Поглощающие структуры с цилиндрическими и сферическими элементами типа электромагнитных черных дыр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чижевская Яна Игоревна

• Чижевская Яна Игоревна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Чижевская Яна Игоревна

Введение

Глава 1. Цилиндрическая черная дыра

1.1. Цилиндр с неоднородной поглощающей центральной областью

1.2. Цилиндр с поглощающей оболочкой

1.3. Метаматериальная черная дыра

1.3.1. Геометрооптический анализ

1.3.2. Постановка задачи и представление полей

1.3.3. Аналитическое решение

1.3.4. Численное решение

1.4. Численные результаты

1.4.1. Диэлектрический цилиндр

1.4.2. Магнето-диэлектрический цилиндр

1.5. Выводы

Глава 2. Сферическая черная дыра

2.1. Постановка задачи и метод решения

2.2. Численные результаты

2.3. Выводы

Глава 3. Периодическая структура из цилиндрических черных дыр

3.1. Постановка задачи

3.2. Е-поляризация

3.3. Н-поляризация

3.4. Случай структуры на экране

3.5. Численные результаты

3.6. Выводы

Глава 4. Периодическая структура из сферических черных дыр

4.1. Постановка и метод решения задачи

4.2. Соотношение энергетического баланса

4.3. Численные результаты

4.4. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поглощающие структуры с цилиндрическими и сферическими элементами типа электромагнитных черных дыр»

Введение

Актуальность темы. Разработка поглощающих элементов и поглощающих структур представляет большой интерес для ряда технических приложений. К таким приложениям относятся средства электромагнитной совместимости [1-3], включая средства ослабления перекрестных помех между оптоэлектронными устройствами, радиоканалами и антенными системами, радиопоглощающие покрытия для безэховых камер [4-6], поглощающие покрытия для снижения эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) объектов в радиолокации [7-9], а также концентраторы света и ячейки в солнечных батареях [10-12]. Этот интерес проявляется как в направлении создания новых конструкций элементов с применением новых материалов, таких как метама-териалы [13, 14], включая материалы с отрицательным показателем преломления [15], так и в направлении повышения эффективности методов их численного анализа, используемого при их проектировании и исследовании.

Современные требования для поглощающих элементов в ряде случаев включают близкую к 100% эффективность поглощения в широкой полосе частот и в широком секторе углов падения волны. Одним из перспективных типов элементов, удовлетворяющих указанным требованиям, является так называемая оптическая или электромагнитная черная дыра. Такой элемент был впервые предложен в [16] в форме кругового диэлектрического цилиндра с поглощающей однородной центральной частью и цилиндрической ра-диально неоднородной оболочкой без потерь, а также в форме диэлектрической сферы с центральной поглощающей сферической областью и радиально неоднородной сферической оболочкой. Относительная диэлектрическая проницаемость оболочки в предложенном поглотителе определяется формулой £(г)=(а/г) , где а - внешний радиус поглотителя и г - радиальная координата. Благодаря указанному профилю диэлектрической проницаемости, геометро-оптические лучи, входящие в рассматриваемый элемент, далее, двигаясь по

спиральным траекториям, доходят до центрального цилиндра или сферы, где как раз и должно происходить их поглощение.

Еще одна версия, которую ее авторы называют фотонной черной дырой, с проницаемостью Ер)=(а/ру без центральной части в общем случае была исследована в [17], где, в частности, была рассмотрена фотонная ловушка, соответствующая у>2.

Последующие исследования одиночных поглотителей типа тех, что были предложены в [16] и [17], были проведены в работах [18-25], а также в некоторых других публикациях, указанных там.

Наконец, авторы статьи [26] предложили радиально неоднородный поглотитель, который, в отличие от вышеупомянутых чисто диэлектрических поглотителей (с относительной магнитной проницаемостью /л=1), использует материал с проницаемостями е(р)=1и(р)=(-1+18)а1/р, где 8 - параметр, определяющий потери (соответствующий зависимости от времени в~ш). Действительные части диэлектрической и магнитной проницаемости материала в указанном поглотителе являются отрицательными. Такие материалы, ряд замечательных свойств которых описан в работе В.Г. Веселаго [15], относятся к метаматериалам, и поэтому поглотитель, рассмотренный в [26], назван авторами метаматериальной черной дырой.

Особенность конструкции поглотителей [16] и [18-25] состоит в том, что хотя проницаемость оболочки без потерь непрерывно переходит в действительную часть проницаемости однородной центральной области, зависимость мнимой части проницаемости элемента от радиальной координаты испытывает скачок на границе оболочки и центральной области. Наличие указанного скачка приводит к частичному отражению электромагнитной энергии лучей, приходящих к границе, что в свою очередь должно приводить к снижению эффективности поглощения. В связи с указанной особенностью представляется актуальным рассмотреть и исследовать модификации поглотителя [16], в которых обеспечивается непрерывность профиля проницаемости и по мнимой части его диэлектрической проницаемости, что позволит

снизить отражения на внутренней границе поглотителя и тем самым увеличить эффективность поглощения.

Поглотитель, предложенный в [26], исследован в предположении очень малых значений параметра потерь и радиусе центральной области, стремящемся к нулю, что теоретически позволяет достигать эффективность поглощения, многократно превышающую классический предел для черных тел больших размеров [27]. Однако, представляет интерес и представляется актуальным рассмотреть модификации поглотителя [26] при реалистичных значениях параметра потерь и радиуса центральной области при обеспечении непрерывности профиля показателя преломления, включая сравнение характеристик такого поглотителя при использовании материалов с положительными и отрицательными проницаемостями.

Обзор публикаций, указанных выше, показывает, что одиночные поглотители в виде черных дыр различных модификаций уже достаточно подробно исследованы. Менее исследована эффективность применения цилиндрических и сферических поглотителей в качестве элементов поглощающих структур. Одномерно периодические структуры с двухслойными цилиндрическими поглощающими элементами рассмотрены в [28], где показано достижение эффективности поглощения 96%-97% в сравнительно узкой полосе частот. Высокая эффективность поглощения в узкой полосе частот наблюдалась в решетках однородных нано-цилиндров из серебра [29]. В работе [30] приведены результаты для оптимизированной решетки неоднородных диэлектрических цилиндров, обеспечивающей эффективность поглощения не ниже 98% в полосе частот 8-18 ГГц. Двумерно-периодически решетки сферических элементов рассматривались в работах [31] и [32], где продемонстрированы пиковые значения эффективности поглощения порядка 90%. Работ, где рассматривались бы цилиндрические и сферические черные дыры в виде элементов поглощающих периодических структур, найдено не было. Учитывая, что согласно результатам, полученным при исследовании одиночных черных дыр, такие элементы имеют хорошие потенциальные возможно-

сти, представляется актуальным исследовать их применение также и в периодических поглощающих структурах.

