретным наблюдениям решения и(\0,х,1,щ).

§ 2. При компьютерном моделировании, основанном на использовании тех или иных вычислительных методов, исследуемое уравнение (0.30) заменяется некоторой аппроксимирующей его системой, для которой вновь возникает задача о возможности идентификации неизвестного параметра А. В этом параграфе показывается, что идентификация параметра А возможна при дискретизации уравнения (0.30), причем без требования уточнения наблюдений с ростом времени.

Мы рассматриваем следующую полунеявную дискретизацию уравне

7г ния (0.30). Фиксируем натуральное число N, положим d = ^ и пусть h > 0 - шаг дискретизации по времени t. Будем приближать значения u(A, md, nh, uq) решения задачи (0.30)—(0.32) величинами v™, п > 0, т = 0,1,., N + 1, зависящими от А и задаваемыми следующей системой уравнений

Avn+1 = Avn+l + /(A, vn), п > 0

0.36) где vn = К,4) € Rn, ДА, v) = (/(Л, Vl),ДА, V» , д„»+1 = I („п+i vn) j (Av)m = J (Wm+i 2Vm + } a vq = vn+i = 0. Система (0.36) задает отображение такое, что vn+1 = ip(A,wri). При условии

Л||Л|| < 1 это отображение определяется выражением

V(\,v) = Г1 (v + hf(A, v)), где J = Е — hA, Е - единичная матрица. При условиях д А duf<А'«>

М, hM < 1 (0.37) f(X,v) является диффеоморфизмом пространства RN. Считаем, что эти условия выполнены при всех А Е R.

Будем говорить, что система (0.36) локально идентифицируема при Ао по наблюдению траектории {<pn(Ao,wo) : п > 0}, если существует такое £ > 0, что для любого А, 0 < |А - Ао| < £, и для любого Vq Е Rn найдется такое щ > 0, что при п>щ

Теорема 5.3. Предположим, что /(А, и) = Ад(и) и для фиксированного значения Ао Е R условия (0.37) выполнены для всех (А, и) Е Е Л х R, где Л - некоторая окрестность точки Ао- Пусть, кроме того, выполнены условия: а) все неподвижные точки диффеоморфизма <р(Ао, •) являются гиперболическими; ib) если <7(0) = О, то неподвижная точка и = 0 диффеоморфизма <^(Ао, •) неустойчива.

Тогда существует такое открытое и плотное подмножество % пространства что для любого щ £ И система (0.36) локально идентифицируема при Ао по наблюдению траектории (<^п(Ао,мо) : п > 0}.

Если д(0) ф 0 и Ао Ф 0, то можно взять И = RN.

Показано, как теорема 5.3 может быть обобщена на случай произвольной нелинейности /(А, и), удовлетворяющей условиям (0.37). Дополнительное ограничение ес, Ina,u)

Ф 0 для всех и

А=Ао является достаточным для справедливости утверждения теоремы 5.3 в этом случае.

Заметим, что условие (а) теоремы 5.3 не является существенным ограничением множества нелинейностей д(и) и множества идентифицируемых значений параметра А. В работе [59] доказано, что это условие является типичным для множества В пар (А, <7), т.е. множество пар (А,д) £ В, удовлетворяющих условию (а), является пересечением счетного множества открытых и плотных в В подмножеств этого множества. Заметим также, что для фиксированного значения Ао и произвольной нелинейности /(А, и) типичность условия (а) теоремы 5.3 была доказана в работе [60].

В заключение отметим, что все полученные в диссертации результаты по параметрической идентифицируемости динамических систем в различных постановках, разумеется, служат обоснованием возможности проведения идентифицирующих экспериментов и поэтому пригодны для практического применения. Вместе с тем, проведенные исследования позволили выявить некоторые новые, ранее не изучаемые свойства динамических систем и их решений.

