Полуэмпирическая модель турбулентности для описания высокоскоростных слоев смешения и струй, не основанная на гипотезе Буссинеска тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Трошин, Алексей Игоревич

• Трошин, Алексей Игоревич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Трошин, Алексей Игоревич

Содержание

Введение

1 Система уравнений и базовая модель турбулентности

1.1 Уравнения Рейпольдса в сжимаемой форме

1.2 Уравнение для тензора напряжений Рейнольдса

1.3 Скорость диссипации напряжений Рейнольдса

1.4 Обменный член

1.5 Корреляция "давление-дивергенция скорости"

1.6 Описание однородной турбулентности

1.7 Турбулентный перенос напряжений Рейнольдса

1.7.1 Формулировки '"несжимаемых" моделей CtJk

1.7.2 Турбулентный фронт в моделях (к — s) и (к — со)

1.7.3 Перекрестная диффузия

1.7.4 Турбулентный фронт в моделях класса DRSM

1.7.5 Модели CV,fc в сжимаемых течениях

1.8 Замыкание осредненного уравнения энергии

1.9 Выбор базовой модели турбулентности

1.10 Выводы к главе 1

2 Расчеты автомодельных слоев смешения и струй

2.1 Экспериментальные данные

2.1.1 Временной слой смешения

2.1.2 Слой смешения за уступом

2.1.3 Основной участок плоской затопленной струи

2.1.4 Основной участок круглой затопленной струи

2.2 Автомодельные расчеты

2.2.1 Уравнения в автомодельных переменных

2.2.2 Граничные условия и шаг сетки

2.2.3 Влияние нетонкослойных слагаемых

2.2.4 Расчеты по стандартным DRSM-моделям

2.2.5 Калибровка модели SSG/LRR-w по временному слою смешения

2.2.6 Предварительная калибровка модели SSG/LRR-w но слою смешения за уступом

2.2.7 Модификация модели SSG/LRR-w в слое смешения за уступом и плоской струе

2.2.8 Аномалия плоской/круглой струи

2.2.9 Предварительный вариант модели SSG/LRR-w-2

2.3 Выводы к главе 2

3 Расчеты по полным уравнениям Рейнольдса

3.1 Реализация моделей турбулентности класса DRSM в солвере ZEUS

3.2 Расчеты дозвуковых струй

3.2.1 Плоская струя

3.2.2 Круглая струя

3.3 Поправки на сжимаемость турбулентности

3.3.1 Однородное сдвиговое течение со сжимаемостью

3.3.2 Данные по сжимаемым слоям смешения

3.3.3 Поправка па сжимаемость

3.3.4 Расчеты сжимаемых слоев смешения

3.4 Выводы к главе 3

4 Расчет недорасширенной струи

4.1 Описание задачи

4.2 Расчеты по буссинесковым моделям турбулентности

4.3 Расчеты по DRSM-моделям турбулентности

4.3.1 Расчетная сетка и граничные условия

4.3.2 Анализ перехода турбулентности через скачки уплотнения

4.3.3 Результаты расчетов: влияние Tu на срезе сопла

4.3.4 Результаты расчетов: влияние учета дивергенции среднего поля скорости140

4.3.5 Результаты расчетов: влияние поправок на осссимметричность и сжимаемость турбулентных пульсаций

4.3.6 Результаты расчетов: влияние модели турбулентности

4.3.7 Замечание по действию ограничителя турбулентных потоков

4.4 Окончательная формулировка модели SSG/LRR-w-2

4.5 Выводы к главе 4

Заключение

Выводы

Список использованных источников

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полуэмпирическая модель турбулентности для описания высокоскоростных слоев смешения и струй, не основанная на гипотезе Буссинеска»

Введение

Модель турбулентности обычно является главным источником ошибок при расчетах турбулентных течений на базе уравнений Рейнольдса [1]. Несмотря на значительный прогресс в разработке моделей турбулентности за последние десятилетия, усложнение решаемых задач выявляет все новые типы течений, которые имеющимися моделями не описываются. Конечно, большие трудности представляет воспроизведение и других физических явлений, часто присутствующих в сложных течениях (горение и другие химические реакции, взаимодействие фаз в многофазных течениях), но усложнение моделей этих явлений окажется бесполезным, если турбулентность, развивающаяся на их фоне, будет моделироваться некорректно.

Цель данной работы заключается в построении математической модели струйных течений на основе полуэмпирической модели турбулентности, которая позволяет существенно улучшить описание пространственных развивающихся течений со слоями смешения и струями.

Актуальность темы диссертации определяется, с одной стороны, широким кругом физических задач и практических приложений, в которых слой смешения и струя являются определяющими факторами, а с другой стороны, отсутствием моделей турбулентности, дающих удовлетворительное соответствие расчета и эксперимента для течений данного класса.

Автомодельный слой смешения двух параллельных потоков, автомодельный основной участок плоской и круглой изобарической струи — классические задачи механики жидкости и газа. По этим течениям собрано и систематизировано большое количество экспериментальных данных [2], предложены аналитические решения, основанные на полуэмпирических моделях турбулентности [3, 4, 5, 6]. Эти данные используются при сравнении качества по-луэмпиричсскнх моделей турбулентности [7]. Тем не менее, даже моделирование плоской п круглой изобарических струй, элементами которых являются эти автомодельные течения, представляет собой трудную задачу для полуэмпирических моделей турбулентности. Это связано с тем, что струя — развивающееся течение, в котором структура турбулентности изменяется по длине. Распространенные в настоящее время модели турбулентности неправильно предсказывают длину начального участка струи, осевое распределение параметров в струе, а также профили параметров в поперечных сечениях (это будет продемонстрировано в главах 2 и 3 настоящей диссертации). Известна "аномалия плоской/круглой струи" [8], которая заключается в том, что модели турбулентности неправильно предсказывают даже направление изменений характеристик течения при переходе от плоской к круглой струе.

Слой смешения является одним из самых распространенных элементов турбулентных течений. Начальный участок любой струи и следа за телОхМ включает себя слой смешения, развивающийся вдоль поверхности, отделяющей эти течения от окружающего пространства. Существуют разнообразные задачи, в которых возникают области возвратного течения: отрыв пограничного слоя из-под скачка уплотнения [9, 10]; застойная зона за ступенчатым расширением канала [11]; висячая зона возвратного течения, возникающая при нерегулярнОхМ пересечении скачков уплотнения в иеизобарической сверхзвуковой турбулентной струе [12]. Наружная (не ограниченная стенкой) поверхность любой возвратной зоны представляет собой слой смешения между внешним течением и течением внутри зоны. При пересечении скачков

уплотнения и волн разрежения возникают контактные разрывы, которые из-за неустойчивости Кельвина-Гельмгольца [5] превращаются в турбулентные слои смешения [13].

