Построение двусторонних оценок на решения интегральных моделей некоторых саморегулируемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Карелина, Раиса Олеговна

• Карелина, Раиса Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карелина, Раиса Олеговна

Введение

Глава 1. Описание объекта моделирования

1.1 Понятие саморегулируемой системы.

1.2 Формализация некоторых саморегулируемых систем.

1.2.1 Саморегулируемые системы, моделируемые с помощью интегральных уравнений .И

1.2.2 Саморегулируемые системы, моделируемые с помощью дифференциальных уравнений.

1.3 Примеры саморегулируемых систем.

1.4 Выводы по главе.

Глава 2. Применение монотонного метода к исследованию решений некоторых систем интегральных уравнений

2.1 Постановка задачи.

2.2 Системы нелинейных уравнений и неравенств специального вида и некоторые свойства их решений.

2.2.1 Оценки на решения вида и0 ^ х ^ w°.

2.2.2 Оценки на решения вида 0 ^ х ^ w°.

2.3 Двусторонние оценки на решения x(t) и предельное поведение x(t) при t —► +оо.

2.4 Выводы по главе.

Глава 3. Исследование решений интегральных моделей саморегулируемых систем

3.1 Интегральная модель саморегулируемых систем.

3.2 Асимптотическое поведение решений при t —► +оо.

3.2.1 Ненулевое предельное значение, случай R°(a) Ф R(a)

3.2.2 Ненулевое предельное значение, случай R°(a) = R(a)

3.2.3 Нулевое предельное значение.

3.2.4 Асимптотическая (^-устойчивость стационарных решений

3.3 Исследование модели регуляции физиологических процессов

3.4 Исследование модели двуполой популяции.

3.5 Выводы по главе.

Глава 4. Исследование решений дифференциальных моделей саморегулируемых систем

4.1 Дифференциальная модель саморегулируемых систем

4.2 Асимптотическая устойчивость положений равновесия и оценка их областей притяжения

4.3 Исследование модели процесса регуляции синтеза белка

4.4 Исследование модели динамики численности популяции в условиях воздействия вредных веществ.

4.5 Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение двусторонних оценок на решения интегральных моделей некоторых саморегулируемых систем»

Одним из приложений метода математического моделирования является прогнозирование и количественная оценка динамики процессов и систем в биологии, экологии, демографии, экономике и технике. Важнейшим применением моделей является поиск условий, гарантирующих стабильную динамику изучаемых процессов и систем. Такие условия позволяют найти границы изменения переменных, отражающих состояние объектов моделирования, а также оценить характер динамики этих переменных. Многие объекты моделирования характеризуются наличием положительных и отрицательных обратных связей, которые регулируют динамику указанных переменных и обеспечивают саморегулирование объектов в целом. Характерной особенностью обратных связей является высокая размерность вектора используемых переменных, большое число параметров, наличие различных запаздываний, отражающих определенные закономерности функционирования объектов моделирования. Указанные особенности вызывают существенные трудности как на этапе построения моделей, так и на этапе аналитического и численного исследования свойств решений используемых классов уравнений.

Во многих случаях правые части уравнений моделей содержат монотонные функции или операторы, отражающие определенные закономерности изучаемых процессов и систем. Наличие таких функций или операторов позволяет использовать монотонный метод для получения двусторонних оценок на решения моделей. Построение этих оценок опирается на теорему о «вилке» для решения операторных уравнений и ее различные варианты ([1], [б], [27], [30], [40], [42], [52]), теоремы сравнения с использованием функций Ляпунова ([3], [13], [26]) и другие методы. Применение двусторонних оценок к исследованию асимптотического поведения решений при t —> +оо моделей конкретных процессов и систем описано в работах [15], [16], [41], [43], [45], [46], [47], [54], [60], [61], [66], [67], [68], [69] и др.

Настоящая работа посвящена исследованию решений дифференциальных и интегральных уравнений с последействием, моделирующих динамику многокомпонентных систем, в которых скорость производства и гибели отдельных элементов задается с помощью положительных и отрицательных обратных связей.

Целью работы является построение границ изменения решений и исследование асимптотического поведения решений при t —► +оо для рассматриваемого класса моделей.

Основные задачи работы состоят в следующем:

1) формализация динамики некоторых саморегулируемых систем в форме дифференциальных и интегральных уравнений с последействием;

2) построение двусторонних оценок на решения определенного класса систем интегральных уравнений с последействием, нахождение достаточных условий существований предела решений при t —> +оо с помощью монотонного метода и М-матриц;

3) исследование условий существования ограниченных решений и их предела при t —► +00 дифференциальных и интегральных уравнений, моделирующих динамику многокомпонентных саморегулируемых систем в задачах биологии и экологии.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе описан объект исследования: саморегулируемые системы, моделируемые с помощью интегральных и дифференциальных уравнений с последействием. Приведены примеры саморегулируемых систем, для которых правые части уравнений моделей могут быть представлены в виде изотонных и антитонных функций и операторов.

