Обобщенное уравнение Айзекса-Беллмана в теории дифференциальных игр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Никитин, Федор Федорович

• Никитин, Федор Федорович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитин, Федор Федорович

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ФИКСИРОВАННЫМ

МОМЕНТОМ ОКОНЧАНИЯ

§1. Постановка задачи и основные предположения.

§2. Основные положения метода программных итераций.

§3. Вспомогательная оценка.

§4. Теорема существования и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана

§5. Существование и структура решения игры в классе позиционных стратегий.

§6. Задача о мальчике и крокодиле.

Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ НА ПЕРЕХВАТ

§1. Постановка задачи.

§2. Операторы значения и их свойства.

§3. Обобщённое уравнение Айзекса-Беллмана.

§4. Конструкция решения игры в классе рекурсивных стратегий

Глава III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ

§1. Постановка задачи и операторы значения.

§2. Теорема существования цены дифференциальной игры

§3. Свойства операторов значения.

§4. Последовательные приближения и их сходимость.

§5. Обобщённое уравнение Айзекса-Беллмана и теорема существовагния и единственности решения.

§6. Существование и структура решения игры в классе рекурсивных стратегий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенное уравнение Айзекса-Беллмана в теории дифференциальных игр»

Актуальность темы. Теория дифференциальных игр изучает задачи конфликтного управления при наличии двух или более сторон, имеющих свои интересы и располагающих средствами воздействия на динамическую систему, описываемую системой дифференциальных уравнений. Практические задачи из области экономики, экологии, биологии, управления механическими системами, а также военного дела являются лишь некоторыми приложениями теории дифференциальных игр. Как показали исследования дифференциальных игр, важнейший их класс образуют изучаемые в диссертации антагонистические дифференциальные игры, к решению которых сводится и решение формально более общих неантагонистических (бескоалиционных) дифференциальных игр.

Существенный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли отечественные научные школы, и, прежде всего, школы академиков JI. С. Понтря-гина [15, 21, 22, 23, 29]1 и Н. Н. Красовского [1, 9, 10, 11, 13, 14, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 43, 68]. Первой из них разработаны методы изучения игр сближения-уклонения, сходных по своей постановке с задачами управляемости в теории управления. Второй школой построена теория позиционных дифференциальных игр, которые обобщают задачи оптимального управления. Представляемая диссертация непосредственно примыкает ко второму из упомянутых направлений исследований дифференциальных игр.

Принципиальное отличие задач теории дифференциальных игр от задач оптимального управления состоит в том, что их решение в общем случае необходимо искать в классе стратегий, устроенных по принципу обратной связи или в каких-то других подобных классах (например, в классе кусочно-программных стратегий). В известной мере это предполагает предварительное построение функции значения (функции Беллмана [54]) дифференциальной игры. Предложенное Р. Айзексом [3] для её отыскания уравнение в частных производных первого порядка в рамках классического метода характеристик требует, чтобы она была дифференцируемой, однако обычно это не имеет места. В связи с этим в теории дифференциальных игр появились направления, в которых изучаются либо

ХК работам школы Понтрягина тесно примыкают оригинальные исследования киевской школы [30, 31, 32, 55]. определённые обобщённые решения уравнения Айзекса-Беллмана (обобщённые решения Кружкова [12], вязкостные решения Лионса-Крэндалла [56, 57, 65, 66], минимаксные решения А. И. Субботина [13, 14, 36, 38]), либо определённые обобщения самого уравнения Айзекса-Беллмана, в частности, дифференциальные неравенства А. И. Субботина [34, 36], уравнения Ченцова-Чистякова [42, 43, 46, 51].

Последние уравнения составляют основу метода программных итераций [37, 42, 43, 45, 46, 51], возникшего в связи с исследованиями нерегулярных дифференциальных игр и связанной с ними проблемой построения максимальных стабильных мостов — одних из основных конструктивных элементов решения дифференциальной игры по рецептам теории позиционных дифференциальных игр Красовского-Субботина [9, 11, 35]. В ходе упомянутых исследований попутно были обнаружены предпосылки использования этих уравнений и метода программных итераций в целом в качестве новой основы построения теории дифференциальных игр.