Турбулентные струи возникают в широком круге практических приложений. Первостепенное значение имеет правильное определение характеристик турбулентных струй, создаваемых воздушно-реактивными двигателями. Одна из серьезных задач, которой сегодня уделяется много внимания, — снижение уровня шума самолета при взлете и посадке [14]. Значительная часть шума на этих режимах производится турбулентной струей, истекающей из сопла двигателя [15], поэтому при разработке двигателя приходится решать сложную проблему компромисса между высокой тягой сопла и низким шумом струи. Как правило, эти два требования противоречат друг другу. Для достижения поставленной дели приходится разрабатывать сопла сложной пространственной геометрии [14]: многоконтурные, с использованием шевронов, гофрированных смесителей, эжекторов, с разбиением сопла на секторы и др. Для корректного определения тяговых характеристик таких сопел требуется высокоточное описание турбулентных струй, взаимодействующих с поверхностью сопла. Расчет осредненной по времени структуры течения в турбулентной струе, истекающей из сопла ВРД, может быть использован для моделирования шума турбулентной струи методом возмущений [14, 16, 17]. От качества описания структуры турбулентной струи зависит правильность выбора положения элементов конструкции летательного аппарата с целыо избежания интерференции со струей [18]. Существенную роль в прямоточных воздушно-реактивных двигателях имеет псевдоскачок — область течения в канале, где происходит переход от сверхзвукового течения к дозвуковому в серии косых скачков уплотнения, сильно взаимодействующих с отрывными пограничными слоями [19]. Структура течения в псевдоскачке подобна структуре течения в сверхзвуковой неизобарической турбулентной струе: она содержит слои смешения на поверхности отрывных зон и пересекающиеся ударно-волновые структуры ("бочки"). Малое трение в отрывных зонах позволяет пренебречь вкладом вязких сил в баланс импульса в псевдоскачке и строить струйные модели этого течения [20, 21]. Одним из самых сложных пространственных развивающихся течений струйного типа является течение в струе, выдуваемой с твердой поверхности в поток газа под углом к высокоскоростному потоку, обтекающему эту поверхность [22]. Эти задачи тоже имеют важное практическое значение, так как поперечные струи возникают при инжекции топлива в камеру сгорания ВРД, а также используются в качестве органов активного управления для ракет.

При решении вышеперечисленных задач поля течения, полученные с использованием полуэмпирических моделей турбулентности, могут служить как самостоятельными расчетными данными, так и начальным приближением для расчета на базе вихреразрешающих методов [14].

Соответствие паспорту специальности. Содержание диссертации полностью соответствует задаче, указанной к паспорте специальности 01.02.05: "Задачей механики жидкости, газа и плазмы является построение и исследование математических моделей для описания параметров потоков движущихся сред в широком диапазоне условий, <...> интерпретация экспериментальных данных с целью прогнозирования и контроля природных явлений

<...>, а также разработки перспективных <...> летательных <...> аппаратов." В работе анализируются классы задач механики жидкости и газа, соответствующие областям исследований, перечисленным в паспорте специальности: "3) <...> турбулентные течения; 4) течения сжимаемых сред и ударные волны; 11) <...> слои смешения <...>; 12) струйные течения <...>".

Автору диссертации были поставлены следующие задачи:

1. Выполнить обзор современных моделей турбулентности с точки зрения их применимости к описанию течений со струями и слоями смешения; выявить физические и математические причины ошибок в описании струй и слоев смешения; рассмотреть влияние различных членов моделей турбулентности и эмпирических констант в этих членах на структуру течения.

2. Предложить модификации различных компонент уравнений для параметров турбулентности, повышающих качество описания струйных течений. Провести калибровку эмпирических констант на основе экспериментальных данных для классических струйных течений и добиться лучшего описания структуры этих течений по сравнению с существующими моделями турбулентности.

3. Продемонстрировать возможности модифицированной модели турбулентности, применив ее к описанию структуры течения в сверхзвуковой недорасширенной турбулентной струе, истекающей из круглого сопла. Данное течение исследовалось экспериментально в ИТПА1 СО РАН (г. Новосибирск) в Лаборатории экспериментальной аэрогазодинамики на струйном модуле гиперзвуковой аэродинамической трубы Т-326 [13], и автор принимал участие в некоторых из этих экспериментов. Предыдущие попытки автора выполнить моделирование данного эксперимента с использованием популярных в настоящее время моделей турбулентности показали, что современные модели позволяют дать нормальное описание течения лишь в первой "бочке" струи, а дальше начинают существенно расходиться с экспериментом.

Отправной точкой для данной работы является выбор класса моделей турбулентности, в рамках которого следует искать возможные пути решения поставленных задач. До сих пор наиболее популярными в инженерных аэродинамических расчетах остаются модели турбулентности, основанные на гипотезе Буссинеска: {к — е) [23], (к — ш) [24, 25], БЭТ [26, 27], модель Сиаларта-Альмараса [28]. Эти модели относительно просты, их легко программировать на базе промышленных солверов уравнений Навье-Стокса, они способны удовлетворительно описывать многие течения (двумерные присоединенные пограничные слои, течения в трубах и каналах, отдельные классы свободнотурбулептных течений, некоторые рециркуляционные течения, в которых преобладают силы давления и др.). Буссинесковы модели турбулентности могут служить полезным практическим инструментом, если пользователь знает их ограничения:

1. Линейная связь тензора напряжений Рейнольдса и'ги' (и"и" при осреднении по Фавру) с тензором градиентов среднего поля скорости, следующая из аналогии между тепловым движением молекул и турбулентным движением объемов газа. Из-за этой связи бусси-несковы модели не позволяют корректно описывать течения с неравновесной структурой турбулентности, с сильными пульсациями, а также течения, быстро развивающиеся в пространстве.

2. Нечувствительность к ориентации турбулентных структур и, соответственно, к анизотропии диагональных компонент и'ги'. Невозможность описания вторичных течений в каналах с сечениями, отличными от круглых.

3. Неспособность к корректному учету градиентов среднего поля скорости, кроме основного сдвигового градиента дй/ду. Большие ошибки при описании течений с кривизной линий тока, закруткой, натеканием струй на твердые поверхности.

4. Существенные расхождения расчетов с экспериментальными данными по течениям с сильным неблагоприятным градиентом давления и в областях переприсоединения потока.

Простые модификации буссинесковых моделей могут устранять известные расхождения в определенных (обычно узких) классах течений. Типичным недостатком этих модификаций является негативное воздействие на работу модели турбулентности вне тех классов течений, на которые они ориентированы. С теоретической точки зрения, более привлекательным направлением является разработка таких моделей турбулентности, в которых большая часть физических эффектов воспроизводится естественным образом, а не с помощью эмпирических поправок.

Разумными представляются следующие требования к перспективной модели турбулентности, применимой в расчетах сложных течений:

1. Приемлемо воспроизводить физику течения и турбулентности в широком круге ситуаций.

2. Удовлетворять математическим и физическим ограничениям, таким, как:

• тензорная инвариантность (инвариантность относительно преобразований системы координат);

• условия реализуемости [29]:

det ф7 > 0; ^ j

• корректное описание двухкомпонентного предела турбулентности (возникающего, например, на дне пограничного слоя, где пульсации скорости, перпендикулярные к твердой поверхности, затухают быстрее, чем пульсации, параллельные ей);

• верное асимптотическое поведение параметров турбулентности при турбулентных числах Рейнольдса Ret —> 0 и Ret —> оо.

3. Относительно легко внедряться в существующие CFD-коды и работать с относительно простыми численными методами.

4. Совместно с выбранным численным методом служить инструментом для предсказания новых сложных течений.

В настоящее время не существует моделей турбулентности, удовлетворяющих веем этим требованиям. Однако если буссинесковы модели не имеют никаких шансов на выполнение основных математических ограничений1, то дифференциальные модели для напряжений Рейнольдса (DRSM — differential Reynolds stress model) имеют по крайней мере теоретический потенциал для удовлетворения большей части вышеперечисленных требований. Эти модели представляют собой систему дифференциальных уравнений для н'Ц и параметра, определяющего скорость диссипации кинетической энергии турбулентности в тепло.

