Разработка метода криволинейных панелей для решения плоских краевых задач теории крыла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Редреев, Денис Григорьевич

• Редреев, Денис Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Редреев, Денис Григорьевич

Введение

1. Постановка задачи

1.1. Краевая задача обтекания контура профиля потоком жидкости для комплексной скорости.

1.2. Сведение краевой задачи к сингулярным интегральным уравнениям

1.3. Обзор методов решения СИУ с ядром Коши.

1.4. Решение СИУ методом дискретных вихрей.

1.5. Решение СИУ методом панелей.

1.6. Цели и задачи работы.

2. Аналитическое задание контура крылового профиля

2.1. Задание контура профиля уравнениями дужек.

2.2. Аналитическое представление контура крылового профиля, заданного таблицей координат.

2.3. Задание контура конформным отображением окружности

3. Выбор панелей и распределения интенсивности вихревого слоя

3.1. Выбор панелей.

3.1.1. Выбор криволинейных панелей.

3.1.2. Оценка точности аппроксимации контура.

3.2. Представление решения.

3.2.1. Представление искомой интенсивности вихревого слоя

3.2.2. Анализ представления решения.

4. Квадратурная формула для сингулярного интеграла с ядром Коши 54 4.1. Обзор квадратурных формул для сингулярного интеграла с ядром Коши.

4.2. Построение квадратурной формулы.

4.3. Оценка точности квадратурной формулы.

4.4. Доказательства вспомогательных утверждений.

5. Метод криволинейных панелей

5.1. Решение СИУ методом криволинейных панелей.

5.2. Тестовые расчеты

5.2.1. Выбор положения контрольных точек.

5.2.2. Сравнительная оценка разработанного метода и стандартного метода панелей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода криволинейных панелей для решения плоских краевых задач теории крыла»

В прикладных задачах требуется производить расчет характеристик обтекания крыловой поверхности (крыло самолета, лопасти вентилятора) потоком жидкости или газа. Гипотеза плоских сечений значительно упрощает расчеты, позволяя перейти от исследования пространственного потока к задаче на плоскости. Применение модели стационарного потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости приводит к краевой задаче для комплексной скорости, являющейся аналитической функцией вне крылового профиля. Эта краевая задача может быть сведена к сингулярным интегральным уравнениям (СИУ) относительно интенсивности вихревого слоя, что снижает размерность задачи на единицу.

В некоторых случаях решение СИУ может быть получено в аналитическом виде, соответствующие формулы приводятся в книгах Ф.Д. Гахова [14], Н.И. Мусхслишивили [40]. На практике СИУ решается численными методами. Основные результаты по теории приближенных методов решения СИУ могут быть найдены в книгах В.В. Иванова [29], Б.Г. Габдулхаева [10, И, 12[, И.В. Бойкова [7]. Также следует упомянуть работы Д.Г. Саникидзе, Ш.С. Ху-бежты.

В теории крыла основными методами решения СИУ в настоящее время являются метод дискретных вихрен (МДВ) и метод панелей (МП). Они позволяют свести СИУ к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Основные результаты по разработке и применению метода дискретных вихрей можно найти в книгах С.М. Белоцерковского и И.К. Лифанова [4, 35]. Метод панелей был развит в работах Дж. Хесса (J.L. Hess) [G3]-[66[. Метод, как и метод дискретных вихрей, широко применяется в практических расчетах.

В методе дискретных вихрей непрерывно распределенный по контуру вихревой слой заменяется конечным числом вихрей, а граничные условия выполняются в контрольных точках. МДВ показал свою эффективность для расчета разомкнутых контуров (дужек). При этом применение равномерного распределения вихрей и контрольных точек по дужке приводит к неустранимой погрешности в окрестностях се концов [36, 56,19]. Сходимость на всей дужке может обеспечить метод локальной аппроксимации вихревого слоя [1С]. Метод дискретных вихрей также был рекомендован для расчета телесных профилей [2]. Детальный анализ, проведенный в [19], показывает, что применение равномерного распределения вихрей оказывается практически невозможным для расчета таких профилей. В качестве иллюстрации приведем на рис. 1, взятом из [19], расчеты 10% симметричного профиля Жуковского МДВ с равномерным распределением вихрей и контрольных точек по его контуру.

Решение СИУ-1 Решение СИУ-2

Рис. 1. Оценка точности решения задачи обтекания 10% симметричного профиля Жуковского при угле атаки а = 10° методом дискретных вихрей. Сплошная линия — точное решение, кружки — расчет.

