Алгоритмы гибридного проекционного метода для анализа электромагнитного рассеяния на неоднородных диэлектрических телах вращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Семерня Екатерина Игоревна

• Семерня Екатерина Игоревна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Семерня Екатерина Игоревна

Введение

Глава 1. Обзор методов и свойства волновых сферических функций

1.1 Обзор существующих методов

1.2 Решение уравнений Максвелла в сферических координатах

1.3 Интегрирование произведений присоединенных функций Лежандра

1.4 Выводы

Глава 2. Осесимметричное возбуждение тела вращения радиальным магнитным диполем (ТЕ-волнами)

2.1 Введение и постановка задачи

2.2 Алгоритм решения

2.3 Модификации алгоритма

2.4 Численная реализация и результаты

2.5 Выводы

Глава 3. Осесимметричное возбуждение тела вращения радиальным электрическим диполем (ТМ-волнами)

3.1 Введение и постановка задачи

3.2 Алгоритм решения

3.3 Модификации алгоритма

3.4 Численная реализация и результаты

3.5 Выводы

Глава 4. Общий случай возбуждения тела вращения

4.1 Постановка задачи и алгоритм решения

4.2 Реализация и проверка

4.3 Численные результаты

4.3.1 Рассеяние на идеально проводящей сфере, окруженной неоднородным сфероидом

4.3.2 Рассеяние на полусферической линзе Максвелла

4.3.3 Рассеяние на линзе Микаэляна

4.3.4 Рассеяние на линзе Гутмана

4.4 Выводы

Заключение

Список использованных источников

Введение

Актуальность работы. Задача рассеяния электромагнитных волн на неоднородных диэлектрических телах вращения представляет большой интерес в электромагнитной теории уже в течение долгого времени, поскольку ее решение имеет важные практические применения в таких областях как радиолокация, антенная техника, телекоммуникации, космос, метеорология, биология и медицина.

Одной из важнейших практических задач при разработке ряда образцов военной техники является уменьшение их эффективной площади рассеяния (ЭПР) [1, 2]. Для ее решения могут использоваться неоднородные покрытия из материалов, содержащих микросферы феррита, распределенные в эпоксидном пластике, полимерные композиционные материалы и покрытия с полупроводниковыми элементами. В последнее время ведутся исследования по применению метаматериальных покрытий [3, 4, 5, 6], в частности с целью придания различным объектам свойств невидимости [7].

Другой важной задачей является отслеживание вхождения космических спускаемых аппаратов и головных частей баллистических ракет в плотные слои атмосферы. Указанное вхождение приводит к образованию неоднородной вытянутой плазменной оболочки вокруг объекта, которая приводит к изменению ЭПР исходного объекта и создает дополнительные трудности для радиолокационного распознавания. Плазменная оболочка также влияет на характеристики бортовых антенн спускаемого космического аппарата. Таким образом, анализ ЭПР объекта в присутствии плазменной оболочки [8], и анализ характеристик антенн спускаемого аппарата в окружении неоднородной плазменной оболочки является актуальной задачей.

Внедрение новых стандартов связи типа 50 и последующих поколений, а также систем получения навигационных данных, вызвали необходимость применения антенных устройств, способных формировать узкие и многолучевые диаграммы направленности (ДН). Одним из способов реализации таких

ДН является применение линз, выполненных из неоднородного диэлектрика [9, 10]. Создание неоднородного диэлектрического материала в настоящее время возможно несколькими способами. Примерами являются дискретизация модели линзы на небольшие ячейки и заполнения их некоторой конфигурацией напечатанного полимера [11], применение системы открытых волноводов на поверхности кремниевой пластины [12], выполнение цилиндрических отверстий в объеме диэлектрика [13] или набор диэлектрических пластин, установленных на центральном стержне [14]. Все это дало возможность массово внедрять в текущие разработки линзовые антенны, а для их оптимального проектирования необходимы эффективные методы анализа их радиотехнических характеристик при строгой постановке электродинамической задачи.

Еще одной областью, где востребован анализ неоднородных тел вращения, является диагностическая медицина. Проведенные исследования обнаружили [15], что диэлектрическая проницаемость раковых тканей на частоте 6 ГГц примерно в четыре раза больше, чем диэлектрическая проницаемость жировой ткани, что подтверждает различия между здоровыми и раковыми тканями. Обилие данных о моделях диэлектрической проницаемости для нормальной и злокачественной ткани различных органов обусловлено большим интересом к обнаружению раковых образований с помощью радиоизображений.

Важные практические приложения, перечисленные выше, стимулировали разработку численных методов решения задачи электромагнитного рассеяния на неоднородных телах вращения, и в настоящее время существует несколько таких методов.

Одним из них является метод объемных интегральных уравнений для токов поляризации, использованный в работах таких авторов как Kucharski A.A., Маненков С.А. и Щербаков А.А. В этом методе задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с полностью заполненными матрицами большого порядка. Родственным ему является метод дискретной дипольной аппроксимации (ДДА), развитый в работах Draine B.T., Flatau P.J.

и Юркина М.А. Элементы также полностью заполненных матриц в нем вычисляются проще, чем в предыдущем методе, однако точность результатов в нем при одинаковых порядках СЛАУ несколько ниже.

Метод конечных элементов (МКЭ), примененный в работах таких авторов как Morgan M.A., Mei K.K., Greenwood A.D. и Jin J.-M., является универсальным методом, однако в нем необходимо построение пространственной сетки и использование сложных векторных конечных элементов, а также требуются специальные меры для сопряжения конечной области расчетов со свободным пространством.

В методе конечных разностей во временной области или FDTD (Finite Differences in Time Domain), впервые предложенным Yee K.S. в 1966г., требуется использование поглощающих идеально согласованных слоев (PML - Perfect Matched Layers) при переходе от анализируемой области к свободному пространству. Он также имеет ограничения, связанные с применением ортогональной пространственной сетки, из-за чего возникает погрешность в аппроксимации границы исследуемого тела в общем случае.

Метод, основанный на замене неоднородного тела многослойным с последующим применением метода интегральных уравнений для эквивалентных токов на поверхностях слоев, характеризуется громоздким вычислением матричных коэффициентов. Погрешности решения в этом случае складываются из погрешностей, вызванных кусочно-постоянной аппроксимацией непрерывного профиля диэлектрической проницаемости рассеивателя, и погрешностей, возникающих при численном решении поверхностных интегральных уравнений.

Проекционный метод Никольского В.В., результаты применения которого для решения задачи рассеяния были получены Малушковым Г. Д., основан на использовании базисных и весовых функций в виде собственных волн сферических резонаторов. Он характеризуется СЛАУ с полностью заполненными матрицами и необходимостью численного вычисления двойных интегралов при расчетах матричных элементов.

Наконец, существуют также дифференциальные проекционные методы. К ним относится неполный метод Галеркина, разработанный в статьях Свешникова А. Г., Еремина Ю. А., Ильинского А. С., Апельцина В. Ф. и Сабитова Б. Р., и так называемый быстрый метод Фурье или FFM (Fast Fourier Method), который предложили Stout B., Neviere M. и Popov E. Эти методы сводят задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для переменных коэффициентов разложения полей по векторным сферическим функциям. Однако, численные результаты, опубликованные в работах Свешникова А. Г., Еремина Ю. А. и Апельцина В. Ф., были получены только для осе-симметричного возбуждения.

Таким образом, существующие методы, более подробный обзор которых со ссылками на соответствующие публикации будет проведен далее в разделе 2.1, обладают как достоинствами, так и определенными ограничениями и некоторыми неудобствами в реализации. Отсюда можно сделать вывод, что разработка новых эффективных алгоритмов электродинамического анализа неоднородных тел вращения продолжает оставаться актуальной задачей.

