Экстремали с бесконечным числом переключений в окрестности особых экстремалей высоких порядков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Борисов, Владимир Федорович

• Борисов, Владимир Федорович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Борисов, Владимир Федорович

Введение

Глава 1. Общность положения и коразмерность феномена Фуллера

1.1. Гамильтоновы системы с разрывом на гиперповерхности

1.2. Особенности малых коразмерностей

1.3. Полуканоническая форма гамильтоновой системы в окрестности фулле-ровской точки.

1.4. Автомодельные решения.

1.5. Коразмерность многообразия фуллеровских точек

1.6. Отображение последования поверхности разрыва

1.7. Возмущенная система.

Глава 2. Расслоения с двумерными слоями, состоящими из chattering траекторий

2.1. Полуканоническая форма систем с тангенциальным разрывом в окрестности особой траектории порядка q

2.2. О числе предельных циклов фактор-системы уравнения у{2п) = (1)»+1 sgn у

2.3. Вывод уравнений автомодельных решений

2.4. Свойства автомодельных траекторий . . л.

2.5. Функции Т>к{и) и конечные разности

2.6. Системы нулей производных функции /о(ж)

2.7. Система нулей конечных разностей Afc/0(x,/i)

2.8. Расслоения с двумерными слоями. Постановка задачи

2.9. Невозмущенная задача. Автомодельные решения

2.10. Отображение последования. Гладкая зависимость автомодельных решений от параметра /?

2.11. Разрешение особенности отображения последования

Глава 3. Траектории с бесконечным числом переключений в окрестности особых экстремалей третьего порядка.

3.1. Задачи с линейными связями

3.2. Задачи с симметрией.

3.3. Оптимальный синтез в трехмерной задаче Фуллера.

3.4. Расслоения с трехмерными слоями для возмущенной канонической системы

3.5. Устойчивое и неустойчивое расслоения в канонической системе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремали с бесконечным числом переключений в окрестности особых экстремалей высоких порядков»

Актуальность темы. Предметом исследования диссертации являются системы уравнений принципа максимума JI. С. Понтрягина и такие их особенности как точки накопления переключений управления. Вопрос о структуре множества точек переключений является одним из центральных вопросов математической теории оптимального управления. Много усилий было затрачено на выяснение условий, которые гарантировали бы, что число переключений управления конечно на любом конечном интервале времени (Р. В. Гамкрелидзе, П. Бруновский, Г. Зуссман и др.) Оказалось, однако, что такого рода условия могут быть получены лишь для ограниченного класса задач (скажем, для некоторого класса линейно-квадратичных задач управления, или для задач оптимального по быстродействию управления афинно-порожденными системами на многообразиях размерности не больше трех). В начале 90-х И. Купка доказал, что у гамильтоновой системы размерности > 8, правая часть которой претерпевает разрыв в точках регулярной гиперповерхности, неустранимой особенностью является наличие траекторий со счетным числом переключений на конечном интервале времени (траекторий с учащающимися переключениями). Таким образом, наличие учащающихся переключений является типичным для задач большой размерности.

Очевидно, что для нахождения траекторий с учащающимися переключениями не применима традиционная процедура интегрирования системы в попятном времени от цели. В связи с этим весьма актуальным является получение необходимых и достаточных условий существования траекторий с учащающимися переключениями, исследование их геометрической структуры, получение необходимых и достаточных условий оптимальности экстремалей с накоплением переключений. Специальным вопросом, связанным с существованием участков экстремалей с учащающимися переключениями являются условия их возможной стыковки (сопряжения) с участками особого управления.

Часть этих вопросов была решена в серии совместных работ М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова, а также, независимо, в работах И. Купки. Отметим, что для интегрирования разрывных гамильтоновых систем в окрестности точек накопления переключений управления пришлось адаптировать и обобщить методы разрешения особенностей дифференцируемых отображений в вырожденных неподвижных точках, а также многие классические методы геометрической теории дифференциальных уравнений. Ниже, в историческом обзоре, о соответствующих результатах будет сказано подробнее. Работы М. И. Зеликина -В. Ф. Борисова и И. Купки по теории режимов с учащающимися переключениями открыли самостоятельное и перспективноес точки зрения автора данной диссертации направление в геометрической теории оптимального управления. В диссертации получены новые результаты в этом направлении.

Исторический очерк. В диссертации мы имеем дело главным образом с системами уравнений принципа максимума JI. С. Понтрягина, описывающими поведение экстремалей в следующей задаче оптимального управления, аффинно порожденной управлением:

Т fo(z) + fi{x)udt —inf, (0.1) Jo x = фо(х) + фх(х)и, (0.2) ж(0) = xq, х{Т) еЛ^сЕ", U е Q с х е R".

Здесь Q - компактное подмножество Rd, АЛ - некоторое терминальное подмногообразие в многообразие цели.

Интерес к этому классу задач объясняется принадлежностью к нему большого числа прикладных задач оптимального управления, возникающих в механике, физике, математической экономике, инженерном деле.

В диссертации рассматриваются задачи, порожденные скалярным управлением и € Q = [—1,1], и возникающие в них особенности систем уравнений принципа максимума JI. С. Понтрягина. В центре внимания находится феномен учащающихся переключений, то есть наличие экстремалей, у которых управление претерпевает счетное число переключений (неустранимых разрывов) на конечном интервале времени. Впервые пример задачи оптимального управления, в которой оптимальные траектории обладают таким свойством, был предъявлен А. Т. Фуллером в его докладе на первом конгрессе ИФАК в Москве в 1960 году [57].

Задача Фуллера. Минимизировать интеграл

ГОО x2dt Jo при ограничениях вида х = у, у = и£[-1,1] и начальных условиях х{0) = х0, ?/(0) = г/о

Оптимальный синтез в данной задаче имеет вид

1 при х < —Cy2sgny, 1 при х > —Cy2sgny.

Константа С однозначно определяется как корень некоторого алгебраического 1 уравнения. При этом оказывается, что 0 < С < -. Фазовый портрет оптим мальных траекторий изображен на рисунке 0.1. х = -( 2

Рисунок 0.1.

Прямой выкладкой можно убедиться, что точки пересечения с кривой переключений любой отличной от начала координат оптимальной траектории образуют убывающую геометрическую прогрессию. Интервалы времени между последовательными переключениями также образуют убывающую геометрическую прогрессию. В силу этого все оптимальные траектории приходят в начало координат за конечное время с бесконечным числом переключений управления. А. Т. Фуллер назвал соответствующие траектории "дрожащими" (chattering arcs).

На русский язык слово chattering переводится буквально как "болтанка", "дрожание". В англоязычной литературе этот термин прижился, хотя его часто употребляют в двух совершенно различных смыслах. Второе значение слова chattering используется для обозначения скользящего режима, в ситуации, когда имеется минимизирующая последовательность траекторий со все более частыми переключениями управления, которая, однако, не сходится ни к какому допустимому решению соответствующей системы дифференциальных связей. Во избежание путаницы, И. Купка [79] предложил называть наличие экстремалей с бесконечным числом переключений на конечном интервале времени по имени первооткрывателя - феноменом Фуллера.