Главной отличительной чертой уравнений моделей класса DRSM является точная форма выражений для производства и[и'у Кроме этого, решение отдельного дифференциального уравнения для каждой компоненты тензора в принципе, позволяет получить верное описание полей напряжений Рейнольдса и их анизотропии. Эти факторы часто играют решающую роль в потоках со сложной конфигурацией, содержащих застойные области, вторичные течения, продольные вихри, существенно искривленные линии тока. Точное покомпонентное моделирование напряжений Рейнольдса вблизи твердых поверхностей также важно для определения трения и теплового потока. Учет сжимаемости пульсаций в обменном члене p'S-j, содержащемся в уравнениях для напряжений Рейнольдса, позволяет смоделировать влияние сжимаемости пульсаций на их анизотропию. Именно этот эффект играет главную роль в снижении скорости роста высокоскоростных слоев смешения [30] (ранее считалось, что основным эффектом сжимаемости турбулентности является появление дополнительной дилатацион-ной диссипации [31]). Еще одно следствие наличия реалистичных данных об анизотропии турбулентности — это возможность уточнения уравнения для скорости диссипации.

Основополагающими теоретическими работами по моделям турбулентности класса DRSM являются статьи Чоу [32] и Ротты [33]. Важные идеи инвариантности и реализуемости были озвучены Дональдсоном [34] и Ламли [35]. Первой DRSM-моделыо, пригодной для использования в расчетах и получившей мировую известность, стала модель Лаундера-Риса-Роди (LRR) [36, 37]. В ней используется классическая линейная по и\и'3 модель обменного члена до сих нор являющаяся одной из наиболее часто используемых в рамках подхода DRSM. Общий вид квадратичной по модели 11^ предложил Ламли [35], а се частным упрощенным случаем стала популярная модель Сиециаля-Саркара-Гатского (SSG) [38]. Было предложено множество альтернативных замыканий обменного члена, не получивших широкой известности и поэтому здесь не перечисляющихся.

1 Например, из формулы Буссинеска

видно, что в зависимости от знака и величины градиентов среднего поля скорости напряжения Рейнольдса могут принимать любой знак и любые соотношения между собой.

Для решения задач с пристенной турбулентностью были разработаны модификации моделей П^, первая из которых была включена в модель турбулентности LRR [37]. Другие популярные пристенные модификации опубликованы Гибсоном и Лаундером [39], Крафтом и Лаундером [40] и Лаундером и Ли [41]. Современными высокоточными DRSM-моделями, ориентированными на пристенные течения, являются модель Якирлика-Ханьялика JHh [42] и модель Геролимоса и др. [43]. Альтернативным и более простым подходом к построению DRSM-моделей, описывающих пристенную турбулентность, является использование уравнения для характерной частоты турбулентных пульсаций и вместо уравнения для скорости диссипации е. При этом отпадает необходимость в модификации обменного члена. Основной и широко известной моделью турбулентности, использующей этот подход, является модель Stress-w Уилкокса [7]. На ней базируется новая модель SSG/LRR-w [44], в которой также решается уравнение для ш.

В России теоретическими вопросами описания турбулентности на уровне отдельных компонент и\и' занимались В. Л. Зимонт и В. А. Сабельников [45, 46], А. Ф. Курбацкий [47], С. Р. Богданов [48, 49]. Большую работу в области моделей турбулентности, ориентированных на струйные течения, проделал А. II. Секундов [50, 51, 52], хотя его модели турбулентности принадлежат классу буссинесковых. Развитием методов моделирования крупных вихрей, преимущественно для расчетов струйных течений, занимается научная группа М. Л. Шура и М. X. Стрельца [53, 54].

Несмотря на значительные усилия многочисленных исследователей, потенциал моделей класса DRSM раскрыт все еще далеко не полностью. Они не всегда демонстрируют убедительное преимущество перед буссинесковыми моделями турбулентности и до сих пор редко применяются в практических расчетах. Из-за этого в последнее время замедлилось исследование DRSM-моделей, а в среде инженеров сложилось представление об использовании моделей этого класса как о неверном и бесперспективном пути. Основными техническими причинами для такой ситуации являются:

1. Более сложная, чем в случае буссинесковых моделей турбулентности, система уравнений. Большое количество незамкнутых членов повышает шансы на выбор неподходящих моделей для них либо неправильную их калибровку.

2. Повышенные затраты памяти и вычислительных ресурсов: наиболее известные DRSM-модели турбулентности содержат 7 дополнительных дифференциальных уравнений, а не 2, как двухпараметрические буссинесковы модели.

3. Отсутствие сильного диффузионного эффекта буссинесковой формулы для в уравнениях импульса. Вместо этого, уравнения импульса содержат производные от величин, вычисленных по отдельным дифференциальным уравнениям (да^и'к/дхк). Возникает необходимость в модификации стандартных численных методов для повышения их устойчивости при использовании DRSM-моделей.

4. Нехватка либо полное отсутствие экспериментальных данных о поведении некоторых неизвестных корреляций (в частности, содержащих пульсации давления, производные от пульсаций скорости и т. п.).

В настоящее время ситуация сильно меняется. Разработаны более общие замыкания многих компонент DRSM-моделей (в первую очередь, обменного члена ftS[p ранние модели которого и были основным препятствием к достижению преимуществ DRSM-моделей перед бусспнесковыми), мощность рабочих станций экспоненциально растет (как количество процессоров, так и объем памяти), развиваются эффективные численные методы для DRSM-моделей (некоторые реализации работают лишь на 25% медленнее, чем модель (к — е) [55]), появляется все больше результатов прямого численного моделирования турбулентности, дающих информацию о корреляциях, недоступных экспериментальному измерению. Кроме того, необходимость расчета все более сложных течений и постепенное осознание ограничений двухпараметрических буссинесковых моделей турбулентности тоже приводит к повышению интереса со стороны инженеров к перспективным классам моделей турбулентности и, в частности, к DRSM-моделям.

Следует сказать, что в последнее время много внимания уделяется моделям с алгебраическими выражениями для нелинейными относительно градиентов среднего поля скорости: обобщениям формулы Буссинеска и EARSM (explicit algebraic Reynolds stress model) — явным алгебраическим моделям для напряжений Рейнольдса [56]. По сравнению с линейными бусспнесковыми моделями, эти модели дают существенные преимущества в описании некоторых течений. Тем не менее, они основываются на сильном предположении о квази-равновссности турбулентности и остаются временным компромиссом между физичностыо и вычислительной экономичностью. По-видимому, со временем эти модели уступят место более общим DRSM-моделям турбулентности.

Проанализируем теперь применимость перечисленных основных классов моделей турбулентности к описанию сложных течений со слоями смешения и струями. Эти течения имеют следующие физические особенности: сильные градиенты давления, высокие уровни и анизотропия турбулентных пульсаций, трехмерные эффекты, быстрое изменение пространственной структуры течения, наличие зон возвратного течения и разрывов. Эти особенности влияют на развитие турбулентных потоков импульса (напряжений Рейнольдса), главным образом, через производство и обмен энергией между пульсациями в различных направлениях, а также за счет изменения скорости диссипации. Способность модели турбулентности к адекватному учету этих эффектов — главный критерий для выбора ее в качестве инструмента для решения современных струйных задач.

