Представления мартингалов и их применение к расчету опционов европейского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Бояринцева, Наталья Сергеевна

• Бояринцева, Наталья Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бояринцева, Наталья Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. "Необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов."

§1. Сведения из функционального анализа.

§2. Сведения из теории вероятностей.

§3. Элементы дискретного стохастического анализа.

Глава 2. "Одна задача управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием".

Введение.

§1. Кумулянта и ее свойства.

§2. Допустимые управления и стратегии. Процесс Крамера-Эшера. Преобразование Крамера-Эшера. Свойства кумулянты.

§3. Описание управляемой модели. Оценка стратегии, функция 34 Беллмана.

§4. Вывод уравнения Беллмана.

§5. Разрешимость уравнения Беллмана.

§6. Существование е-оптимальных и оптимальных стратегий. Допустимость оптимальных и е-оптимальных стратегий. Эквивалентные 47 стратегии.

§7. Необходимые и достаточные условия оптимальности стратегий. 55 Заключение по главе 2.

Глава 3. "Представление ^-измеримых случайных величин и свойства оптимальных стратегий".

Введение.

§1. Описание множеств эквивалентных вероятностных мер, связанных с уравнением Беллмана.

§2. (5, ш, Л)-представление ^-измеримых ограниченных случайных 71 величин.

§3. ¿"-представимость ^-измеримых ограниченных случайных 76 величин.

§4. е — (5, га, Л)-представимость ^-измеримых ограниченных случай- 86 ных величин.

§5. е — ^-представление ^-измеримых ограниченных случайных ве- 91 личин.

§6. (/¿5) и (/г5 — I/5)-представление ^-измеримых ограниченных случайных величин.

§7. Условия оптимальности и ^-оптимальности стратегий.

§8. Расчет опциона Европейского типа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представления мартингалов и их применение к расчету опционов европейского типа»

1.Теоремы о представлении мартингалов являются одними из важнейших утверждений в теории случайных процессов, имеющие приложения в общей теории случайных процессов [20,24,51,10], в теории стохастического оптимального управления [40,46,54], стохастической финансовой математике [22,27,37,10], статистике случайных процессов [23].

Данная диссертация посвящена построению нескольких видов представлений мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.

2.Перейдем к обзору результатов, относящихся к теореме о представлении мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.

В работах [42,20,24,51] содержится фундаментальная теорема об интегральном представлении мартингалов в виде стохастических интегралов. В них показано, что любой локальный мартингал, согласованный с фильтрацией, порожденной непрерывным справа семимартингалом, допускает интегральное представление тогда и только тогда, когда вероятностная мера, заданная на траекториях указанного выше семимартингала является крайней. В работах [52,20,22] содержится критерий 8-представимости для локальных мартингалов, в том числе в том числе и для дискретного времени.

В работах [42,50,13] в предположении, что процесс (£",), является семимартингалом относительно меры Р, причем относительно некоторого класса вероятностных мер <2~Р он (процесс (£Дг0) является локальным мартингалом, был построен критерий Б-представимости. з

В работах [47,49,53,13,21] построено, так называемое, опциональное разложение [47,49,53,13,21], которое является обобщением известного разложения Дуба-Мейера.

В работе [37], в предположении, что допускает представление и 5, =5,., (1 + /?,), Б, ,0 = 50, где р, последовательность бернуллиевских случайных величин, такая, что Мр, = 0, была доказана теорема о £ -представлении для дискретного времени.

Подробный обзор результатов, связанных с теоремами о представлении мартингалов можно найти в [37,10].

3. В диссертации для построения различных представлений для ограниченных функционалов /(£.), заданных на траекториях последовательности (З,),^ применяется теория оптимального стохастического управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием (¿у) > 0, у которого \пЯ.ы(о)) представим в виде суммы терминальной части, представляющей собой ограниченный измеримый функционал Л (5.) заданный на траекториях процесса (5,) , и профита представляющего собой кумулянту, построенную по последовательности (Б,)^ относительно некоторой меры Q. В связи с этим перейдем к обзору основных результатов теории оптимального управления стохастическими последовательностями.