Как уже отмечалось выше, поглощающие элементы типа электромагнитных черных дыр и структуры, образованные из таких элементов, являются неоднородными диэлектрическими или магнето-диэлектрическими объектами. Аналитическое и численное исследование характеристик электромагнитного рассеяния и поглощения для таких объектов может проводиться с использованием следующих методов:

- метода собственных функций, позволяющего получить решение в аналитической форме для некоторых профилей показателя преломления в одиночных радиально неоднородных цилиндрических и сферических рассеи-вателях; примеры таких решений можно найти в [33-36], [16], [17] и [25];

- численно-аналитического метода, основанного на кусочно-постоянной аппроксимации профиля показателя преломления в одиночных цилиндрических и сферических рассеивателях с последующим применением метода собственных функций для представления полей в однородных цилиндрических и сферических слоях и сшиванием полей на границах последних [25], [37-41];

- метода интегральных уравнений для токов поляризации [42-44] и родственного ему метода дискретной дипольной аппроксимации (Discrete Dipole Approximation или сокращенно DDA) [45,46];

- метода конечных элементов [47-49], [50, гл. 4];

- метода конечных разностей в частотной области [37,51], [50, гл. 2];

- метода конечных разностей во временной области [52,53], [50, гл. 3];

- группы проекционных методов, сводящих задачу к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, включающей неполный метод Галер-кина [54,55], метод связанных волн и его модификации [56-58], метод поперечных сечений [59,60] и гибридный проекционный метод (ГПМ) [61-64].

Дополнительные ссылки по методам анализа неоднородных объектов будут даны при рассмотрении конкретных задач в каждой их последующих глав работы.

Согласно ГПМ [61-64], в рассмотрение вводятся области пространства, поля в которых раскладываются по полной системе поперечных функций, и осуществляется их проекционное сшивание на границах областей. Уравнения Максвелла для полей в области, содержащей неоднородный объект, проектируются на указанные поперечные функции, что приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) для коэффициентов разложения, зависящих от продольной координаты. Полученные ДУ решаются с использованием одномерного метода конечных элементов в проекционной форме, сводящим задачу к системе линейных алгебраических уравнений с разреженной блочной трех-диагональной матрицей.

Как отмечено в работах [63], [64] и [65], гибридный проекционный метод в ряде задач имеет определенные преимущества перед другими методами, перечисленными выше. В частности, хотя методы [37-41], использующие многослойные модели, также сводят задачу к СЛАУ с разреженной матрицей, разреженные матрицы в ГПМ при том же числе отрезков разбиения радиуса рассеивателя имеют вдвое меньший порядок и содержат примерно в 2.5 раза меньше ненулевых элементов, требующих расчета. При прочих равных условиях, расчет матричных элементов и решение СЛАУ с разреженными матрицами в ГПМ требует существенно меньшего времени по сравнению с методами интегральных уравнений [42-46], сводящими задачу к СЛАУ с полностью заполненными матрицами. Электромагнитные поля в однородных и неоднородных областях, вводимых в ГПМ, раскладываются по одним и тем же поперечным функциям. В результате имеет место естественное сопряжение полей на границах областей согласно парциальным условиям излучения [66], в отличие метода конечных элементов [47-49] и метода конечных разностей [52,53], в которых требуется использование идеальных поглощающих слоев [67,68,48-50,53], ограничивающих область расчетов, наличие которых

усложняет алгоритмы. Кроме того, ГПМ использует простейшие одномерные конечные элементы, что существенно упрощает алгоритм по сравнению с использованием более сложных двумерных и трехмерных конечных элементов при общих подходах к решению задач методом конечных элементов [47-49].

Эффективность ГПМ была продемонстрирована в [61] и [62] при анализе рассеяния электромагнитных волн на одномерно и двумерно периодических структурах, а также в [63] и [64] при анализе рассеяния волн на одиночных радиально неоднородных цилиндрах и сферах. Радиальная неоднородность цилиндрических и сферических элементов в [63, 64] имела место только для диэлектрической проницаемости, а магнитная проницаемость считалась постоянной. Однако представляет интерес рассмотреть случаи, когда профиль магнитной проницаемости также является зависящим от радиальной координаты. Чисто диэлектрические элементы в структурах, рассмотренных в [61, 62], считались неоднородными только в продольном направлении, а при использовании магнето-диэлектрических черных дыр в качестве элементов поглощающих структур требуется учитывать неоднородность элементов не только по диэлектрической проницаемости, но и по магнитной, и уже во всех декартовых направлениях. Таким образом, разработка новых модификаций ГПМ, позволяющих учитывать радиальную неоднородность и для диэлектрической проницаемости и для магнитной проницаемости в одиночных цилиндрических и сферических черных дырах, а также и в таких же черных дырах, используемых в качестве элементов поглощающих структур, также является актуальной.

Целью работы является разработка и исследование новых алгоритмов, основанных на гибридном проекционном методе, для решения задач рассеяния электромагнитных волн на двухслойных радиально неоднородных цилиндрических и сферических магнето-диэлектрических черных дырах и периодических структурах, образованных из указанных элементов, а также ис-

следование характеристик рассеяния и поглощения волн указанными элементами и структурами с использованием разработанных алгоритмов. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:

1. Задача рассеяния и поглощения плоской электромагнитной волны ра-диально неоднородным магнето-диэлектрическим цилиндром типа электромагнитной черной дыры.

2. Задача рассеяния и поглощения плоской электромагнитной волны ра-диально неоднородной магнето-диэлектрической сферой типа электромагнитной черной дыры.