Очевидно, применение буссинесковых моделей турбулентности для описания таких течений не оправдано: эти модели не способны корректно описывать ни анизотропию пульсаций, ни трехмерные эффекты, ни развивающуюся турбулентность. Также они неудовлетворительно воспроизводят течения с сильными неблагоприятными градиентами давления, отрывами и взаимодействием турбулентности со скачками уплотнения. Модели турбулентности класса EARSM устраняют лишь часть этих недостатков. Гипотеза о квазиравновесности турбулентности, лежащая в основе этих моделей, не позволяет им верно воспроизводить развитие турбулентности на фоне быстро меняющегося поля градиентов скорости. Для сложных струйных задач наиболее подходящим классом моделей турбулентности представляются

ВПБМ-модели: их уравнения изначально выведены для произвольного трехмерного течения и обладают потенциалом для воспроизведения всех вышеперечисленных особенностей течений. Поэтому в настоящей работе за основу взята модель турбулентности класса ГШБМ. На основе анализа се недостатков в струйных свободнотурбулентных течениях проводится доработка модели и демонстрируются положительные результаты введенных модификаций.

Первый шаг к улучшению работы базовой модели турбулентности — это повышение качества описания простых дозвуковых затопленных струй. Как известно, буссинесковы модели турбулентности имеют тенденцию к завышению длины начального участка струй [57]. Это связано с искажением профиля скорости в слое смешения, в первую очередь на высокоскоростной границе [58], Подобное искажение проявляется и с более сложными моделями. Ярким тому примером может служить диссертация [59], в которой были рассмотрены модели турбулентности класса ЕЛИЭМ. Несмотря на тщательную калибровку коэффициентов моделей, во всех расчетах хорошо видно неправильное поведение профиля скорости на высокоскоростной границе. Наличие этой проблемы в БИЭМ-моделях продемонстрировано в работе автора [60]. В той же работе предпринята попытка решения данной проблемы путем повышения коэффициентов турбулентного переноса на границах турбулентных зон. Индикатором границы является алгебраическая формула, использующая параметры турбулентности и их градиенты, а также градиенты среднего поля скорости. Это направление можно было бы развить, дополнив модель турбулентности уравнением для коэффициента перемежаемости 7- Описав иоле 7, границы турбулентных зон можно выделить достаточно общим условием нахождения 7 в заданном интервале значений. Однако в настоящей работе будет показано, что более корректным является другой путь. Дело в том, что в расчетах временного слоя смешения по стандартным моделям турбулентности проблем с описанием границ турбулентной зоны не возникает. Значит, искажение пространственных слоев смешения связано с действием факторов, отсутствующих во временном слое смешения: продольной неоднородностью параметров течения и наличием поперечной (эжекционной) составляющей скорости. В настоящей работе разработан дополнительный источпиковый член в уравнении для характерной частоты турбулентных пульсаций и>, зависящий от продольных градиентов параметров турбулентности и поперечных градиентов эжекционной составляющей скорости и учитывающий тем самым вышеперечисленные факторы. Показано, что модель турбулентности, содержащая этот источ-никовый член, позволяет получить профили скорости в пространственных слоях смешения, лежащие в полосе разброса экспериментальных данных но всей ширине, без использования переменных коэффициентов турбулентного переноса.

Второй шаг — введение; в БПЭМ-модель физичной поправки на сжимаемость турбулентности. Известно, что турбулентность в слоях смешения очень чувствительна к конвективному числу Маха [61, 62]. В работе [30] было показано, что в сдвиговом течении основной эффект сжимаемости — это подавление обменного члена, приводящее к снижению касательного напряжения Рейнольдса и'ь'. Тем не менее, в большинстве моделей турбулентности эффекты сжимаемости до сих нор моделируются лишь в виде дополнительной «дилатационной» диссипации [7]. В настоящей работе предпринята попытка реализовать более физичную поправку,

действующую на коэффициенты модели обменного члена [63, 64]. При таком подходе моделируется не только сокращение ширины слоев смешения с ростом конвективного числа Маха и подавление кинетической энергии турбулентности, но и изменение анизотропии пульсаций.

Наконец, третий шаг, делающий модель турбулентности применимой в задачах со сверхзвуковыми областями — это работа по качественному улучшению описания перехода параметров турбулентности через скачки уплотнения в расчетах. Проанализирована проблема "взрыва" турбулентности, возникающая в БКЗМ-моделях, и предложен способ ее решения на основе приема, используемого в современной версии модели (к — со) [25] для улучшения описания отрыва пограничного слоя из-под скачка уплотнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Трошин, Алексей Игоревич, 2014 год

Список использованных источников

1. Hanjalic К. Second-moment turbulence closures for CFD: needs and prospects // Int. J. Comput. Fluid Dyn., vol. 12, pp. 67-97, 1999.

2. Абрамович Г.Н., Гиршович T.A., Крашенинников С.Ю., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Теория турбулентных струй, 2 изд., под ред. Абрамовича Т.Н. — М.: Наука, 1984.

3. Лойцяиский Л.Г. Механика жидкости и газа, 7 изд. — М.: Дрофа, 2003.

4. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика, т. 1, 5 изд. — М.: Наука, 1991.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, 5 изд. — М.: Физматлит, 2003.

6. Рейнольде А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях — М.: Энергия, 1979.

7. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD, 3rd ed. — La Cañada, CA: DCW Industries, 2006.

8. Pope S.B. An explanation of the turbulent round-jet/plane-jet anomaly // AIAA J., vol. 16, pp. 279-281, 1978.

9. Settles G.S., Vas I.E., Bogdonoff S.M. Details of a shock-separated turbulent boundary layer at a compression corner // AIAA J., vol. 14, pp. 1709-1715, 1976.

10. Жслтоводов А.А. Экспериментальные данные для сверхзвуковых отрывных течений в окрестности наклонных и прямых ступенек // Отчет ИТПМ №57/12, Новосибирск, ИТПМ СО РАН, 2012.

11. Armalyt B.F., Dursts F., Pereira J.C.F., Schonung В. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow // J. Fluid Mech., vol. 127, pp. 473-496, 1983.

12. Glotov G.F. Local subsonic zones in supersonic jet flows // Fluid Dynamics, vol. 33, .№1, pp. 117-123, 1998.

13. Бойко B.M., Достовалов А.В., Запрягаев В.П., Кавун И.Н., Киселев Н.П., Пивоваров А.А. Исследование структуры сверхзвуковых иеизобарических струй // Уч. Зап. ЦАГИ, т. 41, с. 44-58, 2010.

14. Vlasenko V., Bosniakov S., Mikhailov S., Morozov A., Troshin A. Computational approach for investigation of thrust and acoustic performances of present-day nozzles // Prog. Aerosp. Sci., vol. 46, pp. 141-197, 2010.

15. Мунин А.Г., Кузнецов B.M., Леонтьев E.A. Аэродинамические источники шума — М.: Машиностроение, 1981.

16

17

18.

19

20

21

22

23

24.

25

26,

27.

28,

29,

Власенко В.В., Михайлов С.В., Морозов А.Н. Разработка и верификация численного метода для исследования в рамках EWT-ЦАГИ тяговых и акустических характеристик сопл сложной пространственной конфигурации // Труды ЦАГИ, вып. 2671, с. 143-168, 2007.