Исследование феномена Фуллера, поначалу представлявшее собой скопление большого числа разрозненных фактов, к данному моменту переросло в один из самостоятельных разделов геометрической теории управления с содержательными теоретическими результатами и разнообразными приложениями. Можно выделить по крайней мере три направления в изучении феномена Фуллера. Первое связано с исследованием задач, однородных относительно действия какой-либо однопараметрической группы симметрии, и их автомодельных решений с учащающимися переключениями. Многочисленные примеры такого рода задач с симметриями найдены в работах А. Т. Фуллера [69, 70, 73], Е. Райана [91, 92, 68], К. Маршала [85], Г. Г. Магарил-Ильяева [40], П. Бру-новского - Дж. Маллет-Паре [67], А. А. Милютина - С. В. Чуканова [43]—[46], М. И. Зеликина [94], Р. Йохансона [76] и др. Второе направление связано с изучением необходимых и достаточных условий сопряжения (стыковки) особых и неособых экстремалей. Известно [87], что особый участок экстремали четного порядка не может состыковаться с неособым участком, если управление на особом участке является кусочно-аналитической функцией и не принимает крайних значений и = ±1. Таким образом, если в задаче имеется особый режим четного порядка и выход на этот режим оптимален, то этот выход должен осуществляться посредством режима учащающихся переключений. В связи с этим была доказана серия теорем о магистралях (в основном, для класса линейно-квадратичных задач), доставляющая достаточные условия существования режимов с учащающимися переключениями (Я. М. Берщанский [2]-[8], [41, глава 5], А. А. Милютин - С. В. Чуканов [44]—[46], [31]). Третье направление в изучении феномена Фуллера составляют результаты об общности положения феномена Фуллера (И. Купка [79]—[82], М. И. Зеликин - В. Ф. Борисов [21]), а также теория режимов с учащающимися переключениями в окрестности особых экстремалей второго порядка, включающая в себя необходимые и достаточные условия существования и оптимальности режимов с учащающимися переключениями, результаты о гладкой зависимости траекторий с учащающимися переключениями от параметров и начальных данных и геометрических свойствах однопараметрических семейств таких траекторий (М. И. Зеликин -В. Ф. Борисов [21]—[24], [96]-[98], [32]—[33], [94]—[95], [14]—[20], [61]—[64]).

В последние годы были получены некоторые результаты (пока только для линейно-квадратичных задач), обобщающие феномен Фуллера на случай многомерного управления (А. А. Милютин - С. В. Чуканов [45, 46], М. И. Зеликин [96, глава 7], [32]). Феномен Фуллера обнаружен в нескольких задачах с фазовыми ограничениями (А. А. Милютин [30], Я. М. Берщанский [41, глава 4]), в задачах управления системами с частными производными (М. И. Зеликин [94]). Помимо теоретического аспекта, феномен Фуллера интересен своими многочисленными проявлениями в задачах управления космической навигации, механики твердого тела, робототехники, математической экономики и в других приложениях (см. работы М. 3. Борщевского - И. В. Иословича [25], Дж. Бре-куэлла - Дж. Диксона [66], М. И. Зеликина - В. Ф. Борисова [96]—[98], М. И. Зе-ликина [33], С. Н. Осипова - А. М. Формальского [47]), JI. А. Маниты [42], И. О. Вашкова [26]), В. Р. Телеснина [52, 53], Г. Г. Магарил-Ильяева [40].

Результаты представленной диссертации принадлежат к первому и третьему направлению в исследовании феномена Фуллера, то есть к теории автомодельных траекторий с учащающимися переключениями и геометрической теории. Кратко опишем предшествующие результаты.

Семейства автомодельных экстремалей. Пример Фуллера представляет собой двумерную задачу оптимального управления, обладающую специальной структурой, - эта задача является однородной относительно действия некоторой однопараметрической группы симметрий. Оптимальные траектории задачи являются автомодельными по отношению к группе симметрий. Поиск автомодельных решений является, по-видимому, очень популярным в мировой литературе методом исследования управляемых систем. Известно уже много примеров задач управления, являющихся однородными относительно той или иной однопараметрической группы симметрий и обладающих траекториями с учащающимися переключениями [73], [40], [75], [91, 92, 68], [85], [67], [17]. Все эти задачи были либо двумерны, либо трехмерны. В двумерных задачах наличие группы симметрий позволяет получить полное решение задачи в виде оптимального синтеза. В трехмерных задачах однородность задачи позволяет получить явные аналитические выражения лишь для однопараметрических семейств оптимальных (автомодельных) траекторий, например, для оптимальных траекторий с учащающимися переключениями, заполняющих некоторое двумерное подмногообразие трехмерного фазового пространства. Один из основных результатов данной диссертации связан с вычислением автомодельных решений n-мерного аналога задачи Фуллера, поэтому остановимся на этой задаче чуть подробнее.

Рассмотрим следующую задачу: гоо

J(x(-),u(-))= / ar?cft->min, (0.3)

Jo xi — x2, x2 = X3, . , xn-i = xn, xn = u e [a,b], (0.4) x,(0)=a;,o, i = l, .,n, a < 0, b> 0, n-мерная задача Фуллера, несимметричный случай). Пусть (х(-), и(-)) - решение (0.4). Для произвольного Л > 0 рассмотрим пару (x\(t),u\(t)) = (g\(x(t/X)), tt(f/Л)), где gx{x) = (XnxuXn-1x2, . , Ххп).

Дифференцированием можно проверить, что (x\(t),u\(t)) также является решением уравнения (0.4). Поскольку то отсюда следует, что преобразование

•)) (0.5) переводит оптимальную траекторию задачи (0.3)-(0.4) с начальными условиями Хо в оптимальную траекторию с начальными условиями д\(хо). Нетрудно видеть, что, поскольку уравнение (0.4) линейно как по х, так и по и, а функционал (0.3) является строго выпуклым на решениях этого уравнения, при любых начальных условиях существует единственное решение задачи (0.3)-(0.4). В частности, существует функция и(х) (вообще говоря, разрывная по х), такая что решения системы (0.4) с и = и(рс) являются оптимальными траекториями задачи (0.3)-(0.4). Функцию и(х) принято называть оптимальным синтезом.

Однородность задачи относительно действия однопараметрической группы позволяет сопоставить системе

XI = х2, х2 = х3, . , Гге1 = хп, хп = и(х) (0.6) некоторую динамическую систему © на пространстве орбит (Кп\{0})/<7д = 5"-1. Эту систему принято называть фактор-системой системы (0.6).

Будем изучать аттракторы (предельные множества) системы ©, в частности, неподвижные точки и предельные циклы. Дадим следующее определение.

Определение 0.1. Решение х(t) системы (0.6) называется автомодельным, если существуют момент времени г > 0 и число /jl > 0, такие что следующее соотношение выполняется для всех t > 0: x{t + r)=gil{x{t/lx)). (0.7)

Из определения следует, что каждое автомодельное решение x(t) с параметрами т и ц порождает однопараметрическое семейство автомодельных решений: для любого А > 0 траектория х\(t) = g\(x(tj\)) является автомодельным решением системы (0.6) с параметрами Аг и /л. Это семейство автомодельных решений соответствует некоторой замкнутой траектории фактор-системы в. Таким образом, нахождение семейств автомодельных решений исходной задачи сводится к вычислению предельных циклов фактор-системы.

Простейшим примером автомодельной траектории является решение системы (0.6), возвращающееся на исходную орбиту группы д\ после одного переключения управления. В этом случае существует момент т\ € (0, г), такой что u(t) = а при t € (0,Ti) и u(t) = b при t G {т\,т) (или, наоборот, сначала управление равно Ь, а затем а). Следуя Е. Райану [91], будем называть автомодельное решение с таким свойством траекторией двух постоянных отношений (bi-constant-ratio), или просто двуз венным. Для двузвенного автомодельного решения точки переключения всех траекторий однопараметрического семейства заполняют две орбиты группы д\. Если а = —6, то, как нетрудно видеть, система (0.6) является центрально-симметричной. В этом случае две орбиты, являющиеся кривыми переключения двузвенных автомодельных решений, также могут оказаться симметричными. Если это так, то вслед за А. Т. Фуллером - П. Е. Гренстедем [73] скажем, что мы имеем семейство траекторий постоянного отношения (constant-ratio).