В диссертации рассматриваются дифференциальные игры, описываемые системой дифференциальных уравнений с ограничениями на управления геометрического характера2. = f(i,x,u,v) t е [t0) Т), Т < +оо3, х е Rn,ue Р е ComPRm, v е Q е CompR1) из некоторого начального состояния x(t0) = Xq на конечном или полу бесконечном промежутке времени.

Качество процесса управления оценивается некоторым функционалом

•),«(•)) —* maxmin/minmax, («) («) («) И при этом здесь предполагается, что первая сторона, распоряжающаяся управлением v, стремится достичь как можно большего значения функционала Л,

2Наряду с геометрическими ограничениями в теории дифференциальных игр рассматриваются также интегральные ограничения на управляющие функции [40].

3Здесь [to,T) = [i0,T], если Т < +оо и [г0,Т) = [£ц, +оо), если Г = +оо. вторая же, распоряжающаяся управлением it, стремится максимально этому воспрепятствовать, т. е. стремится достичь как можно меньшего значения того же функционала.

Предполагается также, что в ходе развития конфликта игроки в каждый момент времени t располагают полной информацией о текущей позиции игры (t,x(t)).

В диссертации рассматриваются три вида антагонистических дифференциальных игр с различными функционалами платы. В первой главе изучаются дифференциальные игры с ограниченной продолжительностью на промежутке времени [io,T] и функционалом терминального типа

И(®(-)) = Щх(Т)).

Во второй главе рассматриваются дифференциальные игры на перехват с функционалом

Щх(-)) = min Н(т, х(т)). те i*o,J j

Третья, завершающая глава, посвящена дифференциальным играм на полубесконечном промежутке времени [io, +00) с функционалом интегрального тина г+оо

7ф(0Х0Х0)= / Нт,х(т),и(т),у(т))с1т. Jto

Впервые метод программных итераций был описан для игр сближения в заданный момент времени [42, 48]. При их изучении внимание исследователей долгое время было привлечено к тому, как вдоль определённых „условно-оптимальных!' траекторий изменяется функция программного максимина ги^(-), supinf H(x(T,t*,x*,u(-),v(-))). v(-) «(■)

В играх преследования её значения имеют привлекательную геометрическую интерпретацию [9, 27], которой не обладают значения двойственного аналога этой функции — функции программного минимакса w^(-), inf sup Ff(x(T,t*,x*,u(-),v(-))). v(-)

Именно этим обстоятельством, вероятно, и было обусловлено то, что последняя была обделена вниманием исследователей, несмотря на то, что обе эти функции имеют ясную, двойственную друг другу теоретико-игровую интерпретацию: значение первой из них в той или иной заданной позиции представляет собой гарантированный выигрыш первого, максимизирующего игрока в классе программных стратегий, а значение второй — гарантированный проигрыш второго, минимизирующего игрока в том же классе стратегий, другими словами — точную верхнюю оценку проигрыша второго игрока в этом классе стратегий.

В определённом регулярном случае, т. е. в случае, когда второй игрок может гарантировать себе, что его проигрыш будет не больше программного мак-симина в начальной позиции, естественным образом можно заключить, что у первого игрока имеется оптимальная программная стратегия, а сама величина программного максимина в этой позиции является значением (ценой) игры, т. е. оптимальным количественным исходом конфликта. Поиску условий регулярности были посвящены многие исследования. К числу первых из них относятся работы Л. А. Петросяна [27], а наиболее изящные для линейных игр сближения были установлены Н. Н. Красовским [9].

В середине 70-х годов для исследований нерегулярных игр сближения и связанной с ними проблемы построения максимальных стабильных мостов — одних из основных конструктивных элементов решения дифференциальной игры по рецептам теории позиционных дифференциальных игр Красовского-Субботина, А. Г. Ченцовым [42] и независимо С. В. Чистяковым [48] на некотором множестве непрерывных функций был введён следующий максиминный оператор Ф: $ о iu(t„ = max supinf ui(t, x(t, t*, .т», u(-), v(-))) te[u,T} u(-) и определяемое им уравнение (максиминное уравнение)

Ф о w(-) = w(-).

Предложенный ими метод исследования нерегулярных игр получил название метода программных итераций, который в функциональной его форме4 представляет собой метод последовательных приближений решения максиминного уравнения с начальным приближением — функцией программного максимина w^(-). Основным результатом метода программных итераций является теорема о сходимости последовательных приближений

4А. Г. Ченцовым рассматривалась и определённая теоретико-множественная его форма. именно к тому решению максиминного уравнения, которое является функцией значения семейства игр на определённом множестве начальных позиций V. А. Г. Ченцовым было показано [43] также, что функция значения игры является минимальным элементом множества всех решений максиминного уравнения, удовлетворяющего естественному краевому условию w{t,x)\t=r = Н(х).