Босняков С.М., Власенко В.В., Лысенков А.В., Михайлов С.В., Морозов А.Н. Метод инженерного расчета акустических и тяговых характеристик шумоглушащих сопл // Уч. зап. ЦАГИ, т. 41, с. 279-281, 2010.

Курсаков И.А. Численное моделирование обтекания моделей пассажирских самолетов в условиях ограниченного пространства и влияния элементов конструкции аэродинамической трубы // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, ЦАГИ, г. Жуковский, 2011.

Гуськов О.В., Копченов В.И., Липатов И.И., Острась В.Н., Старухин В.П. Процессы торможения сверхзвуковых течений в каналах — М.: Физматлит, 2008.

Козлов В.Е., Сабельников В.А. Численный метод расчета турбулентных струйных течений в каналах в приближении пограничного слоя // Труды ЦАГИ, вып. 27, 1982.

Мещеряков Е.А., Яшина В.В. Кусочно-одномерная модель псевдоскачка в каналах переменной геометрии // Уч. Зап. ЦАГИ, т. 44, №5, с. 46-63, 2013.

Ben-Yakar A. Experimental investigation of mixing and ignition of transverse jets in supersonic crossflows // Ph.D. thesis, Stanford University, Stanford, CA, 2000.

Launder B.E., Sharma B.I. Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Lett. Heat Mass Transf., vol. 1, №2, pp. 131-138, 1974.

Wilcox D.C. Reassessment of the scale determining equation for advanced turbulence models // AIAA J., vol. 26, pp. 1299-1310, 1988.

Wilcox D.C. Formulation of the к — u> turbulence model revisited // AIAA J., vol. 46, pp. 2823-2838, 2008.

Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J., vol. 32, pp. 1598-1605, 1994.

Menter F.R., Kuntz M., Langtry R. Ten years of industrial experience with the SST turbulence model // Turb. Heat Mass TYansf. 4, 8 p., 2003.

Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // AIAA paper 92-439, 22 p., 1992.

Schumann U. Realizability of Reynolds-stress turbulence models // Phys. Fluids, vol. 20, pp. 721-725, 1977.

30. Sarkar S. The stabilizing effect of compressibility in turbulent shear flow //J. Fluid Mech., vol. 282, pp. 163-186, 1995.

31. Zeman O. Dilatation dissipation — the concept and application in modelling compressible mixing layers // Phys. Fluids A, vol. 2, pp. 178-188, 1990.

32. Chou P.Y. On the velocity correlations and the solution of the equations of turbulent fluctuation // Quart. Appl. Math., vol. 3, pp. 38-54, 1945.

33. Rotta J. Statistische Theorie nichthoinogener Turbulenz // Z. Phys., vol. 129, pp. 547-572, 1951.

34. Donaldson C. duP., Rosenbaum H. Calculation of the turbulent shear flows through closure of the Reynolds equations by invariant modeling // ARAP Report 127, 1968.

35. Lurnley J.L. Computational modeling of turbulent flows // Adv. Appl. Mech., vol. 18, pp. 123-176, 1978.

36. Hanjalic K., Launder B.E. A Reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows //J. Fluid Mech., vol. 52, pp. 609-638, 1972.

37. Launder B.E., Reece G., Rodi W. Progress in the development of a Reynolds stress turbulence closure // J. Fluid Mech., vol. 68, pp. 537-566, 1975.

38. Speziale C.G., Sarkar S., Gatski T.B. Modelling the pressure-strain correlation of turbulence: an invariant dynamical systems approach //J. Fluid Mech., vol. 227, pp. 245-272, 1991.

39. Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer // J. Fluid Mech., vol. 86, pp. 491-511, 1978.

40. Craft T.J., Launder B.E. New wall-reflection model applied to the turbulent impinging jet // AIAA J., vol. 30, pp. 2970-2972, 1992.

41. Launder B.E., Li S.-P. On the elimination of wall-topography parameters from second-moment closure // Phys. Fluids, vol. 6, pp. 999-1006, 1994.

42. Jakirlic S., Hanjalic K. A new approach to modelling near-wall turbulence energy and stress dissipation // J. Fluid Mech., vol. 539, pp. 139-166, 2002.

43. Gcrolymos G.A., Lo C., Vallet I., Younis B.A. Term-by-term analysis of near-wall second-moment closures // AIAA J., vol. 50, pp. 2848-2864, 2012.

44. Cécora R.-D., Eisfeld В., Probst A., Crippa S., Radespiel R. Differential Reynolds stress modeling for aeronautics // AIAA paper 2012-0465, 18 p., 2012.

45. Зимонт В.JI., Сабельников B.A. Модель турбулентных напряжений в свободных сдвиговых течениях // Доклады АН СССР, т. 222, №3, с. 561-564, 1975.

46. Сабельников В.А. Полуэмпирическая модель для расчета коэффициента перемежаемости, условно осрсдненных скоростей и вторых моментов в турбулентных потоках // Уч. Зап. ЦАГИ, т. 16, .\«5, с. 48-59, 1985.

47. Курбацкий А.Ф. Моделирование процессов турбулентного переноса в аэрогидрофизических течениях окружающей среды // Отчет по гранту РФФИ №94-05-16287, 1994.

48. Богданов С.Р., Соболев С.И. К проблеме моделирования корреляций "давление-скорости деформаций" в теории турбулентности // Изв. РАН. МЖГ, №2, с. 42-46, 1992.

49. Богданов С.Р. Оценка адекватности нелинейных моделей для корреляций "давление-скорости деформаций" в турбулентном потоке // Журнал тех. физики, т. 79, №1, с. 28-35, 2009.

50. Секундов А.Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений // Изв. РАН. МЖГ, №5, с. 119-127, 1971.

51. Гуляев А.Н., Козлов В.Е., Секундов А.Н. К созданию универсальной однопарамет-рической модели для турбулентной вязкости // Изв. РАН. МЖГ, ДМ, с. 69-81, 1993.

52. Sccundov A.N., Strelets M.Kh., Travin А.К. Generalization of vt — 92 turbulence model for shear-free and stagnation point flow // J. Fluid Eng., vol. 123, №1, pp. 11-15, 2001.

53. Shur M., Spalart, P.R., Strelets M., Travin A. Detached-eddy simulation of an airfoil at high angle of attack // Eng. Turb. Model. Exp., vol. 4, pp. 669-678, 1999.

54. Shur M.L., Spalart P.R., Strelets M.Kh., Travin A.K. A hybrid RANS-LES approach with delayed-DES and wall-modelled LES capabilities // Int. J. Heat Fluid Flow, vol. 29, №6, pp. 1638-1649, 2008.

55. Gerolymos G.A., Vallet I. Efficient and robust implicit multigrid Reynolds-stress-model computation of 3-D compressible flows // Proc. ECCOMAS 2004, 19 p., 2004.

56. Gatski T.B., Jongen T. Nonlinear eddy viscosity and algebraic stress models for solving complex turbulent flows // Prog. Aerosp. Sci., vol. 36, pp. 655-682, 2000.

57. Georgiadis N.J., Yoder D.A. Evaluation of modified two-equation turbulence models for jet flow predictions // AIAA paper 2006-490, 16 p., 2006.

58. Clio J.R., Chung M.K. А к — e — 7 equation turbulence model // J. Fluid Mech., vol. 237, pp. 301-322, 1992.

59. Yoder D.A. Algebraic Reynolds stress modeling of planar mixing layer flows // Ph.D. thesis, University of Cincinnati, 313 p., 2005.