3. Задача рассеяния и поглощения плоской электромагнитной волны на одномерно периодической структуре, образованной радиально неоднородными цилиндрическими магнето-диэлектрическими элементами типа электромагнитных черных дыр, которые могут быть расположены как на однородной подложке, так и на идеально проводящем экране.

4. Задача рассеяния и поглощения плоской электромагнитной волны на двумерно периодической структуре, образованной радиально неоднородными сферическими магнето-диэлектрическими элементами типа электромагнитных черных дыр, расположенных на однородной подложке без экрана и с идеально проводящим экраном.

Таким образом, объектом исследования в работе являются электромагнитные волны, рассеиваемые и поглощаемые одиночными радиально неоднородными цилиндрическими и сферическими элементами типа электромагнитных черных дыр, а также периодическими структурами, образованными указанными элементами. Предметом исследования при этом являются математические модели одиночных радиально неоднородных цилиндрических и сферических электромагнитных черных дыр и периодических структур, образованных указанными элементами, а также характеристики рассеяния и поглощения волн указанными элементами и структурами. Объект и

предмет исследования соответствуют паспорту специальности 1.3.4 - Радиофизика, п. 2.

Методы исследования, использованные в работе, включают методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы их решения, метод геометрической оптики, проекционные методы, метод конечных элементов и методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Научная новизна в работе характеризуется следующими результатами.

1. Предложен непрерывный профиль комплексных диэлектрической и магнитной проницаемостей в цилиндрических и сферических электромагнитных черных дырах, позволяющий уменьшить отражения волн на границе оболочки и внутренней области и, тем самым, повысить эффективность поглощения элемента по сравнению с его исходными вариантами.

2. Найдены новые аналитические решения обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих полям в неоднородных магнето-диэлектрических слоях, образующих цилиндрические поглощающие элементы типа электромагнитных черных дыр.

3. Разработаны новые численные алгоритмы гибридного проекционного метода, позволяющие решать задачи рассеяния и поглощения электромагнитных волн одиночными цилиндрическими и сферическими черными дырами, характеризующимися не только переменным профилем диэлектрической проницаемости, как это учитывалось в предыдущих алгоритмах, но и переменным профилем магнитной проницаемости.

4. Получены новые результаты, касающиеся эффективности поглощения волн в одиночных цилиндрических и сферических черных дырах, включая черные дыры, использующие как обычные диэлектрические и магнето-диэлектрические материалы с положительным показателем преломления, так

и метаматериалы с отрицательным показателем преломления. Показано, что магнето-диэлектрические черные дыры могут обеспечивать более высокую эффективность поглощения по сравнению с их чисто диэлектрическими вариантами, а черные дыры с отрицательным показателем преломления могут обеспечивать более высокую эффективность поглощения по сравнению с черными дырами, выполненными из материала с положительным показателем преломления.

5. Впервые рассмотрены задачи и разработаны новые численные алгоритмы гибридного проекционного метода, позволяющие рассчитывать характеристики поглощения и рассеяния волн одномерно периодическими структурами с элементами в виде цилиндрических магнето-диэлектрических черных дыр и двумерно периодическими структурами с элементами в виде сферических магнето-диэлектрических черных дыр, расположенных на однородной магнето-диэлектрической подложке, включая случай расположения подложки на идеально проводящем экране.

6. Выведены новые выражения для расчета мощности, поглощенной в одномерно и двумерно периодических структурах, указанных выше, используемые для исследования эффективности поглощения последних.

7. Получены новые результаты, характеризующие коэффициенты отражения и прохождения, а также эффективность поглощения одномерно и двумерно периодических структур, указанных выше, при различных значениях параметров элементов. Показано, что рассмотренные структуры с оптимальными параметрами элементов способны обеспечивать эффективность поглощения близкую к 100% в широкой полосе частот и в широком секторе углов падения волны. Показано, что характеристики отражения и поглощения структур с элементами в виде черных дыр сопоставимы с характеристиками структур, образованных обычными клиновидными и пирамидальными элементами, но при этом толщина первых оказывается вдвое меньше, чем толщина последних.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки электродинамической задачи, проверкой сходимости результатов, проверкой выполнения соотношения энергетического баланса и оптической теоремы, а также сравнением результатов, полученных для некоторых частных случаев с результатами, полученными другими аналитическими и численными методами.

Практическая значимость работы состоит в том, что

- улучшены характеристики поглощения одиночного поглотителя типа цилиндрической и сферической черной дыры за счет согласования диэлектрической и магнитной проницаемости по мнимой части на внутренней границе слоев и на внешней поверхности;

- предложенные периодические структуры из цилиндрических и сферических черных дыр имеют в 2.5 раза меньший размер в продольном направлении по сравнению с существующими периодическими структурами с пирамидальными элементами и при этом обладают сопоставимой эффективностью поглощения;

- компьютерные программы, разработанные в соответствии с новыми модификациями гибридного проекционного метода, позволяют эффективно проводить численное моделирование поглощающих элементов типа цилиндрических и сферических магнето-диэлектрических черных дыр, а также поглощающих структур с указанными элементами при их проектировании на практике.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Непрерывный профиль комплексных диэлектрической и магнитной проницаемостей в цилиндрических и сферических электромагнитных черных дырах. Предложенный профиль позволяет уменьшить отражения волн на границы оболочки и внутренней области и, тем самым, повысить эффективность поглощения элемента по сравнению с его исходными вариантами.

2. Новые аналитические решения обыкновенных дифференциальных уравнений для полей в неоднородных магнето-диэлектрических слоях, образующих цилиндрические поглощающие элементы типа электромагнитных черных дыр.

3. Новые численные алгоритмы гибридного проекционного метода, позволяющие решать задачи рассеяния и поглощения электромагнитных волн одиночными магнето-диэлектрическими цилиндрическими и сферическими черными дырами. Разработанные алгоритмы позволяют учитывать не только переменный профиль диэлектрической проницаемости, как это учитывалось в предыдущих алгоритмах, но и переменный профиль магнитной проницаемости

4. Новые численные результаты, касающиеся эффективности поглощения волн в одиночных цилиндрических и сферических черных дырах. Магнето-диэлектрические черные дыры при их оптимальных параметрах могут обеспечивать более высокую эффективность поглощения по сравнению с их чисто диэлектрическими вариантами, а черные дыры с отрицательным показателем преломления могут обеспечивать более высокую эффективность поглощения по сравнению с черными дырами, выполненными из материала с положительным показателем преломления.