Во второй главе рассмотрены системы нелинейных интегральных уравнений со смешанной монотонностью правых частей (изотонные и антитонные функции и операторы). Для решений x(t) этих систем уравнений получены оценки и* ^ lim inix(t) ^ lim suprc(i) ^ w* и и0 ^ x(t) ^ ги°, t—»+oo t—»+00 t € [0, +оо). Исследованы вопросы нахождения векторов и*, w* как решений нелинейных уравнений и неравенств специального вида.

Третья глава посвящена изучению интегральной модели саморегулируемых систем. Построены двусторонние оценки на решения модели. Исследовано асимптотическое поведение решений при t —»• +оо. Представлены результаты исследования модели регуляции физиологических процессов и модели двуполой популяции.

В четвертой главе рассмотрена дифференциальная модель саморегулируемых систем. Изучена асимптотическая устойчивость положений равновесия и получена оценка их областей притяжения. Представлены результаты исследования модели процесса регуляции синтеза белка и модели динамики численности популяции в условиях воздействия вредных веществ.

В Заключении изложены основные результаты диссертационной работы, перечислены семинары и конференции, на которых докладывались отдельные результаты работы.

В Приложении приведены результаты численных расчетов по нахождению векторов и0, и)0, и*, т* для моделей, рассмотренных в третьей и четвертой главах.

Автор благодарит своего научного руководителя Н. В. Перцева за постановку задач исследования и поддержку в работе, сотрудников кафедры математического моделирования Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского Д. Н. Горелова, А. И. Задорина, С. А. Терентьева, А. С. Толстуху, Б. Ю. Пичугина, А. Н. Пичугину за полезное обсуждение результатов диссертации, а также А. М. Блохина (Институт математики СО РАН им. С. Л. Соболева, г. Новосибирск) и С. П. Шарого (Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск) за внимание, проявленное к работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Карелина, Раиса Олеговна

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Описан класс интегральных и дифференциальных уравнений с последействием, моделирующих динамику некоторых саморегулируемых систем, скорости производства и гибели элементов которых задаются с помощью положительных и отрицательных обратных связей.

2. Разработан способ решения систем уравнений и неравенств с изотон-ными и антитонными функциями, опирающийся на свойства невырожденных М-матриц и итерационный процесс, реализующий построение решений с помощью монотонного метода.

3. Решена задача нахождения двусторонних оценок на решения х({) и существования их предела при £ —> +оо для интегральных и дифференциальных моделей, содержащих изотонные и антитонные отображения, описывающие скорости производства и гибели элементов моделируемых систем; получен критерий асимптотической устойчивости стационарных решений этих моделей.

4. Исследован ряд моделей саморегулируемых систем, возникающих в задачах биологии и экологии, и указаны условия существования устойчивой стационарной динамики переменных моделей.

По теме диссертации опубликованы работы: [21, 22, 23, 24, 25, 44, 49]. Результаты работы докладывались:

- на б всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Кемерово, 2005 г.);

- на международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 г.);

- на 44 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2006 г.);

- на семинаре в Институте вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск, 2006 г.);

- на семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ (г. Новосибирск, 2006 г.);

- на семинарах «Математическое моделирование и численные методы» кафедры математического моделирования ОмГУ и Омского филиала института математики СО РАН им. С. Л. Соболева (г. Омск, 2004 - 2006 гг.).

Заключение

Основной итог диссертации состоит в исследовании динамики многокомпонентных саморегулируемых систем с помощью интегральных и дифференциальных уравнений, построенных с учетом последействия и обратных связей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карелина, Раиса Олеговна, 2007 год

1. Азбелев Н. В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. — М. : Наука, 1991. - 280 с.

2. Азбелев Н. В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием / Н. В. Азбелев, В. В. Малыгина // Изв. вузов. Математика. -1994. № 6. - С. 20-27.

3. Азбелев Н. В. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными / Н. В. Азбелев, П. М. Симонов. — Пермь : Изд-во Перм. ун-та, 2001. 230 с.

4. Азбелев Н. В. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом / Н. В. Азбелев, П. М. Симонов // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 6. С. 3-16.

5. Азбелев Н. В. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II / Н. В. Азбелев, П. М. Симонов // Изв. вузов. Математика. — 2000. № 4. - С. 3-13.

6. Азбелев Н. В. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. — М.: Ин-т компьютер, исслед., 2002. 384 с.