60. Трошин А.И. Модель турбулентности с переменными коэффициентами для расчетов слоев смешения и струй // Изв. РАН. МЖГ, № 3, с. 39-48, 2012.

61. Lele S.K. Compressibility effects on turbulence // Annu. Rev. Fluid Mech., vol. 24, pp. 211— 254, 1994.

62. Slessor M.D., Zhuang M., Dimotakis P.E. Turbulent shear-layer mixing: growth-rate compressibility scaling //J. Fluid Mech., vol. 414, pp. 35-45, 2000.

63. Huang S., Fu S. Modelling of pressure-strain correlation in compressible turbulent flow // Acta Mech. Sin., vol. 24, pp. 37-43, 2008.

64. Gomez C.A., Girimaji S.S. Toward second-moment closure modelling of compressible shear flows // J. Fluid Mech., vol. 733, pp. 325-360, 2013.

65. Favre A. Equations des gaz turbulents compressibles. I. Formes generates // J. de Mcclianique, vol. 4, № 3, pp. 361-390, 1965.

66. Власенко В.В., Михайлов С.В. Программа ZEUS для расчета нестационарных течений в рамках подходов RANS и LES // Материалы XX Школы-Семинара ЦАГИ "Аэродинамика ДА", нос. Володарского, 2009.

67. Kline S.J., Cantwell В.J., Lilley G.M. 1980-1981 AFOSR-HTTM Stanford conference on complex turbulent flows — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1981.

68. Трошин А.И., Запрягаев В.И., Киселев Н.П. Расчетно-экспериментальное исследование сверхзвуковой слабонедорасширенной струи // Труды ЦАГИ, вып. 2710, с. 111—120, 2013.

69. Власенко В.В., Кажан Е.В., Матяш Е.С., Михайлов С.В., Трошин А.И. Численная реализация неявной схемы и различных моделей турбулентности в расчетном модуле ZEUS // Труды ЦАГИ, вып. 2735, 2014. В печати.

70. Трошин А.И., Савельев А.А., Власенко В.В. Моделирование начального участка недо-расширснной струи с использованием дифференциальной модели для напряжений Рей-нольдса // статья в сборнике "Результаты фундаментальных исследований в прикладных задачах авиастроения", иод ред. Чернышева C.JI., М.: Наука, в печати.

71. Трошин А.И. Учет продольной неоднородности течения при моделировании турбулентных слоев смешения и струй // Математическое моделирование, 2015. В печати.

72. Adumitroaie V., Ristorcelli J.R., Taulbee D.B. Progress in Favre-Reynolds stress closures for compressible flows // Phys. Fluids, vol. 11, №9, pp. 2696-2719, 1999.

73. Panda J., Seasholtz R.G. Experimental investigation of the differences between Reynolds-averaged and Favre-averaged velocity in supersonic jets // NASA/TM-2005-213564, 23 p., 2005.

74

75,

76

77

78,

79,

80.

81.

82.

83,

84.

85.

86,

87,

88,

89.

Frohnapfel В., Lammers P., Jovanovic J., Durst F. Interpretation of the mechanism associated with turbulent drag reduction in terms of anisotropy invariants //J. Fluid Mech., vol. 577, pp. 457-466, 2007.

Колмогоров A.H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Доклады АН СССР, т. 30, с. 299-303, 1941.

Sarkar S., Erlebacher G., Hussaini M.Y., Kreiss H.O. The analysis and modelling of dilatational terms in compressible turbulence // J. Fluid Mech., vol. 227, pp. 473-493, 1991.

Bradshaw P., Perot J.B. A note on turbulent energy dissipation in the viscous wall region // Phys. Fluids A, vol. 5, .\П2, pp. 3305-3306, 1993.

Speziale C.G., Sarkar S. Second-order closure models for supersonic turbulent flows // AIAA paper 91-0217, 11 p., 1991.

Speziale C.G. Discussion of turbulence modeling; past and future // in "Whither Turbulence? Turbulence at the Crossroads" (ed. Lumley J.L.). Lecture Notes in Physics, vol. 357, pp. 490512, 1990.

Coleman G.N., Mansour N.N. Modeling the rapid compression of isotropic turbulence // Phys. Fluids A., vol. 3., №9, pp. 2255-2259, 1991.

Jones W.P., Launder B.E. The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence // Int. J. Heat Mass Transf., vol. 15, pp. 301-314, 1972.

Daly B.J., Harlow F.H. Transport equations in turbulence // Phys. Fluids, vol. 13, pp. 26342649, 1970.

Sarkar S. The pressure-dilatation correlation in compressible flows // Phys. Fluids A, vol. 4, .V12, pp. 2674-2682, 1992.

Wilcox D.C. Dilatation-dissipation corrections for advanced turbulence models // AIAA J., vol. 30, pp. 2639-2646, 1992.

Vreman A.W., Sandham N.D., Luo K.H. Compressible mixing layer growth rate and turbulence characteristics //J. Fluid Mech., vol. 320, pp. 235-258, 1996.

Livescu D., Jaberi F.A., Madnia C.K. The effects of heat release on the energy exchange in reacting turbulent shear flow //J. Fluid Mech., vol. 450, pp. 35-66, 2002.

Blaisdell G.A., Mansour N.N., Reynolds W.C. Compressibility effects on the growth and structure of homogeneous turbulent shear flow // J. Fluid Mech., vol. 256, pp. 443-485, 1993.

Колмогоров A.H. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР серия физ., т. 6, с. 56-58, 1942.

Sarkar S., Speziale C.G. A simple nonlinear model for the return to isotropy in turbulence // Phys. Fluids A., vol. 2, №1, pp. 84-93, 1990.

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99.

100.

101.

102.

103,

Joncs W.P., Musonge P. Closure of the Reynolds stress and scalar flux equations // Phys. Fluids, vol. 31, №12, pp. 3589-3604, 1988.

Crow S.C. Viscoelastic properties of fine-grained incompressible turbulence // J. Fluid Mech., vol. 33, pp. 1-20, 1968.

Tavoularis S., Corrsin S. Experiments in nearly homogeneous turbulent shear flows with a uniform mean temperature gradient. Part I // J. Fluid. Mech., vol. 104, pp. 311-347, 1981.

Bertoglio J.P. Homogeneous turbulent field within a rotating frame // AIAA J., vol. 20, pp. 1175-1181, 1982.

Grigoriev I.A., Wallin S., Brethouwer G., Johansson A.V. A realizable explicit algebraic Reynolds stress model for compressible flows with significant mean dilatation // Phys. Fluids, vol. 25, 105112, 2013.

Gerolymos G.A., Sauret E., Vallet I. Contribution to single-point closure Reynolds-stress modelling of inhornogeneous flow // Theoret. Comput. Fluid Dyn., vol. 17, pp. 407-431, 2004.

Jakirlie S., Eisfeld B., Jester-Ziirker R., Tropea C., Kroll N. Computational modelling of transonic aerodynamic flows using near-wall, Reynolds stress transport models //in Results of the closing symposium of the MEGADESIGN and MegaOpt projects, Braunschweig, Germany (eds. Kroll N. et al.), vol. 107, pp. 73-92, 2009.

Blaisdell G.A., Mansour N.N., Reynolds W.C. Numerical simulation of compressible homogeneous turbulence // Stanford Univ. Report TF-50, 1991.

