Поведение решений в окрестности инвариантного тора существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Боголюбов, Андрей Александрович

• Боголюбов, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Боголюбов, Андрей Александрович

Введение

1 Существование расслоения в окрестности инвариантного тора существенно нелинейной системы

1.1 Постановка задачи и основные результаты

1.2 Вспомогательные результаты.

1.3 Существование локально-интегральной поверхности в окрестности решения на торе.

1.4 Существование расслоения.

2 Локальная топологическая сопряженность существенно нелинейных систем в окрестности инвариантных поверхностей, состоящих из точек покоя

2.1 Вспомогательные результаты.

2.2 Построение гомеоморфизма.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поведение решений в окрестности инвариантного тора существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений»

Изучение структуры множества траекторий в окрестности инвариантных поверхностей нелинейных систем дифференциальных уравнений является одной из актуальных задач качественной теории дифференциальных уравнений. Изучение инвариантных поверхностей началось в работах Пуанкаре и Ляпунова. Понятие инвариантного многообразия ввел Пуанкаре, в его работах это были инвариантные кривые. Он доказал, что если у двумерного аналитического отображения в окрестности неподвижной точки матрица Якоби имеет вещественные собственные числа разных знаков, то у этого отображения существуют инвариантные кривые определенного вида. Ж. Адамар [34] доказал аналогичное утверждение для С1- отображения. Он использовал метод, основанный на изучении преобразований графиков функций из некоторого функционального пространства под действием исходного отображения. Льюис [35] обобщил метод Адамара на случай произвольной размерности.

Одновременно с работами Пуанкаре, к понятию инвариантного (интегрального) многообразия привели и работы A.M. Ляпунова.

Перед тем, как сформулировать результат Ляпунова дадим два определения [29].

Определение 0.1. Множество М пространства (x,t) называетя интегральным для системы = (0.1) если для любой точки (xo,to) € М выполняется (x(t,to,xo),t) £ М, где x(t,to,xo) есть решение системы с начальными данными t — х = xq, a t принимает любое значение из промежутка существования решения.

Пусть F(0,t) = 0, т.е. х = 0 есть решение системы (0.1).

Определение 0.2. Множество М пространства (x,t) называется локально интегральным в окрестности точки х = О, если существует такая окрестность U точки х = 0, что из включения (жд, £о) £ М следует включение (x(t,to,xo),t) £ М на любом промежутке t' < t < t", для которого t' < to < t" и x(t, to, xo) 6 U при t' < t < t".

Теорема 0.1 (A.M. Ляпунов [20]). Рассмотрим аналитическую систему дифференциальных уравнений dx = A(t)x + f(x,t), (0.2) где II/H = о(||я;||). Предположим, что линейная система dx А, . A(t)x dt к ' правильная, к ее характеристических показателей отрицательны, а {п — к) - положительны. Тогда существует к - параметрическое семейство решений системы (0.2), стремящихся к нулевому решению при t —> +оо и образующих локально-интегральное многоообразие.

Теорема о существовании интегрального многообразия системы (0.2) для неаналитического случая была доказана Перроном [36], [37], [38] при более сильном предположении гиперболичности системы линейного приближения.

Рассмотрим систему

ПТ

Ах + f(x,t). (0.3)

Если А постоянная матрица, то ее характеристические показатели совпадают с вещественными частями собственных чисел матрицы А. Случай, когда эти собственные числа не лежат на мнимой оси, называется гиперболическим. Тогда систему (0.3) можно привести к виду dx 1 dt dx 2

I ~dt Aixi 4- h{x,t), A2x2 + /2(ж, t),

0.4) где вещественные части собственных чисел матрицы А\ меньше 0, а матрицы А2 - больше 0. Причем система (0.4) имеет устойчивое многообразие

2 = 9i(xi,t) и неустойвое многообразие xi = g2(x2,t).