Приведенные результаты расчета показывают, что метод дискретных вихрей целесообразно применять только для расчета СИУ 1-го рода (СИУ-1), для СИУ 2-го рода (СИУ-2) метод дает низкую точность на всем контуре [19]. При этом для СИУ-1 наибольшая погрешность достигается в окрестности передней кромки. Повысит!, точность решения возможно за счет неравномерного распределения вихрей в окрестностях кромок профиля. Например, в

3] для увеличения числа вихрей в окрестности задней кромки предлагается рассчитывать их координаты по закону здесь N — общей число вихрей на одной дужке. Другой способ заключается в выборе расположения вихрей, удовлетворяющим следующему свойству: расстояние между соседними вихрями должно быть меньше локальной толщины профиля в окрестности данных вихрей [3, 35]. Выбор закона неравномерного распределения вихрей является проблематичным, поскольку требует в каждом конкретном случае дополнительного анализа.

В методе панелей контур заменятся полигоном, составленным из конечного числа панелей, искомое решение на панелях представляется в виде полинома с неизвестными коэффициентами, а граничные условия выполняются в конечном числе контрольных точек. Как правило, в стандартных вариантах МП (далее стандартный МП) панели выбираются как отрезки, а искомое решение на каждой панели — в виде линейной функции. Согласно анализу проведенному в книге [19], стандартный МП дает хорошие результаты для расчета достаточно толстых телесных профилей, но с уменьшением толщины точность решения падает. При этом в отличие от МДВ максимальная погрешность решения СИУ-1 достигается в окрестности задней кромки, для решения СИУ-2 в окрестности передней кромки. Для иллюстрации приведем на рис. 2, взятом из [19], примеры расчета того же профиля Жуковского методом панелей с равномерным разбиением контура на панели.

Увеличить точность расчета в передней кромке возможно, следуя рекомендациям в работе [48], за счет неравномерного расположения панелей. Но это требует проведения дополнительных исследований в каждом отдельном случае, что является проблематичным.

Приведенный анализ показывает, что решение СИУ для телесных профилей целесообразно проводить методом панелей. В то же время известные варианты метода могут давать относительно большую погрешность в окрест

Решение СИУ-1

Решение СИУ-2

Рис. 2. Оценка точности решения задачи обтекания 10% симметричного профиля Жуковского при угле атаки о; = 10° стандартным методом панелей. Сплошная линия — точное решение, кружки — расчет. ности передней кромки, особенно для тонких профилей. Ввиду этого является актуальной цель работы: разработка модификации метода панелей — метода криволинейных панелей — которая позволила бы эффективно решать СИУ, соответствующие краевым задачам обтекания крыловых профилей произвольной толщины, включая сколь угодно малую. При этом метод должен обеспечивать высокую точность решения СИУ для широкого класса профилей и точное вычисление интегралов по криволинейным панелям.

Основная идея, применяемая при модификации метода, это учет асимптотики уравнения контура для выбора панелей и асимптотики интенсивности вихревого слоя в случае предельно тонкого профиля (дужки) для выбора распределения искомого решения на панелях.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Структура работы обусловлена алгоритмом метода панелей. Так, последовательно рассматриваются выбор уравнения панелей, выбор вида искомого решения на них, замена в уравнении сингулярного интеграла квадратурой и, наконец, алгоритм модифицированного метода.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Редреев, Денис Григорьевич

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. Построено аналитическое представление контура, заданного таблицей координат, с учетом асимптотики в окрестности передней кромки профиля;

2. Предложены уравнения криволинейных панелей с учетом асимптотики контура;

3. Предложено представление искомого решения на панелях с учетом асимптотики интенсивности вихревого слоя в предельном случае дужки;

4. Построена квадратурная формула для сингулярного интеграла с ядром Коши но замкнутому контуру;

5. Разработан алгоритм решения сингулярных интегральных уравнений 1-го и 2-го родов с ядром Коши методом криволинейных панелей.

Разработанная модификация метода панелей, метод криволинейных панелей, позволяет решать краевые задачи обтекания крылового профиля стационарным потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости с высокой точностью для широкого класса крыловых профилей, включая профили сколь угодно малой толщины.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Редреев, Денис Григорьевич, 2007 год

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

2. Метод дискретных вихрей в заадчах гидродинамики с жидкими границами / В.В. Бабкин, С.М. Белоцерковский, В.В. Гуляев, Н.М. Моляков // ДАН СССР. 1980. - Т. 254, № 5.