Sarkar S., Erlebacher G., Hussaini M.Y. Direct simulation of compressible turbulence in a shear flow // Theor. Comput. Fluid Dyn., vol. 2, pp. 291-305, 1991.

Zcman O. On the decay of compressible isotropic turbulence // Phys. Fluids A, vol. 3, №5, pp. 951-955, 1991.

Zcman O. A new model for super/hypersonic turbulent boundary layers // AIAA paper 93-0897, 10 p., 1993..

Aupoix B., Blaisdell C.A., Reynolds W.C., Zeman O. Modelling the turbulent kinetic energy equation for compressible, homogeneous turbulence // Proc. Summer Program, Center for Turbulence Research, Stanford, 1990.

El Baz A.M., Launder B.E. Second-moment modelling of compressible mixing layers // in Engineering Turbulence Modelling and Experiments 2 (eds. Rodi W., Martelli F.), Elsevier, Amsterdam, pp. 63-72, 1993.

Friedrich R. Modelling of turbulence in compressible flows //in Transition, Turbulence and Combustion Modelling (eds. A. Hanifi et al.), ERCOFTAC Series, vol. 6, pp. 243-348, 1999.

104. Comte-Bellot G., Corrsin S. Simple eulerian time correlation of full and narrow-band velocity signals in grid-generated, "isotropic" turbulence // J. Fluid Mech., vol. 48, pp. 273-337, 1971.

105. Nagib H.M., Wigeland R.A. Effects of rotation on decay of turbulence // Bull. Am. Phys. Soc., vol. 23, pp. 998-998, 1978.

106. Riley J.J., de Bruyn Kops S.M. Direct numerical simulation of laboratory experiments in isotropic turbulence // Phys. Fluids, vol. 10, pp. 2125-2127, 1998.

107. Le Penven L., Gcnce J.N., Comte-Bellot G. On the approach to isotropy of homogeneous turbulence: effect of the partition of kinetic energy among the velocity components //in Frontiers in Fluid Mechanics (eds. Davis S.H., Lumlcy J.L.), Springer, pp. 1-21, 1985.

108. Champagne F.H., Harris V.G., Corrsin S. Experiments on nearly homogeneous shear flow // J. Fluid. Mech., vol. 41, pp. 81-139, 1970.

109. Tavoularis S., Karnik U. Further experiments on the evolution of turbulent stresses and scales in uniformly sheared turbulence // J. Fluid. Mech., vol. 204, pp. 457-478, 1989.

110. Rogers M.M., Moin P The structure of the vorticity field in homogeneous turbulent flows // J. Fluid Mech., vol. 176, pp. 33-66, 1987.

111. Isaza J.C., Warhaft Z., Collins L.R. Experimental investigation of the large-scale velocity statistics in homogeneous turbulent shear flow // Phys. Fluids, vol. 21, 065105, 2009.

112. Isaza J.C., Collins L.R. Effect of the shear parameter on velocity-gradient statistics in homogeneous turbulent shear flow //J. Fluid Mech., vol. 678, pp. 14-40, 2011.

113. Yu D., Girimaji S.S. DNS of homogenous shear turbulence revisited with the lattice Boltzmann method // J. Turbulence, vol. 6, №6, pp. 1-17, 2005.

114. George W.K. Asymptotic effect of initial and upstream conditions on turbulence // J. Fluids Eng., pp. 134, №6, 061203, 27.2012

115. Rogers M.M., Moin P., Reynolds W.C. The structure and modeling of the hydrodynamic and passive scalar fields in homogeneous turbulent shear flow // Stanford University Technical Report TF-25, 1986.

116. Mellor G.L., Herring H.J. A survey of mean turbulent field closure models // AIAA J., vol. 11, pp. 590-599, 1973.

117. Hussein H.J., Capp S.P., George W.K. Velocity measurements in a high-Reynolds-number, momentum-conserving, axisyinmetric, turbulent jet // J. Fluid Mech., vol. 258, pp. 31-75, 1994.

118. Cazalbou J.B., Chassaing P. The structure of the solution obtained with Rcynolds-stress-transport models at the free-stream edges of turbulent flows // Phys. Fluids, vol. 14, pp. 597-611, 2002.

119

120

121

122

123

124.

125

126

127

128.

129

130

131.

132

133

134.

135.

Shir С.С. A preliminary numerical study of atmospheric turbulent flows in the idealized planetary boundary layer //J. Atmos. Sei., vol. 30, pp. 1327-1339, 1973.

Cazalbou J.В., Spalart P.R., Bradshaw P. On the behavior of two-equation models at the edge of a turbulent region // Phys. Fluids, vol. 6, pp. 1797-1804, 1994.

Pope S.B. Turbulent flows — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000.

Kok J.С. Resolving the dependence on freestream values for the к — u> turbulence model // AIAA J., vol. 38, pp. 1292-1295, 2000..

Bowersox R.D.W. Extension of equilibrium turbulent heat flux models to high-speed shear flows // J. Fluid Meeh., vol. 663, pp. 61-70, 2009.

Bell J.H., Mehta R.D. Development of a two-stream mixing layer from tripped and untripped boundary layers // AIAA J., vol. 28, pp. 2034-2042, 1990.

Rogers M.M., Moser R.D. Direct simulation of a self-similar turbulent mixing layer // Phys. Fluids, vol. 6, pp. 903-923, 1994.

Liepmann H.W., Laufer J. Investigations of free turbulent mixing // NACA TN-1257, 1947.

Wygnanski I.J., Fiedler H.E. The two-dimensional mixing region //J. Fluid Mech., vol. 41, pp. 327-361, 1970.

Champagne F.H., Pao Y.H., Wygnanski I.J. On the two-dimensional mixing region //J. Fluid Meeh., vol. 74, pp. 209-250, 1976.

Morris S.C., Foss J.F. Turbulent boundary layer to single-stream shear layer: the transition region // J. Fluid Mech., vol. 494, pp. 187-221, 2003.

Oster D., Wygnanski I. The forced mixing layer between parallel streams //J. Fluid Mech., vol. 123, pp. 91-130, 1982.

Reichardt H. Gesetzmäßigkeiten der freien Turbulenz // VDI-Forschungsheft, vol. 13, pp. 1-22, 1942. См. также Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя — М.: Наука, 1974.

Patel R.P. An experimental study of a plane mixing layer // AIAA J., vol. 11, pp. 67-71, 1973.

Yule A.J Two-dimensional self-preserving turbulent mixing layers at different free stream velocity ratios // Ministry of Defence. Aeronautical Research Council Reports and Memoranda №3683, 37 p., 1972.

Трошин А.И. Численное моделирование течений со свободной турбулентностью // Выпускная квалификационная работа бакалавра, МФТИ, 2009.

Hussain А.K.M.F., Zedan M.F. Effects of the initial condition on the axisymmetric. free shear layer: effects of the initial momentum thickness // Phys. Fluids, vol. 21, pp. 1100-1112, 1978.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145

146

147.

148,

149

150

Bradbury L.J.S. The structure of a self-preserving turbulent plane jet //J- Fluid Mech., vol. 23, pp. 31-64, 1965.

Hcskestad G. Hot-wire measurements in a plane turbulent jet // J. Appl. Mech., vol. 32, pp. 721-734, 1965.

Gutmark E., Wygnanski I.J. The planar turbulent jet // J. Fluid Mech., vol. 73, pp. 465-495, 1976.