Перспективным подходом к решению указанной задачи представляется разработка и исследование новых эффективных алгоритмов на основе гибридного проекционного метода (ГПМ), который ранее был применен в работах Скобелева С.П. и его соавторов для анализа периодических структур с неоднородными элементами и неоднородных цилиндров различного поперечного сечения. Этот метод включает:

- проекционное сшивание полей на границе области, содержащей неоднородные объекты, с однородными областями;

- проектирование уравнений Максвелла для полей в неоднородной области на систему поперечных функций как в неполном методе Галеркина и FFM, сводящее задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для переменных коэффициентов разложения полей;

- применение одномерного метода конечных элементов в проекционной форме к решению указанных дифференциальных уравнений, сводящее их к СЛАУ с разреженными блочными трех-диагональными матрицами.

Гибридность метода понимается как сочетание двух типов проектирования, указанных выше. Перспективность применения ГПМ объясняется следующими соображениями:

- в отличие от полностью заполненных матриц в методе объемных интегральных уравнений, ГПМ сводит задачу к СЛАУ с разреженными матрицами, что требует меньше времени на вычисление матричных элементов и на решение системы;

- в отличие от трехмерного МКЭ, ГПМ использует одномерную сетку и простые одномерные треугольные элементы, а так как поля в однородных и неоднородных областях разлагаются по одним и тем же поперечным функциям, то имеет место естественное сопряжение полей на границе областей согласно парциальным условиям излучения Свешникова А.Г.;

- по причине, указанной выше, ГПМ не требует использования поглощающих слоев, ограничивающих область расчетов, как это имеет место в МКЭ и методе FDTD;

- в отличие от метода, использующего слоистую модель рассеивателя и также сводящего задачу к СЛАУ с ленточными матрицами, в ГПМ исключаются погрешности, вызванные кусочно-постоянной аппроксимацией профиля диэлектрической проницаемости, а расчет матричных элементов требует меньших затрат, так как вычисляются только однократные интегралы, к тому же с более простыми подынтегральными функциями;

- наконец, в отличие от проекционного метода Никольского В.В., ГПМ представляется предпочтительным из-за использования СЛАУ с разреженными матрицами, а также из-за вычисления только однократных интегралов при расчете матричных элементов.

Таким образом, целью работы является разработка, исследование и применение новых алгоритмов гибридного проекционного метода для анализа

рассеяния электромагнитных волн на неоднородных диэлектрических телах вращения. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:

- Разработка эффективного алгоритма для вычисления интегралов от произведений присоединенных функций Лежандра, возникающих в матричных элементах системы обыкновенных дифференциальных уравнений, образующейся в результате решения задачи ГПМ.

- Задача осесимметричного возбуждения неоднородного диэлектрического тела вращения поперечно-электрическими (ТЕ) волнами, излучаемыми радиальным магнитным диполем и анализ влияния профиля диэлектрической проницаемости тела на характеристики излучения диполя.

- Задача осесимметричного возбуждения неоднородного диэлектрического тела вращения поперечно-магнитными (ТМ) волнами, излучаемыми радиальным электрическим диполем и анализ влияния профиля диэлектрической проницаемости тела на характеристики излучения диполя.

- Задача произвольного возбуждения неоднородного диэлектрического тела вращения, включая анализ характеристики рассеяния плоской волны на идеально проводящей сфере, окруженной неоднородной сфероидальной оболочкой, а также анализ характеристик рассеяния и фокусировки волн полусферической линзой Максвелла, классической и обобщенной линзой Микаэ-ляна и усеченной линзой Гутмана.

Научная новизна диссертационной работы, определяемая поставленными задачами и разработанными алгоритмами для их решения, характеризуется следующими основными результатами.

- Выведены новые рекуррентные соотношения для неопределенных интегралов от произведений присоединенных функций Лежандра, используемые для расчетов матричных элементов в системах линейных алгебраических уравнений, к которым сводятся задачи рассеяния, рассмотренные в работе. Показано, что применение указанных соотношений позволяет в несколько раз

сократить время вычислений по сравнению со случаями применения стандартных квадратурных формул.

- Разработаны новые алгоритмы гибридного проекционного метода для решения задач осесимметричного возбуждения неоднородного тела вращения ТЕ и ТМ волнами, излучаемыми продольными магнитным и электрическим диполями соответственно.

- Получены новые результаты, характеризующие влияние идеально проводящей сферы, окруженной неоднородной вытянутой сфероидальной оболочкой, на диаграммы направленности указанных диполей.

- Разработан новый алгоритм гибридного проекционного метода для решения задачи произвольного возбуждения неоднородного тела вращения, впервые примененный к анализу рассеяния плоской волны на ряде показательных объектов.

- Получены новые результаты, характеризующие ЭПР идеально проводящей сферы, находящейся внутри вытянутой неоднородной сфероидальной оболочки. Установлено, что неоднородность оболочки и наличие потерь в ней существенно влияют на ЭПР тела в обратном и боковом направлениях по сравнению со случаем постоянной диэлектрической проницаемости.

- Получены новые результаты, характеризующие особенности рассеяния и фокусировки волн полусферической линзой Максвелла, обычной и обобщенной линзами Микаэляна и усеченной линзой Гутмана в зависимости от геометрических параметров указанных линз, включая сравнение сфокусированных полей при одинаковых поперечных размерах.

Практическая значимость работы состоит в том, что

- все предложенные модификации гибридного проекционного метода могут применяться в антенной технике для исследования влияния различных неоднородных диэлектрических оболочек в составе тел вращения на характеристики вибраторных антенн, установленных на них;

- результаты расчета и моделирования тел вращения с неоднородным профилем диэлектрической проницаемости применимы в радиолокации для анализа их влияния на включенные в них тела, в частности, было промоделировано влияние плазменного сфероида на ЭПР идеально проводящей сферы внутри него;

- результаты расчета и моделирования неоднородных диэлектрических линз применимы для сознания многолучевых антенных систем, в частности, были получены характеристики сфокусированного и отраженного полей для полусферической линзы Максвелла, линз Микаэляна и линзы Гутмана.

Методы исследования, использованные в работе, включают, аналитические методы электродинамики, проекционные методы, метод конечных элементов, метод интегральных уравнений, метод вспомогательных источников и методы линейной алгебры.

На защиту выносятся дующие положения:

1. Рекуррентные соотношения, выведенные для неопределенных интегралов от произведений присоединенных функций Лежандра, позволяют эффективно вычислять матричные элементы в системах обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений, возникающих при проектировании уравнений Максвелла в неоднородной области на поперечные сферические функции.

2. Алгоритм гибридного проекционного метода, позволяющий рассчитать осесимметричное поле радиального магнитного диполя в виде ТЕ волн в присутствии неоднородном диэлектрическом теле вращения, включая диаграмму направленности диполя.

3. Алгоритм гибридного проекционного метода, позволяющий рассчитать осесимметричное поле радиального электрического диполя в виде ТМ волн в присутствии неоднородном диэлектрическом теле вращения, включая диаграмму направленности диполя.

4. Результаты, характеризующие влияние неоднородной сфероидальной оболочки, охватывающей идеально проводящую сферу, на диаграмму направленности радиального электрического и радиального магнитного диполей, расположенных на оси вращения.

5. Алгоритм гибридного проекционного метода, разработанный в диссертации для общего случая электромагнитного возбуждения неоднородного диэлектрического тела вращения.

6. Численные результаты, полученные с использованием разработанного алгоритма для случая возбуждения тела вращения плоской волной круговой поляризации, распространяющейся вдоль оси вращения, включая ЭПР идеально проводящей сферы, расположенной внутри неоднородной сфероидальной оболочки, соответствующей упрощенной модели плазмы; распределение электрического поля вдоль оси полусферической линзы Максвелла, классической и обобщенной линзы Микаэляна и усеченной линзы Гутмана, характеризующие фокусирующие свойства указанных линз в зависимости от их параметров.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки электродинамической задачи, проверкой сходимости результатов, сравнением результатов, полученных с использованием предложенных алгоритмов, с результатами, полученными другими аналитическими и численными методами, применимыми для частных случаев однородных тел вращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы гибридного проекционного метода для анализа электромагнитного рассеяния на неоднородных диэлектрических телах вращения»

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на 6 следующих международных конференциях:

- International Conference on Engineering and Telecommunication (En&T-2018);

- Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves (RSEMW-2019);

- Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA-2019);

- 14th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP-2020).