В настоящее время существует два подхода в теории оптимального управления случайными последовательностями. Первый подход - его можно назвать стохастическим вариантом принципа максимума Понтрягина, подробно изложенный в [1], в которой были получены необходимые условия существования оптимальных стратегий для случайных последовательностей порождаемые рекуррентными соотношениями в форме принципа максимума.

Второй подход основан на методе динамического программирования [43,14,11,15,19,25,34,35]. Впервые метод динамического программирования для решения задачи статистического последовательного анализа , был применен А. Вальдом [11], Ширяевым А.Н. [38]. Для решения задач оптимального управления случайными последовательностями метод динамического программирования применен в работах Блекуэлла [43,44], Ховарда [35], X. Майн, С. Осаки [25]. Эти результаты были обобщены на случай «общих» управляемых случайных последовательностей в работах Ш. Стрибел [55], Е.Б. Дынкина, А.А.Юшкевича [19], И.И. Гихмана, A.B. Скорохода [14]. Современное изложение теории оптимальных стохастических управлений случайными последовательностями содержится в книге Д. Бертсекаса, С. Шрива [2]. Развиваемый в диссертации подход близок к работе В.М. Хаметова, А.Б. Пиуновского [34]. В работе [39] рассмотрена задача оптимального управления семимартингалами.

Отметим, также, что подход, используемый в диссертационной работе к решению задач представления мартингалов с дискретным временем, основанный на теории оптимального управления случайными последовательностями ранее не был использован другими авторами.

4.Перейдем к краткому изложению работы.

В главе 1 приведены необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов.

Глава 2 носит вспомогательный характер с точки зрения конечных результатов и посвящена решению одной специально подобранной задачи оптимального управления случайной последовательностью с мультипликативным критерием. Вводятся необходимые объекты для описания этой задачи и анализируются их свойства. Приводится описание множества допустимых управлений и стратегий, а также достаточные условия допустимости стратегий. Для задачи оптимального управления определяется функция Беллмана, устанавливаются некоторые ее свойства, выводится соответствующее уравнение Беллмана и условия его разрешимости, а также условия существования е -оптимальной стратегии, допустимости оптимальной и е -оптимальной стратегий.

В главе 3 решается задача построения нескольких видов представлений для измеримых ограниченных величин. Так в §2 построено (Я, т,А) представление /^-измеримых ограниченных величин. В §3 получены необходимые и достаточные условия для существования 8-представления. В §§4,5 устанавливается так называемые (8,т,А) и е- (5, т,А) -представления и е-Б-представления. §6 посвящен построению // и (// -v0)-представлений. В § 7 получены новые условия оптимальности стратегий. §8 содержит применение результатов §§ 2-6 для решения задачи опциона Европейского типа.

Основными научными результатами работы являются: 1) уравнение Беллмана и его вывод, 2) достаточные условия разрешимости уравнения Беллмана, 3) достаточные условия существования е -оптимальной стратегии, 4) необходимые и достаточные условия существования оптимальных стратегий, б

5) оценки для оптимальных управлений, 6) достаточные условия существования №,т,А) и е- (5, т,А) -представлений для измеримых ограниченных величин, 7) необходимые и достаточные условия 5-представимости ^-измеримых ограниченных величин, 8) связь уравнения Беллмана и 5*,//и {/лБ--представлений для ^ -измеримых ограниченных величин.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Бояринцева, Наталья Сергеевна

Заключение.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Уравнение Беллмана (2.12) и его вывод (теорема 12).

2. Достаточные условия разрешимости уравнения Беллмана (2.12) (теорема 2.15).

3. Достаточные условия существования е-оптимальных стратегий (теорема 2.18).

4. Необходимые и достаточные условия существования оптимальных стратегий (теоремы 2.16, 2.20-2.23, 2.25).

5. Априорные оценки значений оптимальных и ^-оптимальных управлений (теорема 3.24).

6. Достаточные условия существования (5, т, А) и е — (5,т, А)-пред-ставлений для Р^-измеримых ограниченных случайных величин (теоремы 3.6, 3.10, 3.11).

7. Необходимые и достаточные условия ¿"-представимости .^-измеримых ограниченных случайных величин (теорема 3.8).

8. Связь уравнения Беллмана (2.12) и 5, /х5 и /г5 — ^^-представления для Р^-измеримых ограниченных случайных величин (теоремы 3.7, 3.18, 3.19).