Собственное число с нулевой вещественной частью называют критическим. Если система (0.3) имеет критические собственные числа, то она приводится к виду dx о ~dt А0х0 + /о ОМ), dx dt dx 2 ~dt

- = A\X\ + fi(x,t),

0.5) A2x2 + f2{x,t), где вещественные части собственных чисел матрицы Aq равны 0, матрицы А\ - меньше 0, а матрицы А2 - больше 0. В случае пары чисто мнимых собственных чисел Н.Н. Крыловым и Н.Н. Боголюбовым [16], [17] для системы (0.3) было доказано существование так называемого центрального или нейтрального интегрального многообразия xi = hi(xo,t)} х2 = h2(xQ,t).

0.6)

Это исследование было в дальнейшем продолжено трудах Н.Н. Боголюбова и его школы, а также в работах зарубежных авторов, см., например, [6], [7], [8], [21], [22], [23]. Существование нейтрального многообразия в самой общей ситуации было доказано В.А. Плиссом [26].

Нейтральное многообразие играет важную роль при изучении поведения интегральных кривых. В случае, когда система (0.2) имеет только устойчивое и нейтральное многообразие В.А. Плиссом доказан следующий принцип сведения

Теорема 0.2 (Принцип сведения [26]). Нулевое решение системы (0.2) устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение на нейтральном многообразии.

Благодаря принципу сведения появляется возможность понизить размерность исходной задачи на устойчивость.

В автономном случае исчерпывающий ответ о поведении решений системы с ненулевым линейным приближением дает теорема А.Н. Шошитайш-вили [32]. Он доказал, что система AqXq + /о (ж), < ^ = A1®i + /1(®)l (0.7) топологически сопряжена с системой Aqxq + fo(hi(x0), h2(x0), xQ),

0.8) где xi = hi{xQ) x2 = h2(x0)

0.9) нейтральное многообразие.

Для существенно нелинейных систем, у которых линейное приближение при х = 0 тождественно равно нулю, стандартные методы поиска интегральных многообразий, использующие интегральные уравнения и функции Грина оказываются непригодными. Поэтому приходится использовать более геометрические методы поиска интегральных многообразий. Такие операторно-геометрические методы используются в работах [28], [12], [19], [24]. В их основе лежит так называемый метод преобразования графика, впервые примененный Ж.Адамаром [34] при обобщении упомянутой теоремы Пуанкаре для двумерных систем на С1 случай.

В базовой работе [28] изучалась квазилинейная система, но оказалось, что идею доказательства можно успешно применить для существенно нелинейных систем. Такая адаптация была проведена B.J1. Лубихом [19] и В.Н. Монаковым [24]. Приведем результаты, полученные в их работах. В [19] была рассмотрена следующая система дифференциальных уравнений ~ = U(x) + X(x,y), < (0.10) ^ ljL = V(x)+Y(x,y), где х € Мп, у € Mm; U и V есть вектор-формы нечетных степеней к и Z, больших 1, а порядок малости Х'х у и равен тах{к, I}. Предполагая, что все собственные числа симметризованной матрицы Якоби \{U'X + U'x) z I больше ЛЦжЦ^-1 (Л > 0), а собственные числа матрицы ~(Vy + УуТ) меньЛ ше —сгЦт/Ц'-1 (<т > 0), где ||.|| - евклидова норма, Монаков доказал, что существует единственное локально-инвариантное многообразие этой системы, представимое в виде х = h(y) и состоящее из решений, стремящихся к (0,0) при t —+оо.

Ранее B.J1. Лубих [19] для случая, когда

U(x) = 0,

Y(x,y) = ip(x) + Yi(x,y), где <р(х) есть покомпонентно знакопеременная вектор-форма степени m > I, a ||Yi(:c,0)|| = 0(||ж||ш+1) доказал существование локально-инвариантного нейтрального многообразия, представимого в виде у = д(х), где д{х) удовлетворяет условию Липшица с единичной константой.

В [25] Монаков, рассматривая ту же систему, что и Лубих, установил для нее принцип сведения: задача об устойчивости нулевого решения исходной системы эквивалентна задаче об устойчивости нулевого решения на нейтральном многообразии.