- International Conference on Engineering and Telecommunication (En&T-2020);

- Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves (RSEMW-2021);

Кроме того, все полученные результаты были доложены и обсуждены на

Московском семинаре по электродинамике и антеннам в Институте радиотехники и электроники Российской академии наук и на семинаре «Математические методы в естественных науках» в МГУ имени М.В. Ломоносова.

Публикации

Основные положения и результаты работы опубликованы в 13 статьях, включая 7 статей [16-22] в журналах, входящих в перечень ВАК, а также индексируемых в РИНЦ и Scopus, и 6 статей [23-28] в трудах международных конференций, индексируемых в РИНЦ и Scopus.

Личный вклад автора

В ходе работы автор принимал непосредственное участие в постановке задач и разработке алгоритмов решения при консультации с научным руководителем, лично автором были разработаны все математические модели в виде компьютерных программ, а также проведены все расчеты и интерпретированы полученные результаты.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа изложена на 122 станицах и содержит введение, 4 главы, заключение и список используемой литературы. Работа иллюстрирована 42 рисунками. Библиографический указатель включает 103 цитированных работ.

Глава 1. Обзор методов и свойства волновых сферических функций 1.1 Обзор существующих методов

В общем случае задача электромагнитного рассеяния на неоднородных телах вращения в строгой постановке может быть решена только численными методами. Их список включает метод объемных интегральных уравнений [34-33], родственный ему метод дискретной дипольной аппроксимации (ДДА) [38], метод конечных элементов [39, 40], проекционные методы [41-51], метод конечных разностей во временной области (FDTD) [52-54], а также методы, основанные на замене неоднородного тела многослойным с последующим применением метода интегральных уравнений для эквивалентных токов на поверхностях слоев [55, 56] или методе вспомогательных источников [57]. Существующие методы, указанные выше, были упомянуты во введении, а здесь они рассматриваются более подробно.

Общие вопросы, связанные с методом объемных интегральных уравнений, обсуждаются в работах [29-33]. Этот метод сводит задачу к объемным интегральным уравнениям относительно полей в неоднородном теле, которые решаются различными численными методами. В монографии [32] излагаются вопросы применения итерационных методов при решении интегральных уравнений в задачах рассеяния электромагнитных волн, а также исследуется сходимость метода. В статье [31] рассмотрено численное решение задачи рассеяния на диэлектрическом параллелепипеде на основе метода интегральных уравнений для токов поляризации с применением метода сопряженных градиентов и быстрого преобразования Фурье. Применение метода к анализу электромагнитного рассеяния непосредственно на неоднородных телах вращения описано в статьях [34-36]. Указанные методы сводят задачу к объемным интегральным уравнениям для переменных коэффициентов разложения полей для несвязанных азимутальных гармоник. Решение задачи в [34] включает использование смешанных потенциалов для получения интегральных уравнений с

последующим применением метода Галеркина. Последующее развитие подхода описано в [35]. Интегральные уравнения в методе, описанном в [36], решаются с использованием приближенного ядра, не имеющего особенности, а ал-гебраизация проводится с использованием кусочно-постоянной аппроксимации неизвестных функций и удовлетворении уравнений в дискретных точках коллокации. Метод интегральных уравнений, описанный в [37], который также называется там методом обобщенных источников, формулируется в базисе сферических волновых функций с разбиением сферической области расчетов, содержащей неоднородное тело, на сферические слои, с последующим привлечением обобщенных матриц рассеяния для учета взаимодействия между последними.

Метод ДДА [38], как и метод объемных интегральных уравнений, сводит задачу к системе линейных алгебраических уравнений с полностью заполненными матрицами. Эти матрицы, как правило, имеют очень большой порядок, так как неизвестное поле ищется в объеме рассматриваемого тела, а не поверхности тела, как это имеет место для метода поверхностных интегральных уравнений, применимого к однородным рассеивателям. Благодаря тому, что рассеиватель в методе ДДА заменяется пространственной решеткой взаимодействующих точечных диполей, матричные элементы вычисляются существенно проще, однако используемое приближение приводит к менее точным результатам расчетов по сравнению с методом интегральных уравнений при одинаковых порядках СЛАУ.

Трехмерный метод конечных элементов, представленный в [39, 40], - это самый эффективный инструмент для численного решения задачи. Однако его реализация требует формирования пространственной сетки с использованием довольно сложных векторных конечных элементов, а также решения проблемы согласования полей, представленных конечными элементами в ограниченной области, с полем вне этой области. Для этого необходимо использовать либо искусственный идеальный поглощающий слой, окружающий область,

заполненную конечными элементами, либо дополнительные поверхностные интегральные уравнения.

Уравнения Максвелла в методах [41-51] проектируются на поперечные функции, в частности, - на векторные сферические функции. В результате задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения, зависящих от радиальной координаты. Работы [41-49] содержат обоснование сходимости алгоритмов, а численные результаты, опубликованные в работах Свешникова А.Г. и Еремина Ю.А. [44], а также Апельцина В.Ф. [45], были получены только для случая осесимметричного возбуждения.

Проекционный метод, предложенный в [43] и реализованный в [44], предназначен для решения осесимметричных задач рассеяния на проводящих телах вращения с неоднородной диэлектрической оболочкой. Метод включает преобразование координат, сводящее геометрию задачи к неоднородному сферическому слою, поле в котором представляется в виде разложения по поперечным базисным функциям в виде полей кольцевых вспомогательных токов, радиусы и положения которых учитывают геометрию исходного проводящего тела. Переменные коэффициенты указанного разложения, а также постоянные коэффициенты разложения поля вне слоя по сферическим волнам, определяются путем численного решения системы.

Электромагнитные поля в проекционном методе Никольского В.В. [50, 51] представлены в виде разложений по системам собственных функций, соответствующих сферических резонаторов с идеально проводящими электрическими и магнитными стенками. Последующее проектирование уравнений Максвелла на указанные собственные функции сводит задачу к системе линейных алгебраических уравнений. Такой подход был реализован в [51] для случая возбуждения диэлектрического тела плоской волной, распространяющейся вдоль ости вращения. Алгебраическая система в рассматриваемом методе характеризуется почти полностью заполненной матрицей с элементами, требующими применения численных методов для их вычисления. Результаты,

представленные в [51], показывают их видимое отличие от данных, полученных строгим методом для частного случая однородной диэлектрической сферы.

Согласно методу конечных разностей во временной области (БОТБ) [52, 53], исходная область, в которой ищется решение, разбивается на подобласти, как правило, четырехугольники или треугольники, и аппроксимируется кусочно-полиномиальными функциями. Коэффициенты этих функций находятся из условия минимизации функционала, либо из проекционных соотношений. В итоге задача сводится к системе алгебраических уравнений (СЛАУ) весьма высокого порядка с сильно разреженной матрицей, то есть к разностной схеме. Матрицы этих систем являются незнакоопределенными разреженными матрицами высокого порядка [54]. Некоторое неудобство метода состоит в использовании поглощающих идеально согласованных слоев при переходе от анализируемой области к свободному пространству. Метод также имеет ограничения, связанные с применением ортогональной пространственной сетки, из-за чего возникает погрешность в аппроксимации границы исследуемого тела в общем случае.

Методы замены неоднородного тела вращения с непрерывным профилем диэлектрической проницаемости слоистой моделью, описанные в [55-57], позволяют свести задачу к системе поверхностных интегральных уравнений для касательных составляющих полей на границах однородных слоев. С использованием, например, метода моментов, интегральные уравнения сводятся к алгебраической системе с блочной матрицей, что обусловлено непосредственной связью неизвестных полей только на соседних границах. Однако матричные элементы системы определяются сложными выражениями для полей, генерируемых кольцевыми источниками, и требуют трудоемких численных расчетов. Несколько более простой алгоритм [57] основан на методе вспомогательных дискретных источников, так как он не требует интегрирования по образующей при вычислении матричных элементов.