Выписав уравнение (0.7) вместе с уравнениями системы принципа максимума Понтрягина в координатах, мы получим систему алгебраических уравнений на параметры fj,, г и на начальные условия соответствующего двузвенного автомодельного решения. Эти уравнения линейны по начальным данным и полиномиальны по т. Последовательно выражая начальные данные через ц, г, мы приходим к системе двух алгебраических уравнений на т. Во многих конкретных случаях случаях такая система может быть до конца исследована (по крайней мере, численно). Для семейств траекторий постоянного отношения ситуация еще более упрощается, поскольку в этом случае т явно выражается через fx, и вместо системы двух полиномиальных уравнений мы получаем одно единственное полиномиальное уравнение на параметр ц.

Простейшим примером задачи (0.3)—(0.4), допускающей полное исследование, является двумерный случай (п = 2). При п = 2 фактор-система 6 определена на одномерной окружности; все двузвенные автомодельные траектории являются траекториями постоянного отношения и могут быть найдены в явном виде. Именно это было сделано в работах А. Т. Фуллера [57], [71, 72] для симметричного случая а = — 1, b = 1.

Несколько позднее К. Маршал [84] нашел решение для несимметричного случая двумерной задачи Фуллера при произвольных а < 0, b > 0. Было доказано, Г — С\х\, если х2 < О, Xl [ С2^2, если Х2 > О, для некоторых = С\{а,Ъ), С2 = C2(a,b). Качественная картина синтеза ничем не отличается от той, что изображена на рисунке 0.1.

В той же работе [84] К. Маршал рассмотрел трехмерный аналог задачи Фуллера и выписал уравнение на двузвенные автомодельные решения этой задачи. Заметим, однако, что полного исследования соответствующей системы при произвольных значениях параметров а < 0, b > 0, и, в частности, определения числа однопараметрических семейств двузвенных автомодельных решений в его работе сделано не было.

Сразу в нескольких работах предметом отдельного исследования стала структура решений системы уравнений принципа максимума Понтрягина для двумерной задачи Фуллера [71, 72], [85], [80], [44], [34, 96].

Рассмотрим систему уравнений принципа максимума Понтрягина для задачи (0.3)-(0.4) в случае п — 2,а = -1, 6 = 1:

Ф2 = ~Фи Ф\=х, х = у, у = и = sgn ф2. (0.8)

Обозначим д\ следующую однопараметрическую группу преобразований пространства с координатами (гр2, ф\, х, у):

9\(ф2,фих,у) = (\Аф2,Х3фиХ2х,Ху), А > 0. (0.9)

Обозначая правую часть уравнения (0.8) через прямой выкладкой убеждаемся, что у[зЛФ2,Фих,у)) = ^(д\)^{ф2,ф1,х,у), то есть (0.8) является однородной относительно действия группы (0.9) (как обычно, (<д)* означает дифференциал отображения д\). Фактор-пространство пространства Ж4\{0} относительно действия д\ гомеоморфно стандартной трехмерной сфере S3. Аналогично тому, как это было сделано для системы (0.6), системе (0.8) можно сопоставить фактор-систему 6 на S3. Чтобы охарактеризовать поведение траекторий фактор-системы, опишем все предельные множества 6. В работе А. Т. Фуллера [71] было доказано, что у системы в нет неподвижных точек и имеется два замкнутых цикла. Оба цикла отвечают од-нопараметрическим семействам автомодельных траекторий постоянного отношения. Обозначим эти циклы 9Т+ и ОТ-.

На базе идей оптимального управления в работе М. И. Зеликина - В. Ф. Борисова [96] было показано, что один из циклов является устойчивым, а второй неустойчивым, и других предельных множеств системы в нет. Таким образом, для траекторий фактор-системы, отличных от этих двух циклов, один из двух предельных циклов служит а-предельным, а второй — (^-предельным множеством. Это определяет седловую структуру траекторий исходной системы (0.8). Именно, в расширенном четырехмерном фазовом пространстве через начало координат проходит два двумерных интегральных подмногообразия, заполняемых траекториями (0.8) с учащающимися переключениями. Обозначим эти два подмногообразия по-прежнему, ОТ1" и О?-. Траектории внутри 9t+ приходят в начало координат со счетным числом переключений за конечное время. Траектории, заполняющие выходят из начала координат со счетным числом переключений. Все другие траектории за конечное время совершают конечное число переключений; в угловой метрике фактор-пространства они асимптотически приближаются к многообразию а в попятном времени — к многообразию *П4 соответственно. В работах [34, 96] было доказано, что такая же структура траекторий имеется у следующего обобщения задачи Фуллера для произвольного q > 1.

Аналогичный результат о системе (0.8) был доказан в работах А. А. Милютина - С. В. Чуканова [44]-[46] на основе техники, не использующей оптимизационных соображений (аналог метода функций Ляпунова). Хотя для самой системы (0.8) новых фактов получено не было, развитая техника позволила исследовать и доказать наличие седловой структуры решений уравнения которое не может быть исследовано вариационными методами.

Для п > 3 полное качественное исследование поведения решений задачи (0.3)-(0.4) известно только для случая п = 3. Это исследование было начато в работе А. Т. Фуллера - П. Е. Гренстеда [73], затем продолжено в работах Е. Райана [91], К. Маршала [85]. Окончательно, структура оптимального синтеза в задаче (0.3)-(0.4) для п = 3 была выяснена сначала в работе В. Ф. Борисова [17] для а = —6, а затем в совместной работе М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова [96, глава 5], для произвольных значений а < 0, b > 0. Этот результат принадлежит В. Ф. Борисову и составляет часть главы 3 представленной диссертации.

Трехмерная задача Фуллера является естественным обобщением двумерной, поэтому в 1965 г. А. Т. Фуллер вместе со своим учеником П. Е. Гренстедем [73] попытались распространить метод решения двумерной задачи на построение оптимального синтеза в трехмерном случае. На базе принципа максимума Понтрягина они свели задачу поиска траекторий постоянного отношения к решению алгебраического уравнения на параметр /л соответствующего одно-параметрического семейства. Было доказано, что существует единственное решение такого уравнения, определяющее единственное однопараметрическое семейство траекторий постоянного отношения. Кроме того, было показано, что имеется две кривые в трехмерном фазовом пространстве, движение по которым оптимально и приводит траекторию в начало координат с u = 1 или x\qdt ->• min, х = у, ?/= u е [-1,1], х(0) = xQ, у(0) = у0, ф = —sgna;, х — sgn ф, u = — 1 без переключений управления. Других аналитических результатов ими получено не было, однако в их работе выполнено численное моделирование оптимального синтеза, в результате которого нарисована приближенная картина оптимального синтеза, очень близкая к действительной. Впоследствии, К. Маршал [85] нашел асимптотику оптимальных траекторий в окрестности найденного А. Т. Фуллером и П. Е. Гренстедем двумерного подмногообразия, но и он не получил аналитического решения задачи.

Оптимальный синтез в трехмерной задаче Фуллера при произвольных значениях параметров а < О, Ъ > 0 описывается в терминах соответствующей фактор-системы © следующим образом.

1) Имеется единственный замкнутый предельный цикл С системы (3, разделяющий S3 на два двумерных диска Д и D2 с общей границей; этот замкнутый цикл отвечает двузвенным автомодельным траекториям.

2) Внутри D\ и £)2 имеется ровно по одной неподвижной точке Qi е Д [i = 1,2), каждая из которых отвечает движению в начало координат оптимальных траекторий задачи Фуллера без переключений с постоянным управлением и = а или и = Ь. Обе точки являются неустойчивыми узлами системы (5.

3) Для произвольной начальной точки S2, отличной от Qi, Q2, и не принадлежащей циклу С, траектории & стремятся к С в прямом времени и стремятся к одной из точек Qi в попятном времени.

4) Точки переключений траекторий системы 6 заполняют кусочно-гладкую кривую, гомеоморфную S1. Траектории на С имеют счетное число переключений как в прямом, так и в попятном времени. Неподвижные точки Qi не принадлежат кривой переключения. Для всех остальных начальных условий соответствующие траектории имеют счетное число переключений в прямом времени и конечное число переключений в попятном.

