Периодические траектории бильярдных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Пушкарь, Петр Евгеньевич

• Пушкарь, Петр Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Периодические траектории бильярдных динамических систем»

Рассмотрим компактную гладкуюго выпуклую гиперповерхность (без края) в евклидовом пространстве. Рассмотрим лучи, движущиеся внутри поверхности по закону «угол падения равен углу отражения». Такой закон отражения определяет бильярдную динамическую систему, определенную на следэд^щм пространстве. Точ-кои пространства является пара, состоящая., .из точки гиперповерхности и не принадлежащего касательному пространству к гиперповерхности в этой точке направления. Динамическая система (отображение) определяв тся следующим образом: через точку проводим прямую вдоль направления, заданного в этой точке. Прямая пересечет нашу гиперповерхность еще в одной точке. Направление в полученной точке определяем как отраженное относительно касательного пространства (в полученной точке) к гиперповерхности направление прямой. Классический результат Люстерника и Шнирельмана утверждает, что у такой динамической системы, построенной по компактной гладкой выпуклой гиперповерхности в п-мерном евклидовом пространстве, не меньше п дважды периодических траекторий. Эта оценка точна и достигается на эллипсоиде с разными осями.

Рассмотрим многозначную бильярдную динамическую систему Б, определенную подобным образом для не обязательно выпуклой гладкой гиперповерхности. В работе исследуется вопрос о числе дважды периодических траекторий такой динамической системы. Каждой дважды периодической траектории ((х,а)(у,Ь))(В(х,а) = (у, 6), В(у, Ь) = (х,а)) (х,у - точки гиперповерхности, а, b - направления в этих точках) сопоставим отрезок [х,у] с концами на гиперповерхности. Условие дважды периодичности состоит в точности в том, что отрезок [х.у] перпендикулярен в концах к гиперповерхности. Пусть / — иммерсия многообразия Мп в Ип+к. Диаметром иммерсированного многообразия f(Mn) назовем отрезок, соединяющий две различные точки f(x) и f(y) иммерсии и перпендикулярный к касательным плоскостям f*(TxM) и /*(ТуМ) к иммерсированному многообразию в этих точках. Один из основных результатов работы состоит в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть Мп замкнутое многообразие размерности п и В = Z dim Н,(М, Z2). Тогда, для иммерсии общего положения многообразия М в евклидово пространство Rn+fc; число диаметров Мп в ~Rn+k не меньше \{В2 + (п - 1 )В).

Теорема 1 отвечает на вопрос о числе дважды периодических траекторий обобщенной бильярдной динамической системы для иммер-сированной в евклидово пространство гиперповерхности. В следующем утверждении обсуждается точность оценок теоремы 1.

Теорема 2. Для многообразий Sn (n-мерная сфера), Sn х Sk (произ ведение п и к-мерной сферы) и (двумерная сфера с д ручками) оценки Теоремы 1 точны и достигаются на вложениях в евклидово пространство 11п+1; и р^3 соответственно.

На рисунке 1 показан вложенный в трехмерное евклидово пространство тор на котором достигается оценка Теоремы 1.

Рис. 1. 10 диаметров тора: 2 вертикальных, остальные 8 в плоском сечении.

Задача о диаметрах (двойных нормалях) иммерсированного подмногообразия общего положения евклидова пространства рассматривалась Такенсом и Уайтом в [25]. В [25] доказано, что число диаметров вложенного в евклидово пространство замкнутого многообразия Мк размерности к не меньше, чем:

Т\¥(М\К) = 2

1 — (¿г 2

2 - +

-1к - в,

2к—1 д*2к—2 — • • • + ¿0 к — ¿2к-\ + Л2к-2 ~ ■ ■ ■ + (1()

Здесь ¿1 = сИтН{(Мк х Мк,А;К), Д — диагональ в Мк х Мк, К — поле коэффициентов, [а] наименьшее целое не меньшее а. Оценка Такенса и Уайта удовлетворяет следующим неравенствам:

1- (В2К - Вк) +2к > Т\У(Мк, К) > 1- (В], - ВК) , где ВК — сумма чисел Бетти Мк с коэффициентами в поле К.