Как уже указано во введении, цель настоящей работы - исследовать эффективность применения гибридного проекционного метода (ГПМ) к электродинамическому анализу неоднородных тел вращения. Этот метод ранее эффективно применялся для анализа волноводно-диэлектрических антенных решеток [58, 59], согласующих и поглощающих периодических диэлектрических структур [60-62], продольно неоднородных диэлектрических переходов в круглых волноводах [63-65] и неоднородных диэлектрических цилиндров произвольного поперечного сечения [66-68]. Его привлекательные особенности по сравнению с другими методами, рассмотренными выше, указаны во введении. Поскольку в данной работе будет рассматриваться задача рассеяния на телах вращения и предполагается, что она будет решаться с использованием проекционного метода, в котором будут применяться сферические функции, то целесообразно выбрать сферическую систему координат и рассмотреть в ней решение уравнений Максвелла, а также некоторые свойства сферических функций, которые будут использоваться уже при непосредственном применении метода к решению последующих задач.

1.2 Решение уравнений Максвелла в сферических координатах

Электромагнитное поле с гармонической зависимостью от времени I, которая здесь и далее принимается в виде е~гШ, в свободном пространстве без источников должно удовлетворять однородным уравнениям Максвелла, которые в системе СИ можно записать в виде

где Е(г) и Н(г) - векторы напряженности электрического и магнитного полей, £о и до - абсолютные диэлектрическая и магнитные проницаемости свободного пространства, с - круговая частота и г - радиус-вектор точки наблюдения в

Ух Н = -гс£0 Е, Ух Е = гсд Н,

(1.1) (1.2)

пространстве в заданной системе декартовыми координатами х, у и г, связанными со сферическими координатами г, О и р обычным образом

х = гбш Особр, у = гътОътр, г = гсобО.

(1.3)

Систему уравнения (1.1) и (1.2) можно решить методом Бромвича, который подробно описан в [69-72]. Согласно указанному методу, система уравнений (1.1) и (1.2) в сферических координатах сводится к двум одинаковым дифференциальным уравнениям [73]

д Ч:

дг2

1

1 д

бшО дО

бшО

дЦ2 дО

1 д2Ч бш2 О др2

к Ч 2 = 0

(1.4)

для функций Бромвича Ч 2, через которые составляющие напряженностей электрического и магнитного полей определяются следующими выражениями

Еа

1а>[ла д Ч 1 д2и2

г бшО др г дгдО

Е =_та. ди1 1 д2и2

р г дО гбш 0 дгдр

Е = + к Ч

дг

2 '

Но =

1 дЧ ¡0Ба д Ч

г дгдО г бшО др

1 дЧ д Ч

Н =--1 +---2

р г Бт0 дгдр г дО

Н =

д Ч

дг 2

+- к Ч,

(1.5) (16)

(1.7)

(1.8) (19)

(1.10)

где к = 0)^1 £0ц0 = 2л 1Л - волновое число и Л - длина волны. Таким образом,

решение представляется в виде суперпозиции поперечно электрических (ТЕ) полей, соответствующих функции Ц\, и поперечно магнитных (ТМ) полей, соответствующих функции и2, по отношению к радиальной координате г, которая считается продольной.

Уравнение (1.4) решается методом разделения переменных, согласно которому искомое решение ищется в виде произведения двух функций

и(г,в,р) = Я(г)П(в,р). (1.11)

В результате подстановки (1.11) в уравнение (1.4) последнее распадается на два уравнения

г2 d 2R

+ k2r2 = х, (1.12)

Я йг1

+ ^ = 0, (1.13)

в которых первое зависит только от г, а второе от в и р.

Рассмотрим уравнение (1.12). Если представить постоянную разделения X в виде X = Я(Я +1), где д - новый параметр, а также ввести новую переменную х = кг, то (1.12) можно переписать в виде

d2 R

dx2

\ q(q +1)

x

R = 0. (114)

Решения уравнения (1.14), которые мы будем использовать далее, возьмем в виде функций Риккати-Бесселя и Риккати-Ханкеля первого рода соответственно [73-75]

W,(x) = , íq(x) ^fHUx), (1Л5)

определяемых функциями Бесселя и Ханкеля полуцелого порядка.

Функции Риккати-Бесселя и Риккати-Ханкеля выражаются через элементарные функции. В частности, функции нулевого и первого порядка (при q = 0 и q = 1) определяются формулами

. sin x

Vo(x) = sin x, ^i(x) = —— - cosx, (1.16)

Co(x) = -ieix, £(x) = -

'1+

(1.17)

V х у

Вычисление функций Риккати-Бесселя, Риккати-Ханкеля и их производных можно проводить также с использованием рекуррентных соотношений [75]

fn+i(x) = — fn(x) - fn-i(x) ,

x

f(x) = fn-i(x) - -fn(x) = — fn(x) - fn+i(x),

x x

(1.18) (1.19)

где /п (х) - любая линейная комбинация функций (1.15).

При больших значениях аргумента функция Риккати-Ханкеля (1.15) имеет асимптотические выражения

С (x) = e

i[ x—( q+1)^/2]

(1.20)

которое получено с использованием асимптотического разложения функции Ханкеля [73, 74].

Второе уравнение (1.13) также можно решить методом разделения переменных. Для этого, решение ищется в виде

Qe(6,p) = P;(cos6)cos(mp), Q0(6,p) = P?(cos6)sin(mp), (1.21)

где индекс e означает четное (even), а o нечетное (odd) или

Q(6,p) = P; (cos 6)e±imp. (1.22)

Подставляя (1.21) или (1.22) в (1.13), где Х = q(q + 1), получим дифференциальное уравнение вида

1 d

sin 6 d6

dPm sin 6-—-

d6

+

q(q +1)--

m

sin26

Pm = 0.

(1.23)

для функций Pm (cos 6), которые называются присоединенными функциями Лежандра. Введение новой переменной x=cos6 в уравнение (1.23) преобразу-

ет его в хорошо известное уравнение для присоединенных функций Ле-жандра [72]

А.

йх

(1 - х2) Я

йх

Я(Я +1)

т

1 - х2

Рт = 0,

Я

(1.24)

Значение параметра т, равное нулю, соответствует случаю осесиммет-ричного поля. Уравнение (1.24) в этом случае превращается в уравнение для

полиномов Лежандра Р (х) = Р0 (х).

Полином Лежандра степени д можно представить формулой Родри-

га [74]

1 йя

Ра (х) = ТЯ^ 4т (х2 - 1)я.

(1.25)

я 2чя\ йхч

Между полиномами различного порядка существуют рекуррентные соотношения, которые понадобятся в дальнейшем

дР (х) = хРЯ(х) - Р'(х):

а также они нормированы так, что

(1.26)

для всех д = 0,1, 2..., и

Кроме того,

Рд (1) = 1

Р (1) =

д(д +1) 2

Рд (- х) = (-1Г Рд ( х) .

Также, полиномы Лежандра ортогональны на интервале [-1,1], т.е.

1 28 ,

\ Р (х)Р, (х)йх =-ддд-

*,д д 2д +1

(1.27)

(1.28)

(1.29)

(1.30)

В других случаях, когда т не равно нулю, решением уравнения (1.24) будут присоединенные функции Лежандра Р_ (х), которые определяются через полиномы Лежандра (1.25) как

Рд(х) = (1 -х2)т'2-^Ря(х) ' (1.31)

для х е [-1,1] и положительных целых д, причем Р_ (х) = 0 при |т|>д.

Присоединенные функции Лежандра удовлетворяют рекуррентному соотношению [79]

(д - т +1)Р;+1 = (2д +1)хР_ - (д + _)Р-. (1.32)

Также легко получить рекуррентное соотношение для Р_ через Р— и Р_2. Для этого заменим д на д — 1 в (1.32) и выразим Р_ как

рт = (2q -1)хРт_, - (q + m -1)P;_2 q q-m

Таким образом, рассмотрев решение уравнения (1.4) для функций Бром-вича, можно получить выражения для U1 и U2 путем перемножения решений уравнений (1.12) и (1.13), т.е.