Качественное поведение траекторий системы & изображено на рисунке 0.2. С

Рисунок 0.2

Качественное поведение решений задачи Фуллера для произвольного п > 4 в настоящее время не известно. Однако один общий результат о предельных циклах соответствующей фактор-системы был получен в работах В. Ф. Борисова [14, 15]. Именно, была найдена точная оценка числа двузвенных автомодельных решений n-мерной задачи Фуллера для произвольных значений п, а < О, Ъ > 0. Этот результат является составной частью главы 2 представленной диссертации.

В заключение этого пункта упомянем об обобщениях двумерной задачи Фуллера на случай многомерного управления, принимающего значения в 71-мерном шаре, и найденном новом классе автомодельных решений. Рассмотрим задачу L оо х\\2 dt mill, х = и, |Н| < 1, x(0) = x0. (0.10) 0

Здесь x G Rn, u G R", || • || - евклидова норма R™. Система уравнений принципа максимума Понтрягина может быть записана в виде -ф/\\ф\\, (0.11) где ф G R™. В частности, условие максимума записывается виде ф/\\ф\\, если ф ф 0, и = <

Vm, \\u\\ < 1, если ф = 0.

Можно показать (М. И. Зеликин [96, глава 7]), что для любого Xq ф 0 оптимальное решение задачи (0.10) существует, единственно и приходит в начало координат за конечное время Т = T(xq). Доказано, что при этом не существует lim u(t), то есть в момент стыковки неособого участка оптимальной траt->T(x о)-0 W ектории с особым участком управление как функция времени имеет разрыв второго рода. Было показано, что существуют восьмимерные интегральные подпространства системы (0.11), отвечающие вполне геодезическим подмногообразиям задачи (0.10), такие что ограничение системы (0.11) на каждое из этих подпространств эквивалентно следующей системе: ii = z2, Z2 = Z3, z3 = Zi, Z4 = —2i/||zi||, (0.12) где Zi G R2, г = 1,.,4. Отметим, что решения уравнения (0.12) включают в себя и решения уравнения р(4) = -sgnp, р € Ж1. (0.13)

Действительно, будем искать решения (0.12) в виде z\ = p(t)Z°, где Z° - произвольный двумерный вектор, =1, а функция p(t) - принимает значения в R1. Тогда дляр(£) получаем уравнение (0.13). Таким образом, среди решений уравнения (0.12) имеются автомодельные траектории постоянного отношения. Однако уравнение (0.12) обладает также и совершенно новым классом автомодельных решений, обязанных своим происхождением наличию многомерного управления. Для того, чтобы определить эти решения, введем на двумерной плоскости с координатами z\ структуру комплексной плоскости (то есть отождествим вектор z\ = (х, у) е I2 с комплексным числом х + гу е. С) и будем искать решения (0.12) вида z\ = Atw, где А и w произвольные комплексные числа. На числа A, w получаем систему простых алгебраических уравнений, которые имеют явное решение вида А = 1/126, w = 4 ± у/Ьг. Таким образом, мы получаем два однопараметрических семейства автомодельных решений, порожденных вектор-функциями

Zl(t) = —|-£4(cos(\/5 In t), ± sin(\/5 In t)) (0.14)

X zo и однопараметрической группой симметрий уравнения (0.12) zi(t) X4zi(t/X), Л>0.

Характерной особенностью траекторий вида (0.14) является отсутствие одностороннего предела вектора фазовой скорости в момент времени t — 0, когда траектория попадает в начало координат. Хотя никаких "переключений" (то есть пересечений с поверхностью разрыва фазовой скорости) при t Ф 0 у траектории данного вида вообще нет, наличие разрыва второго рода функции фазовой скорости в момент сопряжения с началом координат (особым режимом системы (0.12)) естественно считать обобщением феномена Фуллера. Действительно, термин "феномен Фуллера'" обозначает ситуацию, при которой фазовая скорость также претерпевает разрыв второго рода в некоторый конечный момент времени, но происходит это благодаря наличию счетного числа сгущающихся к этому моменту разрывов первого рода. А. А. Милютин [44] предложил называть траектории вида (0.14) траекториями с разрывом управления второго рода.

Насколько нам известно, формула (0.14) впервые была получена К. Маршалом [85]. Решение задачи (0.10), включающее доказательство существования разрыва управления второго рода и построение вполне геодезических подмногообразий, а также семейств автомодельных решений вида (0.13)-(0.14), было найдено М. И. Зеликиным [96, глава 7]. Семейства автомодельных решений вида Atw для уравнения (0.12), а также для некоторого класса уравнений вида

G (-i)szl\\z\\, zeR2, se{0,i}, peN, были найдены А. А. Милютиным и С. В. Чукановым [44]—[46].

Геометрическая теория феномена Фуллера. Использование группы симметрий для явного вычисления однопараметрических семейств автомодельных траекторий принципиально не возможно для сколько нибудь общей нелинейной задачи управления. Теоремы о сопряжении особых и неособых участков экстремалей наряду с теоремами о магистралях хотя и позволяют во многих случаях доказать существование траекторий с учащающимися переключениями, но ничего не говорят об оптимальности таких траекторий и их геометрических свойствах. Кроме того, область применения доказанных на данный момент теорем такого рода весьма ограничена; большей частью в них речь идет о линейно-квадратичных задачах. Таким образом, примерно три десятилетия с начала 60-х до конца 80-х годов — теория оптимального управления в части, касающейся исследований феномена Фуллера, ограничивалась указанием все новых и новых задач с присутствием в них феномена Фуллера. Принципиальное продвижение в направлении построения содержательной теории режимов с учащающимися переключениями было проделано в работах И. Купки [79]—[82] и М. И. Зеликина - В. Ф. Борисова [21]—[24], [96]—[98], М. И. Зели-кина [32, 33, 94, 95], В. Ф. Борисова [14]—[20]). Этот шаг был обязан осознанию того факта, что с феноменом Фуллера связана некоторая вырожденная особенность разрывной гамильтоновой системы, в виде которой записывается система уравнений принципа максимума Понтрягина для задач, аффинно порожденных скалярным управлением, а также открытию метода разрешения данной особенности, обобщающего процедуру <г-раздутия из алгебраической геометрии. Метод разрешения особенности гамильтоновой системы в фулле-ровской точке сводит исследование геометрии однопараметрических семейств траекторий с учащающимися переключениями к стандартной технике теоремы об инвариантных многообразиях диффеоморфизмов, то есть к исследованию спектра дифференциала отображения в неподвижной точке [74]. Соответствующие серии работ И. Купки и М. И. Зеликина - В. Ф. Борисова появились независимо, примерно в одно и то же время, и, несмотря на общую базовую идею, весьма отличаются друг от друга по поставленным авторами задачам, по развитой технике и результатам.

Начнем с описания идеи, позволившей свести исследование феномена Фуллера к теореме об инвариантных многообразиях диффеоморфизмов.

Принцип максимума Л. С. Понтрягина [48] как необходимое условие оптимальности для нахождения оптимальной траектории в задаче (0.1)-(0.2) приводит к решению некоторой краевой задачи для следующей системы уравнений в (2п)-мерном расширенном фазовом пространстве: где ф GRn, Я = Н0{ф,х) +иНг{ф,х), Щ{ф,х) = фф^х) - А0&{х), i = 0,1. Значение и определяется из условия максимума: max уНх(ф,х) = иН\{ф,х). (0.16) i>e[-i,i]

Если в заданной точке (фс,х0) имеем Hi(ф0,хо) Ф 0, то условие (0.16) однозначно определяет значение управления: и = sgn Нг(фо, Xq). Если для оптимальной траектории x(t) и соответствующего ей набора сопряженных переменных ф{Ь) имеем Hity(t),x(t)) = 0 на некотором интервале t е (to,ti), то условию (0.16) удовлетворяет любое значение и € [—1,1], то есть в этом случае (0.16) не определяет значение оптимального управления. Соответствующий кусок оптимальной траектории x(t) и функции ф(Ь) при t 6 (to,ti) называется особым участком. Поскольку система (0.16) является разрывной в точках поверхности Е = {(ф,х) | Н\(ф, х) = 0}, ее решения везде далее понимаются в смысле определения А. Ф. Филиппова [55].