5. Новые численные алгоритмы гибридного проекционного метода, позволяющие рассчитывать характеристики поглощения и рассеяния волн одномерно периодическими структурами с элементами в виде цилиндрических магнето-диэлектрических черных дыр и двумерно периодическими структурами с элементами в виде сферических магнето-диэлектрических черных дыр, расположенных на однородной магнето-диэлектрической подложке, включая случай расположения подложки на идеально проводящем экране.

6. Новые выражения для расчета мощности, поглощенной в одномерно и двумерно периодических структурах. Поглощенная мощность определяется мнимыми частями матричных элементов в системах линейных алгебраиче-

ских уравнений, к которым сводится решение задачи с использованием гибридного проекционного метода.

7. Новые результаты, характеризующие коэффициенты отражения и прохождения, а также эффективность поглощения для одномерно и двумерно периодических структур с магнето-диэлектрическими элементами типа электромагнитных черных дыр при различных значениях параметров последних. Исследованные структуры с оптимальными параметрами элементов способны обеспечивать эффективность поглощения, близкую к 100% в широкой полосе частот и в широком секторе углов падения волны, что сопоставимо с характеристиками, полученными для существующих поглощающих структур с клиновидными и пирамидальными элементами, но при толщине, в 2.5 раза меньшей, чем толщина структур с клиновидными и пирамидальными элементами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на 10 следующих международных конференциях:

- 61-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный,

2018;

- 13 th European Conference on Antennas and Propagation, Krakow (Poland), 2019;

- Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves, Divnomorskoe (Russia), 2019;

- 6th International Conference on Engineering and Telecommunication, Moscow (Russia), 2019;

- 14th European Conference on Antennas and Propagation, Copenhagen (Denmark), 2020;

- 7th International Conference on Engineering and Telecommunication, Moscow (Russia), 2020;

- Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves, Divnomorskoe (Russia), 2021;

- 8th International Conference on Engineering and Telecommunication, Moscow (Russia), 2021;

- 16th European Conference on Antennas and Propagation, Madrid (Spain),

2022;

- IEEE 8th All-Russian Microwave Conference, Moscow (Russia), 2022.

Публикации. Основные положения и результаты работы опубликованы в 16 статьях [69-84], включая 6 статей [69-74] в журналах, входящих в перечень ВАК, а также индексируемых в РИНЦ и Scopus, и 10 статей [75-84] в трудах отечественных и международных конференций, указанных выше, индексируемых в РИНЦ и Scopus.

Личный вклад автора. В процессе работы автор принимал непосредственное участие в постановке задач и разработке алгоритмов решения при консультации с научным руководителем, лично автором были разработаны все математические модели в виде компьютерных программ, а также проведены все расчеты и интерпретированы полученные результаты. Две статьи автора были опубликованы без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа объемом 118 стр. состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 33 рисунка, 18 из которых являются сдвоенными, список литературы включает 136 наименований.

Глава 1. Цилиндрическая черная дыра

Цилиндрическая черная дыра, впервые предложенная в [16], является частным случаем радиально неоднородного кругового цилиндра. Общие методы, которые могут быть использованы для анализа электромагнитного рассеяния на таких цилиндрах, перечислены во Введении со ссылками на работы [16], [17], [25], [26] и [33-64]. Различные модификации метода интегральных уравнений применялись к анализу неоднородных цилиндрических рассеива-телей в работах [85-91]. Анализ аналогичных цилиндров в работах [92-96] проводился на основе двумерного метода конечных элементов (МКЭ) и его гибридных модификаций, состоящих в сочетании МКЭ с интегральным уравнением для поля на поверхности цилиндра или c поглощающим слоем, введенными для ограничения области расчетов, занятой конечными элементами. Задача рассеяния на неоднородных цилиндрах в работах [90] и [97-99] сведена к дифференциальным уравнениям, которые решаются с использованием степенных рядов [97,98], конечных разностей [99] и сплайнов в сочетании с методом коллокации [90]. Слоистые модели радиально неоднородных цилиндров использовались в работах [37-39]. Наконец, анализ электромагнитного рассеяния на цилиндрах с радиально неоднородным профилем диэлектрической проницаемости в работе [64] осуществляется с использованием разработанной там модификации гибридного проекционного метода (ГПМ).

Цель первой главы состоит в разработке новых алгоритмов ГПМ, позволяющих учитывать не только переменный профиль диэлектрической проницаемости цилиндра, но и переменный профиль его магнитной проницаемости. Кроме того, целью также является использование разработанных алгоритмов для исследования новых модификаций цилиндрической черной дыры [16], в которых обеспечивается непрерывный профиль показателя преломления и наличие магнето-диэлектрических материалов, включая материалы с отрицательным показателем преломления [15], называемые метаматери-алами в последние два десятилетие.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чижевская Яна Игоревна, 2023 год

Список литературы

1. Князев А.Д. Элементы теории и практики обеспечения электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств. М.: Радио и связь, 1984.

2. Liu K., Kilpela J.M. Optimized absorber designs for electromagnetic compatibility applications // Proc. IEEE Electromagn. Compat. Soc. Int. Symp. Digest. Dallas, TX. Aug. 1993. P. 289-292.

3. Clayton R.P. Introduction to electromagnetic compatibility. Wiley Interscience, 2008.

4. Emerson W.H. Electromagnetic wave absorbers and anechoic chambers through the years // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1973.V. AP-21. №4. P. 484-490

5. Мицмахер М.Ю., Торгованов В.А. Безэховые камеры СВЧ // М.: Радио и связь. 1982.

6. Hemming L.H. Electromagnetic anechoic chambers: A fundamental design and specification guide // John Wiley & Sons. 2002.

7. Ruck G.T., Barnic D.E., Stuart W.D., Krichbaum C.K. Radar cross section handbook // Kluwer Academic Plenum Publishers. 1970.

8. Knott E.F., Shaeffer J.F., Tuley M.T. Radar cross // Artech House. 1993.

9. Vinoy K.J., Jha R.M. Radar absorbing materials. Norwell, MA.: Kluwer, 1996.

10. Jutteau, S., Paire M., Proise F., Lombez L., Guillemoles J-F. Micro solar concentrators: Design and fabrication for microcells arrays // Proceedings of the 42nd Photovoltaic Specialist Conference (PVSC). June 14-19, 2015.