Основные результаты, полученные автором в этом направлении, опубликованы в статьях [31, 48, 65-69, 71-74, 76, 81-84, 92-96, 98, 99, 105, 107, 108] и в монографии [109].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Бодунов, Николай Александрович

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [105, 107, 108, 109].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бодунов, Николай Александрович, 2007 год

1. Гинсберг К. С. Системные закономерности и теория идентификации. I // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 156-170.

2. Сейдж Э.П., Мелса Д.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974.

3. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

4. Goodwin G. С., Payne R. L. Dynamic System Identification: Experiment Design and Data Analysis. New York: Academic Press, 1977.

5. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979.

6. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

7. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоф-фа. М.: Мир, 1983.

8. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.

9. Райбман Н. С. Идентификация объектов управления // Автоматика и телемеханика. 1979. №6. С. 80-93.

10. Клейман Е. Г., Мочалов И. А. Идентификация нестационарных объектов // Автоматика и телемеханика. 1994. N£2. С. 3-22.И. Клейман Е. Г. Идентификация нестационарных объектов // Автоматика и телемеханика. 1999. №10. С. 3-45.

11. Клейман Е. Г. Идентификация входных сигналов в динамических системах // Автоматика и телемеханика. 1999. N-12. С. 3-15.

12. Зарипов М. Н., Салыга В. Н. Идентификация нелинейных объектов на базе предикатных описаний с использованием Д-функций // Автоматика и телемеханика. 1997. №3. С.47-51.

13. Константинова JI. И., Кочегуров В. А., Шумилов Б. М. Параметрическая идентификация нелинейных дифференциальных уравнений на основе сплайн-схем, точных на многочленах // Автоматика и телемеханика. 1997. N° 5. С. 53-63.

14. Parrilo P. A., Sanchez Репа R. S., Sznaier М. A parametric extension of mixed time / frequency robust identification // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol.44. №2. 1999. pp.364-369.

15. Gorinevsky D., Heaven M. Performance-optimized applied identification of separable distributed-parameter processes // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol.46. №10. 2001. pp. 1584-1589.

16. Anderson Т. W. On asymptotic distributions of estimated parameters of stochastic difference equations // Ann. Math. Stat. 1959. Vol. 30. pp.676-687.

17. Durbin J. Efficient estimators of parameters in moving average models // Biometrica. 1959. Vol.46, pp.306-316.

18. Narendra K. S., Gallman P. G. An iterative method for identification of nonlinear systems using a Hammerstein model // IEEE Trans. Automatic Control. 1966. Vol. AC-11. p.546.

19. Steiglitz K., McBride L. E. A technique for the identification of linearsystems // IEEE Trans. Automatic Control. 1965. Vol. AC-10. pp. 461-464.

20. Rothenberg T. J. Identification in parametric models // Econometrics. Vol.39. May 1971. pp.577-591.

21. Tse E., Anton J. On the identifiability of parameters // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol. 17. №5. 1972. pp. 637-646.

22. Bellman R., Astrom K. J. On structural identifiability // Mathematical Biosciences. 1970. №7. pp. 329-339.

23. Габасов P., Кириллова Ф. M. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

24. Glover К., Willems J. С. Parametrizations of linear dynamical systems: canonical forms and identifiability // IEEE Trans, on Automatic Control. Vol. AC-19. №6. 1974. pp.640-646.

25. Grewal M. S., Glover K. Identifiability of linear and nonlinear dynamical systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1976. Vol. 21. №6. pp. 833837.

26. Reid J. G. Structural identifiability in linear time-invariant systems // IEEE Trans, on Automatic Control. №4. 1977. pp. 242-246.

27. Vajda S. Identifiability of first order reaction systems // React. Kinet. Catal. Lett. Vol. 11. №1. 1979. pp. 39-43.

28. DiStefano J.J., Cobelli C. On parameter and structural identifiability: nonunique observability / reconstructibility for identifiable systems, other ambiguities, and new definitions // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol. AC-25. №4. 1980. pp. 830-833.