В [12] Ю.А. Ильин рассмотрел неавтономную систему dx = U{x,t)+X{z,t), < (0.11) где z = (х,у) GlpxМ9, вектор-функции С/, V, X, Y непрерывны по своим аргументам и непрерывно дифференцируемы по х, у и В отличие от работ [19], [24], [25] в работе [12] рассмотрена неавтономная система и вместо условия на собственные числа симметризованных матриц Якоби (условия Важевскового) были рассмотрены условия на логарифмические нормы, что является более общим коэффициентным признаком. Предполагая, что

U(0, t) = Х(0, t) = У(0, t) = У(0, t) = 0 Ш е М,

7*КМ)) < 0, ъЩШ)) > а\\у\\к~\ V®,y : |М| < а, |Ы| < a,Vt € К, где fc > 1 и (т > 0, а также , что

K\l\m\ <c\\z\\k V*:||z|| <а.

Ильин доказал, что существует такое его > 0, что система (0.11) имеет единственную локально-интегральную поверхность, представимую в виде х = h(y,t), где h : {(?/, t) : ||г/|| < го, t Е М} —Кр есть непрывная вектор-функция такая, что для всех t 6 R и \\yi\\, jJ2/21j < £0 выполняются соотношения h(0,t) = 0и \\h(t,yi) - h(t,y2)\\ < \\yi - 2/2||

Помимо существования инвариантного слоения в диссертации рассматривается вопрос сохранения структуры траекторий в окрестности тора при возмущении системы локальной структурной устойчивости системы в окрестности тора. Если при малом возмущении системы структура траекторий сильно меняется, то такая система не может являться моделью для реального процесса, т.к. при построении модели данные подбираются приближенно. Поэтому возникает необходимость изучения вопроса устойчивости структуры траекторий при возмущении системы.

Изучение структурной устойчивости началось в работах Андронова и Понтрягина. Систему принято называть структурно устойчивой, если при всяком достаточно малом изменении векторного поля полученная система эквивалентна исходной. В данном случае под эквивалентностью понимается существование отображения, переводящий траектории одной системы в траектории другой. В зависимости от свойств данного отображения мы имеем разные отношения эквивалентности систем. Две системы называются гладко эквивалентными, если существует диффеоморфизм, переводящий траектории одной системы в траектории второй. Фактически это означает наличие замены переменных, переводящей одну систему в другую. Данная эквивалентность является слишком тонкой, т.к. например, dx dx системы — = х и — = 2х не являются гладко эквивалентными. Чтобы dt dt не различать такие системы, вводится понятие топологической сопряженности. Пусть потоки двух систем. Эти системы являются топологически сопряженными, если существует гомеоморфизм h такой, что hfx = glhx, переводящий фазовые траектории одной системы в траектории другой с сохранением времени.

Системы называют топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм переводящий ориентированные фазовые кривые первой сис-емы в ориентированные фазовые кривые второй.

Рассмотрим автономную систему класса С1, имеющую точку покоя х = 0, = Ax + F{x), (0.12) где

F(0) = О, DF( 0) = О. Линеаризацией системы (0.12) будем называть систему

0.13)

0.14)

Пусть (p(t,£) и ip(t,rj) - траектории систем (0.12) и (0.14) с начальными данными <£>(0, £) = £ и v) = V соответственно.

Определение 0.3. Системы (0.12) и (0.14) локально топологически сопряжены в окрестности точки х = 0, если существуют такие окрестности П uOi точки х = 0 и гомеоморфизм h : Г2 —»■ что

Д.М. Гробманом и Ф. Хартманом [33] независимо было доказано, что если х = 0 - гиперболическая точка покоя системы (0.12), то системы (0.12) и (0.14) локально топологически сопряжены в ее окрестности.