11. Solano, M.; Faryad, M., Hall, A.S.; Mallouk, T.E.; Monk, P.B.; Lakhtakia, A. Optimization of the absorption efficiency of an amorphous-silicon thin-film tandem solar cell backed by a metallic surface-relief grating // Appl. Opt. 2013. V. 52. P. 966-979.

12. Sarychev A., Ivanov A., Lagarkov A., Barbillon G. Light concentration by metal-dielectric micro-resonators for SERS sensing // Materials. 2019. V. 12(1). P. 103. Doi.org/10.3390/ma12010103.

13. Theory and phenomena of metamaterials. Ed. by F. Capolino. N.Y.: Tailor & Francis Group, 2009.

14. Лагарьков А.Н., Кисель В.Н., Семененко В.Н. Радиопоглощающие материалы на основе метаматериалов // Радиотехника и электроника. 2015. Т. 57. №10. С. 1119-1127.

15. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями ^и ¡// УФН, 1967. V. 92. №3. С. 517-526.

16. Narimanov E.E., Kildishev A.V. Optical black hole: Broadband omnidirectional light absorber // Applied Physics Letters. 2009. Vol. 95. P. 041106.

17. Liu S., Li L., Lin Z., Chen H.Y., Zi J., Chan C.T. Graded index photonic hole: Analytical and rigorous full wave solution // Physical Review B. 2010. Vol. 82. P. 054204.

18. Argyropoulos C., Kallos E., Hao Y. FDTD analysis of the optical black hole // Journal of the Optical Society of America B. October 2010. Vol. 27, № 10. P. 2020-2025.

19. Cheng Q., Cui T.J., Jiang W.X., Cai B.G. An omnidirectional electromagnetic absorber made of metamaterials // New Journal of Physics. 2010. Vol. 12. P. 063006.

20. Dehdashti S., Wang H., Yuyu Jiang, Xu Z., Chen H. Review of Black Hole Realization in LaboratoryBased on Transformation Optics // Progress In Electromagnetics Research. 2015. Vol. 154. P. 181-193.

21. Wang H.-W., Chen L.-W. A cylindrical optical black hole using graded index photonic crystals // Journal of Applied Physics. 2011. Vol. 109. P. 103104.

22. Lu W., Jin J.-F., Lin Z., Chen H. A simple design of an artificial electromagnetic black hole // Journal of Applied Physics. 2010. Vol. 108. P. 064517.

23. Yin M., Tian X.Y., Wu L.L., Li D.C. A Broadband and omnidirectional electromagnetic wave concentrator with gradient woodpile structure // Optical Society of America. August 2013. Vol. 21, № 16. P. 19083.

24. Zhou J., Cai X., Chang Z., Hu G. Experimental study on a broadband omnidirectional electromagnetic absorber // Journal of Optics. 2011. Vol. 13. P. 085103.

25. Kildishev A.V., Prokopeva L.J., Narimanov E.E. Cylinder light concentrator and absorber: Theoretical description // Optics Express. 2010. Vol. 18, №16. P. 16646-16662.

26. Maslovski S.I., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Overcoming black body radiation limit in free space: metamaterial superemitter // New Journal of Physics. 2016. Vol. 18. P. 013034.

27. Захарьев Л.Н., Леманский А.А. Рассеяние волн черными телами. М.: Советское радио, 1972.

28. Valagiannopoulos C.A., Tretyakov S.A. Symmetric absorbers realized as gratings of PEC cylinders covered by ordinary dielectrics // IEEE Trans. Antennas Propagat. Oct. 2014. Vol. 62, №10. P. 5089-5098.

29. Natarov D.M., Byelobrov V.O, Sauleau R., Benson T.M., Nosich A.I. Periodicity-induced effects in the scattering and absorption of light by infinite and finite gratings of circular silver nanowires // Optics Express. 2011. V. 19. №22. P. 22176-22190.

30. Bradley P., Munoz M., Brennan C., Hao Y. A holistic approach to the design of impedance matched perfect absorbers // Proceedings of the 12th European

Conference on Antennas and Propagation: EuCAP'2018. London (UK). April 8-13, 2018.

31. Dai J., Ye F., Chen Y., Muhammed M., Qiu M., Yan M. Light absorber based on nano-spheres // Optics Express. 2013. V. 21. №6. P. 6697-6707.

32. Ra'di Y., Asadchy V.S., Kosulnikov S.U., Omelyanovich M.M., Morits D., Osipov A.V., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Full light absorption in single arrays of spherical nanoparticles // ACS Photonics. 2015. V. 2, №5. P. 653-660.

33. Samaddar S.N. Scattering of plane electromagnetic waves by radially inhomo-geneous infinite cylinders // II Nuovo Cimento B. Ser. 10. 1970. V. 66. №1. P. 33-50.

34. Alexopoulos N.G. Scattering from inhomogeneous cylindrically symmetric lenses with a line infinity in the index of refraction // Journal of the Optical Society of America. 1972. V. 62. №9. P. 1088-1094.

35. Elsherbeni A.Z., Hamid M. Scattering by a cylindrical dielectric shell with in-homogeneous permittivity profile // Int. Journal of Electronics. 1985. V. 58. №6. P. 949-962.

36. Tai C.T. The electromagnetic theory of the spherical Luneberg lens // Applied Scientific Research. Section B. 1959. V. 7. P. 113-130.

37. Swathi P.S., Tong T.W., Cunnington G.R. Scattering of electromagnetic waves by cylinders with a radially-inhomogeneous layer // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1991. V. 46. №1. P. 281-292.

38. Kai L., D'Alessio A. Finely stratified cylinder model for radially inhomogene-ous cylinders normally irradiated by electromagnetic plane waves // Applied Optics. 1995. V. 34. №24. P. 5520-5530.

39. Котляр В.В., Личманов М.А. Дифракция плоской электромагнитной волны на градиентном диэлектрическом цилиндре // Компьютерная оптика. 2003. Вып. 25. С. 11-15.