29. Бодунов H.A., Постников E. В. Локальная идентифицируемость одного класса динамических систем // Численные методы в математическом моделировании гидродинамических и технологических процессов. Межвуз. тематич. сб. тр. JL: ЛИСИ, 1989. С. 69-71.

30. Walter Е., Lecourtier Y., Happel J. On the structural output distingui-shability of parametric models, and its relations with structural identifiability // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol. AC-29. №1. 1984. pp. 56-57.

31. Vajda S. Further comments on "On parameter and structural identifiability: nonunique observability / reconstructibility for identifiable systems, other ambiguities, and new definitions" // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol.27. №5. 1982. pp. 1136-1137.

32. Walter E., Lecourtier Y. "Unidentifiable compartmental models: What to do?" // Math. Biosci. Vol.56. №1-2. 1981. pp. 1-25.

33. Vajda S. Comments on "Structural identifiability in linear time-invariant systems" // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol. AC-24. №3. 1979. pp.495496.

34. Glover K., Silverman L. M. Characterization of structural controllability // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol. AC-27. №8. 1976. pp. 534-537.

35. Milanese M. Unidentifiability versus "actual" observability // IEEE Trans, on Automat. Contr. 1976. №12. p. 876.

36. Cobelli C., Romanin-Jacur. Controllability, observability and structural identifiability of multiinput and multioutput biological compartmental systems // IEEE Trans. Biomed. Eng. Vol.BME-23. №3. 1976. pp. 93-100.

37. DiStefano J. On the relationships between structural identifiability and the controllability, observability properties // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol.22. N4. 1977. p.652.

38. Davidson E.J. Connectability and structural controllability of composite systems // Automatica. Vol. 13. 1977. pp. 109-123.

39. Cobelli C., Lepschy A., Romanin-Jacur G. Comments on "On the relationships between structural identifiability and the controllability, observability properties" // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol. AC-23. №5.1978. pp. 965966.

40. Jacquez J. Further comments on "On the relationships between structural identifiability and the controllability, observability properties" // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol.23. N£5. 1978. pp.966-967.

41. Данеев А. В., Русанов В. А. К аксиоматической теории идентификации динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1994. №8. С.126-136.

42. Копейкина Т. Б., Цехан О. Б. Метод пространства состояний в задаче исследования идентифицируемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. №4. С. 5-14.

43. Болонин Н. А., Попов О. С. Критерии идентифицируемости линейных стационарных и нестационарных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 1994. Т. 37. №1. С. 22-27.

44. Xia X., Moog С. Н. Identifiability of nonlinear systems with application to HIV/AIDS models // IEEE Trans, on Automat. Contr. Vol.48. №2. 2003. pp.330-336.

45. Bodunov N. A. Problem of local identifiability from discrete observations / The second int. conf. "Differential Equations and Applications". June 15-20, 1998. S.-Petersburg. pp. 12-13.

46. Панасенко В. В., Соколов С. В., Щербань И. В. Решение задачи идентификации модели динамического объекта при однократном наблюдении его состояния // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. N4. С. 24-28.

47. Култышев С. Ю., Култышева J1.M. К вопросу об идентификации функционально-дифференциальных систем с последействием // Изв. вузов. Математика. 1998. №3. С. 16-27.

48. Култышев С.Ю., Култышева JI. М. Об идентификации некоторых классов операторных моделей эволюционного типа // Изв. вузов. Математика. 2004. №6. С. 30-40.

49. Orlov Y., Belkoura L., Richard J.P., Dambrine M. On identifiability of linear time-delay systems // IEEE Trans on Automat. Contr. Vol.47. №8. 2002. pp. 1319-1324.

50. Соловьев В. В. Определение источника и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. №6. С. 1060-1069.

51. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Самарская Е. А. О реконструкции входов в параболических системах // Мат. моделирование. 1997. Т. 9. N£3. С. 51-72.

52. Yu W. Identification for parabolic distributed parameter systems with constraints on the parameters and the state // SIAM J. Control and Optim. 1995. Vol.33. №6. P. 1801-1815.