С. В. Чистяков [44], наряду с максиминным уравнением, предложил рассматривать минимаксное уравнение ф+ого(.) = го( •)> задаваемое с помощью оператора Ф+

Ф+ о iu(t*, ж*) = min inf sup ж(£, i»,ж*, «(•), «(•))), при этом было показано, что при выборе функции программного минимакса в качестве начального приближения для решения минимаксного уравнения последовательные его приближения сходятся именно к тому решению минимаксного уравнения, которое, как й в. случае последовательных приближений максиминного уравнения, является функцией значения рассматриваемого семейства игр. Было показано также, что функция значения является единственной общей неподвижной точкой операторов Ф и Ф+, удовлетворяющей упомянутому выше краевому условию. Более того, было установлено, что пара уравнений, состоящая из минимаксного и максиминного уравнения, эквивалентна уравнению

Ф оги(-) = Ф+ ow(-), которое, как вытекает из [46], можно назвать обобщённым уравнением Айзекса-Беллмана. Следует отметить, что факт сходимости к функции значения как последовательных приближений минимаксного уравнения, так и аналогичных последовательных приближений максиминного уравнения вытекает из сравнения этих последовательных приближений с двумя последовательностями многошаговых игр, используемых в работах Флеминга [61, 62] и многочисленных его последователей [26, 41, 58, 60, 66, 69] для доказательства различных теорем существования решения дифференциальной игры. Известные доказательства [49, 51] того, что функция значения дифференциальной игры является единственной общей неподвижной точкой операторов Ф и Ф+ или, что тоже самое, единственным решением обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана (с соответствующим краевым условием) также опираются на факт существования решения дифференциальной игры. Доказательства упомянутых выше теорем существования решения дифференциальной игры на основе её аппроксимации многошаговыми играми являются достаточно громоздкими и уже поэтому представляется целесообразным получение независимого (от факта существования решения дифференциальнй игры) и более компактного доказательства теоремы существования и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана. Кроме того, из работы [50] нетрудно усмотреть, что теоремы существования решений дифференциальной игры и ряд других фактов теории дифференциальных игр5, в свою очередь, могут быть получены как следствия теоремы существования и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана и других результатов метода программных итераций. Таким образом представляется возможным положить теорему существования и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана в качестве новой основы построения теории дифференциальных игр.

Говоря далее о методе программных итераций, будем понимать под ним построение как последовательных приближений минимаксного уравнения, так и построение последовательных приближений максиминного уравнения. При этом следует иметь в виду, что последовательные приближения максиминного уравнения могут быть использованы для построения е-оптимальных (при любом е > 0) рекурсивных6 стратегий максимизирующего игрока, а последовательные при

5В частности, описание структуры решения дифференциальной игры в различных классах •стратегий, обоснование условий регулярности и техники решения дифференциальной игры „в малом", предложенное Айзексом.

6Рекурсивная стратегия отличается от хорошо известной [27] кусочно-программной стратегии тем, что в них моменты коррекции управления выбираются не в начале игры, а в ходе ближения минимаксного уравнения могут быть использованы для построения с-оптимальных рекурсивных стратегий минимизирующего игрока. Поэтому к методу программных итераций будем относить также построение разрешающих стратегий игроков по соответствующим последовательным приближениям.

В работе [46] рассматривались определённые модификации минимаксного и максиминного операторов значения Ф1, Ф+7, для которых остаются справедливыми все основные положения метода программных итераций и, главное, последовательные приближения модифицированного минимаксного уравнения при любом е > 0 позволяют находить е-оптимальные позиционные стратегии максимизирующего игрока, а последовательные приближения модифицированного максиминного уравнения позволяют находить е-оптимальные позиционные стратегии минимизирующего игрока, чего нельзя сказать про исходные операторы значения Ф, Ф+.

В настоящей работе рассматриваются упомянутые модифицированные операторы значения и соответствующие им уравнения.