40. Mikulski J.J., Murphy E.L. The computation of electromagnetic scattering from concentric spherical structures // IEEE Trans. on Antennas Propagat. 1963. V. AP-11. №2. P. 169-177.

41. Shore R.A. Scattering of an electromagnetic linearly polarized plane wave by a multilayered sphere // IEEE Antennas and Propagation Magazine. 2015. №6. P. 69-116.

42. Хижняк Н.А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред // Журнал технической физики. 1958. Т. 28. №7. С. 1592-1610.

43. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова думка, 1986. 280с.

44. Volakis J.L., Sertel K. Integral Equation Methods for Electromagnetics. Raleigh, NC: SciTech Publishing, 2012. 391p.

45. Draine B.T., Flatau P.J. Discrete-dipole approximation for scattering calculations // Journal of the Optical Society of America A. April 1994. V. 11, №4. P.

1491-1499.

46. Yurkin M.A., Hoekstra A.G. The discrete dipole approximation: An overview and recent developments // J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 2007. V. 106 (1-3). P. 558-589.

47. Coccioli R., Itoh T., Pelosi G., Silvester P.P. Finite-element methods in microwaves: a selected bibliography // IEEE Antennas and Propagation Magazine. 1996. V. 38. №6. P. 34-48.

48. Volakis J.L., Chatterjee A., Kempel L.C. Finite element method for electromagnetics. Antennas, microwave circuits, and scattering applications. N.Y.: IEEE Press, 1998.

49. Jin J. The finite element method in electromagnetics. 2nd Edition. N.Y.: Wiley, 2002.

50. Григорьев А.Д. Методы вычислительной электродинамики. М.: Физмат-лит, 2013.

51. Sun W., Liu K., Balanis C.A. Analysis of singly and doubly periodic absorbers by frequency-domain finite-difference method // IEEE Trans. on Antennas and Propagat. 1996. V. 44, №6. Part 1. P. 798-805.

52. Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equation in isotropic media // IEEE Trans. on Antennas Propagat. 1966. V. 14, №5. P. 302-307.

53. Taflove A., Hagness S.C. Computational electrodynamics: The finite-difference time-domain method. Norwood: Artech House, 1995. 599p.

54. Ильинский А.С., Свешников А.Г. Численные методы в задачах дифракции на неоднородных периодических структурах // Сб. научно-методических статей по прикладной электродинамике. 1977. Вып. 1. С. 51-93.

55. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

56. Moharam M.G., Gaylord T.K. Diffraction analysis of dielectric surface-relief gratings // J. Opt. Soc. Am. 1982. V. 72. P. 1385-1392.

57. Lalanne P. Improved formulation of the coupled-wave method for two-dimensional gratings // J. Opt. Soc. Am. A. 1997. V.14. P. 1592-1598.

58. Li L. New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings // J. Opt. Soc. Am. A. 1997. V. 14. P. 2758-2767.

59. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд. Академии наук СССР, 1961.

60. Davidovitz M. An approach to analysis of waveguide arrays with shaped dielectric insets and protrusions // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2001. V. 40. №2. P. 355-361.

61. Скобелев С.П., Смольникова О.Н. Анализ одномерно-периодических диэлектрических структур гибридным проекционным методом // Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57. №10. С. 1066-1077.

62. Skobelev S.P., Smolnikova O.N. Analysis of doubly periodic inhomogeneous dielectric structures by a hybrid projective method // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2013. V. 61. №10. P. 5078-5087.

63. Габдуллина А.Р., Смольникова О.Н., Скобелев С.П. Модификация гибридного проекционного метода для анализа электромагнитного рассеяния на радиально неоднородной диэлектрической сфере // Радиотехника, 2016. №10. С. 70-79.

64. Габдуллина А.Р., Смольникова О.Н., Скобелев С.П. Некоторые особенности электромагнитного рассеяния на радиально неоднородных цилиндрах с положительным и отрицательным показателем преломления // Радиотехника. 2017. №10. С. 18-29.

65. Semernya E.I., Skobelev S.P. Modifications of the hybrid projection method for analysis of electromagnetic scattering by inhomogeneous bodies of revolution // J. Opt. Soc. Am. A. 2020. V. 37. №12. P. 1873-1882.

66. Свешников А. Г. Дифракция на ограниченном теле // ДАН СССР. 1969. Т. 184. № 1. С. 63-65.

67. Berenger J.P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of Computational Physics. 1994. V. 114. №2. P. 185-200.

68. Berenger J.P. Three dimensional perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of Computational Physics. 1996. V. 127. №2. P. 363-379.

69. Чижевская Я.И., Смольникова О.Н., Скобелев С.П. Сравнительный электродинамический анализ и оптимизация радиально-неоднородных цилиндрических элементов // Радиотехника. 2018. №4. C. 23-32.

70. Чижевская Я.И., Скобелев С.П. Характеристики поглощения электромагнитных волн в цилиндрических черных дырах с положительным и отрицательным показателями преломления // Оптика и спектроскопия, 2019, Т. 127, №6, С. 991-998.

71. Чижевская Я.И., Скобелев С.П. Сравнительный анализ электромагнитных черных дыр с положительными и отрицательными показателями преломления // Радиотехника. 2020. №4(7). C. 40-46.

72. Чижевская Я.И., Смольникова О.Н., Скобелев С.П. Анализ поглощающих периодических структур, образованных цилиндрическими электромаг-

нитными черными дырами // Журнал технической физики. 2021. T.91. №2 С. 326.

73. Чижевская Я.И., Смольникова О.Н., Левитан Б.А., Зимин И.В., Скобелев С.П. Применение гибридного проекционного метода для анализа поглощающих периодических структур со сферическими элементами типа электромагнитных черных дыр // Радиотехника и электроника. 2023. Т. 68. №1. С. 3-12.

74. Чижевская Я.И., Скобелев С.П. Анализ планарных поглощающих периодических структур, образованных сферическими магнето-диэлектрическими черными дырами // Радиотехника. 2023. Т. 87. №3. С. 40-55.

75. Чижевская Я.И., Скобелев С.П. Сравнительный анализ характеристик поглощения цилиндрической черной дыры с отрицательным показателем преломления // Труды 61-й Всероссийской научной конференции МФТИ. Москва (Россия). 19-25 ноября, 2018. С. 61-62.