53. Короткий А. И. Обратные задачи динамики управляемых систем сраспределенными параметрами // Изв. вузов. Матем. 1995. N£ll. С. 101124.

54. Orlov Y., Bentsman J. Adaptive distributed parameter systems identification with enforceable identifiability conditions and reduced-order spatial differentiation // IEEE Trans on Automat. Contr. V.45. N£2. 2000. pp.203216.

55. Courdesses M., Polis M. P., Amouroux M. On identifiability of parameters in a class of parabolic distributed systems // IEEE Trans, on Automat. Contr. V.AC-26. №2. 1981. pp.474-477.

56. Шляго П. Ю. Типичность свойства гиперболичности для дискретизаций параболических уравнений с параметром. Деп. в ВИНИТИ 14.05.2004. №813-В2004.

57. Eirola Т., Pilyugin S. Yu. Pseudotrajectories generated by a discretization of a parabolic equation // J. Dynam. Diff. Equat. Vol. 8.1996. pp. 281-297.

58. Бибиков Ю. H. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие. JL: Изд-во Ленинг. ун-та, 1981.

59. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

60. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

61. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

62. Бодунов Н.А., Постников Е. В. Условия локальной идентифицируемости нелинейных систем при дискретных наблюдениях // Изв.вузов. Математика. 1992. №11. С. 8-11.

63. Бодунов Н. А. Локальная идентифицируемость динамических систем по дискретным наблюдениям, содержащим погрешности // Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Серия "Физика. Математика. Химия". 2001. Вып.1. С. 3-7.

64. Бодунов Н.А., Постников Е. В. Использование методов оптимального управления для параметрической идентификации динамических систем // Л.: ЛЭТИ, 1991. Деп. ВИНИТИ 28.05.91, №2230-В91, 14с.

65. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

66. Бодунов Н.А., Постников Е. В. Локальная идентифицируемость по двухточечному наблюдению // Тез. докл. 5-го Ленинградского сими, по теории адаптивных систем (ТАС'91). 17-19 апреля 1991. Ч. 1, Л. С. 90-91.

67. Бодунов Н. А., Пилюгин С. Ю., Постников Е. В. Локальная идентифицируемость линейных систем по двухточечному наблюдению // Вестник СПбГУ. Сер. 1, 1994, вып. 1 (№1). С. 11-14.

68. Бодунов Н. А. Локальная идентифицируемость квазилинейных систем по двухточечному наблюдению // Изв. ТЭТУ. Сб. научн. тр. Вып. 512.СПб.: ТЭТУ, 1997. С. 3-7.

69. Бодунов Н.А., Пилюгин С.Ю. Условия высших порядков в задаче о локальной идентифицируемости // Известия ТЭТУ. Сб. научн. тр. Вып. 472, Математика, 1994. С. 8-12.

70. Адрианова JI. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. Изд-во С.-Петербургского университета, 1992.

71. Бодунов Н.А., Котченко Ф. Ф. Применение функций Ляпунова к исследованию устойчивости следящей системы переменного тока // Изв. вузов. Электромеханика. 1986. №-8. С. 54-57.

72. Гайшун И. В. Канонические формы, управление показателями Ляпунова и стабилизируемость линейных нестационарных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. N£6. С. 24-32.

73. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

74. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

75. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

76. Бодунов Н. А. Локальная идентифицируемость и локальная асимптотическая идентифицируемость линейных систем / / Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Сер. "Физика твердого тела и электроника". Вып. 1, 2004. С. 3-10.

77. Бодунов Н.А. О монотонности решения одного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом // Изв. "ЛЭТИ". Вып. 204. Математ. методы в задачах электротехники, 1976. С. 48-50.

78. Бодунов Н.А. Качественное исследование решения одного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом // Прикладная математика. Межвуз. темат. сб. тр. Вып. 1(135). Л.: ЛИСИ, 1977. С. 18-22.

79. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.

80. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C°-Topology. Springer, 1994. (Lect. Notes in Math. Vol. 1571).

81. Pilyugin S.Yu. Complete families of pseudotrajectories and shape of attractors // Rand. Сотр. Dyn. 1994. Vol.2, №2. pp.205-226.

82. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений: Учеб. пособие. Л.: ЛГУ, 1988.

83. Pilyugin S.Yu. Limit shadowing property // Conf. Num. Dyn. Anal.: Abstracts. Atlanta, 1995. P. 29.

84. Corless R. M., Pilyugin S. Yu. Evaluation of upper Lyapunov exponents on hyperbolic sets // J. Math. Anal. Appl. 1995. Vol. 189. pp. 145-159.

85. Stuart A.M., Humphries A.R. Dynamical Systems and Numerical Analysis. Cambridge Univ. Press (1996).

86. Бодунов H. А., Котченко Ф. Ф. О зависимости устойчивости линейных периодических систем от периода // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. №2. С. 338-341.

87. Бодунов Н.А., Котченко Ф.Ф. К изучению условий устойчивостиуравнения Матье с демпфированием // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. №2. С. 347-348.

88. Бодунов Н. А., Котченко Ф. Ф. Исследование структурной устойчивости нестационарной периодической системы управления методом функций Ляпунова // Изв. вузов. Приборостроение. 1987. N-4. С. 25-29.

89. Бодунов Н.А., Котченко Ф.Ф. Частотный критерий устойчивости периодической системы управления с астатизмом первого порядка // Изв. вузов. Электромеханика. 1988. №2. С. 56-59.

90. Бодунов Н. А. Частотные условия устойчивости для одного класса линейных периодических систем управления // Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Сер. "Автоматизация и управление". Вып. 1. 2004. С. 8-13.

91. Костин И. Н., Пилюгин С. Ю. Равномерная экспоненциальная устойчивость аттракторов возмущенных эволюционных уравнений // Докл. РАН. Т. 369 (1999). С. 449-450.

92. Бодунов Н.А., Пилюгин С. Ю. Параметрическая идентифицируемость систем дифференциальных уравнений при уточнении наблюдений // Изв. ТЭТУ. Сб. научн. тр. Вып. 501. СПб.: ТЭТУ, 1996. С. 3-10.

93. Henry D.B. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Lect. Notes in Math. Vol840. Springer-Verlag (1981).

94. Sell G. R., Yu Y. Dynamics of Evolutionary Equations // Appl. Math. Sci. Vol.143. Springer-Verlag (2002).

95. Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

96. Brunovsky P., Chow S.-N. Generic properties of stationary solutions of reaction diffusion equations // J. Diff. Equat. Vol.53. 1984. pp. 1-23.

97. Chaffee N., Infante E. F. A bifurcation problem for a nonlinear partial differential equations of parabolic type // Applicable Anal. Vol. 4.1974. pp. 1737.

98. Бодунов H. А., Колбина С. А., Пилюгин С. Ю. Локальная идентифицируемость параболического уравнения по уточняющимся дискретным наблюдениям // Изв. ТЭТУ. Сб. научн. тр. Вып. 512. СПб.: ТЭТУ, 1997. С.7-13.

99. Oliva W.M., Kuhl N.M., Magalhaes L.T. Diffeomorphisms of Rn with oscillatory Jacobians // Publ. Math. Vol.37. 1993. pp.255-269.

100. Бодунов H.A., Колбина С. А., Шляго П. Ю. Локальная идентифицируемость параболических уравнений по их дискретизациям // Нелинейные динамические системы. Вып. 5 / Под ред. Г. А. Леонова. СПб., 2005. С. 31 38.

101. Bodunov N. A. Local parametric identifiability of parabolic equations by various discretizations // Electronic Journal "Differential Equations and Control Processes", №3, 2006.

102. Бодунов H.A. Введение в теорию локальной параметрической идентификации. СПб.: Изд. С.-Петербургского ун-та, 2006.