Научная новизна. В каждом из трёх рассматриваемых классов дифференциальных игр получено новое доказательство теоремы существования и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана, и на этой основе описана новая версия8 теории дифференциальных игр, включающая в себя известные результаты метода программных итераций для игр сближения в заданный момент времени и установленные в диссертации их аналоги для игр на перехват и игр с интегральным выигрышем на бесконечном промежутке времени. Принципиальная новизна полученных в диссертации результатов состоит, в частности, в том, что представленные доказательства теорем о существовании и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана, в отличие от ранее известных, не опираются на какие-либо теоремы о существовании значения и оптимальных или е-оптимальных стратегий дифференциальной игры. Более того, последние теоремы оказываются простыми следствиями первых и развития конфликта, точнее в каждый момент коррекции управления выбирается следующий момент коррекции и программное управление между этими моментами времени.

7Формальное их определение будет дано ниже.

8К числу других известных её версий относятся, в частности, версия, базирующаяся на идее аппроксимации дифференциальной игры многошаговыми [26, 41, 58, 60, 61, 63, 69] и позиционная версия Красовского-Субботина, основанная на теореме об альтернативе [9,11,35]. других результатов метода программных итераций.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы для дальнейших исследований теории дифференциальных игр, некоторые из них ранее использовались в исследованиях неантагонистических дифференциальных игр с интегральными выигрышами на бесконечном промежутке времени [2].

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXXIV и XXXVI научных конференциях «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики - процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2003 г. и апрель 2005 г.), международной конференции «Устойчивость и процессы управления», посвящённой 75-летию В. И. Зубова (г. Санкт-Петербург, июнь-июль 2005 г.) [67], международном семинаре «Теория управления и теория обобщённых решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвящёпном 60-летию академика А. И. Субботина (г. Екатеринбург, июнь 2005 г.) [20], международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвящённой 100-летию академика JI. С. Понтрягина (г. Москва, июнь 2008 г.) [19], а также на семинаре отдела управляемых систем Института Математики и Механики Уральского Отделения Российской Академии Наук и семинаре Центра Теории Игр при Санкт-Петербургском Государственном Университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах [16, 17, 18, 19, 20, 67], три [16, 17, 18] из которых — в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Содержание работы по главам. Диссертация состоит из 3 глав. Каждая глава использует независимую нумерацию параграфов, лемм, теорем и формул. При ссылках на результаты других глав, соответствующая глава указывается явно в тексте.

Первая глава посвящена играм сближения в заданный момент времени — антагонистическим дифференциальным играм с ограниченной продолжительностью и терминальным функционалом платы. В первом её параграфе приводится постановка задачи и формулируются основные предположения относительно управляемой системы и функционала качества. Во втором и третьем параграфах приведены известные результаты метода программных итераций и доказаны вспомогательные утверждения, необходимые для обоснования основного результата этой главы — теоремы о существовании и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана. Доказательство этой теоремы приведено в четвёртом параграфе. В следующем параграфе доказана теорема о существовании решения дифферециальной игры в классе позиционных стратегий и, по схеме, предложенной С. В. Чистяковым [50], описана структура этого решения на основе последовательных приближений решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана. Глава заканчивается примером применения метода программных итераций и связанного с ним обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана для решения нерегулярной задачи преследования-уклонения.

Во второй главе рассматривается антагонистическая дифференциальная игра на перехват, при этом она исследуется не в классе позиционных стратегий, а в классе рекурсивных стратегий, т. е. в классе кусочно-программных стратегий с выбором моментов переключений (§1). Кроме того, по сравнению с предыдущей главой здесь приводятся полные доказательства основных положений метода программных итераций (§2), таких как свойства операторов значения, теорема о равномерной сходимости последовательных приближений минимаксного и максиминного последовательных приближений и др.9 Основной результат второй главы — теорема о существовании и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана в игре на перехват, доказана в третьем параграфе. Главу завершает параграф, посвящённый доказательству существования решения игры на перехват в классе рекурсивных стратегий и описанию его структуры в этом классе.