76. Chizhevskaya Ya.I., Skobelev S.P. Comparative features of cylindrical electromagnetic black holes with positive and negative refractive indexes // Proceedings of the 13th European Conference on Antennas and Propagation: Eu-CAP'2019. Krakow (Poland). March 31- April 5, 2019.

77. Chizhevskaya Ya.I., Smolnikova O.N., Skobelev S.P. Absorption and scattering of plane wave by periodic structures with cylindrical elements of black hole type // Proc. 2019 Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves (RSEMW). Divnomorskoe (Russia). June 24-28, 2019. P. 220-223. DOI: 10.1109/RSEMW.2019.8792724.

78. Чижевская Я.И., Смольникова О.Н., Скобелев С.П. Характеристики периодической структуры из поглощающих чёрных дыр, расположенных на идеально проводящем экране // Сборник тезисов 6-й международной конференции «Engineering & Telecommunication (En&T 2019)». Москва (Россия). 20-21 ноября, 2019. С. 46-48.

79. Chizhevskaya Ya.I., Smolnikova O.N., Skobelev S.P. Performance of Absorbing Periodic Structures of Cylindrical Black Holes Arranged on a Perfectly Conducting Screen // Proceedings of the 14th European Conference on Antennas and Propagation: EuCAP'2020. Copenhagen (Denmark). March 15-20, 2020. DOI: 10.23919/EuCAP48036.2020.9135699.

80. Chizhevskaya Ya.I. Comparative study of spherical electromagnetic black holes with positive and negative refractive indexes // Proc. of International Conf. on Engineering and Telecommunication (En&T 2020). Moscow (Russia). Nov. 25-26, 2020. DOI: 10.1109/EnT50437.2020.9431299.

81. Chizhevskaya Ya.I., Skobelev S.P. Analysis of doubly periodic dielectric structures formed by spherical black holes // Proc. 2021 Radiation and Scatter-

ing of Electromagnetic Waves (RSEMW). Divnomorskoe (Russia). June 28 -July 2, 2021. P. 51-54. DOI: 10.1109/RSEMW52378.2021.9494093.

82. Chizhevskaya Ya.I. A modification of the hybrid projection method for analysis of doubly periodic structures with inhomogeneous magneto-dielectric elements // Proc. of International Conf. on Engineering and Telecommunication (En&T 2020). Moscow (Russia). 24-25 Nov. 2021. DOI: 10.1109/EnT50460.2021.9681768.

83. Chizhevskaya Ya.I. Performance of doubly periodic absorbing structures formed by spherical black holes on a PEC screen // Proceedings of the 16th European Conference on Antennas and Propagation: EuCAP'2022. Madrid (Spain). March 27 - April 1, 2022. DOI: 10.23919/EuCAP53622.2022. 9769612.

84. Chizhevskaya Ya.I., Skobelev S.P. Performance of absorbing periodic structures with spherical magneto-dielectric black holes arranged on a substrate with a PEC screen // Proc. of 2022 IEEE 8th All-Russian Microwave Conference. Moscow. Russia. 23-25 November 2022. P. 341-345.

85. Richmond J.H. Scattering by a dielectric cylinder of arbitrary cross section shape // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1965. V. AP-13. №3. P. 334-341.

86. Richmond J.H. TE-wave scattering by a dielectric cylinder of arbitrary cross section shape // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1966. V. AP-14. №4. P. 460464.

87. Peterson A.F., Klock P.W. An improved MFIE formulation for TE-wave scattering from lossy, inhomogeneous dielectric cylinders // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1988. V. 36. №1. P. 45-49.

88. Jin J.M., Liepa V.V., Tai C.T. A volume-surface integral equation for electromagnetic scattering by inhomogeneous cylinders // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 1988. V. 2. №5/6. P. 573-588.

89. Котляр В.В., Налимов А.Г., Скиданов Р.В. Быстрый метод расчета дифракции на цилиндрических диэлектрических микрообъектах // Компьютерная оптика. 2004. №25. С. 24-28.

90. Маненков С.А. Два подхода к решению двумерной задачи дифракции на цилиндрическом теле с коэффициентом преломления, зависящим от координат // Радиотехника и электроника. 2016. Т. 61. №11. С. 1049-1056.

91. Katsinos K., Zouros G.P., Roumeliotis J.A. Volume integral equation formulation for electromagnetic scattering by highly inhomogeneous gyrotropic circular cylinders // Proc. of the 14th European Conference on Antennas and Propagation: EuCAP'2020. Copenhagen (Denmark). March 15-20, 2020.

92. Chang S., Mei K.K. Application of the unimoment method to electromagnetic scattering of dielectric cylinders // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1976. V. 24. №1. P. 35-42.

93. Jin J., Liepa V.V. Application of hybrid finite element method to electromagnetic scattering from coated cylinders // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1988. V. 36. №1. P. 50-54.

94. Peterson A.F., Castillo S.P. A frequency-domain differential equation formulation for electromagnetic scattering from inhomogeneous cylinders // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1989. V. 37. №5. P. 601-607.

95. Jankovic D., LaBelle M., Chang D.C., Dunn J.M., Booton R.C. A hybrid method for the solution of scattering from inhomogeneous dielectric cylinders of arbitrary shape // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1994. V. 42. №9. P. 1215-222.

96. Mirotznik M.S., Pratherf D.W., Mait J.N. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements // Journal of Modern Optics. 1996. V. 43. №7. P. 1309-1321.

97. Rusch W.V.T., Yeh C. Scattering by an infinite cylinder coated with an inho-mogeneous and anisotropic plasma sheath. // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1967. V. 15. №3. P. 452-457.

98. Kiani M., Abdolali A., Salary M.M. EM scattering from cylindrical structures coated by materials with inhomogeneity in both radial and azimuthal directions // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2015. V. 63. №3. P. 1118-1128.

99. Abdolali A., Kiani M., Salary M.M. Numerical analysis of scattering from cylindrical structures coated by layers having inhomogeneity in both radial and azimuthal directions // IET Microw. Antennas Propagat. 2015. V. 9. №5. P. 472-485.

100. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2001.

101. Balanis C.A. Advanced engineering electromagnetics. N.Y.: Wiley, 1989.

102. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир. 1986.

