Математическое моделирование в задачах медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Райманова, Гульназ Курбангалеевна

• Райманова, Гульназ Курбангалеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Райманова, Гульназ Курбангалеевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Экономико-математическая модель системы страхования.

1.2. Принципы расчета страховых тарифов.1 о

1.3. Риск смертности.

1.4. Риск заболеваемости.

1.5. Доходность инвестиций и уровень инфляции.

1.6. Постановка задачи исследования.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕДИЦИНСКОГО СТРАХОВАНИЯ.

2.1. Марковские процессы. Система дифференциальных уравнений Колмогорова. Графы состояний.

2.2. Прямые и обратные задачи для марковских моделей.

2.3. Математическая корректность решений исследуемых систем.

2.4 Исследование системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

ГЛАВА 3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СТРАХОВАНИЯ.

3.1. Критерий определения параметров.

3.2. Двойственные оценки.

3.3. Интервальный подход в задачах определения параметров.

ГЛАВА 4. МЕДИЦИНСКОЕ СТРАХОВАНИЕ ПРИ ЗАБОЛЕВАНИИ ТУБЕРКУЛЕЗОМ.

4.1. Математическая модель заболевания туберкулезом.

4.2. Расчет областей неопределенности параметров модели.

4.3. Области варьирования страховых премий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование в задачах медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза»

Актуальность темы исследования.

В- настоящее время активно развиваются актуарные исследования по анализу рисков в страховании [1], [19], [20]. Предложено много моделей, одной из таких моделей является Модель Уилки [15], [16]. В частности, для описания соответствующих моделей используются временные ряды, стохастические дифференциальные уравнения, статистическое моделирование и другие [2—14].'

Актуарные расчеты - это система расчетных методов, построенных на математических и статистических закономерностях [91]. Они являются основой для регламентации страховых отношений между страховщиком и страхователями, для расчета тарифов по любому виду страхования [78], [86], [87], [88], [103], для определения доли участия каждого страхователя в формировании страхового фонда, для, определения и анализа расходов на страхование конкретного объекта [101], себестоимости страховой услуги.

Ряд широко известных приложений используют подход, позволяющий применять теорию марковских процессов для моделирования ситуации как поведение системы со многими состояниями. Примерами могут служить задачи, связанные со всевозможными системами массового обслуживания [21], [22], задачи о рекламе, задачи надежности, а также различные приложения к биологии, химии, физике и т.п. Широкое применение этот подход получил и в актуарной практике, когда модель многих состояний используется для описания состояния застрахованного лица.

При математическом моделировании на основе марковских процессов возникают две взаимно противоположные задачи. Прямая, задача состоит в расчете вероятностей соответствующих состояний и другие характеристики процесса. Параметры модели при этом предполагаются известными. Обратная задача состоит в определении параметров модели на основе известных из эксперимента результирующих характеристик процессов.

В марковской модели исходные параметры - это интенсивности, или силы, перехода из состояния в состояние. Когда речь идет о страховых моделях, то эти интенсивности заранее, как правило, неизвестны.

В задачах медицинского страхования интенсивности переходов — это количество заболевающих, требующих медицинского обслуживания того или иного уровня, количество выздоравливающих, количество умерших в ту или иную единицу времени. Решение обратной задачи, как правило, является интервалом в пространстве искомых параметров. Величина интервала характеризует уровень изменения интенсивности переходов, оставляющих неизменным некоторые характеристики качества процесса, например, неизменность величины страховых премий и выплат [97].

Цель работы.

Построение методологии решении обратных задач медицинского страхования на основе математических моделей марковских процессов.

Задачи исследования:

- построение математической модели медицинского страхования на основе теории марковских процессов;

- разработка вычислительного алгоритма и компьютерного обеспечения решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса на основе статистических данных;

- численное решение и проведение реальных актуарных расчетов для математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза.

Методы исследования.

Поставленные в работе задачи решены с использованием теории марковских процессов, теории графов, интервального анализа, математической теории двойственности для задач линейного программирования. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам актуарной и финансовой математики [68], [75], [93] математической теории измерений, математического моделирования в задачах страхования [76], [77].

Научная новизна работы:

1. Разработана математическая модель медицинского страхования на основе теории марковских процессов.

2. Выписана соответствующая модели система дифференциальных уравнений Колмогорова и соответствующая ей графическая интерпретация. Доказана математическая корректность — неотрицательность, ограниченность и существование решения.