Сравним оценку Теоремы 1 с оценкой Такенса и Уайта. Для им-мерсированной ориентированной поверхности рода д мы оцениваем диаметры числом 2д2 + 5^ + 3, оценка Такенса и Уайта (для вложений) дает 2д2 + 3д + Ъ. Например, для иммерсии двумерного тора в евклидово пространство наша формула гарантирует по меньшей мере 10 диаметров с учетом кратностей, тогда как оценка Такенса и Уайта (для вложений) гарантирует всего 8. Наша оценка для двумерного тора точна и достигается в классе вложений тора в трехмерное пространство. Для М = х 5П мы гарантируем 2(п + к) + 6 диаметров и эта оценка точна. Например для Б' х 57 каша формула дает 34 диаметра, а оценка Такенса и Уайта 20.

Идея доказательства Теоремы 1 состоит в построении функции, критические точки которой соответствуют диаметрам иммерсиро-ванного многообразия и применения к этой функции теории Морса-Ботта [13, 18].

Следующая цель работы состоит в распространении оценок Теоремы 1 на более широкий класс гиперповерхностей. Для формулировки результатов напомним стандартные определения контактной геометрии [7, 9].

Пусть В — гладкое многообразие. (Коориентированным) контактным элементом на многообразии Б, приложенным в данной точке, называется (коориентированная) гиперплоскость в касательном пространстве в этой точке. Все (коориентированные) контактные элементы на В образуют пространство РТ* В (5Г*В) проективизо-ванного кокасательного расслоения (сферизованного кокасательного расслоения). Пространство РТ* В (5Т*В) несет канонически определенную контактную структуру [7, 9].

Иммерсированное подмногообразие X с трансверсальными самопересечениями в В определяет лежандрово подмногообразие Р(Х) С РТ*В (5(Х) С БТ*В) — множество всех (коориентированных) контактных элементов, касающихся А' (см. [9]).

Коориентированный) волновой фронт в В — проекция лелсандрова подмногообразия РТ*В (5Т*Б) в В. Для лежандрова подмногообразия общего положения в РТ*В (5Т* В) ее (коориентированный) волновой фронт в Я — особая стратифицированная (коориентированная) гиперповерхность, у которой в каждой точке есть (коориентированная) касательная плоскость. Лежандрово подмногообразие общего положения в РТ*В (5Т*В) восстанавливается однозначно по своему волновому фронту в В.

Рассмотрим замкнутое подмногообразие Ь с трансверсальными самопересечениями в евклидовом пространстве Ип+1.

Определение : Назовем волновой фронт Е чекановским волновым фронтом типа Ь. если Е волновой фронт лежандрова подмногообразия изотопного Р(Ь) С РТ*Лп+1 в классе вложенных лежандровых подмногообразий PT*Rn+1.

Назовем диаметром волнового фронта в евклидовом пространстве Rn+1 отрезок, соединяющий две различные точки волнового фронта, и перпендикулярный ему в концах.

Теорема 3. Число диаметров (с учетом кратностей) чеканов-ского волнового фронта типа Lk не меньше чем \(В2 — В) + Щ-.

Рассмотрим замкнутое подмногообразие L с трансверсальными самопересечениями в евклидовом пространстве Rn+1.

Определение : Назовем коориентированный волновой фронт Е чекановским волновым фронтом, типа L, если Е волновой фронт лежандрова подмногообразия изотопного S(L) С ST*Rn+1 в классе вложенных лежандровых подмногообразий РТ*Rn+1.

Коориентированные чекановские волновые фронты типа L —^ это коориентированные волновые фронты, полученные из эквидистанты L гомотопией в классе ¡«ориентированных волновых фронтов без опасных самокасаний.

Назовем попутным (противопутным) диаметром коориентиро-ванного волнового фронта такой диаметр этого волнового фронта, коориентации которого в концах сонаправлены (направлены в противоположную сторону).