Перейдем к обзору диссертации. В главе 1 рассматривается система дифференциальных уравнений где х Е Rn, у? £ Rm, вектор-функции Р, Q и а непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, Q и а являются 2тт— периодичными по ipj, j = 1, .,m, где ср = ., (fm). Предполагается, что

1) К0) = 0;

2) h(ip(t,£)) ~ 4>{t,h(£)) для mext, для которых (p(t, £) £ Q и en 1dx P(x) + Q(x,ip),

0.15) dip

Р{ 0) = 0,

0.16) и тЧЖ*)) < -А|М|*. (0.17)

1Кда(г.¥>)11<'1М1*+1, (0.19) где Л > 0, I > 0, к > 0, ||ж|| и ||</?|| - произвольные нормы в!" и Мт, def ж,у)|| = тах(||ж||, Н^Н)) матричные нормы понимаются как операторные. Через 7*(А) для (n х п) матрицы А обозначается верхняя норма Лозинского (см. [18]), то есть где Е — единичная матрица.

При сделанных предположениях в работе [9] доказано, что у системы (0.15) существует инвариантный тор.

Теорема 0.3. Если выполнено неравенство 21 < X, то система (0.15) имеет единственный инвариантный тор, представимый в виде х = u{tp), где функция u(ip) 2п—периодична по ipj и удовлетворяет неравенству

1МЫ - u(ip2)\\ < L*\\(pi - ip2\\ (0.20) с константой

21

L =

А-Г

Этот тор устойчив в том смысле, что всякое решение, начинающееся в некоторой его окрестности, стремится к нему при t —»■ +оо.

Замечание 0.1. Из периодичности и непрерывности Q следует, что существует число М > 0 такое что

Q(0,y)|| < М. (0.21)

Обозначим через d = mm / + s2(l — 9)\\kd9.

Цв1|| = 1,||в2||<1У о

В диссертации дополнительно предполагается, что система (0.15) удовлетворяет следующему условию:

Условие А. Пусть zi(t) = (xi(t),ipi(t)) - два решения системы (0.15) такие, что ||жг-(£о)|| < £о, гдеео < ——Существует такая функция a(t), не зависящая ни от to, ни от Xi(to), что a(®i(t)>¥>i(*)) -a{x2(t),y2(t))\\ < ^{t)\\Az{t)\\ (0.22) для mext > to, при которых < £о, где Az(t) = Z\{t) — Z2{t), = тах{||Аж||, ||Д</?||}; причем оо a(t)dt < Са < оо. to оо /

В главе 1 показано, что условие А выполняется при Q(0,(р) = 0. В главе 1 доказывается, что при условии А в окрестности данного инвариантного тора существует инвариантное слоение, т.е. что верны следующие три утверждения:

Утверждение 0.1. Для любого решения на торе х = u(tp) существует единственная локально-интегральная поверхность, содержащая это решение, такая, что любое решение на этой поверхности стремится к данному решению на торе при t —> +оо.

Утверждение 0.2. Поверхности, построенные для различных решений на торе, не пересекаются.

Утверждение 0.3. Через любую точку, находящуюся в достаточно малой окрестности тора, проходит одна из локально-интегральных поверхностей, описанных в утверждении 0.1.

В параграфе 1.3 доказывается следующая теорема о существовании локально-интегральной поверхности из утверждения 0.1.

Теорема 0.4. Пусть для системы (0.15) выполняются все условия теоремы 0.3 и условие А . Тогда при достаточно малом М и ео < ^^ для любого решения zo(t) = (u(ipo(t)), <po(t)) на торе х = и(ср) существует единственная локально-интегральная поверхность TZo, задаваемая уравнением y = hZo(x,t), (0.23) где hZo : {(ж,£) : ||ж|| < £o,t Е М} —> есть непрерывная по своим аргументам вектор-функция такая, что для любого t Е М и всех х\ и х2 из области определения h выполняются соотношения

К(и(<Ро(*))>*) = VoW,

- hZo(x2,t)|| < ||a;i - х2\\.

Более того для любого L Е (0,1] можно указать такие М = M(L) и e{L) > 0; что если ||Q(0,<p)|| < M(L) и ||®i||, ||ж2|| < e(L), то hZQ(xbt) - hZo(x2,t)|| < L||a;i - ж2||.

Любое решение z(t), начинающееся на этой поверхности, стремится к решению zo(t) при t —> +оо так, что справедлива оценка z(t) - zQ{t)\\ < Mto)-z0(U

1 + ifi)|№о) - ^нч* - *>) t>tQ.