Введем отображение Пуанкаре, или отображение последования, поверхности разрыва системы (0.15) в себя: Ф : £ —> £, сопоставляющее точке фо,хо) £ Е точку {фъХх) е Е первого пересечения с Е траектории системы (0.15) с начальными условиями (ipo, Xq) (разумеется, отображение Ф может быть не определено всюду в Е и может оказаться многозначным, поскольку для рассматриваемых разрывных систем теорема о единственности решения задачи Коши, вообще говоря, не имеет места). Тогда кривая переключения соответствующего однопараметрического семейства экстремалей с учащающимися переключениями является инвариантной кривой отображения Ф. Хотелось бы свести исследование инвариантных кривых отображения Ф в неподвижной точке к исследованию спектра дифференциала этого отображения. Однако оказывается, что в фуллеровской неподвижной точке отображение Ф не только не является гиперболическим диффеоморфизмом, но и вообще не всюду определено. Таким образом, потребовалось распространить технику теорем об инвариантном многообразии на случай соответствующей вырожденной неподвижной точки. Делается это следующим образом.

Вернемся к разрывной гамильтоновой системе с однопараметрической группой симметрий, например, к гамильтоновой системе в двумерной задаче Фуллера. В этом случае орбиты действия группы симметрий, лежащие на поверхности разрыва системы, при действии отображения Пуанкаре переходят в орбиты той же группы. Отображение Ф порождает отображение Ф произвольной кривой на поверхности Е в dora Ф в некоторую другую кривую на Е. При этом множество орбит группы симметрий инвариантно относительно Ф. Решающим обстоятельством является тот факт, что в этом классе инвариантных кривых - орбит группы симметрий - отображение Ф является сжимающим в подходящей норме, и, следовательно, имеет неподвижную "точку", то есть инвариантную орбиту группы симметрий. Из этого факта уже легко выводится, что на множестве кривых на поверхности разрыва Е, проходящих через фул-леровскую точку и таких, что струя кривой соответствующего порядка совпадает со струей инвариантной орбиты группы симметрий, отображение Ф также является сжимающим в подходящей норме и имеет неподвижную точку. Это свойство отображения Пуанкаре сохраняется при произвольных возмущениях правой части разрывной гамильтоновой системы, малых относительно весов, индуцированных действием однопараметрической группы диффеоморфизмов. Отсюда следует существование инвариантной кривой возмущенного отображения Пуанкаре, и этой кривой соответствует однопараметрическое семейство (уже не автомодельных, так как никакой группы симметрий у возмущенной системы нет) кривых с учащающимися переключениями.

Формальная процедура разрешения особенностей отображения Пуанкаре в фуллеровской точке связана со специальной заменой переменных, играющей роль известной в алгебраической геометрии процедуры <т-раздутия. Вместо декартовых координат на поверхности переключения мы вводим координаты на фактор-пространстве (по действию группы симметрий) поверхности переключения с выколотой фуллеровской точкой, а в качестве недостающей координаты (размерность фактор-пространства на единицу меньше размерности самого пространства) выбираем параметр орбиты группы. Это замена взаимно-однозначна всюду, кроме самой фуллеровской точки, вместо которой "вклеивается" (2п — 2)-мерная сфера. Тем самым, вместо отображения R2"-1 в R2"-1 мы получаем отображения цилиндра S2n~2 х R+ той же размерности в себя. При этом оказывается, что на "основании" этого цилиндра — (2п — 2)-мерной сфере, отвечающей фуллеровской точке, — имеется неподвижная точка отображения последования. Прямой проверкой можно убедиться, что эта неподвижная точка уже является гиперболической, и для нахождения инвариантных многообразий в окрестности этой точки можно применять стандартную технику. Результатом прямого вычисления является тот факт, что одномерное инвариантное подмногообразие отображения последования на цилиндре транс-версально "основанию" цилиндра и корректно определяет одномерную инвариантную кривую исходного отображения Пуанкаре.

Стоит заметить, что описанная процедура разрешает лишь простейшую особенность отображения Пуанкаре в фуллеровской точке, в том смысле, что образ отображения Пуанкаре при разрешении особенностей по-прежнему имеет вырожденные неподвижные точки, а также точки ветвления, в окрестности которых отображение последования перестает быть непрерывным. Для выяснения структуры отображения последования в окрестности этих точек требуется дальнейшее разрешение его особенностей. Ситуация осложняется тем обстоятельством, что инвариантные подмногообразия отображения Пуанкаре размерности 2 и выше при разрешении особенностей, как правило, включают в себя точки ветвления. Этим объясняется тот факт, что в настоящее время описанная выше процедура разрешения особенностей позволяет найти лишь одномерные инвариантные подмногообразия отображения Пуанкаре в фулле-ровских точках и соответствующие им двумерные интегральные подмногообразия. Для инвариантных подмногообразий размерности 2 и выше такая общая процедура пока не найдена. В одном частном случае - для трехмерной задачи Фуллера и некоторого класса ее возмущений - на базе идей оптимального управления и некоторых топологических соображений удалось описать поведение траекторий внутри соответствующего трехмерного инвариантного подмногообразия. Этот результат составляет часть третьей главы представленной диссертации.

Из того, что было сказано, видно, что существование двумерного интегрального подмногообразия разрывной гамильтоновой системы удается доказать, если эта система близка в определенном смысле к модельной системе, обладающей группой симметрий и семейством автомодельных решений с требуемыми свойствами. Оказывается, что с различными модельными системами связаны различные особые точки отображения Пуанкаре на поверхности разрыва гамильтоновой системы, так что соответствующая модельная система может рассматриваться в качестве нелинейной "главной части" произвольной гамильтоновой системы в окрестности точки с данной особенностью. Цитированные работы И. Купки и М. И. Зеликина - В. Ф. Борисова различаются по типу рассмотренных особых точек, по технической реализации описанной идеи разрешения особенностей гамильтоновой системы (что весьма существенно, как мы увидим ниже), и в них получены различные по сфере применения результаты.

Предметом исследования работы И. Купки [79] была общность положения (ubiquity) феномена Фуллера. В его работах рассматривались системы дифференциальных уравнений с тангенциальным разрывом на гиперповерхности, сохраняющие стандартную симплектическую структуру четномерного фазового пространства: у = sgrad (Я0(у) + иНх(у)), u = sgn Н^у), у еШ2п.

Для такой системы общего положения были рассмотрены точки на поверхности разрыва, в которых все восемь скобок Пуассона функций Н0, Hi длины < 3 обращаются в ноль. Было доказано, что при п > 4 для некоторого открытого множества разрывных гамильтоновых систем имеется подмногообразие фазового пространства коразмерности 8 (свое для каждой системы), через каждую точку которого проходит однопараметрическое семейство траекторий с учащающимися переключениями. Тем самым, было доказано, что коразмерность феномена Фуллера не превосходит 8. Кроме того, в работах И. Купки было начато исследование нормальных форм соответствующего класса разрывных гамильтоновых систем, то есть классификация этих систем с точностью до потраекторной эквивалентности в окрестности особых точек малых коразмерностей.