Последняя глава диссертации посвящена антагонистическим дифференциальным играм с интегральным функционалом на бесконечном промежутке времени, формальная постановка которой приводится в первом её параграфе. Теорема существования решения рассматриваемой дифференциальной игры ранее была доказана в статье [16], там же была описана и схема построения решения этой игры. Результаты этой статьи приводятся во втором параграфе. Отметим, что доказательство существования и построение решения исследуемой в этой

9Для игр на перехват доказательство этих утверждений приводились ранее [45] только для случая разделённой динамики игроков, в то время как в диссертации рассматривается общий случай неразделённой динамики. главе игры не вызывает принципиальных трудностей в связи с тем, что в силу условий накладываемых на подынтегральную функцию данная игра может быть „приближена" игрой с ограниченной продолжительностью с наперёд заданной точностью. Вместе с тем представляет также интерес и вопрос о том, в какой мере возможен прямой способ доказательства этой теоремы и описание разрешающих стратегий, базирующихся на результатах метода программных итераций. В связи с этим в §3 исследуются свойства операторов значения рассматриваемой игры, в §4 доказывается сходимость последовательных приближений решений максиминного и минимаксного уравнений, и, наконец, в §5 при определённых предположениях устанавливается теорема существования и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана.

В заключении диссертации кратко перечисляются результаты, полученные в работе, а также нерешённые и интересные по мнению автора проблемы и возможные направления дальнейших исследований.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Никитин, Федор Федорович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1) Для игр сближения в заданный момент времени получено новое доказательство теоремы о существовании и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана, которое не использует известных конструктивных элементов решения рассматриваемых игр и не опирается на ту или иную известную теорему о существовании решения дифференциальной игры. Аналогичная теорема доказана также для игр на перехват и дифференциальных игр с интегральным функционалом на полубесконечном промежутке времени, при этом в последнем классе игр она установлена впервые.

2) Для игр на перехват с неразделённой динамикой и дифференциальных игр с интегральным функционалом на бесконечном промежутке времени представлено развитие метода программных итераций Ченцова-Чистякова, включающее исследование свойств операторов значения и доказательство теоремы о равномерной сходимости последовательных приближений решений минимаксного и максиминного обобщённых уравнений Айзекса-Беллмана.

3) На базе теоремы о существовании и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана и развития результатов метода программных итераций в трёх упомянутых выше классах дифференциальных игр описан новый подход к построению основных элементов теории дифференциальных игр.

В заключение отметим интересные на взгляд автора проблемы, связанные с предметом, рассматриваемым в диссертации, оставшиеся за пределами работы.

Во-первых отметим, что хотя для игр на перехват речь идет об обобщённом уравнении Айзекса-Беллмана автору этих строк не встречалось в русской и иностранной литературе уравнение Айзекса-Беллмана для данной постановки задачи. Вывод соответствующего уравнения из обобщённой формы при условии дифференцируемое™ цены и изучение решения уравнения классическими методами Айзекса или использование методов минимаксных и вязкостных решений может вызывать определённый интерес.

Как отмечалось существуют два пути обобщения результатов Айзекса на негладкий случай цены дифференциальной игры. Первый из них — обобщение понятия решения, что сделано в рамках теории неклассических решений уравнений типа Гамильтона-Якоби, второй же продемонстрирован в данной работе и заключается в получении некоторого функционального уравнения обобщающего уравнение Айзекса-Беллмана. Очевидно существование связи между этими двумя различными подходами. На взгляд автора было бы интересно изучение этой связи. Другими словами было бы интересно получение прямого доказательства того, что решение обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана есть неклассическое решение уравнения Айзекса-Беллмана и наоборот. Косвенно этот факт очевиден в силу того, что оба решения — суть функция цены дифференциальной игры.

За рамками диссертации осталась неописанной схема построения универсальных позиционных стратегий игроков на основе метода программных итераций в дифференциальной игре на перехват. Адаптация соответствующей конструкции, описанной для дифференциальных игр с терминальным выигрышем, может представлять интерес для исследований.

В конце отметим, что в теории антагонистических дифференциальных игр существует отпостительно мало результатов, связанных с играми с неограниченной продолжительностью. В тоже время существуют содержательные прикладные постановки задач, приводящие к подобным дифференциальным играм. Отметим здесь задачу асимптотического сближения-уклонения, в которой догоняющий игрок стремится приблизиться к убегающему игроку в асимптотическом смысле на полубесконечном интервале времени. Убегающий же игрок стремится избежать подобного сближения. Рассмотренный в третьей главе класс дифференциальных игр не включает в себя подобные задачи в силу того, что для дифференциальных игр асимптотического сближения-уклонения условие мажо-рируемости подынтегральной функции суммируемой на полубесконечной оси, вообще говоря, не выполнено. Отказ от последнего условия в постановке задачи и применение техники операторов значения для подобных игр может служить полем для дальнейших исследований в теории антагонистических дифференциальных игр с неограниченной продолжительностью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитин, Федор Федорович, 2009 год

1. А вербух Ю. В. Метод программных итераций в задачах наведения для автономных конфликтно-управляемых систем // Дифф. уравнения и процессы управления. 2007. N 1.