Ramaprian B.R., Chandrasckhara M.S. LDA measurements in plane turbulent jets //J. Fluids Eng., vol. 107, pp. 264-271, 1985.

Stanley S.A., Sarkar S., Mellado J.P. A study of the flow-field evolution and mixing in a planar turbulent jet using direct numerical simulation //J. Fluid Mech., vol. 450, pp. 377-407, 2002.

Wygnanski I., Fiedler H. Some measurements in the self-preserving jet //J. Fluid. Mech., vol. 38, pp. 577-612, 1969.

Panchapakesan N.R., Lumley J.L. Turbulence measurements in axisymmetric jets of air and helium. Part I. Air jet // J. Fluid Mech., vol. 246, pp. 197-223, 1993.

Bogey C., Bailly C. Turbulence and energy budget in a self-preserving round jet: direct evaluation using large eddy simulation //J. Fluid Mech., vol. 627, pp. 129-160, 2009.

Lipari G., Stansby P.K. Review of experimental data on incompressible turbulent round jets // Flow Turb. Combust., vol. 87, pp. 79-114, 2011.

El Baz A., Craft T.J., Ince N.Z., Launder B.E. On the adequacy of the thin-shear-flow equations for computing turbulent jets in stagnant surroundings // Int. J. Heat Fluid Flow, vol. 14, pp. 164-169, 1993.

Трошин А.И. Применение DRSM-модсли турбулентности для расчетов слоев смешения и струй // Магистерская диссертация, МФТИ, 2011.

Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя — М.: Наука, 1974.

Сборник "Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных по времени уравнений Навьс-Стокса" // Труды ЦАГИ, вып. 2671, 212 е., 2007.

Berthon С., Coquel F., Hérard J.M., Uhlmann M. An approximate solution of the Riemann problem for a realisable second-moment turbulent closure // Shock Waves, vol. 11, pp. 245-269, 2002.

Ben Nasr N., Gerolymos G.A., Vallet I. The Riemann problem for Reynolds-stress-transport in RANS and VLES // Comput. Fluid Dyn., vol. 38, pp. 723-729, 2009.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159

160,

161

162

163

164

165

166

Miller D.R., Comings E.W. Static pressure distribution in the free turbulent jet //J. Fluid Mech., vol. 3, pp. 1-16, 1957.

Huang J., Hsiao F. On the mode development in the developing region of a plane jet // Phys. Fluids, vol. 11, pp. 1847-1857, 1999.

Klein M., Sadiki A., Janicka J. Investigation of the influence of the Reynolds number on a plane jet using direct numerical simulation // Int. J. Heat Fluid Flow, vol. 24, pp. 785-794, 2003.

Deo R.C., Mi J., Nathan G.J. The influence of nozzle-exit geometric profile on statistical properties of a turbulent plane jet // Exp. Thermal Fluid Sci., vol. 32, pp. 545-559, 2007.

Deo R.C., Mi J., Nathan G.J. The influence of nozzle aspect ratio on plane jets // Exp. Thermal Fluid Sci., vol. 31, pp. 825-838, 2007.

Deo R.C., Mi ,J., Nathan G.J. The influence of Reynolds number on a plane jet // Phys. Fluids, vol. 20, pp. 075108, 2008.

Hussain A.K.M.F., Ray Clark A. Upstream influence on the near field of a plane turbulent jet // Phys. Fluids, vol. 20, №9, pp. 1416-1426, 1977.

Alnahhal M., Panidis Th. The effect of sidewalls on rectangular jets // Exp. Thermal Fluid Sci., vol. 33, pp. 838-851, 2009.

J.C. Lau, P.J. Morris, M.J. Fischer Measurements in subsonic and supersonic free Jets Using a Laser Velocimeter // J. Fluid Mech., vol. 93, pp. 1-27, 1979.

Crow S.C., Champagne F.H. Orderly structure in jet turbulence //J. Fluid Mech., vol. 48, pp. 547-591, 1971.

Bridges J., Wernet M. Measurements of the aeroacoustic sound source in hot jets // AIAA paper 2003-3130, 11 p., 2003.

Bridges J., Wernet M. Establishing consensus turbulence statistics for hot subsonic jets // AIAA paper 2010-3751, 41 p., 2010.

Darisse A., Lemay J., Bena'issa A. LDV measurements of well converged third order moments in the far field of a free turbulent round jet // Exp. Thermal Fluid Sci., vol. 44, pp. 825-833, 2013.

Pantano C., Sarkar S. A study of compressibility effects in the high-speed, turbulent shear layer using direct simulation // J. Fluid Mech., vol. 451, pp. 329-371, 2002.

Papamoschou D., Roshko A. The compressible turbulent shear layer: an experimental study // J. Fluid Mech., vol. 197, pp. 453-477, 1988.

Eliott G.S., Samimy M. Compressibility effects in free shear layers // Phys. Fluids A, vol. 2, №7, pp. 1231-1240, 1990.

167. Goebcl S.G., Dutton J.С. Experimental study of compressible turbulent mixing layers // AIAA J., vol. 29, pp. 538-546, 1991.

168. Rossmann T. An experimental investigation of high compressibility mixing layers // Stanford University Technical Report TSD-138, 2001.

169. Marzougui H., Khlifi H., Lili T. Extension of the Launder, Reece and Rodi model on compressible homogeneous shear flow // Eur. Phys. J. B, vol. 45, pp. 147-154, 2005.

170. Fujiwara H., Matsuo Y., Arakawa C. A turbulence model for the pressure-strain correlation term accounting for compressibility effects // Int. J. Heat Fluid Flow, vol. 21, pp. 354-358, 2000.

171. Lee S., Lele S.K., Moin P. Eddy shocklets in decaying compressible turbulence // Phys. Fluids A, vol. 3, pp. 657-664, 1991.

172. Suzen Y.B., Hoffmann K.A. Investigation of supersonic jet exhaust flow by one- and two-equation turbulence models // AIAA paper 98-0322, 11 p., 1998.

173. Bartosiewicz Y., Mercadier Y., Proulx P. Numerical investigations on dynamics and heat transfer in a turbulent underexpanded jet // AIAA J., vol. 40, pp. 2257-2265, 2002.

174. Молчанов A.M. Расчет сверхзвуковых неизобарических струй с поправками на сжимаемость в модели турбулентности // Вестник МАИ, т. 16, с. 38-48, 2009.

175. Исаев С.А., Лигшицкий Ю.М., Баранов П.А., Панасенко А.В., Усачов А.Е. Моделирование турбулентной сверхзвуковой недорасширенной струи, истекающей в затопленное пространство, с помощью модели переноса сдвиговых напряжений // Инженерно-физический журнал, т. 85, с. 1253-1267, 2012.

176. Глушко Г.С., Иванов И.Э., Крюков И.А. Моделирование турбулентности в сверхзвуковых струйных течениях // Физико-химическая кинетика в газовой динамике, т. 9, №1, с. 172-179, 2010.

177. Дейч М.Е. Техническая газодинамика, 3 изд. — М.: Энергия, 1974.

178. Gatski Т.В., Bonnet J.-P. Compressibility, turbulence and high speed flow — Amsterdam: Elsevier, 2009.

179. Martell M.B., Perot J.B. The oriented-eddy collision turbulence model // Flow Turbulence Combust., vol. 89, pp. 335-359, 2012.