3. Математическое моделирование шюскопараллельного отрывного обтекания / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров.- М.: Наука, 1988. 232 с.

4. Белоцерковский, С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике / С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов. — М.: Наука, 1985.- 253 с.

5. Бенерджи, П. Метод граничных элементов в прикладных науках / П. Бе-нерджи, Р. Баттерфилд. — М.: Мир, 1984. — 494 с.

6. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики: Учебник. — М.: Наука, 1982. 336 с.7j Бойков, И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков. — Пенза: Изд-во ПГУ, 2005. — 316 с.

7. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубсл. М.: Мир, 1987. - 524 с.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.- 528 с.

9. Габдулхаев, Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. — 232 с.

10. И. Габдулхаев, Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Численный анализ / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994. — 288 с.

11. Габдулхаев, Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1995. 230 с.

12. Габдулхаев, Б.Г. Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений 1-го рода. Учебное пособие / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина, 2006. — 137 с.

13. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. — М.: Физматгиз, 1963. — 640 с.

14. Горелов, Д.Н. О сходимости метода дискретных вихрей, основанного на локальной аппроксимации вихревого слоя / Д.Н. Горелов // Динамика сплошной среды: Сб.науч. тр. / Ин^г гидродинамики СО АН СССР. — Новосибирск, 1984. № 68. - С. 82-91.

15. Горелов, Д.Н. Об интегральных уравнениях задачи обтекания профиля / Д.Н. Горелов // Изв. РАН, МЖГ. 1992. - № 2. - С. 173-177.

16. Горелов, Д.Н. Расчет распределения давления вблизи передней кромки профиля в методе дискретных вихрей / Д.Н. Горелов // ПМТФ. — 1996. Т. 37, X« 1. - С. 114-122.

17. Горелов, Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла / Д.Н. Горелов. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 215 с.

18. Горелов, Д.Н. Применение кубических сплайнов для аналитического представления замкнутого контура, заданного таблицей координат / Д.Н. Горелов, Д.Г. Редреев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. - Т. 8, № 2(22). - С. 26-31.

19. Горелов, Д.Н. Построение квадратурной формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши но контуру крылового профиля / Д.Н. Горелов, Д.Г. Редреев // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, № 4. — С. 29-36.

20. Горелов, Д.Н. Применение системы интегральных уравнений к решению плоских краевых задач теории крыла / Д.Н. Горелов, Ю.С. Смолин // Вычислительные технологии. — 1999. — Т. 4. — С. 24-29.

21. Гребенников, А.И. Методы сплайнов и решение некорректных задач теории приближений / А.И. Гребенников. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.

22. Громадка II, Т. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ / Т. Громадка И, Ч. Лей. — М.: Мир, 1990. — 303 с.

23. Де Бор, К. Практическое руководство по сплайнам / К. Де Бор. — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

24. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. — М.: Наука, 1980. 352 с.

25. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Аки-лов. М.: Наука, 1984. - 752 с.

26. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. M-Л.: ГИТТЛ, 1952. - G9G с.

27. Карафоли, Е. Аэродинамика крыла самолета / Е. Карафоли. — М.: АН СССР, 1956. 480 с.

28. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

29. Корнейчук, A.A. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов / A.A. Корнейчук // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М., 1964. — С. 64-74.

30. Лифапов, И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И.К. Лифапов. — М.: Янус, 1995. — 520 с.

31. Лифапов, И.К. Обоснование численного метода «дискретных вихрей» решения сингулярных интегральных уравнений / И.К. Лифанов, Я.Е. Полонский // ППМ. 1975. - Т. 39, № 4. - С. 742-746.

32. Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин , Х.Л. Смолицкпй. — М.: Наука, 1965. 384 с.

33. Мирошниченко, B.JI. Об интерполяции и аппроксимации сплайнами / В.Л. Мирошниченко // Вычислительные системы: Сб. Новосибирск. — 1983. Выи. 100. - С. 83-100.

34. Мусаев, Б.И. Приближенное решение полного сингулярного интегрального уравнения на отрезке/ Б.И. Мусаев ; Инст. кибернетики АН АзССР. Баку, 1985. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ, 23.10.85, № 7377-85.

35. Мусхелишивили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Му-схелишивили. — М.: Наука, 1968. — 512 с.

36. Никольский, С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский. — М.: Наука, 1979. 255 с.