Ui,2 (Г, в, <р) = fq (kr) pqm (cos в)ёт, (1.34)

где f (kr) принимает вид либо (kr) либо £ (kr), а решение уравнения

(1.13) взято в форме (1.22).

Используя (1.34), можно выразить компоненты электрического и магнитного поля (1.5)-(1.8). Например, с точностью до амплитудного множителя, поперечная часть вектора напряженности электрического поля с составляющими Ев (1.5) и Е (1.6) в свободном пространстве для TE- и TM-волн может быть представлена формулами

1 кг'

Ещ (г, 0, р) = - / (кг )¥£ (О, р).

Е2, (г ,0, р)=1 /(кг )¥2; (0, р),

(1.35)

(1.36)

где / (кг) может принимать вид у (кг) или ^ (кг), а /'(кг) может принимать вид (кг) или ^ (кг), а

1

¥т(0,0 = ^(0)^-

¥2т (0,р) = 7^ Т2; (оутр;

(1.37)

(1.38)

- ортонормированные векторные поперечные функции, соответствующие ТЕ-и ТМ-волнам,

тт (0,р) = N

щ

- ^е Л VяпО 90 с10 ру

Т2; (0,р) = N

Щ

V ¿0 0 б1ИО 9 ру

е0, ер - орты сферической системы координат и

(1.39)

(1.40)

Мт =

щ

2^ +1 (д - т)!

2д(д +1) (д + т)!

(141)

- нормировочные коэффициенты.

Аналогично выражениям (1.35) и (1.36), поперечная часть вектора напряженности магнитного поля с составляющими (1.8) и (1.9) для ТЕ- и ТМ-волн может быть представлена формулами

1

Нщ (г ,0, р) = - /¡(кг )¥2д (0,р)

(1.42)

Н2г (г, в,ф) = -1 ^ (кг)¥_ (в, ф). (1.43)

кг

Радиальные составляющие (1.7) и (1.10) векторов напряженности электрического и магнитного полей представляются ортонормированными скалярными функциями (в,ф), определяемыми формулами

^ (в,ф) = Ж Т_д в)6-' (1.44)

? п 4-

Т_ (в) =

М

2д + 1(д-т)!Рд_(С08в). (1.45)

2 (д + т)!

Поперечные функции ¥_, 7=1, 2, и У— удовлетворяют следующим соотношениям

1 1 1

Ух ¥™ = -аqYъmq + - ¥2;, Ух ¥2; =--¥£, (1.46)

г г г

где а д(д +1) и

^ х ¥™ = -(Г • ¥2д )ег + 1 ¥2д), (1.47)

2д/ г г 2д Чд )ег 1 г ¥1д

где Р - произвольная векторная функция

Г х ¥2д = (Г • ¥» )ег-1г¥), (1.48)

1.3 Интегрирование произведений присоединенных функций Лежандра

Гибридный проекционный метод, на основе которого будут разрабатываться алгоритмы для анализа рассеяния на неоднородных телах вращения в последующих главах, является родственным неполному методу Галеркина [42, 47]. Как и в указанном методе, поперечные поля в сферической области, содержащей неоднородное тело, раскладываются по полной системе векторных поперечных сферических функций типа (1.37) и (1.38), а уравнения Максвелла для полей в указанной области проектируются на те же самые функции.

Указанное проектирование сводит уравнения Максвелла к системе связанных обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения полей, зависящих от радиальной координаты. Матричные элементы полученной системы в предположении скалярных материальных параметров тела вращения содержат интегралы вида

277

Ajq (r) = Я (X • Y )f (r, в) sin МШр, (1.49)

0 0

где индексы i и j в скалярных произведениях функций (1.37) и (1.38) принимают значения 1 и 2, а f (г,в) - функция, учитывающая распределение диэлектрической или магнитной проницаемости в сферической области, вводимой в [42, 47]. Интегрирование по р в (1.49) приводит к появлению множителя 27, и далее требуется вычислять интеграл только по угловой координате в. Если тело вращения является кусочно-однородным по углу в или если проницаемости в нем зависят только от радиальной координаты r, то функция f становится кусочно-постоянной по в. Вычисление матричных элементов (1.49) в этом случае приводит к рассмотрению неопределенных интегралов двух видов

I pq=mí

dPm dPm Л

Pm q _p pn

Kp de de q y

d°, (1.50)

I" = í

pq í

í JT^m JT^m 9 Л

dPm dPm m2

p q

P m P m

Л a p q

v de de sine J

sinede, (1.51)

первый из которых соответствует скалярному произведению поперечных функций различных типов в (1.49), а второй - скалярному произведению функций одинаковых типов.

В первом интеграле стоит полный дифференциал, поэтому он, очевидно,

определяется как 112 = mP^ (cos 6) P^ (cos 6) с точностью до постоянного слагаемого, которое здесь и в аналогичных выражениях ниже не приводится для

краткости. Во втором интеграле (1.51) сделаем стандартную замену переменной соб$ = х и перепишем (1.51) в виде

г = -Г

РЯ Г

(1- х2)-

(р; йрд

(х (х

■ +

т

1-х2 Р Я

(х,

(1.52)

где / = 1 или 2.

Для вычисления интеграла в (1.52) воспользуемся уравнением для присоединенных функций Лежандра (1.24), которое умножим на Р™ (х) и проинтегрируем по х. В результате получим выражение

I

рт (

Р (х

9 (Рт (1- х2) Я

(х

(х+я(Я+1) р;=т2!;-

(х

х

(1.53)

где

= \ртрт(х

РЯ I Р Я

(1.54)

Интегрируя первое слагаемое в левой части (1.53) по частям, суммируя интеграл, получающийся в результате, с интегралом в правой части и сравнивая сумму с (1.52), получим

С = - р; [(Я + т)РЯ-1 - яхрт ] - я(я +1)рт,

(1.55)

где первое слагаемое записано с использованием соотношения [76]

, (рт (х) (1- х2)

(х

(Я+;) р;_,( х)- яхр; (х)

(1.56)

Таким образом, вычисление интеграла (1.51) сводится в (1.55) к суммированию произведений присоединенных функций Лежандра и интеграла (1.54) от произведения последних.

Так как интегралы от произведений функций Лежандра возникают во многих задачах, включая задачи рассеяния волн, они уже были рассмотрены в ряде публикаций, например, [48]. Основной подход к вычислению указанных

интегралов включает вычисление постоянных коэффициентов в соответствующих полиномиальных представлениях функций Лежандра, а также вычисление коэффициентов полиномов, полученных в результате перемножения функций Лежандра с последующим интегрированием степенных функций. Указанный подход реализован в пакете Mathematica. Этот подход также был использован в [77] для сведения искомого интеграла к бета-функции, реализованной в виде подпрограммы в некоторых языках программирования.

Однако реализация подхода, описанного выше, в программах на языках FORTRAN или MATLAB привела бы к созданию довольно длинных и громоздких подпрограмм. В связи с этим, цель этого раздела - разработка простого и компактного алгоритма, основанного на сведении неопределенных интегралов (1.54) от произведений функций Лежандра к аналитическим выражениям, использующим только сами функции Лежандра. Такой алгоритм представляется особенно удобным для использования в программах на языке MATLAB, где функции Лежандра реализованы в виде встроенных функций, что исключает необходимость создавать какие-то дополнительные подпрограммы.