Теорема 4. Число попутных (соответственно, противопутных) диаметров с учетом кратностей ко ориентир о ванного чекановского волнового фронта типа L не меньше чем В2 — В (соответственно, В2 + пВ).

В случае Ь точка, теорема 4 была доказана Ферраном [22], нашедшим другие обобщения теорем Чеканова, нежели представленные ниже. Основное техническое утверждение при доказательстве теорем 3 и 4 это обобщение теоремы Чеканова [19, 16, 17, 21, 26]. Теорема Чеканова в свою очередь обобщает классические теоремы Люстерника-Шнирельмана и Морса о числе критических точек гладкой функции на замкнутом многообразии и является контактной версией гипотезы Арнольда о лагранжевых самопересечениях [6, 8, 23, 24]. Лежан-дрово подмногообразие А пространства 1-струй функций на многообразии М определяет многозначную функцию, график которой — проекция А в /°М = М х II. Теорема Чеканова утверждает, что если А гомотопно 1-графику гладкой функции в классе вложенных лежан-дровых многообразий, то у графика многозначной функции должно быть много точек (их число определяется топологией М), в которых касательная плоскость к графику параллельна М х 0. Доказательство теоремы Чеканова состоит в том, что многообразие А задаемся производящим семейством специального вида (этот факт также часто называется теоремой Чеканова) и в последующем применении к производящему семейству теории Морса (Люстерника-Шнирельмана).

Формулировке теоремы предпошлем несколько определений.

Пусть р : Е —> М расслоение. Функция к (общего положения) на Е определяет лежандрово многообразие в пространстве -71 М 1-струй функций на М. Многообразие критических по слою точек естественным образом отображается в (критической точке сопоставляется дифференциал функции к «вдоль базы», который корректно определен в критической по слою точке, и значение функции /г). Полученные пары образуют лежандрово многообразие А в ]1М.

Определение. Назовем Е-квазифункцией лежандрово многообразие, гомотопное А в в классе лежандровых вложений.

Назовем функцию, определенную на пространстве векторного расслоения, квадратичной на бесконечности, если она есть сумма функции, являющейся послойно невырожденной квадратичной формой, и функции с компактным носителем.

Теорема 5. Пусть А — Е-квазифункция на замкнутом многообразии М, слой расслоения, Е —М компактен. Тогда многообразие А задается производящим семейством, определенным, на пространстве расслоения Ех ^ —> М, и квадратичным на бесконечности.

Определение : Критические точки лежандрова многообразия А в /]М — это такие точки А, образы которых при естественном отображении рм : М Т*М принадлежат нулевому сечению. Критические точки соответствуют точкам фронта — графи ;а Е-квазифункции, касательная плоскость в которых параллельна М х 0. Назовем критическую точку невырожденной, если рм(А) трансвер-сально нулевому сечению в образе критической точки.

Из теоремы 5 при помощи теории Морса (Люстерника-Шнирельмана) можно получить следствие, обобщающее теорему Че-канова.

Следствие. Пусть А — Е-квазифункция на замкнутом многообразии М, слой расслоения Е —> М компактен. Тогда число критических точек Л не меньше, чем, dim Е а) Е (bi(E) + 2qi(E)), где Ьг(Е) = dim Щ(Е, R), q^M) — мини-¿=о малъное число образующих группы Tors Hi(E,Z), если критические точки А невырождены. б) dim Hi(E,K), К — поле, если критические точки А невырождены. в) cl(Е,А) + 1. Здесь с1(£\ Д) когомологическая, длина многообразия Е с коэффициентами в произвольном, коммутативном, кольце А(см. [12]).

Теоремы 3 и 4 доказываются при помощи Теоремы 5 и явной конструкции, доставляющей доказательство следующего утверждения [5].

Предложение 6. Пространство ST*Rn+1 контактоморфно пространству .JlSn 1-струй функций на сфере Sn.

Воспользовавшись явной конструкцией контактоморфизма можно доказать, что диаметры соответствуют критическим точкам функции, построенной по производящему семейству.