Для того, чтобы доказать существование локально-интегральной поверхности для решения zo(t) = (u(<po(t)), <po(t)) на торе х = и(ф) , достаточно доказать существование поверхности для нулевого решения системы, полученной из исходной заменой переменных y(t) = x(t) - tt(v?oW)i = <p(t) ~ VoW, г = -t, переводящей рассматриваемое решение на торе в нулевое. Следовательно, задача сводится к поиску интегральной поверхности для нулевого решения неавтономной системы dy dr йф dr 1 f Ру{иЫ{-1~)) + By)dB у - Н(у, ф),

0.24) -Ну^Ф)где

0.25)

Н(у, Ф) = Q{y + и{щ(-т)), ф + <ро(-т))~

Ь{у, Ф) = а(у + и(<р0(-т)),ф + ^о(-т))--а(и(ф0(-т)),<р0(-т)). Таким образом, для доказательства теоремы 0.4 достаточно доказать следующую теорему.

Теорема 0.5. При достаточно малых е\ > 0 система (0.24) имеет единственную локально-интегральную поверхность, представимую в виде

Ф =

0.26) где h : {(у,т) : \\у\\ < е\, т £ R} —> M.m есть непрерывная по своим аргументам вектор-функция такая,что для любого тб1и всех У\ и У2 из области определения h выполняется

Л(0, г) = 0,

0.27)

Цуи т) - h(y2, т)|| < \\yi - у2\\. (0.28)

Более того для любого L G (0,1] можно указать такое e(L) > 0 и M(L), что если |jQ(0, <£>)|| < M(L) и Hz/ill,\Ы\ < e(L), то

ЦУ1,т) - h(y2,r)\\ < Ь\\У1 - у2\\. (0.29)

Любое решение z(t) = (у{т), ф(т)) системы (0.24), расположенное на h, при г —оо стремится к началу координат так, что справедлива оценка

При доказательстве этой теоремы была использована техника, ранее примененная в работе [12].

В параграфе 1.4 главы 1 доказывается, что поверхности, построенные для двух различных решений, не пересекаются и через каждую точку в достаточно малой окрестности тора проходит одна из локально-интегральных поверхностей, удовлетворяющих условиям из теоремы 0.4. Доказываются следующие теоремы.

Теорема 0.6. Пусть z\(t) = (u(y?i(t)), ipi(t)) и Z2(t) = (и(<р2{t))^2(t)) -различные решения системы (0.15) на торе х — и((р). Тогда поверхности TZl и TZ2, построенные для решений z\(t) и Z2(t) соответственно, не пересекаются.

Теорема 0.7. При достаточно малых М и е для любой точки zq, находящейся в е-окрестности тора, существует поверхность TZl из теоремы 0.4 такая, что решение z{t) = z(t,to, zq) леоюит на поверхности TZl.

Отсюда следует, что окрестность тора целиком заполнена непересекающимся поверхностями, причем для каждого решения на торе такая поверхность единственна.

В главе 2 относительно правых частей системы (0.15) дополнительно предполагается, что где ||^(t)|| = тах(||?/(т)|1, ||'0(т)|1)а(0>¥>) = 0, = 0.

0.31) (0.32)

В данном случае доказывается, что система (0.15) локально топологически сопряжена с системой

I = *<■>.

0.33)

В силу условий (0.31), (0.32) поверхность

Т = {z : х = 0, (ре Rm}

0.34) состоит из точек покоя системы (0.15) и (0.33) и, следовательно, является инвариантной для этих систем. Причем на Т эти системы совпадают. Рассмотрим множество

Н{е) = {z : \\х\\ < £, (р G Мт}.

Пусть р - поток системы (0.15), дь - поток системы (0.33). В главе 2 доказана следующая теорема.