Выражение для интеграла (1.54) при q Ф p легко получить [78] с использованием уравнения (1.24), как это сделано в [79] для полиномов Лежандра (m = 0) и в [80] в общем случае, что дает

1 - x

-pm _ _' л_

pq (p - q)(p + q +1)

2 f dPm dPm л

pm q___p pm

^ dx dx j

(1.57)

Используя (1.56), перепишем (1.57) в виде окончательного выражения, не содержащего производных

Fm =_1_

pq p + q +1

(q + m)PmPm - (p + m)PmPm

j^pmpm V J s q-i p ' p—1 q

p q p - q

(1.58)

Вычисление интеграла (1.54) при д = р проводится ниже с использованием подхода, приведенного в [78] при доказательстве ортогональности полиномов Лежандра. Присоединенные функции Лежандра удовлетворяют рекуррентному соотношению (1.33). Подставляя (1.33) в (1.54) вместо одного из сомножителей, перепишем (1.54) в виде

= 2р 1 ГхРтРт(х-Р + т 1 Рт

рр гъ- р Р-1 п-™ р,р-2

р — т

р — т

(1.59)

Выражая произведение хР^ из (1.33) через Р^ и Р^_х и подставляя его в (1.59), получим рекуррентное соотношение для искомого интеграла

рр

1 (2 р-1 р — т [2 р +1'

[(р — т +1) ^ р—1 + (р + т) Рр\ р—1] — (р + т — 1) ^

р-1, р-

р, р—2

(1.60)

Выражение (1.60) справедливо для р > т, а случай, когда степень присоединенной функции Лежандра равна ее порядку, требует отдельного рассмотрения. При т = 0 и т = 1, для которых Р0°(х) = 1 и Р*(х) = (1 — х2)12, интеграл (1.54) легко вычислить непосредственно и получить

о х) = х, Рх 1(х) = х — х3/3

(161)

Вычисление (1.54) для случаев присоединенных функций Лежандра более высокого порядка проведем с использованием уже упомянутого представления присоединенных функций Лежандра через полиномы Лежандра (1.31). Используя подстановку (1.31) в (1.54) согласно [78] и проводя интегрирование по частям, получим

Рт

рд

, (1тР (т—1 Р т—1Р ( (1 — х2)т—р-1— Г

4 ' 1 т 1 т—1 I

(х (х

(х (х

, ((тР (1 — х 2—р

с(хт

(х .

(1.62)

Учитывая тождество [79, стр. 331]

= -(р-т +1)( р + т)(1 - х 2)т-1 , ( 1 . 6 3 )

ах

представление (1.31) и то, что (1-х2)т = (1-х2)1/2(1-х2)т/2(1-х2)(т-1)/2 в первом слагаемом в (1.63), получим выражение

Р- =41-х2Р;Р-1 + (р-т +1)( р + т) Рт^, (1.64)

из которого следует рекуррентное соотношение для случая т = р = д

Рррр ^ >1хГРррРрр-1 + 2рР-. (1.65)

Таким образом, вычислив рх) и используя (1.58) и (1.60), вычисляем р\2(х). Используя (1.65), вычисляем Р22(х). Затем, используя (1.58) и (1.60), вычисляем Р2Ъ(х), которое используем в (1.65) для вычисления Р333 (х), и т.д. Указанный процесс повторяется до тех пор, пока не будет вычислено значение рр(х) для степени р, равной заданному порядку (номеру азимутальной гармоники) т. Затем формулы (1.58) и (1.60) используются для вычисления всех остальных интегралов для заданного диапазона степеней р > т и д > т. В качестве примера, рассмотрим вычисление интегралов

1

в]« = | Рр1(х)Р91(х)ах = Рхп (1)-Р1рд (0.9), (1.66)

0.9

где выбор т = 1 соответствует возбуждению рассеивателя плоской волной, распространяющейся вдоль оси вращения, как, например, в [51]. Ясно, что наиболее трудоемкие вычисления (1.66) путем применения квадратурных формул будут иметь место при больших значениях степеней р и ц. Поэтому рассмотрим случай расчета Б1 , например, при р = 30, д = 20 и р = д = 30.

Графики произведений соответствующих присоединенных функций Лежандра на отрезке интегрирования показаны на Рисунке 1.1.

ах

7 атрп

(1- х 2Г--

ах

Рисунок 1.1. Графики произведений присоединенных функций Лежандра 20-й

и 30-й степеней 1-го порядка.

Расчеты Б10 20 и £з0 30 были проведены в среде МАТЬДБ. Значение ^зо 20= "0-85243996 было получено согласно (1.58), а значение

^зо = 4.24849411 - с использованием рекуррентного соотношения (1.60) и

формулы (1.58). Расчеты этих же интегралов с использованием правила Симп-сона, реализованного в MATLAB-подпрограмме Isimp, со стабилизацией 5 десятичных знаков показали, что требуется приблизительно в 90 и 40 раз больше времени в первом и втором случаях соответственно.

Известно, что пиковые значения функций Р™ (х) больших степеней р растут очень быстро с увеличением порядка т. В этих случаях оказывается более удобным работать с интегралами

= [ртр^Лх

РЧ J Р Ч

(1.67)

вместо (1.54), где

№______

-1-1-1-1-1-1-1-1-г

-Дх) = Р£(х)Р£(х)

-------/М=гвдг

_I_I_I_I_I_I_I_I_I_

0,9 0.92 0.94 0.96 0.98 1

Рисунок 1.2 Графики произведений нормированных присоединенных функций Лежандра 20-й и 30-й степеней 9-го порядка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Семерня Екатерина Игоревна, 2022 год

Список использованных источников

1. Skolnik M. I. Radar Handbook. NY: McGraw-Hill, 1990. 846p.

2. Knott E. F., Schaeffer J. F., Tulley M. T. Radar Cross Section. NY: SciTech, 2004. 611p.

3. Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s и ^ // Успехи физ. наук. 1967. T. 92. №3. С. 517-526.

4. Веселаго В. Г. Электродинамика материалов с отрицательным коэффициентом преломления // Успехи физ. наук. 2003. Т. 173. №7. С. 790-794.

5. Eleftheriades G. V., Balmain K. Negative-Refraction Metamaterials: Fundamental Principles and Applications. Wiley-IEEE Press, 2005. 436p.

6. Лагарьков А. Н., Кисель В. Н., Семененко В. Н. Радиопоглощающие материалы на основе метаматериалов. Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57. №10. С. 119-1127.

7. Cui T. J., Smith D. R., Liu R. P. Metamaterials: Theory, Design, and Applications. N.Y.: Springer, 2010.

8. Gao X. and Jiang B. A matching approach to communicate through the plasma sheath surrounding a hypersonic vehicle // Journal of Applied Physics. 2015. Vol. 117. P. 233301.

9. Фельд Я. Н. Бененсон Л. С. Антенно-фидерные устройства. M.: ВВИА им. профессора Н.Е. Жуковского, 1959. 552c.

10. Зелкин Е. Г., Петрова Р. А. Линзовые антенны. М.: Советское радио, 1974. 276с.

11. Budhu J., Rahmat-Samii Y. 3D-Printed Inhomogeneous Dielectric Lens Antenna Diagnostics // IEEE Antennas & Propagation Magazine. 2020. Vol. 62. №4. P. 4961.

12. Levy U., Abashin M., Ikeda K. at al. Inhomogeneous Dielectric Metamaterials with Space-Variant Polarizability // Physical Review Letters. 2007. Vol. 98. №24. P. 243901.

13. Sato K., Ujiie H. A Plate Luneberg Lens with the Permittivity Distribution Controlled by Hole Density // Electronics and Communications in Japan. 2002. Vol. 85. №9. P. 1-12.

14. Рязанцев Р. О. и др. Антенная система с круговой поляризацией на основе плоскослоистой сферической линзы Люнеберга // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии (КрыМиКо'2014): тез. докл. 24-я Межд. Крымская конф. Севастополь: материалы конф. в 2 т. 2014. C. 465-466.

15. Changzhi Li at al. Principles and Applications of RF // Microwave in Healthcare and Biosensing. London: Ac. Press, 2017. 325p.

16. Semernya E. I., Skobelev S. P. On evaluation of indefinite integrals containing products of associated Legendre functions // Journal of Physics: Conference Series . Veliky Novgorod (Russia). June 27-28, 2019. Vol. 1352. №1. P. 012046. DOI:10.1088/1742-6596/1352/1/012046.

17. Семерня Е. И., Скобелев С. П. Интегрирование произведений присоединенных функций Лежандра в задачах рассеяния волн на проницаемых телах вращения // Радиотехника. 2019. Т. 83. №10(15). С. 43-49.