7. Бабский В. Г. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия / В. Г. Бабский, А. Д. Мышкин // Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М. : Мир, 1983. - С. 383-394.

8. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем / Н. П. Бусленко. — М. : Наука, 1978. 399 с.

9. Власов В. В. Об оценках решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / В. В. Власов, Д. А. Медведев // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 6. - С. 21-29.

10. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. — М. : Наука, 1984. — 318 с.

11. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра. М. : Наука, 1976. — 286 с.

12. Глушков В. М. Моделирование развивающихся систем / В. М. Глуш-ков, В. В. Иванов, В. М. Яненко. — М. : Наука, 1983. — 352 с.

13. Груйич Л. Т. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях / Л. Т. Груйич, А. А. Мартынюк, М. Риббенс-Павела. — Киев : Наук, думка, 1984. — 308 с.

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М. : Наука, 1967. 472 с.

15. Дьери И. Об устойчивости положений равновесия функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа, обладающих свойством смешанной монотонности / И. Дьери, Н. В. Перцев // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 297. - № 1. - С. 23-25.

16. Занг В.-Б. Синергитическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. / В.-Б. Занг. — М.: Мир, 1999.- 335 с.

17. Заславский Б. Г. Стохастическая модель роста клеточной популяции / Б. Г. Заславский // Проблемы кибернетики. — М. : Наука, 1975. С. 139-151.

18. Искусственные иммунные системы и их применение: Пер. с англ. / ред. Д. Дасгупта. — М. : Физматлит, 2006. 343 с.

19. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М. : Наука, 1984. 752 с.

20. Карелина Р. О. Применение М-матриц для решения систем нелинейных неравенств специального вида / Р. О. Карелина // Вестн. Ом. ун-та. 2006. - № 1(39). - С. 12-14.

21. Карелина Р. О. Двусторонние оценки на решения интегральных моделей некоторых систем с обратными связями / Р. О. Карелина // Вестн. Ом. ун-та. 2007. - № 1. - С. 13-18.

22. Карелина Р. О. Построение двусторонних оценок для решений некоторых систем дифференциальных уравнений с последействием / Р. О. Карелина, Н. В. Перцев // Сиб. журн. индустр. математики. 2005. - Т. 8. - № 4(24). - С. 60-72.

23. Козлов Р. И. Теория систем сравнения в методе векторных функций Ляпунова / Р. И. Козлов. — Новосибирск : Наука, 2001. — 128 с.

24. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика / Л. Коллатц. М. : Мир, 1969. - 448 с.

25. Колмановский В. Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием / В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. — М. : Наука, 1981. 448 с.

26. Краснощеков П. С. Принципы построения моделей / П. С. Краснощекое, А. А. Петров. М. : Изд-во МГУ, 1983. - 264 с.

27. Курпель Н. С. Двусторонние операторные неравенства и их применения / Н. С. Курпель, Б. А. Шувар. — Киев : Наук, думка, 1980. — 267 с.

28. Майборода И. Н. О двустороннем методе решения нелинейных уравнений / И. Н. Майборода, Л. А. Островецкий // Изв. вузов. Математика.- 1998. № 4. - С. 53-59.

29. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ. / Дж. Марри. — М. : Мир, 1983. — 397 с.

30. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии / Г. И. Марчук.- М. : Наука, 1980. 264 с.

31. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты / Г. И. Марчук. —. М. : Наука, 1991. — 300 с.

32. Моисеев Н. Н. Модели экологии и эволюции / Н. Н. Моисеев. — М. : Знание, 1983. 64 с.

33. Мэй Р. Инфекционные болезни человека. Динамика и контроль: Пер. с англ. / Р. Мэй, Р. Андерсон. М. : Мир, 2004. — 784 с.

34. Нахушев А. В. Уравнения математической биологии / А. В. Нахушев.- М. : Высшая школа, 1995. — 301 с.

35. Недорезов Л. В. Курс лекций по математической экологии / Л. В. Недорезов. — Новосибирск : Сиб. хронограф, 1997. — 161 с.

36. Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, И. Пригожин. М. : Мир, 1979. - 512 с.

37. Оболенский А. Ю. Об устойчивости решений автономных систем Ва-жевского с запаздыванием / А. Ю. Оболенский // Укр. мат. журн. — 1983. Т. 35. - С. 574-579.

38. Опойцев В. И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения / В. И. Опойцев. — М. : Наука, 1977. — 245 с.

39. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболт. — М. : Мир, 1975. 558 с.

40. Перцев Н. В. Двусторонние оценки решений интегродифференциаль-ного уравнения, описывающего процесс кроветворения / Н. В. Перцев // Изв. вузов. Математика. 2001. - № 6. - С. 58-62.