3. Сформулирована задача определения интервалов по интенсивностям, сохраняющих неизменными страховые тарифы. Сформулирована двойственная задача, решение которой позволяет оценивать чувствительность границ интервалов к вариации исходных статистических данных.

4. Разработан комплекс программ решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса.

5. Поведен актуарный анализ математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза. Выявлены реальные границы величин страховых взносов в задачах профилактики и лечения туберкулеза.

Практическая значимость работы.

Проведенные исследования дают специалистам по медицинскому страхованию реальные механизмы расчета страховых тарифов. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ использован при анализе реальных данных по заболеванию туберкулезом, полученным в Противотуберкулезном диспансере Республики Башкортостан.

Результаты исследования использованы в курсах лекций по актуарной и финансовой математике на математическом факультете Башкирского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. VI Всероссийской научно—методической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (г. Бирск, 20-21 апрель 2007г.).

2. Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи - Адлер, 29 сентября - 7 октября 2007г.).

3. Девятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 1 мая — 8 мая 2008г.).

4. Всероссийской научно - практической конференции, обратные задачи в приложениях (г. Бирск, 19-20 июня 2008г.).

5. III Международной научной конференции, современные проблемы прикладной математики и математического моделирования (г. Воронеж, 2-7 февраля 2009г.).

6. Всероссийской научно - практической конференции, финансовая и актуарная математика (г. Нефтекамск, 30 марта - 1 апреля 2009г.).

7. IV Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 6-18 августа 2009г.).

8. Научных семинарах математического факультета Башкирского государственного университета, факультета информатики и робототехники Уфимского государственного авиационного университета, Института социально-экономических исследований Уфимского научного центра РАН, Противотуберкулезного диспансера Республики Башкортостан.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 3 статьи в журналах, Рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертаций и 5 работ в сборниках тезисов Международных и Всероссийских научных конференций.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (110 наименований). Работа изложена на 100 страницах, содержит 19 рисунков и 6 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Райманова, Гульназ Курбангалеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе теории марковских процессов разработана математическая модель медицинского страхования, выписана соответствующая модели система дифференциальных уравнений Колмогорова и соответствующая ей графическая интерпретация. Доказана математическая корректность - неотрицательность, ограниченность и существование решения.

2. Сформулированы прямая и обратная задача для математических моделей медицинского страхования. В результате решения обратной задачи находятся интенсивности переходов между различными состояниями процесса, сохраняющие неизменными страховые тарифы. Решение двойственных задач позволяет оценить чувствительность границ интервалов к вариации исходных статистических данных.

3. Разработан комплекс программ решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса. Программный комплекс реализован на суперкомпьютере математического факультета БГУ.

4. Проведен актуарный анализ математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза. Выявлены реальные границы величин страховых взносов в задачах профилактики и лечения туберкулеза.

5. Проведенные исследования дают специалистам по медицинскому страхованию реальные механизмы расчета страховых тарифов. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ использован при анализе реальных данных по заболеванию туберкулезом, полученным в Противотуберкулезном диспансере Республики Башкортостан.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Райманова, Гульназ Курбангалеевна, 2009 год

1. Asmussen S., Y. Rubinstein, Sensitivity analysis of insurance risk modwls via simulation// Management Science, 1999, 45(8), p. 1125-1141.

2. Boyle P.P. Rates of return as random variables // The Journal of Risk and Insurance. 1976. V. 53. P. 693 713.

3. Boyle P.P. Risk-based capital for financial institutions // Financial Risk in Insurance / G. Ottaviani (Editor). Berlin Heidelberg: Springer Verlag,1995. P. 47 62.

4. Buhlman H. Life Insurance with Stochastic Interest Rates // Financial Risk in Insurance / G. Ottaviani (editor). Berlin Heidelberg: Springer Verlag,1995. P. 1-24.

5. Hull J. Options, Futures, and Other Derivative Securities. Prentice Hall International, Inc., 1993.

6. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to finance. Charman & Hall, 1996.

7. McCutcheon J .J., Scott W.F. An Introduction to the Mathematics of Finance, Heinemann: London, 1986.

8. Oksendal B. Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications. Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 1995.

9. Panjer H.H., Bellhouse D.R. Theory of stochastic mortality and interest rates // Actuarial Research Clearing House, Society of Actuaries. 1978.V. 2. P. 123- 153.

10. Parker G. Two stochastic approaches for discounting actuarial functions // Proceedings 24th ASTIN Colloquium. Vol. 2. 25 29 July 1993.Cambridge. P. 368-387.