Общая теория траекторий с учащающимися переключениями в окрестности особых экстремалей второго порядка была разработана в серии работ М. И. Зе-ликина и В. Ф. Борисова [21]—[24], [34]—[37], [96]—[98]. Было доказано, что в окрестности многообразия S, заполненного особыми экстремалями второго порядка, существует расслоение Е с базой S и кусочно-гладкими двумерными слоями, заполненными траекториями с учащающимися переключениями. Была разработана конструктивная процедура построения лагранжевых подрасслое-ний этих расслоений и доказаны основанные на этой процедуре достаточные условия оптимальности chattering траекторий, обобщающие известный формализм на базе интегрального инварианта Пуанкаре-Картана. Найденные необходимые и достаточные условия оптимальности chattering траекторий были применены к решению большого числа задач оптимального управления прикладного содержания. Как побочный результат развитой общей теории было доказано, что коразмерность феномена Фуллера не превосходит 7, тем самым был усилен соответствующий результат И. Купки.

Основной работой этой серии является монография М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова "Theory of Chattering Control with Applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering" 1994 года [96]. Хотя большая часть этой книги посвящена chattering режимам в окрестности особых экстремалей второго порядка, в ней также были опубликованы некоторые результаты о chattering экстремалях в окрестности особых режимов порядка 3 и выше, часть из которых была получена автором данной диссертации. В монографии были сформулированы некоторые гипотезы М. И. Зеликина о поведении chattering траекторий в окрестности особых траекторий высших порядков для систем общего положения. Впоследствии, часть из этих сформулированных гипотез была доказана в работах В. Ф. Борисова. Эти результаты составляют основу данной диссертации. Поскольку результаты первой и третьей главы представленной диссертации в значительной степени основаны на технике разрешения особенностей разрывных гамильтоновых систем в фуллеровских точках, развитых в совместных работах М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова, а основной работой этой серии является монография [96], опишем, кому принадлежат результаты этой монографии по главам.

Монография включает в себя семь глав. Главы 1-3 написаны М. И. Зели-киным и В. Ф. Борисовым совместно. Первая и вторая главы книги являются вводными и ставят целью ознакомить читателя, не имеющего значительной математической подготовки с историей вопроса, а также снабдить его алгоритмами применения доказанных в последующих главах теорем к решению задач оптимального управления при наличии феномена Фуллера. Основные результаты монографии изложены в третьей главе. В ней доказывается существование расслоений со слоями, состоящими из траекторий с учащающимися переключениями, описываются конструктивные методы построения лагранже-вых подрасслоений этих расслоений, приводятся достаточные условия оптимальности траекторий, принадлежащих этим лагранжевым подрасслоениям. Четвертая глава написана В. Ф. Борисовым и содержит результат о коразмерности многообразия фуллеровских точек в ситуации общего положения (в частности, доказывается, что соответствующая коразмерность не превосходит 7). Большая часть пятой главы также написана В. Ф. Борисовым и содержит описание оптимального синтеза для класса трехмерных задачах с симметрией (в частности, для трехмерной задачи Фуллера). М. И. Зеликину принадлежит параграф 5.1, в котором сформулированы гипотезы о возможном строении оптимального синтеза в задачах управления, обладающих особыми режимами порядка выше второго. Шестая глава книги содержит решение задач управления прикладного содержания на базе техники, развитой в третьей главе книги. Задачи управления роботом и задача космической навигации Лоудена, решение которых составляет содержание параграфов 6.5 и 6.6, принадлежат обоим авторам; остальные 4 параграфа главы написаны М. И. Зеликиным. Глава 7 написана М. И. Зеликиным. В ней приводятся примеры задач с многомерным управлением, в которых присутствуют семейства траекторий с разрывом управления второго рода. С точки зрения классификации особых точек разрывных гамильтоновых систем, речь идет об особенностях гамильтоновых систем, правая часть которых претерпевает разрыв не на гиперповерхности, как всюду в данной диссертации, а либо на стратифицированном многообразии в окрестности стратов коразмерности, выше 1, либо на гладком подмногообразии коразмерности 2 и выше. Некоторые новые качественные эффекты, связанные с поведением траекторий в окрестности вырожденных неподвижных точек таких систем на поверхности разрыва коразмерности 2, открыты и описаны М. И. Зеликиным.

Цель работы. Исследование особенностей малых коразмерностей систем уравнений принципа максимума Понтрягина для задач, линейных по скалярному управлению. Получение необходимых и достаточных условий существования фуллеровских точек для этого класса систем. Оценка коразмерности феномена Фуллера для систем общего положения. Исследование траекторий с учащающимися переключениями и, в частности, расслоений с двумерными и трехмерными слоями, заполненными траекториями с учащающимися переключениями, в окрестности особых экстремалей порядков > 3. Вычисление предельных циклов фактор-системы главной части системы уравнений принципа максимума Понтрягина в окрестности особой экстремали порядка п (при произвольном п € N).

Основные положения работы. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Разработана техника разрешения особенностей систем уравнений принципа максимума Понтрягина с разрывом на гиперповерхности в окрестности некоторых типов вырожденных неподвижных (фуллеровских) точек, позволяющая исследовать геометрию двумерных интегральных подмногообразий, заполненных траекториями с учащающимися переключениями.

2) Доказано, что для открытого в слабой топологии Уитни множества гамильтонианов коразмерность множества фуллеровских точек гамильто-новых систем с тангенциальным разрывом на гиперповерхности не меньше 3 и не больше 7. Найдены новые необходимые условия существования фуллеровских точек у систем общего положения. Доказано наличие структуры расслоения с базой коразмерности 7, состоящей из фуллеровских точек, и кусочно-гладкими двумерными слоями, заполненными траекториями с учащающимися переключениями.

3) Найдено число однопараметрических семейств автомодельных экстремалей для n-мерной задачи Фуллера как для случая симметричного, так и для случая произвольного несимметричного множества допустимых значений управления.

4) Для широкого класса задач оптимального управления доказано наличие расслоения с кусочно-гладкими двумерными слоями, заполненными траекториями с учащающимися переключениями, в окрестности особых экстремалей порядка п > 3.

5) Построен оптимальный синтез в трехмерной задаче Фуллера. Доказана структурная устойчивость соответствующего этому синтезу расслоения с трехмерными кусочно-гладкими слоями, состоящими из траекторий системы уравнений принципа максимума Понтрягина, по отношению к произвольным малым (в смысле действия однопараметрической группы сим-метрий) возмущениям правой части системы.

Полученные результаты в целом составляют самостоятельное направление в геометрической теории управления, связанное с исследованием качественного поведения гамильтоновых систем с разрывом на гиперповерхности и, в частности, инвариантных расслоений, заполненных траекториями с учащающимися пер включениями.

Научная и практическая ценность работы. Доказанные в диссертации теоремы и развиваемая техника могут быть использованы как в общей геометрической теории управления при исследований особенностей общего положения в задачах оптимального управления, так и в реальных задачах управления прикладного содержания при построении полной качественной картины оптимального синтеза.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и опубликованы.

Апробация и публикации. Результаты диссертации докладывались автором на международной конференции по нелинейному синтезу Международного института исследований прикладных систем (HASА), Шопрон, Венгрия, 1989; на международной конференции по управлению при международном институте JI. Эйлера в Санкт-Петербурге в марте 1995 г., на международной конференции "Сингулярные решения и возмущения в управляемых системах" в Институте программных систем, Переяславль-Залесский, июль, 1997 г.; в летнем исследовательском институте американского математического общества "Дифференциальная геометрия и управление", Баулдер, Колорадо, США, июнь-июль, 1997 г.; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Ватерлоо, Торонто, Канада, август, 1997 г; на международной конференции, посвященной 90-летию JI. С. Понтрягина, Москва, сентябрь, 1998; на международной конференции "Дифференциальные включения и управление", Переяславль-Залесский, 1998. Были сделаны доклады на семинаре профессора М. И. Зеликина по нелинейному синтезу на механико-математическом факультете МГУ, а также на объединенном московском семинаре по оптимальному управлению профессоров М. И. Зеликина, А. Б. Куржанского, М. Ю. Осипова, В. М. Тихомирова, А. В. Фурсикова на ВМК МГУ, на семинаре профессора В. И. Гурмана в Институте программных систем в г. Переяславль-Залесский. По теме диссертации опубликована 21 работа, включая монографию [96].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация формул, теорем, лемм и т. д. — двойная и раздельная по главам. Первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер формулы или утверждения. Объем диссертации - 163 страниц. Список цитированной литературы включает [98] наименования.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Борисов, Владимир Федорович, 2000 год

1. Борисов В. Ф. Устойчивость автомодельных траекторий при возмущениях n-мерной задачи Фуллера // Депонировано в ВИНИТИ 9.06.1999. № 1871-В99. 16 с.