41. Перцев Н. В. Об асимптотической устойчивости нулевого решения интегральных моделей некоторых самовоспроизводящихся систем / Н. В. Перцев, Р. О. Карелина // Системы упр. и информ. технологии. 2006. - № 1(23). - С. 89-94.

42. Перцев Н. В. Об ограниченных решениях одного класса систем интегральных уравнений, возникающих в моделях биологических процессов / Н. В. Перцев // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35. — X2 6. С. 831-836.

43. Перцев Н. В. Об устойчивости нулевого решения одной системы инте-гродифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамикипопуляций / Н. В. Перцев // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 8. С. 47-53.

44. Перцев Н. В. Применение монотонного метода и М-матриц к анализу поведения решений некоторых моделей биологических процессов / Н. В. Перцев // Сиб. журн. индустр. математики. — 2002. — Т. 5. — № 4(12). С. 110-112.

45. Перцев Н. В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях динамики популяций / Н. В. Перцев // Фун-дам. и приклад, математика / Омск, ОмГУ. — 1994. — С. 119-129.

46. Пичугина А. Н. Интегродифференциальная модель популяции, подверженной воздействию вредных веществ / А. Н. Пичугина // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. - Т. 7. - № 4(20). - С. 130-140.

47. Полуэктов Р. А. Динамические модели экологических систем / Р. А. Полуэктов, Ю. А. Пых, И. А. Швытов. — JI. : Гидрометеоиз-дат, 1980. 288 с.

48. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский и др.]. М. : Наука, 1969. — 455 с.

49. Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — М. : Наука, 1997. — 316 с.

50. Семенов М. Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М. Е. Семенов. — Воронеж : Гос. техн. акад., 2002. — 104 с.

51. Сравнение двух математических моделей для описания пространственной динамики процесса свертывания крови / А. И. Лобанов и др.] // Мат. моделирование. 2003. - Т. 15. - К°-1. - С. 14-28.

52. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. М. : Мир, 1984. - 421 с.

53. Хмелевский Ю. И. Самовоспроизводящиеся системы. Математическая теория / Ю. И. Хмелевский. — М. : Наука, 1991. — 220 с.

54. Чоудхури Д. Иммунная сеть как пример сложной адаптивной системы / Д. Чоудхури // Искусственные иммунные системы и их применение. М. : Физматлит, 2006. С. 117-134.

55. Эльсгольц JI. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / JI. Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин. — М. : Наука, 1971. 296 с.

56. Allwright D. J. A global stability criterion for simple control loops / D. J. Allwright // J. Math. Biol. 1977. - V. 4. - P. 363-373.

57. Banks H. T. Global asymptotic stability of certain models for protein synthesis and repression / H. T. Banks, J. M. Mahaffy // Quart. Appl. Math. 1978. - V. 36. - P. 209-221.

58. Berman A. Nonnegative matrices in the mathematical sciences / A. Berman, R. J. Plemmons. — New York : Acad, press, 1979. — 316 p.

59. Bocharov G. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations / G. Bocharov, F. A. Rihan //J. Comput. Appl. Math. — 2000. V. 125. - P. 183-199.

60. Bocharov G. Structured population models, conservation laws and delay equations / G. Bocharov, K. P. Hadeler //J. Differential Equations. — 2000. V. 168. - P. 212-237.

61. Celada F. A computer model of cellular interactions in the immune system / F. Celada, P. E. Seiden // Immunol. Today. 1992. - V. 13. -№2.-P. 56-62.

62. Gyori I. Asymototic stability and oscillation of linear non-autonomous delay differential equations / I. Giory // Proceedings of International Conference on Theory and Applications of Differential Equations. March 21-25, 1988. Ohio, 1989. - P. 389-397.

63. Gyori I. Global attractivity in delay differential equations using mixed monotone technique / I. Gyori // J. of Math. Anal, and Appl. — 1990. — V. 152. № 1. - P. 131-155.

64. Gyori I. Interaction between oscillations and global asympototic stability in delay differential equations / I. Gyori // Differential and Integral Equations. 1990. - V. 3. - № 1. - P. 181-200.

65. Gyori I. Some mathematical aspects of modelling cell population dynamics / I. Gyori // Comput. Math. Appl. 1990. - V. 20. - № 4-6. - P. 127138.

66. Mahaffy J. M. Cellular control models with linked positive and negative feedback and delays. Linear analysis and local stability / J. M. Mahaffy // J. Theor. Biol. 1984. - V. 106. - P. 103-118.

67. Takahashi M. Theoretical basis for cell cycle analysis / M. Takahashi //J. Theor. Biol. 1968. - V. 18. - P. 195-209.