11. Pollard A.H., Pollard J.H. A stochastic approach to actuarial functions // Journal of the Institute of Actuaries. 1969. V. 95(1). P. 79 113.

12. Pollard J.H. On fluctuating interest rates // Bulletin de Г Association Roale des Actuairies Beiges. 1971. V. 66. P. 68 97.

13. Waters H.R. The moments and distributions of actuarial functions // Journal of the Institute of Actuaries. 1978. V. 105(1). P. 61 75.

14. Wilkie A.D. The rate of interest as a stochastic process Theory and applications // Proceedings 20th Int. Congress of Actuarias. Tokyo, 1976. V. l.P. 325-338.

15. Wilkie A.D. A stochastic investment model for actuarial use // Transactions of the Faculty of Actuaries. V. 39. P. 341-381.

16. Wilkie A.D. More on a stochastic asset model for actuarial use // Brithish Actuarial Journal. 1985. V. 1. P. 777-964.

17. Industrial Accident Insurance: Actuarial Foundations. Ed. by V.N. Baskakov, Moscow, Academia, 2001.

18. J.R.Kittrell, W.G.Hunter, C.C.Watson, A.I.Chem. T/Journal, II, №6, 1051, 1965.

19. Бойков A.B. Риск-менеджмент и актуарно-финансовый? анализ в компании по страхованию жизни Журнал: Управление финансовыми рисками, №2, 2009 г.

20. Гончаров А.В. Оценка рисков при страховании грузов, Журнал: Управление финансовыми рисками, №2, 2008г.

21. JI. Клейнрок Теория массового обслуживания М.: Машиностроение, 1979 г. 432 с.

22. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984г. 240с.

23. Баскаков В.Н., Баскакова М.Е. О пенсиях для мужчин и женщин: социальные аспекты пенсионной реформы. М.: Московский философский фонд, 1998.

24. О пенсиях: Сборник законодательных и нормативных документов по состоянию на июнь 1997 года. Издание 2-е, переработанное и дополненное. М.: БУКВИЦА, 1997. - (Серия "Федеральное законодательство")

25. Пенсионная реформа в России: оценка специалистов / Под ред. В.Н. Баскакова, А.С. Орлова М.: Редакция журнала "Пенсия", 1999.

26. Пенсионное законодательство стран СНГ и Балтии / Сост. А.А. Романов, Е.М. Деева, И.Ш. Ефанова, И.К. Малофеева, О.Ю. Новикова, Д.А. Сангинова. М.: Ассоциация пен-сионных и социальных фондов, Бюро МОТ в Москве, 2000.

27. Пенсия в вопросах и ответах: На льготных основаниях и в связи с работой на крайнем севере, надбавки, повышения и компенсации / Сост. Т.М. Савицкая. М.: Редакция жур-нала "Пенсия", 2000.

28. Петров Д.А. Страховое право: Учебное пособие. СПб.: Знание, Санкт-Петербургский институт внешнеэкономических связей, экономики и права, 2000.

29. Баева Н.Б. Моделирование экономических процессов: Учебное пособие. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. - 28 с

30. Давние В.В., Щепина И.Н., Мокшина С.И., Воищева О.С., Щекунских С.С. Элементы экономико-математического моделирования: Лабораторный практикум. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001. - 49 с.

31. Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации: Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - 140 с.

32. Росс С.И. Математическое моделирование и исследование национальной экономики: Учебное пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. - 61 с.

33. Бурков В.Н., Джавахадзе Г.С. Экономико-математические модели управления производством строительных материалов. М.: ИПУ РАН. 1996.- 69 с.

34. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Кулик О.С., Новиков Д.А. Механизмы страхования в социально-экономических системах. М.: ИПУ РАН, 2001.- 109 с.

35. Свешников А.А. Прикладные методы теории марковских процессов уч.пос. Лань, 2007.

36. А.Т. Баруча-Рид Элементы теории марковских процессов и их приложения, Наука 1969, 512 с.

37. Е.Б. Дынкин Основания теории марковских процессов, Физматлит 1959, 228 с.

38. Портенко Н. И., Скороход А. В., Шуренков В. М. Марковские процессы, Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. Направления.-ВИНИТИ, 1989.

39. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио. 1977, 485с.

40. В. И. Рябикин, С. Н. Тихомиров, В. Н. Баскаков. Страхование и актуарные расчеты, Экономистъ, 2006, 464 с.

41. Вольперт, А.И. Дифференциальные уравнения на графах // Мат. сб. — 1972. Т.88(130), №4(8). - С.578—588.