37. Партон, В.З. Интегральные уравнения теории упругости / Партоп, В.З., Перлин П.И. М.: Наука, 1977. - 312 с.

38. Поляхов, H.H. К вопросу о сходимости метода дискретных вихрей / H.H. Поляхов, З.Н. Шестернина // Вести. Ленингр. ун-та. — 1979. — Л* 7. С. 75-81.

39. Пыхтеев, Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Ко-ши специального вида / Г.Н. Пыхтеев. — Новосибирск, 1982. — 128 с.

40. Редреев, Д.Г. Решение сингулярных интегральных уравнений теории крыла модифицированным методом панелей / Д.Г. Редреев // Омский научный вестник. 2006. - № 6(41) - С. 52-56.

41. Рябченко, В.П. К расчету аэродинамических характеристик решеток профилей произвольной формы / В.П. Рябченко, В.Э. Сарен // Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. - № 2. - С. 105-112.

42. Роженко, А.И. Абстрактная теория сплайнов: Учеб. пособие / А.И. Ро-женко. — Новосибирск: Изд. центр НГУ, 1999. — 176 с.

43. Самарский, A.A. Численные методы: Учеб. пособие для вузов / A.A. Самарский, A.B. Гулин. — М.: Наука, 1989. — 432 с.

44. Саникидзе, Д.Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с суммируемой плотностью методом механических квадратур / Д.Г. Саникидзе // Укр. мат. жури. 1970. - Т. 22, № 1. - С. 106-114.

45. Саникидзе, Д.Г. О равномерной оценке приближения сингулярных интегралов с Чебышевской весовой функцией суммами интерполяционного типа / Д.Г. Саникидзе // Сообщения АН Груз.ССР. 1974. - Т. 75, № 1. — С. 53-55

46. Саникидзе, Д.Г. К численному решению граничных задач методом аппроксимации сингулярных интегралов / Д.Г. Саникидзе // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29, № 9. - С. 1632-1644.

47. Саникидзе, Д.Г. О методе дискретных вихрей повышенной точности для численного решения одного класса сингулярных интегральных уравнений / Д.Г. Саникидзе // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, № 9. С. 1269-1275.

48. Саникидзе, Д.Г. К вопросу применения внешних узлов в модифицированных схемах дискретных вихрей /.Д.Г. Саникидзе, Ш.С. Хубежты //

49. Владикавказский математический журнал. — 2000. — Т. 2, № 3. — С. 3741.

50. Сареи, В.Э. О сходимости метода дискретных вихрей / В.Э. Сарен // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 2. С. 270-278.

51. Старк, И. Обобщенная квадратурная формула для интегралов Коши / И. Старк // Ракетная техника и космонавтика. — 1971. — № 9. — С. 244245.

52. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. Т. 2.: Пер. с англ. / К. Флетчер. — М.: Мир, 1991. — 552 с.

53. Хубежты, Ш.С. О квадратурных формулах для сингулярных интегралов / Ш.С. Хубежты // Владикавказский математический журнал. — Т. 5, № 2. 2003. - С. 50-58.

54. Хубежты, Ш.С. К численному решению задачи Дирихле методом локально-канонического разбиения / Ш.С. Хубежты // Владикавказский математический журнал. — Т. 5, № 2. — 2003. — С. 52-59.

55. Шешко, М.А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла / М.А. Шешко // Изв. вузов, Математика. — 1976. — № 12, — С. 108-118.

56. Boikov, I.V. Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals / I.V. Boikov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2001. - Vol. 28, No. 3. - pp. 127-179.

57. Hess, J.L. Calculation of potential flow about arbitrary bodies / J.L. Hess, A.M.O. Smith // Prog. Aero. Sci. 1966 - Vol. 8. - pp. 1-138.

58. Hess, J.L. Higher-order numerical solution of the integral equation for the two-dimensional Neumann problem / J.L. Hess // Comput. Methods Appl. Mecli. Engng. 1973. - Vol. 2, No. 1. - pp. 1-15.

59. G5j Hess, J.L. Review of integral-equation techniques for solving potential-flow problems with emphasis on the surface-source method / J.L. Hess // Cornput. Methods Appl. Mech. Engng. 1975. - Vol. 5. — pp. 145-19G.

60. G6. Hess J.L. Improved solution for potential flow about arbitrary axisymmetric bodies by the use of a higher-order surface source method / J.L. Hess // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1975. - Vol. 5. - pp. 297-308.