18. Семерня Е. И., Скобелев С. П. Алгоритмы гибридного проекционного метода для анализа возбуждения неоднородного диэлектрического тела вращения радиальным магнитным диполем // Радиотехника и электроника. 2020. T. 65. №4. С. 372-379. DOI: 10.31857/S0033849420040087.

19. Семерня Е. И., Скобелев С. П. Модификация проекционного метода для анализа излучения радиального диполя в присутствии неоднородного тела вращения // Журнал ВМ и МФ. 2020. Т. 60. №12. С. 2131-2142. DOI: 10.31857/S0044466920120121.

20. Semernya E. I., Skobelev S. P. Modifications of the hybrid projection method for analysis of electromagnetic scattering by inhomogeneous bodies of revolution // Journal of the Optical Society of America A. 2020. Vol. 37. №12. P. 1873-1882. DOI: 10.1364/JOSAA.396534.

21. Semernya E. I., Skobelev S. P. Analysis of Wave Focusing by Axisymmetric Mi-kaelian Lenses // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. 2021. Vol. 20. №2. P. 269-273. DOI: 10.1109/LAWP.2020.3048431.

22. Семерня Е. И., Скобелев С. П. Анализ фокусировки волн в усеченной линзе Гутмана // Письма в ЖТФ. 2021. Т. 47. №15. С. 47-50. DOI: 10.21883/ PJTF.2021.15.51235.18709.

23. Poshisholina E. I., Skobelev S. P. An Algorithm of the hybrid projection method for analysis of axially symmetric excitation of an inhomogeneous dielectric body of revolution // Proc. of 2018 Fourth International Conf. on Engineering and Telecommunication (En&T 2018). Moscow (Russia). Nov. 15-16, 2018. P. 87-90. DOI: 10.1109/EnT-MIPT.2018.00026.

24. Semernya E. I. An Algorithm of the Hybrid Projection Method for Analysis of Axially Symmetric Excitation of Inhomogeneous Dielectric Bodies of Revolution // Proc. of International Conf. on Engineering and Telecommunication (En&T 2020). Moscow (Russia). Nov. 25-26, 2020. P. 1-5. DOI: 10.1109/EnT50437.2020. 9431319.

25. Semernya E. I., Skobelev S. P Analysis of Axially Symmetric Excitation of Inhomogeneous Dielectric Body of Revolution by a Radial Magnetic Dipole // Proc. of conf. 2019 Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves (RSEMW). Divno-morskoe (Russia). June 24-28, 2019. P. 108-111. DOI: 10.1109/RSEMW.2019. 8792684.

26. Semernya E. I. Application of the Hybrid Projection Method to Analysis of Ax-isymmetric Lenses Made of Inhomogeneous Dielectric // Proc. of conf. 2021 Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves (RSEMW). Divnomorskoe (Russia). June 28 - July 2, 2021. P. 59-62. DOI: 10.1109/RSEMW52378.2021.9494017.

27. Semernya E. I., Skobelev S. P. Radiation characteristics of a radial electric dipole in the presence of an inhomogeneous dielectric body of revolution // Proc. 2019 Int. Conf. on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA'19), Granada, Spain, Sep. 9-13, 2019. P. 0157-0161.

28. Semernya E. I., Skobelev S. P. Electromagnetic scattering by an inhomogeneous body of revolution: a general approach based on the hybrid projection method // Proceedings of the 14th European Conference on Antennas and Propagation: Eu-CAP'2020. Copenhagen (Denmark). March 15-20, 2020. P. 1-5. DOI: 10.23919/ EuCAP48036.2020.9135529.

29. Хижняк Н. А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред // ЖТФ. 1958. Т. 28. №7. С. 1592-1609.

30. Хижняк Н. А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова думка, 1986. 280с.

31. Хзмалян А. Д., Чаплин А. Ф. Возбуждение неоднородного тела // Радиотехника и Электроника. 1990. Т. 35. №7. С. 1398-1404.

32. Самохин А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и связь, 1998. 160с.

33. Volakis J. L., Kubilay S. Integral Equation Methods for Electromagnetics. Raleigh, NC: SciTech Pub., 2012. 391p.

34. Kucharski A. A. A method of moments solution for electromagnetic scattering by inhomogeneous dielectric bodies of revolution // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2000. Vol. 48. №8. P. 1202-1210.

35. Kucharski A. A. The FIT-MoM Hybrid Method for Analysis of Electromagnetic Scattering by Dielectric Bodies of Revolution // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2018. Vol. 66. №3. P. 1384-1391.

36. Маненков С. А. Задача дифракции электромагнитного поля на неоднородном теле с осевой симметрией // Радиотехника и электроника. 2018. Т. 63. №1. С. 3-13.

37. Shcherbakov A. A. Calculation of the electromagnetic scattering by non-spherical particles based on the volume integral equation in the spherical wave function basis // J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 2019. Vol. 231. P. 102114.

38. Yurkin M. A. and Hoekstra A. G. The discrete dipole approximation: An overview and recent developments // J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 2007. Vol. 106 (1-3). P. 558-589.

39. Morgan M. A., Mei K. K. Finite-element computation of scattering by inhomoge-neous penetrable bodies of revolution // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1979. Vol. AP-27. №2. P. 202-214.

40. Greenwood A. D., Jin J.-M. Finite-element analysis of complex axisymmetric radiating structures // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1999. Vol. 47. №8. P. 12601266.

41. Свешников А. Г. Дифракция на ограниченном теле // ДАН СССР. 1969. Т. 184. № 1. С. 63-65.

42. Свешников А. Г., Ильинский А. С. Прямой метод для задач дифракции на локальном неоднородном теле // ЖВМиМФ. 1971. Т. 11. №4. С. 960-968.

43. Свешников А. Г., Еремин Ю. А. Проекционные методы во внешних задачах дифракции // ДАН. 1975. Т. 221. №1. С. 84-86.

44. Свешников А. Г., Еремин Ю. А. Проекционный метод исследования внешних задач дифракции с учетом геометрии рассеивателя // Вычислительные методы и программирование. Вып. 28. Изд-во МГУ, 1978. С. 14-23.

45. Апельцин В. Ф. Обоснование проекционного метода решения аксиально-симметричных задач дифракции на локально-неоднородных телах // ЖВМиМФ. 1979. Т. 19. №5. С. 1188-1204.

46. Апельцин В. Ф., Ильинский А. С., Сабитов Б.Р. Обоснование модифицированного неполного проекционного метода для задач рассеяния от гидрометеоров // ЖВМиМФ. 1986. Т. 26. №10. С. 1535-1551.

47. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

48. Stout B., Neviere M., Popov E. Light diffraction by a three-dimensional object: differential theory // J. Opt. Soc. Am. A. 2005. Vol. 22. №11. P. 2385-2404.

49. Stout B., Neviere M., Popov E. Mie scattering by an anisotropic object. Part II. Arbitrary-shaped object: differential theory // J. Opt. Soc. Am. A. 2006. Vol. 23. №5. P. 1124-1134.

50. Никольский В. В. Проекционный метод для незамкнутых электродинамических систем // Радиотехника и электроника. 1971. Т. 16. №8. С. 1342-1351.

51. Малушков Г. Д. Рассеяние неоднородным диэлектрическим телом вращения // Известия вузов. Радиофиз. 1975. Т. 18. №2. С. 269-279.

52. Vorst M., Maagt P. Efficient body of revolution finite-difference time-domain modeling of integrated lens antennas // IEEE Microwave and Wireless Components Letters. 2002. Vol. 12. №7. P. 258-260.

53. Taflove A., Hagness S. C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. Norwood: Artech House, 1995. 599p.

54. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Боголюбов Н. А. Математическое моделирование волноведущих систем. // Физические основы приборостроения. 2013. Т. 2. №1(6). С. 10-17.

55. Васильев Е. Н., Материкова Л. Б. Возбуждение многослойного диэлектрического тела вращения произвольной формы // Изв. вузов. Радиофиз. 1973. Т. 16. №1. С. 97-109.

56. Govind S., Wilton D. R. and Glisson A. W. Scattering from inhomogeneous penetrable bodies of revolution // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1984. Vol. AP-32. №11. P. 1163-1173.