42. И.С.Березин, Н.П.Жидков, Методы вычислений

43. А.Г.Аганбегян, К.А.Багриновский, Математические методы в экономике, Новосибирск

44. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

45. Розанов Ю.В., теория вероятностей и ее приложения// О некоторых вопросах современной математики и кибернетики. М.: Просвещение, 1965, с.78-12.

46. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2001. - 479 с.

47. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543 с.

48. Айвазян1 С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. -М.: ЮНИТИ, 1998.

49. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Гардарика, 1998.

50. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1975.

51. Спивак С.И., Абдюшева С.Р. Обратные задачи для марковских моделей. Системы управления и информационные технологии, 2008, N3(33), с. 20-25.

52. Н. Бауэре, X. Гербер, Д. Джонс, С. Несбитт, Дж. Хикман. Актуарная математика

53. И. Г. Петровский, С. JI. Соболев, "О работах академика Жака Адамара по уравнениям с частными производными", УМН, 1936, № 2, 82-91

54. А.Г. Курош, Алгебраические уравнения произвольных степеней. М.: Наука, 1975.

55. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. 294 с.

56. А.А. Белов, Б.А. Баллод, Н.Н.Елизарова Теория вероятностей и математическая статистика, Изд-во Феникс, 2008, 318с.

57. А.И.Кобзарь Прикладная математическая статистика, Изд-во Физматлит, 2006.

58. Кочетков Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика, Издательство ФОРУМ; ИНФРА-М, 2006, 240с., ил.

59. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов, Наука, 1986,232с.

60. Хотимский В. И., Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева), М. — Л., 1925, 2 изд., М., 1959

61. Д.Б.Юдин, Е.Г.Голыптейн, Задачи и методы линейного программирования, М.,"Советское радио", 1964

62. Волков В. А. Элементы линейного программирования. М: Просвещение. 1975, 141с.

63. Рейнфельд Н., Фогель У. Математическое программирование. М: Изд. Иностр. Лит. 1960, 335с.

64. Муртаф Б. Современное линейное программирование. М.: Мир. 1984, 224с.

65. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М: Высшая школа, 1976, 3522с. .

66. Райманова Г.К., Спивак С.И. Область неопределенности по кинетическим константам для одной" кинетической модели // Обозрение прикладной и промышленной математики — 2007. Т.14(5) — с.923-924 ■ ' . ■

67. Спивак С.Щ Райманова Г.К., Абдюшева С.Р. Математическое моделирование . процесса заболевания; туберкулезом- // Обозрение прикладной и промышленной математики:-2008: Т. 15(5) — с.929-930: '

68. Спивак С.И., Что такое финансовая математика// Соросовский обозревательный журнал, №8,1996; с.123-127

69. Спивак С.И:, Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания туберкулезом // Всероссийская научно — практическая; конференция; «Обратные задачи в приложениях», г.Бирск — 2008, с.263-269

70. С.И Спивак,. F.K. Райманова, С.Р^Абдюшева Обратные; задачи^ для? марковских моделей; медицинского страхования // журнал Страховое дело №9(188), 2008, с.36-42

71. Спивак С.И;, Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания туберкулезом // Современные проблемы прикладной математики и. математического моделирования. Материалы; III Международной конференции Часть 2, г. Воронеж 2009 г., с.44-46

72. Спивак С.И., Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания- туберкулезом- // Финансовая! и актуарная; математика. Сборник , материалов Всероссийской; научно-практической/, конференции г. Нефтекамск 2009г. с. 171-173

73. Спивак С.И, Райманова U.K. Математическая; модель процесса-заболевания туберкулезом//. Системы управления и: информационные технологии, 2009, 2.2(36). с. 293-297.

74. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.

75. Алексеев Б.В., Егорова Д.В., Иваницкий А.Ю. Введение в финансовую и актуарную математику: Учебное пособие для вузов.—Чебоксары: Издательство Чуваш. Ун-та, 2001.

76. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных систем. — М: АНЕШЛ, 2002.

77. Фалин Г.И., Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский Юридический Издательский Дом, 19994.—130с.

78. Александров А.А. Страхование. М.: "Издательство "ПРИОР", 1998. -192 с.

79. Бабич A.M., Егоров Е.Н., Жильцов Е.Н. Экономика социального страхования: Курс лек-ций. -М.: ТЕИС, 1998.