2. Борисов В. Ф. Однопараметрические семейства автомодельных решений в n-мерной задаче Фуллера. // Доклады Российской АН, 1997. — Т. 357, № 4, С. 442-444.

3. Борисов В. Ф. О числе предельных циклов фактор-системы п-мерной задачи Фуллера // Мат. сборник, 1996. — Т. 187, № 12. — С. 3-20.

4. Борисов В. Ф. Четтеринг режимы в теории оптимального управления. — Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения. М.: МГУ. 1989.

5. Борисов В. Ф. Построение оптимального синтеза при наличии четте-ринг-режима // ДАН СССР, 1988. — Т. 302, № 4. — С. 785-789.

6. Борисов В. Ф. Структурная устойчивость синтеза оптимальных траекторий в двумерной задаче Фуллера // Вестник МГУ. Сер. мат. мех. 1987. — № 4. — С. 64-66.

7. Борисов В. Ф. Четтеринг режимы в задачах оптимального управления // Тезисы докладов Всесоюзной школы "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". — Кемерово, 1986. — С . 9.

8. Борисов В. Ф. Достаточные условия оптимальности четтеринг режимов //В сб.: "Функциональный анализ и его приложения к теории вероятностей и механике". — Москва, изд-во МГУ. 1984. — С. 3-5.

9. Борисов В. Ф., Зеликин М. И. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий траектории с учащающимися переключениями и особые траектории второго порядка // Депонир. в ВИНИТИ СССР 27.06.89, № 4226-В89, 41 с.

10. Борисов В. Ф., Зеликин М. И. Режимы с учащающимися переключениями в задаче оптимального по быстродействию управления роботом // ПММ, 1988. — Т. 52, вып. 6. — С. 934-946.

11. Борисов В. Ф., Зеликин М. И. Режимы с учащающимися переключениями в задаче оптимального по быстродействию управления роботом // Тезисы докладов 6 Всесоюзной конференции по управлению в механических системах. — Львов, 1988. — С. 63-64.

12. Борисов В. Ф., Зеликин М. И. Режимы учащающихся переключений в задачах механики // Седьмая Всесоз. конф. по управлению в мех. системах. — Свердловск, 1990. — С. 41-42.

13. Боршевский М. 3., Иослович И. В. К задаче оптимального по быстродействию торможения осесимметричного твердого тела около центра масс // ПММ, 1985. — Т. 49, вып. 1. — С. 35-42.

14. Вашков И. О. Задачи быстродействия на бесконечность // Вестн. МГУ. Сер. 1, мат., мех. 1990. — № 1. — С. 36-40.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

16. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967.

17. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: Изд-во иностр. литературы, 1962.

18. Дикуссар В. В., Милютин А. А. Качественные и численные методы в принципе максимума. — М.: Наука, 1989.

19. Дикуссар В. В., Милютин А. А., Чуканов С. В. Необходимое условие в оптимальном управление. — М.: Наука, 1990.

20. Зеликин М. И. Нерегулярность оптимального управления в регулярных экстремальных задачах // Фундаментальная и прикладная математика, 1995. — Т. 1, № 2. — С. 399-408.

21. Зеликин М. И. Оптимальное управление вращением твердого тела // Доклады РАН, 1996. — Т. 346. — № 3.

22. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Труды МИАН СССР. — 1991. — Т. 197. — С. 85-167.

23. Зеликин М. ИБорисов В. Ф. Оптимальный синтез, содержащий траектории учащающихся переключений // Межд. семинар "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации", Владивосток. Тезисы докладов. — Минск, 1991. — С. 48-50.

24. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий траектории с учащающимися переключениями и особые траектории второго порядка // Мат. заметки, 1990. — Т. 47, вып. 1. — С. 62-73.

25. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Поля оптимальных траекторий, содержащие особые экстремали второго порядка и экстремали с учащающимися переключениями // ДАН СССР, 1989. — Т. 304, Ш 5. — С. 1050-1053.

26. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Иностраннная литература, 1958.

27. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972.

28. Магарил-Илъяев Г. Г. О неравенствах Колмогорова на полупрямой // Вестн. МГУ. Сер. 1, математика, механика. 1976. — № 5. С. 33-41.

29. Мееров М. В., Ахметзянов А. В., Берщанский Я. М., Кулибанов В. Н., Левит М. Ю., Першин О. Ю., Черепахш А. В. Многосвязные системы управления. — М.: Наука, 1990.

30. Манита Л. А. Поведение экстремалей в окрестности особых режимов и негладкие функции Ляпунова в задачах оптимального управления // Фундаментальная и прикладная математика, 1996. — Т. 2, Вып. 2. — С. 449-485.

31. Милютин А. А. Пример задачи оптимального управления, экстремали которой обладают континуальным множеством разрывов управляющей функции // Журнал матем. физики, 1993. — Т. 1, № 3. — С. 397-402.

32. Милютин А. А. Об уравнении ф^ = —sign ф /f Оптимизация управляемых динамических систем. — М.: ВНИИСИ, 1990. — Вып. 1. — С. 76-84.

33. Милютин А. А., Илютович А. Е., Осмоловский Н. П., Чуканов С. В. Оптимальное управление в линейных системах. — М.: Наука, 1993.

34. Милютин А. А., Чуканов С. В. Качественное изучение особенностей экстремалей в квадратичных задачах оптимального управления // Журнал матем. физики, 1994. — Т. 2, № 1. — С. 31-48.

35. Осипов С. Н., Формалъский А. М. Задача о быстрейшем повороте манипулятора // ПММ, 1988. — Т. 52, вып. 6. — С. 929-933.

36. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976.

37. Роббинс X. М. Оптимальность активных участков промежуточной тяги траекторий ракеты // Ракетная техника и космонавтика, 1965. — Т. 3, № 5. — С. 139-145.

38. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.

39. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. — М.: ИЛ, 1953.

40. Телеснин В. Р. Об оптимизации переходных искажений // ДАН СССР, 1980. — Т. 253, № 5. — С. 1055-1059.

41. Телеснин В. Р. Об одной задаче оптимизации переходных процессов // Труды МИАН СССР, 1984. — Т. 166. — С. 235-244.

42. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

43. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.

44. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестн. Моск. ун-та. Сер. мат. 1959. — № 2. — С. 25-32.

45. Фуллер А. Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Труды I конгресса ИФАК (Москва, 1960). — М.: Наука, 1961. — Т. 2. — С. 584-605.

46. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.: Мир, 1970.

47. Хори Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир. — 1989.

48. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. — М.: Мир. — 1974.

49. Borisov, V. Singular extremals of order 3 and chattering // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Differential Geometry and Control. 1998. — V. 64. — P. 135-147.

50. Borisov, V. Hamiltonian systems in a vicinity of singular solutions of local order // Международная конференция, посвященная девяностолетию со дня рождения Л.С.Понтрягина. Тезисы докладов. Оптимальное управление и добавления. М.: МГУ, 1998. — С. 54-57.