57. Kyurkchan A. G., Manenkov S. A. Application of modified method of discrete sources for solving a problem of wave diffraction on a multilayered body of revolution // J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 2014. Vol. 146. P. 295303.

58. Скобелев С. П. Фазированные антенные решетки с секторными парциальными диаграммами направленности. М.: Физматлит, 2010. 320 c.

59. Скобелев С. П., Япарова А. А. Гибридный проекционный метод анализа волноводных решеток с выступающими диэлектрическими элементами. Двумерные задачи // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. №3. С. 311-321.

60. Скобелев С.П., Смольникова О.Н. Анализ одномерно-периодических диэлектрических структур гибридным проекционным методом // Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57. №10. С. 1066-1077.

61. Skobelev S. P., Smolnikova O. N. Analysis of doubly periodic inhomogeneous dielectric structures by a hybrid projective method // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2013. Vol. 61. №10. P. 5078-5087.

62. Скобелев С. П., Смольникова О. Н. Анализ и оптимизация согласующих двумерно-периодических диэлектрических структур с коническими углублениями // Радиотехника и электроника. 2015. Т. 60. №11. С. 1178-1184.

63. Смольникова О. Н., Федотова Н. А., Скобелев С. П. Анализ продольно неоднородного диэлектрического перехода в круглом волноводе: 1. Гибридный проекционный метод // Радиотехника. 2015. №4. С. 84-90.

64. Смольникова О. Н., Федотова Н. А., Скобелев С. П. Анализ продольно неоднородного диэлектрического перехода в круглом волноводе: 2. Осесиммет-ричное возбуждение и численные результаты // Радиотехника. 2015. №10. С. 35-42.

65. Смольникова О. Н., Федотова Н. А., Скобелев С. П. Анализ продольно неоднородного диэлектрического перехода в круглом волноводе: 3. Численные результаты при возбуждении волной ТЕц // Радиотехника. 2016. №10. С. 64-69.

66. Некрасова Е. С., Скобелев С. П. Модификация гибридного проекционного метода для электродинамического анализа неоднородного диэлектрического

цилиндра произвольного поперечного сечения // Радиотехника. 2017. №10. С. 35-43.

67. Некрасова Е. С., Смольникова О. Н., Скобелев С. П. Рассеяние Н-поляризованной плоской волны на неоднородном диэлектрическом цилиндре произвольного поперечного сечения. Часть 1. Метод анализа // Радиотехника. 2018. №4. С. 17-22.

68. Некрасова Е. С., Смольникова О. Н., Скобелев С. П. Рассеяние Н-поляризованной плоской волны на неоднородном диэлектрическом цилиндре произвольного поперечного сечения. Часть 2. Модификация метода и численные результаты // Радиотехника. 2018. №10. С. 42-53.

69. Bromwich T. S. X. Electromagnetic waves // Philosophical Magazine. Vol. 6. №38. 1919. P. 143-164.

70. Borgnis V. F. Electromagnetiche eigenschwingungen dielektrischer roeume // Annalen der Physik. Vol. 5. №35. 1939. P. 359-384.

71. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964. 772c.

72. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. 440с.

73. Arfken G. B., Weber H. J. Mathematical methods for physicists. Sixth edition. UK: Elsevier Ac. Pr., 2005. 1182p.

74. Kristensson G. Spherical Vector Waves. Tutorial, 2014. 128p.

75. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир, 1986. 663с.

76. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.: ОГИЗ, 1948. 540с

77. Joy H. W. Integrals of products of associated Legendre functions // The Journal of Chemical Physics. 1962. Vol. 37. P. 3018-3019.

78. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть II. Трансцендентные функции. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963.

79. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. 432с.

80. Bruns H., Klinkenbusch L. Analytical normalization of the associated Legendre functions of the first kind of arbitrary degree and order // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2018. Vol. 66. №10. P. 5643-5645.

81. Gabdullina A. R., Smolnikova O. N., Skobelev S. P. Some features of electromagnetic scattering by radially inhomogeneous DNG spheres // Proc. 11th Eur. Conf. on Antennas and Propagation (EuCAP'2017). Paris, France, 19-24 March 2017. P. 1096.

82. Nekrasova E. S., Skobelev S. P. A Modification of the Hybrid Projection Method for Electrodynamical Analysis of Inhomogeneous Dielectric Cylinder with Arbi-

trary Cross Section // Proc. 2017 Fourth Intern. Conf. on Engineering and Telecommunication (En&T 2017), Moscow, Russia, 29-30 November 2017. P. 82.

83. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. 2-е изд. М.: Наука, 1967.

84. Кюркчан А. Г., Маненков С. А., Негорожина Е. С. Решение задачи дифракции электромагнитного поля на телах вращения при помощи модифицированного метода дискретных источников // Радиотехника и Электроника. 2006. Т. 51. №11. С. 1285.

85. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983. 296с.

86. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. 272с.

87. Коробкина А. В., Скобелев С. П. Сравнение некоторых модификаций метода вспомогательных источников // Радиотехника. 2017. №4. С. 60.

88. Микаэлян А. Л. Применение слоистой среды для фокусировки волн // Доклады Академии Наук СССР, 1951. Т. 81. №4. С. 569-571.

89. Gutman A. S. Modified Luneberg Lens. Journal of Applied Physics, 1954. Vol. 25. №7. P. 855.

90. Quevedo-Teruel O., Tang W., Hao Y. Isotropic and nondispersive planar fed Lune-burg lens from Hamiltonian transformation optics. Optics letters, 2012. Vol. 37. №23. P. 4850-4852.

91. Bjorkqvist O., Zetterstrom O. and Quevedo-Teruel O. Additive manufactured dielectric Gutman lens. Electronics Letters. 2019. Vol. 55. №25. P.1318-1320.

92. Greenwood A. D. and Jin J.-M. A field picture of wave propagation in inhomoge-neous dielectric lenses // IEEE Antennas and Propagation Magazine. 1999. Vol. 41. №5. P. 9-18.

93. Rozenfeld P. The electromagnetic theory of three-dimensional inhomogeneous lenses // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1976. Vol. AP-24. №3. P. 365-370.

94. Luneberg R. K. Mathematical theory of optics. California: University of California Press, 1966. 448p.

95. Mikaelian A. L. Self-focusing media with variable index of refraction // in E. Wolf, Progress in optics XVII, North Holland, 1980.

96. Triandafilov Ya. R. and Kotlyar V. V. Photonic crystal Mikaelian lens // Optical Memory and Neural Networks, 2008. Vol. 17. №1. P. 1-7.

97. Baghdasaryan T., Geernaert T., Thienpont H. and Berghmans F. Photonic crystal Mikaelian lenses and their potential use as transverse focusing elements in micro-structured fibers // IEEE Photonics Journal, Aug. 2013. Vol. 5. №4. P. 7100512.

98. Bor J., Fuchs B., Lafond O. and Himdi M. Flat foam-based Mikaelian lens antenna for millimeter wave applications // Proc. of the 44th European Microwave Conference, Rome, Italy, 6-9 Oct. 2014. P. 1640-1643.

99. Kelleher K. S. and Coatley G. Dielectric lens for microwaves // Electronics, 1955. Vol. 28. №8. P. 142-145.

100. Венецкий А. С., Калошин В. А. Синтез градиентной линзовой антенны с осевой симметрией // Радиотехника и электроника, 1991. Т. 36. №12. С.2301 -2307.

101. Венецкий А. С., Калошин В. А. Синтез неоднородной диэлектрической линзы с осевой симметрией // Письма в ЖТФ, 2006. Т. 32. №7. С. 74-79.

102. Zhang S., Arya R. K., Pandey S., Vardaxoglou Y., Whittow W., Mittraj R. 3D-printed planar graded index lenses // IET Microwaves, Antennas & Propagation, 2016. Vol. 10. №13. P. 1411-1419.

103. Paraskevopoulos A., Maggiorelli F., Albani M. Maci S. Radial GRIN lenses based on the solution of a regularized ray congruence equation // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2022. Vol. 70. №2. P. 888-899.