80. Баскаков В.Н. Аддитивная оценка функции дожития и ее применение в актуарной мате-матике // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. -1999. -№1.

81. Баскаков В.Н., Андреева О.Н., БаскаковауМ.Е., Карташов Г.Д., Крылова Е.К. Страхование от несчастных случаев на производстве: актуарные основы. Под ред. В.Н.Баскакова. М.: Academia, 2001. 192 с. Табл., рис.

82. Крамер, Гаральд. Математические методы статистики / Г. Крамер; Пер. с англ. А. С. Монина, А.А. Петрова; Под ред. А. Н. Колмогорова . -М.;Ижевск: Регуляр.и хаотич.динамика, 2003. 648 с. : ил. - (R&C Dynamics)

83. Бойков А.В. Страхование и актуарные расчеты. М.: РОХОС, 2004. -96 с.

84. Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном медицинском страховании. М.: Дело, 1999. - 120 с.

85. Баскакова М.Е., Баскаков В.Н. Обязательства НПФ и проблемы страховой статистики / Финансовый бизнес. 1997, №4 (42)

86. Дрошнев В.В. Обязательное медицинское страхование в России. М.: "Анкил", 2004. - 160 с.

87. Федеральный закон "Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний" с комментариями / Под ред. Коршунова Ю.Н. М.: Научный центр профсоюзов, 1999.

88. Финансирование здравоохранения в условиях обязательного медицинского страхования. Учеб. пособие / В.З.Кучеренко М.: 1998. -142 с.

89. Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Введение в актуарную математику. Учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1998. - 63 с.

90. Касимов Ю.Ф. Введение в актуарную математику (страхование жизни и пенсионных схем). М.: Анкил, 2001. - 176 с.

91. Основы актуарной математики I: Перевод с англ., Кемерово, 1996, — 118 с., ил.

92. Соловьев А.К. Актуарные расчеты в системе пенсионного страхования. М.: "Финансы и статистика", 2005. - 239 с.

93. Фалин Г.И., Фалин А.И., Введение в актуарную математику. М.: Финансово-актуарный центр МГУ им. М.В.Ломоносова, 1994. - 86 с.

94. Ермаков С.И., Михайлов Г.А., Статистическое моделирование, 2-е изд., дополн. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 296с. :ил.

95. Курс социально-экономической статистики: Учебник для Вузов / Под ред. проф. М.Г. Назарова. М. Финстатинформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

96. Мэйндоналд Дж., Вычислительные алгоритмы в прикладной статистике/ Пер. с англ. Б.И.Клименко, А.В.Гмыри. / Под ред. Е.З.Димиденко. М.: Финансы и статистика, 1998. - 350 е.: ил. -(Математико-статистические методы за рубежом).

97. Архипов А.П., Гомелля В.Б. Основы страхового дела. Уч. пособие. -М.: "Маркет ДС", 2002. 413 с.

98. Бендат Дж., Пирсол А., Прикладной анализ случайных данных; Пер. с англ. -М.: Мир, 1989. 540с.: ил.

99. Венцель Е.С. Исследование операций. М., «Советское радио», 1972, 552 с.

100. ЮО.Гвозденко А. А. Финансово-экономические методы страхования: Учебник. М.: Финансы и статистика, 1998. - 184 с.

101. Гербер X. Математика страхования жизни. Пер. с англ. — М.: Мир, 1995.

102. Грищенко Н.Б. Основы страховой деятельности: Учеб. пособие. М: Финансы и статистика, 2004. - 352 с.

103. Грищенко Н.Б., Клевно В.А., Мищенко В.В. Добровольное медицинское страхование. Основы соврем, практики Барнаул: Изд-во Алт. гос. ун-та, 2001. - 79 с.

104. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительной математики// Под общей редакцией Б.П.Демидовича, М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 660с. :ил.

105. Выплаты по страхованию от несчастных случаев на производстве и профзаболеваний. Сборник // Г.Симоненко. М.: Социздат, 2001. -303с.

106. Кокс Д.Р., Оукс Д., Анализ данных типа времени жизни// Пер. с англ. О.В. Селезнева, М.: Финансы и статистика, 1988. - 191 е.: ил. -(Математико-статистические методы за рубежом).

107. Корнилов И.Л. Основы страховой математики: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 400 с.

108. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования // Обозрение прикладной промышленной математики. 1995. Т.2. № 4. С. 514-526.

109. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики М.: Наука, 1984.- 264 с.

110. Ширяев А.Н., Вероятность. М.: Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1980. - 576с.а