Текст организован следующим образом. В Главе 1 доказана Теорема 1. В Главе 2 доказана Теорема 2. Глава 3 посвящена доказательству Теоремы 5 и некоторых дополнительных результатов о самопересечениях проекции квазифункции в кокасательное расслоение. В Главе 4 доказываются Теоремы 3 и 4.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пушкарь, Петр Евгеньевич, 1998 год

1. Пушкарь П. Е. Обобщение теоремы Чеканова. Диаметры иммер-сированных многообразий и волновых фронтов. Труды математического института имени В. А. Стеклова, т. 221, стр 289-304, 1998

2. Pushkar' P. Е. Diameters of immersed manifolds and of wave fronts C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Serie 1, p. 201-205, 1998

3. Pushkar' P. E. Generalization of the Chekanov theorem: Diameters of immersed manifolds and wave fronts, Preprint No. FI-ST1997-011, June 1997, The Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Toronto, 17 pp.

4. Пушкарь П. E. Производящие функции симплектоморфизмов. Функц. анализ и его прил., 28, 61-65 (1994)

5. Arnold V. I. Topological invariants of plane curves and caustics, Univ. Lecture Ser. 5, Amer. Math. Soc. (1994).

6. Arnold V. I. Sur une propriété topologique des applications globalement canonique de la mécanique classique. C. R. Acad Sci. Paris, Sér. I, 261, 3719-3722 (1965)

7. Арнольд В. И. Математические методы классической механики (Дополнение 4). Наука, М. (1974)

8. Арнольд В. И. Первые шаги симплектической топологии. УМН, 41, вып. 6, 3-18 (1986)

9. Арнольд В. И., А. Б. Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. В кн.: Итоги науки и техники. Фундаментальные направления, т.4, ВИНИТИ, М. (1985), с.5-139.

10. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, т. 1. М. Наука, (1982), 304с.

11. Гивенталь А. Б. Периодические отображения в симплектической топологии. Функц. анализ и его прил., 23 37-52 (1989)

12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Т.2, Наука, М. (1984)

13. Милнор Дж. Теория Морса. Мир, М. (1965).

14. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. М. Наука, (1989)

15. Виро О. Я., Фукс Д. Б. Гомологии и когомологии. В кн.: Итоги науки и техники. Фундаментальные направления, т.24, ВИНИТИ, М. (1988), с.123-240.

16. Чеканов Ю. В. Критические точки квазифункций и производящие семейства лежандровых многообразий. Функ. анализ и его прил., 30, вып. 2 (1996)

17. Чеканов Ю. В. Лежандрова теория Морса. УМН, 42, вып. 4, 139 (1987)

18. Bott R. Lectures on Morse theory, old and new. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), no. 2, pp 331 358.

19. Chaperon M. On generating families, A Floer's memorial volume, Birkhauser, (1996)

20. Conley C., Zehnder E. The Birkhoff-Lewis fixed point thorem and a conjecture of V. I. Arnold. Invent. Math., 73, 33-49 (19c3)

21. Eliashberg Y., Gromov M. Lagrangian Intersection and the stable Morse theory, preprint ETHZ, May 1996.

22. Ferrand E. On a theorem of Chekanov. Diff. Geom. Math. Phys., Banach Center Publications, Vol. 39, Inst. Math., Pol. Acad. Sci., Warszawa (1997).

23. Laudenbach F., Sikorav J.-C. Persistance d'intersection avec la section nulle au cours d'une isotopie hamiltonienne dans un fibre cotangent. Invent. Math., 82, 349-358 (1985)

24. Sikorav J.-C. Sur les immersions lagrangiennes dans un fibre cotangent. C. R. Acad Sci. Paris, Ser. I, 32, 119-122 (1986)

25. Takens F., White J. Morse theory of double normals of immersions. Indiana Univ. Math. J. 21 (1971), p. 11-17.

26. Theret D. These de l'Universite. Paris VII.

27. Viterbo C. Symplectic topology as the geometry of generating functions. Ann. Math. 292 (1992), p. 685-710.