2. Адрианов А. А., Чистяков С. В. Об одном классе бескоалиционных дифференциальных игр с неограниченной продолжительностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1.

3. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.; Мир, 1967.

4. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.; Наука, 1980.

5. Варга Док. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.; Наука, 1977.

6. Воробьев Н. Н. Лекции по теории игр для экономистов-кибернетиков. Л.; Изд-во ЛГУ, 1974.

7. Зорин В. А. Математический анализ. М.; Изд-во МЦНМО, 2002.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.; Наука, 2004.

9. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.; Наука, 1970.

10. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.; Наука, 1985.

11. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.; Наука, 1974.

12. Круснсков С. Н. Обобщённые решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала, I // Мат. сб. 1976. Т. 98, N 3.

13. Лахтин А. С., Субботин А. И. Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка // Мат. сб. 1998. Т. 189. N 6.

14. Лахтин А. С., Субботин А. И. Минимаксные и вязкостные решения разрывных уравнений с частными производными первого порядка // ДАН. 1998. Т. 359. N 4.

15. Мищенко Е. Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР, Техн. кибернетика. 1971. N 5.

16. Никитин Ф. Ф., Чистяков С. В. Об антагонистических дифференциальных играх с неограниченной продолжительностью // Вестн. С.-Петерб. унта. Математика, механика, астрономия. 2004. Вып.З.

17. Никитин Ф. Ф. Об общей неподвижной точке операторов значения в игре на перехват // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2008. Вып. 1.

18. Никитин Ф. Ф., Чистяков С. В. Теорема существования и единственности решения обобщенного уравнения Айзекса-Беллмана // Дифф. уравнения. 2007. Т.43, N 6.

19. Никитин Ф. Ф., Чистяков С. В. Задача об асимптотическом сближении // Тр. межд. конф. „Дифференциальные уравнения и топология". М.; Издательский отдел фак-та ВМиК МГУ, 2008.

20. Никитин Ф. Ф., Чистяков С. В. Теорема существования и единственности решения обобщённого уравнения Айзекса-Беллмана // Тр. межд. семинара „Теория управления и теория обобщённых решений уравнений Гамильтона-Якоби". Екатеринбург; Изд-во УрГУ, 2005.

21. Никольский М. С. О применении первого прямого метода Понтрягина в играх преследования // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика. 1972. N 10.

22. Никольский М. С. Первый прямой метод JI. С. Понтрягина в дифференциальных играх. М.; Изд-во МГУ, 1984.

23. Никольский М. С. Краткий обзор работ JI. С. Понтрягина по дифференциальным играм // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1993. Вып. 3.

24. Обей Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.; Мир, 1988.

25. Пашков А. Г. Об одной игре сближения // ПММ. 1970. Т. 34, N 5.

26. Петров Н. Н. О существовании значения игры преследования j j ДАН СССР. 1970. Т. 190, N 6.

27. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. JL; Изд-во ЛГУ, 1977.

28. Петросян Л. А., Томский Г. В. Динамические игры и их приложения. Л.; Изд-во ЛГУ, 1982.

29. Понтрягин Л. С. Избранные научные труды.-М.; Наука, 1988.

30. Пшеничный Б. П. О линейных дифференциальных играх // Киберн. сб. 1968, N 1.

31. Пшеничный Б. Н. Структура дифференциальных игр // ДАН СССР. 1969. Т. 184, N 2.

32. Пшеничный Б. Н., Остапенко В. В. Дифференциальные игры. Киев: Нау-кова думка, 1992.

33. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.; ИЛ, 1953.

34. Субботин А. И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // ДАН СССР. 1980. Т. 254, N 2.

35. Субботин А. И., Чепцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.; Наука, 1981.

36. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.; Наука, 1991.

37. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби // ДАН. 1996. Т. 348, N 6.