0.35)

Теорема 0.8. Существует достаточно малое £о такое, что при вышеперечисленных условиях существует гомеоморфизм h : Н[ео) —> Н{ео) такой, что причем h(f*z) = g*h(z) V zeH(so), h(z) = z VzGl

Результаты диссертации опубликованы в статьях [3], [4], [5]. Автор благодарен научному руководителю профессору В.А. Плиссу и доценту Ю.А. Ильину за постановку задачи и полезные советы по ее выполнению.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Боголюбов, Андрей Александрович, 2009 год

1. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1967. Т. 90.

2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Москва. 1978

3. Боголюбов А. А., Ильин Ю.А. Существование слоения в окрестности инвариантного тора для существенно нелинейной системы // Нелинейные динамические системы. Вып. 5. СПб.: Изд. С.-Петерб. ун-та, 2003. С. 5-20.

4. Боголюбов А. А. О локальной топологической сопряженности существенно нелинейных систем в окрестности инвариантных поверхностей, состоящих из точек покоя // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 1. С. 34-42.

5. Боголюбов А. А., Ильин Ю.А. Существование расслоения в окрестности инвариантного тора одной существенно нелинейной системы //Дифференциальные уравнения и процессы управления 2008. № 2. С. 19 38.

6. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев. 1945.

7. Боголюбов Н. И., Митропольский Ю. А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. I, Аналитические методы. Киев, 1953.

8. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические в теории нелинейных колебаний. М., 1974.

9. Волков Д.Ю., Ильин Ю.А. О существовании инвариантного тора у существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1992. Вып. 4 (N22). С. 27-31.

10. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1988

11. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

12. Ильин Ю.А. Существование интегральных многообразий в окрестности точки покоя'существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. н. Ленинград. 1989.

13. Ильин Ю. А. О применении логарифмических норм к нелинейным системам дифференциальных уравнений // Нелинейные динамические системы. Вып. 2. СПб. 1999.

14. Коддингтон Э. Л., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1958.

15. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа М.,1958.

16. Крылов Н.Н., Боголюбов Н.Н. Новые методы нелинейной механики. М.-Л., 1934.

17. Крылов Н. Е., Боголюбов Н. Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. Киев, 1934.

18. Лозинский С. М. Оценки погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. 1958. N5. С.52-89.

19. Лубих В. Л. Существование локально-инвариантной поверхности при отсутствии линейного приближения // Дифференциальные уравнения.1971. т. 8, т.

20. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950.

21. Митрополъский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев, 1971.

22. Митрополъский Ю.А., Белан Е.П. О принципе сведения в теории устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений // Укр. матем. журнал. 1968. Т. 20, № 5.

23. Митрополъский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М., 1973.

24. Монаков В. Н. Аналог теоремы Ляпунова-Перрона для сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 3. № II.

25. Монаков В. Н. Принцип сведения для некоторых сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения 1972. Т. 8, № 12.

26. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28, №6. С. 1297-1324

27. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М., 1964.

28. Плисс В. А. К теории инвариантных поверхностей // Дифференц. уравнения . 1966. Т. II, № 9.

29. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. Москва. 1977.

30. Пуанкаре А. О кривых, определяемых диференциальными уравнениями. M.-JL, 1947.

31. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т. I. М., 1971-1972.

32. Шошитайшвили А. Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки // Труды семинара И.Г. Петровского. Т. I. 1975.

33. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Мир. 1970.

34. Hadamard J. Sur l'iteration et les solutions asymtotiques des equations differenielles // Bull. Soc. Math. France. 1901. Vol. 29. 224-228.

35. Lewis P. D. Invariant manifolds near an invariant point of unstable type // Amer. J. Math. 1938. Vol 60. 577-587.

36. Perron 0. Uber stabilitat und asymptotiches Vershalten der integrale von Differentialgleichungsystemen // Math. Zs. 1929. Bd. 29. № 1. 129-160.

37. Perron 0. Uber stabilitat und asymptotiches Vershalten der Losungen eines Systems endlicher Differentengleichhungen //J. reine u. angew. Math. 1929. Bd. 161. № 1. 41-64.

38. Perron O. Die Stabitatsbrage bei Differentialgleichungen // Math. Zs. 1930. Bd.32. 703-728.