51. Borisov, V. Bundles with chattering arcs for discontinuous Hamiltonian systems // Differential inclusions and control. Proceedings of the International Workshop. Институт программных систем РАН, Переяславль-Залесский, 1998. — С. 34-35.

52. Borisov, V., Zelikin, М. I. Approaching the intermediate thrust modes in space navigation control problems.The Russian Jornal of Mathematical Physics, 2000.

53. Breakwell, J. V., Dixon, J. F. Minimum-fuel rocket trajectories involving intermediate-thrust arcs //J. Optimizat. Theory and Appl. 1975. — V. 17, № 5. — P. 465-479.

54. Brunovsky, P., Mallet-Paret, J. Switchings of optimal controls and the equation y(4) + ya sgn у = 0, 0<q<1 // Casopis Pest. Mat. 1985. — V. 110, № 3. — P. 302-313.

55. Dorling, С. М., Ryan, Е. P. Minimization of nonquadratic cost functionals for third order saturating system // Internat. J. Control, 1981. — V. 34, № 2.P. 231-258.

56. Fuller, A. T. Constant-ratio trajectories in optimal control systems. Internat. J. Control, 1993. — V. 58, № 6. — P. 1409-1435.

57. Fuller, A. T. Minimization of various performance indices for a system with bounded control // Internat. Л. Control, 1985. — V. 41, № 1. — P. 1-37.

58. Fuller, A. T. Further study of an optimum non-linear control system // J. of Electronics and Control, 1964. — V. 17, № 3. — P. 283-301.

59. Fuller, A. T. Absolute optimality of non-linear control system with integral-square error criterion // J. of Electronics and Control, 1964. — V. 17, № 3.P. 301—317.

60. Fuller, А. Т., Grensted, P. E. Minimization of integral square error for nonlinear control system of third and higher order // Internat. J. Control, 1965.V. 2, № 1. — P. 33-73.

61. Hirsh, M. W., Pugh, С. C., Shub, M. Invariant manifolds. — Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springer-Verlag, 1977.

62. Johansen, D. E. Solutions of linear-mean square estimation problem when process statistics are undefined // Joint Automatic Control Conf. — Troy, N.Y., June 1965. — P. 64-75.

63. Johansson, R. Quadratic optimization of motion coordination and control // IEEE Trans. Automat. Control, 1990. — V. 35, № 1. — P. 1197-1208.

64. Kelley, H. J., Kopp, R. E., Moyer, H. G. Singular extremals // Topics in Optimization (ed. by G. Leitmann). — N.Y.: Acad. Press, 1967. — P. 63-103.

65. Kopp, R. E., Moyer H. G. Necessary conditions for singular extremals // AIAA J. 1965. — V.3, № 8. — P. 1339-1344.

66. Kupka, I. The ubiquity of Fuller's phenomenon // Nonlinear Controllability and Optimal Control. Monograph Textbook, Pure Appl. Math. № 133 (ed. by H. Sussman). — N.Y.: Dekker, 1990. — P. 313-350.

67. Kupka, I. Fuller's phenomena // Perspectives in Control Theory (Sielpia, 1988). — Progr. Systems Control Theory, 2. — Birkhauser, Boston, 1990. — P. 129-142.

68. Kupka, I. Geometric Theory of Extremals in Optimal Control Problems: The fold and Maxwell Case // Trans, of the American Math. Soc. 1987. — V. 299, № 1. — P. 225-243.

69. Kupka, I. Geometric Theory of Extremals. Fuller Phenomenon // Proc XXIV Conf. Decision and control. — Lauderdale, FI. — 1985. — P. 711-713.

70. Lewis, R. M. Definition of order and junction condition in singular control problems // SIAM J. Control and Optimizat. 1980. —V. 18, № 1. — P. 21-32.

71. Marchal, C. Second-order tests in optimization theory //J. Optimizat. Theory and Appl. 1975. — V. 15. № 5. — P. 633-666.

72. Marchal, C. Chattering arcs and chattering controls //J. Optimizat. Theory and Appl. 1973. — V. 11, № 5. — P. 441-446.

73. Marchal, C. Theoretical research in deterministic optimization // ONERA publ. 1971. — № 139.

74. McDannell, J. P., Powers, W. F. Necessary conditions for joining optimal singular and non-singular subarcs // SIAM J. Control and Optimizat. 1971.V. 9, № 2. — P. 161-172.

75. H. M. Robbins, Junction phenomena for optimal control with state-variable inequality constraints of third order // J. Optim. Theory Appl. 1980. — V. 31, N« 1. — P. 85-99.

76. H. M. Robbins, A generalized Legendre-Clebsh condition for singular cases of optimal control // IBM J. Res. Develop. 1967. — V. 11. — P. 361-372.

77. Roxin, E. The existence of optimal control // Michigan Math. J. 1962. — V. 9, № 2. — P. 109-119.

78. Ryan, E. P. Singular optimal controls for second order saturating systems // Internat. J. Control, 1979. — V. 30, № 4. — P. 549-564.

79. Ryan, E. P. Time-optimal feedback control laws for certain third-order relay control system // Internat. J. on Control, 1974. — V. 20, № 6. — P. 881-913.

80. Ryan, E. P., Buckingham, N. J. Minimization of a quadratic cost functional for a class of single input bilinear control systems // Internat. J. on Control, 1985. — V. 42, № 1. — P. 129-148.

81. Zelikin, M. I. The Fuller phenomenon in problems of vibration of two linked oscillators // Dynamical systems, 1. J. Math. Sci., 1996. — V. 78. — №. 5.P. 626-631.

82. Zelikin, M. I. One-Parameter Families of Solutions to a Class of PDE Optimal Control Problems // Contemporary Mathematics. Optimization Methods in Partial Differential Equations (S. Cox and I. Lasiecka eds.) — 1997. — V. 209.P. 339-349.

83. Zelikin, M. I., Borisov, V. F. Theory of Chattering Control with Applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering. — Boston, N.Y.: Birkhauser, 1994.

84. Zelikin, М. I., Borisov, V. F. Chattering in Lawden's problem of space navigation // International Aerospace Congress. Theory, Applications, Technologies. Abstracts. — Moscow, Russia. 1994. — P. 448.

85. О двумерных интегральных подмногообразиях одного класса гамилъто-новых систем с разрывной правой частью // Фундаментальная и прикладная математика, 2000. — Т. 6. — № 2. С. 357-377.

86. Феномен Фуллера Обзор // Итоги науки и техники, серия Современная математика и ее приложения, тематические обзоры. Динамические системы-8. Т. 55. Москва, ВИНИТИ, 1999.

87. Singular extremals of order 3 and chattering // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Differential Geometry and Control. 1998. — V. 64. — P. 135-147.

88. Однопараметрические семейства автомодельных решений в n-мерной задаче Фуллера К Доклады Российской АН, 1997. — Т. 357, № 4. С. 442-444.

89. О числе предельных циклов фактор-системы n-мерной задачи Фуллера // Мат. сборник, 1996. — Т. 187, № 12. — С. 3-20.

90. Theory о/ Chattering Control with Applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering. — Boston, N.Y.: Birkhauser, 1994 (with M. I. Zelikin).

91. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Труды МИАН СССР. — 1991. — Т. 197. — С. 85-167 (совместно с Зеликиным М. И.).

92. Построение оптимального синтеза при наличии четтеринг-режима // ДАН СССР, 1988. — Т. 302, № 4. — С. 785-789.

93. Структурная устойчивость синтеза оптимальных траекторий в двумерной задаче Фуллера // Вестник МГУ. Сер. мат. мех. 1987. — №4. — С. 64-66.

94. Достаточные условия оптимальности четтеринг режимов // В сб.: "Функциональный анализ и его приложения к теории вероятностей и механике".Москва, изд-во МГУ. 1984. — С. 3-5.