38. Субботин А. И. Обобщённые решения уравнений в частных производных первого порядка. Москва-Ижевск; Ин-т комп. иссл-ий, 2003.

39. Субботина Н. Н. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх // Дифф. уравнения. 1983. Т. 19, N 11.

40. Ухоботов В. И. Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями: учеб. пособие. Челябинск; Челяб. гос. ун-т, 2005.

41. Фридман А. Об определении дифференциальных игр и существовании значения игры и седловых точек // Киберн. сб., новая серия. 1972. Вып. 9.

42. Ченцов А. Г. О структуре одной игровой задачи сближения // ДАН СССР. 1975. Т. 224, N 6.

43. Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99, вып. 3.

44. Чистяков С. В. О дифференциальных играх N лиц // Математические методы в социальных науках. Вильнюс. 1976. Вып. 8.

45. Чистяков С. В. К решению игровых задач преследования // ПММ. 1977. Т. 41, вып. 5.

46. Чистяков С. В. О функциональных уравнениях в играх сближения в заданный момент времени // ПММ. 1982. Т. 46, N 5.

47. Чистяков С. В. Программные итерации и универсальные е-оптимальные стратегии в позиционной дифференциальной игре // ДАН СССР. 1991. Т. 319, N 6.

48. Чистяков С. В., Петросян Л. А, Об одном подходе к решению игр преследования // Вестник ЛГУ. Математика, механика, астрономия. 1977. Вып. 1.

49. Чистяков С. В. К решению дифференциальных игр преследования-уклонения // Дисс. на соискание учёной степени канд. ф.-м. наук, Л., 1978.

50. Чистяков С. В. Программные итерации и универсальные е-оптимальные стратегии в позиционной дифференциальной игре // ДАН СССР. 1991. Т. 319, N 6.

51. Чистяков С. В. Операторы значения антагонистических дифференциальных игр. СПб; НИИ Химии СПбГУ, 1999.

52. Чистяков С. В. Операторы значения в теории дифференциальных игр // Известия ин-та математики и информатики УдГУ. 2006. Вып. 3, N 37.

53. Basar Т., Olsder G. J. Dynamic noncooperative game theory. New York; Academic Press, 1995.

54. Bellman R. Dynamic programming. Princenton, New Jersey; Princenton Univ. Press, 1957.

55. Chikrii A. A. Conflict-Controlled Processes. Dordrecht, Boston, London; Kluwer Acad. Publ., 1997.

56. Crandall M. G., Lions P. L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Am. Math. Soc. 1983. Vol. 277, N 1.

57. Crandall M. G., Ishii H., Lions P. L. A user's guide to viscosity solutions // Bull. Am. Math. Soc. 1992. N 27.

58. Danskin J. M. Values in differential games // Bull. Am. Math. Soc. 1974. Vol. 80, N 3.

59. Differential games and related topics eds. Kuhn H. W., Szego G. P. Amsterdam; North-Holland Publishing Company, 1971.

60. Elliot R. J., Kalton N. J. The existence of value in differential games // Mem. Am. Math. Soc. 1972. N 126.

61. Fleming W. H. The convergence problem for differential games //J. Math. Anal. Appl. 1961. N 3.

62. Fleming W. H. The convergence problem for differential games II // Ann. Math. Stud. 1964. N 52.

63. Friedman A. Differential games. New Jersey; Wiley-Interscience, 1971.

64. Fershtman C., Nitzan S. Dynamic voluntary provision of public goods. // European Economic Review. 1991. N 35.

65. Lions P. L. Generalized solutions of Hamilton Jacobi equations. Boston; Advanced Publishing Company, 1982.

66. Lions P. L., Souganidis P. E. Differential games, optimal control and directional deriavatives of viscosity solutions of Bellman's and Isaacs' equations j j SIAM J. Control Optim. 1985. N 23.

67. Nikitin F. F., Chistyakov S. V. A theorem on existence and uniqueness of generalized Isaacs-Bellman equation // Тр. межд. конф. „Устойчивость и процессы управлений'. СПб; Изд-во СПбГУ. 2005.

68. Subbotin A. I. A theory generalized solutions to first-order PDEs with the emphasis on differential games // Advances in Nonlinear Dynamics and Control. 1993. Vol. 47.

69. Varaiya P. On the existence of solutions to a differential games j j SIAM J. Contr. and Optimiz. 1967. Vol. 5, N 1.