103. Янке Э., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964.

104. Зелкин Е.Г., Петрова Р.А. Линзовые антенны. М.: Советское радио, 1974.

105. Rozenfeld P. The electromagnetic theory of three-dimensional inhomogene-ous lenses // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1976. V. AP-24. №3. P. 365370.

106. Kucharski A.A. A method of moments solution for electromagnetic scattering by inhomogeneous dielectric bodies of revolution // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2000. V. 48. №8. P. 1202-1210.

107. Kokkorakis G.C., Fikioris John G. EM field induced in inhomogeneous dielectric spheres by external sources // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2007. V. 55. №11. P. 3178-3190.

108. Bilgin E., Yapar A. Electromagnetic scattering by radially inhomogeneous dielectric spheres // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2015. V. 63. №6. P. 2677-2685.

109. Маненков С.А. Задача дифракции электромагнитного поля на неоднородном теле с осевой симметрией // Радиотехника и электроника. 2018. Т. 63. №1. С. 3-13.

110. Донец И.В, Лерер А.М., Зименг Л., Цветковская С.М. Эффективный электродинамический анализ диэлектрических линз малых размеров // Известия вузов. Радиофизика. 2019 Т. LXII. №11. С. 855-865.

111. Tsalamengas J.L. Spectrally-accurate analysis of EM scattering by material and metamaterial, isotropic or anisotropic, radially inhomogeneous spherical objects // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2022. V. 70. №8. P. 6934-6943.

112. Morgan M.A., Mei K.K. Finite-element computation of scattering by inhomogeneous penetrable bodies of revolution // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1979. V. AP-27. №2. P. 202-214.

113. Choi M.K., Brock J.R. Light scattering and absorption by a radially inhomogeneous sphere: application of a hybrid numerical method // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. №3. P. 620-626.

114. Greenwood A.D., Jin J.-M. A field picture of wave propagation in inhomogeneous dielectric lenses // IEEE Antennas and Propagation Magazine. 1999. V. 41. №5. P. 9-18.

115. Wang M., Ge D., Xu J., Wu J. FDTD study on back scattering of conducting sphere coated with double-negative metamaterials // Int. Journal of Infrared and Millimeter Waves. 2007. V. 28.№2. P. 199-206.

116. Argyropoulos C., Kallos E., Hao Y. FDTD analysis of the optical black hole // J. Opt. Soc. Am. B. 2010. V. 27. №10. P. 2020-2025.

117. Гутман А.Л. Применение метода поперечных сечений к решению задачи о дифракции электромагнитной волны на неоднородной сфере // Радиотехника и электроника. 1965. Т. 10. №9. С. 1583-1593.

118. Пермяков В.А. Дифракция электромагнитных волн на радиально неоднородных плазменном шаре и цилиндре // Известия вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11. №4. С. 531-542.

119. Kiani M., Abdolali A., Safari M. Radially inhomogeneous spherical structures; analysis of EM scattering using Taylor's series method and their potential applications // AEU-Int. Journ. of Electronics and Communications. 2017. V. 80. P. 199-209.

120. Shalashov A., Gospodchikov E. Simple approach to electromagnetic scattering by small radially inhomogeneous spheres // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2016. V. 64. №9. P. 3960-3971.

121. Смольникова О.Н., Скобелев С.П. Сравнительные особенности электромагнитного рассеяния на невидимой сферически симметричной линзе с отрицательным показателем преломления // Оптика и спектроскопия. 2018. Т. 125. №1. С. 85-90.

122. Yang C.-F., Burnside W.D., Rudduck R.C. A periodic moment method solution for TM scattering from lossy dielectric bodies with application to wedge absorber // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1992. V. 40. №6. P. 652-660.

123. Щербаков А.А., Тищенко А.В. Быстрый численный метод для моделирования одномерных дифракционных решеток // Квантовая электроника. 2010. Т. 40. №6. С. 538-544.

124. Dossou K., Byrne M.A., Botten L.C. Finite element computation of grating scattering matrices and application to photonic crystal band calculations // Journal of Computational Physics. 2006. V. 219. P. 120-143.

125. Sun W., Liu K., Balanis C.A. Analysis of singly and doubly periodic absorbers by frequency-domain finite-difference method // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1996. V. 44. №6. P. 798-805.

126. Быков А.А., Трубецков М.К. Оптимизация формы периодической границы раздела двух однородных сред с различными диэлектрическими проницаемостями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. Т. 29. №1. С. 75-81.

127. Петухов А.А. Совместное применение неполного метода Галеркина и метода матриц рассеяния для моделирования многослойных дифракционных решеток // Математическое моделирование. 2013. Т. 25. №6. С. 41-53.

128. Moharam M.G., Gaylord T.K. Diffraction analysis of dielectric surface-relief gratings // J. Opt. Soc. Am. 1982. V. 72. №10. P. 1385-1392.

129. Pinello W.P., Lee R., Cangellaris A.C., Finite element modeling of electromagnetic wave interactions with periodic dielectric structures // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques. 1994. V. 42. №12. P. 2294-2301.

130. Marly N., De Zutter D., Pues H. F. A surface integral equation approach to the scattering and absorption of doubly periodic lossy structures // IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility. 1994. V. 36. №1. P. 14-22.

131. Yang C., Burnside W.D., Rudduck R.C A doubly periodic moment method solution for the analysis and design of an absorber covered wall // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1993. V. 41. №5. P. 600-609.

132. Лерер А.М., Цветянский Е.А. Теоретическое исследование резонансно поглощающих дифракционных решеток // Письма в ЖТФ. 2012. Т. 38. №.21. С. 77-86.

133. Jiang Y., Martin A.Q. The design of microwave absorbers with high-order hybrid finite element method // 1999 Int. Antennas Propagat. Symp. Dig. June 1999. V. 37. P. 2622-2625.

134. Neviere M., Popov E. Light propagation in periodic media. Differential theory and design. N.Y.: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2003.

135. Скобелев С.П. Гибридный проекционный метод анализа волноводных решеток с выступающими диэлектрическими элементами. Трехмерная задача // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. №3. С. 322-330.

136. Скобелев С.П. Фазированные антенные решетки с секторными парциальными диаграммами направленности. М.: Физматлит, 2010.