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Хаметову В.М. за постановку задачи, постоянное внимание и интерес к данной работе.

Список основных обозначений.

1) Д1 = Я1 и {оо} - расширенная прямая;

2) 0 - пустое множество;

3) = [0, оо);

4) - множество неотрицательных натуральных чисел;

5) знак = означает "по определению";

6) х £ А - х - элемент множества А;

7) К1 - ¿-мерное евклидово пространство, элементы которого х = (а^1),. вектора, где х^ - г-ая компонента вектора ж; д й

Обозначим (ж, у) = х^у^ - скалярное произведение, где х,у £ В? г=1

8) Пусть я £ Е1 через \х\ = у £ (з^)2 и 1М1л<* = М;

9) V - квантор общности (для всех);

10) АС В множество А является частью множества В\

11) А и В (А П В) - объединение (пересечение) множеств А и В]

12) АСХ f{A) = {f(x):xeA}■

13) пусть В С У, тогда /"1 (В) = {х £ X : / (х) £ В};

14) пусть £> С X, Ь (я) = <

15) 4 т и{о}.

1, хеИ - индикатор множества V: 0, х 0 £>

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бояринцева, Наталья Сергеевна, 2004 год

1. В.И.Аркин, И.В.Евстигнеев. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М., Наука, 1979, 176с.

2. Д.Бертсекас, С.Шрив. Стохастическое оптимальное управление. М., Наука, 1985, 280с.

3. А.А.Боровков. Теория вероятностей. М., Наука, 1986, 432с.

4. Н.С. Бояринцева. Новая теорема о представлении мартингалов (Дискретное время). Сб. "Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". Тезисы докладов, М., МИЭМ, 2001 г., с.329-331.

5. Н.С. Бояринцева, В.М. Хаметов. Новая теорема о представлении мартингалов (Дискретное время). Математические заметки, N1, 75, 2004 г., с.40-54

6. Н.С. Бояринцева. Об ¿-представимости ограниченных функционалов. Сб. "Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов института, посвященная 40-летию МИЭМ". М., МИЭМ, 2002 г., с.17-19.

7. Н.С. Бояринцева. Расчет Европейского опциона. Сб. "Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ". Тезисы докладов, М., МИЭМ, 2003 г., с.26-27.

8. Н.С. Бояринцева, В.М. Хаметов. 5-представление мартингалов. "Обозрение прикладной и промышленной математики", М., 2002, т.9, вып.З, с.591-592.

9. А.В.Булинский, А.Н.Ширяев. Теория случайных процессов. М., Физ-матлит, 2003, 400с.

10. А.Вальд. Последовательный анализ. М., Физматлит, 1961,328с.

11. А.Д.Венцель. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М., Наука, 1986, 176с.

12. С.Н.Волков, Д.О.Крамков. О методологии хеджирования опционов. Обозрение прикладной и промышленной математики, т.4, N1, с.18-65

13. И.И.Гихман, А.В.Скороход. Управляемые случайные процессы. Киев, Наукове думка, 1977, 251с.

14. М.Де Гроот. Оптимальные статистические решения. М., Мир, 1974, 491с.

15. М.Гусман. Дифференцирование интегралов в Rn. М., Мир, 1978, 200с.

16. Н.Данфорд, Дж.Т.Шварц. Линейные операторы. М., ИЛ, 1962, 895с.

17. Е.Б.Дынкин, И.В.Евстигнеев. Регулярные условные математические ожидания соответствий. Теория вероятностей и ее применение, 1976, t.XXI, N2, с.334-346.

18. Е.Б.Дынкин, А.А.Юшкевич. Управляемые марковские процессы и их приложения. М., Наука, 1975, 338с.

19. Ж.Жакод, А.Н.Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов. Т.1,2. М., Физматлит, 1994 (Перевод с английского J.Jacod, A.N.Shiryaev. Limit theorems for stochastic processes. Berln, SpringerVerlag, 1987.)

20. Д.О.Крамков. О замыкании семейства мартигальных мер и опциональном разложении семимартингалов. Теория вероятности и ее применение. 1996, т.41, в.4, с.892-896.

21. Р.Ш.Липцер. О представлении локальных мартингалов. Теория вероятности и ее применение, т.21, N4, 1976, с.718-726.

22. Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев. Статистика случайных процессов. М., Наука, 1974, 696с.

23. Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев. Теория мартингалов. М., Наука, 1986, 512с.

24. Х.Майн, С.Осаки. Марковские процессы принятия решений. М., Наука, 1977, 176с.

25. А.В.Мельников. Финансовые рынки, стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. Научное издательство Москва, ТВП, 1997, 126с.

26. А.В.Мельников, С.Н.Волков, М.М.Нечаев. Математика финансовых обязательств. М., ГУВШЭ, 2001, 260с.

27. В.В.Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., Наука, 1987, 317с.

28. А.Б.Пиуновский, В.М.Хаметов. Новые точно решаемые примеры для управляемых цепей Маркова с дискретным временем. Кибернетика, 1991, N3, с.82-90.

29. А.Б.Пиуновский. Оптимальное управление случайными последовательностями в задачах с ограничениями. М., РФФИ, 1996, 304с.

30. Р.Рокафеллар. Выпуклый анализ. М.,Мир, 1973, 469с.

31. В.M. Хаметов, H.С. Бояринцева. Уравнение Беллмана для расчета Европейского опциона. "Математические модели экономики", Сборник научных трудов, М., МИЭМ, 2002 г., с.224-233.

32. В.М.Хаметов, А.Б.Пиуновский. Оптимальное управление скачкообразными случайными процессами. М., МИЭМ, 1987, 80с.

33. Р.Ховард. Динамическое программирование и марковские процессы. М., Советское радио, 1964, 189с.

34. А.Н.Ширяев. Вероятность. М., Наука, 1980, 574с.

35. А.Н.Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Теория. т.2, М., Фазис, 1998, 544с.

36. А.Н.Ширяев. Статистический последовательный анализ. М., Наука, 1976, 271с.

37. А.Н.Ширяев, Ю.М.Кабанов, Д.О.Крамков, А.В.Мельников. Теория расчетов опционов Европейского и американского типа. I. Дискретное время. Теория вероятности и ее применение, т.39, N1, 1994, с.23-79.

38. Р.Эллиотт. Стохастический анализ и его приложения. М., Мир, 1986, 351с.

39. А.А.Юшкевич, Р.Я.Читашвили. Управляемые случайные последовательности и цепи Маркова. Успехи математических наук. М., N6, 1982, т.37, с.213-242.

40. J.P.Ansel, С.Stricker. Couverture des actifs contingents. Ann. Inst. H.Pointeare, 1994, V30, N2, p.303-315

41. D.Blackwell. Discrete dynamic programming. AMS, 1962, N36, p.226-235

42. D.Blackwell. Positive dynamic programming. Proc. 5th Berkley Symp. Math. Statist. Probability, N1, University of California Press, 1967, p.415-418.

43. R.Chitashvili. Martingale ideology in the Theory of Controlled Stochastic Processess. Lecture Notes in Mathematics, Vol.1021, Springer, Berlin, p.73-92.

44. F.Delbaen, W.Schachermayer. A compactness principle for bounded sequences of martingales with applications. Preprint, 1996.

45. El Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market. SIAM J. Control Optim., 1995, v.33, N1, p.29-66.

46. H.Fôllmer, Yu.M.Kabanov. On the optional decompostion problem and the Lagrange multipliers. Preprint, 1995.

47. S.D.Jacka. A martingale representation result and an application to incomplete financial markets. Math. Finance, 1992, V.2, N4, p.239-250

48. J.Jacod. Calculus stochastique et problems de martingales. Lecture Notes in Mathematics, v.714, 1979, p.539.

49. J.Jacod, A.N.Shiryaev. Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case. Finance and Stochastics, 1998.

50. D.O.Kramkov. Optional decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets. Probab. Theory Relat. Fields, 1996, V.105, p.459-479.

51. M.Mania. A general problem of an optimal equivalent change of measure and contingent claim pricing in an incomplete market. Stochastic Processes and their applications, 90 (2000),p.19-42.

52. C.Striebel. Optimal control of discrete time stochastic systems. Lecture Notes in Economics and Math. Systems, 110, Springer-Verlag: Berlin-Heidelberg-New-York, 1975,p.208.